2020年高考调研测试数学试题含答案

2020年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)2020．6一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。

1．设21(1)iz i +=-则|z|=（ ）A ．12B C ．1D2．已知集合{}{}023,22<+-===x x x B y y A x ，则（ ） A ．A∩B=AB ．A ∪B=RC ．A ⊆BD ．B ⊆A3．设α为平面，m ，n 为两条直线,若m ⊥α,则“m ⊥n ”是”n ⊂α”的 A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线2222:10,0)(y x C a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，则C 的离心率为（ ）A B ．2 C D ．35．已知定义在R 上的函数f(x)满足()()2,f x f x +=当01x ≤≤时，13()f x x =，则178f ⎛⎫⎪⎝⎭= A ．12 B ．2 C.18D ．8 6.若x 1，x 2，…，x n 的平均数为a ，方差为b ，则1223,23,23n x x x +++L 的平均数和方差分别为 A ．2a ，2bB ．2a ，4bC ．2a+3，2bD ．2a+3，4b7．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若244,2,S S ==则6S = A ．-6B ．-4C ．-2D ．08．函数()()14sin 2xxx f x -=的部分图象大致为9已知椭圆C ：22213x y a +=的右焦点为F ，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点P 满足|OF|=|FP|,则C 的方程为A ．221123x y += B.22183x y += C ．22163x y += D.22143x y += 10．下面左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB CD ⋅=u u u r u u u rA ．24B ．26C ．28D ．3211．意大利数学家斐波那契(1175年—1250年)以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即()21,n n n a a a n +++=+∈N 故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为.n n n a ⎡⎤=-⎥⎦(设n是不等式(1211x x x ->+的正整数解，则n 的最小值为A ．10B ．9C ．8D ．712．已知直线y ω=与函数()()()sin 01x f x ϕωω=+<<的图象相交，将其中三个相邻交点从左到右依次记为A ，B ，C ，且满足()*.N AC nBC n =∈u u u r u u u r 有下列结论：①n 的值可能为2②当n=3，且|φ|<π时，f(x)的图象可能关于直线x=-φ对称③当φ=6π时，有且仅有一个实数ω，使得(),11f x ππωω⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦在上单调递增; ④不等式n ω>1恒成立 其中所有正确结论的编号为 A ．③B ．①②C ．②④D ．③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．曲线y=xlnx 在点(1,0)处的切线方程为 ▲14.若x ，y 满足约束条件20,0,30,y x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则y z x =的最大值为 ▲15．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援若将4名医生志愿者分配到两家医院(每人去一家医院，每家医院至少去1人)，则共有 ▲ 种分配方案16．已知正方形ABCD 边长为3，点E ，F 分别在边AB ，AD 上运动(E 不与A ，B 重合，F 不与A ，D 重合)，将△AEF 以EF 为折痕折起，当A ，E ，F 位置变化时，所得五棱锥A-EBCDF 体积的最大值为 ▲ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

江苏泰州2020年高三第二学期调研测试数学试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{l ，2}，B ＝{2，4，8}，则A U B ＝ ．2．若实数x ，y 满足x ＋y i ＝﹣1＋(x ﹣y )i （i 是虚数单位），则xy ＝ ．3．如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[6，18)内的频数为 ．4．根据如图所示的伪代码，可得输出的S 的值为 ．5．若双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的离心率为 ．6．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，这两次出现向上的点数分别记为x ，y ，则1x y -=的概率是 ．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则点P 的横坐标为 ．8．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有这样一首数学诗：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”它的大意是：有人要到某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都是前一天的一半，一共走了六天到达目的地．那么这个人第一天走的路程是 里． 9．若定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，(1)1f =，则(6)f ＋(7)f ＋(8)f 的值为 ．10．将半径为R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，若圆锥的体积为，则R ＝ ．11．若函数2()1x a x af x x x a+≥⎧=⎨-<⎩，，只有一个零点，则实数a 的取值范围为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )在圆O ：224x y +=上，且满足12122x x y y +=-，则1212x x y y +++的最小值是 ．13．在锐角△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，BC ，CA 上，若AB 3AD =u u u r u u u r ，AC AF λ=u u u r u u u r，且BC ED 2EF ED 6⋅=⋅=u u u r u u u r u u r u u u r，ED 1=u u u r ，则实数λ的值为 ．14．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且满足AD ＝BD ，3tan 2B ﹣2tanA ＋3＝0，则BDCD的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P— ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ＝AC ，点D ，E ，F 分別是AB ，AC ，BC 的中点．（1）求证：BC ∥平面PDE ；（2）求证：平面PAF ⊥平面PDE ．16．（本小题满分14分）已知函数21()sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ． （1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()f α=，α∈(8π-，38π)，求sin2α的值．