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2020届海南省新高考高三线上诊断性测试数学试题(附带详细解析)2020届海南省新高考高三线上诊断性测试数学试题注意事项：1.答题前请填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
2.请将答案正确填写在答题卡上。
一、单选题1.已知集合$A=\{x|-3<x<4\}$，$B=\{x|-4<x<6\}$，则$(A\cap B)$的取值为（）A.$\{x|4<x<6\}$B.$\{x|-4<x<-3\}\cup\{x|4<x<6\}$C.$\{x|4\leq x<6\}$D.$\{x|-4<x\leq -3\}\cup\{x|4\leq x<6\}$2.若复数$z$的虚部小于$0$，$|z|=5$，且$z+\bar{z}=4$，则$iz$的值为（）A.$1+3i$B.$2+i$C.$1+2i$D.$1-2i$3.“游客甲在海南省”是“游客甲在三亚市”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数$f(x)=x^2-mx+5$在$(2,+\infty)$上单调递增，则$m$的取值范围为（）A.$[4,+\infty)$B.$[2,+\infty)$C.$(-\infty,4]$D.$(-\infty,2]$5.展开$\left(2x-\frac{1}{3}\right)^6$的式子中，中间项的系数为（）A.$-40$B.$-40x^2$C.$40$D.$40x^2$6.现将五本相同的作文本分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得三本的概率为（）A.$\frac{11}{6}$B.$\frac{3}{10}$C.$\frac{1}{12}$D.$\frac{2}{9}$7.如图，在等腰直角$\triangle ABC$中，$D$，$E$分别为斜边$BC$的三等分点（$D$靠近点$B$），过$E$作$AD$的垂线，垂足为$F$，则$AF$的长度为（）无法排版，建议手写）21AB+AC5584D。
海南省2020届新高考数学高三线上诊断性测试试卷一、单选题 (共8题；共16分)1．（2分）已知集合 A ={x|−3<x <4} ， B ={x|−4<x <6} ，则 (∁R A)∩B = （ ）A ．{x|4<x <6}B ．{x|−4<x <−3}∪{x|4<x <6}C ．{x|4≤x <6}D ．{x|−4<x ≤−3}∪{x|4≤x <6}2．（2分）若复数 z 的虚部小于0， |z|=√5 ，且 z +z̅=4 ，则 iz = （ ）A ．1+3iB ．2+iC ．1+2iD ．1−2i3．（2分）“游客甲在海南省”是“游客甲在三亚市”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2分）已知函数 f(x)=x 2−mx +5 在 (2,+∞) 上单调递增，则m 的取值范围为（ ）A ．[4,+∞)B ．[2,+∞)C ．(−∞,4]D ．(−∞,2]5．（2分）(2x −1√4x3)6的展开式的中间项为（ ）A ．-40B ．−40x 2C ．40D ．40x 26．（2分）现将五本相同的作文本分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得三本的概率是（ ） A ．16B ．13C ．112D ．297．（2分）如图，在等腰直角 ΔABC 中， D ， E 分别为斜边 BC 的三等分点（ D 靠近点 B ），过 E 作 AD 的垂线，垂足为 F ，则 AF⇀= （ ）A ．35AB⇀+15AC ⇀ B ．25AB⇀+15AC ⇀ C ．415AB ⇀+815AC ⇀ D ．815AB ⇀+415AC ⇀ 8．（2分）已知函数 f(x)={−x 2−4x +1,x ≤02−2−x ,x >0,若关于x 的方程 (f(x)−1)(f(x)−m)=0 恰有5个不同的实根，则m的取值范围为（）A．(1,2)B．(1,5)C．(2,3)D．(2,5)二、多选题 (共4题；共12分)9．（3分）如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断正确的是（）A．1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了13B．1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C．2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D．2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率10．（3分）已知函数f(x)=sin2x+sin(2x+π3)，则（）A．f(x)的最小正周期为πB．曲线y=f(x)关于(π3,0)对称C．f(x)的最大值为√3D．曲线y=f(x)关于x=π6对称11．（3分）已知P是椭圆C:x 26+y2=1上的动点，Q是圆D:(x+1)2+y2=15上的动点，则（）A．C的焦距为√5B．C的离心率为√306C．圆D在C的内部D．|PQ|的最小值为2√5512．（3分）如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=√2AA1，E，F分别为AB，BC的中点，异面直AB1与C1F所成角的余弦值为m，则（）A．m=√33B．直线A1E与直线C1F共面C．m=√23D．直线A1E与直线C1F异面三、填空题 (共5题；共6分)13．（1分）若lgx+lgy=0，则4x+9y的最小值为.14．（1分）已知P为双曲线C：x2−y24=1右支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且线段A1A2，B1B2分别为C的实轴与虚轴.若|A1A2|，|B1B2|，|PF1|成等比数列，则|PF2|=.15．（2分）四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则四面体ABCD的体积为，球O的表面积为16．（1分）若曲线y=xe x+mx+1(x<−1)存在两条垂直于y轴的切线，则m的取值范围为.17．（1分）在①cosA=35，cosC=2√55，②csinC=sinA+bsinB，B=60∘，③c=2，cosA=18三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，__________，求△ABC的面积S.四、解答题 (共5题；共55分)18．（10分）如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，E为AB的中点，PD⊥CE,AE=1,PD=3,PC=√13（1）（5分）证明：AD⊥平面PCD．（2）（5分）求DA与平面PCE所成角的正弦值.19．（10分）某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.，n=a+b+c+d.附：参考公式和数据：K2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)附表：（1）（5分）根据以上数据完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.（2）（5分）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为p（每次抽奖互不影响，且p的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X（元）的分布列并求其数学期望.20．（10分）在数列{a n}，{b n}中，a1=b1=1，a n+1=3a n−b n−3n−1，b n+1=3b n−a n+3n+1.等差数列{c n}的前两项依次为a2，b2.（1）（5分）求{c n}的通项公式；（2）（5分）求数列{(a n+b n)c n}的前n项和S n.21．（10分）如图，已知点F为抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，|MN|=16.（1）（5分）求抛物线C的方程.（2）（5分）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.22．（15分）已知函数f(x)=2ln(x+1)+sinx+1，函数g(x)=ax−1−blnx（a,b∈R,ab≠0）.（1）（5分）讨论g(x)的单调性；（2）（5分）证明：当x≥0时，f(x)≤3x+1.（3）（5分）证明：当x>−1时，f(x)<(x2+2x+2)e sinx.答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】因为 A ={x|−3<x <4} ， B ={x|−4<x <6} ，所以 (∁R A)∩B ={x|−4<x ≤−3}∪{x|4≤x <6} . 故选：D【分析】根据补集的运算法则，求出集合A 的补集，再求交集即可得解.2．【答案】C【解析】【解答】由 z +z̅=4 ，得 z =2+mi(m ∈R) ，因为 |z|=√m 2+4=√5 ，所以 m =±1 .又z 的虚部小于0，所以 z =2−i ， iz =1+2i . 故选：C【分析】根据 z +z̅=4 可得 z =2+mi(m ∈R) ，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解.3．【答案】B【解析】【解答】因为三亚是海南省的一个地级市，所以如果甲在三亚市，那么甲必在海南省，反之不成立，故选：B.【分析】根据三亚与海南省的关系，结合充分条件和必要条件的关系判定.4．【答案】C【解析】【解答】因为 f(x) 在 (2,+∞) 上单调递增，所以 m 2≤2 ，即 m ≤4 .故选：C【分析】根据二次函数的单调性，考虑对称轴与2的关系求解不等式.5．【答案】B【解析】【解答】解： (2x −1√4x 3)6 的展开式的通项为 T k+1=C 6k (2x)6−k (−1√4x3)k则中间项为 T 4=C 63(2x)3(−1√4x3)3=20×23×(−14)×x 3−13×3=−40x 2 .故选：B.【分析】根据二项式定义可知 (2x −1√4x 3)6 一共有 7 项，通项为 T k+1=C 6k(2x)6−k (−1√4x3)k 可知第 4 项为中间项，计算可得.6．【答案】A故所求概率 P =16.故选：A【分析】列出树状图分别分析三人分得书的数目情况，根据古典概型求解.7．【答案】D【解析】【解答】设 BC =6 ，则 AB =AC =3√2,BD =DE =EC =2 ，AD =AE =√BD 2+BA 2−2BD ⋅BA ⋅cos π4 =√10 ， cos∠DAE =10+10−42×10=45 ，所以AF AD =AF AE =45 ，所以 AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =45AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .因为 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =45×(23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=815AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +415AC⃗⃗⃗⃗⃗ .故答案为：D【分析】设出等腰直角三角形 ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得cos∠DAE ，由此得到 AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =45AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将 AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =45AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗表示为以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底来表示的形式. 8．【答案】A【解析】【解答】由 (f(x)−1)(f(x)−m)=0 ，得 f(x)=1 或 f(x)=m ，作出 y =f(x) 的图象，如图所示，由图可知，方程 f(x)=1 有2个实根， 故方程 f(x)=m 有3个实根，故m 的取值范围为 (1,2) .【分析】作出函数图象， f(x)=1 有2个实根，故方程 f(x)=m 有3个实根，结合函数图象即可得出参数的取值范围.9．【答案】A,B,C【解析】【解答】1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例，其中西安32例，所以西安所占比例为 3287>13，故A 正确；由曲线图可知，1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B 正确；2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了 213−116=97 例，故C 正确； 2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了 98−8888=544 ，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了 88−7474=737，显然 737>544，故D 错误. 故选：ABC【分析】根据曲线图可得ABC 正确，2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了544，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了 737 ，D 说法不正确. 10．【答案】A,C,D【解析】【解答】 f(x)=sin2x +12sin2x +√32cos2x =√3sin(2x +π6) ，则 T =π ， f(x) 的最大值为 √3 ，f(π6)=√3sin(π3+π6)=√3 曲线 y =f(x) 关于 x =π6 对称， f(π3)=√3sin(2π3+π6)≠0 ，曲线 y =f(x) 不关于 (π3,0) 对称.故选：ACD【分析】根据三角恒等变换化简可得 f(x)=√3sin(2x +π6) ，即可得到其最小正周期，对称轴和对称中心以及最值.11．【答案】B,C【解析】【解答】依题意可得 c =√6−1=√5 ，则C 的焦距为 2√5 ， e =√56=√306 . 设 P(x,y)(−√6≤x ≤√6) ，则 |PD|2=(x +1)2+y 2=(x +1)2+1−x 26=56(x +65)2+45≥45>15，所以圆D 在C 的内部，且 |PQ| 的最小值为 √45−√15=√55.【分析】根据椭圆的性质可得焦距和离心率，求出 |PD| 的最小距离即可得到圆与椭圆的位置关系.12．【答案】B,C【解析】【解答】连接EF ， A 1C 1 ， C 1D ，DF ， EF//AC ，根据长方体性质可得 EF//A 1C 1 ，所以直线 A 1E 与直线 C 1F 共面.根据长方体性质 AB 1//C 1D ，所以异面直线 AB 1 与 C 1F 所成角为 ∠DC 1F . 设 AA 1=√2 ，则 AB =√2AA 1=2 ， 则 DF =√5 ， C 1F =√3 ， C 1D =√6 ， 由余弦定理，得 m =cos∠DC 1F =3+6−52×√3×√6=√23 .故选：BC【分析】连接 EF ， A 1C 1 ， C 1D ，DF ，易得 EF//A 1C 1 ，在三角形 DC 1F 中，由余弦定理求解 cos∠DC 1F ，即可得到 m .13．【答案】12【解析】【解答】因为 lgx +lgy =0 ，所以 xy =1(x >0,y >0) ，所以 4x +9y ≥2√4x ×9y =12 .等号成立的条件为 4x =9y ，即 x =32,y =23时取得最小值.故答案为：12【分析】由 lgx +lgy =0 ，得 xy =1(x >0,y >0) ，利用基本不等式即可得解.14．【答案】6【解析】【解答】解： ∵x 2−y 24=1∴|A 1A 2|=2a =2 ， |B 1B 2|=2b =4 ， ∵|A 1A 2| ， |B 1B 2| ， |PF 1| 成等比数列 ∴|A 1A 2|⋅|PF 1|=|B 1B 2|2 ， 解得 |PF 1|=8 ，∴|PF 2|=8−2a =6故答案为：6【分析】根据双曲线方程，可得实轴，虚轴|A1A2|，|B1B2|的长，再根据|A1A2|，|B1B2|，|PF1|成等比数列，求出|PF1|的值，最后根据双曲线的定义求出|PF2|的值.15．【答案】1；14π【解析】【解答】因为AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，所以四面体ABCD的体积V=13×1×12×2×3=1，该四面体的外接球与以AB，AC，AD为长宽高的长方体的外接球相同，直径为该长方体的体对角线长√12+22+32球O的表面积为4π×(√12+22+322)2=14π.故答案为：①1，②14π【分析】①根据四面体的特征，利用锥体体积公式求解，②利用补图法可得该四面体的外接球与以AB，AC，AD为长宽高的长方体的外接球相同，求出体对角线长度即直径，即可得解.16．