2020-2021学年湖北省高三高考调研考试数学试卷(理)及答案解析

2022~2023学年度武汉市部分学校高三年级九月调研考试数学试卷2022.9一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|560A x x x =+-<，{|2}B x x =>-，则A B = （）A.(2,)-+∞ B.(6,2)-- C.(2,1)- D.()2,6-【答案】C【详解】解：由2560x x +-<，即()()610x x +-<，解得61x -<<，所以{}{}2|560|61A x x x x x =+-<=-<<，又{|2}B x x =>-，所以{}|21A B x x =-<< ；故选：C 2.计算12i2i-=-（）A.43i 5-+ B.43i 5-- C.43i 5+ D.43i 5-【答案】D【详解】()()()()12i 2i 12i 2i 4i+243i2i 2i 2i 55-+-+--===--+，故选：D 3.记0.20.20.23,0.2,log 3a b c --===，则（）A.c<a<bB.c b a <<C.b<c<aD.a c b<<【答案】A【详解】0.200331a -<=<=，0.20.2201.0b ->==，0.20.2log 3log 10c =<=，故c<a<b .故选：A4.某圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120︒的扇形，则该圆锥的体积为（）A.B.453π C. D.22π3【答案】D【解析】【详解】因为圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120︒的扇形，所以该扇形的弧长为120π32π180⨯=，设圆锥的底面半径为r ，则2π2πr =，解得：1r =，因为圆锥的母线长为3，所以圆锥的高为h ==，该圆锥的体积为221122ππ1π333r h =⨯⨯=.故选：D5.函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x =（）A.2sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B.22sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C.34x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D.334x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】B【详解】由图象可得：521212T πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，∴22πωπ==，再根据五点法作图可得22,122k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭，22,3k k Z πϕπ∴=+∈，2()sin 23f x A x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，又2(0)sin3f A π==，∴2A =，∴2()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：B6.设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32187238,22S a a S S =+=+，则2a =（）A.4B.3C.2D.1【答案】A【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为q （q >0），则由321238S a a =+得1232122238a a a a a ++=+，即123620a a a +-=，即()21620a q q+-=，即2620q q+-=，解得2q =（32q =-舍去）.由8722S S =+得872a S =+，即()7171121a q a q q-=+-，将2q =代入得()7171122212a a -=+-，解得12a=，则214a a q ==.故选：A.7.点声源在空间中传播时，衰减量L ∆与传播距离r （单位：米）的关系式为210lg 4rL π∆=（单位：dB ），取lg50.7≈，则r 从5米变化到40米时，衰减量的增加值约为（）A.12dBB.14dBC.18dBD.21dB【答案】C【详解】解：因为衰减量L ∆与传播距离r （单位：米）的关系式为210lg 4rL π∆=，所以r 从5米变化到40米时，衰减量的增加值约为：2240510lg 10lg44ππ-10lg 6460lg 2==，()601lg5600.318=-≈⨯=，故选：C8.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线与双曲线右支交,A B两点，设AB 中点为P ，若1||AB P =，且145F PA ∠=︒，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.312+ D.512【答案】A【详解】解：根据题意可知，过2F 的直线斜率存在， AB 中点为P ，又1AB P=∴1AP =又 145F PA ∠=︒∴在1F AP △中，由余弦定理2221111cos 2PF PA AF F PA PA PF +-∠=⋅整理得：1AP AF =且190F AP ∠=，所以1APF △是等腰直角三角形.设1AF t =，则1AF AP BP t ===，2AB t=∴在1F AB 中，由勾股定理得：22211BF AB AF =+∴1BF 由双曲线定义可知：122AF AF a -=∴22AF t a =-∴222PF AP AF a=-=由双曲线定义可知：122BF BF a -=且222BF BP PF t a=+=+∴()22t a a-+=整理得：)1t a =，在12F F P 中，12=2F F c ，22PF a =，1=PF a=由余弦定理可得：2221212112cos 2PF PF F F F PA PF PF +-∠=⋅代入计算得：2262a c =∴离心率e ＝ca=故选：A.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某市今年夏天迎来罕见的高温炎热天气，当地气象部门统计进入八月份以来（8月1日至8月10日）连续10天中每天的最高温和最低温，得到如下的折线图：根据该图，关于这10天的气温，下列说法中正确的有（）A.最低温的众数为29C ︒B.最高温的平均值为37.7C ︒C.第4天的温差最大D.最高温的方差大于最低温的方差【答案】AC【详解】A 选项，由折线图可知最低温的众数为29C ︒，A 选项正确；B 选项，由折线图得最高温的平均值为3837373938393837393737.9C 10+++++++++=︒，B 选项错误；C 选项，由折线图得这10天的温差分别为9C ︒，7C ︒，9C ︒，12C ︒，9C ︒，10C ︒，10C ︒，7C ︒，8C ︒，8C ︒，其中温差最大的为第4天，C 选项正确；D 选项，由折线图可知最高温的方差()()()2222133837.943737.933937.90.6910s ⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦高温，最低温的平均值为2930282729292830312929C 10+++++++++=︒，方差()()()()()22222214292923029228292729312910s ⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-+-+-⎣⎦低温1.20.69=>，D 选项错误；故选：AC.10.平面向量(cos ,sin ),(cos(),sin()),(cos(2),sin(2))a b c αααβαβαβαβ==++=++，其中0180β︒<<︒，则（）A.a b b c-=-r r r r B.()a c b+∥ C.若||||a c b +=，则30β=︒ D.若0a b c ++=，则120β=︒【答案】ABD【详解】如图所示，因为1a b c === ，故在单位圆中分别作出,,OA a OB b OC c ===.对A ，,a b AB b c BC -=-=r r r r，因为AOB BOC β∠=∠=，则AB BC =，即a b b c -=-r r r r，故A 正确；对B ，因为AOB BOC β∠=∠=，故OB 为,OA OC 的角平分线，且1OA OC ==，根据向量的加法法则可得()//a c b +r r r，故B 正确；对C ，当60β=︒时，易得,OAB BOC V V 均为正三角形，根据向量加法的平行四边形法则可得a c b +=r r r，此时a c b +=r r r ，故C 错误；对D ，由B ，设(),R a c b λλ+=∈r r r ，则因为0a b c ++=，故()10b λ+=r ，解得1λ=-，由平行四边形法则可得此时ABC 为正三角形，120β=︒，故D 正确；故选：ABD 11.圆()222:(2)3M x k y k -+-=与圆22:(1)1N x y -+=交于,A B 两点，若||AB =则实数k 的可能取值有（）A.2B.1C.0D.1-【答案】BCD【详解】解：因为圆()222:(2)3M x k y k -+-=与圆22:(1)1N x y -+=交于,A B 两点，所以两圆方程相减得直线AB 的方程：()242214430kx ky kk --++-=，由||AB =可得圆心N 到直线AB的距离为12d ==，12=，整理得()242422121k k k k ++=+-，0,1,1k =-时，满足上式，2k =不满足上式，故选：BCD12.已知函数1()e ln x f x x -=+，则过点(,)a b 恰能作曲线()y f x =的两条切线的充分条件可以是（）A.211b a =->B.211b a =-<C.21()a b f a -<<D.211b a <-- 【答案】AD 【解析】【详解】由1()e ln x f x x -=+，得11()e(0)x f x x x-'=+>，设切点为0100(,e ln )x x x -+，则切线的斜率为0101ex k x -=+，所以有00110001e ln e ()x x x b x a x --⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭，整理得010000e(1)ln 10(0)x ax a x b x x ----++-=>，由题意可知此方程有且恰有两个解，令1()e(1)ln 1(0)x ag x x a x b x x-=---++->，11(1)e (11)ln11121ag a b b a -=---++-=+-，112211()e ()()e (0)x x a g x x a x a x x x x --⎛⎫'=--+=--> ⎪⎝⎭，令121()e(0)x F x x x -=->，则132()e 0(0)x F x x x-'=+>>，所以()F x 在(0,)+∞上递增，因为11(1)e 10F -=-=，所以当01x <<时，()0<F x ，当1x >时，()0F x >，①当1211a -<-<，即01a <<时，当0x a <<时，()0g x '>，则()g x 递增，当1<<a x 时，()0g x '<，则()g x 递减，当1x >时，()0g x '>，则()g x 递增，所以只要()0g a =或(1)0g =，即1e ln ()a b a f a -=+=或21(1,1)b a =-∈-；②当211a -≤-，即0a ≤时，当01x <<时，()0g x '<，则()g x 递减，当1x >时，()0g x '>，则()g x 递增，所以只要(1)0<g ，即21b a <-，而211a -≤-；③当211a ->，即1a >时，当01x <<时，()0g x '>，则()g x 递增，当1x a <<时，()0g x '<，则()g x 递减，当x a >时，()0g x '>，则()g x 递增，当x a =时，1()e ln a g a b a -=--，所以只要(1)0g =或()0g a =，由(1)0g =，得211b a =->，由()0g a =得1e ln ()a b a f a -=+=；④当1a =时，121()(1)e 0x g x x x -⎛⎫'=--> ⎪⎝⎭，所以()g x 在(0,)+∞上递增，所以函数至多有一个零点，不合题意；综上：0a ≤时，211b a <-≤-；01a <<时，1e ln ()a b a f a -=+=或21(1,1)b a =-∈-；1a >时，211b a =->或1e ln ()a b a f a -=+=，故A 正确，B 错误，C 错误，D 正确.故选：AD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.25()y x x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中33x y 的系数为_____________．【答案】5【详解】22555()()()y y x x y x x y x y x x ⎛⎫-+=+-+ ⎪⎝⎭ ，其中5()x x y +的展开式通项为5655C C kkk kk k k T x xy x y --=⋅⋅=⋅⋅，0,1,2,3,4,5k =，故3k =时，得含33x y 的项为33333510C x y x y =；52()x x y y +的展开式通项为254255C C r r r rr r r y S x y x y x--+=⋅⋅=⋅⋅，0,1,2,3,4,5r =，故1r =时，得含33x y 的项为1333535x y x C y =.因此，式子25()y x x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，含33x y 的项为3333331055x y x y x y =-，即系数为5.故答案为：5.14.已知4cos 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________.【答案】725【详解】因为4cos 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以227cos 22cos 13325ππαα⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22sin 2sin 2c 27cos os 233263522ππππαααπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎛⎫-=⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：725.15.过抛物线28y x =焦点的直线与抛物线交于,M N 两点，设抛物线的准线与x 轴的交点为A ，当MA NA ⊥时，||MN =___________.【答案】8【详解】令过焦点直线为2x ky =+，代入28y x =得：28160y ky --=，所以16M N y y =-，则2(16)464M N x x -==，由MA NA ⊥，则1222()4N M N M M N M N M Ny y y y x x x x x x ⋅==-+++++，所以82()16M N x x ++=，即4M N x x +=，由抛物线定义知：||48M N MN x x =++=.故答案为：816.在四棱锥P ABCD -中，60APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=︒，且APC BPD ∠=∠，,PB PD PA ==，若该四棱锥存在半径为1的内切球，则PC =_______.【答案】++【详解】如图，60APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=︒ ，且APC BPD ∠=∠，∴可以在四棱锥上截取一个正四棱锥P AB C D '''-，此时四边形AB C D '''，AC '∴==，22212PA PC AC ''∴+==，90APC BPD ∴∠=∠= ，设0,,0PB PD t AC BD O PC x ==>==> ，60APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=︒ ，且PB PD =，,AB AD BC CD ∴==，AC BD ∴⊥，O 为BD 中点，PB PD = ，PO BD ∴⊥，又PO AC O ⋂= ，BD ∴⊥平面PAC ，90BPD ∠=，BD ∴==，1113323P ABCD B PAC D PAC PAC V V V BD S tx ---∴=+=⋅⋅=⋅= ，又因为四棱锥P ABCD -存在半径为1的内切球，()13P ABCD PAB PAD PBC PCD ABCD V S S S S S -∴=++++ 四边形111111sin 60sin 60sin 60sin 60322222PA PB PA PD PC PB PC PD AC BD ⎛⎫=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅ ⎪⎝⎭1131313131332222222223tx tx tx ⎛=⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+= ⎝⎭，即22x +=，即22x -=260x ∴-+=，解得x =，因为四棱锥P ABCD -存在半径为1的内切球，直径为2，2PC ∴>，而2<，故PC =，故答案为：四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知*1,(21,N)2,(2,N )2n n n k k S n n k k +⎧-=+∈⎪⎪=⎨⎪=∈⎪⎩（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）(1)nn a n =-×；（2）1n nT n =-+.【小问1详解】当n 为奇数且3n ≥时，11122n n n n n a S S n -+-=-=--=-，且111a S ==-，也满足该式；当n 为偶数时，()11122n n n n n a S S n -⎛⎫-+=-=--= ⎪⎝⎭.综上，(1)nn a n =-×.【小问2详解】由（1）知：()()21111111(1)111n n n a a n n n n n n ++⎛⎫==-=-- ⎪-⋅+++⎝⎭.故11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=--+-+⋯+-=--=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭.18.如图，在图1的等腰直角三角形ABC 中，3AB CB ==，边,AB AC 上的点,E F 满足23AE AF AB AC ==，将三角形AEF 沿EF 翻折至三角形PEF 处，得到图2中的四棱锥P EFCB -，且二面角P EF B --的大小为60︒.（1）证明：平面PBC ⊥平面EFCB ；（2）求直线BE 与平面PFC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2【小问1详解】因为23AE AF AB AC ==，所以//EF BC ，因为等腰直角三角形ABC 中，AB BC ⊥，所以EF AB ⊥，在四棱锥P EFCB -中，,EF EB EF EP ⊥⊥.所以PEB ∠为二面角P EF B --的平面角，即60PEB ∠= .又2,1PE BE ==，所以PB =，满足222PE BE PB =+.即BE PB ⊥，又BE BC ⊥，且PB BC B ⋂=，,PB BC ⊂平面PBC ，所以BE ⊥平面PBC .又BE ⊂平面EFCB ，所以平面PBC ⊥平面EFCB .【小问2详解】由,EF EB EF EP ⊥⊥，且EB EP E ⋂=，,EB EP ⊂平面PBE ，故EF ⊥平面PBE ，则有EF PB⊥.又//EF BC ，所以BC PB ⊥，即,,PB EB CB 两两垂直.以B 为坐标原点，,,BC BE BP的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则有：()()()(()0,0,0,0,1,0,3,0,0,,2,1,0B E C P F .()0,1,0BE =.设平面PFC 的法向量()((),,,3,0,,1,1,0n x y z PC FC ===-.300n PC x n FC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1y =，得(n = .设所求角的大小为θ，则5sin cos ,5BE n BE n BE nθ⋅===⋅ .所以直线BE 与平面PFC.19.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且满足cos sin 2a C C b c +=+.（1）求角A ；（2）D 为BC 边上一点，DA BA ⊥，且4BD DC =，求cos C .【答案】（1）2π3A =（2）277【小问1详解】由sin sin sin a b c A B C==，得sin cos sin sin 2sin A C A C B C +=+.由()πB A C =-+，故()sin cos sin sin 2sin sin cos cos sin 2sin A C A C A C C A C A C C +=++=++sin cos sin 2sin A C A C C =+，又因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠cos 2A A -=.即π2sin 26A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0πA <<，所以2π3A =.【小问2详解】由（1）知：2π3A =，所以2πππ326CAD ∠=-=.在CAD 中，πsin sin 6CD b ADC ∠=；在BAD 中，πsin sin 2BD c ADB ∠=.又sin sin ,4ADB ADC BD CD ∠∠==，代入得：2c b =.由余弦定理得：a ==，所以222cos 27a b c C ab +-==.20.某商场推出一项抽奖活动，顾客在连续抽奖时，若第一次中奖则获得奖金10元，并规定：若某次抽奖能中奖，则下次中奖的奖金是本次中奖奖金的两倍；若某次抽奖没能中奖，则该次不获得奖金，且下次中奖的奖金被重置为10元.已知每次中奖的概率均为14，且每次能否中奖相互独立.（1）若某顾客连续抽奖10次，记获得的总奖金为ξ元，判断()E ξ与25的大小关系，并说明理由；（2）若某顾客连续抽奖4次，记获得的总奖金为X 元，求()E X .【答案】（1）()25E ξ>，理由见解析（2）40532【小问1详解】()25E ξ>，理由如下：抽奖10次时，记中奖次数为Y ，则110,4Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.若每次中奖的奖金为固定10元，则此时总奖金的期望值为()()110101010254E Y E Y ==⨯⨯=.由题意，连续中奖时，奖金会翻倍，故总奖金必大于每次中奖的奖金为固定10元的情况.所以()25E ξ>.【小问2详解】X 的所有可能取值为0,10,20,30,40,70,150.()4181014256P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()3141110810C 144256P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()221127203144256P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()221127303144256P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3116402144256P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()3116702144256P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()4111504256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.其分布列为：X01020304070150P812561082562725627256625662561256()1082727661405102030407015025625625625625625632E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.21.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，过点(1,1)--P 且与x 轴平行的直线与椭圆E 恰有一个公共点，过点P 且与y 轴平行的直线被椭圆E （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设过点P 的动直线与椭圆E 交于,M N 两点，T 为y 轴上的一点，设直线MT 和NT 的斜率分别为1k 和2k ，若1211k k +为定值，求点T的坐标.【答案】（1）2214x y +=（2）()0,1-【小问1详解】解：由题意，椭圆的下顶点为()0,1-，故1b =.由对称性，椭圆过点1,2⎛⎫-± ⎪ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程有21314a +=，解得：2a =.故椭圆E 的标准方程为：2214x y +=.【小问2详解】设点T 坐标为()0,t .当直线MN 斜率存在时，设其方程为()11y k x =+-，与2214x y +=联立得：()()()224181420kx k k x k k ++-+-=.设()()1122,,,M x y N x y ，则()()1212228142,4141k k k k x x x x k k ---+==++.12121212121111x x x x k k y t y t kx k t kx k t +=+=+--+--+--，()()()()1212221212211(1)kx x k t x x k x x k k t x x k t +--+=+--++--，()()()()()()()232228281142811(1)41k k k k k t k k k k k t k t k -----=-----+--+，()()()2222881.4321(1)tk t ktk t k t -+=--+++1211k k +为定值，即与k 无关，则2(1)0,1t t +==-，此时12118k k +=-.经检验，当直线MN 斜率不存在时也满足12118k k +=-，故点T 坐标为()0,1-.22.已知函数1()(3)e x f x x k x k=---.（1）讨论函数()f x 的极值点个数；（2）当()f x 恰有一个极值点0x 时，求实数k 的值，使得()0f x 取最大值.【答案】（1）答案见解析（2）33e e 1+【小问1详解】()()()2e 1e 12e 1e 1xx xx x f x x k k k k ⎛⎫-+=---=- ⎪ ⎪+⎝⎭'；设()()2e e 1xxx g x k -=-+，则()()()2e e 1e1x x xx g x +-+'=；设()e 1xh x x =+-，显然()h x 是增函数，且()00h =；故0x <时，()()0,g x g x '<递减；0x >时，()()0,g x g x '>递增；又()01g k =--，且0x <时，()g x k <-.（i ）当10k --≥，即1k ≤-时，()()()0,0,g x f x f x ≤'≥递减，此时()f x 无极值点；（ii ）当10k k --<<-，即10k -<<时，存在120x x <<使得()()120g x g x ==，1x x <时，()()()0,0,g x f x f x '><递减；12x x x <<时，()()()0,0,g x f x f x '递增；2x x >时，()()()0,0,g x f x f x '><递减.此时()f x 有两个极值点.（iii ）当0k -<，即0k >时，存在0x ，使得()00g x =，0x x <时，()()()0,0,g x f x f x <'<递减；0x x >时，()()()0,0,g x f x f x '>>递增.此时()f x 有一个极值点.综上所述，当1k ≤-时，()f x 无极值点；当10k -<<时，()f x 有两个极值点；当0k >时，()f x 有一个极值点.【小问2详解】由（1）知，此时0k >，且()00fx '=，即()002e e 1xx x k -=+，此时02x >.此时()()()000000000000002e e 3e 13e 2e e 12x x x x x x x x f x x x x x x ⎛⎫--++=---=- ⎪ ⎪-+-⎝⎭.设()e 3(2)2x x x x x x ϕ-+=-->-，则()e 112x x x x ϕ+=--+-，()()()()()()223e 13e 1122x x x x x x x x ϕ-+---=--=--'-，2x >时，e 10x x +->，令()0x ϕ'=，得3x =.23x <<时，()()0,x x ϕϕ'>递增；3x >时，()()0,x x ϕϕ'<递减；故()()303e 3f x ϕ≤=--.()0f x 取得最大值时，03x =，此时()003032e e e 1e 1xx x k -==++.。

