课时分层作业本及配套单元测试答案(分A B 两本)

课时分层作业(一)(建议用时:60分钟)［基础达标练]一、选择题1．已知函数y＝f（x）=x2＋1,则在x＝2，Δｘ=０。

1时,Δy的值为（)Ａ.０。

４0 B.０.41C.0.4３Ｄ.0。

４4B[Δy＝f（２+Δｘ)-f(2)＝f（2。

1)-f（2)＝2。

1２－2２＝0.41.]2.函数y＝x2＋１在[1,1+Δx］上的平均变化率是()A.2B.2xC．２+Δx D.2+（Δｘ）2Ｃ[∵Δy＝(1+Δx)2+1-（1２+1）＝２Δx＋Δx2，∴错误!未定义书签。

=错误!=2＋Δｘ,故选C。

]3．质点运动规律s＝ｔ２+3,则在时间（３，3+Δt)中,相应的平均速度为（）A．6＋Δt B．6＋Δt+错误!Ｃ.3＋Δtﻩ D.９+ΔtA［错误!未定义书签。

=错误!＝错误!=错误!未定义书签。

=６+Δｔ。

]4.甲、乙两厂污水的排放量W与时间ｔ的关系如图所示，治污效果较好的是（）A.甲ﻩB.乙Ｃ．相同 D.不确定B [由题图可知乙的斜率比甲的斜率小，但乙的斜率绝对值大,即变化快.]５.一个物体做直线运动,位移s(单位:m)与时间t（单位:s)之间的函数关系为s(t）=５t２+mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为2６m/s，则实数m的值为( ) A．2 ﻩ B.1C.-１ﻩD．６B[由已知,得错误!未定义书签。

＝26,∴（５×32＋3m)-(5×２２+2ｍ）＝2６，解得m＝1。

］二、填空题6.已知某物体运动的速度与时间之间的关系式是v(t)=ｔ＋错误!未定义书签。

t3,则该物体在时间间隔错误!内的平均加速度为＿_＿_＿___.3１12［平均加速度=错误!＝错误!。

]７．设某产品的总成本函数为C（x)＝11０0+ｘ21 200,其中x为产量数，生产900个单位到 1000个单位时总成本的平均变化率为_＿＿_____.19１2[C(1 00０）－C（９00）=错误!,则错误!＝错误!=错误!未定义书签。

阅盟学堂课时分层作业本阅盟学堂课时分层作业本评测【导言】阅盟学堂一直以来致力于提供高质量的教育资源和教学方案，旨在帮助学生在不同层次上提升中文阅读和写作能力。

其中，课时分层作业本是阅盟学堂提供给学生的重要学习辅助工具。

本文将对阅盟学堂课时分层作业本进行全面评估，并分享个人观点和理解。

【1. 课时分层作业本简介】作为阅盟学堂的教学辅助工具之一，课时分层作业本是为了满足不同学生能力水平的需求而设计的。

它通常分为初级、中级和高级三个层次，覆盖了不同难度的阅读和写作任务。

每个层次的作业本都包含了丰富多样的文章和题目，旨在帮助学生逐步提高中文阅读和写作能力。

【2. 评估】2.1 深度评估2.1.1 初级层次：初级层次的作业本主要适用于中文基础薄弱的学生。

它通过浅显易懂的文章和简单的题目，帮助学生掌握基本的词汇、语法和阅读技巧。

这些文章大多涉及日常生活和校园活动等话题，让学生能轻松理解和运用所学知识。

2.1.2 中级层次：中级层次的作业本适用于中等水平的学生。

它提供了一系列更为深入和复杂的文章和题目，帮助学生进一步拓展词汇量和理解能力。

这些文章的主题涉及社会问题、文化传统和科技发展等，既能培养学生对不同领域的兴趣，又能让他们学会从多角度思考和分析问题。

2.1.3 高级层次：高级层次的作业本适用于中文水平较高的学生。

它提供了更具挑战性和深度的文章和题目，旨在培养学生的批判性思维和创造性表达能力。

这些文章涵盖了社会热点、历史事件和文学作品等复杂议题，能够激发学生对知识的主动探索和深入思考。

2.2 广度评估2.2.1 文章类型：在课时分层作业本中，不同层次的文章类型丰富多样。

初级层次主要包括记叙文和说明文，帮助学生熟悉基本的文章结构和语言特点。

中级层次增加了议论文和说明文等类型，帮助学生进行更为深入的文本解析和逻辑思考。

高级层次则进一步引入了小说摘录和诗歌等文学形式，培养学生对不同文学流派和风格的鉴赏能力。

2.2.2 题目难度：课时分层作业本的题目也针对不同层次进行了合理设置。

新人教版高中必修二全册课时作业课课练（含答案解析）目录一、化学元素周期表二、元素的性质和原子结构三、核素同位素四、原子核外电子的分布、元素周期律五、元素周期表和元素周期律的应用六、化学键七、化学能与热能八、化学能与电能九、化学反应的速率十、化学反应的限度和化学反应条件的控制十一、甲烷十二、烷烃同分异构体十三、乙烯十四、苯十五、乙醇十六、乙酸十七、基本营养物质十八、金属矿物的开发利用十九、海水资源的开发利用二十、资源综合利用、环境保护课时分层作业(一) 元素周期表的结构(建议用时：45分钟)[学业达标练]1．元素周期表是一座开放的“元素大厦”，“元素大厦”尚未客满。

若发现119号元素，请在“元素大厦”中安排好它的“房间”()A．第七周期0族B．第八周期第ⅠA族C．第六周期第ⅡA族D．第七周期第ⅦA族B[第七周期0族元素是118号元素，所以若发现119号元素，则应该在第八周期第ⅠA 族，故正确选项是B。

]2．下列关于元素周期表的说法，错误的是( )A．元素周期表是元素按原子序数大小排列而成的B．元素原子的电子层数等于其所在周期的周期序数C．元素原子的最外层电子数等于其所在族的族序数D．元素周期表是元素周期律的具体表现形式C[副族元素的最外层电子数不一定等于所在的族序数。

]3．下列关于元素周期表的说法正确的是( )A．元素周期表中一共有16个纵行B．除零族元素外，非金属元素全都是主族元素C．同周期第ⅡA族与第ⅢA族元素的原子序数之差不可能为25D．同主族上下相邻两种元素的原子序数之差不可能为32B[元素周期表中一共有18个纵行，其中8、9、10三个纵行为第Ⅷ族，即共有16个族，A错误；除零族元素外，非金属元素全都是主族元素，B正确；若是相同短周期中第ⅡA 族、ⅢA族元素的原子序数差为1；第四、五周期中由于中间有副族和第Ⅷ族元素存在，故同周期第ⅡA族、第ⅢA族原子序数差为11；第六周期，其中由于有镧系元素的存在，两者相差25，C错误；一、二、三、四、五、六、七周期元素种数分别为2、8、8、18、18、32、32，且相邻周期同主族元素原子序数差等于上一周期的元素种数，故相邻的同一主族元素的核外电子数之差为8或18或32，D错误。

课时分层作业(二) Section Ⅱ[语言知识练习固基础]Ⅰ.单句语法填空1．It is impolite to make fun of the disabled.2．All in all，this ceremony was a great success.3．His absence (absent)made us get into trouble that day.4．He had a wonderful childhood, travelling(travel)with his mother to all corners of the world.5．Mr Li as well as his students is (be)going to the zoo tomorrow.6．A teacher can influence his/her students in many ways.7．It was so noisy (noise)outside that I couldn't settle down to work.8．My grandfather is getting old and his hearing (hear)isn't very good.9．I get annoyed(annoy) when someone talks to me while I'm reading.10．The survey conducted (conduct)by the pany shows there is a large increase in customer satisfaction this year.Ⅱ.完成句子1．实际上，他是一个和你一样善良的男孩。

As a matter of fact，he is as kind a boy as you．(as)2．她花了很长时间才适应了在美国独自生活。

课时分层作业(一)［语言知识练习固根底］单句语法填空1.Reading her biography, 1 was lost in admiration for what Doris Lessing had achieved in literature.2.There is no point hiding (hide)the truth for the sake of friendship.3.These remarks of yours are of great value (valuable)to us.4.The secretary informed me of his arrival.5.We guarantee to deliver (deliver)your goods within a week.6.In the absence> we held a meeting.7.The surrounding (surround)villages have been absorbed by the growing city.8.You*11 be sure to have(have)fun at the party tonight.9.You may rely on it that they will support you.10.More care wou1d ensure you against making so many mistakes.［高考题型练习提能力］I .阅读理解It is widely believed that smiling means a person is happy, and it usually occurs when they, re meeting another person or a group of people. However, a new study led by the body language expert Dr Harry Witchel shows this isn't always the case.In his research, he asked 44 participants aged 18-35 to play a geography quiz game consisting of nine difficult questions so that they often got the answer wrong. Participants seated interacted with a computer alone in a room while their faces were video recorded.After the quiz, the participants were asked to rate their experience using a range of 12 emotions including u bored z/「inte rested" and"frustrated” . Meanwhile, their facial expressions were then computer analysed frame by frame in order to judge how much they were smiling based on a scale of between 0 to 1.Dr Witchci said：u According to some researchers, a real smile reflects the inner state of cheerfulness or amusement. However, behavioural ecology theory suggests that all smiles are tools used in social interactions, meaning cheerfulness is neither necessary nor rich for smiling. Our study showed that in these human-computer interaction experiments, smiling i sn t driven by happiness； it is associated with subjective involvemenl(主观参与)，which acts like a social fuel for smiling, even when socialising \vith a computer on your own.Surprisingly, participants didn* t tend to smile during the period when they were trying to figure out the answers. However, they did smile right after the computer game informed themif their answer was correct or wrong. Participants smiled more often when they got the answer wrong. Dr Witchel added：”During these computerised quizzes , smiling was greatly increased just after answering questions incorrectly. This behaviour could be explained by self-ratings of involvement, rather than by ratings of happiness or frustration. w【语篇解读】本文是一篇说明文。

