课时分层作业1 集合的含义

课时作业(一)第1课时集合的含义一、选择题1. 下列各组集合，表示相等集合的是( )①M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}；②M＝{3,2}，N＝{2,3}；③M＝{(1,2)}，N＝{1,2}．A. ①B. ②C. ③D. 以上都不对答案：B解析：①中M表示点(3,2)，N表示点(2,3)，②中由元素的无序性知是相等集合，③中M表示一个元素：点(1,2)，N中表示两个元素分别为1,2.2. 设不等式3－2x<0的解集为M，下列准确的是( )A. 0∈M,2∈MB. 0∉M,2∈MC. 0∈M,2∉MD. 0∉M,2∉M答案：B解析：从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M间的关系，所以只需判断0和2是不是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0不属于M，即0∉M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2属于M，即2∈M.3．已知2a∈A，a2－a∈A，若集合A含2个元素，则下列说法中准确的是( )A．a取全体实数B．a取除0以外的所有实数C ．a 取除3以外的所有实数D ．a 取除0和3以外的所有实数 答案：D解析：根据集合中的元素具有互异性知，2a ≠a 2－a ，∴a ≠0，a ≠3.故应选D.4. 由a 2,2－a,4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值能够是( )A. 1B. －2C. 6D. 2答案：C解析：由题设知，a2,2－a,4互不相等，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≠2－a ，a 2≠4，2－a ≠4，解得a ≠－2，a ≠1，且a ≠2.当实数a 的取值是6时，三个数分别为36，－4,4，能够构成集合，故选C.5. 已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz 的值所组成的集合是M ，则下列判断准确的是( )A. 4∈MB. 2∈MC. 0∉MD. －4∉M答案：A解析：当x ，y ，z 都大于零时，代数式的值为4，所以4∈M ，故选A.6. 已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，则a 为( )A. 2B. 2或4C. 4D. 0答案：B解析：若a ＝2∈A ，则6－a ＝4∈A ；若a ＝4∈A ， 则6－a ＝2∈A ；若a ＝6∈A ，则6－a ＝0∉A .故选B. 二、填空题7. 设集合A 是由1，－2，a 2－1三个元素构成的集合，集合B 是由1，a 2－3a,0三个元素构成的集合，若A ＝B ，则实数a ＝________.答案：1解析：由集合相等的概念得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a 2－3a ＝－2，解得a ＝1.8. 已知集合A 由方程(x －a )(x －a ＋1)＝0的根构成，且2∈A ，则实数a 的值是________．答案：2或3解析：由(x －a )(x －a ＋1)＝0得x ＝a 或x ＝a －1. 又∵2∈A ，∴当a ＝2时，a －1＝1，集合A 中的元素为1,2，符合题意； 当a －1＝2时，a ＝3，集合A 中的元素为2,3，符合题意． 综上可知，a ＝2或a ＝3.9. 如果有一集合含有三个元素1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________．答案：x ≠0,1,2，1±52解析：由元素的互异性：x ≠1，x 2－x ≠1，x 2－x ≠x 解得：x ≠0,1,2，1±52.10. 设a ，b ∈R ，集合A 中有三个元素1，a ＋b ，a ，集合B 中含有三个元素0，ba ，b ，且A ＝B ，则a ＋b ＝________.答案：0解析：因为B 中元素是0，ba ，b ，故a ≠0，b ≠0. 又A ＝B ，∴a ＋b ＝0.11. (2014·重庆高一检测)由实数t ，|t |，t 2，－t ，t 3所构成的集合M 中最多含有________个元素．答案：4解析：因为|t |至少与t 和－t 中的一个相等，故集合M 中至多有4个元素，如当t ＝－2时，t ，－t ，t 2，t 3互不相同，集合M 含有4个元素．三、解答题12. 已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a .解：由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ， ∴a ＝－1或a ＝－ 32.则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3， ∴a ＝－32.13. 设P ，Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？解：∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6； 当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8； 当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11. 由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个． 14. 设集合A 中含有三个元素3，x ，x 2－2x . (1)求实数x 应满足的条件； (2)若－2∈A ，求实数x . 解：(1)由集合元素的互异性可得 x ≠3，x 2－2x ≠x 且x 2－2x ≠3， 解得x ≠－1，x ≠0且x ≠3.(2)若－2∈A ，则x ＝－2或x 2－2x ＝－2. 因为x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， 所以x ＝－2. 尖子生题库15．数集M 满足条件：若a ∈M ，则1＋a 1－a ∈M (a ≠±1且a ≠0)．已知3∈M ，试把由此可确定的M 的元素求出来．解：∵a ＝3∈M ，∴1＋a 1－a ＝1＋31－3＝－2∈M ，∴1－21＋2＝－13∈M ，从而1－131＋13＝12∈M ， ∴1＋121－12＝3∈M . ∴集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，－2，－13，12.。