17．（本小题满分14分）某温泉度假村拟以泉眼C 为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池，如图所示，M ，N 是圆C 上关于直径AB 对称的两点，以A 为四心，AC 为半径的圆与圆C 的弦AM ，AN 分别交于点D ，E ，其中四边形AEBD 为温泉区，I 、II 区域为池外休息区，III 、IV 区域为池内休息区，设∠MAB ＝θ．（1）当4πθ=时，求池内休息区的总面积（III 和IV 两个部分面积的和）； （2）当池内休息区的总面积最大时，求AM 的长．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆M ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，过点A 的直线与椭圆M 交于x 轴上方一点B ，以AB 为边作矩形ABCD ，其中直线CD 过原点O ．当点B 为椭圆M 的上顶点时，△AOB 的面积为b ，且AB ．（1）求椭圆M 的标准方程；（2）求矩形ABCD 面积S 的最大值；（3）矩形ABCD 能否为正方形？请说明理由．19．（本小题满分16分）定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ 函数”．（1）判断函数()1xxf x e =-是否为“YZ 函数”，并说明理由； （2）若函数()ln g x x mx =-(m ∈R)是“YZ 函数”，求实数m 的取值范围；（3）已知32111()323h x x ax bx b =++-，x ∈(0，+∞)，a ，b ∈R ，求证：当a ≤﹣2，且0＜b ＜1时，函数()h x 是“YZ 函数”．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足2n n n b a a +=-，12n n n c a a +=+．（1）若数列{}n a 是等比数列，试判断数列{}n c 是否为等比数列，并说明理由； （2）若n a 恰好是一个等差数列的前n 项和，求证：数列{}n b 是等差数列；（3）若数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，数列{}n c 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知列向量5a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦在矩阵M ＝ 3 41 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到列向量2 b b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求1M b a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()4πρθ+=，点P 为曲线C上任一点，求点P 到直线l 距离的最大值．C ．选修4—5：不等式选讲已知实数a ，b ，c 满足a ＞0，b ＞0，c ＞0，2223a b c b c a++=，求证：3a b c ++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△ADE 是等腰直角三角形，且∠ADE ＝2π，EF ⊥平面ADE ，EF ＝1． （1）求异面直线AE 和DF 所成角的余弦值； （2）求二面角B —DF —C 的余弦值．23．（本小题满分10分）给定n (n ≥3，n N *∈)个不同的数1，2，3，…，n ，它的某一个排列P 的前k (k N *∈，1≤k ≤n )项和为k S ，该排列P 中满足2k n S S ≤的k 的最大值为P k ．记这n 个不同数的所有排列对应的P k 之和为n T ．（1）若n ＝3，求3T ；（2）若n ＝4l ＋1，l N *∈，①证明：对任意的排列P ，都不存在k (k N *∈，1≤k ≤n )使得2k n S S =；②求n T (用n 表示)．2019～2020学年度第二学期调研测试高三数学答案一、填空题1. {}1,2,4,82.123. 804. 85.6.518 7. 128. 192 9. 1- 10. 611. (1](0,1]-∞-U 12. - 13. 3 14. (1,2] 二、解答题15.（本题满分14分）证明：（1）在ABC ∆中，因为,D E 分别是,AB AC 的中点，所以//DE BC ， ……………2分 因为BC PDE ⊄平面，DE PDE ⊂平面，所以//BC PDE 平面． ……………6分 （2）因为PA ABC ⊥平面，DE PDE ⊂平面，所以PA DE ⊥，在ABC ∆中，因为AB AC =，F 分别是BC 的中点，所以AF BC ⊥， ……………8分 因为//DE BC ，所以DE AF ⊥，又因为AF PA A =I ，,AF PAF PA PAF ⊂⊂平面平面， 所以DE PAF ⊥平面，……………12分因为DE PDE ⊂平面，所以PAF PDE ⊥平面平面． ……………14分16.（本题满分14分）解：（1）因为21()sin sin cos 2f x x x x =+-，所以1cos 211()sin 2222x f x x -=+-1(sin 2cos 2)2x x =- ……………2分(sin 2cos cos 2sin )244x x ππ=-sin(2)24x π=- ……………4分当2242x k πππ-=+(Z)k ∈，即3(8Z)x k k ππ=+∈时，()f x ，所以()f x 的最大值为2，此时x 的取值集合为3,8Z x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．………7分（2）因为()f α=)4πα-=，即1sin(2)43πα-=， 因为3(,)88ππα∈-，所以2(,)422πππα-∈-，则cos(2)4πα-===，……………10分所以sin 2sin[(2)]sin(2)cos cos(2)sin 444444ππππππαααα=-+=-+-13== ……………14分17.（本题满分14分）解：（1）在Rt ABM ∆中，因为24AB =，4πθ=，所以MB AM ==24cos12124MD π=-=，所以池内休息区总面积1212)144(22S MB DM =⋅⋅==． ……………4分 （2）在Rt ABM ∆中，因为24AB =，MAB θ∠=， 所以24sin ,24cos MB AM θθ==， 24cos 12MD θ=-， 由24sin 0,24cos 120MB MD θθ=>=->得0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ……………6分则池内休息区总面积1224sin (24cos 12)2S MB DM θθ=⋅⋅=-，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； ……………9分 设()()sin 2cos 1f θθθ=-，0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为 ()()22cos 2cos 12sin 4cos cos 20cos f θθθθθθθ'=--=--=⇒=又11cos 82θ+=>，所以00,3πθ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得01cos 8θ+=， 则当()00,x θ∈时，()()0f f θθ'>⇒在()00,θ上单调增， 当0,3x πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0f f θθ'<⇒在()00,θ上单调减， 即()0θf 是极大值，也是最大值，所以()()max 0f f θθ=，此时024cos 3AM θ==+ ……………13分 答：（1）池内休息区总面积为2144(2-m ；（2）池内休息区总面积最大时AM的长为(3AM =+m ．………14分18.