【答案】(−27e4,0)【解析】【解答】由题意可得，y′=(x+1)e x−m(x+1)2=0，即m=(x+1)3e x在(−∞,−1)上有两个不同的解.设f(x)=(x+1)3e x(x<−1)，f′(x)=(x+1)2e x(x+4).当x<−4时，f′(x)<0；当−4<x<−1时，f′(x)>0 .函数在(−∞,−4)单调递减，(−4,−1)单调递增，所以f(x)min=f(−4)=−27e4，当x<−1时，f(x)<0，由洛必达法则limx→−∞(x+1)3e−x=limx→−∞3(x+1)2−e−x=limx→−∞6(x+1)e−x=limx→−∞6−e−x=0故m∈(−27e4,0).故答案为：(−27e4,0)【分析】将题目等价转化为当x<−1时导函数有两个零点，分离参数求解. 17．【答案】解：选①∵cosA=35，cosC=2√55，∴sinA=45，sinC=√55，=45×2√55+35×√55=11√525，由正弦定理得b=asinBsinA =3×11√52545=33√520，∴S=12absinC=12×3×33√520×√55=9940.选②∵csinC=sinA+bsinB，∴由正弦定理得c2=a+b2.∵a=3，∴b2=c2−3.又∵B=60∘，∴b2=c2+9−2×3×c×12=c2−3，∴c=4，∴S=12acsinB=3√3.选③∵c=2，cosA=18，∴由余弦定理得18=b2+22−322b×2，即b2−b2−5=0，解得b=52或b=−2（舍去）.∴sinA=√1−cos2A=3√78，∴△ABC的面积S=12bcsinA=12×52×2×3√78=15√716.故答案为：选①为9940；选②为3√3；选③为15√716.【解析】【分析】若选①，首先根据同角三角函数的基本关系求出sinA，sinC，再根据两角和的正弦公式求出sinB，由正弦定理求出边b，最后由面积公式求出三角形的面积.若选②，由正弦定理将角化边结合余弦定理求出边c，最后由面积公式求出三角形的面积.若选③，由余弦定理求出边b，由同角三角函数的基本关系求出sinA，最后由面积公式求出三角形的面积.18．【答案】（1）证明：因为E为AB的中点，AE=1，所以CD=AB=2，所以CD2+PD2=PC2，从而PD⊥CD. 又PD⊥CE，CD∩CE=C，所以PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD.因为四边形ABCD是正方形，所以AD⊥CD.又 CD ∩PD =D ，所以 AD ⊥ 平面PCD.（2）解：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系 D −xyz ，如图所示，则 A(2,0,0) ， P(0,0,3) ， E(2,1,0) ， C(0,2,0) ， 所以 PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,−3) ， EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0) ，DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0) . 设平面PCE 的法向量为 n ⃗ =(x,y,z) ， 则 PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0 ，即 {2x +y −3z =0−2x +y =0 ， 令 x =3 ，得 n ⃗ =(3,6,4) . cos〈n ⃗ ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=n ⃗⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n⃗⃗ ||DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√6161 ， 故DA 与平面PCE 所成角的正弦值为 3√6161.【解析】【分析】（1）通过证明 PD ⊥AD ， AD ⊥CD 即可证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用向量方法求解线面角的正弦值.19．【答案】（1）解： 2×2 列联表如下：K 2=90×(12×20−40×18)230×60×52×38=1440247>5>3.841 ， 因此有 95% 的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关. （2）解： X 可能取值为65，70，75，80，且 p =10+2090=13 . P(X =65)=C 33(13)3=127 ， P(X =70)=C 32(13)2×23=29 ， P(X =75)=C 31×13×(23)2=49 ， P(X =80)=C 30(23)3=827 ，所以 X 的分布列为EX =65×127+70×29+75×49+80×827=75 .【解析】【分析】（1）完善列联表，计算 K 2=1440247>3.841 得到答案.（2）先计算 p =13，分别计算 P(X =65)=127 ， P(X =70)=29 ， P(X =75)=49 ， P(X =80)=827，得到分布列，计算得到答案.20．【答案】（1）解：∵a 1=b 1=1 ，∴a 2=−2 ， b 2=6 ，则 {c n } 的公差为 d =6−(−2)=8故 {c n } 的通项公式为 c n =−2+8(n −1)=8n −10 . （2）解： a n+1=3a n −b n −3n −1 ，① b n+1=3b n −a n +3n +1 ，② ①+②得 a n+1+b n+1=2(a n +b n ) .又 a 1+b 1=2 ，从而 {a n +b n } 是首项为2，公比为2的等比数列， 故 a n +b n =2n . (a n +b n )c n =(8n −10)2n S n =−2×2+6×22+⋯+(8n −10)2n ， 2S n =−2×22+6×23+⋯+(8n −10)2n+1 ， S n −2S n =−4+8(22+23+⋯+2n )−(8n −10)2n+1 ，即 −S n =−4+8(2n+1−4)−(8n −10)2n+1=(18−8n)2n+1−36 ， 即 S n =(4n −9)2n+2+36 .【解析】【分析】（1）根据递推公式计算 a 2=−2 ， b 2=6 ，利用等差数列公式计算得到答案.（2）将题目中两式相加得到 a n+1+b n+1=2(a n +b n ) ，故 {a n +b n } 是首项为2，公比为2的等比数列，计算得到通项公式，再利用错位相减法计算得到答案.21．【答案】（1）解：当直线l 的倾斜角为45°，则 l 的斜率为1， ∵F(p 2,0) ， ∴l 的方程为 y =x −p2 . 由 {y =x −p2,y 2=2px,得 x 2−3px +p 24=0 . 设 M(x 1,y 1) ， N(x 2,y 2) ，则 x 1+x 2=3p ， ∴|MN|=x 1+x 2+p =4p =16 ， p =4 ， ∴抛物线C 的方程为 y 2=8x .（2）解：假设满足条件的点P 存在，设 P(a,0) ，由（1）知 F(2,0) ， ①当直线l 不与x 轴垂直时，设l 的方程为 y =k(x −2) （ k ≠0 ）， 由 {y =k(x −2),y 2=8x,得 k 2x 2−(4k 2+8)x +4k 2=0 ， Δ=(4k 2+8)2−4⋅k 2⋅4k 2=64k 2+64>0 ， x 1+x 2=4k 2+8k2 ， x 1x 2=4 . ∵直线PM ，PN 关于x 轴对称，∴k PM+k PN=0，k PM=k(x1−2)x1−a，k PN=k(x2−2)x2−a. ∴k(x1−2)(x2−a)+k(x2−2)(x1−a)=k[2x1x2−(a+2)(x1+x2)+4a]=−8(a+2)k=0，∴a=−2时，此时P(−2,0).②当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可.综上，存在唯一的点P(−2,0)，使直线PM，PN关于x轴对称.【解析】【分析】（1）当直线l的倾斜角为45°，则l的斜率为1，则直线方程为y=x−p2，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理可得x1+x2=3p，根据焦点弦公式|MN|=x1+x2+p，求出p的值，即可得到抛物线方程.（2）假设满足条件的点P存在，设P(a,0)，当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为y=k(x−2)（k≠0），联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，因为直线PM，PN关于x轴对称，所以k PM+k PN=0，即可求出a的值. 当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可. 22．【答案】（1）解：g(x)的定义域为(0,+∞)，g′(x)=ax−bx，当a>0，b<0时，g′(x)>0，则g(x)在(0,+∞)上单调递增；当a>0，b>0时，令g′(x)>0，得x>ba ，令g′(x)<0，得0<x<ba，则g(x)在(0,ba)上单调递减，在(b a,+∞)上单调递增；当a<0，b>0时，g′(x)<0，则g(x)在(0,+∞)上单调递减；当a<0，b<0时，令g′(x)>0，得0<x<ba ，令g′(x)<0，得x>ba，则g(x)在(0,ba)上单调递增，在(b a,+∞)上单调递减；（2）解：设函数ℎ(x)=f(x)−(3x+1)，则ℎ′(x)=2x+1+cosx−3.因为x≥0，所以2x+1∈(0,2]，cosx∈[−1,1]，则ℎ′(x)≤0，从而ℎ(x)在[0,+∞)上单调递减，所以ℎ(x)=f(x)−(3x+1)≤ℎ(0)=0，即f(x)≤3x+1.（3）解：当a=b=1时，g(x)=x−1−lnx.由（1）知，g(x)min=g(1)=0，所以g(x)=x−1−lnx≥0，即x≥1+lnx.当x>−1时，(x+1)2>0，(x+1)2e sinx>0，则(x+1)2e sinx≥1+ln[(x+1)2e sinx]，即(x+1)2e sinx≥2ln(x+1)+sinx+1，又(x2+2x+2)e sinx>(x+1)2e sinx，所以(x2+2x+2)e sinx>2ln(x+1)+sinx+1，即f(x)<(x2+2x+2)e sinx.【解析】【分析】（1）求出g(x)的定义域，导函数，对参数a、b分类讨论得到答案.（2）设函数ℎ(x)=f(x)−(3x+1)，求导说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得证.（3）由（1）可知x≥1+lnx，可得(x+1)2e sinx≥1+ln[(x+1)2e sinx]，即(x+1)2e sinx≥2ln(x+1)+ sinx+1又(x2+2x+2)e sinx>(x+1)2e sinx即可得证.。
2020高考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，孩子们！数学科试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号，用钢笔或签字笔填写在答题卡密封线内。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后在写上新的答案；不准采用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P （A +B ）＝P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k kn n P P C k P --=)1()(锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示底面积，h 表示高。
函数求导公式：'''''''''2()()()(0)u v u v uv u v uv u u v uv v v v±=±=+-=≠第Ⅰ卷（选择题，共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已知集合M={－1，0，1}，N={y ︱y=cosx ，x ∈M}，则M ∩N 是A ．{－1，0，1}B ．{0，1}C ．{0}D ．{1} （2）函数y=cosx （sinx+cosx ）的最小正周期为 A4π B 2πC πD 2π （3）下列各组命题中，“p 或q ”形式的复合命题为假命题的是A ．p ：函数1y x=-在R 上是增函数；q ：函数2y x =在R 上连续；B ．p ：导数为零的点一定是极值点；q ：最大值点的导数一定为零；C ．p ：互斥事件一定是对立事件；q ：对立事件一定是互斥事件；D ．p ：复数(1)i i +与复数1i --对应点关于y 轴对称；q ：复数11i i-+是纯虚数.高三数学调研测试第1页（共4页）（4）已知点P （x,y ）在线性区域 x+4y ≤1A 3B 4C 5 D125（5）盒中装有大小相同的黑、白两色小球，黑色小球15个，白色小球10个。
2020届海南省新高考高三线上诊断性测试数学试题一、单选题1．已知集合{}|34A x x =-<<，{}|46B x x =-<<，则()A B =R I ð（ ） A ．{}|46x x <<B ．{}{}43||46x x x x -<<-⋃<<C ．{} 6|4x x ≤< D ．{}{}43||46x x x x -<≤-⋃≤<【答案】D【解析】根据补集的运算法则，求出集合A 的补集，再求交集即可得解. 【详解】因为{}|34A x x =-<<，{}|46B x x =-<<， 所以(){}{}|43|46B x x x A x ⋂=-<≤-⋃≤<R ð. 故选：D 【点睛】此题考查集合的补集运算和交集运算，属于简单题目，考查基础知识的掌握.2．若复数z 的虚部小于0，|z |=4z z +=，则iz =（ ） A ．13i + B ．2i +C ．12i +D ．12i -【答案】C【解析】根据4z z +=可得()2z mi m =+∈R ，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解. 【详解】由4z z +=，得()2z mi m =+∈R ，因为||z ==1m =±. 又z 的虚部小于0，所以2z i =-，12iz i =+. 故选：C 【点睛】此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解. 3．“游客甲在海南省”是“游客甲在三亚市”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据三亚与海南省的关系，结合充分条件和必要条件的关系判定. 【详解】因为三亚是海南省的一个地级市，所以如果甲在三亚市，那么甲必在海南省，反之不成立，故选：B. 【点睛】此题考查充分条件和必要条件的辨析，关键在于弄清概念，准确识别三亚与海南省两者之间的关系.4．已知函数2()5f x x mx =-+在()2,+∞上单调递增，则m 的取值范围为（ ） A ．[)4,+∞ B ．[)2,+∞ C ．(],4-∞ D ．(] ,2-∞【答案】C【解析】根据二次函数的单调性，考虑对称轴与2的关系求解不等式. 【详解】因为()f x 在(2,)+∞上单调递增，所以22m≤，即4m ≤. 故选：C 【点睛】此题考查根据二次函数的单调性求参数的取值范围，关键在于熟练掌握二次函数的基本性质，准确列出不等关系求解，需要注意考虑端点处等号能否成立.5．62x ⎛⎝的展开式的中间项为（ ） A ．-40 B ．240x -C ．40D ．240x【答案】B【解析】根据二项式定义可知62x ⎛⎝一共有7项，通项为()6162kkk k T C x -+⎛= ⎝可知第4项为中间项，计算可得.【详解】解：62x ⎛ ⎝的展开式的通项为()6162k kkk T C x -+⎛= ⎝则中间项为313333234631(2)202404T x x C x -⨯⎛⎛⎫=⨯⨯-⨯=- ⎪ ⎭⎝=⎝. 故选：B.【点睛】本题考查求二项式展开式中指定项的计算问题，属于基础题.6．现将五本相同的作文本分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得三本的概率是（ ） A ．16B ．13C ．112D ．29【答案】A【解析】列出树状图分别分析三人分得书的数目情况，根据古典概型求解. 【详解】将甲、乙、丙三人分得的作文本的数量用树状图列举如下：故所求概率16P =. 故选：A 【点睛】此题考查求古典概型，关键在于准确得出基本事件总数，利用树状图解决问题通俗易懂，需要注意此题是五本相同的书.7．如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =u u u v（ ）A ．3155AB AC +u u uv u u u vB ．2155AB AC +u u uv u u u vC ．481515AB AC +u u uv u u u v D ．841515AB AC +u u uv u u u v 【答案】D【解析】设出等腰直角三角形ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得cos DAE ∠，由此得到45AF AD =u u u r u u u r，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将45AF AD =u u u r u u u r 表示为以,AB AC u u u r u u u r为基底来表示的形式.