数 学 试 题本试卷共2页，共22题。

满分150分，考试用时120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{}12|0|log 0U x x M x x ⎧⎫=>=>⎨⎬⎩⎭，，则U M =C A.(,1]-∞ B.(1,)+∞ C.(0,1] D. [1,)+∞ 2．己知a b c >>0,>1，则下列各式成立的是 A ．ln ln a b < B ．cca b <C. a bc c >D ．11c c b a--<3．已知函数()24x xf x =-，则函数()11f x x -+的定义域为A.(),1-∞B ．(),1-∞- C.()(),11,0-∞-⋃-D.()(),11,1-∞-⋃-4．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源．河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈数为阳数，黑点数为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为3的概率为A.15B.725C.825D.255．设p ：实数x 满足()()21005x a x a a -++≤<<其中，q ：实数x 满足ln 2x <，则p 是q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 已知函数2()ln(1)f x x x =++，若正实数 a b ,满足(4)(1)0f a f b +-=，则11a b+的最小值为A. 4B. 8C. 9D. 13 7.若函数()f x 对,R a b ∀∈，同时满足：（1）当0a b +=时有()()0f a f b +=；（2）当0a b +>时有()()0f a f b +>，则称()f x 为Ω函数．下列函数中是Ω函数的为 ①()sin f x x x =-，②()0,01,0x f x x x=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩， ③()e +e x xf x -=， ④()f x x x =A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④8．定义:若函数()y f x =在区间[,]a b 上存在()1212,x x a x x b <<<,满足()1()()'f b f a f x b a-=-,()2()()'f b f a f x b a -=-,则称函数()y f x =是在区间[,]a b 上的一个双中值函数.已知函数326()5f x x x =-是区间[0,]t 上的双中值函数,则实数t 的取值范围是A.36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.26,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.23,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.61,5⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9. 某地某所高中 2020 年的高考考生人数是 2016 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校 2016 年和 2020年的高考升学情况，得到如下柱图,则下列结论正确的是2016年高考数据统计 2020年高考数据统计 A. 与 2016 年相比，2020 年一本达线人数有所增加B. 与 2016 年相比，2020 年二本达线人数增加了0.5 倍C. 与 2016年相比，2020 年艺体达线人数相同D. 与 2016 年相比，2020 年不上线的人数有所增加 10.若()()20212320210123202112x a a x a x a x a x x R -=++++⋅⋅⋅+∈，则A.01a =B.20211352021312a a a a ++++⋅⋅⋅+=C.20210242020312a a a a -+++⋅⋅⋅+=D.320211223202112222a a a a +++⋅⋅⋅+=- 11．已知定义(,)()(2),f x f x -∞+∞=-的奇函数，满足若(1)1,f =则 A ．(3)1f = B.4()f x 是的一个周期C.(2018)(2019)(2020)1f f f ++=-D. ()f x 的图像关于1x =对称12．3212,y z==x 已知正数x,y,z 满足下列结论正确的有A.623z y x >>B.121x y z+= C.(322)x y z +>+ D.28xy z >三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若“[]1,20x x a ∃∈+≤，”是假命题，则实数a 的取值范围是__________． 14.已知()f x 为偶函数,当0x <时,ln()()x f x x-=,则曲线()y f x 在点(1,0)处的切线方程是 .15.5人并排站成一行，甲乙两人之间恰好有一人的概率是__________.(用数字作答)16.已知函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧<++≥+=012012x x x x e xx f x ，则方程2021()=2020f x 的实根的个数为 ； 若函数1))((--=a x f f y 有三个零点，则a 的取值范围是 ．四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）设数列{}n a 的前n项和为n S，在①234,,4a a a-成等差数列.②123+,,2SS S成等差数列中任选一个，补充在下列的横线上，并解答.在公比为2的等比数列{}n a中，(1)求数列{}n a的通项公式;(2)若2(1)log,n nb n a=+求数列2222nn nb⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n项和.n T（注：如选择两个条件分别解答，按第一个解答计分）18．（本小题满分12分）已知定义域为R的函数()(1)x xf x a k a-=--(0a>且1)a≠是奇函数．（1）求实数k的值；（2）若(1)0f<，求不等式2()(4)0f x tx f x++-<对x R∈恒成立时t的取值范围.19．（本小题满分12分）为调研高中生的作文水平，在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为1：4，且成绩分布在的范围内，规定分数在50以上含的作文获奖，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示，其中a，b，c构成以2为公比的等比数列．求a，b，c的值；填写下面列联表，能否在犯错误的概率不超过的情况下认为“获奖”与“学生的文理科”有关？文科生理科生合计获奖 6不获奖合计400从获奖的学生中任选2人,求至少有一个文科生的概率.附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．k20．（本小题满分12分）一动圆与圆1)1(:1=+-yxO外切，与圆9)1(:222=++yxO内切；(1)求动圆圆心M的轨迹L的方程．(2)设过圆心1O的直线1:+=myxl与轨迹L相交于A、B两点，请问2ABO∆（2O为圆2O 的圆心）的内切圆N的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）某科技公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为12，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若系统G中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需要的费用为500元. （1）求系统G 不需要维修的概率；（2）该电子产品共由3个完全相同的系统G 组成，设Y 为电子产品需要维修的系统所需的费用，求Y 的分布列与数学期望；（3）为提高系统G 正常工作概率，在系统G 内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p ，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则G 可以正常工作，问：p 满足什么条件时，可以提高整个系统G 的正常工作概率？22．（本小题满分12分）已知函数ax xe x f x+=)(，R a ∈．(1)设)(x f 的导函数为)('x f ，求)('x f 的最小值；(2)设x a x a x ax x g a)1(ln ln )(-++=，当),1(+∞∈x 时，若)()(x g x f ≥恒成立，求a 的取值范围．参考答案一、单项选择题：1-4 DCDB 5-8 ACDA二、多项选择题：9.AD 10. ACD 11. BCD 12. BCD 三、填空题: 13．()-1+∞， 14． -10xy15．310 16．3，11(1,1)(2,3]3ee ⎧⎫++⎨⎬⎩⎭(第一空2分，第二空3分)四．解答题17．解：（1）选①：因为，，成等差数列，所以，所以，解得，所以． ………………………………5分选②：因为123+,,2S S S 成等差数列，所以()213322+2+4==+S S a a S ，即，所以11+42=4a a ，解得，所以． ……………………………………5分（2）因为，所以，所以，22222112()(1)1n n n b n n n n +==-++ …………………………………………8分 所以1111121+-+......+223n 1n T n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+………10分18．解：(1)∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴00(0)(1)1(1)0f a k a k =--=--= ∴2k =. …………………………… 4分 经检验：2k =时，()xxf x a a -=-(0a >且1)a ≠是奇函数．故2k = ………5分（2）()(>01)xxf x a a a a -=-≠且10,1,0,01,0)1(<<∴≠><-∴<a a a aa f 且又 ， …………………… 7分 而x y a =在R 上单调递减，xy a -=在R 上单调递增，故判断()xxf x a a-=-在R 上单调递减，……………………………………………8分不等式化为2()(4)f x tx f x +<-，24x tx x ∴+>-，2(1)40x t x ∴+-+>恒成立，………………………………………………………10分 2(1)160t ∴∆=--<，解得35t -<<. ……………………………………12分19．解：由频率分布直方图可知，，因为a ，b ，c 构成以2为公比的等比数列，所以，解得，所以，．故，，． ………3分获奖的人数为人，因为参考的文科生与理科生人数之比为1：4， 所以400人中文科生的数量为，理科生的数量为． ……………5分由表可知，获奖的文科生有6人，所以获奖的理科生有人，不获奖的文科生有人．于是可以得到列联表如下：文科生 理科生 合计 获奖 6 14 20 不获奖 74 306 380 合计8032040025=1.316 6.63519≈<………………………………8分 所以在犯错误的概率不超过的情况下，不能认为“获奖”与“学生的文理科”有关．…………9分获奖的学生一共20人,其中女生6人,男生14人,从中任选2人,至少1名女生的概率为112614622099190C C C P C +==……………………………………………………………12分20. 解：(1)设动圆圆心为M(x ，y)，半径为R ．由题意，得R MO R MO -=+=3||,1||21，4||||21=+∴MO MO ………………………2分由椭圆定义知M 在以1O ,2O 为焦点的椭圆上，且a=2，c=1，314222=-=-=∴c a b ． ∴动圆圆心M 的轨迹L 的方程为13422=+y x …………………4分 (2)如图，设2ABO ∆内切圆N 的半径为r ，与直线l 的切点为C ，则三角形2ABO ∆的面积r BO AO AB S ABO |)||||(|21222++=∆r BO BO AO AO |)]||(||)||[(|212121+++=r ar 42==当2ABO S ∆最大时，r 也最大，2ABO ∆内切圆的面积也最大， (5)分设),(11y x A 、)0,0)(,(2122<>y y y x B ，则21221121||||21||||212y y y O O y O O S ABO -=⋅+⋅=∆， …………………………6分 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=134122y x my x ，得096)43(22=-++my y m ，,439,436-221221+-=+=+m y y m m y y ………………………………8分43112222++=∴∆m m S ABO ，令12+=m t ，则t≥1，且m 2=t 2-1， 有=+-=∆4)1(31222t t S ABO tt t t 131213122+=+，………………………10分令tt t f 13)(+=，则213)('t t f -=，当t≥1时，0)('>t f ，f(t)在[1，+∞）上单调递增，有4)1()(=≥f t f ，34122=≤∆ABO S ，即当t=1，m=0时，4r 有最大值3，得43max =r ，这时所求内切圆的面积为π169 ∴存在直线2,1:ABO x l ∆=的内切圆M 的面积最大值为π169. ……………………………………12分 21．解：（1）系统G 不需要维修的概率为2233331111()()2222C C ⋅⋅+⋅=. …………………………2分（2）设X 为维修的系统G 的个数，则1~(3,)2X B ，且500Y X =，所以3311(500)()()(),0,1,2,322k k k P Y k P X k C k -====⋅⋅=.………………………………4分所以Y所以Y 的期望为()50037502E Y =⨯⨯=元……………………………………6分 （3）当系统G 有5个电子元件时，若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，则概率为12223113()228C p p ⋅⋅⋅=；…………………………………………………7分 若前3个电子元件中有两个正常工作，同时新增的两个至少有1个正常工作， 则概率为221222232311113()(1)()(2)22228C C p p C p p p ⋅⋅⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅=-； ……8分 若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作， 系统G 均能正常工作，则概率为33311()28C ⋅=.……………………………………………10分所以新增两个元件后系统G 能正常工作的概率为2233131(2)88848p p p p +-+=+， 于是由3113(21)4828p p +-=-知，当210p ->时，即112p 时， 可以提高整个系统G 的正常工作概率. ……………………………………………………12分22. 解：(1)a e x x f x ++=)1()(' ''()(2)xf x x e =+所以()()'()-,-2,-2,+f x ∞∞在上单调递减在上单调递增所以'21()'(2)f x f a e-=-的最小值为 ……………………………………………4分(Ⅱ)当),1(+∞∈x 时，若)()(x g x f ≥成立，即x a x ax x xe ax ln ln +≥+对),1(+∞∈x 恒成立， 亦即x a ex a x xe xx ln )ln (ln +≥+α对),1(+∞∈x 恒成立．……………………………6分1()(ln )a f x f a x =>即时211'()1-0ef x >由（）知a=1时的最小值为,所以()f x 在R 上单调递增．…………………8分x a x ln ≥∴在),1(+∞上恒成立．令x a x x m ln )(-=，则xax x a x m -=-=1)('． ①1≤a 时，0)('>x m 在),1(+∞上恒成立，01)1()(>=>∴m x m ，此时满足已知条件， (9)分②当1>a 时，由0)('=x m ，解得a x =．当),1(a x ∈时，0)('<x m ，此时)(x m 在),1(a 上单调递减； 当),(+∞∈a x 时，0)('>x m ，此时)(x m 在),(+∞a 上单调递增．)(x m ∴的最小值0ln )(≥-=a a a a m ，解得e a ≤<1． …………………………11分 综上，a 的取值范围是],(e -∞ ………………………………………………………12分。