（本题满分16分）解：（1）由题意：22212ab b a b c =⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2,a b c ===所以椭圆M 的标准方程为22142x y +=． ……………4分 （2）显然直线AB 的斜率存在，设为k 且0k >， 则直线AB 的方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，联立22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8840k x k x k +++-=，解得222412B k x k -=+，2412B k y k =+，所以AB ==， 直线CD 的方程为y kx =，即0kx y -=，所以BC ==，所以矩形ABCD面积2288112122k S k k k k====+++≤所以当且仅当2k =时，矩形ABCD 面积S的最大值为11分 （3）若矩形ABCD 为正方形，则AB BC =，=，则322220k k k -+-= (0)k >， 令32()222(0)f k k k k k =-+->，因为(1)10,(2)80f f =-<=>，又32()222(0)f k k k k k =-+->的图象不间断， 所以32()222(0)f k k k k k =-+->有零点，所以存在矩形ABCD 为正方形．……………16分19.（本题满分16分）解：（1）函数()1xxf x =-e 是“YZ 函数”，理由如下： 因为()1x x f x =-e ，则1()x xf x -'=e，当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<，所以()1x x f x =-e 的极大值1(1)10f =-<e ， 故函数()1x xf x =-e是“YZ 函数”． ……………4分（2）定义域为(0,)+∞， 1()g x m x'=-，当0m ≤时，1()0g x m x'=->，函数单调递增，无极大值，不满足题意； 当0m >时，当10x m <<时，1()0g x m x'=->，函数单调递增， 当1x m >时，1()0g x m x'=-<，函数单调递减， 所以()g x 的极大值为111()ln ln 1g m m m m m=-⋅=--， 由题意知1()ln 10g m m =--<，解得1m >e ． ……………10分 （3）证明： 2()h x x ax b '=++，因为2a ≤-，01b <<，则240a b ∆=->，所以2()0h x x ax b '=++=有两个不等实根，设为12,x x ， 因为121200x x a x x b +=->⎧⎨=>⎩，所以120,0x x >>，不妨设120x x <<， 当10x x <<时，()0h x '>，则()h x 单调递增；当12x x x <<时，()0h x '<，则()h x 单调递减，所以()h x 的极大值为321111111()323h x x ax bx b =++-， ……………13分 由2111()0h x x ax b '=++=得3211111()x x ax b ax bx =--=--，因为2a -≤，01b <<， 所以322211111111111111()()323323h x x ax bx b ax bx ax bx b =++-=--++- 221111121121633333ax bx b x bx b =+-≤-+- 2111()(1)033x b b b =--+-<． 所以函数()h x 是“YZ 函数”． ……………16分 （其他证法相应给分）20.（本题满分16分）解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则122(21)n n n n n n c a a a q a q a +=+=+=+，当12q =-时，0n c =，数列{}n c 不是等比数列， ……………2分 当12q ≠-时，因为0n c ≠，所以11(21)(21)n n n n c q a q c q a +++==+，所以数列{}n c 是等比数 列． ……………5分（2）因为n a 恰好是一个等差数列的前n 项和，设这个等差数列为{}n d ，公差为d ， 因为12n n a d d d =+++L ，所以1121n n n a d d d d ++=++++L ，两式相减得11n n n a a d ++-=，因为2n n n a a b +=+，所以1312321()()()()n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a +++++++-=---=---312n n d d d ++=-=， 所以数列{}n b 是等差数列． ……………10分（3）因为数列{}n c 是等差数列，所以321n n n n c c c c +++-=-，又因为12n n n c a a +=+，所以43322112(2)2(2)n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++-+=+-+， 即 423122()()()n n n n n n a a a a a a +++++-=-+-，则212n n n b b b ++=+，又因为数列{}n b 是等比数列，所以212n n n b b b ++=，则2112n n n n b b b b +++=⋅， 即11()(2)0n n n n b b b b ++-+=，因为数列{}n b 各项均为正数，所以1n n b b +=， ……………13分 则312n n n n a a a a +++-=-，即321n n n n a a a a +++=+-，又因为数列{}n c 是等差数列，所以212n n n c c c +++=，即32121(2)(2)2(2)n n n n n n a a a a a a ++++++++=+，化简得3223n n n a a a +++=，将321n n n n a a a a +++=+-代入得2122()3n n n n n a a a a a ++++-+=，化简得212n n n a a a +++=，所以数列{}n a 是等差数列． ……………16分 （其他证法相应给分）数学Ⅱ（附加题）21. A ． [选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）解：因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡b b a 252143，所以320210a b a b +=-⎧⎨+=⎩，解得64a b =-⎧⎨=⎩，……………4分 设1m p M n q -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则34101201m p n q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即3413402021m n p q m n p q +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得112232m n p q =⎧⎪⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩， 所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=-2321211M ， ……………8分 所以11-2416=13-61122b M a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. ……………10分B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：由题：直线方程即为(sin cos cos sin )44ππρθθ+=， 由cos x ρθ=，sin y ρθ=得直线的直角坐标方程为80x y +-=，……………4分 设P点的坐标为()cos αα， ∴点P到直线的距离d ==8分 当2()62Z k k ππαπ+=-∈，即22(3Z)k k αππ=-∈时，d取得最大值此时点P 的坐标为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ……………10分C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）证明：由柯西不等式，得2223()()()a b c a b c b c a b c a++=++++222222]=++++ ………………5分22()a b c =++≥ 所以3a b c ++≤． ………………10分22.