2021年秋高中数学课时分层作业2蝗制新人教A版必修420210913389(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．1 920°转化为弧度数为( ) A.163 B.323 C.16π3D.32π3D [1 920°＝5×360°＋120°＝5×2π＋2π3＝32π3.]2．在0到2π范畴内，与角－4π3终边相同的角是( )【导学号：84352021】A.π6B.π3C.2π3D.4π3C [与角－4π3终边相同的角是2k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3，k ∈Z ，令k ＝1，可得与角－4π3终边相同的角是2π3，故选C.]3．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }B ．终边在y 轴上角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈ZC ．终边在坐标轴上角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k ·π2，k ∈ZD ．终边在直线y ＝x 上角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π4＋2k π，k ∈ZD [关于A ，终边在x 轴上角的集合是{ α|}α＝k π，k ∈Z ，故A 正确；关于B ，终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ，故B 正确；关于C ，终边在x 轴上的角的集合为{ α|}α＝k π，k ∈Z ，终边在y 轴上的角的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ，故合在一起即为{ α|}α＝k π，k ∈Z ∪⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ＝⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π2，k ∈Z ，故C 正确；关于D ，终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π4＋k π，k ∈Z ，故D 不正确．]4．若θ＝－5，则角θ的终边在第( ) A ．四象限 B ．三象限 C ．二象限D ．一象限D [因为－2π＜－5＜－3π2，因此α是第一象限角．]5．已知扇形的弧长是4 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) 【导学号：84352021】A ．1B ．2C ．4D ．1或4C [因为扇形的弧长为4，面积为2， 因此扇形的面积为12×4×r ＝2，解得r ＝1，则扇形的圆心角的弧度数为41＝4.故选C.]二、填空题6．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为______________．A ＝π5，B ＝π3，C ＝7π15[因为A ＋B ＋C ＝π， 又A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，因此A ＝3π3＋5＋7＝π5，B ＝5π3＋5＋7＝π3，C ＝7π15.]7．用弧度表示终边落在y 轴右侧的角的集合为________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪－π2＋2k π＜θ＜π2＋2k π，k ∈Z[y 轴对应的角可用－π2，π2表示，因此y轴右侧角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪－π2＋2k π＜θ＜π2＋2k π，k ∈Z.] 8．已知扇形OAB 的圆心角为57π，周长为5π＋14，则扇形OAB 的面积为________.【导学号：84352020】35π2 [设扇形的半径为r ，圆心角为57π， ∴弧长l ＝57πr ，∵扇形的周长为5π＋14，∴57πr ＋2r ＝5π＋14，解得r ＝7，由扇形的面积公式得＝12×57π×r 2＝12×57π×49＝35π2.]三、解答题9．已知角α＝2 010°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角． [解] (1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6，又π＜7π6＜3π2，∴α与7π6终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角能够写成γ＝7π6＋2k π(k ∈Z )，又－5π≤γ＜0，∴当k ＝－3时，γ＝－296π；当k ＝－2时，γ＝－176π；当k ＝－1时，γ＝－56π.10．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【导学号：84352021】[解] (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ， 知△AOB 是等边三角形， ∴α＝∠AOB ＝60°＝π3.(2)由(1)可知α＝π3，r ＝10，∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3，∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝253，∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝25⎝⎛⎭⎪⎫2π3－3.[冲A 挑战练]1．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则那个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2C ．2sin 1D ．2sin 1D [设圆的半径为R ，则sin 1＝1R ，∴R ＝1sin 1，故所求弧长为l ＝α·R ＝2·1sin 1＝2sin 1.] 2．时钟的分针在1点到3点20分这段时刻里转过的弧度数为( ) A ．143πB ．－143πC ．718π D ．－718πB [分针在1点到3点20分这段时刻里，顺时针转过了两周又一周的13，用弧度制表示确实是：－4π－13×2π＝－143π.]3．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________________.[－4，－π]∪[0，π] [如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．]4．若角α与角8π5终边相同，则在[0,2π]内终边与α4终边相同的角是________.【导学号：84352020】2π5，9π10，7π5，19π10 [由题意得α＝8π5＋2k π(k ∈Z )，α4＝2π5＋k π2(k ∈Z )，又α4∈[0,2π]，因此k ＝0,1,2,3， 现在α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.]5．如图1­1­10所示，已知一长为 3 dm ，宽为1 dm 的长方体木块在桌面上做无滑动的翻动，翻动到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A 走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积. 【导学号：84352021】图1­1­10[解]所在的圆半径是2 dm ，圆心角为π2；所在的圆半径是1 dm ，圆心角为π2；A 2A 3所在的圆半径是 3 dm ，圆心角为π3，因此点A 走过的路径长是三段圆弧之和，即2×π2＋1×π2＋3×π3＝9＋23π6(dm)．三段圆弧所在扇形的总面积是12×π×2＋12×π2×1＋12×3π3× 3＝7π4(dm 2).。

课时分层作业详解答案学业分层测评(一)Ⅰ.1.A这里答话人表示，那仅仅是一个随便的评论，没有什么恶意。

因此用remark“谈论，评述”，符合语境。

judgement“判断”；statement“声明”；discussion“讨论”。

2．D考查动词辨析。

句意：我告知你每个练习侧重不同的语法重点。

解答前你应该复习相关语法规则的要点。

focus on“以……为焦点，集中”，符合题意。

put on“上演”；depend on“依靠，取决于”；count on相当于depend on。

3．A考查分词作定语。

现在分词短语pretending to have known what they don't really know作定语修饰some students。

因为some students与pretend是主动关系，使用现在分词表示主动。

to pretend表示将来的动作，故不合适。

4．C从前面的诚实和友善可以得知：他从来不背叛朋友。

remark“评论”，debate“辩论”，betray“背叛”，blame“责备”。

5．C it won't be long before...用不了多久就会……。

6．B It be worthwhile to do sth.和be well worth sth.为固定结构。

句意：——你认为花70元看电影《金陵十三钗》值得吗？——你难道还没有看过这部电影吗？我认为非常值得花这个钱。

7．D题干中含有“It is＋some time＋since...”句型，该句型表示“自……以来已有……时间了”，since引导时间状语从句，作“自从，自……以来”解。