专题一 压轴选择题第三关 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题【名师综述】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难度．解决问题的关键是画出正确的截面，把空间“切接”问题转化为平面“问题”处理．类型一 四面体的外接球问题典例1．已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，若ABC 的面积为,ABC S OBC 的面积为,OBC S PBC 的面积为PBC S ，满足2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△，当,,PAB PBC PAC 的面积之和的最大值为8时，则三棱锥P ABC -外接球的体积为（ ）A ．43πB ．83πC ．163πD ．323π 【来源】山西省晋中市2022届高三上学期1月适应性调研数学（理）试题【举一反三】在四边形ABCD 中（如图1所示），AB AD =，45ABD ∠=，2BC BD CD ===，将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '（如图2所示），使得90A BC ∠='，E ，F ，G 分别为棱BC ，A D '，A B '的中点，连接EF ，CG ，则下列结论错误的是（ ）．A ．A C BD '⊥B ．直线EF 与CG 45C ．C ，E ，F ，G 四点不共面D ．四面体A BCD '外接球的表面积为8π【来源】陕西省2022届高三上学期元月联考理科数学试题类型二 三棱柱的外接球问题典例2．已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的底边长为a ，高为h ，球的体积为86π，则这个正四棱柱的侧面积的最大值为（ ） A ．482 B ．242 C ．962 D ．122【来源】内蒙古包头市2020-2021学年高三上学期期末考试数学（文）试题【举一反三】在平面内，已知动点P 与两定点A ，B 的距离之比为()0,1λλλ>≠，那么点P 的轨迹是圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中，也可得到类似结论.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，2AB BC ==，12BB π=，90ABC ∠=︒，点M 为AB 的中点，点P 在三棱柱内部或表面上运动，且2PA PM =，动点P 形成的曲面将三棱柱分成两个部分，体积分别为1V ，()212V V V <，则12V V =（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【来源】贵州省贵阳市2021届高三适应性考试数学（理）试题（一）类型三 四棱锥的外接球问题典例3．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，PB ⊥底面ABCD .若1PB AB CD AD ====， 2BC =，则这个四棱锥的外接球表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【来源】四川省成都市第七中学2021-2022学年高三下学期入学考试文科数学试题【举一反三】已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，2AB =，若四棱锥P ABCD -82π，则该四棱锥的表面积为（ ） A ．3B ．63C ．83D ．103【来源】山西省吕梁市2021届高三上学期第一次模拟数学（理）试题类型四 几何体的内切球问题典例4．已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为54，6AB =，记三棱柱111ABC A B C -的外接球和内切球分别为球1O ，球2O ，则球1O 上的点到球2O 上的点的距离的最大值为（ ）A ．3B 153C 153D 153【来源】江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科数学试题【举一反三】由棱长都为1的4个正四面体和1个正八面体，组合成一个正四面体，再将此正四面体削切、打磨成最大的球，则该球体积为（ ）A 6B 6C ．354D 646 【来源】湖南省长沙市雅礼中学2020届高三下学期5月质量检测文科数学试题【精选名校模拟】1．已知三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，6AB =，8AC =，D 是线段AB 上一点，且2AD DB =.过点D 作球O 的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为25π，则球O 的表面积为（ ）A ．128πB ．132πC ．144πD ．156π【来源】湖北省武汉市武昌区2020-2021学年高三上学期1月质量检测数学试题2．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，其底面ABCD 是平行四边形，外接球体积为36π，若1AC BD ⊥，则其外接球被平面11AB D 截得图形面积的最小值为（ ）A ．8πB ．24310πC ．8110πD ．6π【来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查理科数学试题3．已知三棱锥P ABC -的底面是正三角形，PA a =，点A 在侧面PBC 内的射影H 是PBC 的垂心，当三棱锥P ABC -体积最大值时，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．343aB ．23a πC ．332a πD ．212a【来源】安徽省黄山市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测理科数学试题4．在三棱锥P ABC -中，22AB AC ==，120BAC ∠=，26PB PC ==，25PA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．40πB ．20πC ．80πD ．60π【来源】江西省名校2021届高三上学期第二次联考数学（理）试题5．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，23AB =，D 是侧面11BCC B 的中心，球O 与该三棱柱的所有面均相切，则直线AD 被球O 截得的弦长为（ ）A ．1010B ．105C ．31010D ．31056．如图，在三棱锥P ABC -，PAC △是以AC 为斜边的等腰直角三角形，且22CB =，6AB AC ==，二面角P AC B --的大小为120︒，则三棱锥P ABC -的外接球表面积为（ ）A 510B ．10πC ．9πD ．(423π+7．已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，若2ABC OB PBC C S S S ⋅=，且三棱锥P ABC -的外接球半径为3，则PAB PBC PAC S S S ++△△△的最大值为（ ）A ．8B ．10C ．18D ．22【来源】吉林省梅河口市第五中学2020-2021学年高三上学期第三次月考数学（理）试题8．已知三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，且PA ⊥平面ABC ，若该棱锥的体积为233，2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，则此球的表面积等于（ ）A ．5πB ．8πC ．16πD ．20π【来源】河南省河南大学附属中学2021-2022学年高三上学期11月月考数学文科试题9．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱111ABC A B C -为一个“堑堵”，底面ABC 是以AB 为斜边的直角三角形且5AB =，3AC =，点P 在棱1BB 上，且1PC PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥P ABC -的外接球表面积为（ ）A ．45π2B 455πC ．30πD ．45π【来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（文）期末试题10．在菱形ABCD 中，3A π=，3AB =△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置，二面角P BD C--的大小为23π，则三棱锥P BCD -的外接球的表面积为（ ） A ．23πB ．27πC ．72πD ．112π 【来源】山西省长治市第二中学校2021届高三上学期9月质量调研数学（文）试题多选题11．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biēnào ）.如图，三棱锥D ABC -为一个鳖臑，其中DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2DA AB BC ===，AM DC ⊥，M 为垂足，则（ ）A ．AM ⊥平面BCDB ．DC 为三棱锥D ABC -的外接球的直径C ．三棱锥M ABD -的外接球体积为43πD ．三棱锥M ABC -的外接球体积与三棱锥M ABD -的外接球体积相等【来源】河北省张家口市2022届高三上学期期末数学试题12．已知边长为a 的菱形ABCD 中，3ADC π∠=，将ADC 沿AC 翻折，下列说法正确的是（ ）A ．在翻折的过程中，直线AD ，BC 始终不可能垂直B ．在翻折的过程中，三棱锥D ABC -体积最大值为38a C ．在翻折过程中，三棱锥D ABC -表面积最大时，其内切球表面积为2(1483)a π-D ．在翻折的过程中，点D 在面ABC 上的投影为D ，E 为棱CD 上的一个动点，ED '3 【来源】江苏省南京市第二十九中学2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题。

湖北省七市（州）高三三月联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i505的虚部为（）A．﹣i B．i C．﹣l D．l2．命题“∀x∈[﹣2，+∞），x+3≥l“的否定为（）A．∃x0[﹣2，+∞），x0+3＜1 B．∃x0[﹣2，+∞），x0+3≥lC．∀x∈[﹣2，+∞），x+3＜1 D．∀x∈（﹣∞，﹣2），x+3≥l3．二项式的展开式中x的系数等于（）A．84 B．24 C．6 D．﹣244．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2000斛（1丈=10尺，l尺=10寸，斛为容积单位，l斛≈1.62立方尺，π≈3），则圆柱底圆周长约为（）A．l丈3尺B．5丈4尺C．9丈2尺D．48丈6尺5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=（）A．4 B．5 C．6 D．76．己知函数f（x）=sinx+cosx（x∈R），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，则θ的最小值为（）A．B．C．D．7．己知直线ax+by﹣6=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为2，则ab的最大值是（）A．9 B．C．4 D．8．T为常数，定义f T（x）=，若f（x）=x﹣lnx，则f3[f2（e）]的值为．（）A．e﹣l B．eC．3 D．e+l9．设M，N是抛物线C：y2=2px（p＞0）上任意两点，点E的坐标为（﹣λ，0）（λ≥0），若•的最小值为0，则λ=（）A．0 B．C．p D．2p10．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为（）A．B．2C．3D．411．已知集合P={n|n=2k﹣1，k∈N+，k≤50}，Q={2，3，5}，则集合T={xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为（）A．147 B．140 C．130 D．11712．设向量=（1，k），=（x，y），记与的夹角为θ．若对所有满足不等式|x﹣2|≤y≤1的x，y，都有θ∈（0，），则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．观察下列等式l+2+3+…+n=n（n+l）；l+3+6+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）；1+4+10+…n（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3）；可以推测，1+5+15+…+n（n+1）（n+2）（n+3）=_______．14．函数f（x）=3﹣x+x2﹣4的零点个数是_______．15．如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°．若A，B两点相距130m，则塔的高度CD=_______ m．16．平面区域A1={（x，y）|x2+y2＜4，x，y∈R}，A2={（x，y）||x|+|y|≤3，x，y∈R）．在A2内随机取一点，则该点不在A1的概率为_______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}，等比数列{b n}满足：a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和S n．18．某电子商务公司随机抽取l 000名网络购物者进行调查．这1000名购物者2015年网上购物金额（单位：万元）均在区间[0.3，0.9]内，样本分组为：[0.3，0.4），[0.4，0.5），[0.5，0.6），[0.6，0.7），[0.7，0.8），[0.8，0.9]．购物金额的频率分布直方图如下：电商决定给抽取的购物者发放优惠券；购物金额在[0.3，0.6）内的购物者发放100元的优惠券，购物金额在[0.6，0.9]内的购物者发放200元的优惠券，现采用分层抽样的方式从获得100元和200元优惠券的两类购物者中共抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得优惠券总金额X（单位：元）的分布列和均值．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．（1）证明EF∥平面SAD；（2）设SD=2DC，求二面角A﹣EF﹣D的余弦值．20．已知圆心为H的圆x2+y2+2x﹣15=0和定点A（1，0），B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH 相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为椭圆，记为C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆C相交于P，Q和E，F，求的取值范围．21．（Ⅰ）求函数f（x）=8cosx﹣6cos2x+cos4x在[0，）上的最小值；（Ⅱ）设x∈（0，），证明：sinx﹣sin2x＜x＜sinx﹣sin2x+sin4x；（Ⅲ）设n为偶数，且n≥6．单位圆内接正n边形面积记为S n．（1）证明：S2n一S n＜π＜S2n一2S n+；（2）已知1.732＜＜1.733，3.105＜S24＜3.106，证明：3.14＜π＜3.15．四.请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，E是圆内两弦AB和CD的交点，F为AD延长线上一点，FG切圆于G，且FE=FG．（I）证明：FE∥BC；（Ⅱ）若AB⊥CD，∠DEF=30°，求．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，曲线C2的极坐标方程为ρ=2 acos（θ﹣）（a＞0）．（I）求直线，与曲线C1的交点的极坐标（P，θ）（p≥0，0≤θ＜2π）．（Ⅱ）若直线l与C2相切，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）≥（x+l）；（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）﹣|x﹣2|的值域为A，若A⊆[1，3]，求a的取值范围．湖北省七市（州）高三联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i505的虚部为（）A．﹣i B．i C．﹣l D．l【考点】虚数单位i及其性质．【分析】直接利用虚数单位i的运算性质得答案．【解答】解：i505=（i4）126•i=i，∴i505的虚部为1．故选：D．2．命题“∀x∈[﹣2，+∞），x+3≥l“的否定为（）A．∃x0[﹣2，+∞），x0+3＜1 B．∃x0[﹣2，+∞），x0+3≥lC．∀x∈[﹣2，+∞），x+3＜1 D．∀x∈（﹣∞，﹣2），x+3≥l【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以“∀x∈[﹣2，+∞），x+3≥l“的否定为，∃x0[﹣2，+∞），x0+3＜1故选：A．3．二项式的展开式中x的系数等于（）A．84 B．24 C．6 D．﹣24【考点】二项式系数的性质．【分析】T r+1==99﹣r，令=1，解得r即可得出．【解答】解：T r+1==99﹣r，令=1，解得r=6．∴二项式的展开式中x的系数==84．故选：A．4．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2000斛（1丈=10尺，l尺=10寸，斛为容积单位，l斛≈1.62立方尺，π≈3），则圆柱底圆周长约为（）A．l丈3尺B．5丈4尺C．9丈2尺D．48丈6尺【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据圆柱的体积和高计算出圆柱的底面周长，从而求出圆周的底面周长．【解答】解：由题意得，圆柱形谷仓底面半径为r尺，谷仓高h=尺．于是谷仓的体积V==2000×1.62．解得r≈9．∴圆柱圆的周面周长为2πr≈54尺．故选B．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】用列举法，通过循环过程直接得出S与n的值，得到n=3时退出循环，即可计算得到s的值．【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得：s=1，n=1n=2，s=﹣3，满足条件n＜3，n=3，s=﹣3+（﹣1）4•32=6，不满足条件n＜3，退出循环，输出s的值为6．故选：C．6．己知函数f（x）=sinx+cosx（x∈R），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，则θ的最小值为（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：函数f（x）=sinx+cosx（x∈R）=2sin（x+），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得y=2sin（2x+）的图象；再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=2sin[2（x﹣θ）+]=2sin（2x+﹣2θ）的图象．再根据得到的图象关于直线x=对称，可得2•+﹣2θ=kπ+，k∈z，则θ的最小值为，故选：A．7．己知直线ax+by﹣6=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为2，则ab的最大值是（）A．9 B．C．4 D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的性质及点到直线的距离公式得圆心（1，2）在直线ax+by﹣6=0上，而a+2b=6，由此利用均值定理能求出ab的最大值．【解答】解：∵圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心（1，2），半径r==，直线ax+by﹣6=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为2，∴圆心（1，2）在直线ax+by﹣6=0上，∴a+2b=6，∵a＞0，b＞0，∴2ab≤（）2=9，∴ab≤，∴当且仅当a=2b=3时，ab取最大值．故选：B．8．T为常数，定义f T（x）=，若f（x）=x﹣lnx，则f3[f2（e）]的值为．（）A．e﹣l B．eC．3 D．e+l【考点】函数的值．【分析】由条件先求出f（e），根据f T（x）求出f2（e），再求出f3[f2（e）]的值．【解答】解：由题意可得，f（e）=e﹣lne=e﹣1＜2，则f2（e）==2，又f（2）=2﹣ln2＜2，所以f3（2）==3，即f3[f2（e）]=3，故选：C．9．设M，N是抛物线C：y2=2px（p＞0）上任意两点，点E的坐标为（﹣λ，0）（λ≥0），若•的最小值为0，则λ=（）A．0 B．C．p D．2p【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用数量积公式，结合配方法、的最小值为0，即可求出λ．【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），则=（x1+λ，y1）•（x2+λ，y2）=x1x2+λ（x1+x2）+λ2+y1y2=+λ•+λ2﹣p2，∵的最小值为0，∴λ=．故选：B．10．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为（）A．B．2C．3D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由一个三棱柱截去一个四棱锥（底面在侧面上）剩下的几何体．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由一个三棱柱截去一个四棱锥（底面在侧面上）剩下的几何体．∴该几何体的体积=×22×3﹣=2．故选：B．11．已知集合P={n|n=2k﹣1，k∈N+，k≤50}，Q={2，3，5}，则集合T={xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为（）A．147 B．140 C．130 D．117【考点】元素与集合关系的判断；集合的表示法．【分析】由题意得到集合P的元素是大于等于1且小于等于99的奇数，逐一与2，3，5相乘，除去重复的元素得答案．【解答】解：P={n|n=2k﹣1，k∈N+，k≤50}={n|n为大于等于1且小于等于99的奇数}，Q={2，3，5}，T={xy|x∈P，y∈Q}，当x∈P，y=2时，xy为偶数，有50个；当x∈P，y=3时，xy为奇数，有50个；当x∈P，y=5时，xy为奇数，有50个．在满足条件的奇数中，重复的有：15，45，75，105，135，165，195，225，255，285共10个．故集合T={xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为150﹣10=140．故选：B．12．设向量=（1，k），=（x，y），记与的夹角为θ．若对所有满足不等式|x﹣2|≤y≤1的x，y，都有θ∈（0，），则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】画出不等式|x﹣2|≤y≤1的可行域：△PQR及内部，画出直线l：x+ky=0，旋转直线l，观察直线在可行域的位置，即可得到所求范围．【解答】解：画出不等式|x﹣2|≤y≤1的可行域：△PQR及内部，画出直线l：x+ky=0，当k=0时，x＞0显然成立；旋转直线l，当l∥QR，即有直线l的斜率为1，可得k=﹣1，由图象可得k＞﹣1，又θ≠0，所以与不能同向，因此k＞1或k＜0；所以k的范围是﹣1＜k＜0或k＞1；故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．观察下列等式l+2+3+…+n=n（n+l）；l+3+6+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）；1+4+10+…n（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3）；可以推测，1+5+15+…+n（n+1）（n+2）（n+3）= n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4），（n∈N*）．【考点】归纳推理．【分析】根据已知中的等式，分析出第K个等式右边系数和因式个数的变化规律，归纳可得答案．【解答】解：根据已知中的等式：l+2+3+…+n=n（n+l）；l+3+6+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）；1+4+10+…n（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3）；归纳可得：第K个等式右边系数的分母是K!，后面依次是从n开始的K个连续整数的积，故1+5+15+…+n（n+1）（n+2）（n+3）=n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4），（n∈N*）故答案为：n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4），（n∈N*）14．函数f（x）=3﹣x+x2﹣4的零点个数是 2 ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数f（x）=3﹣x+x2﹣4的零点个数可化为函数y=3﹣x与y=4﹣x2的图象的交点的个数；从而作图滶解即可．【解答】解：函数f（x）=3﹣x+x2﹣4的零点个数可化为方程3﹣x=4﹣x2的解的个数；即函数y=3﹣x与y=4﹣x2的图象的交点的个数；作函数y=3﹣x与y=4﹣x2的图象如下，，故函数y=3﹣x与y=4﹣x2的图象共有2个交点，故答案为：2．15．如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°．若A，B两点相距130m，则塔的高度CD= 10m．【考点】解三角形的实际应用．【分析】根据方位角求出∠ADB，利用仰角的正切值得出AD，BD关系，在△ABD中使用余弦定理解出AD，BD，从而得出CD．【解答】解：作出平面ABD的方位图如图所示：由题意可知∠WAD=20°，∠EAD=40°，设∠ABE=θ，则∠WAB=θ，∴∠DBA+∠DAB=40°﹣θ+20°+θ=60°，∴∠ABD=120°，设BD=x，AD=y，则由余弦定理得AB2=x2+y2﹣2xycos∠ADB，即16900=x2+y2+xy．在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=，∴CD=，在Rt△ACD中，∵tan∠CAD=，∴CD=．∴x=3y．解方程组得．∴CD==10．故答案为：10．16．平面区域A1={（x，y）|x2+y2＜4，x，y∈R}，A2={（x，y）||x|+|y|≤3，x，y∈R）．在A2内随机取一点，则该点不在A1的概率为1﹣．【考点】几何概型．【分析】利用几何关系的概率公式求出相应的面积即可得到结论．【解答】解：平面区域A2={（x，y）|x2+y2＜4，x，y∈R}，表示为半径为2的圆及其内部，其面积为4π，A1={（x，y）||x|+|y|≤3，x，y∈R），表示正方形，其面积为6×6×=18，∴A2内随机取一点，则该点取自A1的概率为=，则不在的A1概率P=1﹣故答案为：1﹣．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}，等比数列{b n}满足：a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．可得1+d=q，2（1+2d）﹣q2=1，解出即可得出．（II）当时，c n=a n b n=1，S n=n．当时，c n=a n b n=（2n﹣1）•3n﹣1，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q：∵a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．∴1+d=q，2（1+2d）﹣q2=1，解得或．∴a n=1，b n=1；或a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，b n=3n﹣1．（II）当时，c n=a n b n=1，S n=n．当时，c n=a n b n=（2n﹣1）•3n﹣1，∴S n=1+3×3+5×32+…+（2n﹣1）•3n﹣1，3S n=3+3×32+…+（2n﹣3）•3n﹣1+（2n﹣1）•3n，∴﹣2S n=1+2（3+32+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）•3n=﹣1﹣（2n﹣1）•3n=（2﹣2n）•3n﹣2，∴S n=（n﹣1）•3n+1．18．某电子商务公司随机抽取l 000名网络购物者进行调查．这1000名购物者2015年网上购物金额（单位：万元）均在区间[0.3，0.9]内，样本分组为：[0.3，0.4），[0.4，0.5），[0.5，0.6），[0.6，0.7），[0.7，0.8），[0.8，0.9]．购物金额的频率分布直方图如下：电商决定给抽取的购物者发放优惠券；购物金额在[0.3，0.6）内的购物者发放100元的优惠券，购物金额在[0.6，0.9]内的购物者发放200元的优惠券，现采用分层抽样的方式从获得100元和200元优惠券的两类购物者中共抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得优惠券总金额X（单位：元）的分布列和均值．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】利用分层抽样从1000人中抽取10人，发放100元优惠券的购物者有7人，发放200元优惠券的购物者有3人，则此3人所获优惠券的总金额X的可能取值有300，400，500，600，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和均值．【解答】解：利用分层抽样从1000人中抽取10人，发放100元优惠券的购物者有：10×（1.5+2.5+3）×0.1=7人，发放200元优惠券的购物者有：10×（2+0.8+0.2）×0.1=3人，则此3人所获优惠券的总金额X的可能取值有300，400，500，600，P（X=300）==，P（X=400）==，P（X=500）==，P（X=600）==，∴X的分布列为：X 300 400 500 600PEX=+=390．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．（1）证明EF∥平面SAD；（2）设SD=2DC，求二面角A﹣EF﹣D的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．【分析】法一：（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．要证EF∥平面SAD，只需证明EF平行平面SAD内的直线AG即可．（2）取AG中点H，连接DH，说明∠DMH为二面角A﹣EF﹣D的平面角，解三角形求二面角A﹣EF﹣D的大小．法二：（1）建立空间直角坐标系，证明，可得EF∥AG，从而EF∥平面SAD．（2）利用和的夹角等于二面角A﹣EF﹣D的平面角，根据向量的夹角公式，即可求得结论．【解答】解法一：（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．连接AG，则FG平行且等于CD，又CD平行且等于AB，∴FG平行且等于AE，∴AEFG为平行四边形．∴EF∥AG，∵AG⊂平面SAD，EF⊄平面SAD．∴EF∥平面SAD．（2）不妨设DC=2，则SD=4，DG=2，△ADG为等腰直角三角形．取AG中点H，连接DH，则DH⊥AG．又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB∩AG=A，所以DH⊥面AEF．取EF中点M，连接MH，则HM⊥EF．连接DM，则DM⊥EF．故∠DMH为二面角A﹣EF﹣D的平面角∴tan∠DMH==．∴cos∠DMH=∴二面角A﹣EF﹣D的余弦值为．解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz．设A（a，0，0），S（0，0，b），则B（a，a，0），C（0，a，0），E（a，，0），F（0，，），∴．取SD的中点G（0，0，），则．∴∴EF∥AG∵AG⊂平面SAD，EF⊄平面SAD．∴EF∥平面SAD．（2）不妨设A（1，0，0），则B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，2），E（1，，0），F（0，，1）．∴EF中点M（）∴，∴=0∴MD⊥EF又=（0，﹣，0），∴=0∴EA⊥EF，∴和的夹角等于二面角A﹣EF﹣D的平面角．∵cos＜，＞==．∴二面角A﹣EF﹣D的余弦值为．20．已知圆心为H的圆x2+y2+2x﹣15=0和定点A（1，0），B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH 相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为椭圆，记为C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆C相交于P，Q和E，F，求的取值范围．【考点】轨迹方程．【分析】（Ⅰ）由圆的方程求出圆心坐标和半径，由|MA|+|MH|=|MB|+|MH|=|BH|=4可得点M的轨迹是以A，H 为焦点，4为长轴长的椭圆，则其标准方程可求；（Ⅱ）利用向量减法法则得=，然后分直线PQ的斜率不存在、直线PQ的斜率为0及直线PQ的斜率存在且不为0时分别求解．当直线PQ的斜率存在且不为0时，设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系结合配方法求得的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由x2+y2+2x﹣15=0，得（x+1）2+y2=42，∴圆心为H（﹣1，0），半径为4，连接MA，由l是线段AB的中垂线，得|MA|=|MB|，∴|MA|+|MH|=|MB|+|MH|=|BH|=4，又|AH|=2＜4，故点M的轨迹是以A，H为焦点，4为长轴长的椭圆，其方程为；（Ⅱ）由直线EF与直线PQ垂直，可得，于是．（1）当直线PQ的斜率不存在时，则直线EF的斜率的斜率为0，此时不妨取P（），Q（），E（2，0），F（﹣2，0），∴；（2）当直线PQ的斜率为0时，则直线EF的斜率不存在，同理可得；（3）当直线PQ的斜率存在且不为0时，则直线EF的斜率也存在，于是可设直线PQ的方程为y=k（x﹣1），则直线EF的方程为y=，将直线PQ的方程代入曲线C的方程，整理得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，∴，于是，=（1+k2）[x P x Q﹣（x P+x Q）+1]=．将上面的k换成，可得，∴=，令1+k2=t，则t＞1，于是上式化简整理可得：=．由t＞1，得0，∴．综合（1）（2）（3）可知，所求的取值范围为[]．21．（Ⅰ）求函数f（x）=8cosx﹣6cos2x+cos4x在[0，）上的最小值；（Ⅱ）设x∈（0，），证明：sinx﹣sin2x＜x＜sinx﹣sin2x+sin4x；（Ⅲ）设n为偶数，且n≥6．单位圆内接正n边形面积记为S n．（1）证明：S2n一S n＜π＜S2n一2S n+；（2）已知1.732＜＜1.733，3.105＜S24＜3.106，证明：3.14＜π＜3.15．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；数列与不等式的综合．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；（Ⅱ）设g（x）=sinx﹣sin2x﹣x，设h（x）=sinx﹣sin2x+sin4x﹣x，根据函数的单调性证明即可；（Ⅲ）（1）令x=，代入sinx﹣sin2x＜x＜sinx﹣sin2x+sin4x中，整理即可；（2）得到s6=，s12=3，在S2n一S n＜π＜S2n一2S n+中，令n=12，代入整理即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣8sinx+12sin2x﹣4sin4x=8sinx（﹣1+3cosx﹣2cosxcos2x）=8sinx（1﹣cosx0（4cos2x+4cosx﹣1）；x∈（0，）时，得sinx＞0，1﹣cosx＞0，由cosx＞，得：4cos2x+4cosx﹣1＞0，古f′（x）＞0，即f（x）在[0，）递增，又f（0）=3，故f（x）在[0，）的最小值是3；（Ⅱ）设g（x）=sinx﹣sin2x﹣x，x∈（0，）时，g′（x）=cosx﹣cos2x﹣1=﹣（cosx﹣1）2＜0，故g（x）在[0，）递减，得g（x）＜g（0）=0，即sinx﹣sin2x＜x，①，设函数h（x）=sinx﹣sin2x+sin4x﹣x，h′（x）=cosx﹣2cos2x+cos4x﹣1=f（x）﹣1，x∈（0，）时，由（Ⅰ）知f（x）＞3，得h′（x）＞0，故h（x）在[0，）上递增，得h（x）＞h（0）=0，即sinx﹣sin2x+sin4x＞x，②，综合①②，x∈（0，）时，有sinx﹣sin2x＜x＜sinx﹣sin2x+sin4x；（Ⅲ）（1）令x=，得：sin﹣sin＜＜sin﹣sin+sin，即sin﹣sin＜π＜nsin﹣nsin+sin，易知s n=sin，s2n=nsin，=sin，即s2n﹣s n＜π＜S2n一2S n+；（2）易得，s6=，s12=3，在S2n一S n＜π＜S2n一2S n+中，令n=12，得：π＞s24﹣s12＞×3.105﹣×3=3.14，﹣2s12+s6＜×3.106﹣2×3+××1.733＜3.15，π＜s24综上，3.14＜π＜3.15．四.请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，E是圆内两弦AB和CD的交点，F为AD延长线上一点，FG切圆于G，且FE=FG．（I）证明：FE∥BC；（Ⅱ）若AB⊥CD，∠DEF=30°，求．【考点】相似三角形的判定；与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）利用切割线定理，EF=FG可得，利用∠EFD=∠AFE，可得△DEF∽△EAF，再利用圆周角定理证明∠DEF=∠EAF=∠DCB，即可得证FE∥BC；（Ⅱ）由已知可求∠EAD=30°，解得=tan30°=，利用相似三角形的性质即可得解的值．【解答】（本题满分为10分）证明：（Ⅰ）由切割线定理得：FG2=FA•FD．又EF=FG，所以EF2=FA•FD，即．因为∠EFD=∠AFE，所以△FED∽△EAF．又∠DAB，∠DCB都是弧DB上的圆周角，有∠DEF=∠EAF=∠DCB，所以，FE∥BC，…（Ⅱ）由AB⊥CD，得∠AED=90°．因为∠EAD=∠DEF=30°，所以=tan30°=，所以===．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，曲线C2的极坐标方程为ρ=2 acos（θ﹣）（a＞0）．（I）求直线，与曲线C1的交点的极坐标（P，θ）（p≥0，0≤θ＜2π）．（Ⅱ）若直线l与C2相切，求a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）根据C1的参数方程和直线的极坐标方程便可得出它们的直角坐标方程，联立形成方程组即可求出l与C1的直角坐标交点，再化成极坐标交点即可；（Ⅱ）可写出曲线C2的直角坐标方程，配方得到（x+a）2+（y﹣a）2=2a2，从而根据直线和圆相切时圆心到直线距离和半径的关系即可建立关于a的方程，解出a即可．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的普通方程为y=x2，，直线l的普通方程为x+y=2；联立，解得，或（舍去）；故直线l与曲线C1的直角坐标为（1，1），其极坐标为；（Ⅱ）曲线C2的直角坐标方程为x2+y2+2ax﹣2ay=0，即：（x+a）2+（y﹣a）2=2a2（a＞0）；由曲线l与C2相切，得；∴a=1．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）≥（x+l）；（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）﹣|x﹣2|的值域为A，若A⊆[1，3]，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）将a=1代入f（x），通过讨论x的范围，解不等式，从而求出不等式的解集；（Ⅱ）通过讨论a的范围，结合集合的包含关系，求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=，x＜1时，由f（x）≥（x+1），有1﹣x≥（x+1），解得：x≤，当x≥1时，f（x）≥（x+1），有x﹣1≥（x﹣1），解得：x≥3，综上，不等式的解集是（﹣∞，]∪[3，+∞）；（Ⅱ）当a＜2时，g（x）=，g（x）的值域A=[a﹣2，2﹣a]，由A⊆[﹣1，3]，得，解得：a≥1，又a＜2，故1≤a＜2，当a≥2时，g（x）=，g（x）的值域A=[2﹣a，a﹣2]，由A⊆[﹣1，3]，得，解得：a≤3，又a≥2，故2≤a≤3，综上，所求a的范围是[1，3]．。