（本小题满分10分）解：因为平面ADE ⊥平面ABCD ,又2ADE π∠=， 即DE AD ⊥，因为DE ADE ⊂平面，ADE ABCD AD =I 平面平面， DE ∴⊥平面ABCD ,由四边形ABCD 为边长为2的正方形,所以,,DA DC DE 两两互相垂直． 以D 为坐标原点，{,,}DA DC DE u u u r u u u r u u u r 为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系.………2分由EF ⊥平面ADE 且1EF =,()()()()()()0,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0,2,2,0,0,1,2,D A E C B F ∴（1）()2,0,2AE =-u u u r ,()0,1,2DF =u u u r ，则cos ,AE DF AE DF AE DF ⋅<===⋅>u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v , 所以AE 和DF所成角的余弦值为5. ……………5分（2）()2,2,0DB =u u u r ,()0,1,2DF =u u u r ,设平面BDF 的一个法向量为(),,n x y z =r ， 由2+2020n DB x y n DF y z ⎧⋅==⎨⋅=+=⎩u u u v v u u u v v ,取1z =,得)1,2,2(-=n ρ,Q 平面DFC 的一个法向量为()1,0,0m =u r ,22cos ,313m n m n m n ⋅∴<>===⋅⨯v v v v v v , 由二面角B DF C --的平面角为锐角,所以二面角B DF C --的余弦值为23.……10分23.（本小题满分10分）解：（1）1,2,3的所有排列为1,2,3;1,3,2;2,1,3;2,3,1;3,1,2;3,2,1，因为36S =，所以对应的P k 分别为2,1,2,1,1,1，所以38T =； ……………3分（2）（i ）设n 个不同数的某一个排列P 为12,,,n a a a ⋅⋅⋅，因为41,N n l l *=+∈，所以()()()141212n n n S l l +==++为奇数， 而2k S 为偶数，所以不存在(,1)N k k k n *∈≤≤使得2k n S S =； ……………5分(ii) 因为2k n S S ≤，即1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤，又由（i ）知不存在(,1)N k k k n *∈≤≤使得2k n S S =，所以1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+；所以满足2k n S S ≤的最大下标k 即满足1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+① 且1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅+②，考虑排列P 的对应倒序排列:P '11,,,n n a a a -⋅⋅⋅，①②即2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅++，2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++, 由题意知1P k n k '=--，则1P P k k n '+=-； ……………8分 又1,2,3,,n ⋅⋅⋅，这n 个不同数共有!n 个不同的排列，可以构成!2n 个对应组合(),P P '， 且每组(),P P '中1P P k k n '+=-，所以()!12n n T n =-． ……………10分。

AB =C ．{C ．第三象限cB ．a c b <<C ．c a b <<．已知非零向量,a b 满足：2||7||2||a b a b ==−,则a 与b 的夹角为2π C ．3π7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1cos 2a C cb +=，22()12bc a +−=，则ABC 的面积为 A ．1B ．3C ．2D ．238．函数2cos ()x xx xf x e e −=−的图象大致是A ．B ．C ．D ．9．记函数()cos2f x x =的导函数为()f x '，则函数()23()()g x f x f x '=+在,[]0x π∈内的单调递增区间是 A ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知在锐角ABC 中，3A π=，||2CA CB −=,则CA CB ⋅的取值范围是A ．1,4⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,04⎡⎫−⎪⎢⎣⎭C ．(0,)+∞D ．(0,12)11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()||f x f x =，()()2f x f x =+，且当1[]0,x ∈时，()2xf x =，则函数()()()2log 1g x f x x =−+的零点个数为 A ．1B ．2C ．3D ．412．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112n n S a =−，设12n n T a a a =，1n n nb T =，则33n n a b +的最小值为 A ．23B ．92C ．3322+D ．316二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线()2ln 2f x x x =−在点()()11f ,处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为____________.Sn++的最大值及取最大值时n位于C，B两点之间，且时，求APC的面积的面积的最大值．21．已知函数()2ln 4f x x ax x =+−存在两个极值点12,x x ，且12x x <，（1）求实数a 的取值范围；（2）若21x >，求1()f x 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为323x ty t⎧=+⎪⎨=−−⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程： （2）若射线(0)3πθαα=<<与直线l 交于点A ，与曲线C 交于O ，B 两点，求OA OB ⋅的取值范围． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()221f x x x =−++． （1）求不等式()9f x ≤的解集；（2）若对任意x R ∈，不等式()f x a x b ≤+恒成立，求a b +的最小值．2020年普通高等学校招生全国统一考试11月调研测试卷 理科数学参考答案一、选择题1～6BCDBDA………7～12BACDBC 第7题：1sin cos sin sin sin sin()2A CBC B A C +===+ 1sin cos sin sin cos cos sin 2A C C A C A C ∴++=+，解得1cos 2A =，即3A π=，2BA c ==又锐角ABC 中，cos CA CB ab ⋅=由14b <<可得题：由()(f x f x =+()(f x f =当,1[1x ∈−即得()f x 一个周期内的图像，()g x 的零点个数即为(6πα∈−sin(4α∴+sin 4sin α=12n S n ++=时取到最大值．4π，AC ∴APCS=）由题知COP ∠12AOCPOB POCSSSr ++=131sin cos sin 222θθ⎛++ ⎝1680a a =−⎧⎨>⎩2121x x x −−，………………29≤解得2x ≤时，49x +≤解得9≤解得3−≤综上，不等式解集为[33]−,；………………5时()04f =。

