新课标版数学必修一作业17高考调研精讲精练

2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则A ．A IB =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．A I B =∅C ．A U B 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭ D ．A U B=R 【答案】A【解析】试题分析：由320x ->得32x <，所以33{|2}{|}{|}22A B x x x x x x =<<=<I I ，选A ． 【考点】集合运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理． 2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数【答案】B【解析】试题分析：评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.【考点】样本特征数【名师点睛】众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平；中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水平；平均数：反映一组数据的平均水平；方差：反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度．3．下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．i(1+i)2B ．i 2(1−i)C ．(1+i)2D ．i(1+i)【答案】C【解析】试题分析：由2(1i)2i +=为纯虚数知选C ．【考点】复数运算，复数基本概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基础题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(+i)(+i)()+a b c d =ac bd -(+)i(,,,)ad bc a b c d ∈R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数+i(,)a b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭复数为i a b -.4．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π 4【答案】B【考点】几何概型【名师点睛】对于一个具体问题能否用几何概型的概率公式计算事件的概率，关键在于能否将问题几何化，也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数建立适当的坐标系，在此基础上，将实验的每一结果一一对应于该坐标系中的一点，使得全体结果构成一个可度量的区域；另外，从几何概型的定义可知，在几何概型中，“等可能”一词理解为对应于每个实验结果的点落入某区域内的可能性大小，仅与该区域的度量成正比，而与该区域的位置、形状无关．5．已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 2【答案】D【考点】双曲线【名师点睛】本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得)0,2(F ，结合PF 与x 轴垂直，可得3||=PF ，最后由点A 的坐标是(1，3)，计算△APF 的面积．6．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：对于B ，易知AB ∥MQ ，则直线AB ∥平面MNQ ；对于C ，易知AB ∥MQ ，则直线AB ∥平面MNQ ；对于D ，易知AB ∥NQ ，则直线AB ∥平面MNQ ．故排除B ，C ，D ，选A ．【考点】空间位置关系判断【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力，属容易题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．7．设x，y满足约束条件33,1,0,x yx yy+≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z=x+y的最大值为A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【考点】简单的线性规划【名师点睛】学/科网本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．8．函数sin21cosxyx=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】 试题分析：由题意知，函数sin 21cos x y x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ． 【考点】函数图像【名师点睛】函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．9．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．y =()f x 的图像关于直线x =1对称D ．y =()f x 的图像关于点（1，0）对称 【答案】C【考点】函数性质【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图像有对称轴2a b x +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图像有对称中心(,0)2a b +． 10．下面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n 分别填入A ．A >1000和n =n +1B ．A >1000和n =n +2C ．A ≤1000和n =n +1D ．A ≤1000和n =n +2【答案】D【解析】 试题分析：由题意，因为321000n n ->，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入1000A >，故填1000A ≤，又要求n 为偶数且初始值为0，所以矩形框内填2n n =+，故选D.【考点】程序框图【名师点睛】解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义.本题巧妙地设置了两个空格需要填写，所以需要抓住循环的重点，偶数该如何增量，判断框内如何进行判断可以根据选项排除.11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c 2，则C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B【解析】试题分析：由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=， 即πsin (sin cos )2sin sin()04C A A C A +=+=，所以3π4A =． 由正弦定理sin sin a c A C =得223πsin sin 4C =，即1sin 2C =， 因为c <a ，所以C<A ，所以π6C =，故选B ． 【考点】解三角形【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．12．设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞UB ．(0,3][9,)+∞UC ．(0,1][4,)+∞UD ．(0,3][4,)+∞U【答案】A【考点】椭圆【名师点睛】本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定b a ,的关系，求解时充分借助题设条件ο120=∠AMB 转化为360tan =≥οba ，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）．若向量a +b 与a 垂直，则m =________．【答案】7【解析】试题分析：由题得(1,3)m +=-a b ，因为()0+⋅=a b a ，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =．【考点】平面向量的坐标运算，垂直向量【名师点睛】如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2＝0．14．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 【答案】1y x =+【解析】试题分析：设()y f x =，则21()2f x x x '=-，所以(1)211f '=-=， 所以曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+． 【考点】导数几何意义【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设),(00y x P 是曲线)(x f y =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．15．已知π(0)2α∈，，tan α=2，则πcos ()4α-=__________． 310 【解析】试题分析：由tan 2α=得sin 2cos αα=，又22sin cos 1αα+=， 所以21cos 5α=，因为π(0,)2α∈，所以525 cos,sin55αα==，因为πππcos()cos cos sin sin444ααα-=+，所以π52252310 cos()4α-=⨯+⨯=.【考点】三角函数求值【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．16．已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S−ABC的体积为9，则球O的表面积为________．【答案】36π【考点】三棱锥的外接球【名师点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的各顶点的距离相等，然后用同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=−6．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．【答案】（1）(2)nn a =-；（2）122(1)33n n n S +=-+-⋅，证明见解析． 【解析】试题分析：（1）由等比数列通项公式解得2q =-，12a =-即可求解；（2）利用等差中项证明S n +1，S n ，S n +2成等差数列．【考点】等比数列【名师点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．18．（12分）如图，在四棱锥P −ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o ．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=o ，且四棱锥P −ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）326+． 【解析】试题分析：（1）由AB AP ⊥，AB PD ⊥，得AB ⊥平面PAD 即可证得结果；（2）设AB x =，则四棱锥P ABCD -的体积31133P ABCD V AB AD PE x -=⋅⋅=，解得2x =，可得所求侧面积． 试题解析：（1）由已知90BAP CDP ==︒∠∠，得AB AP ⊥，CD PD ⊥． 由于AB CD ∥，故AB PD ⊥，从而AB ⊥平面PAD ． 又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ．（2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E ．由（1）知，AB ⊥平面PAD ，故AB PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD ． 设AB x =，则由已知可得2AD x =，2PE x =． 故四棱锥P ABCD -的体积31133P ABCD V AB AD PE x -=⋅⋅=． 由题设得31833x =，故2x =． 从而2PA PD ==，22AD BC ==22PB PC ==． 可得四棱锥P ABCD -的侧面积为21111sin 606232222PA PD PA AB PD DC BC ⋅+⋅+⋅+︒=+【考点】空间位置关系证明，空间几何体体积、侧（表）面积计算【名师点睛】证明面面垂直，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；计算点面距离时，如直接求不方便，应首先想到转化，如平行转化、对称转化、比例转化等，找到方便求值时再计算，可以减少运算量，提高准确度，求点面距离有时能直接作出就直接求出，不方便直接求出的看成三棱锥的高，利用等体积法求出． 19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序910 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，16162221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑，1621(8.5)18.439i i =-≈∑，161()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．（1）求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数12211()()()()niii n niii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑0.0080.09≈．【答案】（1）18.0-≈r ，可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小；（2）（ⅰ）需对当天的生产过程进行检查；（ⅱ）均值与标准差的估计值分别为10.02，0.09． 【解析】（2）（i ）由于9.97,0.212x s =≈，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(3,3)x s x s -+以外，因此需对当天的生产过程进行检查．（ii ）剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02．162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑，剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈， 0.0080.09≈． 【考点】相关系数，方差、均值的计算【名师点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点． 20．（12分）设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．【答案】（1）1；（2）7y x =+．（2）由24x y =，得2x y'=．设M （x 3，y 3），由题设知312x=，解得32x =，于是M （2，1）．设直线AB 的方程为y x m =+，故线段AB 的中点为N （2，2+m ），|MN |=|m +1|．将y x m =+代入24x y =得2440x x m --=．当16(1)0m ∆=+>，即1m >-时，1,2221x m =±+ 从而12||=2|42(1)AB x x m -=+．由题设知||2||AB MN =，即2(1)2(1)m m ++，解得7m =． 所以直线AB 的方程为7y x =+． 【考点】直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，主要利用根与系数的关系：因为直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用根与系数的关系及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用根与系数的关系直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 21．（12分）已知函数()f x =e x (e x −a )−a 2x ． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．【答案】（1）当0a =时，)(x f 在(,)-∞+∞单调递增；当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增；当0a <时，()f x 在(,ln())2a -∞-单调递减，在(ln(),)2a-+∞单调递增；（2）34[2e ,1]-．【解析】试题分析：（1）分0a =，0a >，0a <分别讨论函数)(x f 的单调性；（2）分0a =，0a >，0a <分别解0)(≥x f ，从而确定a 的取值范围．试题解析：（1）函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，22()2e e (2e )(e )xx x x f x a a a a '=--=+-，①若0a =，则2()e xf x =，在(,)-∞+∞单调递增． ②若0a >，则由()0f x '=得ln x a =．当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增．③若0a <，则由()0f x '=得ln()2a x =-．当(,ln())2a x ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln(),)2a x ∈-+∞时，()0f x '>，故()f x 在(,ln())2a -∞-单调递减，在(ln(),)2a-+∞单调递增．【考点】导数应用【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（1）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出()f x '，由()f x '的正负，得出函数()f x 的单调区间；（2）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数()f x 的极值或最值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）． （1）若1-=a ，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 17a ． 【答案】（1）(3,0)，2124(,)2525-；（2）8a =或16a =-． 【解析】试题分析：（1）直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立解交点坐标；（2）利用椭圆参数方程，设点(3cos ,sin )θθ，由点到直线距离公式求参数．试题解析：（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=． 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=．由22430,19x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得3,0x y =⎧⎨=⎩或21,2524.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-． （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为17d =当4a ≥-时，d 171717=8a =； 当4a <-时，d 171717=16a =-． 综上，8a =或16a =-．【考点】参数方程【名师点睛】本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数a 的值． 23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）已知函数4)(2++-=ax x x f ，|1||1|)(-++=x x x g ． （1）当1=a 时，求不等式)()(x g x f ≥学+科网的解集；（2）若不等式)()(x g x f ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．【答案】（1）117{|1}x x -+-≤≤；（2）[1,1]-． 【解析】试题分析：（1）分1x <-，11x -≤≤，1x >三种情况解不等式)()(x g x f ≥；（2）()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，从而可得11a -≤≤．（2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =．所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥．又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤． 所以a 的取值范围为[1,1]-． 【考点】不等式选讲【名师点睛】形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． (2)图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解．。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =<I B ．A B =R U C ．{|1}A B x x =>UD ．A B =∅I2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π43．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．168．右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．A >1 000和n =n +1B ．A >1 000和n =n +2C ．A ≤1 000和n =n +1D ．A ≤1 000和n =n +29．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．1011．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