2021年湖北省武汉部分学校毕业生二月调研考试理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列函数中，定义域和值域相同的是（ ） A ．2y x =和2xy = B ．sin y x =和tan y x = C ．3y x =和2log y x = D ．2y x =和y x =2．定义{|,}x y x y A +B =+∈A ∈B ，设集合{}0,1i M =+， 130,2i i --⎧⎫N =⎨⎬+⎩⎭，则集合M+N 中元素的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．13．某班5名学生负责校内3个不同地段的卫生工作，每个地段至少有1名学生的分配方案共有（ ）A ．60种B ．90种C ．150种D ．240种4．设抛物线1C : 22y x =与双曲线2C : 22221x y a b-=的焦点重合，且双曲线2C 的渐近线为y =，则双曲线2C 的实轴长为（ ） A ．1 B ．12 C ．14 D ．1165．把函数y =cos(π3−2x)的图象向右平移π12，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)为（ ） A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）A ．22 B 56．3 7．7．设0x >，则“1a ≥”是“2ax x+≥恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件8．某科研所共有职工20人，其年龄统计表如下：由于电脑故障，有两个数字在表格中不能显示出来，则下列说法正确的是（ ）A ．年龄数据的中位数是40，众数是38B ．年龄数据的中位数和众数一定相等C ．年龄数据的平均数x̅∈(39,40)D ．年龄数据的平均数一定大于中位数9．如图所示，若输入的n 为10，那么输出的结果是（ ）A ．45B ．110C ．90D ．5510．设椭圆22214x y a +=和双曲线22221x y a b-=有共同的焦点，连接椭圆的焦点和短轴的一个端点所得直线和双曲线的一条渐近线平行，设双曲线的离心率为e ，则2e 等于（ ）A ．512+ B ．312+ C ．3 D ．5二、填空题11．已知矩形ΑΒCD 中，ΑΒ=2，ΒC =1，点Ρ是ΒD 上任意一点，则ΒΡ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(ΡΑ⃗⃗⃗⃗⃗ +ΡC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的取值范围是 ．12．在三角形C AB 中， A ， B ， C 是三角形C AB 的内角，设函数()22C 2sinsin sin cos 2222f ππB +A A A ⎛⎫⎛⎫A =-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f A 的最大值为 ．13．设x ， y 满足约束条件()2log 22{1x y x y +≤-≤，则z x y =+的最大值为 ．14．已知矩形 A BCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知直线PA 切圆O 于点A ，直线PO 交圆O 于点B 、C ，若C 23P =+，1PA =，则圆O 的半径长为 ．16．选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建坐标系，已知抛物线C:22y px =（0p >），直线l的参数方程：2242x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．写出抛物线C 的极坐标方程和直线l 的普通方程 、 ．参考答案1．D 【解析】试题分析：因为2y x =和2xy =的定义域和值域都不相同，所以不选;A 同理不选B ；3y x =和2log y x =定义域分别是R ，(0,)+∞，值域均为R ，所以不选C ；2y x =和y x =的定义域均为R ，值域为[0,)+∞，选D 考点：函数的定义域、值域. 2．B【解析】试题分析：因为()()()()13213551,2225i i i ii i i i -------===--++-所以{}0,1i N =--.所以{}0,1,1i i M +N =+--，共有3个元素，选B . 考点：1.复数的四则运算；2.新定义集合的运算. 3．C 【解析】试题分析：把5名学生分成3组，则有113，，或122，，两种分法，若为113，，时，有335360C A =种分法，若为122，，时，有122354231902C C C A =种分法，所以共有9060150+=种分法，故选C . 考点：简单排列组合问题. 4．B【解析】试题分析：由已知，抛物线1C : 22y x =的焦点1,02⎛⎫⎪⎝⎭即为双曲线2C : 22221x y a b -=的焦点，又双曲线2C的渐近线为y =，所以b a =则2221{ 2bac c a b ===+，解得14a =，所以双曲线2C 的实轴长为122a =，选B . 考点：1.双曲线的几何性质；2.抛物线的几何性质. 5．A 【解析】试题分析：由题意得,f(x)=cos[π3−2(x −π12)]=cos(π2−2x)=sin2x ，所以f(x)是周期为π的奇函数，选A .考点：1.三角函数图象的变换；2.三角函数的图象和性质. 6．B 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥的高为1，四边形BCDE 是边长为1的正方形，则111211,12,2222AED ABC ABE S S S =⨯⨯===⨯⨯=151522ACD S =⨯⨯=，故选B .考点：1.三视图；2.几何体的表面积. 7．C【解析】试题分析：因为0x >，若1a ≥，则22a x a x +≥≥恒成立；若2ax x+≥恒成立，即220x x a -+≥恒成立.设()22,f x x x a =-+则2240a --≤（）或()()2240{00, 10a f a ∆=--≥=><解得1a ≥，“1a ≥”是“2ax x+≥恒成立”的充分必要条件，选C .考点：充要条件. 8．C 【解析】试题分析：由表可知120(5×38+10×39+3×41+2×32)<x <120(5×38+10×40+3×41+2×42)，解得39.35<x <39.85，所以x̅∈(39,40)，选C . 考点：1.平均数；2.中位数、众数. 9．D 【解析】试题分析：当k =2时，S =1+2；当k =3时，S =1+2+3；当k =4时，S =1+2+3+4；......；当k =10时，S =1+2+3+...+10；当k =11时，终止循环，输出S =1+2+3+ (10)10×(1+10)2=55，故选D.考点：1.算法与程序框图；2.等差数列的求和公式. 10．A 【解析】试题分析：不妨设焦点(,0)F c ，椭圆22214x y a +=短轴的一个端点为(0,a)A ，则AF a k c =-，双曲线22221x y a b -=的渐近线为b y x a =±，因为直线AF 和渐近线平行，所以b aa c =，即2a bc =，则有2222224a bca c abc ⎧=⎪-=⎨⎪+=⎩，解得26a =-24a <所以26a =+舍去），22c =，故22212c e a ==，选A .考点：1.椭圆的几何性质；2.双曲线的几何性质；3.直线与圆锥曲线的位置关系. 11．[−5,58]【解析】试题分析：以D 点为坐标中心，DA 为x 轴正半轴，DC 为y 轴正半轴，建立直角坐标系，则A(1,0),B(1,2),C(0,2),所以BD 的直线方程为y =2x ，故设点P 的坐标为(x,2x),x ∈[0,1], BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,2x −2),PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x,−2x),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0−x,2−2x),则ΡΑ⃗⃗⃗⃗⃗ +ΡC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−2x,2−4x),ΒΡ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(ΡΑ⃗⃗⃗⃗⃗ +ΡC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(x −1,2x −2)⋅(1−2x,2−4x)=5(2x 2−3x +1)，因为x ∈[0,1],所以，ΒΡ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(ΡΑ⃗⃗⃗⃗⃗ +ΡC ⃗⃗⃗⃗⃗ )∈[−5,58].考点：1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的数量积；3.二次函数的图象和性质. 12【解析】试题分析：()22C 2sinsin sin cos 2222f ππB +A A A ⎛⎫⎛⎫A =-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=222sinsin sin cos 2222AA A ππ-A ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭222sincos cos sin sin cos .22224A A A A A A A π⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为A 是三角形的内角，所以0,A π<<所以3,444A πππ-<-<故当42A ππ-=，即34A π=时， ()f A 的考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质. 13．3【解析】试题分析：约束条件()2log 22{1x y x y +≤-≤即024{ 11x y x y <+≤-≤-≤，画出可行域及直线0x y +=，如图所示.将0x y +=向右平移至过点A 时， z x y =+取得最大值，由24{1x y x y +=-=-得()1,2A ，所以max 12 3.z =+=考点：1.简单线性规划的应用；2.对数函数的性质；3.绝对值不等式. 14．13π 【解析】试题分析：设正六棱柱的底面边长为x ，高为y ，则6x +y =9,0<x <1.5，正六棱柱的体积 V =6×√34x 2y =√36⋅3x ⋅3y ⋅(9−6x)≤√36[3x+3x+(9−6x)3]3=9√32，当且仅当x =1时，等号成立，此时y =3，可知正六棱柱的外接球的球心在是其上下点中心的连线的中点，则半径为√1+94=√132，所以外接球的表面积为4π×134=13π．考点：六棱柱的性质；外接球的表面积．【方法点晴】本题主要考查了六棱柱的结构特征、棱柱外接球的的表面积的计算、基本不等式求最值等知识点的应用，其中解答中，利用正六棱柱的结构特征，外接球的球心在是其上下点中心的连线的中点，得出外接球的半径是解答本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题．15【解析】试题分析：直线PA切圆O于点A，直线PO交圆O于点B、C，由切割线定理可知，2,1(2PA PB PC PB=⋅=⋅所以2PB=，(2(2BC PC PB=-=+--=因为直线PO过圆心O，所以BC是圆O的直径，则圆O考点：圆、圆的切割线定理.16．2sin2cospρθθ=，20x y--=.【解析】试题分析：根据极坐标与直角坐标的转化公式，sin,cosy xρθρθ==，代入22y px=可得2(sin)2cospρθρθ=，即2sin2cospρθθ=；直线l的参数方程：24xy⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）消去参数可得直线l的普通方程42,y x+=+即20x y--=.考点：极坐标与参数方程.。