8．D考查省略句的用法。

so指代前面句子表示的肯定情况，not代指前面句子表示的否定情况。

在本句中If so相当于If you have finished Unit One，故选D。

9．B句意：——苏珊在比赛中表现突出。

课时分层作业(一) 命题(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．下列语句中，命题的个数为 ( )①空集是任何非空集合的真子集．②起立！③垂直于同一个平面的两条直线平行吗？④若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x＝y＝0.A．1 B．2 C．3 D．4B[①④为命题，②是祈使句，③是疑问句，都不是命题．]2．下列命题属于假命题的是( )A．若ac2>bc2，则a>bB．若|a|＝|b|，则a＝bC．若x∈R，则x2＋x＋1>0D．函数y＝sin x是周期函数B[|2|＝|－2|，但2≠－2，所以B项是错误的，故选B.]3．命题“梯形的对角线互相平分”的条件是( )A．四边形是梯形B．对角线C．互相平分D．对角线互相平分A[命题可改写为：若四边形是梯形，则它的对角线互相平分，所以该命题的条件是四边形是梯形，故选A.]4．下列命题中真命题的个数是 ( )①平行于同一平面的两个不同的平面平行；②不等式x＋y－1>0表示的平面区域包含边界x＋y－1＝0；③方程x2＋y2＝3表示一个圆；④程序框图中，循环结构可以不含条件结构．A．1 B．2 C．3 D．4B[①③是真命题，②④是假命题，故选B.]5．已知命题“关于x的方程x2－2x＋m＝0无实根”是真命题，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)C[因为“关于x的方程x2－2x＋m＝0无实根”是真命题，所以Δ＝(－2)2－4m<0，解得m>1.]6．下列语句中，命题是________，其中真命题是________(写出序号)．①等边三角形是等腰三角形；②若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等；③大角所对的边大于小角所对的边．①②③①[①是命题且是真命题；②是假命题，若两条直线斜率都不存在时，这两条直线平行；③是假命题，没有考虑到“在两个三角形中”的情况．]7．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”的条件p：________，结论q：________，它是________命题(填“真”或“假”)．a＞0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真[a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．]8．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线．有下列四个命题：①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|＜|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中真命题是________．②④[①平面向量的数量积不满足结合律，故①假；②由向量的减法运算可知|a|，|b|，|a－b|恰为一个三角形的三条边长，“两边之差小于第三边”，故②真；③因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)a·c－(c·a)b·c＝0，所以垂直，故③假；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9a·a－4b·b＝9|a|2－4|b|2成立，故④真．]9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)奇数不能被2整除；(2)实数的平方是正数；(3)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；(4)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2.[解](1)若一个数是奇数，则这个数不能被2整除，是真命题．(2)若一个数是实数，则这个数的平方是正数，是假命题．例如0的平方还是0，不是正数．(3)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题．(4)已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，是假命题．例如y＝4，x＝3也符合条件．10．已知：A ：5x －1＞a ，B ：x >1，请选择适当的实数a ，使得利用A ，B 构造的命题“若p ，则q ”为真命题．[解] ①若视A 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x >1＋a5，则x ＞1”，由命题为真命题，可知1＋a5≥1，解得a ≥4；②若视B 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x >1，则x >1＋a5”，由命题为真命题，可知1＋a 5≤1，解得a ≤4.故a 取任一实数均可使得利用A ，B 构造的命题为真命题，例如这里取a ＝1，则有真命题“若x >1，则x >25”．[能力提升练]1．关于直线m ，n 与平面α，β，有下列四个命题：①若m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥n ；②若m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥n ；③若m ⊥α，n ∥β，且α∥β，则m ⊥n ；④若m ∥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ∥n .其中真命题的序号是( )A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③D [如图1所示，α，β分别为正方体的上、下底面，显然图中的m ∥α，n ∥β，且α∥β，但m 与n 不平行，故①为假命题，可排除A ，C.对于命题④，如图2所示，α为正方体的下底面，β为侧面，图中的m ∥α，n ⊥β，且α⊥β，但m 与n 不平行，故④为假命题，可排除B.故选D.]图1 图22．对于下列四个命题：①若向量a ，b 满足a·b <0，则a 与b 的夹角为钝角； ②已知集合A ＝{正四棱柱}，B ＝{长方体}，则A ∩B ＝B ；③在平面直角坐标平面内，点M (|a |，|a －3|)与N (cos α，sin α)在直线x ＋y －2＝0的异侧；④偶数的平方仍是偶数．其中真命题是________(将你认为正确的命题的序号都填上)．③④ [命题①错误，当a 与b 反向时，也有a·b ＜0；命题②错误，正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱，而长方体的底面是一般的矩形，所以A ∩B ＝A ；命题③正确，因为|a |＋|a －3|≥|a －a ＋3|＝3＞2，cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤2＜2，所以M 与N 在直线x ＋y －2＝0的异侧；命题④正确．]课时分层作业(二) 量词(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．下列命题中为全称命题的是( ) A ．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 B ．矩形都有外接圆C ．存在一个实数与它的相反数的和为0D ．0没有倒数B [命题“矩形都有外接圆”可改写为“每一个矩形都有外接圆”，是全称命题．故选B.]2．下列命题中为存在性命题的是( ) A ．所有的整数都是有理数 B ．三角形的内角和都是180° C ．有些三角形是等腰三角形 D ．正方形都是菱形C [A ，B ，D 为全称命题，而C 含有存在量词“有些”，故为存在性命题．] 3．下列命题中，是全称命题且是真命题的是( ) A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0 B ．菱形的两条对角线相等 C ．∀x ∈R ，x 2＝xD ．对数函数在定义域上是单调函数D [A 中的命题是全称命题，但a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，故是假命题；B 中的命题是全称命题，但是假命题；C 中的命题是全称命题，但x 2＝|x |，故是假命题；很明显D 中的命题是全称命题且是真命题，故选D.]4．下列存在性命题中，假命题的个数是( )①存在x ∈R ，使x 2<x ； ②有些三角函数的周期是π； ③存在x ∈R ，使函数y ＝x 2＋2＋1x 2＋2的最小值为2.A ．0B ．1C ．2D ．3B [由x 2<x 得0<x <1，故①“存在x ∈R ，使x 2<x ”是真命题；三角函数f (x )＝sin 2x 的周期为π，故②为真命题；x 2＋2＝1x 2＋2，得x 2＋2＝1，即x 2＝－1，此方程无实数解，所以y ＝x 2＋2＋1x 2＋2＞2，故③是假命题．所以假命题的个数为1.]5．下列命题中为假命题的是 ( ) A ．∃x ∈R ，lg x ＝0 B ．∃x ∈R ，tan x ＝1 C ．∀x ∈R ，x 3＞0D ．∀x ∈R,2x＞0C [选项A ，lg x ＝0⇒x ＝1；选项B ，tan x ＝1⇒x ＝π4＋k π(k ∈Z )；选项C ，x 3＞0⇒x ＞0；选项D,2x＞0⇒x ∈R .]6．命题“有些负数满足不等式(1＋x )(1－9x )2＞0”用“∃”写成存在性命题为________．∃x ＜0，(1＋x )(1－9x )2＞0 [根据存在性命题的定义改写．]7．下列命题中为全称命题的是________(填所有正确的序号)． ①三角形两边之和大于第三边 ②所有的x ∈R ，x 3＋1>0 ③有些函数为奇函数 ④平行四边形对角相等①②④ [③为存在性命题，①、④为省略了全称量词的全称命题，②为全称命题．] 8．下列语句中，全称命题有________，存在性命题有________．(填序号) ①有一个实数a ，a 不能取对数； ②所有不等式的解集A 都满足A ⊆R ； ③三角函数都是周期函数吗？ ④有的向量方向不定； ⑤自然数的平方是正数．②⑤ ①④ [因为①④中含有存在量词，所以命题①④为存在性命题；因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以含有全称量词，故为全称命题；③不是命题．综上所述，①④为存在性命题，②⑤为全称命题，③不是命题．]9．判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假．(1)存在一条直线，其斜率不存在；(2)对所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解； (3)存在实数x ，使得1x 2－x ＋1＝2.[解] (1)是存在性命题，用符号表示为“∃直线l ，l 的斜率不存在”，是真命题． (2)是全称命题，用符号表示为“∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解”，是假命题． (3)是存在性命题，用符号表示为“∃x ∈R ，1x 2－x ＋1＝2”，是假命题．10．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题“p 和q ”都是真命题，求实数a 的取值范围．[解] ∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2， 当x ∈[1,2]时恒成立，∴a ≤1. ∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根， ∴Δ＝4a 2－4(2－a )≥0. ∴a ≤－2或a ≥1.又p 和q 都为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2或a ≥1，∴a ≤－2或a ＝1.[能力提升练]1．下列命题中，是假命题的是 ( )A ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)x m 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减B ．∀a ＞0，函数f (x )＝(ln x )2＋ln x －a 有零点 C ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin β D ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数D [∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1，∴m ＝2，∴f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，故A 中的命题为真命题；∵y ＝(ln x )2＋ln x 的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞，∴∀a ＞0，方程(ln x )2＋ln x －a ＝0有解，即函数f (x )有零点，故B 中的命题为真命题；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 中的命题为真命题；当φ＝π2时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 为偶函数，故D 中的命题为假命题．]2．已知对∀x >0，a ≤x ＋1x恒成立，则a 的取值范围为________．(－∞，2] [ ∀x ＞0，y ＝x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1x时等号成立)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x min ＝2；而对∀x >0，a ≤x ＋1x恒成立，所以a ≤2.]课时分层作业(三) “且”与“或”(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．“xy ≠0”是指( ) A ．x ≠0且y ≠0 B ．x ≠0或y ≠0 C ．x ，y 中至少一个不为0D ．x ，y 不都是0A [x ，y 要同时不等于0，才有xy ≠0.B 中包括x ≠0，y ＝0；x ＝0，y ≠0和x ≠0，y ≠0的情况．而C ，D 中都包含x 或y 可能为0的情况．]2．下列命题是真命题的是 ( ) A ．5＞2且7＞8 B ．3＞4或3＜4 C ．9≤7D ．方程x 2－3x ＋4＝0有实根B [虽然p ：3>4是假命题，但q ：3<4是真命题，所以p ∨q 是真命题．]3．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．q 为真C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真C [函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故p 为假命题；x ＝π2不是y ＝cos x 的对称轴，命题q 为假命题，故p ∧q 为假．故选C.]4．下列命题： ①2>1或1<3；②方程x 2－3x －4＝0的判别式大于或等于0；③周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等； ④集合A ∩B 是集合A 的子集，且是A ∪B 的子集． 其中真命题有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个C [前三个命题是“p ∨q ”形式，第四个是“p ∧q ”形式，根据真值表判断方法知命题③中两个简单命题均为假命题，故命题③是假命题．]5．p ：点P 在直线y ＝2x －3上，q ：点P 在抛物线y ＝－x 2上，下面使“p ∧q ”为真命题的一个点P (x ，y )是( )A ．(0，－3)B ．(1,2)C ．(1，－1)D ．(－1,1)C [使“p ∧q ”为真命题的点即为直线y ＝2x －3与抛物线y ＝－x 2的交点．]6．已知p ：不等式ax ＋b >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞－b a ，q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a ＜x ＜b }，若“p ∨q ”是假命题，则a ，b 满足的条件是________．b ≤a ≤0 [∵p ∨q 为假命题，∴p ，q 均为假命题．p 假⇔a ≤0，q 假⇔a ≥b ，则b ≤a ≤0.]7．已知命题p ：“一次函数的图象是一条直线”，命题q ：“函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是一条抛物线”，则下列四种形式的命题：①p ；②q ；③p ∨q ；④p ∧q 中，真命题是________．①③ [∵p 为真命题，q 为假命题，p 或q 为真，p 且q 为假， ∴①、③是真命题．]8．已知命题p ：不等式|x －1|＞m 的解集是R ，命题q ：函数f (x )＝2－mx在区间(0，＋∞)上是减函数，若命题“p ∨q ”为真，命题“p ∧q ”为假，则实数m 的取值范围是________．{m |0≤m ＜2} [若命题p 为真可得m ＜0，若命题q 为真可得m ＜2，由“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假可知p ，q 只能一真一假．