课时作业(一)集合的含义一、选择题1．①某班视力较好的同学；②方程x2－1＝0的解集；③漂亮的花儿；④空气中密度大的气体．其中能组成集合的是()A. ②B. ①③C. ②④D. ①②④答案：A解析：求解这类题目要从集合元素的确定性、互异性出发．①③④不符合集合元素的确定性，故不能组成集合．2．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形答案：D解析：△ABC的三边长两两不等，故选D.3．设不等式3－2x<0的解集为M，下列结论正确的是()A. 0∈M,2∈MB. 0∉M,2∈MC. 0∈M,2∉MD. 0∉M,2∉M答案：B解析：从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M 间的关系，因此只需判断0和2是不是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0不属于M，即0∉M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2属于M，即2∈M.4．已知2a∈A，a2－a∈A，若集合A中含有2个元素，则下列说法中正确的是()A．a取全体实数B．a取除0以外的所有实数C．a取除3以外的所有实数D ．a 取除0和3以外的所有实数答案：D 解析：根据集合中的元素具有互异性知，2a ≠a 2－a ，∴a ≠0且a ≠3.故选D.5．由a 2,2－a,4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( )A. 1B. －2C. 6D. 2答案：C 解析：由题设知，a2,2－a,4互不相等，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≠2－a ，a 2≠4，2－a ≠4，解得a ≠±2且a ≠1.当实数a 的取值是6时，三个数分别为36，－4,4，可以构成集合，故选C.6．已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，则a 为( )A. 2B. 2或4C. 4D. 0答案：B 解析：若a ＝2∈A ，则6－a ＝4∈A ； 若a ＝4∈A ，则6－a ＝2∈A ； 若a ＝6∈A ，则6－a ＝0∉A .故选B. 二、填空题7．设集合A 是由1，－2，a 2－1三个元素构成的集合，集合B 是由1，a 2－3a,0三个元素构成的集合，若A ＝B ，则实数a ＝________.答案：1 解析：由集合相等的概念，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a 2－3a ＝－2，解得a ＝1.8．已知集合A 由方程(x －a )(x －a ＋1)＝0的根构成，且2∈A ，则实数a ＝________.答案：2或3 解析：由(x －a )(x －a ＋1)＝0得x ＝a 或x ＝a －1.又∵2∈A ，∴当a ＝2时，a －1＝1，集合A 中的元素为1,2，符合题意；当a －1＝2时，a ＝3，集合A 中的元素为2,3，符合题意． 综上可知，a ＝2或a ＝3.9．如果有一集合含有三个元素1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠0，1，2，1±52 解析：由元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠1，x 2－x ≠1，x 2－x ≠x ，解得x ≠0,1,2，1±52.10．设a ，b ∈R ，集合A 中有三个元素1，a ＋b ，a ，集合B 中含有三个元素0，ba ，b ，且A ＝B ，则a ＋b ＝________.答案：0 解析：由于B 中元素是0，ba ，b ，故a ≠0，b ≠0. 又A ＝B ，∴a ＋b ＝0.11．由实数t ，|t |，t 2，－t ，t 3所构成的集合M 中最多含有________个元素．答案：4 解析：由于|t |至少与t 和－t 中的一个相等，故集合M 中至多有4个元素，如当t ＝－2时，t ，－t ，t 2，t 3互不相同，集合M 中含有4个元素．三、解答题12．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a 的值．解：由－3∈A ，得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ， ∴a ＝－1或a ＝－32.当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3，符合题意． ∴a ＝－32.13．设P ，Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋ Q 中元素的个数是多少？解：∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6； 当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8； 当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11. 由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个． 14．设集合A 中含有三个元素3，x ，x 2－2x . (1)求实数x 应满足的条件； (2)若－2∈A ，求实数x 的值．解：(1)由集合元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠3，x 2－2x ≠x ，x 2－2x ≠3，解得x ≠－1，x ≠0且x ≠3.(2)若－2∈A ，则x ＝－2或x 2－2x ＝－2. 由于x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， 所以x ＝－2. 尖子生题库15．设S 是由满足下列条件的实数所构成的集合： ①1∉S ；②若a ∈S ，则11－a ∈S .请回答下列问题：(1)若2∈S ，则S 中必有另外两个数，求出这两个数； (2)求证：若a ∈S ，则1－1a ∈S ；(3)在集合S 中元素能否只有一个？若能，把它求出来；若不能，请说明理由．(1)解：∵2∈S,2≠1，∴11－2＝－1∈S .∵－1∈S ，－1≠1，∴11－(－1)＝12∈S .∵12∈S ，12≠1，11－12＝2∈S .∴集合S 中另外两个数为－1和12. (2)证明：∵a ∈S ，∴11－a ∈S ，∴11－11－a ∈S ， 即11－11－a ＝1－a 1－a －1＝1－1a ∈S (a ≠0)． 若a ＝0，则11－a ＝1∈S ，不合题意．∴a ＝0∉S .∴若a ∈S ，则1－1a ∈S . (3)解：集合S 中的元素不能只有一个．理由：假设集合S中只有一个元素a，则根据题意知a＝11－a，即a2－a＋1＝0，此方程无实数解，所以a≠11－a.因此集合S中不能只有一个元素．。

高中数学课时分层作业1集合的含义含解析苏教版必修课时分层作业(一) 集合的含义(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下列条件能形成集合的是( )A ．充分小的负数全体B ．爱好飞机的一些人C ．某班本学期视力较差的同学D ．某校某班某一天所有课程．D [A 、B 、C 的对象不确定，D 某校某班某一天所有课程的对象确定，故能形成集合的是D.]2．下面有三个命题，正确命题的个数为( )(1)集合N 中最小的数是1；(2)若－a 不属于N ，则a 属于N ；(3)若a ∈N ，b ∈N *，则a ＋b 的最小值为2.A ．0B ．1C ．2D ．3 A [(1)最小的数应该是0，(2)当a ＝0.5时，－0.5N ，且0.5N ，(3)当a ＝0，b ＝1时，a ＋b ＝1.]3．已知①5∈R ；②13∈Q ；③0∈N ；④π∈Q ；⑤－3Z . 正确的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 B [①②③正确，④⑤错误．]4．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 等于( )A ．0B ．3C ．0,3D ．0,3,2 B [由2∈A 可知：若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，这与集合中元素的互异性相矛盾；若m2－3m ＋2＝2，则m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，与集合中元素的互异性相矛盾，当m ＝3时，此时集合A 的元素为0,3,2，符合题意．]5．设不等式x －a >0的解集为集合P ，若2P ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)C [因为2P ，所以2不满足不等式x －a >0，即满足不等式x －a ≤0，所以2－a ≤0，即a ≥2.所以实数a 的取值范围是[2，＋∞)．]二、填空题6．设A 表示“中国所有省会城市”组成的集合，则苏州________A ；广州________A ．(填∈或)∈ [苏州不是省会城市，而广州是省会城市．]7．设直线y ＝2x ＋3上的点的集合为P ，则点(1,5)与集合P 的关系是________，点(2,6)与集合P 的关系是________．(1,5)∈P (2,6) P [点(1,5)在直线y ＝2x ＋3上， 点(2,6)不在直线y ＝2x ＋3上．]8．如果有一个集合含有三个元素1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________． x ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，1，2，1±52 [由集合元素的互异性可得x ≠1，x 2－x ≠1，x 2－x ≠x ，解得x ≠0,1,2，1±52.] 三、解答题9．已知集合M 是由三个元素－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4组成的，若2∈M ，求x .[解] 当3x 2＋3x －4＝2，即x 2＋x －2＝0时，得x ＝－2，或x ＝1，经检验，x ＝－2，x ＝1均不合题意．当x 2＋x －4＝2，即x 2＋x －6＝0时，得x ＝－3或x ＝2.经检验，x ＝－3或x ＝2均合题意．∴x ＝－3或x ＝2.10．已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a ∈A ，则1＋a 1－a∈A . (1)若a ＝2，求出A 中其他所有元素；(2)0是不是集合A 中的元素？请说明理由．[解] (1)由2∈A ，得1＋21－2＝－3∈A ； 又由－3∈A ，得1－31＋3＝－12∈A ；再由－12∈A ，得1－121＋12＝13∈A ； 由13∈A ，得1＋131－13＝2∈A . 故A 中其他所有元素为－3，－12，13. (2)0不是集合A 中的元素．若0∈A ，则1＋01－0＝1∈A ，而当1∈A 时，1＋a 1－a中分母为0，故0不是集合A 中的元素． [等级过关练]1．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8B [由题知集合P 中元素为3,4,5.又因为a 为整数，故a ＝6.]2．已知1，x ，x 2三个实数构成一个集合，则x 满足的条件是( )A ．x ≠0B ．x ≠1C ．x ≠±1D ．x ≠0且x ≠±1 D [根据集合元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1≠x ，x ≠x 2，x 2≠1.解得x ≠0且x ≠±1.] 3．设P ，Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是________．8 [由题意知，a ＋b 可以是0＋1,0＋2,0＋6,2＋1,2＋2,2＋6,5＋1,5＋2,5＋6共8个不同的数值．]4．已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A 时，有6－a ∈A ，则a 为________． 2或4 [若a ＝2∈A ，则6－a ＝4∈A ；若a ＝4∈A ，则6－a ＝2∈A ；若a ＝6∈A ，则6－a ＝0A .]5．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)．求证： (1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集． [证明] (1)若a ∈A ，则11－a∈A . 又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A . ∵－1∈A ，∴11－(－1)＝12∈A . ∵12∈A ，∴11－12＝2∈A . ∴A 中还有另外两个元素为－1，12. (2)若A 为单元素集，则a ＝11－a ， 即a 2－a ＋1＝0，方程无解．∴a ≠11－a，∴集合A 不可能是单元素集．。