专题3-5 导数技巧：比大小目录【题型一】对数函数基础构造1：xlnx 型............................................................................................... 1 【题型二】对数函数基础构造2：lnx/x 型 ............................................................................................. 3 【题型三】指数函数基础构造 .................................................................................................................. 4 【题型四】“取对数”法 ............................................................................................................................ 6 【题型五】指数切线构造：()e 1xx -+ (7)【题型六】对数切线构造 (9)【题型七】反比例构造:2(1)ln 1x x x -<+型 (12)【题型八】“零点”构造法 ...................................................................................................................... 13 【题型九】“跨界”构造：切、弦、指、对构造 ................................................................................... 14 【题型十】“同构”构造：差、商、积同构 ........................................................................................... 17 【题型十一】泰勒逼近 ............................................................................................................................ 19 【题型十二】帕德逼近 ............................................................................................................................ 20 【题型十三】综合 .................................................................................................................................... 22 二、真题再现 ............................................................................................................................................ 24 三、模拟检测 .. (26)【题型一】对数函数基础构造1：xlnx 型【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）已知1,,,e a b c ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，且ln55ln a a =-，ln33ln b b =-，ln 22ln c c =-，则（ ） A ．b c a << B ．c b a << C ．a c b << D ．a b c << 【答案】A【分析】构造函数()ln f x x x =，根据单调性即可确定,,a b c 的大小.【详解】设函数()ln f x x x =，()1ln f x x '=+，当1,,()0e x f x ⎛⎫'∈+∞> ⎪⎝⎭，此时()f x 单调递增，当10,,()0e x f x ⎛⎫'∈< ⎪⎝⎭，此时()f x 单调递减，由题ln55ln a a =-，ln33ln b b =-，ln 22ln c c =-，得11111111ln ln ,ln ln ,ln ln ln 55332244a a b b c c ====，因为1111543e <<<，所以111111ln ln ln 554433>>，则ln ln ln a a c c b b >>，且1,,,e a b c ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，所以a c b >>.故选：A.【变式演练】1.（2022·全国·高三专题练习）已知108a =，99b =，810c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b c a >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．a b c >> 【答案】D【分析】构造函数()()18ln f x x x =-，8x ≥，求其单调性，从而判断a ，b ，c 的大小关系. 【详解】构造()()18ln f x x x =-，8x ≥，()18ln 1f x x x +'=--，()18ln 1f x x x +'=--在[)8,+∞时为减函数，且()295558ln81ln8ln e 204444f =-+-=-<-=-<'，所以()18ln 10f x x x=-+-<'在[)8,+∞恒成立，故()()18ln f x x x =-在[)8,+∞上单调递减，所以()()()8910f f f >>，即10ln89ln98ln10>>，所以10988910>>，即a b c >>. 故选：D2.（2022·四川宜宾·二模（文））已知1011910911a b c ===，，，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．b a c << C ．a b c << D ．c b a << 【答案】A【分析】先构造函数()()()20ln 9f x x x x =-≥，求导确定函数单调性，即可判断,,a b c 的大小.【详解】令()()()20ln 9f x x x x =-≥，则()120()ln 20ln 1f x x x x x x'=-+-⋅=-+-，显然当9x ≥时，()'f x 是减函数且20(9)ln 9109f '=-+-<，故()f x 是减函数，(9)(10)(11)f f f >>，即1110911ln 910ln109ln11,ln 9ln10ln11>>>>， 可得1110991011>>，即c a b <<. 故选：A.3.（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））设15ln13a =，14ln14b =，13ln15c =，则（ ） A ．a c b >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a b c >> 【答案】D【分析】构造函数()()()14ln 14f x x x =+-，利用函数()f x 的导数讨论函数()f x 的单调性.【详解】令()()()14ln 14f x x x =+- ，[]11x ∈-，，则()()1413=ln 14ln1501415x f x x x +'--<-<-， 所以()()()14ln 14f x x x =+-在[]11-，上单调递增 ，所以()()()101f f f -<<，即13ln1514ln1415ln13<<，所以，a b c >> 故选：D【题型二】对数函数基础构造2：lnx/x 型【典例分析】(2022·全国·模拟预测）已知1e a b <<<，有以下结论：①b aa b <；①ee ab ab >；①ee ab aa <；①ee b ba a <，则其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C【分析】构造()ln xf x x =，()1,e x ∈，利用导函数得到其单调性，从而比较出①，①，在①的基础上得到①的正误，根据()xg x a =的单调性及①得到①的正误..【详解】设()ln x f x x =，()1,e x ∈，则()21ln 0x f x x -'=>在()1,e x ∈上恒成立，所以()ln xf x x=在()1,e x ∈上单调递增，因为1e a b <<<，所以ln ln a ba b<，即ln ln b a a b <，因为ln y x =单调递增，所以b a a b <，①正确； ln ln e 1e e b b <=，即ln eaba b <， 因为ln y x =单调递增，所以e <e ab a b ，①错误； 因为b a a b <，所以e <e ab b a ，①正确；因为()xg x a =单调递增，1e a b <<< 所以a b a a <，所以e <e aba a ，①正确. 故选：C【变式演练】1.（2022·全国·高三专题练习）23(2ln 3)1ln 3,,3a b c e e -===，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A ．a c b << B ．c a b << C ．a b c << D ．b a c <<【答案】A【分析】构造函数ln ()x f x x =，应用导数研究其单调性，进而比较2()3e af =，()b f e =，(3)c f =的大小，若ln x t x =有两个解12,x x ，则121x e x <<<，1(0,)t e ∈，构造2(1)()ln (1)1x g x x x x -=->+，利用导数确定()0>g x ，进而得到212121ln ln 2x x x x x x ->-+，即可判断a 、c 的大小，即可知正确选项.【详解】令ln ()x f x x =，则222ln 3()33e e af e ==，ln ()e b f e e ==，ln 3(3)3c f ==，而21ln ()x f x x -'=且0x >，即0x e <<时()f x 单调增，x e >时()f x 单调减，又2133ee <<<，①b c >，b a >. 若ln x t x =有两个解12,x x ，则121x e x <<<，1(0,)t e ∈，即2121ln ln x x t x x -=-，1212ln x x x x t+=， 令2(1)()ln (1)1x g x x x x -=->+，则22(1)()0(1)x g x x x -'=>+，即()g x 在(1,)+∞上递增， ①()(1)0g x g >=，即在(1,)+∞上，2(1)ln 1x x x ->+，若21x x x =即212121ln ln 2x x x x x x ->-+，故122ln t t x x >，有212x x e >①当23x =时，213e e x >>，故21()()(3)3e f f x f <=，综上：b c a >>.故选：A2.（2022·湖北·宜都二中高三开学考试）已知44ln5,5ln4,5ln a b c πππ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．c a b << B ．a b c << C ．a c b << D ．c b a << 【答案】B【分析】令()()ln e xf x x x=≥，利用导数判断()f x 在()e,+∞上的单调性，即可得,,a b c 的大小关系.【详解】令()()ln e xf x x x=≥，可得()1ln 1ln x x x x f x x x ⋅--'==，当x e ≥时，()0f x '≤恒成立，所以()ln xf x x=在()e,+∞上单调递减，所以()()()π45f f f >>，即ln πln 4ln 5π45>>，可得4ln ln 4ππ>，5ln44ln5>，所以4ln ln 4，5ln 44ln5， 所以4π5ln π5ln 4>，ππ5ln 44ln5>，即c b >，b a >.所以a b c <<.故选：B.3.（2022·全国·高三专题练习（理））设20222020a =，20212021b =，20202022c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．c b a >> 【答案】A【分析】由于ln2020ln 2021ln2021ln 2022a b =，所以构造函数()()2ln 1xf x x e x =≥+，利用导数判断其为减函数，从而可比较出()()202020210f f >>，进而可比较出,a b 的大小，同理可比较出,b c 的大小，即可得答案【详解】①ln2020ln 2022ln20202021ln2021ln 2021ln20212022a b ==，构造函数()()2ln 1x f x x e x =≥+，()()21ln 1x x x f x x x +-'=+， 令()1ln g x x x x =+-，则()ln 0g x x '=-<，①()g x 在)2,e ⎡+∞⎣上单减，①()()2210g x g e e ≤=-<，故()0f x '<， ①()f x 在)2,e ⎡+∞⎣上单减，①()()202020210f f >>，①()()2020ln 1ln 2021f a b f =>①ln ln a b >.①a b >，同理可得ln ln b c >，b c >，故a b c >>，故选：A【题型三】指数函数基础构造【典例分析】设正实数a ，b ，c ，满足2ln 2a c e b b ce ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b a c << 福建省福州格致中学2022届高三10月月考数学试题 【答案】B 【分析】通过构造函数()(0)x f x xe x =>，利用导数判断函数的单调性，并判断c 的范围，通过变形得c b e =，得,b c 的大小关系，再直接解方程求a 的范围，最后三个数比较大小. 【详解】设()(0)x f x xe x =>，0x >时，()()10xf x x e '=+>恒成立，()f x 在(0,)+∞单调递增，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x e ⎫∈⎪⎝⎭2<，所以1,12c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ln ln ln b c b b b e ce =⋅=，故ln b c =，即)c b e e =∈，而ln 2122a =<，所以a c b <<．故选：B【变式演练】1.已知,,a b c ∈R .满足3220ln ln ln b a cb a c==-<.则a ，b ，c 的大小关系为（ ）.A ．c a b >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >> 2020届湖北省高三下学期5月高考模拟调研考试理科数学试题 【答案】A 【分析】根据指数函数值域可确定1c >，(),0,1a b ∈；构造函数()()201ln xf x x x=<<，利用导数可知()f x 在()0,1上单调递减，利用232ln ln ln a b ba b b=<可知b a <，由此可得结果. 【详解】30b >，20a >，20c >，ln 0b ∴<，ln 0a <，ln 0c >， 01b ∴<<，01a <<，1c >；320b b>>，ln 0b <，232ln ln ln a b b a b b∴=<， 令()()201ln xf x x x=<<，则()()()22122ln 2ln 2ln 2ln ln ln x x x x x x x f x x x ⎛⎫⋅-⋅- ⎪⎝⎭'==， 当01x <<时，ln 0x <，10x-<，()0f x '∴<，()f x ∴在()0,1上单调递减， 22ln ln a ba b<，即()()f a f b <，b a ∴<，c a b ∴>>.故选：A . 2.已知22,32a b a b +=+=，则lg b a 与lg a b 的大小关系是（ ） A ．lg lg b a a b < B ．lg lg b a a b = C ．lg lg b a a b > D ．不确定 【答案】C 【分析】令()()2,3x xf x xg x x =+=+，结合题意可知01b a <<<，进而有b b a a b b >>，再利用对数函数的单调性和运算性质即可求解 【详解】令()()2,3x xf x xg x x =+=+，则当0x >时，()()g x f x >，当0x <时，()()g x f x <；由22,32a b a b +=+=，得()()2,2f a g b ==考虑到()()2f a g b ==得01b a <<<，b b a a b b ∴>>由b a a b >，得()()lg lg b aa b >，即lg lg b a a b >故选：C3.已知实数1232a e =，2343b e =，6787c e =，(e 为自然对数的底数)则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c b a << D ．b a c << 【答案】A 【分析】由已知实数的形式构造函数11()x xx f x e x-+=，即有(2),(3),(7)a f b f c f ===，利用导数研究()f x 的单调性，再比较对应函数值的大小即可. 【详解】由题意，令11()x xx f x e x-+=，则(2),(3),(7)a f b f c f ===，而13()x xe f x x -'=，所以0x >时()0f x '>，即()f x 在(0,)+∞上单调递增，①(2)(3)(7)f f f <<，即a b c <<， 故选：A【题型四】“取对数”法【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）已知ln72a =，ln 63b =，ln54c =，则（ ）A ．b c a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．a c b << 【答案】B【分析】对a ，b ，c 取对数，探求它们的结构特征，构造函数()()ln ln 9f x x x =⋅-(24x ≤≤)，借助导数判断单调性即可作答.【详解】对a ，b ，c 取对数得：ln ln2ln7a =⋅，ln ln3ln6b =⋅，ln ln4ln5c =⋅，令()()ln ln 9f x x x =⋅-(24x ≤≤)，()()ln 9x f x x-'=-()()()9ln 9ln ln 99x x x xx x x x ---=--， 令()ln ,1g x x x x =>，()ln 10g x x '=+>，即()ln g x x x =在(1,)+∞上单调递增， 由24x ≤≤得，951x x -≥>>，于是得()()9ln 9ln x x x x -->，又()90x x ->， 因此，()0f x '>，即()f x 在[]2,4上单调递增，从而得()()()234f f f <<， 即ln2ln7ln3ln6ln4ln5<<，ln ln ln a b c <<，所以a b c <<. 故选：B【变式演练】1.（2021·全国·高三专题练习）已知实数(),,0,a b c e ∈，且33a a =，44b b =，55c c =，则（ ） A ．c b a << B ．b c a << C ．a c b << D ．a b c << 【答案】A【分析】将已知的等式两边取对数可得ln 3ln 3a a =，ln 4ln 4b b =，ln 5ln 5c c =.设函数()ln xf x x=，求导，分析导函数的正负，得出所令函数的单调性，由此可得选项．【详解】由33a a =，44b b =，55c c =得ln33ln a a =，ln44ln b b =，ln55ln c c =，因此ln 3ln 3a a =，ln 4ln 4bb=，ln 5ln 5cc=. 设函数()ln xf x x=，则()()3f f a =，()()4f f b =，()()5f f c =，()21ln xf x x-'=，令()0f x '=，得x e =，所以()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， 所以()()()345f f f >>，即()()()f a f b f c >>，又(),,0,a b c e ∈， 所以a b c >>，故选：A.2.（2022·全国·高三专题练习）已知3.9 3.8 3.9 3.83.9, 3.9, 3.8, 3.8a b c d ====，则a b c d ,,,的大小关系为（ ） A ．d c b a <<< B ．d b c a <<< C ．b d c a <<< D ．b c d a <<< 【答案】B【分析】构造函数()ln xf x x=，利用导数判断函数的单调性，可得()3.9(3.8)f f <，从而可得 3.8 3.93.9 3.8<，再由 3.8y x =在()0,∞+上单调递增，即可得出选项.【详解】构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=， 当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，故()ln xf x x=在(),x e ∈+∞上单调递减，所以()3.9(3.8)f f <，所以ln 3.9ln 3.83.9 3.8<，3.8ln3.9 3.9ln3.8<所以 3.8 3.9ln 3.9ln 3.8<， 3.8 3.93.9 3.8<， 因为 3.8y x =在()0,∞+上单调递增，所以 3.8 3.83.8 3.9<，同理 3.9 3.93.8 3.9<，所以 3.8 3.8 3.9 3.93.8 3.9 3.8 3.9<<<，故选：B3.已知5458<，45138<，设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，找出这三个数大小关系_________ 【答案】a b c << 【分析】把,,a b c 用换底公式变形，已知不等关系及3453>，3485<也取对数后，可把,,a b c 与中间值比较大小，从而得出结论． 【详解】由已知lg 3lg 5a =，lg 5lg8b =，lg8lg13c =，又5458<，则5lg54lg8<，①lg 54lg85b =<， 45138<，则4lg135lg8<，lg84lg135c =>， 又345125813=>=，①3lg54lg3>，lg 33lg 54a =<， 而3485126255=<=，①3lg84lg5<，lg 53lg84b =>， 综上有a b c <<．故答案为：a b c <<．【题型五】指数切线构造：()e 1x x -+【典例分析】（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））设a ＝1101，b ＝ln1.01，c ＝0.01e 1-，则（ ） A ．a <b <c B ．b <c <a C ．b <a <c D ．c <a <b 【答案】A【分析】观察式子的结构，进而设 1.01x =，然后构造函数，随即通过求解函数的单调性得到答案.【详解】设 1.01x =，所以111,ln ,e 1x a b x c x-=-==-，设()()()e 11xf x x x =-+>，则()e 10xf x '=->，所以()f x 在（1，+∞）单调递增， 所以()()()21e 20e 10e 1x xf x f x x >=->⇒-+>⇒>+…①，所以1e x x ->…①，由①，()1111ln 11ln 1ln 1ln ln 1x x x x x x x x x x->+⇒->⇒->⇒->-⇒>-…①，由①，1ln x x ->…①，由①①，1e 11ln x x x -->->，则c >b ， 由①，b >a ，所以c >b>a . 故选：A.【变式演练】1.（2022·河南·模拟预测（理））已知0.2111.2,,9a b c e ===，则（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．a c b << D ．c b a <<【答案】C【分析】构造函数()()10xf x e x x =-->，()(1)(1)(01)x xg x x e x e x -<--<=+，利用导数研究函数的单调性，得出()f x ，()g x 的单调性，得出1(0)x e x x >+>，令0.2x =，可得出a c <，再由得出的21(01)1xx e x x+<<<-，令0.1x =，得出c b <，从而得出结果．【详解】解：先证1(0)x e x x >+>，令()()10x f x e x x =-->，则()10x f x e '=->，可知()f x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00f x f >=，即1(0)x e x x >+>，令0.2x =，则0.2 1.2e >，所以a c <；再证21(01)1xx e x x+<<<-即证(1)(1)x x x e x e -+>-， 令()(1)(1)(01)x x g x x e x e x -<--<=+，则()()0x xg x x e e -'=->， 所以()g x 在()0,1上单调递增，所以()()00g x g >=，即21(01)1xxe x x+<<<-， 令0.1x =，则0.2119e <，所以c b <，从而a c b <<． 故选：C.2.