若p 真q 假，可得m 不存在；若p 假q 真，可得0≤m ＜2.]9．判断下列复合命题的真假．(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；(2)不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R 且不等式x 2－2x ＋2≤1的解集为∅.[解] (1)这个命题是“p 且q ”形式的复合命题，其中p ：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q ：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p 真q 真，则“p 且q ”为真，所以该命题是真命题．(2)这个命题是“p 且q ”形式的复合命题，其中p ：不等式x 2－2x ＋1>0的解集为R ，q ：不等式x 2－2x ＋2≤1的解集为∅.因为p 假q 假，所以“p 且q ”为假，故该命题为假命题．10．已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；q ：函数f (x )＝－(5－2a )x是减函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．[解] 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4.由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16＜0，∴－2＜a ＜2， ∴p ：－2＜a ＜2.函数f (x )＝－(5－2a )x是减函数， 则有5－2a >1，即a <2.∴q ：a ＜2.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，a ≥2，此不等式组无解．(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2 或a ≥2，a <2，∴a ≤－2.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．[能力提升练]1．在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p 表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q 表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题p ∨q 表示( )A ．甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米B ．甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米C ．甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米D ．甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米D [命题p ∨q 表示的意义分为三层：(1)“甲的试跳成绩超过2米，乙没有超过2米”； (2)“甲没有超过2米，乙超过2米”；(3)“甲、乙二人都超过2米．”故该命题等价于甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米．]2．已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－12，－4]∪[4，＋∞)B ．[－12，－4]∪[4，＋∞)C ．(－∞，－12)∪(－4,4)D ．[－12，＋∞)C [命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a <－12；若p 假q 真，则－4<a <4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．]课时分层作业(四) “非”(否定)(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．若命题p ：0是偶数，命题q ：2是3的约数，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∨q C ．﹁pD ．(﹁p )∧(﹁q )B [因为p 是真命题，q 是假命题，所以p ∨q 是真命题．]2．已知命题p ：|x －1|≥2，命题q ：x ∈Z ，若“p 且q ”与“非q ”同时为假命题，则满足条件的x 为( )A ．{x |x ≥3或x ≤－1，x ∈Z }B ．{x |－1≤x ≤3，x ∈Z }C ．{0,1,2}D ．{－1,0,1,2,3}C [由题意知q 真，p 假，∴|x －1|＜2，∴－1＜x ＜3且x ∈Z ，∴x ＝0,1,2.] 3．对于p ：x ∈A ∩B ，则﹁p ( ) A ．x ∈A 且x ∈B B ．x ∉A 或x ∈B C ．x ∉A 或x ∉BD ．x ∈A ∪BC [因原命题等价于x ∈A 且x ∈B ，所以p 为x ∉A 或x ∉B .]4．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( ) A ．﹁p ：∀x ∈A,2x ∉B B ．﹁p ：∀x ∉A,2x ∉B C ．﹁p ：∃x ∉A,2x ∈B D ．﹁p ：∃x ∈A,2x ∉BD [全称命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 的否定是把量词“∀”改为“∃”，并对结论进行否定，即把“∈”改为“∉”．全称命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 的否定是﹁p ：∃x ∈A,2x ∉B ，故选D.]5．已知命题p ：函数f (x )＝－(5－2m )x是减函数，若﹁p 为真，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥52B ．m ≤52C ．m ≥2D ．m ＜2C [由f (x )＝－(5－2m )x是减函数知5－2m >1，所以m <2，所以当﹁p 为真时，p 为假，所以m ≥2，故选C.]6．命题“∀x ∈R ，x 2－x ＋4≠0”的否定是________． ∃x ∈R ，x 2－x ＋4＝0 [全称命题的否定为存在性命题．]7．命题“若abc ＝0，则a ，b ，c 中至少有一个为零”的否定为________．若abc ＝0，则a ，b ，c 全不为零 [“a ，b ，c 中至少有一个为零”的否定为“a ，b ，c 全不为零”．]8．已知p ：x 2－x ≥6，q ：x ∈Z .若“p ∧q ”“ ﹁q ”都是假命题，则x 的值组成的集合为________．{－1,0,1,2} [若p 真，则x 2－x －6≥0，解得x ≥3或x ≤－2.又因为“p ∧q ”“ ﹁q ”都是假命题，所以q 为真命题，p 为假命题，故有⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜3，x ∈Z ，得x ∈{－1,0,1,2}．]9．写出下列命题的否定．(1)若m 2＋n 2＋x 2＋y 2＝0，则实数m ，n ，x ，y 全为零； (2)已知x ，y 均为非负实数，若x ＋y ＝0，则x ＝0且y ＝0. (3)面积相等的三角形都是全等三角形； (4)若m 2＋n 2＝0，则实数m ，n 全为零．[解] (1)命题的否定：若m 2＋n 2＋x 2＋y 2＝0，则实数m ，n ，x ，y 不全为零． (2)命题的否定：已知x ，y 均为非负实数，若x ＋y ＝0，则x ≠0或y ≠0. (3)命题的否定：面积相等的三角形不都是全等三角形． (4)命题的否定：若m 2＋n 2＝0，则实数m ，n 不全为零．10．已知命题p ：∀m ∈[－1,1]，不等式a 2－5a －3≥m 2＋8；命题q ：∃x ，使不等式x 2＋ax ＋2＜0.若p 或q 是真命题，﹁q 是真命题，求a 的取值范围．[解] 根据p 或q 是真命题，﹁q 是真命题，得p 是真命题，q 是假命题． ∵m ∈[－1,1]，∴m 2＋8∈[22，3]． ∵∀m ∈[－1,1]，不等式a 2－5a －3≥m 2＋8， ∴a 2－5a －3≥3，∴a ≥6或a ≤－1.故命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.又命题q：∃x，使不等式x2＋ax＋2＜0，∴Δ＝a2－8＞0，∴a＞22或a＜－22，从而命题q为假命题时，－22≤a≤22，∴命题p为真命题，q为假命题时，a的取值范围为[－22，－1]．[能力提升练]1．已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2<b2，则a<b.下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．p∧﹁qC．﹁p∧q D．﹁p∧﹁qB[∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，∴x2－x＋1>0恒成立，∴p为真命题，﹁p为假命题．∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，∴q为假命题，﹁q为真命题．根据真值表可知p∧﹁q为真命题，p∧q，﹁p∧q，﹁p∧﹁q为假命题．故选B.]2．若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为________．[－1,3] [∵命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1＜0”是假命题，∴命题“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0”是真命题，即对应的判别式Δ＝(a－1)2－4≤0，即(a－1)2≤4，∴－2≤a－1≤2，即－1≤a≤3.]课时分层作业(五) 推出与充分条件、必要条件(建议用时：60分钟)[基础达标练]1．以q为公比的等比数列{a n}中，a1>0，则“a1<a3”是“q>1”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [等比数列{a n }中，若a 1>0，则a 1<a 3，可得q 2>1，即q >1或q <－1；若q >1，则有q 2>1，所以a 1q 2>a 1，即a 1<a 3，所以“a 1<a 3”是“q >1”的必要不充分条件．]2．下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的命题个数为( ) ①若f (x )是周期函数，则f (x )＝sin x ； ②若x >5，则x >2； ③若x 2－9＝0，则x ＝3.A ．0B ．1C ．2D ．3B [①中，周期函数还有很多，如y ＝cos x ，所以①中p 不是q 的充分条件；很明显②中p 是q 的充分条件；③中，当x 2－9＝0时，x ＝3或x ＝－3，所以③中p 不是q 的充分条件．所以p 是q 的充分条件的命题的个数为1，故选B.]3．设α，β是两个不同的平面，m 是直线，且m α，则“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [由mα，m ∥β得不到α∥β；由m α，α∥β能得到m ∥β.∴“m ∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．]4．设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件C [由|a －3b |＝|3a ＋b |得(a －3b )2＝(3a ＋b )2， 即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a·b . 又a ，b 均为单位向量，所以a 2＝b 2＝1， 所以a ·b ＝0，能推出a ⊥b ， 由a ⊥b 得|a －3b |＝10， |3a ＋b |＝10，能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件．]5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，－2x＋a ，x ≤0，有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A ．a ＜0B ．0＜a ＜12C ．12＜a ＜1 D ．a ≤0或a ＞1A [因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x 的图象(x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合(图略)可知a ≤0或a ＞1，根据集合之间的关系{a |a ＜0}{a |a ≤0或a ＞1}，可知选A.]6．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充要条件是m ＝________.－23 [x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8互相垂直⇔1·m ＋(m ＋1)·2＝0⇔m ＝－23.] 7．若p ：x (x －3)<0是q ：2x －3<m 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________． [3，＋∞) [p ：x (x －3)＜0，即0＜x ＜3.q ：2x －3＜m ，即x ＜m ＋32.由题意知p ⇒q ，q /⇒p ，如图所示，则m ＋32≥3，解得m ≥3.]8．若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．[0,2] [由已知易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x ＜m －1或x >m ＋1}，又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x ＜－1或x ＞3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m －1，m ＋1＜3，或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2.]9．设x ，y ∈R ，求证：“|x ＋y |＝|x |＋|y |”的充要条件是“xy ≥0”． [证明] 充分性：若xy ≥0，则有xy ＝0和xy ＞0两种情况． 当xy ＝0时，不妨设x ＝0，则|x ＋y |＝|y |，|x |＋|y |＝|y |， ∴|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．当xy ＞0时，即x ＞0，y ＞0或x ＜0，y ＜0.又当x ＞0，y ＞0时，|x ＋y |＝x ＋y ，|x |＋|y |＝x ＋y . ∴|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．当x ＜0，y ＜0时，|x ＋y |＝－(x ＋y )，|x |＋|y |＝－x －y . ∴|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．∴当xy ≥0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |成立． 必要性：若|x ＋y |＝|x |＋|y |且x ，y ∈R ，则|x ＋y |2＝(|x |＋|y |)2， 即x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋y 2＋2|x ||y |， ∴|xy |＝xy ，∴xy ≥0.综上，可知“|x ＋y |＝|x |＋|y |”的充要条件是“xy ≥0”． 10．已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，若﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．[解] 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10，∴﹁p ：A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}．由x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)， ∴﹁q ：B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m ，m ＞0}． ∵﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，∴AB .结合数轴有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1＋m ＜10，1－m ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1＋m ≤10，1－m ＞－2，解得0＜m ≤3.即m 的取值范围是(0,3]．[能力提升练]1．设a ∈R ，则“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y －8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件D [∵当a ＝4时，a 2＝8a ＝－8－a ⇒直线l 1与直线l 2重合，当l 1与l 2平行时，需a 2＝8a ≠－8－a，显然不可能，故此时l 1与l 2重合，故选D.]2．