高中数学课时作业第一章 集合与函数概念§1.1 集 合1．1.1 集合的含义与表示第1课时 集合的含义 课时目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用．1．元素与集合的概念(1)把________统称为元素，通常用__________________表示．(2)把________________________叫做集合(简称为集)，通常用____________________表示．2．集合中元素的特性：________、________、________.3．集合相等：只有构成两个集合的元素是______的，才说这两个集合是相等的．45.符号____ ________ ____ 一、选择题1．下列语句能确定是一个集合的是( )A ．著名的科学家B ．留长发的女生C ．2010年广州亚运会比赛项目D ．视力差的男生2．集合A 只含有元素a ，则下列各式正确的是( )A ．0∈AB ．a ∉AC ．a ∈AD ．a ＝A3．已知M 中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．由a 2,2－a,4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( )A ．1B ．－2C ．6D ．25．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 为( )A ．2B ．3C ．0或3D ．0,2,3均可6．由实数x 、－x 、|x |、x 2及－3x 3所组成的集合，最多含有( )A ．2个元素B ．3个元素C ．4个元素D ．5个元素二、填空题7．由下列对象组成的集体属于集合的是______．(填序号)①不超过π的正整数；②本班中成绩好的同学；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．8．集合A 中含有三个元素0,1，x ，且x 2∈A ，则实数x 的值为________．9．用符号“∈”或“∉”填空 －2_______R ，－3_______Q ，－1_______N ，π_______Z .三、解答题10．判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素； (4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．11．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a .能力提升12．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A (a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．2．集合中元素的三个性质(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．第一章集合与函数概念§1.1集合1．1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义知识梳理1．(1)研究对象小写拉丁字母a，b，c，…(2)一些元素组成的总体大写拉丁字母A，B，C，… 2.确定性互异性无序性3．一样 4.a是集合A a不是集合A 5.N N*或N＋Z Q R作业设计1．C[选项A、B、D都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．]2．C[由题意知A中只有一个元素a，∴0∉A，a∈A，元素a与集合A的关系不应用“＝”，故选C.]3．D [集合M 的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.]4．C [因A 中含有3个元素，即a 2,2－a,4互不相等，将选项中的数值代入验证知答案选C.]5．B [由2∈A 可知：若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，这与m 2－3m ＋2≠0相矛盾； 若m 2－3m ＋2＝2，则m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，与m ≠0相矛盾，当m ＝3时，此时集合A ＝{0,3,2}，符合题意．]6．A [方法一 因为|x |＝±x ，x 2＝|x |，－3x 3＝－x ，所以不论x 取何值，最多只能写成两种形式：x 、－x ，故集合中最多含有2个元素．方法二 令x ＝2，则以上实数分别为：2，－2,2,2，－2，由元素互异性知集合最多含2个元素．]7．①④解析 ①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④.8．－1解析 当x ＝0,1，－1时，都有x 2∈A ，但考虑到集合元素的互异性，x ≠0，x ≠1，故答案为－1.9．∈ ∈ ∉ ∉10．解 (1)正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的．(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝12，在这个集合中只能作为一元素，故这个集合含有三个元素．(4)不正确．因为个子高没有明确的标准．11．解 由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32. 则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3， ∴a ＝－32. 12．解 ∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6；当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8；当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．13．证明 (1)若a ∈A ，则11－a∈A . 又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A . ∵－1∈A ，∴11－(－1)＝12∈A . ∵12∈A ，∴11－12＝2∈A . ∴A 中另外两个元素为－1，12.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠11－a，∴A不可能为单元素集．。