（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知0.05a e =，ln1.112b =+，c = ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a c b >> 【答案】D【分析】利用导数可求得1x e x >+，ln 1≤-x x ；分别代入0.1x =和 1.1x =，整理可得,,a b c 的大小关系.【详解】令()()10x f x e x x =-->，则()10xf e x ='->，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，()()00f x f ∴>=，即1x e x >+，0.1 1.1e ∴>，0.05e ∴>a c >；令()ln 1g x x x =-+，则()111xg x x x-'=-=， ∴当()0,1x ∈时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<；()g x ∴在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()()10g x g ∴≤=，ln 1x x ∴≤-（当且仅当1x =时取等号），1∴，即ln 12x +≤1x =时取等号），ln1.112∴+<b c <； 综上所述：a c b >>.故选：D.3.（2022·全国·高三专题练习）已知991001101,,ln101100-===a b e c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b a c << 【答案】B【解析】首先设()1x f x e x =--，利用导数得到()10x e x x >+≠，从而得到9910099111100100101b e a -=>-+=>=，设()ln 1g x x x =-+，利用导数得到()ln 11x x x <-≠，从而得到b c >和c a >，即可得到答案.【详解】设()1x f x e x =--，()1xf x e '=-，令()0f x '=，解得0x =.(),0x ∈-∞，()0f x '<，()f x 为减函数，()0,x ∈+∞，()0f x '>，()f x 为增函数.所以()()00f x f ≥=，即10x e x --≥，当且仅当0x =时取等号.所以()10xe x x >+≠.故9910099111100100101b ea -=>-+=>=，即b a >.设()ln 1g x x x =-+，()111x g x x x -'=-=，令()0g x '=，解得1x =.()0,1x ∈，()0g x '>，()g x 为增函数，()1,x ∈+∞，()0g x '<，()g x 为减函数.所以()()10g x g ≤=，即ln 10x x -+≤，当且仅当1x =时取等号.所以()ln 11x x x <-≠.所以1011011ln 1100100100c =<-=，又因为1100b >，所以bc >. 又因为()ln 11x x x ->-+≠，所以1011001001ln ln 1100101101101c a ==->-+==， 即c a >，综上b c a >>.故选：B【题型六】对数切线构造【典例分析】（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）已知12a >且122e a a -=，13b >且133e b b -=，14c >且144e c c -=，则（ ）A ．ln ln ln a b c bc ac ab <<B ．ln ln ln a c bbc ab ac << C ．ln ln ln c b a ab ac bc << D ．ln ln ln b a cac bc ab << 【答案】A【分析】对已知的等式进行变形，转化成结构一致，从而构造函数，确定构造的函数的性质，得到a 、b 、c 的大小，再根据选项构造函数，借助函数的单调性比较大小即可.【详解】由已知条件，对于122e a a -=，两边同取对数，则有1ln 2ln 2a a +=-，即111ln ln 2ln 222a a -=+=-，同理：11ln ln 33b b -=-；11ln ln 44c c -=-构造函数()ln f x x x =-，则()12f a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()13f b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()14f c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.对其求导得：()()10x f x x x -'=> ∴当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；又12a >，13b >，14c >1a b c ∴<<<再构造函数()ln g x x x =，对其求导得：()()ln 10g x x x '=+>∴当10x e <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x e>时，()0g x '>，()g x 单调递增；()()()g a g b g c ∴<<即：ln ln ln a a b b c c << 又0abc >ln ln ln a b cbc ac ab<<∴.故选：A. 【提分秘籍】 基本规律指数和对数放缩法基础图【变式演练】1..（2022·山西运城·高三期末（理））已知(),,0,a b c ∈+∞，且121e e2aa --=+，131e e 3b b --=+，151e e 5cc --=+，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】C【分析】构造函数()e xf x x =-，利用导函数可得函数的单调性，又()12f a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()13f b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()15f c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,,0a b c >，即得.【详解】由题可得121e e 2a a --=+，131e e 3b b --=+，151e e 5c c --=+.令()e x f x x =-，则()e 1xf x '=-，令()0f x '=，得0x =，①()0,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增，(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在(),0∞-上单调递减，又()12f a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()13f b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()15f c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,,0a b c >，由111235-<-<-，可知111235f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫->->- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即()()()f a f b f c >>，①c b a <<. 故选：C.2.（2021·四川·双流中学高三阶段练习（理））已知4ln 0,5ln 0,6ln 0456a b ca b c -=≠-=≠-=≠，则（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．a c b << 【答案】A【分析】根据给定条件构造函数()ln (0)f x x x x =->，探讨函数的单调性，借助单调性进行推理即可得解.【详解】令函数()ln (0)f x x x x =->，则11()1x f x x x'-=-=，则有()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，且x 趋近于0和趋近于正无穷大时，()f x 值都趋近于正无穷大，由4ln 04aa -=≠得，ln 4ln4a a -=-，即()(4)f a f =，且4a ≠，显然01a <<，若1a ≥，而()f x 在(1,)+∞上单调递增，由()(4)f a f =必有4a =与4a ≠矛盾，因此得01a <<，同理，由5ln 05bb -=≠得()(5)f b f =，且5b ≠，并且有01b <<，由6ln 06cc -=≠得()(6)f c f =，且6c ≠，并且有01c <<，显然有(4)(5)(6)f f f <<，于是得()()()f a f b f c <<，又()f x 在(0,1)上单调递减， 所以c b a <<.故选：A3.（2022·全国·高三专题练习）已知e 2.71828≈是自然对数的底数，设132,,ln 2e ea b c ==-，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【分析】首先设()xf x e=，利用导数判断函数的单调性，比较,a b 的大小，设利用导数判断1x e x ≥+，放缩ln 2c ，再设函数()ln xg x x e=-，利用导数判断单调性，得()20g >，再比较,b c 的大小，即可得到结果.【详解】设()xf xe=，()1f x e '=，当204e x ≤<时，()0f x '>，函数单调递增，当24ex >时，()0f x '<，函数单调递减，()()3,2a f b f ==，2234e <<时，()()32f f <，即a b <，设1x y e x =--，1x y e '=-，(),0-∞时，0y '<，函数单调递减，()0,∞+时，0y '>，函数单调递增，所以当0x =时，函数取得最小值，()00f =，即1x e x ≥+恒成立，即1> 令()ln x g x x e =-，()11g x e x'=-，()0,x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，(),x e ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，x e =时，函数取得最小值()0g e =，即()20g >，得：2ln 2e >2ln 2e<，即12ln 2ln 2e->，即b c <， 综上可知a b c <<故选：A【题型七】反比例构造:2(1)ln 1x x x -<+型 【典例分析】（2022·江苏·金陵中学二模）设 1.1e a =-1b =，2ln1.1c =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b << 【答案】A【分析】利用幂函数和指数函数的性质判断的范围，a 利用基本不等式判断b 的范围，构造新函数并利用导数讨论函数的单调性求出c 的范围，进而得出结果.【详解】由3e 28<32e <31.1 1.52e <e e =，所以 1.1e1.1e 0-，即0a <1.41.21.21110.1842+<-<，即0.184b <；设2(1)()ln (0)1x f x x x x -=->+，则22214(1)()0(1)(1)x f x x x x x -=-=+'≥+，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，且(1)0f =， 所以当(1,)x ∈+∞时()0f x >，即2(1)ln 1x x x ->+，当(0,1)x ∈时()0f x <，即2(1)ln 1x x x -<+，又1.11>，则()21.11ln1.10.0951.11->≈+，所以2ln1.10.19c =>，即0.19c >，综上，a b c <<.故选：A【变式演练】1.（2022·全国·高三专题练习）若0.2e a =，b =ln3.2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c b a >> 【答案】B【分析】构造函数()()e 10xf x x x =-->，利用导数可得0.2e 1.2b a >>=，进而可得 1.2e 3.2>，可得a c >，再利用函数()()21ln 1x g x x x -=-+，可得ln3.2 1.1>，即得.【详解】令()()e 10x f x x x =-->，则()e 10xf x '=->， ①()f x 在()0,∞+上单调递增，①0.20.21 1.2e a b >+===， 0.2 1.21.e ln 2e a >==，ln3.2c =，①()()()6551.262.7387.4,3.2335.5e e >≈≈=，① 1.2e 3.2>，故a c >，设()()21ln 1x g x x x -=-+，则()()()()()22221211011x x x g x x x x x +--=-=≥++'， 所以函数在()0,∞+上单调递增，由()10g =，所以1x >时，()0g x >，即()21ln 1x x x ->+， ①()()22121.6155ln 3.2ln 2ln1.611 1.11 1.613950--=+>+=>=+，又1 1.2 1.21,1 1.1b <<<=<，① 1.1c b >>，故a c b >>. 故选：B.2.（2022·江西·模拟预测（理））设24(2ln 4)e a -=，1e b =，ln 44c =，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A ．a c b << B ．c a b << C ．a b c << D ．b a c << 【答案】A【分析】根据a 、b 、c 的结构，构造函数()ln xf x x=，利用导数判断单调性，即可比较出a 、b 、c 的大小，得到正确答案.【详解】因为222ln4(2ln 4)4e 4e a e -==，1ln e b e e ==，ln 44c =构造函数()ln x f x x =， 则()21ln xf x x -'=，24e a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()b f e =，()4c f =，()f x 在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减.则有()b f e =最大，即a b <，c b <.若ln x t x =有两个解，则1211,0,x e x t e ⎛⎫<<<∈ ⎪⎝⎭，所以1122ln ,ln ,x tx x tx ==所以1212ln ln ,x x tx tx -=-1212ln ln ,x x tx tx +=+即2121ln ln x x t x x -=-,()()1212ln ,x x t x x =+令()()()21ln 11x g x x x x -=->+，则()()()2101x x x x g -'=>+，故()g x 在()1,+∞上单增,所以()()10g x g >=，即在()1,+∞上，()21ln 1x x x ->+.若21x x x =，则有21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，即212121ln ln 2x x x x x x ->-+. 故()122ln t t x x >，所以212x x e >.当24x =时，有214e x e <<，故()()2144e f f x f ⎛⎫<= ⎪⎝⎭所以a c <.综上所述：a c b <<. 故选：A【题型八】“零点”构造法【典例分析】（2022·广东广州·高三开学考试）设ln1.1a =，0.1e 1b =-，tan0.1c =，0.4d π=，则（ ）A ．a b c d <<<B ．a c b d <<<C ．a b d c <<<D ．a c d b <<<【答案】B【分析】观察4个数易得均与0.1有关，故考虑()()ln 1a x x =+，()e 1xb x =-，()tanc x x =，()4d x x π=在0.1x =时的大小关系，故利用作差法，分别构造相减的函数判断单调性以及与0的大小关系即可.【详解】设()()ln 1a x x =+，()e 1xb x =-，()tanc x x =，()4d x x π=，易得()()()()0000a b c d ===.设()()4e 1xy d x b x x π=--+=，则令0e 4x y π'=-=有4ln x π=，故()()y d x b x =-在4,ln π⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增.①因为10101055544525243e 3.2416162π⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>==>=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即104e π⎛⎫> ⎪⎝⎭，故410ln 1π>，即4ln 0.1π>，故()()()()0.10.1000d b d b ->-=，即d b >.①设()()e 1tan xy b x c x x --=-=，则222e 1cos 1c e os cos x xy x x x'=--=，设()2cos e 1x f x x =-，则()()()22cos 2si e e n sin 2sin 1x x x x f x x x '==---+.设()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x '=-≥，故()sin g x x x =-为增函数，故()()00g x g ≥=，即sin x x ≥.故()()()2221e e 12x xx x x f x ⎡⎤≥--+=-++⎣'⎦，当[]0,0.1x ∈时()0f x '>， ()2cos e 1x f x x =-为增函数，故()02cos 01e 0f x ≥-=，故当[]0,0.1x ∈时()()y b x c x =-为增函数，故()()()()0.10.1000b c b c ->-=，故b c >.①设()()()tan ln 1y c x a x x x -==+-，()2221sin cos co 111s x xy x x x x +-++'==，易得当()0,0.1x ∈时0y '>，故()()()()0.10.1000c a c a ->-=，即c a >. 综上d b c a >>>故选：B【变式演练】1.．（2020·北海市北海中学高三）已知1x ＝1ln 2，2x ＝12e -，3x 满足33ln xe x -=，则下列各选项正确的是 A ．132x x x << B ．123x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<【答案】B【详解】因为函数ln y x =在()0,∞+上单调递增，所以11lnln102x =<=；12212101x ee-<====<；因为3x 满足33ln x e x -=，即3x 是方程1ln 0xx e ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的实数根，所以3x 是函数()1ln xf x x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点，函数f (x )在定义域内是减函数，因为()11f e =，()110ef e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以函数有唯一零点，即()31,x e ∈.所以123x x x <<.【题型九】“跨界”构造：切、弦、指、对构造【典例分析】（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）已知0.21,ln1.2,tan 0.2e a b c =-==，其中e 2.71828=为自然对数的底数，则（ ） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．a b c >> 【答案】B【分析】观察0.21,ln1.2,tan 0.2e a b c =-==，发现都含有0.2，把0.2换成x ，自变量在(0,1)或其子集范围内构造函数，利用导数证明其单调性，比较,,a b c 的大小.【详解】令cos cos sin ()1tan cos e e x xx x x f x x x--=--=，04x π<<，令()cos cos sin e x g x x x x =--，()(sin cos )sin cos (1)(cos sin )e e xx g x x x x x x x '=-++-=-⋅-，当04x π<<时，()0g x '>，()g x 单调递增， 又(0)110g =-=，所以()0>g x ，又cos 0x >，所以()0f x >，在(0,)4π成立，所以(0.2)0f >即a c >，令()ln(1)h x x x =+-，1()111x h x x x -=-=++'，()h x 在(0,)2x π∈为减函数，所以()(0)0h x h <=，即ln(1)x x +<，令()tan m x x x =-，21()1cos m x x '=-，()m x 在(0,)2x π∈为减函数，所以()(0)0m x m <=，即tan x x <， 所以ln(1)tan x x x +<<，(0,)2x π∈成立， 令0.2x =，则上式变为ln(0.21)0.2tan 0.2+<<，所以0.2b c << 所以b c <， 所以b c a <<. 故答案为：B.【变式演练】1.（2022·全国·高三专题练习）设0.02e 1a =-，()0.012e 1b =-，sin0.01tan0.01c =+，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．b c a >> 【答案】A【详解】因为()20.020.010.01e 2e 1e 10a b -=-+=->，所以a b >．设()()2e 1sin tan x f x x x =---，则()f x '=212e cos cos xx x --，令()()g x f x '=，则32sin ()2e sin cos xx g x x x'=+-．当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2e 2x >，sin 0x >，33π2sin2sin 62πcos cos 6x x <<，所以()0g x '>，所以当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()(0)0f x f ''>=，所以()f x 在π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递 2.（2022·四川·广安二中模拟预测（理））已知0πx y <<<，且e sin e sin y x x y =，其中e 为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ） A ．co co s 0s x y +<B ．cos cos 0x y +>C ．cos sin x y >D ．sin sin x y >【答案】B【分析】构造()sin e xxf x =，0πx <<，求导研究其单调性，判断出D 选项，利用同角三角函数关系得到AB 选项，构造差函数，得到π2x y >-，从而判断出C 选项.【详解】构造()sin e x x f x =，0πx <<，则()sin 0e x x f x =>恒成立，则()cos sin e xx xf x -'=，当π04x <<时，cos sin x x >，()cos sin 0e xx x f x -'=>， 当ππ4x <<时，cos sin x x <，()cos sin 0e xx xf x -'=< 所以()sin e x x f x =在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在π,π4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，因为0πx y <<<，所以π0π4x y <<<<，0e e x y <<， 又sin sin 0e ex y x y=>，所以0sin sin x y <<，D 错误，因为π0π4x y <<<<，所以cos 0x，cos y所以cos cos x y >，所以cos cos 0x y +>，A 错误，B 正确.令()()π2g x f x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则π04g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()()π2ππ22sin cos e e πcos sin sin cos 2e e e x xxx x x x x x x g x f x f x --⎛⎫-- ⎪--⎛⎫⎝⎭=+-=+= ⎪⎝'⎭'' 当0πx <<时，()0g x '>恒成立，所以()()π2g x f x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在()0,π上单调递增，当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()π02g x f x f x ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，即()π2f x f x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，因为()()f x f y =，所以()π2f y f x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭。