【详解】设6BC =，则2AB AC BD DE EC =====，AD AE ===101044cos 2105DAE +-∠==⨯， 所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =u u u r u u u r . 因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133AB AC =+u u ur u u u r ， 所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 故选：D 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.8．已知函数241,0()22,0,xx x x f x x -⎧--+≤=⎨->⎩若关于x 的方程()()()()1 0f x f x m --=恰有5个不同的实根，则m 的取值范围为（ ） A ．() 1,2 B ．()1,5C ．()2,3D ．(2,5)【答案】A【解析】作出函数图象，()1f x =有2个实根，故方程()f x m =有3个实根，结合函数图象即可得出参数的取值范围. 【详解】 由()()()()10f x f x m --=，得()1f x =或()f x m =，作出()y f x =的图象，如图所示，由图可知，方程()1f x =有2个实根， 故方程()f x m =有3个实根，故m 的取值范围为()1,2.故选：A【点睛】此题考查根据方程的根的个数求参数的取值范围，关键在于将问题等价转化，作出函数图象，数形结合求解.二、多选题9．如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断正确的是（）A．1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了1 3B．1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C．2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D．2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率【答案】ABC【解析】根据曲线图可得ABC正确，2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了544，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了737，D说法不正确.【详解】1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例，其中西安32例，所以西安所占比例为321873>，故A 正确； 由曲线图可知，1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B 正确；2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了21311697-=例，故C 正确；2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了988858844-=，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了887477437-=，显然753744>，故D 错误. 故选：ABC 【点睛】此题考查曲线图，根据图象特征判断选项说法是否正确，关键在于识图，弄清图中的数据变化.10．已知函数()sin 2sin(2)3f x x x π=++，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．曲线()y f x =关于(,0)3π对称C ．()f x D ．曲线()y f x =关于6x π=对称【答案】ACD【解析】根据三角恒等变换化简可得()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可得到其最小正周期，对称轴和对称中心以及最值. 【详解】1()sin 2sin 2cos 22226f x x x x x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，则T π=，()f x3()66f πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭曲线()y f x =关于6x π=对称，32()036f πππ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭，曲线()y f x =不关于,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称.故选：ACD 【点睛】此题考查三角函数的性质，根据三角恒等变换求函数解析式，根据性质得最小正周期，对称轴和对称中心以及最值.11．已知P 是椭圆22:12x C y +=上的动点，Q 是圆22(51:1)D x y ++=上的动点，则（ ）A ．CB ．C 的离心率为6C ．圆D 在C 的内部 D ．PQ 【答案】BC【解析】根据椭圆的性质可得焦距和离心率，求出||PD 的最小距离即可得到圆与椭圆的位置关系. 【详解】依题意可得c ==C 的焦距为6e ==.设(,)(P x y x ≤≤，则22222256441||(1)(1)1665555x PD x y x x ⎛⎫=++=++-=++≥> ⎪⎝⎭，所以圆D 在C 的内部，且||PQ =. 故选：BC. 【点睛】此题考查椭圆的基本量的计算，求椭圆上的点到圆上点的距离的取值范围，利用函数性质求解最值.12．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，异面直1AB 与1C F 所成角的余弦值为m ，则（ ）A ．33m =B ．直线1A E 与直线1C F 共面C ．23m =D ．直线1AE 与直线1CF 异面【答案】BC【解析】连接EF ，11A C ，1C D ，DF ，易得11//EF A C ，在三角形1DC F 中，由余弦定理求解1cos DC F ∠，即可得到m . 【详解】连接EF ，11A C ，1C D ，DF ，//EF AC ，根据长方体性质可得11//EF A C ， 所以直线1A E 与直线1C F 共面.根据长方体性质11//AB C D ，所以异面直线1AB 与1C F 所成角为1DC F ∠. 设12AA =，则122AB AA ==， 则5DF =，13C F =，16C D =， 由余弦定理，得12cos 3236m DC F =∠==⨯⨯.故选：BC 【点睛】此题考查空间直线的平行关系判断，根据直线平行，求直线的夹角，常用平行直线关系，利用余弦定理求异面直线夹角，三、填空题13．若lg lg 0x y +=，则49x y +的最小值为__________. 【答案】12【解析】由lg lg 0x y +=，得()10,0xy x y =>>，利用基本不等式即可得解. 【详解】因为lg lg 0x y +=，所以()10,0xy x y =>>，所以4912x y +≥=. 等号成立的条件为49x y =，即32,23x y ==时取得最小值. 故答案为：12 【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，关键在于熟练掌握基本不等式的使用条件，注意考虑等号成立的条件.14．已知P 为双曲线C ：2214y x -=右支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，且线段12A A ，12B B 分别为C 的实轴与虚轴.若12A A ，12B B ，1PF 成等比数列，则2PF =______.【答案】6【解析】根据双曲线方程，可得实轴，虚轴12A A ，12B B 的长，再根据12A A ，12B B ，1PF 成等比数列，求出1PF 的值，最后根据双曲线的定义求出2PF 的值.【详解】解：2214y x -=Q1222A A a ∴==，1224B B b ==， 12A A Q ，12B B ，1PF 成等比数列212112A A PF B B ∴⋅=，解得18PF =，2826PF a ∴=-=故答案为：6 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.15．四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的球面上，AB ，AC ，AD 两两垂直，且1AB =，2AC =，3AD =，则四面体ABCD 的体积为____，球O 的表面积为____【答案】1 14π【解析】①根据四面体的特征，利用锥体体积公式求解，②利用补图法可得该四面体的外接球与以AB ，AC ，AD 为长宽高的长方体的外接球相同，求出体对角线长度即直径，即可得解. 【详解】因为AB ，AC ，AD 两两垂直，且1AB =，2AC =，3AD =， 所以四面体ABCD 的体积11123132V =⨯⨯⨯⨯=， 该四面体的外接球与以AB ，AC ，AD 为长宽高的长方体的外接球相同，球O 的表面积为2414ππ⨯=⎝⎭. 故答案为：①1，②14π 【点睛】此题考查求锥体体积，解决几何体的外接球问题，需要积累常见几何体外接球半径的求解方法，以便于解题中能够事半功倍. 16．若曲线(1)1xmy xe x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线，则m 的取值范围为____. 【答案】427,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】将题目等价转化为当1x <-时导函数有两个零点，分离参数求解. 【详解】由题意可得，2(1)0(1)xmy x e x '=+-=+， 即3(1)xm x e =+在(,1)-∞-上有两个不同的解.设3()(1)(1)xf x x e x =+<-，2()(1)(4)xf x x e x '=++. 当4x <-时，()0f x '<；当41x -<<-时，()0f x '>.函数在(,4)-∞-单调递减，(4,1)--单调递增， 所以min 427()(4)f x f e=-=-，当1x <-时，()0f x <， 由洛必达法则32(1)3(1)6(1)6lim lim lim lim 0x x x x x x x x x x x e e e e ----→-∞→-∞→-∞→-∞+++====-- 故427,0m e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.故答案为：427,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】此题考查根据导数的几何意义解决切线问题，转化为函数零点问题，常用分离参数讨论函数单调性解决问题.17．在①3cos 5A =，cos C =，②sin sin sin c C A b B =+，60B =o ，③2c =，1cos 8A =三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，______，求ABC V 的面积S .【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】若选①，首先根据同角三角函数的基本关系求出sin A ，sin C ，再根据两角和的正弦公式求出sin B ，由正弦定理求出边b ，最后由面积公式求出三角形的面积. 若选②，由正弦定理将角化边结合余弦定理求出边c ，最后由面积公式求出三角形的面积.若选③，由余弦定理求出边b ，由同角三角函数的基本关系求出sin A ，最后由面积公式求出三角形的面积. 【详解】 解：选①∵3cos 5A =，cos 5C =，∴4sin 5A =，sin C =， ∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+43555525=⨯+⨯=，由正弦定理得3sin 254sin 205a Bb A===，∴1199sin 32240S ab C ==⨯=. 选②∵sin sin sin c C A b B =+， ∴由正弦定理得22c a b =+. ∵3a =，∴223b c =-. 又∵60B =o ，∴222192332b c c c =+-⨯⨯⨯=-， ∴4c =，∴1sin 2S ac B ==选③∵ 2c =，1cos 8A =， ∴ 由余弦定理得222123822b b +-=⨯，即2502b b --=，解得52b =或2b =-（舍去）. sin A ∴==∴ABC V的面积115sin 2222S bc A ==⨯⨯=.故答案为：选①为9940；选②为③. 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式解三角形，属于基础题.四、解答题18．如图，四棱锥P -ABCD 的底面是正方形，E 为AB 的中点，,1,3,13PD CE AE PD PC ⊥===（1）证明：AD ⊥平面PCD ．（2）求DA 与平面PCE 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2361【解析】（1）通过证明PD AD ⊥，AD CD ⊥即可证明线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用向量方法求解线面角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为E 为AB 的中点，1AE =， 所以2CD AB ==，所以222CD PD PC +=，从而PD CD ⊥. 又PD CE ⊥，CD CE C =I ，所以PD ⊥底面ABCD ，所以PD AD ⊥. 因为四边形ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥. 又CD PD D =I ，所以AD ⊥平面PCD.（2）解：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示， 则()2,0,0A ，()0,0,3P ，()2,1,0E ，()0,2,0C ，所以()2,1,3PE =-u u u r ，()2,1,0EC =-u u u r ，()2,0,0DA =u u u r. 设平面PCE 的法向量为(),,n x y z =r，则0PE n EC n ⋅=⋅=u u u r r u u u r r，即23020x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩，令3x =，得()3,6,4n =r .361cos ,||||n DA n DA n DA ⋅==r u u u rr u u u r r u u u r ，故DA 与平面PCE 所成角的正弦值为361.【点睛】此题考查证明线面垂直，求直线与平面所成角的正弦值，关键在于熟练掌握线面垂直的判定定理，熟记向量法求线面角的方法.19．某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表. 购买金额（元） [)0,15[)15,30 [)30,45 [)45,60 [)60,75 []75,90人数 101520152010（1）根据以上数据完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关. 不少于60元 少于60元 合计 男 40 女 18 合计（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为p （每次抽奖互不影响，且p 的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X （元）的分布列并求其数学期望.附：参考公式和数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.附表：【答案】(1)见解析，有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.(2)分布列见解析，数学期望75【解析】（1）完善列联表，计算214403.841247K =>得到答案. （2）先计算13p =，分别计算()16527P X ==，()2709P X ==，()4759P X ==，()88027P X ==，得到分布列，计算得到答案. 【详解】（1）22⨯列联表如下：()22901220401814405 3.84130605238247K ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关. （2）X 可能取值为65，70，75，80，且10201903p +==. ()3331165327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()22312270339P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()21312475339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()3032880327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为12486570758075279927EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了列联表，分布列，意在考查学生的应用能力和计算能力.20．