§1.1集合的含义及其表示第1课时集合的含义课时目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用．1．一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个________．集合中的每一个对象称为该集合的________，简称______．2．集合通常用________________表示，用____________________表示集合中的元素．3．如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a____A，读作“a______A”，如果a不是集合A的元素，就说a__________A，记作a____A，读作“a________A”．4．集合中的元素具有________、________、________三种性质．5．实数集、有理数集、整数集、自然数集、正整数集分别用字母____、____、____、____、____或______来表示．一、填空题1．下列语句能确定是一个集合的是________．(填序号)①著名的科学家；②留长发的女生；③2010年广州亚运会比赛项目；④视力差的男生．2．集合A只含有元素a，则下列各式正确的是________．(填序号)①0∈A；②a∉A；③a∈A；④a＝A.3．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是________．(填序号)①直角三角形；②锐角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形．4．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是________．(填序号)①1；②－2；③6；④2.5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为________．6．由实数x、－x、|x|、x2及－3x3所组成的集合，最多含有________个元素．7．由下列对象组成的集体属于集合的是________．(填序号)①不超过π的正整数；②本班中成绩好的同学；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．8．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________．9．用符号“∈”或“∉”填空－2______R，－3______Q，－1_______N，π______Z.二、解答题10．判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素； (4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．11．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a .能力提升12．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A (a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．2．集合中元素的三个性质(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．第1章集合§1.1集合的含义及其表示第1课时集合的含义知识梳理1．集合元素元 2.大写拉丁字母A，B，C…小写拉丁字母a，b，c，… 3.属于∈属于不属于∉不属于4．确定性互异性无序性 5.RQZNN*N＋作业设计1．③解析①、②、④都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．2．③解析由题意知A中只有一个元素a，∴0∉A，a∈A，元素a与集合A的关系不应用“＝”．3．④解析集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的．4．③解析因A中含有3个元素，即a2,2－a,4互不相等，将各项中的数值代入验证知填③. 5．3解析由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．6．2解析 因为|x |＝±x ，x 2＝|x |，－3x 3＝－x ，所以不论x 取何值，最多只能写成两种形式：x 、－x ，故集合中最多含有2个元素．7．①④解析 ①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④.8．－1解析 当x ＝0,1，－1时，都有x 2∈A ，但考虑到集合元素的互异性，x ≠0，x ≠1，故答案为－1.9．∈∈∉∉10．解 (1)正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的．(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝12，在这个集合中只能作为一元素，故这个集合含有三个元素．(4)不正确，因为个子高没有明确的标准．11．解 由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32. 则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3， ∴a ＝－32. 12．解 ∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6；当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8；当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．13．证明 (1)若a ∈A ，则11－a∈A . 又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A . ∵－1∈A ，∴11－－＝12∈A . ∵12∈A ，∴11－12＝2∈A . ∴A 中另外两个元素为－1，12. (2)若A 为单元素集，则a ＝11－a， 即a 2－a ＋1＝0，方程无解．∴a ≠11－a， ∴A 不可能为单元素集．。

课时分层作业(一) 集合的含义(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．下列各组对象不能构成集合的是( )【导学号：37102014】A ．拥有手机的人B ．2018年高考数学难题C ．所有有理数D ．小于π的正整数2．集合M 是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是( ) A.5∈MB ．0MC ．1∈MD ．－π2∈M3．若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( ) 【导学号：37102015】A ．3.14B ．－5 C.37D.7 4．已知集合Ω中的三个元素l ，m ，n 分别是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形5．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )【导学号：37102016】A ．P 是由元素1，3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序数对(2,3)构成的集合D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集二、填空题6．若1∈A ，且集合A 与集合B 相等，则1________B (填“∈”或“”)．7．设集合A 是由1，k 2为元素构成的集合，则实数k 的取值范围是________.8．用符号“∈”或“”填空：(1)设集合B 是小于11的所有实数的集合，则23________B,1＋2________B ；(2)设集合C 是满足方程x ＝n 2＋1(其中n 为正整数)的实数x 的集合，则3________C,5________C；(3)设集合D是满足方程y＝x2的有序实数对为(x，y)的集合，则－1________D，(－1,1)________D.三、解答题9．设A是由满足不等式x<6的自然数构成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值.【导学号：37102018】10．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.(1)求实数x应满足的条件；(2)若－2∈A，求实数x.。

2020-2021学年新教材数学北师大版必修第一册课时分层作业1集合的概念与表示含解析课时分层作业（一)集合的概念与表示(建议用时：40分钟）一、选择题1．下列给出的对象中，不能构成集合的是（）A．有手机的人B．2019年高考中的数学难题C．所有有理数D．所有小于π的实数B[“难题"所描述的对象没有确定性,故选B.］2．已知集合A＝｛x∈N|－错误!≤x≤错误!}，则必有()A．－1∈A B．0∈AC．错误!∈A D．3∈AB[由于x∈N，故满足－5≤x≤错误!的数只有3个，即A＝｛0，1，2｝，于是0∈A，故选B。

］3．若a∈R，但a Q,则a可以是()A．3.14 B．－5C．错误!D．错误!D［由题意知，a是无理数，故选D。

］4．已知集合S＝错误!中的三个元素是△ABC的三边长,那么△ABC一定不是(）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形D[由集合元素的互异性，知a，b，c互不相等．所以△ABC 一定不是等腰三角形，故选D。

]5．下列四个集合中，不同于另外三个集合的是（)A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!B[错误!的元素是x＝2，故选B。

］二、填空题6．能被2整除的所有正整数的集合,用描述法可表示为________．[答案]错误!7．集合错误!，用列举法可表示为________．错误!［由题意得,x－1是6的正约数，又6的正约数分别是1，2，3，6，所以x的值分别是2，3，4，7。

]8．已知集合A＝错误!，若4∈A，则实数a的值为_______．－2［因为4∈A，所以a2＝4或a＋2＝4，解得a＝±2，但当a＝2时，a2＝a＋2，集合A的元素不具有互异性,所以a＝－2。

］三、解答题9．已知A＝错误!，B＝错误!，(1）用列举法表示集合B；（2)试求集合B中所有元素之和．[解］(1)000010122024由上表可知B＝错误!.(2)集合B中所有元素之和为6。