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)．条件p ：0<r <3，条件q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C [因为圆心C (1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1＋3|1＋3＝2，若半径r ＝3，则圆C 上恰有三个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1.故若0<r <3，则圆C 上至多有两个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1；反之也成立．故选C.]3．已知p ：x 2＋2x －3>0，q ：x >a (a 为实数)．若q 的一个充分不必要条件是p ，则实数a 的取值范围是________．[1，＋∞) [将x 2＋2x －3>0化为(x －1)(x ＋3)>0，所以p ：x >1或x <－3.因为q 的一个充分不必要条件是p ，所以p 的一个充分不必要条件是q ，所以a ≥1.]4．给出如下三个命题：①“2a >2b”是“ma >mb ”的充要条件； ②在△ABC 中，“∠A >60°”是“sin A >32”的充要条件； ③已知条件p ：x 2－3x －4≤0，条件q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若q 是p 的充分不必要条件，则m 的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．其中正确的命题是________．③ [若2a>2b，则a >b ，而此时ma >mb 不一定成立，若ma >mb ，当m >0时，则a >b ，此时2a>2b，当m <0时，此时a <b ，此时2a<2b，所以“2a>2b”是“ma >mb ”的既不充分也不必要条件，故命题①错误；在△ABC 中，∠A ＝150°时，sin A <32，故命题②错误；若q 是p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．由p ：－1≤x ≤4，所以由一元二次方程根的分布可得，(－1)2－6×(－1)＋9－m 2≤0，解得m ≤－4或m ≥4.故正确的命题是③.]5．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． [解] (1)当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0，即x ＝－12，符合要求．(2)当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a ≥0，∴a ≤1.①方程ax 2＋2x ＋1＝0有一个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1x 2＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a＜0，∴a ＜0.②方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2＜0，x 1x 2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，－2a＜0，1a ＞0，∴0＜a ≤1.综上所述，ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1.课时分层作业(六) 命题的四种形式(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．命题“a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是( )A．a，b∈R，若a≠b≠0，则a2＋b2＝0B．a，b∈R，若a＝b≠0，则a2＋b2≠0C．a，b∈R，若a≠0且b≠0，则a2＋b2≠0D．a，b∈R，若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0D[a＝b＝0的否定为a≠0或b≠0；a2＋b2＝0的否定为a2＋b2≠0.故选D.]2．命题“若一个数是负数，则这个数的平方是正数”的逆命题是( )A．若一个数是负数，则这个数的平方不是正数B．若一个数的平方是正数，则这个数是负数C．若一个数不是负数，则这个数的平方不是正数D．若一个数的平方不是正数，则这个数不是负数B[原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则这个数是负数．故选B.]3．已知命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3B[因原命题为真，故逆否命题也为真；又因该题的逆命题为“若b2＝ac，则a，b，c 成等比数列”为假命题，所以它的否命题也为假命题．]4．原命题p：“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．4C[当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”，它是正确的；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有2个．故选C.]5．有下列四个命题：(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x >y ，则x 2>y 2”的逆否命题； (3)“若x ≤3，则x 2－x －6>0”的否命题； (4)“等边三角形有两边相等”的逆命题． 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 B________．[1,2] [由已知，得原命题的逆命题为“若1＜x ＜2，则m －1＜x ＜m ＋1”为真命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1m ＋1≥2，∴1≤m ≤2.]7．给出以下命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“若a >b ，则a 2＞b 2的逆否命题； ③“若x ≤－3，则x 2＋x －6>0”的否命题． 其中真命题的个数为________．1 [命题①为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，是真命题；因为命题“若a ＞b ，则a 2＞b 2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x >－3，则x 2＋x －6≤0”，由x 2＋x －6≤0，得－3≤x ≤2，故命题③是假命题，综上知真命题只有1个．]8．给定下列命题：①若k >0，则方程x 2＋2x －k ＝0有实数根； ②“若x ＋y ≠8，则x ≠2或y ≠6”； ③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy ＝0，则x ，y 中至少有一个为0”的否命题． 其中真命题的序号是________．①②④ [①∵Δ＝4－4(－k )＝4＋4k >0， ∴①是真命题．②其逆否命题为真，故②是真命题．③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题．④否命题：“若xy≠0，则x，y都不为零”是真命题．]9．写出命题“若定义在R上的函数f(x)，g(x)都是奇函数，则函数F(x)＝f(x)·g(x)是偶函数”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．[解]逆命题：已知f(x)，g(x)是定义在R上的函数，若函数F(x)＝f(x)·g(x)是偶函数，则函数f(x)，g(x)都是奇函数．该命题是假命题．因为函数f(x)，g(x)有可能都是偶函数．否命题：若定义在R上的函数f(x)，g(x)不都是奇函数，则函数F(x)＝f(x)·g(x)不是偶函数．该命题是假命题．逆否命题：已知f(x)，g(x)是定义在R上的函数，若函数F(x)＝f(x)·g(x)不是偶函数，则函数f(x)，g(x)不都是奇函数，该命题是真命题．10．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．[解](1)逆命题：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.为真命题．用反证法证明：假设a＋b<0，则a<－b，b＜－a，∵f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．这与题设相矛盾，∴逆命题为真命题．(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0.为真命题．∵一个命题⇔它的逆否命题，可证明原命题为真命题．∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．∴原命题为真命题．∴逆否命题为真命题．[能力提升练]1．已知命题p：若x＝－1，则向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ( )A．0 B．2C ．3D ．4B [向量a ，b 共线⇔x －x (x ＋2)＝0⇔x ＝0或x ＝－1，∴命题p 为真，其逆命题为假，故在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.]2．给出下列命题：①命题“在△ABC 中，若AB ＝BC ＝CA ，则△ABC 为等边三角形”的逆命题； ②命题“若a >b >0，则3a >3b >0”的逆否命题；③命题“若m >1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)＜0的解集为R ”的逆命题． 其中真命题的序号为________．①② [①命题“在△ABC 中，若AB ＝BC ＝CA ，则△ABC 为等边三角形”的逆命题为“若△ABC 为等边三角形，则AB ＝BC ＝CA ”，为真命题；②命题“若a ＞b ＞0，则3a ＞3b ＞0”为真命题，故其逆否命题也为真命题；③“若m ＞1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)<0的解集为R ”的逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)<0的解集为R ，则m >1”，由于mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)＜0的解集为R ⇔m ＜－15，故逆命题为假命题．]课时分层作业(七) 椭圆及其标准方程(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．7C ．5D ．8D [将椭圆的方程转化成标准形式为y 2(m －2)2＋x 2(10－m )2＝1. 由题意知m －2＞10－m ＞0，即6＜m ＜10.由(m －2)2－(10－m )2＝22，解得m ＝8，满足题意，故选D.]2．已知椭圆x 28＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是( )A ．8B ．2 2C ．10D ．4 2A [由椭圆的定义得，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝42，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝8(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)．3．已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，则此椭圆的标准方程是( ) A ．y 225＋x 2＝1B ．x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 C ．x 225＋y 2＝1 D ．以上都不对A [设椭圆方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，且A ≠B )， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧925A ＋16B ＝1，1625A ＋9B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝125.]4．若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( ) A ．x 25＋y 2＝1B ．x 24＋y 25＝1C ．x 25＋y 2＝1或x 24＋y 25＝1D ．以上答案都不对C [直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)， 由题意知当焦点在x 轴上时，c ＝2，b ＝1， ∴a 2＝5，所求椭圆的标准方程为x 25＋y 2＝1.当焦点在y 轴上时，b ＝2，c ＝1， ∴a 2＝5，所求椭圆标准方程为y 25＋x 24＝1.]5．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( )A ．2B ．4C ．8D ．2 2B [因为椭圆方程为4x 2＋y 2＝1，所以a ＝1.根据椭圆的定义，知△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝4.]6．下列命题是真命题的是________(将所有真命题的序号都填上)．①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆；②已知定点F 1(－2,0)，F 2(2，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段；③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆；④若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和等于点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和，则点P 的轨迹为椭圆．②④ [①2<2，故点P 的轨迹不存在；②因为2a ＝|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2；③到定点F 1(－3，0)，F 2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴)；④点M (5,3)到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和为410>8，故点P 的轨迹为椭圆．故填②④.]7．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为________．x 29＋y 23＝1 [设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )．∵椭圆经过点P 1，P 2，∴点P 1，P 2的坐标适合椭圆方程．则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ② ①②两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1.] 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B的值为________． 54 [由题意可知A ，C 恰为椭圆x 225＋y29＝1的两焦点，又点B 在椭圆上，故|BC |＋|AB |＝10.∴sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|AB ||AC |＝108＝54.]9．求适合下列条件的椭圆的方程． (1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32； (2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，点P 到离它较近的一个焦点的距离等于2.[解] (1)∵椭圆焦点在x 轴上，∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵椭圆经过(2,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10. ∵P 到离它较近的一个焦点的距离为2， ∴－c －(－10)＝2， ∴c ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝36， ∴椭圆的标准方程为y 2100＋x 236＝1. 10．一动圆过定点A (2,0)，且与定圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解] 将圆的方程化为标准形式为(x ＋2)2＋y 2＝62， ∴圆心坐标为B (－2,0)，半径为6，如图：由于动圆M 与已知圆B 相内切，设切点为C .∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即 |BC |－|MC |＝|BM |， 而|BC |＝6，|CM |＝|AM |， ∴|BM |＋|AM |＝6.根据椭圆的定义知M 的轨迹是以点B (－2,0)和点A (2，0)为焦点的椭圆，且2a ＝6. ∴a ＝3，c ＝2，b ＝a 2－c 2＝5，。