在数列{}n a ，{}n b 中，111a b ==，1331n n n a a b n +=---，1331n n n b b a n +=-++.等差数列{}n c 的前两项依次为2a ，2b . （1）求{}n c 的通项公式； （2）求数列(){}nn n ab c +的前n 项和n S .【答案】（1）810n c n =-（2）2(49)236n n S n +=-+【解析】（1）根据递推公式计算22a =-，26b =，利用等差数列公式计算得到答案. （2）将题目中两式相加得到()112n n n n a b a b +++=+，故{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，计算得到通项公式，再利用错位相减法计算得到答案. 【详解】（1）∵111a b ==，∴22a =-，26b =，则{}n c 的公差为()628d =--= 故{}n c 的通项公式为28(1)810n c n n =-+-=-. （2）1331n n n a a b n +=---，①1331n n n b b a n +=-++，②①+②得()112n n n n a b a b +++=+.又112a b +=，从而{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，故2nn n a b +=.()()8102nn n n a b c n =+-22262(810)2n n S n =-⨯+⨯++-L ， 23122262(810)2n n S n +=-⨯+⨯++-L ，()231248222(810)2n n n n S S n +-=-++++--L ，即()1114824(810)2(188)236n n n n S n n +++-=-+---=--，即2(49)236n n S n +=-+.【点睛】本题考查了通项公式，错位相减法，变换得到()112n n n n a b a b +++=+是解题的关键. 21．如图，已知点F 为抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，过点F 的动直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且当直线l 的倾斜角为45°时，16MN =.（1）求抛物线C 的方程.（2）试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）28y x =（2）存在唯一的点()2,0P -，使直线PM ，PN 关于x 轴对称【解析】（1）当直线l 的倾斜角为45°，则l 的斜率为1，则直线方程为2py x =-，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理可得123x x p +=，根据焦点弦公式12MN x x p =++，求出p 的值，即可得到抛物线方程.（2）假设满足条件的点P 存在，设(),0P a ，当直线l 不与x 轴垂直时，设l 的方程为()2y k x =-（0k ≠），联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，因为直线PM ，PN 关于x 轴对称，所以0PM PN k k +=，即可求出a 的值. 当直线l 与x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM ，PN 关于x 轴对称，此时只需P 与焦点F 不重合即可. 【详解】解：（1）当直线l 的倾斜角为45°，则l 的斜率为1，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭Q ，l ∴的方程为2p y x =-.由2,22,p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得22304p x px -+=.设()11,M x y ，()22,N x y ，则123x x p +=， ∴12416x x p M p N ++===，4p =， ∴抛物线C 的方程为28y x =.（2）假设满足条件的点P 存在，设(),0P a ，由（1）知()2,0F ， ①当直线l 不与x 轴垂直时，设l 的方程为()2y k x =-（0k ≠），由()22,8,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()22224840k x k x k -++=，()22222484464640k k k k ∆=+-⋅⋅=+>， 212248k x x k++=，124x x =. ∵直线PM ，PN 关于x 轴对称， ∴0PM PN k k +=，()112PM k x k x a -=-，()222PNk x k x a-=-. ∴()()()()()()122112128(2)222240a k x x a k x x a k x x a x x a k+--+--=-+++=-=⎡⎤⎣⎦，∴2a =-时，此时()2,0P -.②当直线l 与x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM ，PN 关于x 轴对称，此时只需P 与焦点F 不重合即可. 综上，存在唯一的点()2,0P -，使直线PM ，PN 关于x 轴对称. 【点睛】本题考查抛物线的焦点弦公式的应用，直线与抛物线的综合问题，属于中档题. 22．已知函数()()2ln 1sin 1f x x x =+++，函数()1ln g x ax b x =--（,,0a b ab ∈≠R ）. （1）讨论()g x 的单调性；（2）证明：当0x ≥时，()31f x x ≤+.（3）证明：当1x >-时，()()2sin 22exf x x x <++.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析（3）证明见解析 【解析】（1）求出()g x 的定义域，导函数，对参数a 、b 分类讨论得到答案. （2）设函数()()()31h x f x x =-+，求导说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得证.（3）由（1）可知1ln x x ≥+，可得()()22sin sin 1e 1ln 1e xx x x ⎡⎤++≥+⎣⎦，即()()2sin 1e 2ln 1sin 1x x x x ++++≥又()()22sin sin 22e 1e x x x x x ++>+即可得证.【详解】（1）解：()g x 的定义域为()0,∞+，()a g x x bx'=-， 当0a >，0b <时，()0g x '>，则()g x 在()0,∞+上单调递增； 当0a >，0b >时，令()0g x '>，得bx a >，令()0g x '<，得0b x a<<，则()g x 在0,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 当0a <，0b >时，()0g x '<，则()g x 在()0,∞+上单调递减； 当0a <，0b <时，令()0g x '>，得0b x a<<，令()0g x '<，得bx a >，则()g x 在0,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； （2）证明：设函数()()()31h x f x x =-+，则()2cos 31x x h x '=+-+. 因为0x ≥，所以(]20,21x ∈+，[]cos 1,1x ∈-， 则()0h x '≤，从而()h x 在[)0,+∞上单调递减，所以()()()()3100h x f x x h =-+≤=，即()31f x x ≤+. （3）证明：当1a b ==时，()1ln g x x x =--.由（1）知，()()min 10g x g ==，所以()1ln 0g x x x =--≥，即1ln x x ≥+.当1x >-时，()210x +>，()2sin 1e 0x x +>，则()()22sin sin 1e 1ln 1e xx x x ⎡⎤++≥+⎣⎦， 即()()2sin 1e 2ln 1sin 1x x x x ++++≥，又()()22sin sin 22e1e xx x x x ++>+， 所以()()2sin 22e2ln 1sin 1xx x x x ++>+++，即()()2sin 22exf x x x <++.【点睛】本题考查利用导数研究含参函数的单调性，利用导数证明不等式，属于难题.。
2020年新高考数学全国卷2(海南)含答案(A4打印版)2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷（海南）数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1.设集合A={2,3,5,7}，B={1,2,3,5,8}，则B-A=（）A。
{1,3,5,7}B。
{2,3}C。
{2,3,5}D。
{1,2,3,5,7,8}2.(1+2i)(2+i)=A.4+5iB.5iC.-5iD.2+3i3.在△ABC中，D是AB边上的中点，则CB=A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间。
把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面。
在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）A.20°B.40°C.50°D.90°5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A.62%B.56%C.46%D.42%6.要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有A.2种B.3种C.6种D.8种7.已知函数f(x)=lg(x^2-4x-5)在(a,∞)上单调递增，则a的取值范围是（）A.(2,∞)B.[2,∞)C.(5,∞)D.(5,∞)8.若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是A.[-1,1]∪[3,∞)B.[-1,0]∪[1,∞)C.[0,1]D.[1,3]二、选择题9.答案：C。
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绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷（海南）数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1.设集合{}2,3,5,7A =，{}1,2,3,5,8B =，则A B =（ ）A .{}1,3,5,7B .{}2,3C .{}2,3,5D .{}1,2,3,5,7,8 2.()()12i 2i ++=（ ）A .45i +B .5iC .5i -D .23i + 3.在ABC △中，D 是AB 边上的中点，则CB =（ ）A .2CD CA +B .2CD CA -C .2CD CA -D .2CD CA +4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面。
在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为（ ）A .20︒B .40︒C .50︒D .90︒5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ） A .62%B .56%C .46%D .42%6.要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A .2种B .3种C .6种D .8种 7.已知函数()()2lg 45f x x x =--在(),a +∞上单调递增，则a 的取值范围是 （ ） A .()2,+∞B .[)2,+∞C .()5,+∞D .[)5,+∞ 8.若定义在R 的奇函数()f x 在(),0-∞单调递减，且()20f =，则满足()10xf x -≥的x 的取值范围是 （ ）A .[][)1,13,-+∞B .[][]3,10,1--C .[][)1,01,-+∞D .[][]1,01,3-二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9.我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（ ）A .这11天复工指数和复产指数均逐日增加B .这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量C .第3天至第11天复工复产指数均超过80%D .第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量 10.已知曲线22:1C mx ny +=.（ ）A .若0m n ＞＞，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B .若0m n =＞，则CC .若0mn ＜，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D .若0m =，0n ＞，则C 是两条直线11.下图是函数()y sin x ωϕ=+的部分图像，则()sin x ωϕ+=（ ）A .πsin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B .πsin 23x ⎛⎫- ⎪⎝⎭C .πcos 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D .5πcos 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭12.已知0a ＞，0b ＞，且1a b +=，则（ ）A .2212a b +≥B .12a b -＞C .22log log 2a b +-≥D 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 、N 分别为1BB 、AB 的中点，则三棱锥1A NMD -的体积为 .14.2:4C y x =的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB = . 15.将数列{}21n -与{}32n -的公共项从小到大排列得到数列{}n a ，则{}n a 的前n 项和为 .16.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC DG ⊥，垂足为C ，35tan ODC =∠，BH DG ∥，12 cm EF =， 2 cm DE =，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为2cm .四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.在①ac =sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在ABC △，它的内角A ，B ，C 的对边分别为啊a ，b ，c ，且sin 3sin AB ，π6C =， ？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求()1122311n n n a a a a a a -+-+⋯+-.19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率；（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99％的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？ 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，20.如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD .设平面P AD 与平面PBC 的交线为l ．（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知1PD AD ==，Q 为l 上的点，QB =PB 与平面QCD 所成角的正弦值.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞过点()2,3M ，点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12.（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求AMN △的面积的最大值.22.已知函数()1e ln ln x f x a x a -=-+.