第一章DIYI HANG集合与函数概念1.1集合1.1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义课后篇巩固提升A组基础巩固1.若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是()A.3.14B.-5C.D.解析:∵是实数,但不是有理数,故选D.答案:D2.若集合A只含有元素a,则下列各式正确的是()A.0∈AB.a∉AC.a∈AD.a=A解析:由题意知A中只有一个元素a,∴0∉A,a∈A,元素a与集合A的关系不应该用“=”,故选C.答案:C3.由a2,2-a,4组成一个集合A,A中含有3个元素,则实数a的取值可以是()A.1B.-2C.6D.2答案:C4.如果集合A中含有三个元素2,4,6,若a∈A,且6-a∈A,那么a为()A.2B.2或4C.4D.0解析:∵a∈A,∴当a=2时,6-a=4,∴6-a∈A;当a=4时,6-a=2,∴6-a∈A;当a=6时,6-a=0,∴6-a∉A,故a=2或4.答案:B5.由下列对象组成的集体属于集合的是(填序号).①不超过10的所有正整数;②高一(6)班中成绩优秀的同学;③中央一套播出的好看的电视剧;④平方后不等于自身的数.解析:①④中的对象是确定的,可以组成集合,②③中的对象是不确定的,不能组成集合.答案:①④6.已知集合A含有三个元素1,0,x,若x2∈A,则实数x=.解析:∵x2∈A,∴x2=1,或x2=0,或x2=x.∴x=±1,或x=0.当x=0,或x=1时,不满足集合中元素的互异性,∴x=-1.答案:-17.设P,Q为两个非空实数集合,P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,则P+Q中元素的个数是.解析:若a∈P,b∈Q,则a+b的取值分别为1,2,3,4,6,7,8,11,则组成的集合P+Q中元素有8个.答案:88.记方程x2-x-m=0的解构成的集合为M,若2∈M,试写出集合M中的所有元素.解因为2∈M,所以22-2-m=0,解得m=2.解方程x2-x-2=0,即(x+1)(x-2)=0,得x=-1或x=2.故M含有两个元素-1,2.9.已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1.(1)若-3是集合A中的元素,试求实数a的值;(2)-5能否为集合A中的元素?若能,试求出该集合中的所有元素;若不能,请说明理由.解(1)因为-3是集合A中的元素,所以-3=a-3或-3=2a-1.若-3=a-3,则a=0,此时集合A含有两个元素-3,-1,符合要求;若-3=2a-1,则a=-1,此时集合A中含有两个元素-4,-3,符合要求.综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1.(2)若-5为集合A中的元素,则a-3=-5,或2a-1=-5.当a-3=-5时,解得a=-2,此时2a-1=2×(-2)-1=-5,显然不满足集合中元素的互异性;当2a-1=-5时,解得a=-2,此时a-3=-5显然不满足集合中元素的互异性.综上,-5不能为集合A中的元素.B组能力提升1.设x∈N,且∈N,则x的值可能是()A.0B.1C.-1D.0或1解析:∵-1∉N,∴排除C;0∈N,而无意义,排除A、D,故选B.答案:B2.设集合M是由不小于2的数组成的集合,a=则下列关系中正确的是()A.a∈MB.a∉MC.a=MD.a≠M解析:判断一个元素是否属于某个集合,关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征,若具有就是,否则不是.∵<2,∴a∉M.答案:B3.由形如x=3 +1,∈的数组成集合A,则下列表示正确的是()A.-1∈AB.-11∈AC.15∈AD.32∈A解析:-11=3×(-4)+1,故选B.答案:B4.下列三个说法:①集合N中最小的数是1;②-a∉N,则a∈N;③a∈N,b∈N,则a+b的最小值是2.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:根据自然数的特点,显然①③不正确.②中若a=,则-a∉N且a∉N,显然②不正确.答案:A5.设x,y,是非零实数,若a=,则以a的值为元素的集合中元素的个数是.解析:当x,y,都是正数时,a=4,当x,y,都是负数时,a=-4,当x,y,中有1个是正数另2个是负数或有2个是正数另1个是负数时,a=0.所以以a的值为元素的集合中有3个元素.答案:36.若-∈A,且集合A中只含有一个元素a,则a的值为.解析:由题意,得-=a,∴a2+2a-1=0且a≠-1,∴a=-1±.答案:-1±7.记方程x2-ax-3=0的解构成的集合为P,方程x2-3x-a=0与x2-ax-8=0的所有解构成的集合为Q.若1∈P,试列举出集合Q中的元素.解由1∈P可知,12-a×1-3=0,解得a=-2.所以方程x2-3x-a=0,即为x2-3x+2=0,也就是(x-1)(x-2)=0,解得x=1或x=2.解方程x2-ax-8=0,即x2+2x-8=0,也就是(x-2)(x+4)=0,解得x=2或x=-4.所以集合Q中的元素有1,2,-4.8.设A是由一些实数构成的集合,若a∈A,则-∈A,且1∉A.(1)若3∈A,求集合A;(2)证明:若a∈A,则1-∈A;(3)集合A能否只有一个元素?若能,求出集合A;若不能,说明理由.(1)解∵3∈A,∴-=-∈A,∴--∈A,∴-=3∈A,∴A=-.(2)证明∵a∈A,∴-∈A,∴----=1-∈A.(3)解假设集合A只有一个元素,记A={a},则a=-,即a2-a+1=0有且只有一个实数解.∵Δ=(-1)2-4=-3<0,∴a2-a+1=0无实数解.这与a2-a+1=0有且只有一个实数解相矛盾,∴假设不成立,即集合A不能只有一个元素.。