课时分层作业(一) 宇宙中的地球(建议用时：45分钟)[学业达标练]读下图，完成1～2题。

1．图中包括的天体系统有( )A．银河系、太阳系B．太阳系、地月系C．银河系、地月系D．太阳系、河外星系2．图中A属于( )A．恒星B．星云C．卫星D．行星1．B 2.A[读图可知，月球绕B运转，B应为地球，地球与月球组成地月系；B绕A运转，A应为太阳，太阳是一颗恒星；太阳与地球组成太阳系。

] 天文学家在冥王星更外侧的太阳系边缘发现一颗太阳系的新成员，这颗“冰冻星球”的发现暗示在那个寒冷的区域很有可能还隐藏着比冥王星更大的天体。

据此回答3～4题。

3．下列关于天体的叙述，正确的是( )A．天体即宇宙中一切球状的固态物质B．材料中的“冰冻星球”为恒星C．天体在宇宙中是静止不动的D．天体有很多类型，太阳是恒星、地球是行星、月球是卫星4．“冰冻星球”所在区域比较寒冷，这最可能是由于该区域( )A．距太阳比较遥远B．天体的体积过小C．天体绕太阳公转的速度过快D．被冰雪覆盖3．D 4.A[第3题，天体是宇宙中一切物质的存在形式，它不一定是固态，也不一定是球状；材料中的“冰冻星球”位于太阳系，肯定不是恒星；天体都在不停运动；天体有恒星、行星、卫星等多种类型。