（1）当e a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若()1f x ≥，求a 的取值范围.2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷（海南）数学答案解析一、选择题 1.【答案】C【解析】根据集合交集的运算可直接得到结果． 因为{}2,3,5,7A =，{}1,2,3,5,8B =， 所以{}2,3,5A B =．故选：C【考点】集合交集的运算 2.【答案】B【解析】直接计算出答案即可．()()212i 2i 2i 4i 2i 5i ++=+++=故选：B【考点】复数的计算 3.【答案】C 【解析】根据向量的加减法运算法则算出即可．()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA -=+=+=+-=故选：C【考点】向量的加减法 4.【答案】B【解析】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知m CD ∥、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥．由于40AOC =︒∠，m CD ∥，所以40OAG AOC ==︒∠∠， 由于90OAG GAE BAE GAE +=+=︒∠∠∠∠，所以40BAE OAG ==︒∠∠，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE =︒∠．故选：B【提示】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点、A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角．【考点】中国古代数学文化，球体有关计算 5.【答案】C【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ，然后根据积事件的概率公式()()()()P A B P A P B P A B =+-+可得结果．记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ，则()P A 0.6=，()P B 0.82=，()P A B 0.96+=，所以()()()()P A B P A P B P A B 0.60.820.960.46=+-+=+-=，所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%． 故选：C【考点】积事件的概率公式 6.【答案】C【解析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可．第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C =种分法， 第二步，将2组学生安排到2个村，有222A =种安排方法，所以，不同的安排方法共有326⨯=种． 故选：C 7.【答案】D【解析】首先求出()f x 的定义域，然后求出()()2lg 45f x x x =--的单调递增区间即可．由2450x x --＞得5x ＞或1x -＜， 所以()f x 的定义域为()(),15,-∞-+∞，因为245y x x =--在()5,+∞上单调递增，所以()()2lg 45f x x x =--在()5,+∞上单调递增，所以5a ≥． 故选：D 8.【答案】D【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()20f =， 所以()f x 在()0,+∞上也是单调递减，且()20f -=，()00f =， 所以当()(),20,2x ∈-∞-时，()0f x ＞，当()()2,02,x ∈-+∞时，()0f x ＜，所以由()10xf x -≥可得：021012x x x ⎧⎨---⎩＜≤≤或≥或001212x x x ⎧⎨---⎩＞≤≤或≤或0x =，解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足()10xf x -≥的x 的取值范围是[][]1,01,3-．故选：D【提示】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果． 【考点】利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式 二、选择题 9.【答案】CD【解析】注意到折线图中有递减部分，可判定A 错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B 错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD 正确．由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A 错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B 错误； 由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C 正确． 由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D 正确； 【考点】折线图表示的函数的认知与理解 10.【答案】ACD【解析】结合选项进行逐项分析求解，0m n ＞＞时表示椭圆，0m n =＞时表示圆，0mn ＜时表示双曲线，0m =，0n ＞时表示两条直线．对于A ，若0m n ＞＞，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 因为0m n ＞＞，所以11m n＜，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确； 对于B ，若0m n =＞，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线CB 不正确； 对于C ，若0mn ＜，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得y =，故C 正确； 对于D ，若0m =，0n ＞，则221mx ny +=可化为21y n=，y =C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确． 故选：ACD【考点】曲线方程的特征 11.【答案】BC【解析】首先利用周期确定ω的值，然后确定ϕ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果．由函数图像可知：2πππ2362T =-=，则2π2π2πT ω===，所以不选A, 当2ππ5π36212x +==时，1y =-()5π3π22π122k k ϕ⨯+=+∈Z ∴， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ， 即函数的解析式为：2ππππsin 2π2πsin 2cos 2sin 236263y x k x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而π5πcos 2cos 266x x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：BC 12.【答案】ABD 【解析】根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解． 对于A ，()22222211112221222a b a a a a a +=+-=-+⎛⎫- ⎪⎝=+⎭≥，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=--＞，所以11222a b --=＞，故B 正确；对于C，2222221log log log log log224a ba b ab+⎛⎫+===-⎪⎝⎭≤，当且仅当12a b==时，等号成立，故C不正确；对于D，因为2112a b=+++=，12a b==时，等号成立，故D正确．故选：ABD【考点】不等式的性质三、填空题13.【答案】13【解析】利用11A NMD D AMNV V--=计算即可．因为正方体1111ABCD A B C D-的棱长为2，M、N分别为1BB、AB的中点所以11111112323A NMD D AMNV V--==⨯⨯⨯⨯=故答案为：1314.【答案】163【解析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果．∵抛物线的方程为24y x=，∴抛物线的焦点F坐标为()1,0F，又∵直线AB过焦点F AB的方程为：)1y x=-代入抛物线方程消去y并化简得231030x x-+=，解法一：解得113x=，23x=，所以121163333AB x=-=-=解法二：10036640=-=△＞设()11,A x y，()22,B x y则12103x x+=，过A，B分别作准线1x=-的垂线，设垂足分别为C，D如图所示．12121611+2=3AB AF BF AC BD x x x x=+=+=+++=+故答案为：163． 【考点】抛物线焦点弦长 15.【答案】232n n -【解析】首先判断出数列{}21n -与{}32n -项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果．因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以{}n a 的前n 项和为()2116322n n n n n -+=-，故答案为：232n n -． 【考点】有关数列的问题16.【答案】54π2+ 【解析】利用3tan 5ODC =∠求出圆弧AB 所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AOB 的面积，求出直角OAH △的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得．设OB OA r ==，由题意7AM AN ==，12EF =，所以5NF =，因为5AP =，所以45AGP ︒∠=，因为BH DG ∥，所以45AHO ︒=∠，因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OAAG ⊥， 即OAH △为等腰直角三角形；在直角OQD △中，5OQ =，7DQ =，因为3tan 5OQ ODC DQ ==∠，所以212522r -=-，解得r =等腰直角OAH △的面积为1142S =⨯；扇形AOB 的面积(2213π3π24S =⨯⨯=，所以阴影部分的面积为1215ππ422S S +-=+. 故答案为：5π42+．【考点】三角函数在实际中应用 四、解答题17.【答案】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a ，b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tan A 的值，得到角A ，B ，C 的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解. 解法一：由sin 3sin AB 可得：ab不妨设a =，()0b m m =>，则：2222222cos 32c a b ab C m m m m =+-=+-⨯=，即c m =． 选择条件①的解析：据此可得：2ac m ⨯=1m ∴=，此时1c m ==. 选择条件②的解析：据此可得：222222231cos 22b c a m m m A bc m +-+-===-，则：sin A =sin 3c A m ==，则：c m ==选择条件③的解析： 可得1c mb m==，c b =，与条件c =矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵sin A B =,π6C =，()πB A C =-+∴()πsin 6A A C A ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()31sin 3cos 2AA C AA =+=+， ∴sinA =,∴tanA =∴23A π=,∴6BC π==,若选①，ac =,∵a =,2=∴1c =； 若选②，sin 3cA =,3=,c =; 若选③，与条件c =矛盾．18.【答案】（1）设等比数列{}n a 的公比为()1q q ＞，则32411231208a a a q a q a a q ⎧+=+=⎪⎨==⎪⎩， 整理可得：22520q q -+=，1q ＞，2,q =，12a =数列的通项公式为：1222n nn a -==．（2）由于：()()()1121111122112n n n n n n n n a a --++-+=-⨯⨯=--，故：()1122311n n n a a a a a a -+-+⋯+-()1357921222212n n -+=-+-+⋯+-()()()322322128215512nn n +⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==----. 19.【答案】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=；（3）根据22⨯列联表中的数据可得()()()()()()2221006410161036007.4844 6.63580207426481n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯＞， 因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关． 【考点】古典概型的概率公式20.【答案】（1）证明：在正方形ABCD 中，AD BC ∥， 因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以//AD 平面PBC ，又因为AD ⊄平面P AD ，平面PAD 平面PBC l =，所以//AD l ，因为在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，所以AD DC ⊥，l DC ∴⊥， 且PD ⊥平面ABCD ，所以AD PD ⊥，l PD ∴⊥ 因CD PD D =所以l ⊥平面PDC ；（2）如图建立空间直角坐标系D xyz -，因为1PD AD ==，则有()0,0,0D ，()0,1,0C ，()1,0,0A ，()0,0,1P ，()1,1,0B 设(),0,1Q m ，则有()0,1,0,DC =，(),0,1DQ m =，()1,1,1PB =-，因为QB =1m ==设平面QCD 的法向量为(),,n x y z =， 则0DC n DQ n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00y x z =⎧⎨+=⎩，令1x =，则1z =-，所以平面QCD 的一个法向量为()1,0,1n =-，则2cos ,1n PB n PB n PB⋅<>====根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于6cos ,n PB <>=所以直线PB 与平面QCD . 【考点】立体几何21.【答案】（1）由题意可知直线AM 的方程为：()1322y x -=-，即24x y -=-． 当0y =时，解得4x =-，所以4a =，椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞过点()2,3M ，可得249116b +=，解得212b =.所以C 的方程：2211612x y +=.（2）设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时AMN △的面积取得最大值.联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y +=，可得：()2232448m y y ++=，化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m =-⨯-=△，即264m =，解得8m =±，与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=， 直线AM 方程为：24x y -=-，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d ==由两点之间距离公式可得AM =所以AMN △的面积的最大值：1182⨯=.22.【答案】 【解析】（1）()e ln 1x f x x =-+，()1e xf x x'∴=-，()1e 1k f '∴==-. ()1e 1f =+，∴切点坐标为()1,1e +，∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()()e 1e 11y x --=--,即()e 12y x =-+,∴切线与坐标轴交点坐标分别为()0,22,0e 1-⎛⎫⎪-⎝⎭， ∴所求三角形面积为1222=2e 1e 1-⨯⨯--;（2）解法一：()1e ln ln x f x a x a -=-+,()11e xf x a x-'∴=-，且0a ＞. 设()()g x f x =',则()121e 0x g x a x -'=+＞， ∴()g x 在()0,+∞上单调递增，即()f x '在()0,+∞上单调递增， 当1a =时，()01f '=,∴()()min 11f x f ==,∴()1f x ≥成立.当1a ＞时，11a ＜，11e 1a -∴＜，()()1111e 110a f f a a a -⎛⎫⎛⎫''∴=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜, ∴存在唯一00x ＞，使得()011e 0x f x a x -'=-=，且当()00,x x ∈时()0f x '＜，当()0,x x ∈+∞时()0f x '＞，0101e x a x -∴=，00ln 1ln a x x ∴+-=-，因此()()0100min e ln ln x f x f x a x a -==-+001ln 1ln 2ln 12ln 11a x a a a x =++-+-+=+≥＞， ∴()1f x ＞，∴()1f x ≥恒成立；当01a ＜＜时，()1ln 1f a a a =+＜＜，∴()11f ＜，()1f x ≥不是恒成立． 综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞．解法二：()1ln 1e ln ln eln ln 1x a x f x a x a x a -+-=-+=-+≥等价于 ln 1ln e ln 1ln e ln a x x a x x x x +-++-+=+≥,令()e xg x x =+,上述不等式等价于()()ln 1ln g a x g x +-≥,显然()g x 为单调增函数，∴又等价于ln 1ln a x x +-≥，即ln ln 1a x x -+≥， 令()ln 1h x x x =-+,则()111xh x x x-=-=' 在()0,1上()0h x '＞，()h x 单调递增；在()1,+∞上()0h x '＜，()h x 单调递减， ∴()()max 10h x h ==，ln 0a ≥，即1a ≥，∴a 的取值范围是[)1,+∞.【考点】导数几何意义，利用导数研究不等式恒成立问题。