新课标版数学必修⼆（新⾼考新课程）作业15⾼考调研精讲精练课时作业(⼗五)(第⼀次作业)1．直线a是平⾯α的斜线，过a且和α垂直的平⾯有()A．0个B．1个C．2个D．⽆数个答案 B2．给定下列四个命题①若⼀个平⾯内的两条直线与另⼀个平⾯都平⾏，则这两个平⾯相互平⾏；②若⼀个平⾯经过另⼀个平⾯的垂线，则这两个平⾯相互垂直；③垂直于同⼀直线的两条直线相互平⾏；④若两个平⾯垂直，则⼀个平⾯内与它们的交线不垂直的直线与另⼀个平⾯也不垂直．其中，为真命题的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④答案 D3．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平⾯，则下列命题中的真命题是() A．若m?β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ答案 C解析若m?β，α⊥β，则m与α的关系可能平⾏也可能相交，则A为假命题；选项B中，α与β可以平⾏也可能相交，则B为假命题；选项D中β与γ也可能平⾏或相交(不⼀定垂直)，则D为假命题．故选C.4.在如图所⽰的三棱锥中，AD⊥BC，CD⊥AD，则有()A．⾯ABC⊥⾯ADC B．⾯ABC⊥⾯ADBC．⾯ABC⊥⾯DBC D．⾯ADC⊥⾯DBC答案 D5．正⽅体ABCD-A1B1C1D1中，P为CC1的中点，则平⾯PBD垂直于()A．平⾯A1BD B．平⾯D1BDC．平⾯PBC D．平⾯CBD答案 A6．在空间四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，E为对⾓线AC的中点，下列判断正确的是()A．平⾯ABD⊥平⾯ADC B．平⾯ABC⊥平⾯ABDC．平⾯ABC⊥平⾯ADC D．平⾯ABC⊥平⾯BED答案 D7．(2016·浙江)已知互相垂直的平⾯α，β交于直线l，若直线m，n满⾜m∥α，n⊥β，则()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n答案 C解析因为α∩β＝l，所以l?β，所以n⊥l.故选C.8.如图，正⽅体ABCD-A1B1C1D1中，O为底⾯ABCD的中⼼，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是()A．D1O∥平⾯A1BC1B．MO⊥平⾯A1BC1C．异⾯直线BC1与AC所成的⾓等于60°D．⼆⾯⾓MACB等于90°答案 D解析对于选项A，连接B1D1，BO，交A1C1于E，则四边形D1OBE为平⾏四边形，所以D1O∥BE，因为D1O?平⾯A1BC1，BE?平⾯A1BC1，所以D1O∥平⾯A1BC1，故正确；对于选项B，连接B1D，因为O为底⾯ABCD的中⼼，M为棱BB1的中点，所以MO∥B1D，易证B1D⊥平⾯A1BC1，所以MO⊥平⾯A1BC1，故正确；对于选项C，因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B为异⾯直线BC1与AC 所成的⾓，因为△A1C1B为等边三⾓形，所以∠A1C1B＝60°，故正确；对于选项D，因为BO⊥AC，MO⊥AC，所以∠MOB为⼆⾯⾓MACB的平⾯⾓，显然不等于90°，故不正确．综上知，选D.9．如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底⾯是正六边形，PA⊥平⾯ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是________(填序号)．①PB⊥AD；②平⾯PAB⊥平⾯PAE；③BC∥平⾯PAE；④直线PD与底⾯ABC所成的⾓为45°.答案②④解析由于AD与AB不垂直，因此得不到PB⊥AD，①不正确；由PA⊥AB，AE⊥AB，PA∩AE＝A，得AB⊥平⾯PAE，因为AB?平⾯PAB，所以平⾯PAB⊥平⾯PAE，②正确；延长BC，EA，两者相交，因此BC与平⾯PAE相交，③不正确；由于PA⊥平⾯ABC，所以∠PDA就是直线PD与平⾯ABC所成的⾓，由PA＝2AB，AD＝2AB，得PA＝AD，所以∠PDA＝45°，④正确．10．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平⾯ABC；(2)平⾯A1FD⊥平⾯BB1C1C.证明(1)因为E，F分别是A1B，A1C的中点，所以EF∥BC，⼜EF?⾯ABC，BC?⾯ABC，所以EF∥平⾯ABC.(2)因为直三棱柱ABC-A1B1C1，所以BB1⊥⾯A1B1C1，BB1⊥A1D.⼜A1D⊥B1C，BB1∩B1C＝B1，所以A1D⊥⾯BB1C1C.⼜A1D?⾯A1FD，所以平⾯A1FD⊥平⾯BB1C1C.11.如图，四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD为菱形，SD＝SB.(1)求证：平⾯SAC⊥平⾯SBD；(2)求证：平⾯SAC⊥平⾯ABCD.证明(1)连接AC，BD，使AC∩BD＝O.∵底⾯ABCD为菱形，∴BD⊥AC.∵SB＝SD，O为BD中点，∴SO⊥BD，⼜SO∩AC＝O，∴BD⊥平⾯SAC，⼜∵BD?平⾯SBD，∴平⾯SAC⊥平⾯SBD.(2)由(1)知BD⊥平⾯SAC，BD?平⾯ABCD，∴平⾯SAC⊥平⾯ABCD.12.如图，△ABC为正三⾓形，EC⊥平⾯ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA；(2)平⾯BDM⊥平⾯ECA；(3)平⾯DEA⊥平⾯ECA.证明(1)取AC中点N，连接MN，BN，则MN∥EC，∵EC⊥平⾯ABC，∴平⾯EAC⊥平⾯ABC.∴MN⊥平⾯ABC，⼜BN?平⾯ABC，∴MN⊥BN，且MN＝BD，MN∥BD，∴四边形MNBD为矩形，∴DM∥BN，∵CN＝AN，BC＝AB，∴BN⊥CA，⼜CA ∩MN ＝N ，∴BN ⊥平⾯AEC ，∴DM ⊥⾯EAC ，∴DM ⊥AE.∴DE ＝DA. (2)由(1)知，DM ⊥⾯EAC ，DM ?⾯BDM ，∴平⾯BDM ⊥平⾯ECA.(3)由(1)知，DM ⊥⾯EAC ，DM ?⾯ADE ，∴平⾯DEA ⊥平⾯ECA.13．如图所⽰，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起⾄△A ′BE 的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平⾯A ′BE ⊥平⾯BCDE.证明如图所⽰，取CD 的中点M ，BE 的中点N ，连接A ′M ，A ′N ，MN ，则MN ∥BC.∵AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，∴AB ＝AE ，即A ′B ＝A ′E ，⼜BN ＝NE ，∴A ′N ⊥BE.∵A ′C ＝A ′D ，∴A ′M ⊥CD. 在四边形BCDE 中，CD ⊥MN ，⼜MN ∩A ′M ＝M ，∴CD ⊥平⾯A ′MN ，⼜A ′N ?平⾯A ′MN ，∴CD ⊥A ′N. ∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴BE 必与CD 相交．⼜A ′N ⊥BE ，A ′N ⊥CD ，∴A ′N ⊥平⾯BCDE. ⼜A ′N ?平⾯A′BE ，∴平⾯A ′BE ⊥平⾯BCDE.课时作业(⼗五)(第⼆次作业)1．(2015·浙江)设α，β是两个不同的平⾯，l ，m 是两条不同的直线，且l ?α，m ?β.( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥βD ．若α∥β，则l ∥m答案 A解析⾯⾯垂直的证明主要是找线⾯垂直，此题在选项中直接给出两个条件，便于考⽣根据判定定理进⾏直接选择，相对较为基础．如果采⽤排除法，思维量会增加．2．在正四⾯体P-ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下⾯四个结论不成⽴的是( )A ．BC ∥平⾯PDFB ．DF ⊥平⾯PAEC ．平⾯PDF ⊥平⾯ABCD ．平⾯PAE ⊥平⾯ABC答案 C解析∵D ，E ，F 分别为AB ，BC ，AC 的中点，∴DF ∥BC.∴BC ∥平⾯PDF.故A 正确．连接AE ，PE ，则AE ⊥BC.PE ⊥BC ，∴BC ⊥平⾯PAE.∴DF ⊥平⾯PAE.故B 正确．⼜∵BC ?平⾯ABC ，∴平⾯PAE ⊥平⾯ABC.故D 正确．∴选C.3．把正⽅形ABCD 沿对⾓线BD 折成直⼆⾯⾓，则△ABC 是( ) A ．正三⾓形 B ．直⾓三⾓形 C ．锐⾓三⾓形 D ．钝⾓三⾓形答案 A4．在正⽅体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，截⾯A 1BD 与底⾯ABCD 所成⼆⾯⾓A 1-BD-A 的正切值为( ) A.32B.22C. 2D. 3答案 C解析如图所⽰，连接AC 交BD 于点O ，连接A 1O ，O 为BD 中点，∵A 1D ＝A 1B ，∴在△A 1BD 中，A 1O ⊥BD.⼜∵在正⽅形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴∠A 1OA 为⼆⾯⾓A 1-BD-A 的平⾯⾓．设AA 1＝1，则AO ＝22，∴tan ∠A 1OA ＝AA 1AO ＝122＝ 2.故选C. 5.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平⾯ABCD ，底⾯ABCD 是矩形，则图中互相垂直的平⾯有( )A．2对B．3对C．4对D．5对答案 D解析∵PA⊥平⾯ABCD，∴平⾯PAB⊥平⾯ABCD，平⾯PAD⊥平⾯ABCD.∵AB⊥AD，PA⊥AB，∴AB⊥平⾯PAD，∴平⾯PAB⊥平⾯PAD.同理，平⾯PCD⊥平⾯PAD，平⾯PAB⊥平⾯PBC.共有5对平⾯互相垂直．故选D.6．若⼀个⼆⾯⾓的两个半平⾯分别垂直于另⼀个⼆⾯⾓的两个半平⾯，那么这两个⼆⾯⾓()A．相等B．互补C．相等或互补D．关系⽆法确定答案 D解析如图所⽰，平⾯EFDG⊥平⾯ABC，当平⾯HDG绕DG转动时，平⾯HDG始终与平⾯BCD垂直，所以两个⼆⾯⾓的⼤⼩关系不确定，因为⼆⾯⾓H-DG-F的⼤⼩不确定．故选D.7．四边形ABCD是正⽅形，以BD为棱把它折成直⼆⾯⾓A-BD-C，E为CD的中点，则∠AED的⼤⼩为()A．45°B．30°C．60°D．90°答案 D解析设BD中点为F，则AF⊥BD，CF⊥BD，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥⾯BCD.∵E，F分别为CD，BD的中点，∴EF∥BC，⼜∵BC⊥CD，∴CD⊥EF，⼜AF⊥CD，∴CD⊥平⾯AEF，⼜AE?平⾯AEF，∴CD⊥AE.故选D.8.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平⾯ABC，∠BAC＝90°，则⼆⾯⾓B-PA-C的⼤⼩为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 D解析∵PA⊥平⾯ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，∴∠BAC为⼆⾯⾓BPAC的平⾯⾓．∵∠BAC＝90°，∴⼆⾯⾓的⼤⼩为90°.9.如图，在四棱锥V-ABCD中，底⾯ABCD是这长为2的正⽅形，其他四个侧⾯都是侧棱长为5的等腰三⾓形，则⼆⾯⾓V-AB-C 的度数是________．答案60°解析如图，取AB的中点E，CD的中点F，连接VE，EF，VF，由题意知，AB⊥VE，AB⊥EF，所以∠VEF为⼆⾯⾓V ABC的平⾯⾓．易知△VEF为正三⾓形，所以∠VEF＝60°.10．如图所⽰，在长⽅体ABCD-A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若⼆⾯⾓C1-EF-C等于45°，则BF＝________．答案 1解析∵AB⊥平⾯BC1，C1F?平⾯BC1，CF?平⾯BC1，∴AB⊥C1F，AB⊥CF，⼜EF∥AB，∴C1F⊥EF，CF⊥EF，∴∠C1FC是⼆⾯⾓C1EFC的平⾯⾓，∴∠C1FC＝45°，∴△FCC1是等腰直⾓三⾓形，∴CF＝CC1＝AA1＝1.⼜BC＝2，∴BF＝BC－CF＝2－1＝1.11．如图，四边形ABCD是平⾏四边形，直线SC⊥平⾯ABCD，E是SA的中点，求证：平⾯EDB⊥平⾯ABCD.证明连接AC交BD于点F，连接EF.∴EF是△SAC的中位线，∴EF∥SC.∵SC⊥平⾯ABCD，∴EF⊥平⾯ABCD.⼜EF?平⾯BDE，∴平⾯BDE⊥平⾯ABCD.12.如图，四棱锥P-ABCD的底⾯是边长为a的正⽅形，PB⊥平⾯ABCD.(1)求证：平⾯PAD⊥平⾯PAB；(2)若平⾯PDA与平⾯ABCD成60°的⼆⾯⾓，求该四棱锥的体积．解析(1)证明：∵PB⊥平⾯ABCD，AD?平⾯ABCD，∴PB⊥AD.⼜∵AD⊥AB，且AB∩PB＝B，∴AD⊥平⾯PAB.⼜∵AD?平⾯PAD，∴平⾯PAD⊥平⾯PAB.(2)由(1)的证明知，∠PAB为平⾯PDA与平⾯ABCD所成的⼆⾯⾓的平⾯⾓，即∠PAB＝60°，∴PB＝3a.∴V P-ABCD＝13·a2·3a＝3a33.13．如图所⽰，四棱锥P-ABCD的底⾯ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD 的中点，PA⊥底⾯ABCD，PA＝ 3.(1)求证：平⾯PBE⊥平⾯PAB；(2)求⼆⾯⾓A-BE-P的⼤⼩．解析(1)证明：如图所⽰，连接BD.由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三⾓形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，⼜AB∥CD，所以BE⊥AB，⼜因为PA⊥平⾯ABCD，BE?平⾯ABCD，所以PA⊥BE，⽽PA∩AB＝A，因此BE⊥平⾯PAB.⼜BE ?平⾯PBE，所以平⾯PBE⊥平⾯PAB.(2)由(1)知，BE⊥平⾯PAB，PB?平⾯PAB，所以PB⊥BE.⼜AB⊥BE，所以∠PBA是⼆⾯⾓A-BE-P的平⾯⾓．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，∠PBA＝60°.故⼆⾯⾓A-BE-P 的⼤⼩为60°.1.如图，⼆⾯⾓αlβ的⼤⼩是60°，线段AB?α，B∈l，AB与l所成的⾓为30°，则AB与平⾯β所成的⾓的正弦值是________．答案3 4解析如图所⽰，过点A作平⾯β的垂线，垂⾜为C，在β内过C作l的垂线，垂⾜为D，连接AD，由线⾯垂直判定定理可知l⊥平⾯ACD，则l⊥AD，故∠ADC为⼆⾯⾓α-l-β的平⾯⾓，即∠ADC＝60°.⼜∠ABD＝30°，连接CB，则∠ABC为AB与平⾯β所成的⾓，设AD＝2，则AC＝3，CD＝1，AB＝ADsin30°＝4，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝34.2．(2017·辽宁省育才学校阶段测试)如图，在⼏何体ABDCE 中，AB ＝AD ，M 是BD 的中点，AE ⊥平⾯ABD ，MC ∥AE，AE ＝MC.(1)求证：平⾯BCD ⊥平⾯CDE ；(2)若N 为线段DE 的中点，求证：平⾯AMN ∥平⾯BEC. 证明 (1)∵AB ＝AD ，M 为线段BD 的中点，∴AM ⊥BD.∵AE ⊥平⾯ABD ，MC ∥AE ，∴MC ⊥平⾯ABD. ∴MC ⊥AM.⼜MC ∩BD ＝M ，∴AM ⊥平⾯CBD.⼜MC ∥AE ，MC ＝AE ，∴四边形AMCE 为平⾏四边形，∴EC ∥AM ，∴EC ⊥平⾯CBD ，⼜EC ?平⾯CDE ，∴平⾯BCD ⊥平⾯CDE.(2)∵M 为BD 中点，N 为ED 中点，∴MN ∥BE. 由(1)知EC ∥AM 且AM ∩MN ＝M ，BE ∩EC ＝E ，∴平⾯AMN ∥平⾯BEC.3.在如图所⽰的⼏何体中，四边形ABCD 是正⽅形，MA ⊥平⾯ABCD ，PD ∥MA ，E ，G ，F 分别为MB ，PB ，PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA. (1)求证：平⾯EFG ⊥平⾯PDC ；(2)求三棱锥P-MAB 与四棱锥P-ABCD 的体积之⽐．解析 (1)证明：因为MA ⊥平⾯ABCD ，PD ∥MA. 所以PD ⊥平⾯ABCD.⼜BC ?平⾯ABCD ，所以PD ⊥BC. 因为四边形ABCD 为正⽅形，所以BC ⊥DC.⼜PD∩DC＝D，所以BC⊥平⾯PDC.在△PBC中，因为G，F分别为PB，PC的中点，所以GF∥BC，所以GF⊥平⾯PDC.⼜GF?平⾯EFG，所以平⾯EFG⊥平⾯PDC.(2)因为PD⊥平⾯ABCD，四边形ABCD为正⽅形，不妨设MA＝1，则PD＝AD＝2，所以V P-ABCD＝13S正⽅形ABCD ·PD＝83.由题意易知DA⊥平⾯MAB，且PD∥MA，所以DA即为点P到平⾯MAB的距离，所以V P-MAB＝13×12×1×2×2＝23.所以V P-MAB∶V P-ABCD＝1∶4.。