课时作业1 集合的含义时间：45分钟——根底稳固类——一、选择题1．以下说法正确的选项是( C )A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B．由1,2,3和9，1，4组成的集合不相等C．不超过20的非负数组成一个集合D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素解析：A项中元素不确定；B项中两个集合元素一样，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等；D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1，由互异性知，构成的集合中有2个元素．2．假设a是R中的元素，但不是Q中的元素，那么a可以是( D )A．3.14 B．－5C.37D.7解析：因为7是实数，但不是有理数，应选D.3．由实数x、－x、|x|、x2及－3x3所组成的集合，最多含有( A )A．2个元素B．3个元素C．4个元素D．5个元素解析：法1：因为|x|＝±x，x2＝|x|，－3x3＝－x，所以不管x取何值，最多只能写成两种形式：x、－x，故集合中最多含有2个元素．法2：令x＝2，那么题中实数分别为：2，－2,2,2，－2，由元素互异性知集合最多含有2个元素．4．集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的，且2∈A，那么实数m的值为( B ) A．2 B．3C．0或3 D．0,2,3均可解析：因为2∈A，所以m＝2或m2－3mm＝2时，m2－3m＋2＝0不满足集合中元素的互异性，舍去．当m2－3m＋2＝2时，m＝0或m＝3，由集合中的互异性知m＝3.应选B.5．设集合M 是由不小于23的数组成的集合，a ＝11，那么以下关系中正确的选项是( B )A ．a ∈MB ．a ∉MC ．a ＝MD ．a ≠M解析：判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，假设具有就是，否那么不是．∵11<23，∴a ∉M .6．集合A 中的元素都是自然数，满足a ∈A 且4－a ∈A 的有且只有2个元素的集合A 的个数是( C )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：假设a ＝0∈N ，那么4－a ＝4∈N ，符合题意； 假设a ＝1∈N ，那么4－a ＝3∈N ，符合题意； 假设a ＝2∈N ，那么4－a ＝2∈N ，不合题意； 假设a ＝3∈N ，那么4－a ＝1∈N ，符合题意； 假设a ＝4∈N ，那么4－a ＝0∈N ，符合题意； 当a >4且a ∈N 时，均不符合题意． 综上，集合A 的个数是2，应选C. 二、填空题7．集合A 含有三个元素1,0，x ，假设x 2∈A ，那么实数x ＝－1.解析：∵x 2∈A ，∴x 2＝1，或x 2＝0，或x 2＝x .∴x ＝±1，或xx ＝0，或x ＝1时，不满足集合中元素的互异性，∴x ＝－1.8．集合A 中的元素y 满足y ∈N 且y ＝－x 2＋1，假设t ∈A ，那么t 的值为0或1. 解析：由题意，知t ∈N 且t ＝－x 2＋1≤1，故t ＝0或1.9．设x ，y ，z 是非零实数，假设a ＝x |x |＋y |y |＋z |z |＋xyz|xyz |，那么以a 的值为元素的集合中元素的个数是3.解析：当x ，y ，z 都是正数时，a ＝4，当x ，y ，z 都是负数时，a ＝－4，当x ，y ，z 中有1个是正数另2个是负数或有2个是正数另1个是负数时，aa 的值为元素的集合中有3个元素．三、解答题10．中国男子篮球职业联赛(China Basketball Association)，简称中职篮(CBA)，是由中国篮球协会所主办的跨年度主客场制篮球联赛，中国最高等级的篮球联赛．以下对象能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由． (1)2021—2021赛季，CBA 的所有队伍；(2)CBA中比拟著名的队员；(3)CBA中得分前五位的球员；(4)CBA中比拟高的球员．解：(1)CBA的所有队伍是确定的，所以可以构成一个集合；(2)“比拟著名〞没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合；(3)“得分前五位〞是确定的，可以构成一个集合；(4)“比拟高〞没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合．11．集合A中含有两个元素a－3和2a－1.(1)假设－3是集合A中的元素，试求实数a的值；(2)－5能否为集合A中的元素？假设能，试求出该集合中的所有元素；假设不能，请说明理由．解：(1)因为－3是集合A中的元素，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.假设－3＝a－3，那么a＝0，此时集合A含有两个元素－3，－1，符合要求；假设－3＝2a－1，那么a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合要求．综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.(2)假设－5为集合A中的元素，那么a－3＝－5，或2a－1＝－5.当a－3＝－5时，解得a＝－2，此时2a－1＝2×(－2)－1＝－5，显然不满足集合中元素的互异性；当2a－1＝－5时，解得a＝－2，此时a－3＝－5显然不满足集合中元素的互异性．综上，－5不能为集合A中的元素．——能力提升类——12．由形如x＝3k＋1，k∈Z的数组成集合A，那么以下表示正确的选项是( B )A．－1∈A B．－11∈AC．15∈A D．32∈A解析：－11＝3×(－4)＋1，应选B.13．集合P中元素x满足x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，那么整数a＝6.解析：∵集合P中元素x满足：x∈N且2<x<a，且集合P中恰有三个元素，∴P＝{3,4,5}，故a∈(5,6]，又a为整数，∴a＝6.14．设P ，Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，那么P ＋Q 中元素的个数是8.解析：假设a ∈P ，b ∈Q ，那么a ＋b 的取值分别为1,2,3,4,6,7,8,11，那么组成的集合P ＋Q 中元素有8个．15．设A 是由一些实数构成的集合，假设a ∈A ，那么11－a∈A ，且1∉A . (1)假设3∈A ，求集合A ；(2)证明：假设a ∈A ，那么1－1a∈A ；(3)集合A 能否只有一个元素？假设能，求出集合A ；假设不能，说明理由． 解：(1)∵3∈A ，∴11－3＝－12∈A ，∴11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝23∈A ， ∴11－23＝3∈A ，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，－12，23.(2)证明：∵a ∈A ，∴11－a ∈A ，∴11－11－a ＝1－a －a ＝1－1a ∈A . (3)假设集合A 只有一个元素，记A ＝{a }，那么a ＝11－a ，即a 2－a ＋1＝0有且只有一个实数解．∵Δ＝(－1)2－4＝－3<0，∴a 2－a ＋1＝0无实数解． 这与a 2－a ＋1＝0有且只有一个实数解相矛盾， ∴假设不成立，即集合A 不能只有一个元素．。