第4题，“冰冻星球”所在区域位于太阳系的边缘，离太阳较远，获得的太阳辐射能较少，故较寒冷。

] 右图是美国航天局公布的代号为“开普勒—22b”的行星所处恒星系统与太阳系比较的假想图，“开普勒—22b”行星距地球约600光年。

读图，回答5～6题。

5．“开普勒—22b”行星所处的天体系统为( )A．地月系B．太阳系C．银河系D．河外星系6．位于“宜居带”的“开普勒—22b”行星应( )A．有肥沃的土壤B．有适宜的温度C．表面比较平坦D．接受来自恒星的辐射能量5．C 6.B[第5题，“开普勒—22b”与地球相距600光年，其距离大大超过了太阳系的范围，但在银河系的范围之内，因此“开普勒—22b”行星所处的天体系统为银河系。

课时分层作业(二）SｅctｉoｎⅡ（建议用时：35分钟）[语言知识练习固基础］Ⅰ。

语境填词A）根据汉语或首字母提示，写出下列语句中所缺单词的正确形式1.My main coｎcern iｓｔhat theｗork ｗon＇t be ｆiｎished oｎ tiｍe。

２.Shｅ dｉdn'ｔ slｅep well beｃauｓe ｓhe wａs ｗorrieｄanｄ upseｔ (心烦意乱的)about many ｔhiｎgs。

3.Maria haｓｗriｔｔｅn twｏnovels，bｏth of whichｈaｖe ｂｅen maｄe inｔｏｔeleｖisiｏn ｓｅries.4.It isｖｅrｙ imporｔanｔ tｏ staｙ calｍ (冷静的）wｈen aｎ eａrthqｕａke happenｓ.5.Cｈildren sｈｏuld sｐeｎd mｏre tiｍｅｔａkinｇ exercｉse ｏutdoｏrｓ and les ｓｔｉme waｔching TＶ at home.B）在空白处填入１个适当的单词或括号内单词的正确形式6.Ｉｄidn’t ｒｅａliｚe ｉｔｗaｓsuch a powerful (ｐowｅｒ） country．7.I'm nｏt ｅｎtireｌy (enｔire)hapｐy aｂoｕt tｈe pｒｏposaｌ。

8．Lｏｏk! Thｅ bｏｙｉs pulｌinｇ thｅcuｒtａｉn hanginｇ（hanｇ） tｈerｅ.9．Hｅworkｅdｗiｔh one oｆ his ｂusｉneｓs parｔners(ｐartner） to finiｓh a greａt proｊect。

10.I am wonderｉng if/wｈether yｏu'd lｉｋe ｔo comｅｔｏｔhe parｔｙ toｎiｇht。

Ⅱ.单句改错(每个句子仅有１处错误)1.Tｏ him,tｏｄｅal with the bad situaｔioｎ iｓ out his ｐｏweｒ。

课时分层作业(十三)风沙地貌和海岸地貌A级·学考达标练辽宁省锦州市的笔架山风景区内，有一座通往笔架山岛的天桥堪称世界奇观(下图)。

天桥由砾石组成，砾石来源于笔架山岛。

涨潮时天桥被海水淹没，落潮时天桥又露出水面。

每天潮涨潮落两次，天桥就露出水面两次。

下表为农历初一、十六笔架山风景区潮汐表及景区游览说明。

据此完成1～2题。

1.A．风力侵蚀B．风力堆积C．海浪侵蚀D．海浪堆积2．2022年8月16日(农历七月十六)风力较小，小明通过天桥到笔架山游览，其通过的时间最可能是()A．6：00 B．10：00C．15：00 D．21：00下图是雅鲁藏布江中游宽谷的爬升沙丘。

读图，完成3～4题。

3．该沙丘位于()A．冲积扇B．洪积平原C．三角洲D．河漫滩4．下列能正确示意沙丘剖面及其外力作用主要方向的是()A．①B．②C．③D．④[2023·广东珠海市月考]下图为“我国①②两地区的典型地貌景观示意图”。

读图，完成5～7题。

5．图示①②两地区典型地貌分别属于()A．风成地貌、河流地貌B．海岸地貌、喀斯特地貌C．海岸地貌、冰川地貌D．冰川地貌、风成作用6．图示①②两地区典型地貌形成的主要外力作用是()A．风化B．侵蚀C．搬运D．堆积7．下列地形区中，最可能广泛分布图示②地貌的是()A．江南丘陵B．黄土高原C．华北平原D．青藏高原下图为“世界上两种外力作用形成的地貌景观图”。

读图，完成8～9题。

8．甲、乙地貌的共同之处是()A．均为外力侵蚀形成B．均位于沿海地区C．形成的原因相同D．所在地区气候类似9．乙地貌海洋一侧未来可能演变为()A．海蚀崖B．海蚀平台C．海蚀柱D．海蚀穴10．阅读图文材料，完成下列要求。

“恐龙探海”地貌景观位于大连海滨金石滩国家地质公园景区内，是景区的核心景观，该地貌及其周边海岸的地层中含有丰富的古生物化石。

下图示意某游客拍摄的“恐龙探海”景观照片，从西侧透过岩石孔洞能看到日出的美丽景象。

课时分层作业（一）（建议用时：40分钟）I.单词拼写1.Some people （适应）themselves better to the society.2.They accused the government of being （不适合）to govern.3.Snakes are said to （使着迷）smal 1 birds.4.I* m going to （力劝）Iheni to remain calm.5.We didn't （完成）much last week.6.Friendship is to be strengthened by truth and （投入）.7.This figure is at most an （近似的）average value.8.There was a burst of （笑声）in the next room.9.In （真实），I am neither hearing nor answering.10.I am well aware that this is a （困难的）job.【答案】5. accomplish8. 1II.阅读七选五Training for a marathon requires careful preparation and steady, gradual increases in the length of the runs. 1 , buy the best-fitting, best-bui It running shoes you can find. No one can say which brand will work best for you or feel best on your feet you have found shoes that seem right, walk in them for a few days to double-check the fit. 2 . As always, you should stretch（伸展）at least ten minutes before each run to prevent injuries.During the first week, do not think about distance, but run five minutes longer each day.3 > it is wise to take a day off to rest. But during the next week, set a goal of at least a mi le and a half per run.4 After two weeks, start timing yourself.5 . Depending on the kind of race you plan to enter, you can set up a timetable for the remaining weeks before the race.A.After six daysB.For a good marathon runnerC.Before you begin your trainingD.With each day, increase the distance by a half miloE.If they still feel good, you can begin running in themF.Time spent for preparation raises the quality of trainingNow you are ready to figure out a goal of improving distance and time 【答案】1一5 CEADGIII.完形填空At my heaviest 1 weighed 370 pounds.1 had a very poor relationship with food： I used it to ] bad feelings, to make myself feel better, and to celebrate. Worried about my health, I tried many different kinds of 2 but nothing worked.I came to believe that I could do nothing about my 3 .When I was 50, my weight problem began to affect me 4 . I didn't want to live the rest of my life with this 5 weight any more.That year, I 6 a seminar where we were asked to create a project that would touch the world. A seminar leader shared her 7 story—she had not only lost 125 pounds, but also raised $ 25, 000 for homeless children.8 by her story, I created the As We Ileal （痊愈），the World Heals 9 . My goal was to lose 150 pounds in one year and raise $ 50, 000 10 a movement founded 30 years ago to end hunger. This combination of healing myself and healing the world 11 me as the perfect solution.12 1 began my own personal wei ght program, I was fi 1 led wi th the fear that I would13 the same difficulties that beat me before. While the 14 hung over my head, there were also signs that I was headed down the right 15 . I sent letters to everyone I knews began 16 in from hundreds of people.Of course, I also took some practical steps to lose weight. I consulted with a physician （内科医生），I hired a fitness coach, and I began to cat small and 17 meals.My fund-raising focus al so gave me new motivation to exercise 18 .A year later, I 19 my goal： I lost 150 pounds and raised $ 50, 000! I feel that I* ve been given a second life to devote to something that is 20 and enormous.【语篇解读】本文是一篇记叙文。