课时作业(十八)1．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且有f(3)>f(1)．则下列各式中一定成立的是( )A ．f(－1)<f(3)B ．f(0)<f(5)C ．f(3)>f(2)D ．f(2)>f(0)答案 A解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，又f(3)>f(1)，∴f(－3)>f(－1)，f(3)>f(－1)都成立．2．设f(x)为定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是( )A ．f(－π)>f(3)>f(－2)B ．f(－π)>f(－2)>f(3)C ．f(－π)<f(3)<f(－2)D ．f(－π)<f(－2)<f(3)答案 A解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)．又f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴f(2)<f(3)<f(－π)，∴f(－2)<f(3)<f(－π)．3．若奇函数f(x)当1≤x ≤4时的解析式是f(x)＝x 2－4x ＋5，则当－4≤x ≤－1时，f(x)的最大值是( )A ．5B ．－5C ．－2D ．－1 答案 D解析 当－4≤x ≤－1时，1≤－x ≤4，∵1≤x ≤4时，f(x)＝x 2－4x ＋5.∴f(－x)＝x 2＋4x ＋5，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝－x 2－4x －5＝－(x ＋2)2－1.当x ＝－2时，取最大值－1.4．已知f(x)是奇函数且对任意正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则一定正确的是( )A ．f(3)>f(－5)B ．f(－5)>f(－3)C ．f(－5)>f(3)D ．f(－3)>f(－5)答案 D 5．定义在R 上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)<f(b)，则一定可得( )A ．a<bB ．a>bC ．|a|<|b|D ．0≤a<b 或a>b ≥0答案 C6．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)＝x ，则f(7.5)＝________．答案 －0.57．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数且f(1)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x<0的解集为________．答案 {x|－1<x<0或0<x<1}8．若奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)的值为________．答案 －159．若函数f(x)是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，则满足f(π)<f(a)的实数a 的取值范围是________．答案 (－π，π)解析 若a ≥0，f(x)在[0，＋∞)上是减函数，且f(π)<f(a)，得a<π.若a<0，∵f(π)＝f(－π), 则由f(x)在[0，＋∞)上是减函数，得知f(x)在(－∞，0]上是增函数． 由于f(－π)<f(a)，得到a>－π，即－π<a<0.由上述两种情况知a ∈(－π，π)．10．已知奇函数f(x)的定义域为R ，且对于任意实数x 都有f(x ＋4)＝f(x)，又f(1)＝4，那么f[f(7)]＝________．答案 0解析 ∵f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－4，∴f[f(7)]＝f(－4)＝f(－4＋4)＝f(0)＝0.11．设f(x)是偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)＋g(x)＝1x －1，则f(x)＝________，g(x)＝________． 答案 1x 2－1 x x 2－1解析 ∵f(x)＋g(x)＝1x －1， ① ∴f(－x)＋g(－x)＝1－x －1. 又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f(x)－g(x)＝1－x －1. ② ①＋②，得f(x)＝1x 2－1，①－②，得g(x)＝x x 2－1.12．已知函数f(x)＝x 2－2|x|－1，－3≤x ≤3.(1)证明：f(x)是偶函数；(2)指出函数f(x)的单调区间；(3)求函数的值域．解析 (1)证明：∵f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 （0≤x ≤3），x 2＋2x －1 （－3≤x ＜0）.∴f(x)的单调区间为[－3，－1]，[－1，0]，[0，1]，[1，3]．(3)f(x)的值域为[－2，2]．13．若f(x)是定义在R 上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(1－x)，求当x ≥0时，函数f(x)的解析式．解析 当x>0时，－x<0，∵当x<0时，f(x)＝x(1－x)，∴f(－x)＝－x(1＋x)．又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴－f(x)＝－x(1＋x)，∴f(x)＝x(1＋x)．又f(0)＝f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.∴当x ≥0时，f(x)＝x(1＋x)．点评 若f(x)是奇函数，且f(x)在x ＝0处有定义，则必有f(0)＝0，这是因为：若f(x)为奇函数，则对定义域内的任意实数x ，都有f(－x)＋f(x)＝0，∴当x ＝0时，有f(0)＋f(0)＝0.∴f(0)＝0.►重点班·选做题14．已知奇函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x （x>0）0 （x ＝0）x 2＋mx （x<0）.(1)求实数m 的值，并在给出的直角坐标系中画出y ＝f(x)的图象；(2)若函数f(x)在区间[－1，a －2]上单调递增，试确定a 的取值范围．解析 (1)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x 2－2x.又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－x 2－2x.∴f(x)＝x 2＋2x ，∴m ＝2.y ＝f(x)的图象如图所示．(2)由(1)知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x （x>0）0 （x ＝0）x 2＋2x （x<0），由图象可知，f(x)在[－1，1]上单调递增，要使f(x)在[－1，a －2]上单调递增，只需⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，解得1<a ≤3.1．定义在R 上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)，若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则f(x)( )A ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数B ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数C ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数D ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数答案 B2．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且x>0时，f(x)＝x 2＋1，则f(－2)＝________． 答案 －5解析 由f(x)在(－∞，＋∞)上是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即 f(－2)＝－f(2)，而f(2)＝22＋1＝5.∴f(－2)＝－5.3．已知函数f(x)＝x 2＋a x(x ≠0，a ∈R )． (1)判断f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．解析 (1)∵x ≠0且x ∈R ，f(－x)＝x 2＋a －x， 当a ＝0时，f(x)为偶函数；当a ≠0时，f(x)为非奇非偶函数．(2)设x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，f(x 1)－f(x 2)＝x 12－x 22＋a x 1－a x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－a x 1x 2)， ∵f(x)在[2，＋∞)上为增函数，∴x 1＋x 2>a x 1x 2恒成立，∴a ≤16.4．定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上是减函数，若f(1－m)<f(m)．求实数m 的取值范围．解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(1－m)<f(m)可化为f(|1－m|)<f(|m|)，又f(x)在[0，2]上是减函数，∴|1－m|>|m|，两边平方，得m<12，又f(x)定义域为[－2，2]， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，解之得－1≤m ≤2，综上得m ∈[－1，12)． 5．函数f(x)的定义域为D ＝{x|x ∈R 且x ≠0}，且满足对于任意的x 1，x 2∈D ，有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)．(1)求f(1)及f(－1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明．解析 (1)令x 1＝x 2＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，令x 1＝x 2＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝0，所以f(－1)＝0.(2)令x 1＝x ，x 2＝－1，得f(－x)＝f(x)＋f(－1)，即f(－x)＝f(x)，故对任意的x ≠0都有f(－x)＝f(x)．所以f(x)是偶函数．。