机密★启用前普通高中调研统一测试高三数学(理工类)★祝考试顺利★注意事项：1. 本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

答卷前，请考生认真阅读答题卡上的注意事项。

考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置，将考号对应数字涂黑。

用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

2. 回答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3. 回答第II 卷时，用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4. 考生必须保持答题卡的清洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 集合A = { x | x < a }，B = { x | 1 < x < 2}，若A B =R R U ð，则实数a 的取值范围是 A ．a ≤1 B ．a < 1 C ．a ≥2 D ．a > 22. 若向量a = (2，－1，0)，b = (3，－4，7)，且(t a + b )⊥a ，则实数t 的值是 A ．0 B ．1 C ．－2 D ．23. 已知等比数列{a n }的公比为3，且a 1 + a 3 = 10，则a 2a 3a 4的值为 A ．27 B ．81 C ．243 D ．7294. 已知函数y = f (x ) + x 是偶函数，且f (2) = 1，f (－2) = A ．1 B ．5 C ．－1 D ．－55. 由曲线3y x =与直线4y x =所围成的平面图形的面积为 A ．4 B ．8 C ．12 D ．166.f (x )是定义在R 上的以2为周期的奇函数，f (3) = 0，则函数y = f (x )在区间(－2，5)内的零点个数为 A ．6B ．5C ．4D ．37. 实数x 、y 满足条件104312020x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪-⎩≥≤≥，则211x y z x -+=+的最大值为A ．45B ．54C ．916D ．128. 向量a 、b 、c 满足a + b + c = 0，a ⊥b ，(a －b )⊥c ，||||||||||||M a =++a b c b c ，则M = A ．3 B ．32 C ．22+D ．321+9. 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且2EF =，则下列结论中错误的是A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．异面值线AE 、BF 所成的角为定值10. 将函数()sin(2)6f x x π=+的图像向左平移(0)2πϕϕ<<个单位得到()y g x =的图像，若对满足12|()()|2f x g x -=的x 1、x 2，12min ||4x x π-=，则ϕ的值是A ．6πB ．4πC ．3πD ．512π 11. 若定义在R 上的函数f (x )满足(0)1f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定正确的是A ．11()f k k<B ．11()1f k k >- C ．11()11f k k >-- D ．1()11kf k k >-- 12. 已知F 1、F 2分别是双曲线C ：22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点，若F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，| OF 1 |为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为A ．3B ．3C ．2D ．2第Ⅱ卷第Ⅱ卷包括必考题和选考题两部分。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023年武汉市高中毕业生四月调研考试数学试卷的。