绝密★启用前2020届海南省新高考高三线上诊断性测试数学试题1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合{}|34A x x =-<<，{}|46B x x =-<<，则()A B =R（ ）A ．{}|46x x <<B ．{}{}43||46x x x x -<<-⋃<<C ．{} 6|4x x ≤< D ．{}{}43||46x x x x -<≤-⋃≤<2．若复数z 的虚部小于0，|z |=4z z +=，则iz =（ ） A ．13i +B ．2i +C ．12i +D ．12i -3．“游客甲在海南省”是“游客甲在三亚市”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数2()5f x x mx =-+在()2,+∞上单调递增，则m 的取值范围为（ ） A ．[)4,+∞B ．[)2,+∞C ．(],4-∞D ．(] ,2-∞5．62x ⎛ ⎝的展开式的中间项为（ ） A ．-40B ．240x -C ．40D ．240x6．现将五本相同的作文本分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得三本的概率是（ ） A ．16B ．13C ．112D ．297．如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），……○…………装…………线…………○※※请※※不※※要※※在※※装……○…………装…………线…………○过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =（ ）A ．3155AB AC + B ．2155AB AC + C ．481515AB AC +D ．841515AB AC +8．已知函数241,0()22,0,xx x x f x x -⎧--+≤=⎨->⎩若关于x 的方程()()()()1 0f x f x m --=恰有5个不同的实根，则m 的取值范围为（ ） A ．() 1,2 B ．()1,5 C ．()2,3D ．(2,5)二、多选题9．如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断正确的是（ ）A ．1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了13B ．1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C ．2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D ．2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率π…………○……：___________班级：____…………○……A ．()f x 的最小正周期为π B ．曲线()y f x =关于(,0)3π对称C ．()f x D ．曲线()y f x =关于6x π=对称11．已知P 是椭圆22:12x C y +=上的动点，Q 是圆22(51:1)D x y ++=上的动点，则（ ）A ．CB ．C C ．圆D 在C 的内部D ．PQ 12．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，异面直1AB 与1C F 所成角的余弦值为m ，则（ ）A ．3m =B ．直线1A E 与直线1C F 共面C ．3m = D ．直线1A E 与直线1C F 异面第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 三、填空题13．若lg lg 0x y +=，则49x y +的最小值为__________.14．已知P 为双曲线C ：2214y x -=右支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，且……装…………○※※不※※要※※在※※装※※……装…………○______.15．四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且1AB=，2AC=，3AD=，则四面体ABCD的体积为____，球O的表面积为____16．若曲线(1)1xmy xe xx=+<-+存在两条垂直于y轴的切线，则m的取值范围为____.17．在①3cos5A=，cos C=，②sin sin sinc C A b B=+，60B=，③2c=，1cos8A=三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3a=，______，求ABC的面积S.四、解答题18．如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，E为AB的中点，,1,3,PD CE AE PD PC⊥===（1）证明：AD⊥平面PCD．（2）求DA与平面PCE所成角的正弦值.19．某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表.（1）根据以上数据完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.○…………外○…………内（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为p （每次抽奖互不影响，且p 的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X （元）的分布列并求其数学期望.附：参考公式和数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.附表：)20k20．在数列{}n a ，{}n b 中，111a b ==，1331n n n a a b n +=---，1331n n n b b a n +=-++.等差数列{}n c 的前两项依次为2a ，2b . （1）求{}n c 的通项公式； （2）求数列(){}nn n ab c +的前n 项和n S .21．如图，已知点F 为抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，过点F 的动直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且当直线l 的倾斜角为45°时，16MN =.（2）试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.22．已知函数()()2ln 1sin 1f x x x =+++，函数()1ln g x ax b x =--（,,0a b ab ∈≠R ）. （1）讨论()g x 的单调性；（2）证明：当0x ≥时，()31f x x ≤+. （3）证明：当1x >-时，()()2sin 22exf x x x <++.参考答案1．D 【解析】 【分析】根据补集的运算法则，求出集合A 的补集，再求交集即可得解. 【详解】因为{}|34A x x =-<<，{}|46B x x =-<<， 所以(){}{}|43|46B x x x A x ⋂=-<≤-⋃≤<R.故选：D 【点睛】此题考查集合的补集运算和交集运算，属于简单题目，考查基础知识的掌握. 2．C 【解析】 【分析】根据4z z +=可得()2z mi m =+∈R ，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解. 【详解】由4z z +=，得()2z mi m =+∈R ，因为||z ==1m =±. 又z 的虚部小于0，所以2z i =-，12iz i =+. 故选：C 【点睛】此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解. 3．B 【解析】 【分析】根据三亚与海南省的关系，结合充分条件和必要条件的关系判定. 【详解】因为三亚是海南省的一个地级市，所以如果甲在三亚市，那么甲必在海南省，反之不成立，故选：B. 【点睛】此题考查充分条件和必要条件的辨析，关键在于弄清概念，准确识别三亚与海南省两者之间的关系. 4．C 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性，考虑对称轴与2的关系求解不等式. 【详解】因为()f x 在(2,)+∞上单调递增，所以22m≤，即4m ≤. 故选：C 【点睛】此题考查根据二次函数的单调性求参数的取值范围，关键在于熟练掌握二次函数的基本性质，准确列出不等关系求解，需要注意考虑端点处等号能否成立. 5．B 【解析】 【分析】根据二项式定义可知62x ⎛ ⎝一共有7项，通项为()6162k kkk T C x -+⎛= ⎝可知第4项为中间项，计算可得.【详解】解：62x ⎛ ⎝的展开式的通项为()6162k kkk T C x -+⎛= ⎝则中间项为313333234631(2)202404T x x C x -⨯⎛⎛⎫=⨯⨯-⨯=- ⎪ ⎭⎝=⎝. 故选：B. 【点睛】本题考查求二项式展开式中指定项的计算问题，属于基础题.6．A 【解析】 【分析】列出树状图分别分析三人分得书的数目情况，根据古典概型求解. 【详解】将甲、乙、丙三人分得的作文本的数量用树状图列举如下：故所求概率16P =. 故选：A 【点睛】此题考查求古典概型，关键在于准确得出基本事件总数，利用树状图解决问题通俗易懂，需要注意此题是五本相同的书. 7．D 【解析】 【分析】设出等腰直角三角形ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得cos DAE ∠，由此得到45AF AD =，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将45AF AD =表示为以,AB AC 为基底来表示的形式. 【详解】设6BC =，则2AB AC BD DE EC =====，AD AE ===，101044cos 2105DAE +-∠==⨯， 所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =.因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+-2133AB AC =+， 所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题. 8．A 【解析】 【分析】作出函数图象，1f x 有2个实根，故方程()f x m =有3个实根，结合函数图象即可得出参数的取值范围. 【详解】 由()()()()10f x f x m --=，得1fx或()f x m =，作出()y f x =的图象，如图所示，由图可知，方程1f x 有2个实根，故方程()f x m =有3个实根，故m 的取值范围为1,2.故选：A 【点睛】此题考查根据方程的根的个数求参数的取值范围，关键在于将问题等价转化，作出函数图象，数形结合求解. 9．ABC 【解析】【分析】根据曲线图可得ABC 正确，2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了544，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了737，D 说法不正确. 【详解】1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例，其中西安32例，所以西安所占比例为321873>，故A 正确； 由曲线图可知，1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B 正确；2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了21311697-=例，故C 正确；2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了988858844-=，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了887477437-=，显然753744>，故D 错误. 故选：ABC 【点睛】此题考查曲线图，根据图象特征判断选项说法是否正确，关键在于识图，弄清图中的数据变化. 10．ACD 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简可得()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可得到其最小正周期，对称轴和对称中心以及最值. 【详解】1()sin 2sin 2cos 22226f x x x x x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，则T π=，()f x3()66f πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭曲线()y f x =关于6x π=对称，32()036f πππ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭，曲线()y f x =不关于,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称. 故选：ACD 【点睛】此题考查三角函数的性质，根据三角恒等变换求函数解析式，根据性质得最小正周期，对称轴和对称中心以及最值. 11．BC 【解析】 【分析】根据椭圆的性质可得焦距和离心率，求出||PD 的最小距离即可得到圆与椭圆的位置关系. 【详解】依题意可得c ==C 的焦距为6e ==.设(,)(P x y x ≤≤，则22222256441||(1)(1)1665555x PD x y x x ⎛⎫=++=++-=++≥> ⎪⎝⎭，所以圆D 在C 的内部，且||PQ =. 故选：BC. 【点睛】此题考查椭圆的基本量的计算，求椭圆上的点到圆上点的距离的取值范围，利用函数性质求解最值. 12．BC 【解析】 【分析】连接EF ，11A C ，1C D ，DF ，易得11//EF A C ，在三角形1DC F 中，由余弦定理求解1cos DC F ∠，即可得到m .【详解】连接EF ，11A C ，1C D ，DF ，//EF AC ，根据长方体性质可得11//EF A C ， 所以直线1A E 与直线1C F 共面.根据长方体性质11//AB C D ，所以异面直线1AB 与1C F 所成角为1DC F ∠.设1AA =12AB ==，则DF =1C F 1C D =由余弦定理，得1cos 3m DC F =∠==故选：BC 【点睛】此题考查空间直线的平行关系判断，根据直线平行，求直线的夹角，常用平行直线关系，利用余弦定理求异面直线夹角， 13．12 【解析】 【分析】由lg lg 0x y +=，得()10,0xy x y =>>，利用基本不等式即可得解. 【详解】因为lg lg 0x y +=，所以()10,0xy x y =>>，所以4912x y +≥=. 等号成立的条件为49x y =，即32,23x y ==时取得最小值. 故答案为：12 【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，关键在于熟练掌握基本不等式的使用条件，注意考虑等号成立的条件. 14．6 【解析】 【分析】根据双曲线方程，可得实轴，虚轴12A A ，12B B 的长，再根据12A A ，12B B ，1PF 成等比数列，求出1PF 的值，最后根据双曲线的定义求出2PF 的值. 