课时作业(十七)1．(2016·浙江)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n答案 C解析因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l.故选C.2．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题错误的是() A．若a⊥α，b∥α，则a⊥b B．若a⊥α，b∥a，b⊂β，则α⊥βC．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b D．若a∥α，a∥β，则α∥β答案 D解析由题意可知A，B，C选项显然正确，对于选项D，当α，β相交，且a与α，β的交线平行时，有a∥α，a∥β，但此时α与β不平行．故选D.3．设l，m，n为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中正确的个数是() ①若l⊥α，m∥β，α⊥β，则l⊥m；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥β，α∥β，则l∥n.A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析对于①，直线l，m可能互相平行，①不正确；对于②，直线m，n可能是平行线，此时不能得知l⊥α，②不正确；对于③，由定理“平行于同一条直线的两条直线平行”与“若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面”得知，③正确；对于④，由l∥m，m⊥α，得l⊥α，由n⊥β，α∥β，得n⊥α，因此有l∥n，④正确．综上所述，其中命题正确的是个数是2.故选B.4．(2017·长春十一期中)空间四边形ABCD中，M，N分别是AB和CD的中点，AD＝BC ＝6，MN＝32，则AD和BC所成的角是()A．120°B．90°C．60°D．30°答案 B解析 如图，取AC 的中点H ，连接MH ，NH ， 则MH 綊12BC ＝3，HN 綊12AD ＝3.又MN ＝32， ∴MN 2＋HN 2＝MN 2， ∴MH ⊥HN.∴∠MHN ＝90°，即AD 和BC 所成的角为90°.5．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°.将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A-BCD ，则在三棱锥ABCD 中，下列命题正确的是( )A ．平面ADC ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ABD ⊥平面ABC答案 A解析 易知CD ⊥BD ，又平面ABD ⊥平面BCD ， 且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， ∴CD ⊥平面ABD ，又BA ⊂平面ABD ， ∴CD ⊥BA.又BA ⊥AD ，且AD ∩CD ＝D ， ∴BA ⊥平面ADC ，又BA ⊂平面ABC ， ∴平面ADC ⊥平面ABC.6．(2017·天水市一中期中)如图所示，ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体，AA 1＝a ，∠BAB 1＝∠B 1A 1C 1＝30°，则AB 与A 1C 1所成的角为________，AA 1与B 1C 所成的角为________．答案 30° 45°解析 AB 与A 1C 1所成的角即为A 1B 1与A 1C 1所成的角，即∠B 1A 1C 1＝30°，∵AA 1＝a ，∠BAB 1＝30°，∴AB ＝3a. ∴B 1C 1＝A 1B 1tan30°＝3a ·33＝a ，即B 1C 1＝B 1B ＝A 1A ＝a ，∴四边形BB 1C 1C 是正方形，∴BB 1与B 1C 所成的角为45°，即AA 1与B 1C 所成的角为45°.7．设平面α∥平面β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平面α，β之间，AS ＝8，BS ＝6，CS ＝12，则DS ＝________． 答案 9解析 因为直线AB 与CD 交于点S ，所以A ，B ，C ，D 四点共面．又平面α∥平面β，所以BD ∥AC ，△ACS 与△BDS 相似，所以AS BS ＝CS DS ，即86＝12DS ，所以DS ＝9.8．如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面ACM ； (2)证明：AD ⊥平面PAC ；(3)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．解析 (1)证明：连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO.因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，所以PB ∥平面ACM. (2)证明：因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1， 所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC.又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， 所以PO ⊥AD.而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面PAC. (3)取DO 中点N ，连接MN ，AN. 因为M 为PD 的中点，所以MN ∥PO ， 且MN ＝12PO ＝1.又由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ， 所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角．在Rt △DAO 中，AD ＝1，AO＝12，所以DO ＝52.从而AN ＝12DO ＝54.在Rt △ANM 中，tan ∠MAN ＝MN AN ＝154＝455，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为455. 9．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC ＝1，PC ＝23，PD ＝CD ＝2.(1)求异面直线PA 与BC 所成角的正切值； (2)证明：平面PDC ⊥平面ABCD ；(3)求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值．解析 (1)如图，在四棱锥P-ABCD 中，因为底面ABCD 是矩形，所以AD ＝BC 且AD ∥BC. 故∠PAD 为异面直线PA 与BC 所成的角．又因为AD ⊥PD ，在Rt △PDA 中，tan ∠PAD ＝PDAD ＝2.所以异面直线PA 与BC 所成角的正切值为2.(2)证明：由于底面ABCD 是矩形，故AD ⊥CD ，又由于AD ⊥PD ，CD ∩PD ＝D ，因此AD ⊥平面PDC ，而AD ⊂平面ABCD ，所以平面PDC ⊥平面ABCD. (3)在平面PDC 内，过点P 作PE ⊥CD 交直线CD 于点E ，连接EB.由于平面PDC ⊥平面ABCD ，而直线CD 是平面PDC 与平面ABCD 的交线． 故PE ⊥平面ABCD ，由此得∠PBE 为直线PB 与平面ABCD 所成的角． 在△PDC 中，由于PD ＝CD ＝2，PC ＝23，可得∠PCD ＝30°. 在Rt △PEC 中，PE ＝PCsin30°＝ 3.由AD ∥BC ，AD ⊥平面PDC ，得BC ⊥平面PDC. 又PC ⊂平面PDC ，因此BC ⊥PC.在Rt△PCB中，PB＝PC2＋BC2＝13.在Rt△PEB中，sin∠PBE＝PEPB ＝3913.所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为3913.10．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD ⊥底面ABCD.(1)证明：PA⊥BD；(2)设PD＝AD＝1，求棱锥D-PBC的高．解析(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理，得BD＝3AD.所以BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以BD⊥PD.所以BD⊥平面PAD，又PA⊂平面PAD，故PA⊥BD.(2)如图，作DE⊥PB，垂足为E.已知PD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，故PD⊥BC.由(1)知BD⊥AD，因为BC∥AD，所以BC⊥BD，又PD∩BD＝D，所以BC⊥平面PBD，而DE⊂平面PBD，所以BC⊥DE.又PB∩BC＝B，则DE⊥平面PBC，即DE为棱锥D-PBC的高．由PD＝AD＝1知BD＝3，PB＝2.由DE·PB＝PD·BD，得DE＝32.所以棱锥D-PBC的高为32.11．(2016·北京)如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．解析(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC，PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.(2)证明：因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PC⊥AB，又AC∩PC＝A，所以AB⊥平面PAC.又因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.(3)棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.证明如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF.因为E为AB的中点，所以EF∥PA.又因为PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，所以PA∥平面CEF.1．如图所示，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列三个命题：①△DBC是等边三角形；②AC⊥BD；③三棱锥DABC的体积是2 6.其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)答案①②解析取AC的中点O，连接OD，OB.则AC⊥OD，AC⊥OB，∴∠BOD＝90°，∴BD＝1，故①正确；易知AC⊥面BOD，∴AC⊥BD，故②正确；V DABC＝13×12×1×1×22＝212，故③不正确．2.如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥AB；(2)若PA＝AD，求证：MN⊥平面PCD.解析(1)证明：取PD的中点H，连接AH，NH.又由N为PC中点，∴HN∥CD且HN＝12CD.∵M为AB中点，∴AM∥CD且AM＝12CD.∴AM綊HN，∴四边形AMNH为平行四边形．∴AH∥MN.∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥AD，又∵PA⊥面ABCD，∴AB⊥面PAD.又∵AH⊂面PAD，∴AB⊥AH，∴AB⊥MN.(2)由(1)可知，AH⊥AB，又AB∥CD，∴AH⊥CD.∵PA＝AD，∴AH⊥PD，又PD∩CD＝D，∴AH⊥面PCD，∴MN⊥面PCD.3.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.证明(1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.。