1.已知集合，，则( )A. B.C.D.2.若复数是纯虚数，则实数( )A. B. C. D.3.已知，则( )A.B.C. D. 4.正六边形ABCDEF 中，用和表示，则( )A.B.C.D. 5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题.现有这样一个问题：将正整数中能被3除余1且被2除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则( )A. 55 B. 49C. 43D. 376.设抛物线的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上位于第一象限内的一点，过P 作l 的垂线，垂足为Q ，若直线QF 的倾斜角为，则( )A. 3B. 6C. 9D. 127.阅读下段文字：“已知为无理数，若为有理数，则存在无理数，使得为有理数;若为无理数，则取无理数，，此时为有理数.”依据这段文字可以证明的结论是( )A.是有理数B.是无理数C. 存在无理数a ，b ，使得为有理数D. 对任意无理数a ，b ，都有为无理数8.已知直线与函数的图象恰有两个切点，设满足条件的k 所有可能取值中最大的两个值分别为和，且，则( )A.B.C.D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：则下列结论中正确的是( )A. 招商引资后，工资性收入较前一年增加B. 招商引资后，转移净收入是前一年的倍C. 招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的D. 招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍10.椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的可能取值有( )A. B.C.D.11.函数的图象可能是( )A.B.C.D.12.三棱锥中，，，，直线PA与平面ABC所成的角为，直线PB与平面ABC所成的角为，则下列说法中正确的有( )A. 三棱锥体积的最小值为B. 三棱锥体积的最大值为C. 直线PC与平面ABC所成的角取到最小值时，二面角的平面角为锐角D. 直线PC与平面ABC所成的角取到最小值时，二面角的平面角为钝角三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省七市（州）高三三月联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i505的虚部为（）A．﹣i B．i C．﹣l D．l2．命题“∀x∈[﹣2，+∞），x+3≥l“的否定为（）A．∃x0[﹣2，+∞），x0+3＜1 B．∃x0[﹣2，+∞），x0+3≥lC．∀x∈[﹣2，+∞），x+3＜1 D．∀x∈（﹣∞，﹣2），x+3≥l3．二项式的展开式中x的系数等于（）A．84 B．24 C．6 D．﹣244．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2000斛（1丈=10尺，l尺=10寸，斛为容积单位，l斛≈1.62立方尺，π≈3），则圆柱底圆周长约为（）A．l丈3尺B．5丈4尺C．9丈2尺D．48丈6尺5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=（）A．4 B．5 C．6 D．76．己知函数f（x）=sinx+cosx（x∈R），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，则θ的最小值为（）A．B．C．D．7．己知直线ax+by﹣6=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为2，则ab的最大值是（）A．9 B．C．4 D．8．T为常数，定义f T（x）=，若f（x）=x﹣lnx，则f3[f2（e）]的值为．（）A．e﹣l B．eC．3 D．e+l9．设M，N是抛物线C：y2=2px（p＞0）上任意两点，点E的坐标为（﹣λ，0）（λ≥0），若•的最小值为0，则λ=（）A．0 B．C．p D．2p10．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为（）A．B．2C．3D．411．已知集合P={n|n=2k﹣1，k∈N+，k≤50}，Q={2，3，5}，则集合T={xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为（）A．147 B．140 C．130 D．11712．设向量=（1，k），=（x，y），记与的夹角为θ．若对所有满足不等式|x﹣2|≤y≤1的x，y，都有θ∈（0，），则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．观察下列等式l+2+3+…+n=n（n+l）；l+3+6+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）；1+4+10+…n（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3）；可以推测，1+5+15+…+n（n+1）（n+2）（n+3）=_______．14．函数f（x）=3﹣x+x2﹣4的零点个数是_______．15．如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°．若A，B两点相距130m，则塔的高度CD=_______ m．16．平面区域A1={（x，y）|x2+y2＜4，x，y∈R}，A2={（x，y）||x|+|y|≤3，x，y∈R）．在A2内随机取一点，则该点不在A1的概率为_______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}，等比数列{b n}满足：a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和S n．18．某电子商务公司随机抽取l 000名网络购物者进行调查．这1000名购物者2015年网上购物金额（单位：万元）均在区间[0.3，0.9]内，样本分组为：[0.3，0.4），[0.4，0.5），[0.5，0.6），[0.6，0.7），[0.7，0.8），[0.8，0.9]．购物金额的频率分布直方图如下：电商决定给抽取的购物者发放优惠券；购物金额在[0.3，0.6）内的购物者发放100元的优惠券，购物金额在[0.6，0.9]内的购物者发放200元的优惠券，现采用分层抽样的方式从获得100元和200元优惠券的两类购物者中共抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得优惠券总金额X（单位：元）的分布列和均值．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．（1）证明EF∥平面SAD；（2）设SD=2DC，求二面角A﹣EF﹣D的余弦值．20．已知圆心为H的圆x2+y2+2x﹣15=0和定点A（1，0），B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH 相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为椭圆，记为C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆C相交于P，Q和E，F，求的取值范围．21．（Ⅰ）求函数f（x）=8cosx﹣6cos2x+cos4x在[0，）上的最小值；（Ⅱ）设x∈（0，），证明：sinx﹣sin2x＜x＜sinx﹣sin2x+sin4x；（Ⅲ）设n为偶数，且n≥6．单位圆内接正n边形面积记为S n．（1）证明：S2n一S n＜π＜S2n一2S n+；（2）已知1.732＜＜1.733，3.105＜S24＜3.106，证明：3.14＜π＜3.15．四.请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，E是圆内两弦AB和CD的交点，F为AD延长线上一点，FG切圆于G，且FE=FG．（I）证明：FE∥BC；（Ⅱ）若AB⊥CD，∠DEF=30°，求．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，曲线C2的极坐标方程为ρ=2 acos（θ﹣）（a＞0）．（I）求直线，与曲线C1的交点的极坐标（P，θ）（p≥0，0≤θ＜2π）．（Ⅱ）若直线l与C2相切，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）≥（x+l）；（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）﹣|x﹣2|的值域为A，若A⊆[1，3]，求a的取值范围．湖北省七市（州）高三联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i505的虚部为（）A．﹣i B．i C．﹣l D．l【考点】虚数单位i及其性质．【分析】直接利用虚数单位i的运算性质得答案．【解答】解：i505=（i4）126•i=i，∴i505的虚部为1．故选：D．2．命题“∀x∈[﹣2，+∞），x+3≥l“的否定为（）A．∃x0[﹣2，+∞），x0+3＜1 B．∃x0[﹣2，+∞），x0+3≥lC．∀x∈[﹣2，+∞），x+3＜1 D．∀x∈（﹣∞，﹣2），x+3≥l【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以“∀x∈[﹣2，+∞），x+3≥l“的否定为，∃x0[﹣2，+∞），x0+3＜1故选：A．3．二项式的展开式中x的系数等于（）A．84 B．24 C．6 D．﹣24【考点】二项式系数的性质．【分析】T r+1==99﹣r，令=1，解得r即可得出．【解答】解：T r+1==99﹣r，令=1，解得r=6．∴二项式的展开式中x的系数==84．故选：A．4．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2000斛（1丈=10尺，l尺=10寸，斛为容积单位，l斛≈1.62立方尺，π≈3），则圆柱底圆周长约为（）A．l丈3尺B．5丈4尺C．9丈2尺D．48丈6尺【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据圆柱的体积和高计算出圆柱的底面周长，从而求出圆周的底面周长．【解答】解：由题意得，圆柱形谷仓底面半径为r尺，谷仓高h=尺．于是谷仓的体积V==2000×1.62．解得r≈9．∴圆柱圆的周面周长为2πr≈54尺．故选B．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】用列举法，通过循环过程直接得出S与n的值，得到n=3时退出循环，即可计算得到s的值．【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得：s=1，n=1n=2，s=﹣3，满足条件n＜3，n=3，s=﹣3+（﹣1）4•32=6，不满足条件n＜3，退出循环，输出s的值为6．故选：C．6．己知函数f（x）=sinx+cosx（x∈R），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x=对称，则θ的最小值为（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：函数f（x）=sinx+cosx（x∈R）=2sin（x+），先将y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得y=2sin（2x+）的图象；再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=2sin[2（x﹣θ）+]=2sin（2x+﹣2θ）的图象．再根据得到的图象关于直线x=对称，可得2•+﹣2θ=kπ+，k∈z，则θ的最小值为，故选：A．7．己知直线ax+by﹣6=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为2，则ab的最大值是（）A．9 B．C．4 D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的性质及点到直线的距离公式得圆心（1，2）在直线ax+by﹣6=0上，而a+2b=6，由此利用均值定理能求出ab的最大值．【解答】解：∵圆x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心（1，2），半径r==，直线ax+by﹣6=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为2，∴圆心（1，2）在直线ax+by﹣6=0上，∴a+2b=6，∵a＞0，b＞0，∴2ab≤（）2=9，∴ab≤，∴当且仅当a=2b=3时，ab取最大值．故选：B．8．T为常数，定义f T（x）=，若f（x）=x﹣lnx，则f3[f2（e）]的值为．（）A．e﹣l B．eC．3 D．e+l【考点】函数的值．【分析】由条件先求出f（e），根据f T（x）求出f2（e），再求出f3[f2（e）]的值．【解答】解：由题意可得，f（e）=e﹣lne=e﹣1＜2，则f2（e）==2，又f（2）=2﹣ln2＜2，所以f3（2）==3，即f3[f2（e）]=3，故选：C．9．设M，N是抛物线C：y2=2px（p＞0）上任意两点，点E的坐标为（﹣λ，0）（λ≥0），若•的最小值为0，则λ=（）A．0 B．C．p D．2p【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用数量积公式，结合配方法、的最小值为0，即可求出λ．【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），则=（x1+λ，y1）•（x2+λ，y2）=x1x2+λ（x1+x2）+λ2+y1y2=+λ•+λ2﹣p2，∵的最小值为0，∴λ=．故选：B．10．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为（）A．B．2C．3D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由一个三棱柱截去一个四棱锥（底面在侧面上）剩下的几何体．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由一个三棱柱截去一个四棱锥（底面在侧面上）剩下的几何体．∴该几何体的体积=×22×3﹣=2．故选：B．11．已知集合P={n|n=2k﹣1，k∈N+，k≤50}，Q={2，3，5}，则集合T={xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为（）A．147 B．140 C．130 D．117【考点】元素与集合关系的判断；集合的表示法．【分析】由题意得到集合P的元素是大于等于1且小于等于99的奇数，逐一与2，3，5相乘，除去重复的元素得答案．【解答】解：P={n|n=2k﹣1，k∈N+，k≤50}={n|n为大于等于1且小于等于99的奇数}，Q={2，3，5}，T={xy|x∈P，y∈Q}，当x∈P，y=2时，xy为偶数，有50个；当x∈P，y=3时，xy为奇数，有50个；当x∈P，y=5时，xy为奇数，有50个．在满足条件的奇数中，重复的有：15，45，75，105，135，165，195，225，255，285共10个．故集合T={xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为150﹣10=140．故选：B．12．设向量=（1，k），=（x，y），记与的夹角为θ．若对所有满足不等式|x﹣2|≤y≤1的x，y，都有θ∈（0，），则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】画出不等式|x﹣2|≤y≤1的可行域：△PQR及内部，画出直线l：x+ky=0，旋转直线l，观察直线在可行域的位置，即可得到所求范围．【解答】解：画出不等式|x﹣2|≤y≤1的可行域：△PQR及内部，画出直线l：x+ky=0，当k=0时，x＞0显然成立；旋转直线l，当l∥QR，即有直线l的斜率为1，可得k=﹣1，由图象可得k＞﹣1，又θ≠0，所以与不能同向，因此k＞1或k＜0；所以k的范围是﹣1＜k＜0或k＞1；故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．观察下列等式l+2+3+…+n=n（n+l）；l+3+6+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）；1+4+10+…n（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3）；可以推测，1+5+15+…+n（n+1）（n+2）（n+3）= n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4），（n∈N*）．【考点】归纳推理．【分析】根据已知中的等式，分析出第K个等式右边系数和因式个数的变化规律，归纳可得答案．【解答】解：根据已知中的等式：l+2+3+…+n=n（n+l）；l+3+6+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）；1+4+10+…n（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3）；归纳可得：第K个等式右边系数的分母是K!，后面依次是从n开始的K个连续整数的积，故1+5+15+…+n（n+1）（n+2）（n+3）=n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4），（n∈N*）故答案为：n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4），（n∈N*）14．函数f（x）=3﹣x+x2﹣4的零点个数是 2 ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数f（x）=3﹣x+x2﹣4的零点个数可化为函数y=3﹣x与y=4﹣x2的图象的交点的个数；从而作图滶解即可．【解答】解：函数f（x）=3﹣x+x2﹣4的零点个数可化为方程3﹣x=4﹣x2的解的个数；即函数y=3﹣x与y=4﹣x2的图象的交点的个数；作函数y=3﹣x与y=4﹣x2的图象如下，，故函数y=3﹣x与y=4﹣x2的图象共有2个交点，故答案为：2．15．如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°．若A，B两点相距130m，则塔的高度CD= 10m．【考点】解三角形的实际应用．【分析】根据方位角求出∠ADB，利用仰角的正切值得出AD，BD关系，在△ABD中使用余弦定理解出AD，BD，从而得出CD．【解答】解：作出平面ABD的方位图如图所示：由题意可知∠WAD=20°，∠EAD=40°，设∠ABE=θ，则∠WAB=θ，∴∠DBA+∠DAB=40°﹣θ+20°+θ=60°，∴∠ABD=120°，设BD=x，AD=y，则由余弦定理得AB2=x2+y2﹣2xycos∠ADB，即16900=x2+y2+xy．在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=，∴CD=，在Rt△ACD中，∵tan∠CAD=，∴CD=．∴x=3y．解方程组得．∴CD==10．故答案为：10．16．平面区域A1={（x，y）|x2+y2＜4，x，y∈R}，A2={（x，y）||x|+|y|≤3，x，y∈R）．在A2内随机取一点，则该点不在A1的概率为1﹣．【考点】几何概型．【分析】利用几何关系的概率公式求出相应的面积即可得到结论．【解答】解：平面区域A2={（x，y）|x2+y2＜4，x，y∈R}，表示为半径为2的圆及其内部，其面积为4π，A1={（x，y）||x|+|y|≤3，x，y∈R），表示正方形，其面积为6×6×=18，∴A2内随机取一点，则该点取自A1的概率为=，则不在的A1概率P=1﹣故答案为：1﹣．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}，等比数列{b n}满足：a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．可得1+d=q，2（1+2d）﹣q2=1，解出即可得出．（II）当时，c n=a n b n=1，S n=n．当时，c n=a n b n=（2n﹣1）•3n﹣1，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q：∵a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．∴1+d=q，2（1+2d）﹣q2=1，解得或．∴a n=1，b n=1；或a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，b n=3n﹣1．（II）当时，c n=a n b n=1，S n=n．当时，c n=a n b n=（2n﹣1）•3n﹣1，∴S n=1+3×3+5×32+…+（2n﹣1）•3n﹣1，3S n=3+3×32+…+（2n﹣3）•3n﹣1+（2n﹣1）•3n，∴﹣2S n=1+2（3+32+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）•3n=﹣1﹣（2n﹣1）•3n=（2﹣2n）•3n﹣2，∴S n=（n﹣1）•3n+1．18．某电子商务公司随机抽取l 000名网络购物者进行调查．这1000名购物者2015年网上购物金额（单位：万元）均在区间[0.3，0.9]内，样本分组为：[0.3，0.4），[0.4，0.5），[0.5，0.6），[0.6，0.7），[0.7，0.8），[0.8，0.9]．购物金额的频率分布直方图如下：电商决定给抽取的购物者发放优惠券；购物金额在[0.3，0.6）内的购物者发放100元的优惠券，购物金额在[0.6，0.9]内的购物者发放200元的优惠券，现采用分层抽样的方式从获得100元和200元优惠券的两类购物者中共抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得优惠券总金额X（单位：元）的分布列和均值．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】利用分层抽样从1000人中抽取10人，发放100元优惠券的购物者有7人，发放200元优惠券的购物者有3人，则此3人所获优惠券的总金额X的可能取值有300，400，500，600，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和均值．【解答】解：利用分层抽样从1000人中抽取10人，发放100元优惠券的购物者有：10×（1.5+2.5+3）×0.1=7人，发放200元优惠券的购物者有：10×（2+0.8+0.2）×0.1=3人，则此3人所获优惠券的总金额X的可能取值有300，400，500，600，P（X=300）==，P（X=400）==，P（X=500）==，P（X=600）==，∴X的分布列为：X 300 400 500 600PEX=+=390．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．（1）证明EF∥平面SAD；（2）设SD=2DC，求二面角A﹣EF﹣D的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．【分析】法一：（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．要证EF∥平面SAD，只需证明EF平行平面SAD内的直线AG即可．（2）取AG中点H，连接DH，说明∠DMH为二面角A﹣EF﹣D的平面角，解三角形求二面角A﹣EF﹣D的大小．法二：（1）建立空间直角坐标系，证明，可得EF∥AG，从而EF∥平面SAD．（2）利用和的夹角等于二面角A﹣EF﹣D的平面角，根据向量的夹角公式，即可求得结论．【解答】解法一：（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．连接AG，则FG平行且等于CD，又CD平行且等于AB，∴FG平行且等于AE，∴AEFG为平行四边形．∴EF∥AG，∵AG⊂平面SAD，EF⊄平面SAD．∴EF∥平面SAD．（2）不妨设DC=2，则SD=4，DG=2，△ADG为等腰直角三角形．取AG中点H，连接DH，则DH⊥AG．又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB∩AG=A，所以DH⊥面AEF．取EF中点M，连接MH，则HM⊥EF．连接DM，则DM⊥EF．故∠DMH为二面角A﹣EF﹣D的平面角∴tan∠DMH==．∴cos∠DMH=∴二面角A﹣EF﹣D的余弦值为．解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz．设A（a，0，0），S（0，0，b），则B（a，a，0），C（0，a，0），E（a，，0），F（0，，），∴．取SD的中点G（0，0，），则．∴∴EF∥AG∵AG⊂平面SAD，EF⊄平面SAD．∴EF∥平面SAD．（2）不妨设A（1，0，0），则B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，2），E（1，，0），F（0，，1）．∴EF中点M（）∴，∴=0∴MD⊥EF又=（0，﹣，0），∴=0∴EA⊥EF，∴和的夹角等于二面角A﹣EF﹣D的平面角．∵cos＜，＞==．∴二面角A﹣EF﹣D的余弦值为．20．已知圆心为H的圆x2+y2+2x﹣15=0和定点A（1，0），B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH 相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为椭圆，记为C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆C相交于P，Q和E，F，求的取值范围．【考点】轨迹方程．【分析】（Ⅰ）由圆的方程求出圆心坐标和半径，由|MA|+|MH|=|MB|+|MH|=|BH|=4可得点M的轨迹是以A，H 为焦点，4为长轴长的椭圆，则其标准方程可求；（Ⅱ）利用向量减法法则得=，然后分直线PQ的斜率不存在、直线PQ的斜率为0及直线PQ的斜率存在且不为0时分别求解．当直线PQ的斜率存在且不为0时，设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系结合配方法求得的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由x2+y2+2x﹣15=0，得（x+1）2+y2=42，∴圆心为H（﹣1，0），半径为4，连接MA，由l是线段AB的中垂线，得|MA|=|MB|，∴|MA|+|MH|=|MB|+|MH|=|BH|=4，又|AH|=2＜4，故点M的轨迹是以A，H为焦点，4为长轴长的椭圆，其方程为；（Ⅱ）由直线EF与直线PQ垂直，可得，于是．（1）当直线PQ的斜率不存在时，则直线EF的斜率的斜率为0，此时不妨取P（），Q（），E（2，0），F（﹣2，0），∴；（2）当直线PQ的斜率为0时，则直线EF的斜率不存在，同理可得；（3）当直线PQ的斜率存在且不为0时，则直线EF的斜率也存在，于是可设直线PQ的方程为y=k（x﹣1），则直线EF的方程为y=，将直线PQ的方程代入曲线C的方程，整理得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，∴，于是，=（1+k2）[x P x Q﹣（x P+x Q）+1]=．将上面的k换成，可得，∴=，令1+k2=t，则t＞1，于是上式化简整理可得：=．由t＞1，得0，∴．综合（1）（2）（3）可知，所求的取值范围为[]．21．（Ⅰ）求函数f（x）=8cosx﹣6cos2x+cos4x在[0，）上的最小值；（Ⅱ）设x∈（0，），证明：sinx﹣sin2x＜x＜sinx﹣sin2x+sin4x；（Ⅲ）设n为偶数，且n≥6．单位圆内接正n边形面积记为S n．（1）证明：S2n一S n＜π＜S2n一2S n+；（2）已知1.732＜＜1.733，3.105＜S24＜3.106，证明：3.14＜π＜3.15．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；数列与不等式的综合．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；（Ⅱ）设g（x）=sinx﹣sin2x﹣x，设h（x）=sinx﹣sin2x+sin4x﹣x，根据函数的单调性证明即可；（Ⅲ）（1）令x=，代入sinx﹣sin2x＜x＜sinx﹣sin2x+sin4x中，整理即可；（2）得到s6=，s12=3，在S2n一S n＜π＜S2n一2S n+中，令n=12，代入整理即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣8sinx+12sin2x﹣4sin4x=8sinx（﹣1+3cosx﹣2cosxcos2x）=8sinx（1﹣cosx0（4cos2x+4cosx﹣1）；x∈（0，）时，得sinx＞0，1﹣cosx＞0，由cosx＞，得：4cos2x+4cosx﹣1＞0，古f′（x）＞0，即f（x）在[0，）递增，又f（0）=3，故f（x）在[0，）的最小值是3；（Ⅱ）设g（x）=sinx﹣sin2x﹣x，x∈（0，）时，g′（x）=cosx﹣cos2x﹣1=﹣（cosx﹣1）2＜0，故g（x）在[0，）递减，得g（x）＜g（0）=0，即sinx﹣sin2x＜x，①，设函数h（x）=sinx﹣sin2x+sin4x﹣x，h′（x）=cosx﹣2cos2x+cos4x﹣1=f（x）﹣1，x∈（0，）时，由（Ⅰ）知f（x）＞3，得h′（x）＞0，故h（x）在[0，）上递增，得h（x）＞h（0）=0，即sinx﹣sin2x+sin4x＞x，②，综合①②，x∈（0，）时，有sinx﹣sin2x＜x＜sinx﹣sin2x+sin4x；（Ⅲ）（1）令x=，得：sin﹣sin＜＜sin﹣sin+sin，即sin﹣sin＜π＜nsin﹣nsin+sin，易知s n=sin，s2n=nsin，=sin，即s2n﹣s n＜π＜S2n一2S n+；（2）易得，s6=，s12=3，在S2n一S n＜π＜S2n一2S n+中，令n=12，得：π＞s24﹣s12＞×3.105﹣×3=3.14，﹣2s12+s6＜×3.106﹣2×3+××1.733＜3.15，π＜s24综上，3.14＜π＜3.15．四.请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，E是圆内两弦AB和CD的交点，F为AD延长线上一点，FG切圆于G，且FE=FG．（I）证明：FE∥BC；（Ⅱ）若AB⊥CD，∠DEF=30°，求．【考点】相似三角形的判定；与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）利用切割线定理，EF=FG可得，利用∠EFD=∠AFE，可得△DEF∽△EAF，再利用圆周角定理证明∠DEF=∠EAF=∠DCB，即可得证FE∥BC；（Ⅱ）由已知可求∠EAD=30°，解得=tan30°=，利用相似三角形的性质即可得解的值．【解答】（本题满分为10分）证明：（Ⅰ）由切割线定理得：FG2=FA•FD．又EF=FG，所以EF2=FA•FD，即．因为∠EFD=∠AFE，所以△FED∽△EAF．又∠DAB，∠DCB都是弧DB上的圆周角，有∠DEF=∠EAF=∠DCB，所以，FE∥BC，…（Ⅱ）由AB⊥CD，得∠AED=90°．因为∠EAD=∠DEF=30°，所以=tan30°=，所以===．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，曲线C2的极坐标方程为ρ=2 acos（θ﹣）（a＞0）．（I）求直线，与曲线C1的交点的极坐标（P，θ）（p≥0，0≤θ＜2π）．（Ⅱ）若直线l与C2相切，求a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）根据C1的参数方程和直线的极坐标方程便可得出它们的直角坐标方程，联立形成方程组即可求出l与C1的直角坐标交点，再化成极坐标交点即可；（Ⅱ）可写出曲线C2的直角坐标方程，配方得到（x+a）2+（y﹣a）2=2a2，从而根据直线和圆相切时圆心到直线距离和半径的关系即可建立关于a的方程，解出a即可．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的普通方程为y=x2，，直线l的普通方程为x+y=2；联立，解得，或（舍去）；故直线l与曲线C1的直角坐标为（1，1），其极坐标为；（Ⅱ）曲线C2的直角坐标方程为x2+y2+2ax﹣2ay=0，即：（x+a）2+（y﹣a）2=2a2（a＞0）；由曲线l与C2相切，得；∴a=1．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）≥（x+l）；（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）﹣|x﹣2|的值域为A，若A⊆[1，3]，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）将a=1代入f（x），通过讨论x的范围，解不等式，从而求出不等式的解集；（Ⅱ）通过讨论a的范围，结合集合的包含关系，求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=，x＜1时，由f（x）≥（x+1），有1﹣x≥（x+1），解得：x≤，当x≥1时，f（x）≥（x+1），有x﹣1≥（x﹣1），解得：x≥3，综上，不等式的解集是（﹣∞，]∪[3，+∞）；（Ⅱ）当a＜2时，g（x）=，g（x）的值域A=[a﹣2，2﹣a]，由A⊆[﹣1，3]，得，解得：a≥1，又a＜2，故1≤a＜2，当a≥2时，g（x）=，g（x）的值域A=[2﹣a，a﹣2]，由A⊆[﹣1，3]，得，解得：a≤3，又a≥2，故2≤a≤3，综上，所求a的范围是[1，3]．。

湖北省黄冈市2020年高三年级9月质量检测全解析数学试题 2020.9.22 测试一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合2{|320},{|124}xA x x xB x =−+≤=<<，则A B =（ ）A ．{|12}x x ≤≤ B. {|12}x x <≤ C. {|12}x x ≤< D. {|02}x x ≤<解析：[]()1,2,0,2A B ==所以A B ={|12}x x ≤<，故选：C2. 已知,,,a b c d 都是常数，,a b c d .若()()()2020f x x a x b 的零点为,c d ，则下列不等式正确的是( )A ．ac d b B ．c a b d C ．a c b d D ．c d a b解析：令()()()g x x a x b ，此抛物线开口向上，且易知： ,a b 为()0g x 的两根，,c d 为()2020g x 的两根.根据图像结合,ab cd 知：cabd ，故选：B3. 已知0.42x =，2lg 5y =，0.425z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．x y z <<B ．y z x <<C ．z y x <<D ．z x y <<解析：根据常见中间值0和1比较：0.412x =>，2lg 05y =<，0.41205z ⎛⎫<= ⎝⎭<⎪，所以y z x <<，故选：B4. 若实数a ，b 满足14ab ab，则ab 的最小值为( )A.B ．2C ．D ．4解析：由题设，0,0a b >>，所以14a b +=≥= 所以4ab ≥，故选：D5. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休. 在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数(1)e sin ()e 1x xxf x =−+在区间ππ(-,)22上的图象的大致形状是( )A ．B ．C ．D ．解析：通过对函数的奇偶性和趋近研究函数图像，本题(1)e sin ()e 1x x x f x =−+，e sin()e sin )()()e 1)e (1)(1(1x x x xx x f x f x −−−−===++−−⋅−， 所以()f x 为偶函数，排除B,D ，又0,e sin 0,e 12,10,x x x x ++++−→→→→+()0f x +∴→，所以选：A6.已知向量(2,1)a，(0,)b m ，(2,4)c ，且()a b c ，则实数m 的值为( )A. 4B. 3C. 2D. 1 解析：()2,1,2,4ab mc ，又因为()a b c ，所以有：224(1)0,2m m ⨯+⨯−=∴=，故选：C7.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若4PF FQ =，则QF =（ ） A ．3B ．52C ．32D ．32或52解析：过Q 作QMl ⊥交l 于点M,设QF d =,由抛物线定义：QM d =，又4PF FQ =，所以4PF d =，设l 交x 轴于点N,根据,PF FN PNFPMQ PQ MQ∆∆∴= 即：424d d d d=+，得52QF d ==，故选：B8. 明代朱载堉创造了音乐上极为重要的“等程律”. 在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法，比如 ，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕=，太簇. 据此，可得正项等比数列{}n a 中，k a =A.n −B.n −C.D.解析：本题看选项转化为：已知首项1a 和末项n a ，求第k 项k a ，根据等数列有：()111111111111111=k k n n k n n n n k aa a a qa a a a −−−−−−−⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥=== ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

武汉市2024届高中毕业班四月调研考试高三数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数2ii 1iz =++，则z =（）A ．1B CD2．已知集合{}{}22230,40,A xx x B x x x x =--<=-<∈Z ∣∣，则A B = （）A ．{}2,3,4B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}1,2,33．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A ．若,m αβ⊥ α，则m β⊥B ．若,m αβα⊥⊂，则m β⊥C ．若m ,n αα⊥，则m n⊥D ．若m n m ,⊥ α，则n α⊥4．()()5231x x --的展开式中3x 的系数为（）A ．－50B ．－10C ．10D ．505．记0.20.20.23,0.3,log 0.3a b c -===，则（）A ．a b c >>B ．b c a>>C ．c b a>>D ．b a c >>6．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若8128,26S S ==，则4S =（）A ．1B ．2C ．3D ．47．点P 是边长为1的正六边形ABCDEF 边上的动点，则PA PB ⋅的最大值为（）A ．2B ．114C ．3D ．1348．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点为F ，其左右顶点分别为,A B ，过F 且与x 轴垂直的直线交双曲线E 于,M N 两点，设线段MF 的中点为P ，若直线BP 与直线AN 的交点在y 轴上，则双曲线E 的离心率为（）A ．2B ．3C D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。