课时分层作业(一) 集合的含义(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下列各组对象不能构成集合的是( )A ．拥有手机的人B ．2019年高考数学难题C ．所有有理数D ．小于π的正整数B [B 选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，所以选B.]2．集合M 是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是( ) A.5∈MB ．0∉MC ．1∈MD ．－π2∈M D [5>1，故A 错；－2<0<1，故B 错；1不小于1，故C 错；－2<－π2<1，故D 正确．] 3．若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( )A ．3.14B ．－5 C.37 D.7D [由题意知a 应为无理数，故a 可以为7.]4．已知集合Ω中的三个元素l ，m ，n 分别是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形D [因为集合中的元素是互异的，所以l ，m ，n 互不相等，即△ABC 不可能是等腰三角形，故选D.]5．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )A ．P 是由元素1，3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序数对(2,3)构成的集合D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集A [由于A 中P ，Q 的元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B ，C ，D 中P ，Q 的元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A.]二、填空题6．若1∈A ，且集合A 与集合B 相等，则1________B (填“∈”或“∉”)．∈ [由集合相等的定义可知，1∈B .]7．设集合A 是由1，k 2为元素构成的集合，则实数k 的取值范围是________．{k |k ≠±1} [∵1∈A ，k 2∈A ，结合集合中元素的互异性可知k 2≠1，解得k ≠±1.]8．用符号“∈”或“∉”填空：(1)设集合B 是小于11的所有实数的集合，则23________B,1＋2________B ；(2)设集合C 是满足方程x ＝n 2＋1(其中n 为正整数)的实数x 的集合，则3________C,5________C ；(3)设集合D 是满足方程y ＝x 2的有序实数对(x ，y )组成的集合，则－1________D ，(－1,1)________D .(1)∉ ∈ (2)∉ ∈ (3)∉ ∈ [(1)∵23＝12>11，∴23∉B ；∵(1＋2)2＝3＋22<3＋2×4＝11，∴1＋2<11，∴1＋2∈B .(2)∵n 是正整数，∴n 2＋1≠3，∴3∉C ；当n ＝2时，n 2＋1＝5，∴5∈C .(3)∵集合D 中的元素是有序实数对(x ，y )，则－1是数，∴－1∉D ；又(－1)2＝1，∴(－1,1)∈D .]三、解答题9．设A 是由满足不等式x <6的自然数构成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值．[解] ∵a ∈A 且3a ∈A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <6，3a <6，解得a <2.又a ∈N ，∴a ＝0或1.10．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，x 2，若A ＝B ，求实数x ，y 的值．[解] 因为集合A ，B 相等，则x ＝0或y ＝0.(1)当x ＝0时，x 2＝0，则不满足集合中元素的互异性，故舍去．(2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.由(1)知x ＝0应舍去．综上知：x ＝1，y ＝0.[等级过关练]1．已知集合M 是方程x 2－x ＋m ＝0的解组成的集合，若2∈M ，则下列判断正确的是( )A ．1∈MB ．0∈MC ．－1∈MD ．－2∈M C [由2∈M 知2为方程x 2－x ＋m ＝0的一个解，所以22－2＋m ＝0，解得m ＝－2.所以方程为x 2－x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2.故方程的另一根为－1.选C.]2．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含元素( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个A [当x >0时，x ＝|x |＝x 2，－3x 3＝－x <0，此时集合共有2个元素，当x ＝0时，x ＝|x |＝x 2＝－3x 3＝－x ＝0，此时集合共有1个元素，当x <0时，x 2＝|x |＝－x ，－3x 3＝－x ，此时集合共有2个元素，综上，此集合最多有2个元素，故选A.]3．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________.6 [∵x ∈N,2<x <a ，且集合P 中恰有三个元素，∴结合数轴(图略)知a ＝6.]4．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．3 [当a ，b 同正时，|a |a ＋|b |b ＝a a ＋b b＝1＋1＝2. 当a ，b 同负时，|a |a＋|b |b ＝－a a ＋－b b ＝－1－1＝－2. 当a ，b 异号时，|a |a ＋|b |b ＝0.∴|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素共有3个．] 5．已知数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)，如果a ＝2，试求出A 中的所有元素． [解] 根据题意，由2∈A 可知，11－2＝－1∈A ；由－1∈A 可知，11－(－1)＝12∈A ； 由12∈A 可知，11－12＝2∈A . 故集合A 中共有3个元素，它们分别是－1，12，2.。

课时作业一：集合的含义(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列对象能构成集合的是( )①NBA 联盟中所有优秀的篮球运动员；②所有的钝角三角形；③2015年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数；⑤我校所有聪明的学生．A ．①②④B ．②⑤C ．③④⑤D ．②③④2．已知集合A 由x <1的数构成，则有( )A ．3∈AB ．1∈AC ．0∈AD ．－1∉A3．下列命题正确的个数有( ) ①1∈N；②2∈N *；③12∈Q；④2＋2∉R ；⑤42∉Z. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．已知集合M 中的元素a ，b ，c 是△ABC 的三边，则△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形5．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所构成的集合，最多含( )A ．2个元素B ．3个元素C ．4个元素D ．5个元素二、填空题6．若1∈A，且集合A 与集合B 相等，则1________B(填“∈”或“∉”)．7．设集合A 是由1，k 2为元素构成的集合，则实数k 的取值范围是________．8．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________.三、解答题9．设A 是由满足不等式x <6的自然数构成的集合，若a ∈A 且3a ∈A，求a 的值．10．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素构成的，且－3∈A，求实数a的值.[能力提升]1．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( ) A．3.14 B．－5C.37D.72．集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为( ) A．2 B．2或4C．4 D．03．不等式x－a≥0的解集为A，若3∉A，则实数a的取值范围是________．4．已知数集A满足条件：若a∈A，则11－a∈A(a≠1)，如果a＝2，试求出A中的所有元素.。