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考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =<I B ．A B =R U C ．{|1}A B x x =>UD ．A B =∅I2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π43．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．168．右面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．A >1 000和n =n +1更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年B ．A >1 000和n =n +2C ．A ≤1 000和n =n +1D ．A ≤1 000和n =n +29．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．1011．设xyz 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的学科网&最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

课时作业(十六)1．设a ，b ∈R ，且a>0，函数f(x)＝x 2＋ax ＋2b ，g(x)＝ax ＋b ，在[－1，1]上g(x)的最大值为2，则f(2)等于( )A ．4B ．8C ．10D ．16答案 B2．函数f(x)＝x 2－mx ＋4(m>0)在(－∞，0]上的最小值是( )A ．4B ．－4C ．与m 的取值有关D ．不存在 答案 A3．已知二次函数f(x)＝m 2x 2＋2mx －3，则下列结论正确的是( )A ．函数f(x)有最大值－4B ．函数f(x)有最小值－4C ．函数f(x)有最大值－3D ．函数f(x)有最小值－3答案 B4．已知函数f(x)＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 C解析 f(x)＝－(x －2)2＋a ＋4，∴f(x)在[0，1]上单调递增．∴f(x)min ＝f(0)＝a ＝－2.∴f(x)max ＝f(1)＝－1＋4－2＝1.5．f(x)＝9－ax 2(a>0)在[0，3]上的最大值为________．答案 96．设0<x<1，则函数y ＝1x ＋11－x的最小值是________． 答案 4解析 y ＝1x ＋11－x ＝1x （1－x ）.当0<x<1时，x(1－x)＝－(x －12)2＋14≤14，∴y ≥4. 7．已知函数f(x)＝x 2－6x ＋8，x ∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，3]解析 f(x)是对称轴为x ＝3，开口向上的抛物线，所以f(x)在(－∞，3]上递减，[3，＋∞)上递增．又因为x ∈[1，a]，f(x)min ＝f(a)，所以f(x)在[1，a]上递减，故a ≤3.综上，1<a ≤3.8．用长度为24米的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________米．答案 3解析 设隔墙长度为x m ，场地面积为S m 2，则S ＝x·24－4x 2＝12x －2x 2＝－2(x －3)2＋18. ∴当x ＝3时，S 有最大值18 m 2.9．(1)求函数y ＝ax ＋1(a ≠0)在[0，2]上的最值．(2)若函数y ＝ax ＋1在[0，2]上的最大值与最小值之差为2.求a 的值．解析 (1)当a>0时，y ＝ax ＋1在[0，2]上单调递增，在x ＝0时取得最小值1，在x ＝2时取得最大值2a ＋1；当a<0时，y ＝ax ＋1在[0，2]上单调递减，在x ＝0时取得最大值1，在x ＝2时取得最小值2a ＋1.(2)∵|f(0)－f(2)|＝2，∴|1－(2a ＋1)|＝2，∴a ＝±1.10．已知f(x)＝12(x －1)2＋1的定义域与值域均为[1，b]，求b 的值． 解析 f(x)的对称轴是x ＝1，且f(x)是开口向上的抛物线，所以f(x)在[1，b]上递增．所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1，f （b ）＝b.即12(b －1)2＋1＝b ， 解得b ＝1或b ＝3，∵b>1，∴b ＝3.11．已知A ，B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x km 处D 地建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距两城距离不得小于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.3.若A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月．(1)把月供电总费用y 表示成x 的函数，并求定义域；(2)核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用最小？解析 (1)依题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥10，100－x ≥10，解得10≤x ≤90， y ＝6x 2＋3(100－x)2，∴函数y ＝6x 2＋3(100－x)2＝9x 2－600x ＋30 000，其定义域为[10，90]．(2)y ＝9x 2－600x ＋30 000＝9(x －1003)2＋20 000， ∴当x ＝1003时，y 取得最小值． ►重点班·选做题12．函数y ＝x ＋2x －1( )A ．有最小值12，无最大值 B ．有最大值12，无最小值 C ．有最小值12，最大值2 D ．无最大值，也无最小值答案 A解析 ∵y ＝x ＋2x －1在定义域[－12，＋∞)上是增函数，∴y ≥f(12)＝12，即函数最小值为12，无最大值，选A.13．已知关于x 的方程x 2－2mx ＋4m 2－6＝0的两不等根为α，β，试求(α－1)2＋(β－1)2的最值．解析 由题可知α＋β＝2m ，αβ＝4m 2－6，∴(α－1)2＋(β－1)2＝α2＋β2－2(α＋β)＋2＝(α＋β)2－2αβ－2(α＋β)＋2＝4m 2－2(4m 2－6)－2·2m ＋2＝－4m 2－4m ＋14＝－4(m ＋12)2＋15. ∵Δ＝(－2m)2－4(4m 2－6)＝－12m 2＋24>0，∴当m ＝－12时满足Δ>0. ∴原式的最大值为15，无最小值．1．若函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b](a<b<3)上有最大值9，最小值－7，则a ＝________，b ＝________．答案 －2 0解析 y ＝－(x －3)2＋18，∵a<b<3，∴函数y 在区间[a ，b]上单调递增，即－b 2＋6b ＋9＝9，得b ＝0(b ＝6不合题意，舍去)．－a 2＋6a ＋9＝－7，得a ＝－2(a ＝8不合题意，舍去)．2．已知函数f(x)＝x 2－2x －3，若x ∈[t ，t ＋2]时，求函数f(x)的最值．解析 ∵对称轴x ＝1，(1)当1≥t ＋2，即t ≤－1时，f(x)max ＝f(t)＝t 2－2t －3，f(x)min ＝f(t ＋2)＝t 2＋2t －3.(2)当t ＋t ＋22≤1<t ＋2，即－1<t ≤0时， f(x)max ＝f(t)＝t 2－2t －3，f(x)min ＝f(1)＝－4. (3)当t ≤1<t ＋t ＋22，即0<t ≤1时， f(x)max ＝f(t ＋2)＝t 2＋2t －3，f(x)min ＝f(1)＝－4.(4)当1<t ，即t>1时，f(x)max ＝f(t ＋2)＝t 2＋2t －3，f(x)min ＝f(t)＝t 2－2t －3.设函数最大值为g(t)，最小值为φ(t)时，则有g(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －3（t ≤0），t 2＋2t －3（t>0）， φ(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t －3（t ≤－1），－4（－1<t ≤1），t 2－2t －3（t>1）.。

2023必修一人教版高考调研数学一、概述2023年必修一人教版的高考数学试题一直备受关注，为了更好地适应高考改革的趋势，学科教师们对于数学教学内容进行了深入的调研和分析，本文将围绕2023必修一人教版高考数学调研展开全面讨论。