【详解】解：2214y x -=1222A A a ∴==，1224B B b ==， 12A A ，12B B ，1PF 成等比数列212112A A PF B B ∴⋅=，解得18PF =，2826PF a ∴=-=故答案为：6 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题. 15．1 14π 【解析】 【分析】①根据四面体的特征，利用锥体体积公式求解，②利用补图法可得该四面体的外接球与以AB ，AC ，AD 为长宽高的长方体的外接球相同，求出体对角线长度即直径，即可得解. 【详解】因为AB ，AC ，AD 两两垂直，且1AB =，2AC =，3AD =， 所以四面体ABCD 的体积11123132V =⨯⨯⨯⨯=， 该四面体的外接球与以AB ，AC ，AD 为长宽高的长方体的外接球相同，球O 的表面积为24142ππ⎛⨯=⎪⎝⎭. 故答案为：①1，②14π 【点睛】此题考查求锥体体积，解决几何体的外接球问题，需要积累常见几何体外接球半径的求解方法，以便于解题中能够事半功倍. 16．427,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】 【分析】将题目等价转化为当1x <-时导函数有两个零点，分离参数求解. 【详解】由题意可得，2(1)0(1)xmy x e x '=+-=+， 即3(1)xm x e =+在(,1)-∞-上有两个不同的解.设3()(1)(1)xf x x e x =+<-，2()(1)(4)xf x x e x '=++. 当4x <-时，()0f x '<；当41x -<<-时，()0f x '>. 函数在(,4)-∞-单调递减，(4,1)--单调递增， 所以min 427()(4)f x f e =-=-，当1x <-时，()0f x <， 由洛必达法则32(1)3(1)6(1)6lim lim lim lim 0x x xx x x x x x x x e e e e ----→-∞→-∞→-∞→-∞+++====--故427,0m e ⎛⎫∈-⎪⎝⎭. 故答案为：427,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】此题考查根据导数的几何意义解决切线问题，转化为函数零点问题，常用分离参数讨论函数单调性解决问题.17．答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】若选①，首先根据同角三角函数的基本关系求出sin A ，sin C ，再根据两角和的正弦公式求出sin B ，由正弦定理求出边b ，最后由面积公式求出三角形的面积.若选②，由正弦定理将角化边结合余弦定理求出边c ，最后由面积公式求出三角形的面积. 若选③，由余弦定理求出边b ，由同角三角函数的基本关系求出sin A ，最后由面积公式求出三角形的面积. 【详解】 解：选① ∵3cos 5A =，cos C =， ∴4sin 5A =，sin C =， ∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+4355=+=，由正弦定理得3sin 254sin 205a Bb A⨯===，∴1199sin 32220540S ab C ==⨯⨯=. 选②∵sin sin sin c C A b B =+， ∴由正弦定理得22c a b =+. ∵3a =，∴223b c =-.又∵60B =， ∴222192332b c c c =+-⨯⨯⨯=-， ∴4c =，∴1sin 2S ac B ==选③∵ 2c =，1cos 8A =， ∴ 由余弦定理得222123822b b +-=⨯，即2502b b --=，解得52b =或2b =-（舍去）.sin 8A ∴==∴ABC 的面积115sin 2222816S bc A ==⨯⨯⨯=.故答案为：选①为9940；选②为③为16. 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式解三角形，属于基础题.18．（1）证明见解析（2【解析】 【分析】（1）通过证明PD AD ⊥，AD CD ⊥即可证明线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用向量方法求解线面角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为E 为AB 的中点，1AE =，所以2CD AB ==，所以222CD PD PC +=，从而PD CD ⊥. 又PD CE ⊥，CD CE C =，所以PD ⊥底面ABCD ，所以PD AD ⊥. 因为四边形ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥. 又CDPD D =，所以AD ⊥平面PCD.（2）解：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示， 则()2,0,0A ，()0,0,3P ，()2,1,0E ，()0,2,0C ， 所以()2,1,3PE =-，()2,1,0EC =-，()2,0,0DA =. 设平面PCE 的法向量为(),,n x y z =，则0PE n EC n ⋅=⋅=，即23020x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩，令3x =，得()3,6,4n =.361cos ,61||||n DA n DA n DA ⋅==，故DA 与平面PCE【点睛】此题考查证明线面垂直，求直线与平面所成角的正弦值，关键在于熟练掌握线面垂直的判定定理，熟记向量法求线面角的方法.19．(1)见解析，有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.(2)分布列见解析，数学期望75 【解析】 【分析】（1）完善列联表，计算214403.841247K =>得到答案. （2）先计算13p =，分别计算()16527P X ==，()2709P X ==，()4759P X ==，()88027P X ==，得到分布列，计算得到答案. 【详解】（1）22⨯列联表如下：()22901220401814405 3.84130605238247K ⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关. （2）X 可能取值为65，70，75，80，且10201903p +==. ()3331165327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()22312270339P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()21312475339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()3032880327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为12486570758075279927EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了列联表，分布列，意在考查学生的应用能力和计算能力.20．（1）810n c n =-（2）2(49)236n n S n +=-+【解析】 【分析】（1）根据递推公式计算22a =-，26b =，利用等差数列公式计算得到答案.（2）将题目中两式相加得到()112n n n n a b a b +++=+，故{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，计算得到通项公式，再利用错位相减法计算得到答案. 【详解】（1）∵111a b ==，∴22a =-，26b =，则{}n c 的公差为()628d =--= 故{}n c 的通项公式为28(1)810n c n n =-+-=-. （2）1331n n n a a b n +=---，①1331n n n b b a n +=-++，②①+②得()112n n n n a b a b +++=+.又112a b +=，从而{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，故2nn n a b +=.()()8102nn n n a b c n =+-22262(810)2n n S n =-⨯+⨯++-， 23122262(810)2n n S n +=-⨯+⨯++-，()231248222(810)2n n n n S S n +-=-++++--，即()1114824(810)2(188)236n n n n S n n +++-=-+---=--，即2(49)236n n S n +=-+.【点睛】本题考查了通项公式，错位相减法，变换得到()112n n n n a b a b +++=+是解题的关键.21．（1）28y x =（2）存在唯一的点()2,0P -，使直线PM ，PN 关于x 轴对称【解析】【分析】（1）当直线l 的倾斜角为45°，则l 的斜率为1，则直线方程为2p y x =-，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理可得123x x p +=，根据焦点弦公式12MN x x p =++，求出p 的值，即可得到抛物线方程.（2）假设满足条件的点P 存在，设(),0P a ，当直线l 不与x 轴垂直时，设l 的方程为()2y k x =-（0k ≠），联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，因为直线PM ，PN 关于x 轴对称，所以0PM PN k k +=，即可求出a 的值. 当直线l 与x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM ，PN 关于x 轴对称，此时只需P 与焦点F 不重合即可.【详解】解：（1）当直线l 的倾斜角为45°，则l 的斜率为1， ,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，l ∴的方程为2p y x =-. 由2,22,p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得22304p x px -+=. 设()11,M x y ，()22,N x y ，则123x x p +=，∴12416x x p M p N ++===，4p =，∴抛物线C 的方程为28y x =.（2）假设满足条件的点P 存在，设(),0P a ，由（1）知()2,0F ，①当直线l 不与x 轴垂直时，设l 的方程为()2y k x =-（0k ≠），由()22,8,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()22224840k x k x k -++=， ()22222484464640k k k k ∆=+-⋅⋅=+>，212248k x x k++=，124x x =. ∵直线PM ，PN 关于x 轴对称，∴0PM PN k k +=，()112PM k x k x a -=-，()222PN k x k x a-=-. ∴()()()()()()122112128(2)222240a k x x a k x x a k x x a x x a k+--+--=-+++=-=⎡⎤⎣⎦，∴2a =-时，此时()2,0P -.②当直线l 与x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM ，PN 关于x 轴对称，此时只需P 与焦点F 不重合即可.综上，存在唯一的点()2,0P -，使直线PM ，PN 关于x 轴对称.【点睛】 本题考查抛物线的焦点弦公式的应用，直线与抛物线的综合问题，属于中档题.22．（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出()g x 的定义域，导函数，对参数a 、b 分类讨论得到答案.（2）设函数()()()31h x f x x =-+，求导说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得证.（3）由（1）可知1ln x x ≥+，可得()()22sin sin 1e 1ln 1e x x x x ⎡⎤++≥+⎣⎦，即()()2sin 1e 2ln 1sin 1x x x x ++++≥又()()22sin sin 22e 1e x x x x x ++>+即可得证. 【详解】（1）解：()g x 的定义域为()0,∞+，()a g x x b x'=-， 当0a >，0b <时，()0g x '>，则()g x 在()0,∞+上单调递增；当0a >，0b >时，令()0g x '>，得b x a >，令()0g x '<，得0b x a <<，则()g x 在0,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 当0a <，0b >时，()0g x '<，则()g x 在()0,∞+上单调递减；当0a <，0b <时，令()0g x '>，得0b x a <<，令()0g x '<，得b x a >，则()g x 在0,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； （2）证明：设函数()()()31h x f x x =-+，则()2cos 31x x h x '=+-+. 因为0x ≥，所以(]20,21x ∈+，[]cos 1,1x ∈-， 则()0h x '≤，从而()h x 在[)0,+∞上单调递减，所以()()()()3100h x f x x h =-+≤=，即()31f x x ≤+.（3）证明：当1a b ==时，()1ln g x x x =--.由（1）知，()()min 10g x g ==，所以()1ln 0g x x x =--≥，即1ln x x ≥+.当1x >-时，()210x +>，()2sin 1e 0x x +>，则()()22sin sin 1e 1ln 1e x x x x ⎡⎤++≥+⎣⎦， 即()()2sin 1e 2ln 1sin 1x x x x ++++≥，又()()22sin sin 22e 1e x x x x x ++>+， 所以()()2sin 22e 2ln 1sin 1x x x x x ++>+++，即()()2sin 22e x f x x x <++.【点睛】本题考查利用导数研究含参函数的单调性，利用导数证明不等式，属于难题.。
A. 20°B. 40°C. 50°D. 90°5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足 球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例 是 （）D. 42%A. 62%B. 56%C. 46%绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试•全国H 卷（海南）数学注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡和试卷指定位置上。
2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。
如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写 在本试卷上无效。
3 .考试结束后，:信本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求的）1 .设集合4={2,3,5,7} , 8 = {1,2,3,5,8},则 （ ）A. {135,7}B. {2,3}C. {2,3,5}D. {1,235,7,8}2 . （l + 2i ）（2 + i ）= （ ）A. 4 + 5iB. 5iC-5i D. 2 + 3i3 .在Z\A5c 中，。
是A3边上的中点，则屈= （）A. 2CD + CAB. CD-2C4C. 2CD-C4D. CD + 2CA4.日昌是中国古代用来测定时间的仪器，利用与密面垂直的密针投射到唇面的影子来测定时 间.把地球看成一个球（球心记为O ）,地球上一点A 的纬度是指QA 与地球赤道所在平而所 成角，点A 处的水平面是指过点A 且与。
月垂直的平而。
在点A 处放置一个日展，若密而与 赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40。
，则卷针与点A 处的水平面所成角为)6.要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有( )A.2种B. 3种C.6种D.8种7.已知函数/(月=怆(小一以-5)在(“,+功上单调递增，则”的取值范围是( )A. (2,+oo)B. [2,+oc)C. (5,+oc)D. [5,+ao)8.若定义在A的奇函数/(%)在(-oc,0)单调递减，且"2) = 0,则满足灯Xx-1)20的x的取值范围是()A. [T』U[3,+OO)B. [-3,-l]U[0.1]C. [-l,0]U[l.+oc)D. [-l,0](J[l,3]二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分〉9.我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下而是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是( )O发产•复工IIJWA.这11天复工指数和复产指数均逐日增加B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量10.已知曲线C:nu2 + ny2 = 1. ( )A.若6则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若〃? = 〃X),则。