课时分层作业(一) 棱柱、棱锥、棱台的结构特征(建议用时：45分钟)一、选择题1．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( )A．四边形B．三角形C．三角形或四边形D．不可能为四边形C[如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形(如图①)，如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形(如图②).图①图②]2．下列说法正确的是( )A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台B．多面体至少有3个面C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形D[选项A错误，反例如图①；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项B错误：选项C错误，反例如图②，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．]①②3．如图所示都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是( )①②③④A．①②B．②③C．③④D．①④B[在图②③中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图②③完全一样，而①④则不同．]4．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定A[如图．因为有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形，因此是棱柱．]5．由五个面围成的多面体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，则该多面体是( )A．三棱柱B．三棱台C．三棱锥D．四棱锥B[该多面体有三个面是梯形，而棱锥最多有一个面是梯形(底面)，棱柱最多有两个面是梯形(底面)，所以该多面体不是棱柱、棱锥，而是棱台．三个梯形是棱台的侧面，另两个三角形是底面，所以这个棱台是三棱台．]二、填空题6．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.12[该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，所以每条侧棱长为12 cm.] 7．如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________．10[将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝AD2＋DD2＝110.]8．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成________个三棱锥．3[如图，三棱台可分成三棱锥C1­ABC，三棱锥C1­ABB1，三棱锥A­A1B1C1，三个．]三、解答题9．如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？有几个面、几个顶点、几条棱？[解] 这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体，有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．10．试从正方体ABCD­A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；(3)三棱柱．[解] (1)如图①所示，三棱锥A1­AB1D1(答案不唯一).(2)如图②所示，三棱锥B1­ACD1(答案不唯一).(3)如图③所示，三棱柱A1B1D1­ABD(答案不唯一).①②③1．已知正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为4 cm，高为10 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面，绕行两周到达点A1的最短路线的长为( )A．16 cm B．12 3 cmC．24 3 cm D．26 cmD[将正三棱柱ABC­A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，如图所示，最短距离是六个小矩形拼成的矩形对角线的连线的长度，即为三棱柱的侧面上所求路线的最小值．由已知，拼成的矩形的长等于6×4＝24 cm，宽等于10 cm，所以最短路线为l＝242＋102＝26 cm，故选D.]2．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有________条．10[在上底面选一个顶点，同时在下底面选一个顶点，且这两个顶点不在同一侧面上，这样上底面每个顶点对应两条对角线，所以共有10条．]课时分层作业(二) 旋转体与简单组合体的结构特征(建议用时：45分钟)一、选择题1．下列几何体中是旋转体的是 ( )①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①和⑤B．①C．③和④ D．①和④D[根据旋转体的概念可知，①和④是旋转体．]2．图①②中的图形折叠后的图形分别是( )①②A．圆锥、棱柱B．圆锥、棱锥C ．球、棱锥D ．圆锥、圆柱B [根据图①的底面为圆，侧面为扇形，得图①折叠后的图形是圆锥；根据图②的底面为三角形，侧面均为三角形，得图②折叠后的图形是棱锥．]3．圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面，那么此圆锥的轴截面是( ) A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．顶角为30°等腰三角形D ．其他等腰三角形A [设圆锥底面圆的半径为r ，依题意可知2πr ＝π·a 2，则r ＝a 4，故轴截面是边长为a2的等边三角形．]4．下列关于圆柱的说法中不正确的是( ) A ．圆柱的所有母线长都相等B ．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面C ．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面D ．一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱 C [根据圆柱的定义及结构特征，易知选项C 不正确．]5．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为( ) A ．32 B ．32π C ．16πD ．8πB [若8为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为8π，其轴截面的面积为32π；若4为底面周长，则圆柱的高为8，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为32π.]二、填空题6．如图是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是________．圆柱 [一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱．] 7．下列命题中错误的是________．①过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径； ②母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等； ③圆台所有平行于底面的截面都是圆面； ④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形．② [因为圆锥的母线长一定，根据三角形面积公式，当两条母线的夹角为90°时，圆锥的轴截面面积最大．]8．一个半径为5 cm 的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm ，则截面圆面积为________ cm 2.9π [设截面圆半径为r cm ，则r 2＋42＝52，所以r ＝3.所以截面圆面积为9π cm 2.] 三、解答题9．如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD <BC ，当梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．[解] 如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体． 10．一个圆台的母线长为12 cm ，两底面面积分别为4π cm 2和25π cm 2.求： (1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．[解] (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD (如图所示).由已知可得上底面半径O 1A ＝2(cm)， 下底面半径OB ＝5(cm)， 又因为腰长为12 cm ， 所以高AM ＝122－（5－2）2＝315(cm).(2)如图所示，延长BA ，OO 1，CD ，交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ，则由△SAO 1∽△SBO 可得l －12l ＝25，解得l ＝20 (cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.1．如右图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体B[圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.]2．如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.则绳子的最短长度的平方f(x)＝________．x2＋16(0≤x≤4)[将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA′的长度L就是圆O的周长，所以L＝2πr＝2π，所以∠ASM＝L2πl×360°＝2π2π×4×360°＝90°.由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝x2＋16(0≤x≤4).所以f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4).]课时分层作业(三) 中心投影与平行投影空间几何体的三视图(建议用时：45分钟)一、选择题1．直线的平行投影可能是( )A．点B．线段C．射线D．曲线A[直线的平行投影可能是直线也可能是点，故选A.]2．下列说法错误的是( )A．正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度B．俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度C．侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度D．一个几何体的正视图和俯视图高度一样，正视图和侧视图长度一样，侧视图和俯视图宽度一样D[正视图和俯视图长度一样；正视图和侧视图高度一样；侧视图和俯视图宽度一样．故D不对．]3．有下列说法：①从投影的角度看，三视图是在平行投影下画出来的投影图；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；③空间图形经过中心投影后，直线变成直线，平行线还是成平行的直线；④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确说法有( )A．1个B．2个C．3个D．4个C[由投影的知识知①②④正确．只有③错误，空间图形经过中心投影后，直线变成直线、平行线有可能变成了相交直线，综上可知正确说法有3个，故选C.]4．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )A[由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.]5．如图所示，五棱柱的侧视图应为( )A B C DB [从五棱柱左面看，是2个矩形，上面的小一点，故选B.] 二、填空题6．如下图，图①②③是图④表示的几何体的三视图，其中图①是________，图②是________，图③是________(说出视图名称).① ② ③ ④正视图 侧视图 俯视图 [由几何体的位置知，①为正视图，②为侧视图，③为俯视图．] 7．若线段AB 平行于投影面，O 是线段AB 上一点，且AO OB ＝mn，点A ′，O ′，B ′分别是A ，O ，B 在投影面上的投影点，则A ′O ′O ′B ′＝________．m n [由题意知AB ∥A ′B ′，OO ′∥AA ′，OO ′∥BB ′，则有A ′O ′O ′B ′＝AO OB ＝m n.] 8．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为________．23 [由三视图知可把四棱锥放在一个正方体内部，四棱锥为D ­BCC 1B 1，最长棱为DB 1＝DC 2＋BC 2＋BB 21＝4＋4＋4＝2 3.]三、解答题9．如图所示的几何体是由一个长方体木块锯成的．(1)判断该几何体是否为棱柱；(2)画出它的三视图．[解] (1)是棱柱．因为该几何体的前、后两个面互相平行，其余各面都是矩形，而且相邻矩形的公共边都互相平行．(2)该几何体的三视图如图：10．某组合体的三视图如图所示，试画图说明此组合体的结构特征．[解] 该三视图表示的几何体是由一个四棱柱和一个四棱台拼接而成的组合体(如图所示).1．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )A．217 B．2 5C．3 D．2B[由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为MS2＋SN2＝22＋42＝2 5.故选B.图①图②]2．太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一个皮球上，皮球在地面上的投影长是103，则皮球的直径是________．15[皮球的直径d＝103sin 60°＝103×32＝15.]课时分层作业(四) 空间几何体的直观图(建议用时：45分钟)一、选择题1．如图，已知等腰三角形ABC，则如下所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是( )①②③④A.①②B．②③C．②④D．③④D[原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，③④两图分别为在∠x′O′y′成135°和45°的坐标系中的直观图．]2．对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述不正确的是( )A.三角形的直观图仍然是一个三角形B.90°的角的直观图会变为45°的角C.与y 轴平行的线段长度变为原来的一半D.由于选轴的不同，所得的直观图可能不同B [对于A ，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A 正确；对于B ，90°的角的直观图会变为45°或135°的角，故B 错误；C ，D 显然正确．]3．把△ABC 按斜二测画法得到△A ′B ′C ′(如图所示)，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么△ABC 是一个( )A.等边三角形 B ．直角三角形C.等腰三角形D ．三边互不相等的三角形A [根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示：由图易得AB ＝BC ＝AC ＝2，故△ABC 为等边三角形，故选A.]4．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m 、5 m 、10 m ，四棱锥的高为8 m ，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )A.4 cm ，1 cm ，2 cm ，1.6 cmB.4 cm ，0.5 cm ，2 cm ，0.8 cmC.4 cm ，0.5 cm ，2 cm ，1.6 cmD.2 cm ，0.5 cm ，1 cm ，0.8 cmC [由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm ，1 cm ，2 cm 和1.6 cm ，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm ，0.5 cm ，2 cm ，1.6 cm.]5．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A.2＋ 2 B ．1＋22C.2＋22D ．1＋2A [画出其相应平面图易求，故选A.]二、填空题6．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4，4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________．(4，2)[在x′轴的正方向上取点M1，使O′M1＝4，在y′轴上取点M2，使O′M2＝2，过M1和M2分别作平行于y′轴和x′轴的直线，则交点就是M′.]7．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标系中，四边形ABCO的形状为________，面积为________ cm2.矩形8[由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在xOy坐标系中，四边形ABCO是长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2.] 8．如图所示，水平放置的△ABC在直角坐标系中的直观图，其中D′是A′C′的中点，且∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．2[△ABC为直角三角形，因为D为AC中点，所以BD＝AD＝CD.所以与BD的长相等的线段有2条．]三、解答题9．如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形△ABC.[解] (1)画法：过C′，B′分别作y′轴的平行线交x′轴于D′，E′；(2)在直角坐标系xOy中．在x轴上取两点E，D使OE＝O′E′，OD＝O′D′，再分别过E，D作y轴平行线，取EB＝2E′B′，DC＝2D′C′.连接OB，OC，BC即求出原△ABC.10．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．[解] (1)画轴．画x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°，如图①. (2)画底面．以O 为中心在xOy 平面内画出正方形水平放置的直观图ABCD . (3)画顶点．在Oz 轴上截取OP ，使OP 的长度是原四棱锥的高．(4)成图．连接PA 、PB 、PC 、PD ，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图如图②.① ②1．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A.2 cm B ．3 cm C.2.5 cmD ．5 cmD [由题意可知其直观图如图：由图可知两个顶点之间的距离为5 cm.故选D.]2．已知用斜二测画法，画得的正方形的直观图面积为182，则原正方形的面积为________．72 [如图所示，作出正方形OABC 的直观图O ′A ′B ′C ′，作C ′D ′⊥x ′轴于点D ′.S 直观图＝O ′A ′×C ′D ′.又S 正方形＝OC ×OA .所以S 正方形S 直观图＝OC ×OAO ′A ′×C ′D ′， 又在Rt △O ′D ′C ′中，O ′C ′＝2C ′D ′，即C ′D ′＝22O ′C ′，结合平面图与直观图的关系可知OA ＝O ′A ′，OC ＝2O ′C ′， 所以S 正方形S 直观图＝OC ×OAOA ×22O ′C ′＝2O ′C ′22O ′C ′＝2 2.又S 直观图＝182，所以S 正方形＝22×182＝72.]课时分层作业(五) 柱体、锥体、台体的表面积与体积(建议用时：45分钟)一、选择题1．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A ．4πB ．3πC ．2πD ．πC [底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C.]2．已知高为3的直棱柱ABC ­A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B 1­ABC 的体积为( )A ．14B ．12C ．36D ．34 D [由题意，锥体的高为BB 1，底面为S △ABC ＝34，所以V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.] 3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B．2π C．4π D．8πB [设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的母线长为2r ，由题意得S 圆柱侧＝2πr ×2r ＝4πr 2＝4π， 所以r ＝1, 所以V 圆柱＝πr 2×2r ＝2πr 3＝2π.]4．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )A ．5πB ．6π C.20πD ．10πD [用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.]5．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家．他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V 柱体＝Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm 3)是( )A ．158B ．162C ．182D ．32B [由三视图还原原几何体如图，该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解，即S 五边形ABCDE ＝12(4＋6)×3＋12(2＋6)×3＝27，高为6，则该柱体的体积是V ＝27×6＝162.]二、填空题6．已知圆锥SO 的高为4，体积为4π，则底面半径r ＝________． 3 [设底面半径为r ，则13πr 2×4＝4π，解得r ＝3，即底面半径为 3.]7．已知一个圆台的正视图如图所示， 若其侧面积为35π， 则a 的值为________．2 [圆台的两底面半径分别为1，2，高为a, 则母线长为1＋a 2， 则其侧面积等于π(1＋2)·（1＋a 2 ）＝35π，解得a 2＝4，所以a ＝2(舍去负值).]8．已知一个圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，则圆锥的底面面积是________．S2[如图所示， 设圆锥的底面半径为r, 母线长为l .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12πl 2＝S ，πl ＝2πr ，解得r ＝S2π. 所以圆锥的底面面积为πr 2＝π×S 2π＝S2.]三、解答题9．若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，求圆锥的体积． [解] 设圆锥的底面半径为r ，母线为l ， 则2πr ＝13πl ，得l ＝6r .又S 锥＝πr 2＋πr ·6r ＝7πr 2＝15π，得r ＝157， 圆锥的高h ＝35·157， V ＝13πr 2h ＝13π×157×35×157＝2537π. 10．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，截下一个棱锥C ­A 1DD 1，求棱锥C ­A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比．[解] 已知长方体可以看成直四棱柱，设它的底面ADD 1A 1的面积为S ，高为h ，则它的体积为V ＝Sh .而棱锥C ­A 1DD 1的底面积为12S ，高为h ，故三棱锥C ­A 1DD 1的体积为：VC ­A 1DD 1＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12S h ＝16Sh ，余下部分体积为：Sh －16Sh ＝56Sh .所以棱锥C ­A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比1∶5.1．三棱锥P ­ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ­ABE 的体积为V 1，P ­ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________．14 [如图，设点C 到平面PAB 的距离为h ，三角形PAB 的面积为S ，则V 2＝13Sh ，V 1＝V E ­ADB ＝13×12S ×12h ＝112Sh ，所以V 1V 2＝14.] 2．如图，长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的体积是120，E 为CC 1的中点，则三棱锥E ­BCD 的体积是________．10 [因为长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的体积是120，E 为CC 1的中点，所以VABCD ­A 1B 1C 1D 1＝AB ×BC ×DD 1＝120，所以三棱锥E ­BCD 的体积：V E ­BCD ＝13×S △BCD ×CE＝13×12×BC ×DC ×CE ＝112×AB ×BC ×DD 1＝10. ]课时分层作业(六) 球的体积和表面积(建议用时：45分钟)一、选择题1．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )A ．59倍B ．95倍 C ．2倍 D ．3倍 B [设小球半径为1，则大球的表面积S 大＝36π，S 小＋S 中＝20π，36π20π＝95.]2．把半径分别为6 cm ，8 cm ，10 cm 的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为( )A ．3 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．12 cmD [由43πR 3＝43π·63＋43π·83＋43π·103，得R 3＝1 728，检验知R ＝12.]3．将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )A ．2πB ．3πC ．4πD ．6πB [由题意知，该几何体为半球， 表面积为大圆面积加上半个球面积， S ＝π×12＋12×4×π×12＝3π.]4．将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为( ) A ．163π B ．4π3 C ．323π D ．4πB [根据题意知，此球为正方体的内切球，所以球的直径等于正方体的棱长，故r ＝1，所以V ＝43πr 3＝43π.]5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10πB [因为过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.]二、填空题6．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________． 3 [设此球的半径为R ，则4πR 2＝43πR 3，R ＝3.]7．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为________．33π [由三视图可知该几何体是上面为半球，下面为圆锥的组合体，所以表面积S ＝12×4π×32＋π×3×5＝33π.]8．如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．32[设球O 的半径为R ， ∵球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切， ∴圆柱O 1O 2的高为2R ，底面半径为R .∴V 1V 2＝πR 2·2R 43πR3＝32.] 三、解答题9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．[解] 该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π.该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3.10．已知过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝18，BC ＝24，AC ＝30，求球的表面积和体积．[解] 因为AB ∶BC ∶AC ＝18∶24∶30＝3∶4∶5，所以△ABC 是直角三角形，∠B ＝90°.又球心O 到截面△ABC 的投影O ′为截面圆的圆心，也是Rt △ABC 的外接圆的圆心，所以斜边AC 为截面圆O ′的直径(如图所示)， 设O ′C ＝r ，OC ＝R ，则球半径为R ，截面圆半径为r ， 在Rt △O ′CO 中，由题设知sin ∠O ′CO ＝OO ′OC ＝12， 所以∠O ′CO ＝30°，所以r R ＝cos 30°＝32， 即R ＝23r ，(*)又2r ＝AC ＝30⇒r ＝15，代入(*)得R ＝10 3.所以球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×(103)2＝1 200π. 球的体积为V ＝43πR 3＝43π×(103)3＝4 0003π.1．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为( )A ．4∶3B ．3∶1C ．3∶2D ．9∶4C [作圆锥的轴截面，如图，设球半径为R ，则圆锥的高h ＝3R ，圆锥底面半径r ＝3R ，则l ＝（h 2＋r 2）＝23R ，所以S 圆锥侧S 球 ＝πrl 4πR 2＝π×3R ·23R 4πR 2＝32.] 2．在封闭的直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球. 若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是________.9π2[当球的半径最大时，球的体积最大. 在直三棱柱内，当球和三个侧面都相切时，因为AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，所以AC ＝10，底面的内切圆的半径即为此时球的半径r ＝6＋8－102＝2，直径为4>侧棱. 所以球的最大直径为3，半径为32，此时体积V ＝9π2.]课时分层作业(七) 平面(建议用时：45分钟)一、选择题1．下列命题中正确命题的个数是( ) ①三角形是平面图形； ②四边形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形； ④圆是平面图形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 B [根据公理2可知①④正确，②③错误．故选B.] 2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面( ) A. 相交 B. 重合 C. 相交或重合D. 以上都不对C [若三点在同一条直线上，则这两个平面相交或重合，若三点不共线，则这两个平面重合．]3．如果空间四点A ，B ，C ，D 不共面，那么下列判断中正确的是( ) A ．A ，B ，C ，D 四点中必有三点共线 B ．A ，B ，C ，D 四点中不存在三点共线 C ．直线AB 与CD 相交 D ．直线AB 与CD 平行B [两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面，选B.] 4．已知点A ，直线a ，平面α，以下命题表述正确的个数是( )①A ∈a ，a ⊄α⇒A ∉α；②A ∈a ，a ∈α⇒A ∈α；③A ∉a ，a ⊂α⇒A ∉α；④A ∈a ，a ⊂α⇒A ⊂α.A ．0B ．1C ．2D ．3A [①不正确，如a ∩α＝A ；②不正确，∵“a ∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A∉a，a⊂α，但A∈α；④不正确，“A⊂α”表述错误．]5．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为( )A．0 B．1 C．0或1 D．1或3D[当三条直线是同一平面内的平行直线时，确定一个平面，当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时，确定三个平面，选D.]二、填空题6．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.∈[因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.] 7．在长方体ABCD­A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有________条.5[由题图可知，既与AB共面又与CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5条．]8．已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．1或2或3[当β与γ相交时，若α过β与γ的交线，有1条交线；若α不过β与γ的交线，有3条交线；当β与γ平行时，有2条交线．]三、解答题9．已知：A∈l，B∈l，C∈l，D∉l，如图所示．求证：直线AD，BD，CD共面．[证明]因为D∉l，所以l与D可以确定平面α，因为A∈l，所以A∈α，又D∈α，所以AD⊂α.同理，BD⊂α，CD⊂α，所以AD，BD，CD在同一平面α内，即它们共面．10．求证：三棱台A1B1C1­ABC三条侧棱延长后相交于一点．[证明]如图，延长AA1，BB1,设AA1∩BB1＝P，又BB1⊂面BC1，∴P∈面BC1，AA1⊂面AC1，∴P∈面AC1，∴P为平面BC1和面AC1的公共点，又∵面BC1∩面AC1＝CC1，∴P∈CC1，即AA1，BB1，CC1延长后交于一点P.1．如图，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C∉l，直线AD∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过( )A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点DD[A、B、C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合，故C、D∈γ，且C、D∈β，故C，D在γ和β的交线上．]2．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________．共线[∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝CD.∵l∩α＝O，∴O∈α. 又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线．]课时分层作业(八) 空间中直线与直线之间的位置关系(建议用时：45分钟)一、选择题1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )A．异面或平行B．异面或相交C．异面D．相交、平行或异面D[异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，a、b异面，直线c的位置可如图所示．]2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面D[可能相交也可能异面，选D.]3．在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )A．相交B．异面C．平行D．垂直A[如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．]4．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C 与EF所成的角的大小为( )A.30°B．45°C．60°D．90°C[连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C ＝60°.]5．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线( )。