二、调研背景高考数学作为学生考试中的重要一科，对于学生的数学能力有着很高的要求。

随着高考内容和形式的不断变化，2023年的数学高考也必然会做出相应的调整。

三、教学内容分析1. 课程教材内容2023必修一人教版的高考数学教学将以新一代人工智能和信息技术为背景，强调数学内容的实用性和前沿性，对数学知识的运用能力将会有更高的要求。

2. 重点知识点在数学教学内容中，重点将突出数理逻辑、函数、微积分、概率统计等知识点，尤其是将概率统计引入社会生活中，使学生更好地理解数学知识的实际应用。

四、教学方法为了更好地适应2023必修一人教版高考数学试题的变化，教师们也将会针对新的教学内容和重点知识点进行相应的教学方法的调整，更加注重启发式教学和案例分析，引导学生主动思考和解决问题的能力。

五、教学策略1. 多元化教学手段在教学过程中，教师将会采用多种教学手段，包括教学视瓶、实例分析、小组讨论等，帮助学生更好地理解和掌握数学知识。

2. 拓展应用能力通过设计一些实际生活中的数学问题和场景，引导学生对数学知识进行应用，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。

六、评价与展望2023必修一人教版高考数学的调研将为数学教学的改革和发展带来全新的方向，新的教学内容和教学方法将有助于激发学生的数学学习兴趣和学习动力，提高他们的数学理解和运用能力，为未来的高考取得更好的成绩奠定坚实的基础。

七、结语随着时代和科技的不断发展，数学教学也必须不断改革和创新，希望教师们能够在2023必修一人教版高考数学教学中做出更多的尝试和探索，为学生提供更好的数学教学资源和环境，共同推动数学教育的发展。

八、教学资源建设随着2023必修一人教版高考数学教学内容的调整，教学资源的建设也至关重要。

课时作业(十七)1．集合M ＝{x |x ＝k π2＋π4，k ∈Z }，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π4＋π2，k ∈Z，则( ) A ．M ＝N B ．M N C ．M N D ．M ∩N ＝∅答案 C 解析 x ＝k π2＋π4＝2k ＋14·π， x ＝k π4＋π2＝k ＋π4，由于2k ＋1为奇数，k ＋2为整数，∴M N .2．sin 2·cos 3·tan 4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在答案 A解析 ∵π2<2<3<π<4<3π2，∴sin2>0，cos3<0，tan4>0， ∴sin2·cos3·tan4<0，∴选A.3．角α的终边过点P (－1,2)，则sin α＝( ) A.55 B.255C ．－55D ．－255答案 B 解析 sin α＝y r＝25＝255. 4．(2012·衡水调研卷)已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于( )A ．2B ．－2C ．2－π2D.π2－2 答案 C解析 ∵锐角α终边上一点P 的坐标为(2sin 2，－2cos 2)， ∴tan α＝－2cos 22sin 2＝－1tan 2＝1－＝tan(π2＋2)＝tan(2－π2)，故选C.5．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( ) A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos2θ答案 C解析 ∵θ为第一象限角，∴θ2为第一象限或第三象限角，∴tan θ2>0，选C.6．若点(sin α，sin2α)位于第四象限，则角α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 因为sin α>0，sin2α＝2sin αcos α<0，所以cos α<0，所以角α在第二象限． 7．已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的中心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4答案 C解析 设此扇形的半径为r ，弧长是l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝612rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.8．已知点P (sin 3π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4 B.3π4 C.5π4D.7π4答案 D解析 由sin 3π4>0，cos 3π4<0知角θ在第四象限，∵tan θ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.9．(2012·临沂模拟)若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵A 、B 是锐角△ABC 的两个内角， ∴A ＋B >90°，即A >90°－B .∴sin A >sin(90°－B )＝cos B ，cos A <cos(90°－B )＝sin B . ∴cos B －sin A <0，sin B －cos A >0，∴点P 在第二象限．故选B. 10．若θ角的终边与8π5的终边相同，则在[0,2π]内终边与θ4角的终边相同的角是________．答案 25π，910π，75π，1910π解析 由已知θ＝2k π＋8π5(k ∈Z )，∴θ4＝k π2＋2π5(k ∈Z )， 由0≤k π2＋2π5≤2π，得－45≤k ≤165， ∵k ∈Z ，∴k ＝0,1,2,3.∴θ4依次为25π，910π，75π，1910π. 11．有下列各式：①sin1125°；②tan 3712π·sin 3712π；③sin4tan4；④sin|－1|，其中为负值的个数是________． 答案 2解析 确定一个角的某一三角函数值的符号关键要看角在哪一象限，确定一个式子的符号，则需观察构成该式的结构特点及每部分的符号．对于①，因为1125°＝1080°＋45°，所以1125°是第一象限角，所以sin1125°>0；对于②，因为3712π＝2π＋1312π，则3712π是第三象限角，所以tan 3712π>0；sin 3712π<0，故tan 3712π·sin 3712π<0；对于③，因4弧度的角在第三象限，则sin4<0，tan4>0，故sin4tan4<0；对于④，因π4<1<π2，则sin|－1|>0，综上，②③为负数．12．若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为________． 答案 －43或－433解析 解法一：依题意可知角α的终边在第三象限，点P (－4，a )在其终边上且sin α·cos α＝34，易得tan α＝3或33，则a ＝－43或－433. 解法二：∵sin α·cos α＝34>0，∴sin α·cos α同号， ∴角α在第三象限，即P (－4，a )在第三象限，∴a <0. 根据三角函数的定义a16＋a2·－416＋a2＝34， 解得a ＝－43或a ＝－433.13．如果θ是第二象限角，且cos θ2－sin θ2＝1－sin θ，那么θ2所在象限为第________象限．答案 三解析 ∵cos θ2－sin θ2＝1－sin θ＝|cos θ2－sin θ2|∴cos θ2≥sin θ2，∴2k π－3π4≤θ2≤2k π＋π4，k ∈Z ，又∵2k π＋π2＜θ＜2k π＋π，k ∈Z ，∴k π＋π4＜θ2＜k π＋π2，∴2k π＋5π4＜θ2＜2k π＋3π2，故θ2为第三象限角． 14．(教材习题改编)若α的终边落在x ＋y ＝0上，求出在[－360°，360°]之间的所有角α.答案 －225°，－45°，135°，315°解析 若角α终边落在Ⅱ象限，∴{α|α＝3π4＋2k π，k ∈Z }．若角α的终边落在Ⅳ象限内，∴{α|α＝7π4＋2k π，k ∈Z }．∴α终边落在x ＋y ＝0上角的集合为{α|α＝3π4＋2k π，k ∈Z }∪{α|α＝7π4＋2k π，k ∈Z }＝{α|α＝3π4＋k π，k ∈Z }，令－360°≤135°＋k ·180°≤360°，∴k ＝{－2，－1,0,1}， ∴相应的角－225°，－45°，135°，315°.15．在直角坐标系xOy 中，若角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线l ：y ＝22x (x ≥0)．求sin(α＋π6)的值．答案1＋266解 由射线l 的方程为y ＝22x ，可得sin α＝223，cos α＝13，故sin(α＋π6)＝223×32＋13×12＝1＋266.1．已知角α的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为________．答案 10解析 由题意知tan α＝－6x ＝－35，∴x ＝10.2．若0<α<β<π2，则下列不等式正确的是________．①sin α＋sin β<α＋β ②α＋sin β<sin α＋β ③α·sin α<β·sin β ④β·sin α<α·sin β 答案 ①②③解析 由已知得sin α<α，sin β<β，0<sin α<sin β，因此sin α＋sin β<α＋β，即选项①正确．α·sin α<β·sin β，即选项③正确．构造函数f (x )＝x －sin x (其中x >0)，则f ′(x )＝1－cos x ≥0，因此函数f (x )＝x －sin x 在(0，＋∞)上是增函数，当0<α<β<π2时，有f (α)<f (β)，即α－sin α<β－sin β，α＋sin β<sin α＋β，选项②正确．对于选项D ，当α＝π6，β＝π3时，β·sin α＝π6>π6·32＝α·sin β，选项④不正确．3．求函数f (x )＝sin x －cos x 的定义域． 答案 {x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }解析 f (x )有意义，则sin x ≥cos x ， ∴sin(x －π4)≥0，∴2k π≤x －π4≤2k π＋π，∴2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .4．若π4<θ<π2，则下列不等式成立的是( )A ．sin θ>cos θ>tan θB ．cos θ>tan θ>sin θC ．sin θ>tan θ>cos θD ．tan θ>sin θ>cos θ答案 D解析 ∵π4<θ<π2，∴tan θ>1，sin θ－cos θ＝2sin(θ－π4)，∵π4<θ<π2，0<θ－π4<π4，∴sin(θ－π4)>0，∴sin θ>cos θ.1．(2012·山东淄博模拟)点P (tan2009°，cos2009°)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 D解析 由tan2009°＝tan(360°×5＋209°)＝tan209°>0，cos2009°＝cos(360°×5＋209°)＝cos209°<0，所以点P 位于第四象限，故选D.2．(2012·吉林长春模拟)扇形的中心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．答案7＋439解析 设内切圆的半径为r ， 扇形半径为R ，则(R －r )sin60°＝r . ∴R ＝(1＋23)r ，∴S 扇形S 圆＝12·2π3R 2πr 2＝13(R r )2＝13(1＋23)2＝7＋439. 3．(1)如果点P (sin θcosθ，2cos θ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限．(2)若θ是第二象限角，试判断θθ的符号是什么？【思路】 (1)由点P 所在的象限，可知sin θ、cos θ的符号，进而判断θ所在的象限．(2)由θ可判断cos θ，sin2θ的范围，把cos θ，sin2θ看作一个角，再判断sin(cos θ)，cos(sin2θ)的符号．解 (1)因为点P (sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限， 所以sin θcos θ<0,2cos θ<0，即{ sin θθ<0，所以θ为第二象限角．(2)∵2k π＋π2<θ<2k π＋π(k ∈Z )，∴－1<cos θ<0,4k π＋π<2θ<4k π＋2π，－1≤sin2θ<0， ∴sin(cos θ)<0，cos(sin2θ)>0. ∴θθ<0.∴θθ的符号是负号．。