2020年海南省普通高中高考调研测试数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|214A x x =<-<，{}2|4120B x x x =--，则()AB =R（ ）A. ()2,1--B. ()3,6-C. (]3,6-D. ()6,2-【答案】B 【解析】 【分析】 算出集合B ，求出B R，直接进行交集运算即可.【详解】因为{}|31A x x =-<<-，{}|26B x x =-<<R，所以(){}|36AB x x =-<<R.故选：B【点睛】本题考查集合的并集、补集运算，属于基础题. 2.已知复数1z i =-，z 为z 的共轭复数，则1zz+=（ ） A.32i+ B.12i+ C.132i- D.132i+ 【答案】C 【解析】 【分析】求出z ，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数. 【详解】121312z i iz i +--==+. 故选：C【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题. 3.已知向量0,2a ，()23,b x =，且a 与b 的夹角为3π，则x =（ ）A. -2B. 2C. 1D. -1【答案】B【解析】 【分析】 由题意cos3a b a bπ⋅=，代入解方程即可得解.【详解】由题意21cos322a b a bx π⋅===，所以0x >，且2x ，解得2x =.故选：B.【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题. 4.“ln ln m n <”是“22m n <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域及单调性，可得,m n 的关系，结合充分必要条件性质即可判断. 【详解】若ln ln m n <，根据对数函数的定义域及单调性可知0m n <<，可得22m n <，因而具有充分关系；若22m n <，则m n <，当0,0m n <<时对数函数无意义，因而不具有必要性； 综上可知“ln ln m n <”是“22m n <”的充分不必要条件 故选：A.【点睛】本题考查了充分必要条件的定义域判断，对数函数与图像性质的应用，属于基础题.5.若双曲线221mx ny +=(0m >)mn=（ ） A.14B. 14-C. 4D. 4-【答案】D 【解析】 【分析】将双曲线的方程化成标准形式，再利用离心率公式得到关于,m n 的方程，即可得答案；【详解】因为221mx ny +=(0m >)可化为22111x y m n-=-(0m >)，所以e ==22141b n a m-==，即4m n =-.故选：D.【点睛】本题考查已知双曲线的离心率求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意双曲线方程先化成标准形式.6.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥A BCD -的每个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，且AB CD ==2BC =，利用张衡的结论可得球O 的表面积为（ ）A. 30B. C. 33D.【答案】B 【解析】 【分析】由,,BC CD AB BC AB CD ⊥⊥⊥判断出球心的位置，由此求得求的直径.利用张恒的结论求得π的值，进而根据球的表面积公式计算出球的表面积. 【详解】因为BC CD ⊥，所以BD =AB ⊥底面BCD ，所以球O 的球心为侧棱AD 的中点， 从而球O.利用张衡的结论可得25168π=，则π=所以球O的表面积为2410ππ==⎝⎭故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，考查中国古代数学文化，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.7.已知f (x )=-1x x e e a+是定义在R 上的奇函数，则不等式f (x -3)<f (9-x 2)的解集为（ ）A. (-2,6)B. (-6,2)C. (-4,3)D. (-3,4)【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数的性质可得1a =，进而可知()f x 在R 上为增函数，转化条件得239x x -<-，解一元二次不等式即可得解.【详解】因为()1x x e f x e a-=+是定义在R 上的奇函数，所以()()011f f +-=，即11101e e e a a e--+=++，解得1a =，即()12111x x x e f x e e -==-++， 易知()f x 在R 上为增函数. 又()()239f x f x -<-，所以239x x-<-，解得43x -<<.故选：C.【点睛】本题考查了函数单调性和奇偶性的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.8.已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-，则76a b =（ ） A.67B.1211C.1825 D.1621【答案】A 【解析】 【分析】由条件可设(5)n S kn n =+，(21)n T kn n =-，然后计算出7a 和6b 即可. 【详解】因为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-， 所以可设(5)n S kn n =+，(21)n T kn n =-，所以77618a S S k=-=，66521b T T k=-=，所以7667ab=.故选：A【点睛】本题考查的是等差数列前n项和的特点，属于基础题.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重(单位：kg)情况如柱形图1所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱形图2所示.对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论正确的是（）A. 他们健身后，体重在区间[90,100)内的人数增加了2个B. 他们健身后，体重在区间[100,110)内的人数没有改变C. 因为体重在[100,110)内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响D. 他们健身后，原来体重在区间[110,120)内的肥胖者体重都有减少【答案】ABD【解析】【分析】根据两个柱形图中的数据逐一判断即可【详解】体重在区间[90,100)内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，故人数增加了2个，A正确；他们健身后，体重在区间[100,110)内的百分比没有变，所以人数没有变，B正确；他们健身后，已经出现了体重在[80,90)内的人，健身之前是没有这部分体重的，C错误；因为图2中没有体重在区间[110,120)内的比例，所以原来体重在区间[110,120)内的肥胖者体重都有减少，D正确.故选：ABD【点睛】本题考查的是以柱形图为背景的统计知识，属于基础题.10.将函数()sin 31f x x x =+的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，给出下列关于()g x 的结论：①它的图象关于直线59x π=对称；②它的最小正周期为23π；③它的图象关于点11,118π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称；④它在519,39ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.