2020年海口市高考调研考试数 学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{1,2,3,4}A =，{3,4,5,6,7}B =，集合{|}M x x B x A =∈∉且，则M = A ．{1,2} B ．{3,4}C ．{5,6,7}D ．{3,4,5,6,7}2．在复平面内，复数11ii+-对应的点与复数i -对应的点的距离是 A ．1B ．2C ．2D ．223．设向量(1,2)=-a ，向量b 是与a 方向相同的单位向量，则=b A ．(1,2)-B ．525(,)-C ．12(,)55-D ．525(,)- 4．61(2)x x -的展开式中的常数项是A ．160-B ．80-C ．80D ．1605．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的 立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m 的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m 处各有一窗户，两窗户的水平距离为30m ，如图2，则此抛物线顶端O 到连桥AB 距离为图1 图2A ．180mB ．200mC ．220mD ．240m6．函数21()ln ||1f x x x =+-的图象大致是A ．B ．C ．D ． 7．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB ，4BC ，60ABC ，若球心O 到截面ABC 的距离为2 A ．16πB .24πC .36πD .48π 8．已知数列{}n a 满足*1log (2)()nn a n n N ，设*12(N )kk T a a a k，若*kT N ，称数k 为“企盼数”，则区间[1,2020]内所有的企盼数的和为 A ．2020B ．2026C ．2044D ．2048二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数越小，表明空气质量越好，表1是空气质量指数与空气质量的对应关系，图1是经整理后的某市2019年2月与2020年2月的空气质量指数频率分布直方图表1空气质量指数（AQI ） 优（AQI 50≤） 良（50<AQI 100≤） 轻度污染（100<AQI 150≤） 中度污染（150<AQI 200≤） 重度污染（200<AQI 300≤）严重污染（AQI>300）下列叙述正确的是A ．该市2020年2月份的空气质量为优的天数的频率为0.032B ．该市2020年2月份的空气质量整体上优于2019年2月份的空气质量C ．该市2020年2月份空气质量指数的中位数小于2019年2月份空气质量指数的中位数D ．该市2020年2月份空气质量指数的方差大于2019年2月份空气质量指数的方差 10．设有一组圆k C ：22(1)(2)1x k y k -++-=，下列说法正确的是A ．这组圆的半径均为1B ．直线220x y -+=平分所有的圆k CC ．存在无穷多条直线l 被所有的圆k C 截得的弦长相等D ．存在一个圆k C 与x 轴和y 轴均相切11．如右图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ．则以下命题正确的是A ．点H 是△1A BD 的重心B ．AH ⊥平面11CB DC ．AH 延长线经过点1CD ．直线AH 和1BB 所成角为4512．“已知函数2()cos f x x x =-，对于[,]22ππ-上的任意1x ，2x ，若_______，则必有12()()f x f x >恒成立．”在横线中填上下列选项中的某个条件，使得上述说法正确的可以是A ．12||x x >B ．120x x +>C ．2212x x > D ．121x x > 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2020年初，新冠肺炎疫情爆发，全国人民万众一心，共同抗击疫情．武汉市某医院传染科有甲、乙、丙、丁、戊五位医生，每位医生从周一至周五轮流安排一个夜班．若丁比乙晚两天，丙比甲早一天，戊比丙早两天，则周一值夜班的医生是_________．14．已知(,)2，且4sin 5，则tan()4的值为_________．15．如图，从双曲线221916x y -=的左焦点1F 引圆229x y +=的切线，切点为T ，延长1FT 交双曲 线右支于P 点. 设M 为线段1F P 的中点，O 为坐标原点，则1||FT ___________，||||MO MT ___________．（本题第一空2分，第二空3分）第15题图 第16题图16．拥有“千古第一才女”之称的宋代女词人李清照发明了古代非常流行的游戏“打马”，在她的《打马赋》中写道“实博弈之上流，乃闺房之雅戏”．“打马”游戏用每轮抛掷三枚完全相同的骰子决定“马”的行走规则，每一个抛掷结果都有对应走法的名称，如结果由两个2点和一个3点组成，叫做“夹七”，结果由两个2点和一个4点组成，叫做“夹八”．则在某一轮中，能够抛出“夹七”或“夹八”走法的概率是_________．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）从①7a，②2b ，③13cos 14B.这三个条件中任选两个，分别补充在下面问题的横线中，回答有关问题．设△ABC 的角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，若_________，_________，且满足(2)cos cos b c A a C ，求△ABC 其余各边的长度和△ABC 的面积S ． （注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分.） 18．（12分）已知数列{}n a 的首项11a ，且点*1(,)()n n a a n N 在函数21y x 的图象上．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足11b ，12n a n n b b ，证明：221n nn b b b ．19．（12分）如图，四棱锥SABCD 满足SA 平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，4SA AB ，侧棱SC 上有一点E 满足3SE EC ．（Ⅰ）证明：OE 平面SDB ；（Ⅱ）求二面角E BD C 的余弦值．20．（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b 的其中一个焦点与抛物线28y x 的焦点相同，点(4,3)D 到圆O ：222x y b 上点的最大距离为7，点A ，B 分别是椭圆C 的左右顶点．（Ⅰ）求圆O 和椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，已知位于y 轴两侧的P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点，且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N ，证明：MQN 为定值．21．（12分）零部件生产水平，是评判一个国家高端装备制造能力的重要标准之一.其中切割加工技术是一项重要技术.某研究机构自主研发了一种切割设备，经过长期生产经验，可以认为设备正常状态下切割的零件尺寸服从正态分布2(,)N .按照技术标准要求，从该设备切割的一个批次零件中任意抽取10件作为样本，如果样本尺寸的平均值与零件标准尺寸相差的绝对值小于0.1（单位：mm ），且所有零件尺寸均在(3,3)范围内，则认定该切割设备的技术标准为A 级；如果样本尺寸的平均值与零件标准尺寸相差的绝对值大于等于0.1小于0.5，且所有零件尺寸均在(3,3)范围内，则认定该切割设备的技术标准为B 级；如果样本尺寸的平均值与零件标准尺寸相差的绝对值大于等于0.5或存在零件尺寸在(3,3)范围外，则认定该切割设备的技术标准为C 级．（Ⅰ）设某零件的标准尺寸为100mm ，下面是检验员抽取该设备切割的10个零件尺寸：经计算，有1021100601.8i i x ，其中i x 为抽取的第i 个样本的尺寸，1,2,3,,10i ，用样本的平均数x 作为的估计值ˆ，用样本的标准差s 作为的估计值ˆ，根据数据判断该切割设备的技术标准；（Ⅱ）生产该种零件的某制造商购买了该切割设备，正常投入生产，公司制定了两种销售方案（假设每种方案对销售量没有影响）：方案1：每个零件均按70元定价销售；方案2：若零件的实际尺寸在(99.7,100.3)范围内，则该零件为Ⅰ级零件，每个零件定价100元，否则为Ⅱ级零件，每个零件定价60元．哪种销售方案能够给公司带来更多的利润？请说明． （附：若随机变量X ～2(,)N ，则()0.6826P X ，(22)0.9544P X）．22．（12分）已知函数()ln f x m x =．（Ⅰ）当*2cos ()m k k N π=∈，分析函数2()()g x x f x =-的单调性； （Ⅱ）当0m >时，若函数()ln f x m x =与1()2x h x x-=的图象有且只有一条公切线，求m 的值．2020年海口市高考调研考试数学参考答案一、单项选择题：1、C 2、C 3、B 4、A 5、B 6、A 7、D 8、B 二、多项选择题：9、BC 10、AB 11、ABC 12、CD 三、填空题：13、乙 14、17- 15、 4 、 1 16、136四、解答题17.解析：在△ABC 中，已知(2)cos cos b c A a C -=，由正弦定理得：(2sin sin )cos sin cos B C A A C -⋅=⋅ …………1分 即2sin cos sin cos sin cos B A C A A C ⋅-⋅=⋅ ,得2sin cos sin cos sin cos sin()B A A C C A A C ⋅=⋅+⋅=+…………2分又因为sin()sin A B C A C B π++=+=，，所以，2sin cos sin B A B ⋅= …………3分 (0),sin 0,B B π∈≠又， 得12cos 1cos .2A A ==，(0),A π∈， 所以，.3A π=…………5分若选条件①②，由余弦定理得：2222212cos 4222472a b c bc A c c c c =+-=+-⨯⨯⨯=-+= …………7分 223031()c c c c --===-得，或舍去 …………8分所以，11sin 2322ABC S bc A ∆=⋅=⨯⨯=…………10分若选条件①③，由13cos (0)sin 1414B B B π=∈==，，，得…………6分又由正弦定理sin sin a b b A B ===解得 …………7分 因为,A B C π++=所以，131sin sin()sin cos +cos sin 142C A B A B A B =+==+=…………8分sin sin 7a Cc A⋅===从而， …………9分11sin22ABCS ab C∆=⋅==…………10分若选条件②③，由13cos(0)sin1414B B Bπ=∈==，，，得…………6分又由正弦定理14.sin sin3a baA B===解得…………7分因为,A B Cπ++=所以，131sin sin()sin cos+cos sin142C A B A B A B=+==+=…………8分14sin16.sin3a CcA⋅===又…………9分1114sin2223ABCS ab C∆=⋅=⨯⨯=…………10分18.解析：（1）由已知得,11+=+nnaa…………1分所以，数列{na}是以1为首项，公差为1的等差数列；………… 2分则na=1+nn=⋅-1)1(…………4分（2）由（1）知nannnbb221==-+…………5分112211)()()(bbbbbbbbnnnnn+-++-+-=---12222321+++++=---nnn122121-=--=nn…………9分212212)12()12)(12(----=-++++nnnnnnbbb22425<-=⋅+⋅-=nnn所以，212++<⋅nnnbbb…………12分19.解析： （1）法一如图，在平面SBC 内，过点E 作//EM CB 交SB 于点M ，则有3SM MB =,连OM ，取SB 的中点F ，连接DF .,SA ABCD ⊥因为面,SA DB DB AC SA AC A ⊥⊥=所以，又，,DB SAC ⊥所以，面OE SAC ⊂面，所以OE DB ⊥……………………2分又因为,SA BC AB BC SA AB A ⊥⊥=，所以，,BC SAB ⊥面,SB SAB ⊂面所以,BC SB ⊥又//EM CB ，所以,EM SB ⊥易知SDB ∆为等边三角形，则DF SB ⊥,由3SM MB =得M 为BF 的中点， 在DFB ∆中，O 为DB 的中点，则有//OM DF ,从而有OM SB ⊥ 因为,,OMEM M OM EM OEM =⊂面所以,SB OEM ⊥面………………4分又OE OEM ⊂面，所以，OE SB ⊥ 因为,,BDSB B BD SB SDB =⊂面所以，OE SDB ⊥面………………6分（1） 法二以A 为坐标原点，,,AB AD AS 所在直线分别为,,x y z 轴建系如图：则(0,0,4),(4,4,0),(4,0,0),(0,4,0)(2,2,0)S C B D O ，，由4(3,3,1)SC EC E =，得……2分(1,1,1)OE =,(4,4,0),(4,0,4)DB SB =-=-440,OE DB =-=440,OE SB =-= ,OE DB OE SB ⊥⊥………………4分,,,,OE DB OE SB SB DB SDB SBDB B ⊥⊥⊂=面所以，OE SDB ⊥面………………6分（2）易得平面1(0,0,1)BDC n =法向量………………8分设平面2(,,)BDE n x y z =法向量，(4,4,0),(1,3,1)DB BE =-=-由22n DB n BE ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩得,22=0=0n DB n BE ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩即44030x y x y z -=⎧⎨-++=⎩取2(1,1,2)n =-………………10分则12cos ,3n n <>==，所以,锐二面角E BD C --的余弦值为3………………12分 20.解析：（1）由题知抛物线的焦点为(2,0)，则椭圆中2c =……………………1分D 到圆O 的最大距离为7,=5OD b OD +=，则2b =，……………2分 则圆O 的方程为224x y +=……………3分由2228a b c =+=，椭圆C 方程为：22184x y +=……………4分 （2）由题，设()(,),(,),2,0)(0,2P m n Q t n n ∈-由(A B -…………………………5分得：直线:PB y x =-，从而N直线:PA y x =+，从而M ………………………7分22(),()n QM t n QN t n =-=--得22228m n QM QN t m ⋅=+-………………………9分因为P 在椭圆C 上，所以2228m n +=，因为Q 在圆O 上，所以224,t n +=…………………10分 所以：2222222222(82)=4(4)=082m n n n QM QN t t n n m n -⋅=+=-----,90,.QM QN MQN ∴⊥∠=为定值…………………12分21解析： （Ⅰ）由题意，1011100.310i i x x ===∑，……………1分101022221111()(10)0.091010i i i i x x x x σ===-=-=∑∑，……………3分所以ˆ100.3μ=，ˆ0.3σ=，样本的均值与零件标准尺寸差为100.31000.3-=，并且对每一个数据i x ，均有ˆˆˆˆ(3,3)i x μσμσ∈-+（1,2,3,,10i =），由此判断该切割设备技术标准为B 级标准． ……………5分（Ⅱ）方案1：每个零件售价为70元．方案2：设生产的零件售价为随机变量ξ，则ξ可以取60，100．由题意，设备正常状态下切割的零件尺寸为X ，且X ～2(100.3,0.3)N ．所以(100)(99.7100.3)(2)0.4772P P X P X ξμσμ==<<=-<<=，(60)1(100)0.5228P P ξξ==-==，……………8分所以随机变量ξ的分布列为所以ξ的数学期望600.52281000.4772600.51000.477770E ξ=⨯+⨯>⨯+⨯=>．…………11分 综上，方案二能够给公司带来更多的利润．……………12分22． 解析：（1）由已知：22()()-2cos ln (0,)g x x f x x k xx π=-=⋅∈+∞'2cos ()2-k g x x x π= …………………………………1分当k 为奇数时，cos -1k π=，'2()20g x x x =+> 2()-2cos ln g x x k x π=⋅在区间)0∞+，（上单调递增。