课时作业(十七)1．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( )A ．－173B ．－103C ．－4D ．－643答案 A解析 f ′(x )＝x 2＋2x －3，f ′(x )＝0，x ∈[0,2]只有x ＝1. 比较f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103. 可知最小值为－173.2.已知f (x )的定义域为R ，f (x )的导函数f ′(x )的图像如图所示，则 ( )A ．f (x )在x ＝1处取得极小值B ．f (x )在x ＝1处取得极大值C ．f (x )在R 上的增函数D ．f (x )在(－∞，1)上是减函数，(1，＋∞)上是增函数 答案 C解析 由图像易知f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上是增函数．3．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对答案 A解析 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，∴f (x )在(－2,0)上增，(0,2)上减，∴x ＝0为极大值点，也为最大值点，∴f (0)＝m ＝3，∴m ＝3.∴f (－2)＝－37，f (2)＝－5. ∴最小值是－37，选A.4．当函数y ＝x ·2x取极小值时，x ＝ ( )A.1ln2B ．－1ln2C ．－ln2D ．ln2答案 B解析 由y ＝x ·2x ，得y ′＝2x ＋x ·2x·ln2. 令y ′＝0，得2x(1＋x ·ln2)＝0. ∵2x＞0，∴x ＝－1ln2.5．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则 ( )A ．0＜b ＜1B ．b ＜1C ．b ＞0D ．b ＜12答案 A解析 f (x )在(0,1)内有极小值，则f ′(x )＝3x 2－3b 在(0,1)上先负后正，∴f ′(0)＝－3b ＜0.∴b ＞0，f ′(1)＝3－3b ＞0，∴b ＜1. 综上，b 的范围为0＜b ＜1.6．已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72x ，则f (－a 2)与f (－1)的大小关系为( )A ．f (－a 2)≤f (－1) B ．f (－a 2)<f (－1) C ．f (－a 2)≥f (－1)D ．f (－a 2)与f (－1)的大小关系不确定 答案 A解析 由题意可得f ′(x )＝32x 2－2x －72.由f ′(x )＝12(3x －7)(x ＋1)＝0，得x ＝－1或x ＝73.当x <－1时，f (x )为增函数；当－1<x <73时，f (x )为减函数．所以f (－1)是函数f (x )在(－∞，0]上的最大值，又因为－a 2≤0，故f (－a 2)≤f (－1)．7．函数f (x )＝e －x·x ，则( )A ．仅有极小值12eB ．仅有极大值12eC ．有极小值0，极大值12eD ．以上皆不正确答案 B解析 f ′(x )＝－e －x·x ＋12x ·e －x ＝e －x (－x ＋12x )＝e －x·1－2x 2x . 令f ′(x )＝0，得x ＝12.当x >12时，f ′(x )<0；当x <12时，f ′(x )>0.∴x ＝12时取极大值，f (12)＝1e·12＝12e. 8．若y ＝a ln x ＋bx 2＋x 在x ＝1和x ＝2处有极值，则a ＝________，b ＝________. 答案 －23 －16解析 y ′＝a x＋2bx ＋1.由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a2＋4b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23，b ＝－16.9．设m ∈R ，若函数y ＝e x＋2mx (x ∈R )有大于零的极值点，则m 的取值范围是________． 答案 m <－12解析 因为函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R )有大于零的极值点，所以y ′＝e x＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图像可得－2m >1，即m <－12. 10．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴相切于(1,0)，则极小值为________． 答案 0解析 f ′(x )＝3x 2－2px －q ， 由题知f ′(1)＝3－2p －q ＝0. 又f (1)＝1－p －q ＝0，联立方程组，解得p ＝2，q ＝－1.∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1. 由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0， 解得x ＝1或x ＝13.经检验知x ＝1是函数的极小值点． ∴f (x )极小值＝f (1)＝0.11．函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 解析 令y ′＝3x 2－2a ＝0，得x ＝±2a3(a >0，否则函数y 为单调增函数)．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则2a 3<1，∴0<a <32. 12．已知函数f (x )＝e x＋a ln x 的定义域是D ，关于函数f (x )给出下列命题： ①对于任意a ∈(0，＋∞)，函数f (x )是D 上的减函数； ②对于任意a ∈(－∞，0)，函数f (x )存在最小值；③存在a ∈(0，＋∞)，使得对于任意的x ∈D ，都有f (x )>0成立； ④存在a ∈(－∞，0)，使得函数f (x )有两个零点．其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)． 答案 ②④解析 由f (x )＝e x＋a ln x 可得f ′(x )＝e x＋ax，若a >0，则f ′(x )>0，得函数f (x )是D 上的增函数，存在x ∈(0,1)，使得f (x )<0，即得命题①③不正确；若a <0，设e x＋a x＝0的根为m ，则在(0，m )上f ′(x )<0，在(m ，＋∞)上f ′(x )>0，所以函数f (x )存在最小值f (m )，即命题②正确；若f (m )<0，则函数f (x )有两个零点，即命题④正确．综上可得，正确命题的序号为②④.13．设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0＜x ＜2π，求函数f (x )的单调区间与极值． 解析 由f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0＜x ＜2π， 知f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1. 于是f ′(x )＝1＋2sin(x ＋π4)．令f ′(x )＝0，从而sin(x ＋π4)＝－22，得x ＝π或x ＝3π2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此，由上表知f (x )的单调递增区间是(0，π)与(3π2，2π)，单调递减区间是(π，3π2)，极小值为f (3π2)＝3π2，极大值为f (π)＝π＋2.14．已知函数f (x )＝x 2－1－2a ln x (a ≠0)．求函数f (x )的极值． 解析 因为f (x )＝x 2－1－2a ln x (x >0)， 所以f ′(x )＝2x －2ax＝x 2－ax. 当a <0时，因为x >0，且x 2－a >0，所以f ′(x )>0对x >0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f (x )无极值；当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x 1＝a ，x 2＝－a (舍去)． 所以当x >0时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以当x 1－a ln a . 综上，当a <0时，函数f (x )在(0，＋∞)上无极值． 当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －1－a ln a . 15．(2013·衡水调研卷)已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋ln x . (1)若f (x )无极值点，但其导函数f ′(x )有零点，求a 的值；(2)若f (x )有两个极值点，求a 的取值范围，并证明f (x )的极小值小于－32.解析 (1)首先，x >0，f ′(x )＝2ax －2＋1x ＝2ax 2－2x ＋1x，f ′(x )有零点而f (x )无极值点，表明该零点左右f (x )同号，故a ≠0，且2ax 2－2x ＋1＝0的Δ＝0.由此可得a ＝12.(2)由题意，2ax 2－2x ＋1＝0有两不同的正根，故Δ>0，a >0.解得0<a <12.设2ax 2－2x ＋1＝0有两根为x 1，x 2，不妨设x 1<x 2，因为在区间(0，x 1)，(x 2，＋∞)上，f (x )>0，而在区间(x 1，x 2)上，f (x )<0，故x 2是f (x )的极小值点．因f (x )在区间(x 1，x 2)上f (x )是减函数，如能证明f (x 1＋x 22)<－32.由韦达定理，x 1＋x 22＝12a ，f (12a )＝a (12a )2－2(12a )＋ln 12a ＝ln 12a －32·12a. 令12a ＝t ，其中t >1.设g (t )＝ln t －32t ＋32，利用导数容易证明g (t )． 当t >1时单调递减，而g (1)＝0，因此g (t )<0，即f (x )的极小值f (x 2)<0. (2)另证：实际上，我们可以用反代的方式证明f (x )的极小值均小于－32.由于两个极值点是方程2ax 2－2x ＋1＝0的两个正根，所以反过来，a ＝2x 2－12x 22(用x 1表示a 的关系式与此相同)，这样f (x 2)＝ax 22－2x 2＋ln x 2＝即f (x 2)＝ln x 2－x 2－12，再证明该式小于－32是容易的(注意x 2≠1，下略).16．已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝－13是函数f (x )的极值点，求函数f (x )在[1，a ]上的最大值；(3)设函数g (x )＝f (x )－bx ，在(2)的条件下，若函数g (x )恰有3个零点，求实数b 的取值范围．解析 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax －3， ∵f (x )在[1，＋∞)是增函数， ∴f ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即 3x 2－2ax －3≥0在[1，＋∞)上恒成立． 则必有a3≤1，且f ′(1)＝－2a ≥0.∴a ≤0.(2)依题意，f ′(－13)＝0，即13＋23a －3＝0，∴a ＝4. ∴f (x )＝x 3－4x 2－3x . 令f ′(x )＝3x 2－8x －3＝0， 得x 1＝－13，x 2＝3.则当x 变化时，f ′(x )与f (x )变化情况如下表∴f (x )(3)函数g (x )有3个零点⇔方程f (x )－bx ＝0有3个不相等的实根． 即方程x 3－4x 2－3x ＝bx 有3个不等实根． ∵x ＝0是其中一个根，∴只需满足方程x 2－4x －3－b ＝0有两个非零不等实根．∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16＋＋b ，－3－b ≠0.∴b >－7且b ≠－3.故实数b 的取值范围是b >－7且b ≠－3.1．(2013·石家庄模拟)设函数f (x )在R 上要导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( )答案 C解析 由f (x )在x ＝－2处取得极小值可知 当x <－2时，f ′(x )<0，则xf ′(x )>0， 当x >－2时，f ′(x )>0，则当－2<x <0时，xf ′(x )<0，当x >0时，xf ′(x )>0.2．设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值． (1)求a 、b 的值；(2)若对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围． 解析 (1)f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋3b ， 因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2时取得极值， 则有f ′(1)＝0，f ′(2)＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧6＋6a ＋3b ＝0，24＋12a ＋3b ＝0，解得a ＝－3，b ＝4.