其中正确的结论的编号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象的变换得出()g x 的解析式，然后利用三角函数的知识逐一判断即可.【详解】因为()sin 312sin 313f x x x x π⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，所以()2sin 312sin 31636g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令362x k πππ+=+，得()39k x k Z ππ=+∈，所以59x π=不是对称轴①错误，②显然正确，令36x k ππ+=，得()318k x k Z ππ=-∈，取2k =，得1118x π=，故关于点11,118π⎛⎫⎪⎝⎭对称，③正确， 令232,262k x k k Z πππππ-++∈，得2223939k k xππππ-+， 取2k =，得101399xππ，取3k =，得161999xππ，所以④错误. 所以选项BC 正确. 故选：BC【点睛】本题考查的是三角函数的图象及其性质，在解决本类题目时，一般是把x ωϕ+当成整体.11.若104a =，1025b =，则（ ） A. 2a b +=B. 1b a -=C. 281g 2ab >D.lg 6b a ->【答案】ACD 【解析】【分析】根据指数和对数的关系将指数式化成对数式，再根据对数的运算法则计算可得. 【详解】解：由104a =，1025b =，得lg 4a =，lg 25b =，则lg 4lg 25lg1002a b ∴+=+==，25lg 25lg 4lg 4b a ∴-=-=， 25lg101lg lg 64=>> lg6b a ∴->24lg 2lg 54lg 2lg 48lg 2ab ∴=>=，故正确的有：ACD 故选：ACD .【点睛】本题考查对数的运算，对数和指数的互化，属于基础题.12.已知函数()sin cos f x x x x x =+-的定义域为[)2,2ππ-，则（ ） A. ()f x 为奇函数B. ()f x 在[)0,π上单调递增C. ()f x 恰有4个极大值点D. ()f x 有且仅有4个极值点 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数的定义域不关于原点对称，可知函数是非奇非偶函数，求出函数的导数， 利用导数分析函数的单调性与极值.【详解】解：因为()f x 的定义域为[)2,2ππ-，所以()f x 是非奇非偶函数，()sin cos f x x x x x =+-()()1cos cos sin 1sin f x x x x x x x '∴=+--=+，当0,x时，()0f x '>，则()f x 在0,上单调递增.显然()00f '≠，令()0f x '=，得1sin x x=-， 分别作出sin y x =，1y x=-在区间[)2,2ππ-上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[)2,2ππ-上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故()f x 在区间[)2,2ππ-上的极值点的个数为4，且()f x 只有2个极大值点. 故选：BD .【点睛】本题考查函数 的奇偶性，有利于导数研究函数的极值与单调性，属于中档题. 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()212,034log ,0xx x f x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+>⎩,则()()8f f =______.【答案】5 【解析】【分析】先将8x =代入解析式可得()81f =-,再求()1f -即可 【详解】由题,()24log 88431f =-+=-+=-,所以()()()1125381f f f -⎛⎫+= ⎪⎝⎭=-= 故答案为：5【点睛】本题考查分段函数求值,考查指数、对数的运算14.某工厂质检部要对即将出厂的1000个零件进行质检，已知每个零件质检合格的概率为0.95，且每个零件质检是否合格是相互独立的，设质检合格的零件数为X ，则随机变量X 的方差DX =________. 【答案】47.5 【解析】 【分析】由题意得到~(1000,0.95)X B ，然后即可算出答案.【详解】由题意可知，~(1000,0.95)X B ，10000.95(10.95)47.5DX =⨯⨯-=. 故答案为：47.5【点睛】本题考查的是二项分布的知识，较简单. 15.已知0a >，0b >，且2a b +=，则515a b+的最小值是________. 【答案】185【解析】 【分析】由条件可得511511526()525255b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用基本不等式求解即可.【详解】因为2a b +=，所以511511526()525255b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为0,0a b >>，所以525b a a b +≥(当且仅当53a =，13b =时，等号成立)，所以511261825255a b⎛⎫+≥⨯+=⎪⎝⎭.故答案为：185【点睛】本题考查的是利用基本不等式求最值，属于典型题.16.在正方体1111ABCD A B C D-中，E为棱CD上一点，且2CE DE=，F为棱1AA的中点，且平面BEF与1DD交于点G，与1AC交于点H，则1DGDD=______，1AHHC=______.【答案】 (1).16(2).38【解析】【分析】由线面平行的性质可得//BF GE，即可得到AF DGAB DE=，又2CE DE=，则1DGDD可求. 连接AC交BE于M，过M作1//MN CC，MN与1AC交于N，连接FM，则H为FM与1AC的交点，根据三角形相似可得线段的比.【详解】解：1111ABCD A B C D-是正方体∴面11//A B BA面11C D DCBF⊂面11A B BA//BF∴平面11CDD C，面BFGE面11C D DC GE=则//BF GE ，则AF DG AB DE =，即12DG DE =，又2CE DE =，则116DG DD =. 连接AC 交BE 于M ，过M 作1//MN CC ，MN 与1AC 交于N ，连接FM ，则H 为FM 与1AC 的交点.因为//AB CE ，所以32AM AB MC CE ==，则132AN A C M MC N ==.所以135MN CC =，所以65MN HN FA AH ==，故138AH HC =. 故答案为：16；38【点睛】本题考查线面平行的性质及判定，属于基础题.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.在①cos 220B B +=，②2cos 2b C a c =-，③b a =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若_____，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC ∆是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】①；证明见解析 【解析】 【分析】选择①：由余弦降幂公式代入即可求得sin B ，结合a ，b ，c 成等差数列可得2b a c =+，3B π=，代入余弦定理公式，即可得2b ac =，结合等式2b a c =+可求得a c =，进而证明ABC ∆为等边三角形.【详解】选择①cos 220B B -+=，证明：则由余弦降幂公式可得212sin 20B B -+=，即(2sin sin 0B B =，由0B π<<可得sin 2B =，又因为a ，b ，c 成等差数列，则B 为锐角， 则2b a c =+，3B π=，由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-， 代入可得()223b a c ac =+-，即2b ac =，则22a c ac +⎛⎫= ⎪⎝⎭，化简可得()20a c -=， 即a c =，又因为3B π=，所以ABC ∆为等边三角形.【点睛】本题考查了三角函数解析式的化简应用，余弦降幂公式化简三角函数式，余弦定理解三角形，等差中项性质的应用，综合性较强，属于中档题.18.设等差数列{}n n a b -的公差为2，等比数列{}n n a b +的公比为2，且12a =，11b =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}22nn a +的前n 项和nS．【答案】（1）121322n n n a --+⨯=（2）n S =2525n n ⨯+- 【解析】 【分析】（1）根据题意可得21n na b n ，132n n n a b -+=⨯，联立解方程可得数列{}n a 的通项公式；（2）通过分组求和法可得数列{}22nn a +的前n 项和nS.【详解】解：（1）因为12a =，11b =，所以111a b -=，113a b +=，依题意可得，()12121n n a b n n -=+-=-， 132n n n a b -+=⨯，故121322n n n a --+⨯=；（2）由（1）可知，1222152n n n a n -+=-+⨯，故()()113215122n n S n -=+++-+⨯+++()()21215215252n n n n n +-=+⨯-=⨯+-.【点睛】本题考查等差数列，等比数列的通项公式，考查分组法求和，是基础题.19.在四棱锥P ﹣ABCD 中，△PAB 是边长为2的等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，BC ＝CD ＝1，PD 2=.（1）证明：AB ⊥PD.（2）求二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理、线面垂直的性质进行证明即可； （2）由AD 2+BD 2＝AB 2，可得AD ⊥BD ，以D 为原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可. 详解】（1）证明：连结BD ，∵在四棱锥P ﹣ABCD 中，△PAB 是边长为2的等边三角形， 底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，BC ＝CD ＝1，PD 2=∴BD ＝AD 112=+=∴AD 2+PD 2＝AP 2，BD 2+PD 2＝PB 2，∴AD⊥PD，BD⊥PD，∵AD∩BD＝D，∴PD⊥平面ABCD，∵AB⊂平面ABCD，∴AB⊥PD.（2）解：∵AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD，以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则A 2，0，0），B（02，0），C（2222-，0），P（0，02），PA=22，，，PB=（02，2-），PC=（222，2-，设平面ABP的法向量n=（x，y，z），则220220n PA x zn PB y z⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，取x＝1，得n=（1，1，1），设平面PBC的法向量()111,,m x y z=，则11111220222022m PB y zm PC x y z⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取11z=，得m=（﹣1，1，1），设二面角A﹣PB﹣C的平面角为θ，则二面角A﹣PB﹣C的余弦值为：cosθ13m nm n⋅==⋅.【点睛】本题考查了线面垂直判定定理和性质的应用，考查了利用空间向量求二面角问题，考查了推理论证能力和数学运算能力.20.某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择，生产线①：有A ，B 两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.02，0.03.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为15万元；若A 工序出现故障，则生产成本增加2万元；若B 工序出现故障，则生产成本增加3万元；若A ，B 两道工序都出现故障，则生产成本增加5万元.生产线②：有a ，b 两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.04，0.01.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为14万元；若a 工序出现故障，则生产成本增加8万元；若b 工序出现故障，则生产成本增加5万元；若a ，b 两道工序都出现故障，则生产成本增加13万元.（1）若选择生产线①，求生产成本恰好为18万元的概率；（2）为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由. 【答案】（1）0.0294.（2）应选生产线②.见解析 【解析】 【分析】（1）由题意转化条件得A 工序不出现故障B 工序出现故障，利用相互独立事件的概率公式即可得解；（2）分别算出两个生产线增加的生产成本的期望，进而求出两个生产线的生产成本期望值，比较期望值即可得解.【详解】（1）若选择生产线①，生产成本恰好为18万元，即A 工序不出现故障B 工序出现故障，故所求的概率为()10.020.030.0294-⨯=.（2）若选择生产线①，设增加生产成本为ξ(万元)，则ξ的可能取值为0，2，3，5.()()()10.0210.0300.9506P ξ==-=⨯-， ()()20.020.010.19403P ξ⨯-===， ()()310.020.030.0294P ξ⨯==-=, ()50.020.020.0006P ξ⨯===,所以()00.950620.019430.029450.00060.13E ξ⨯+⨯+⨯+⨯==万元； 故选生产线①的生产成本期望值为150.1315.13+= (万元).若选生产线②，设增加的生产成本为η（万元），则η的可能取值为0，8，5，13.()()()10.0410.010.95040P η=-==⨯-， ()()0.0410.8010.0396P η=⨯-==， ()()10.040.5010.0096P η=-⨯==， ()0.040.0110.00034P η=⨯==，所以()00.950480.039650.0096130.00040.37E η⨯+⨯+⨯+⨯==， 故选生产线②的生产成本期望值为140.3714.37+= (万元)， 故应选生产线②.【点睛】本题考查了相互独立事件的概率，考查了离散型随机变量期望的应用，属于中档题.21.已知O 为坐标原点，(2,0)A -，(2,0)B ，直线AG ，BG 相交于点G ，且它们的斜率之积为34-.记点G 的轨迹为曲线C . （1）若射线0)x y =与曲线C 交于点D ，且E 为曲线C 的最高点，证明：//OD AE .（2）直线:(0)l y kx k =≠与曲线C 交于M ，N 两点，直线AM ，AN 与y 轴分别交于P ，Q 两点.试问在x 轴上是否存在定点T ，使得以PQ 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析； （2）存在定点(T ，使得以PQ 为直径的圆恒过点T . 【解析】 【分析】（1）设点()G x y ,，根据34GA GBk k ⋅=-，求得点G 的轨迹方程为221(2)43x y x +=≠±，联立方程组，解答,D E 坐标，结合斜率公式，即可求解. （2）设00(,)M x y ，则00(,)N x y --，解得0022P y y x =+,022Q y y x =-，假设顶点T ，使得PQ为直径的圆恒过点T ，则2OP OQ OT ⋅=，求得2220434Ty x x ==-，即可得到结论. 【详解】（1）设点()G x y ,，因为34GA GB k k ⋅=-，即3224y y x x ⋅=-+-，整理得点G 的轨迹方程为221(2)43x y x +=≠±，联立方程组221430)x y x y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得D且E ，所以OD AE k k ==，所以//OD AE . （2）设00(,)M x y ，则00(,)N x y --， 所以直线AM 的方程为00(2)2y y x x =++，令0x =，解得0022P y y x =+,同理可得022Q y y x =-, 假设定点T ，使得PQ 为直径的圆恒过点T ，则2OP OQ OT ⋅=,即2T P Q x y y =-，又由2200143x y +=，可得22020434T y x x ==-，所以(T ， 即在x轴上存在定点(T ，使得以PQ 为直径的圆恒过点T.