(2)由(1)可知，f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2,3)时，f ′(x )>0.所以，当x ＝1时，f (x )取得极大值f (1)＝5＋8c . 又f (0)＝8c ，f (3)＝9＋8c ，则当x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . 因为对于任意的x ∈[0,3]，有f (x )<c 2恒成立， 所以9＋8c <c 2，解得c <－1或c >9.因此c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)． 3．已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3x ＋1. (1)设a ＝2，求f (x )的单调区间；(2)设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围．解析 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 3－6x 2＋3x ＋1，f ′(x )＝3(x －2＋3)(x －2－3)． 当x ∈(－∞，2－3)时f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－3)上单调增加； 当x ∈(2－3，2＋3)时f ′(x )＜0，f (x )在(2－3，2＋3)上单调减少； 当x ∈(2＋3，＋∞)时f ′(x )＞0，f (x )在(2＋3，＋∞)上单调增加．综上，f (x )的单调增区间是(－∞，2－3)和(2＋3，＋∞)，f (x )的单调减区间是(2－3，2＋3)．(2)f ′(x )＝3[(x －a )2＋1－a 2]．当1－a 2≥0时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，故f (x )无极值点； 当1－a 2＜0时，f ′(x )＝0有两个根，x 1＝a －a 2－1，x 2＝a ＋a 2－1.由题意知，2＜a －a 2－1＜3，① 或2＜a ＋a 2－1＜3.② ①式无解．②式的解为54＜a ＜53.因此a 的取值范围是(54，53)．4．(2013·沧州七校联考)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋1－ln x . (1)若f (x )在(0，12)上是减函数，求a 的取值范围；(2)函数f (x )是否既有极大值又有极小值？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解析 (1)f ′(x )＝－2x ＋a －1x ，∵f (x )在(0，12)上为减函数，∴x ∈(0，12)时－2x ＋a－1x <0恒成立，即a <2x ＋1x恒成立．设g (x )＝2x ＋1x ，则g ′(x )＝2－1x 2.∵x ∈(0，12)时1x 2>4，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，12)上单调递减，g (x )>g (12)＝3，∴a ≤3.(2)若f (x )既有极大值又有极小值，则f ′(x )＝0必须有两个不等的正实数根x 1，x 2，即2x 2－ax ＋1＝0有两个不等的正实数根．故a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－8>0，a >0⇒a >22，∴当a >22时，f ′(x )＝0有两个不等的实数根．不妨设x 1<x 2，由f ′(x )＝－1x (2x 2－ax ＋1)＝－2x(x －x 1)(x －x 2)知，0<x <x 1时f ′(x )<0，x 1<x <x 2时f ′(x )>0，x >x 2时f ′(x )<0，∴当a >22时f (x )既有极大值f (x 2)又有极小值f (x 1)．5．已知a 是实数，求函数f (x )＝x 2(x －a )在区间[0,2]上的最大值． 解析 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a3.当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增，从而 f (x )max ＝f (2)＝8－4a .当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减，从而 f (x )max ＝f (0)＝0.当0<2a 3<2，即0<a <3时，f (x )在[0，2a 3]上单调递减，在[2a3，2]上单调递增，从而f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ，0<a ≤2，0，2<a <3.综上所述，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ，a ≤2，0，a >2.6．“我们称使f (x )＝0的x 为函数y ＝f (x )的零点．若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是连续的、单调的函数，且满足f (a )·f (b )<0，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上有唯一的零点”．对于函数f (x )＝6ln(x ＋1)－x 2＋2x －1.(1)讨论函数f (x )在其定义域内的单调性，并求出函数极值；(2)证明连续函数f (x )在[2，＋∞)内只有一个零点．解析 (1)f (x )＝6ln(x ＋1)－x 2＋2x －1的定义域为(－1，＋∞)， 且f ′(x )＝6x ＋1－2x ＋2＝8－2x2x ＋1，f ′(x )＝0⇒x ＝2(－2舍去)．∴当x ＝2时，f (x )的极大值为f (2)＝6ln3－1.(2)证明：由(1)知f (2)＝6ln3－1>0，f (x )在[2,7]上单调递减． 又f (7)＝6ln8－36＝18(ln2－2)<0， ∴f (2)·f (7)<0.∴f (x )在[2,7]上有唯一零点． 当x ∈[7，＋∞)时，f (x )≤f (7)<0. 故x ∈[7，＋∞)时，f (x )不为零． ∴y ＝f (x )在[7，＋∞)上无零点．∴函数f (x )＝6ln(x ＋1)－x 2＋2x －1在定义域内只有一个零点． 7．已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．思路 本题考查多项式的导数公式及运用导数求函数的单调区间和函数的最值，题目中需注意应先比较f (2)和f (－2)的大小，然后判定哪个是最大值从而求出a .解析 (1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9. 令f ′(x )<0，解得x <－1或x >3.∴函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)∵f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，∴f (2)>f (－2)．∵在(－1,3)上f ′(x )>0， ∴f (x )在(－1,2]上单调递增． 又由于f (x )在[－2，－1)上单调递减， ∴f (－1)是f (x )的极小值，且f (－1)＝a －5.∴f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2.∴f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2. ∴f (－1)＝a －5＝－7，即函数f (x )在区间[－2,2]上的最小值为－7.8．已知函数g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ∈R 且a ≠0)，g (－1)＝0，且g (x )的导函数f (x )满足f (0)f (1)≤0.设x 1、x 2为方程f (x )＝0的两根．(1)求b a的取值范围；(2)若当|x 1－x 2|最小时，g (x )的极大值比极小值大43，求g (x )的解析式．解析 (1)∵g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，∴g (－1)＝－a ＋b －c ＝0，即c ＝b －a .又f (x )＝g ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由f (0)f (1)≤0，得c (3a ＋2b ＋c )≤0，即(b －a )(3b ＋2a )≤0.∵a ≠0，∴(b a －1)(3·b a ＋2)≤0，解得－23≤ba≤1.又∵方程f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0(a ≠0)有两根，∴Δ≥0.而Δ＝(2b )2－4×3a ×c ＝4b 2－12a (b －a )＝4(b －32a )2＋3a 2>0恒成立，于是，b a 的取值范围是[－23，1]．(2)∵x 1、x 2是方程f (x )＝0的两根，即3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根为x 1、x 2， ∴x 1＋x 2＝－2b 3a ，x 1x 2＝c 3a ＝b －a 3a ＝b 3a －13.∴|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(－2b 3a )2－4(b 3a －13)＝49·(b a )2－43·b a ＋43＝49(b a －32)2＋13.∵－23≤b a ≤1，∴当且仅当b a ＝1，即a ＝b 时，|x 1－x 2|2取最小值，即|x 1－x 2|取最小值．此时，g (x )＝ax 3＋ax 2，f (x )＝3ax 2＋2ax ＝ax (3x ＋2)． 令f (x )＝0，得x 1＝－23，x 2＝0.若a >0，当x 变化时，f (x )、g (x )的变化情况如下表：由上表可知，g (x )的极大值为g (－23)＝427a ，极小值为g (0)＝0.由题设，知427a －0＝43，解得a ＝9，此时g (x )＝9x 3＋9x 2；若a <0，当x 变化时，f (x )、g (x )的变化情况如下表：由上表可知，g (x )的极大值为g (0)＝0，极小值为g (－3)＝27a .由题设知0－427a ＝43，解得a ＝－9，此时g (x )＝－9x 3－9x 2.点评 本题的难点是第(2)问，有两处值得思考：①|x 1－x 2|取得最小值时，会有怎样的结论？②怎样求出g (x )的极大值、极小值？在问题的求解过程中，由根与系数的关系建立|x 1－x 2|2关于b a 的函数关系式，由第(1)问中b a ∈[－23，1]求得|x 1－x 2|2取最小值，即|x 1－x 2|取得最小值时的条件是a ＝b .然后在求g (x )的极大值、极小值时，需要对a 分a >0、a <0进行讨论，得到相应的极大值、极小值．9．已知定义在正实数集上的函数f (x )＝12x 2＋2ax ，g (x )＝3a 2ln x ＋b ，其中a >0，设两曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a 表示b ；(2)求F (x )＝f (x )－g (x )的极值； (3)求b 的最大值．解析 (1)设y ＝f (x )与y ＝g (x )的公共点为(x 0，y 0)． ∵f ′(x )＝x ＋2a ，g ′(x )＝3a2x，由题意f (x 0)＝g (x 0)，f ′(x 0)＝g ′(x 0)．即12x 20＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋b ，x 0＋2a ＝3a 2x 0. 由x 0＋2a ＝3a2x 0，得x 0＝a 或x 0＝－3a (舍去)．即有b ＝12a 2＋2a 2－3a 2ln a ＝52a 2－3a 2ln a .(2)F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋2ax －3a 2ln x －b (x >0)，则F ′(x )＝x ＋2a －3a 2x＝x －ax ＋3a x(x >0)．所以F (x )在(0，a )上为减函数，在(a ，＋∞)上为增函数． 于是函数F (x )在x ＝a 时有极小值，F (x )极小＝F (a )＝F (x 0)＝f (x 0)－g (x 0)＝0，F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋2ax －3a 2ln x －b (x >0)无极大值．(3)由(1)知令h (t )＝52t 2－3t 2ln t (t >0)，则h ′(t )＝2t (1－3ln t )． 当t (1－3ln t )>0，即，h ′(t )>0；当t (1－3ln t )<0，即时，h ′(t )<0.故h (t )在()为增函数，在()为减函数．于是h (t )在(0，＋∞)上的极大值即为最大值：.即b 的最大值为.。