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 22.已知函数22()1e xf x ax ax =++-.（1）若函数()()g x f x '=，试讨论()g x 的单调性； （2）若(0,)x ∀∈+∞，()0f x <，求a 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）(],2-∞ 【解析】 【分析】（1）由于函数2()()22e xg x x ax f a ==+-'，得出()2()22exg x a '=--，分类讨论当0a ≤和0a >时，()'g x 的正负，进而得出()g x 的单调性；（2）求出()22e (21)21x f x x a x ⎛⎫'=+- ⎪+⎝⎭，令()0f x '=，得22e 21x a x =+，设22()21x eh x x =+，通过导函数()h x '，可得出()h x 在(0,)+∞上的单调性和值域，再分类讨论2a ≤和2a >时，()f x 的单调性，再结合(0,)x ∀∈+∞，()0f x <恒成立，即可求出a 的取值范围.【详解】解：（1）因为2()()22e xg x x ax f a ==+-'， 所以()22()24e22e xx g x a a '=-=--，①当0a ≤时，()0g x '<，()g x 在R 上单调递减. ②当0a >时，令()0g x '>，则1ln 22a x <；令()0g x '<，则1ln 22ax >， 所以()g x 在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在1ln ,22a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减. 综上所述，当0a ≤时，()g x 在R 上单调递减；当0a >时，()g x 在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1ln ,22a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减.（2）因为22()1e xf x ax ax =++-，可知(0)0f =，2()22e xf x ax a '=+-222e (21)2e (21)21x xa x x a x ⎛⎫=+-=+- ⎪+⎝⎭，令()0f x '=，得22e21xa x =+.设22()21xe h x x =+，则228e ()(21)x x h x x '=+. 当0x >时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增，所以()h x 在(0,)+∞上的值域是(2,)+∞，即22221x e x >+.当2a ≤时，()0f x '=没有实根，且()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)0f x f <=，符合题意.当2a >时，(0)2h a =<，所以22e ()21xh x a x ==+有唯一实根0x ，当()00,x x ∈时，()0f x '>，()f x 在()00,x 上单调递增，()(0)0f x f >=，不符合题意. 综上，2a ≤，即a 的取值范围为(],2-∞.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和根据恒成立问题求参数范围，还运用了构造函数法，还考查分类讨论思想和计算能力，属于难题.。

重庆2020年普通高等学校招生全国统一考试调研测试数学（理）试题满分150分。

考试时间120分钟★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，请考生认真阅读答题卡上的注意事项。

务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置，贴好考号条形码或将考号对应数字涂黑。

用2B铅笔将试卷类型A填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3．非选择答题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的清洁。

考试结束后，监考人员将答题卡和试卷一并收回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则为（）A.B.C.D.2.设，则是为纯虚数的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且.下列关系中正确的是（）A. B.C. D.4.定义行列式运算，将函数的图像向左平移个单位，以下是所得函数图像的一个对称中心是（）A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中，已知，动点满足，其中，则所有点构成的图形面积为（）A. B. ． C. D.6.已知数列是首项为，公差为的等差数列，数列满足关系，数列的前项和为，则的值为（）A. B. C. D.7.已知椭圆为其左、右焦点，为椭圆上任意一点，的重心为，内心，且有（其中为实数），椭圆的离心率（）A. B. C. D.8.设函数定义在上，给出下述三个命题：①满足条件的函数图像关于点对称；②满足条件的函数图像关于直线对称；③函数与在同一坐标系中，其图像关于直线对称.其中，真命题的个数是（）A. B. C. D.9.一个算法的程序框图如下，则其输出结果是（）A. B. C. D.10.如图，在圆心角为直角的扇形中，分别以为直径作两个半圆。

2020高考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，孩子们！数学科试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号，用钢笔或签字笔填写在答题卡密封线内。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后在写上新的答案；不准采用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P （A +B ）＝P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k kn n P P C k P --=)1()(锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示底面积，h 表示高。

函数求导公式：'''''''''2()()()(0)u v u v uv u v uv u u v uv v v v±=±=+-=≠第Ⅰ卷（选择题，共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已知集合M={－1，0，1}，N={y ︱y=cosx ，x ∈M}，则M ∩N 是A ．{－1，0，1}B ．{0，1}C ．{0}D ．{1} （2）函数y=cosx （sinx+cosx ）的最小正周期为 A4π B 2πC πD 2π （3）下列各组命题中，“p 或q ”形式的复合命题为假命题的是A ．p ：函数1y x=-在R 上是增函数；q ：函数2y x =在R 上连续；B ．p ：导数为零的点一定是极值点；q ：最大值点的导数一定为零；C ．p ：互斥事件一定是对立事件；q ：对立事件一定是互斥事件；D ．p ：复数(1)i i +与复数1i --对应点关于y 轴对称；q ：复数11i i-+是纯虚数.高三数学调研测试第1页（共4页）（4）已知点P （x,y ）在线性区域 x+4y ≤1A 3B 4C 5 D125（5）盒中装有大小相同的黑、白两色小球，黑色小球15个，白色小球10个。