课时分层作业(一)集合的含义(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下列各组对象不能构成集合的是()A．拥有手机的人B．2019年高考数学难题C．所有有理数D．小于π的正整数B[B选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，所以选B.]2．集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是()A.5∈M B．0∉MC．1∈M D．－π2∈MD[5>1，故A错；－2<0<1，故B错；1不小于1，故C错；－2<－π2<1，故D正确．]3．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是() A．3.14 B．－5C.37 D.7D[由题意知a应为无理数，故a可以为7.]4．已知集合Ω中的三个元素l，m，n分别是△ABC的三边长，则△ABC一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形D[因为集合中的元素是互异的，所以l，m，n互不相等，即△ABC不可能是等腰三角形，故选D.]5．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是()A．P是由元素1，3，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－3|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序数对(2,3)构成的集合D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集A [由于A 中P ，Q 的元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B ，C ，D 中P ，Q 的元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A.]二、填空题6．若1∈A ，且集合A 与集合B 相等，则1________B (填“∈”或“∉”)． ∈ [由集合相等的定义可知，1∈B .]7．设集合A 是由1，k 2为元素构成的集合，则实数k 的取值范围是________． {k |k ≠±1} [∵1∈A ，k 2∈A ，结合集合中元素的互异性可知k 2≠1，解得k ≠±1.]8．用符号“∈”或“∉”填空：(1)设集合B 是小于11的所有实数的集合，则23________B,1＋2________B ；(2)设集合C 是满足方程x ＝n 2＋1(其中n 为正整数)的实数x 的集合，则3________C,5________C ；(3)设集合D 是满足方程y ＝x 2的有序实数对(x ，y )组成的集合，则－1________D ，(－1,1)________D .(1)∉ ∈ (2)∉ ∈ (3)∉ ∈ [(1)∵23＝12>11，∴23∉B ；∵(1＋2)2＝3＋22<3＋2×4＝11，∴1＋2<11，∴1＋2∈B .(2)∵n 是正整数，∴n 2＋1≠3，∴3∉C ；当n ＝2时，n 2＋1＝5，∴5∈C .(3)∵集合D 中的元素是有序实数对(x ，y )，则－1是数，∴－1∉D ；又(－1)2＝1，∴(－1,1)∈D .]三、解答题9．设A 是由满足不等式x <6的自然数构成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值．[解] ∵a ∈A 且3a ∈A ，∴⎩⎨⎧a <6，3a <6，解得a <2.又a ∈N ，∴a＝0或1.10．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A ＝B，求实数x，y的值．[解]因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.(1)当x＝0时，x2＝0，则不满足集合中元素的互异性，故舍去．(2)当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由(1)知x＝0应舍去．综上知：x＝1，y＝0.[等级过关练]1．已知集合M是方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列判断正确的是()A．1∈M B．0∈MC．－1∈M D．－2∈MC[由2∈M知2为方程x2－x＋m＝0的一个解，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2.所以方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.故方程的另一根为－1.选C.]2．由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合，最多含元素()A．2个B．3个C．4个D．5个A[当x>0时，x＝|x|＝x2，－3x3＝－x<0，此时集合共有2个元素，当x＝0时，x＝|x|＝x2＝－3x3＝－x＝0，此时集合共有1个元素，当x<0时，x2＝|x|＝－x，－3x3＝－x，此时集合共有2个元素，综上，此集合最多有2个元素，故选A.]3．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________.6[∵x∈N,2<x<a，且集合P中恰有三个元素，∴结合数轴(图略)知a ＝6.]4．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b 的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．3 [当a ，b 同正时，|a |a ＋|b |b ＝a a ＋b b ＝1＋1＝2.当a ，b 同负时，|a |a ＋|b |b ＝－a a ＋－b b ＝－1－1＝－2.当a ，b 异号时，|a |a ＋|b |b ＝0.∴|a |a ＋|b |b 的可能取值所组成的集合中元素共有3个．]5．已知数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)，如果a ＝2，试求出A 中的所有元素．[解] 根据题意，由2∈A 可知，11－2＝－1∈A ；由－1∈A 可知，11－(－1)＝12∈A ；由12∈A 可知，11－12＝2∈A .故集合A 中共有3个元素，它们分别是－1，12，2.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

学业分层测评(一)集合的含义(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列对象能构成集合的是()①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员，②所有的钝角三角形，③2015年诺贝尔经济学奖得主，④大于等于0的整数，⑤莘县第一中学所有聪明的学生．A．①②④B．②⑤C．③④⑤D．②③④【解析】由集合中元素的确定性知，①中“优秀的篮球运动员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合．【答案】 D2．已知集合M中的元素a，b，c是△ABC的三边，则△ABC一定不是() A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【解析】因为集合中元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，因此选D.【答案】 D3．下面有三个命题：①集合N中最小的数是1；②若－a∉N，则a∈N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2.其中正确命题的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】因为自然数集中最小的数是0，而不是1，所以①错；对于②，取a＝2，则－2∉N，2∉N，所以②错；对于③，a＝0，b＝0时，a＋b取得最小值是0，而不是2，所以③错．【答案】 A4．下列正确的命题的个数有()①1∈N；②2∈N*；③12∈Q；④2＋2∉R；⑤42∉Z.A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】∵1是自然数，∴1∈N，故①正确；∵2不是正整数，∴2∉N*，故②不正确；∵1 2是有理数，∴12∈Q，故③正确；∵2＋2是实数，∴2＋2∈R，所以④不正确；∵4 2＝2是整数，∴42∈Z，故⑤不正确．【答案】 B5．给出下列说法，其中正确的个数为()(1)由1，32，64，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12，12这些数组成的集合有5个元素；(2)方程(x－3)(x－2)2＝0的解组成的集合有3个元素；(3)由一条边为2，一个内角为30°的等腰三角形组成的集合中含有4个元素．A．0 B．1C．2 D．3【解析】(1)不正确．对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任意两个元素都是不同的，而32与64相同，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12与12相同，故这些数组成的集合只有3个元素．(2)不正确．方程(x－3)(x－2)2＝0的解是x1＝3，x2＝x3＝2，因此写入集合时只有3和2两个元素．(3)正确．若2为底边长，则30°角可以是顶角或底角；若2为腰长，则30°角也可以是顶角或底角，故集合中有4个元素．【答案】 B二、填空题6．由m－1,3m，m2－1组成的三元素集合中含有－1，则m的值是________. 【导学号：97030003】【解析】当m＝0时，三个数分别为－1,0，－1，组成的集合中只有两个元素，不合题意；当m＝－13时，三个数分别为－43，－1，－89，符合题意，即m只能取－13.【答案】－1 37．设集合A是由1，k2为元素组成的集合，则实数k的取值范围是________．【解析】∵1∈A，k2∈A，结合集合中元素的性质可知k2≠1，解得k≠±1.【答案】k≠±18．由实数t，|t|，t2，－t，t3所构成的集合M中最多含有________个元素．【解析】由于|t|至少与t和－t中的一个相等，故集合M中至多有4个元素．当t＝－2时，t，－t，t2，t3互不相同，此时集合M中元素最多，为4个．【答案】 4三、解答题9．设非空数集A满足以下条件：若a∈A，则11－a∈A，且1∉A.(1)若2∈A，你还能求出A中哪些元素？(2)“3∈A”和“4∈A”能否同时成立？【解】(1)若2∈A，则11－2＝－1∈A，于是11－(－1)＝12∈A，而11－12＝2.所以集合A中还有－1，12这两个元素．(2)若“3∈A”和“4∈A”能同时成立，则11－a＝3且11－a＝4，由11－a＝3解得a＝23，由11－a＝4解得a＝34，矛盾，所以“3∈A”和“4∈A”不能同时成立．10．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？【导学号：97030004】【解】∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个．[能力提升]1．集合A含有两个元素a－3和2a－1，则实数a的取值范围是________．【解析】由集合中元素的互异性，可得a－3≠2a－1，所以a≠－2.即实数a的取值范围为a≠－2.【答案】a≠－22．设P、Q是两个数集，P中含有0,2两个元素，Q中含有1,2两个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是________．【解析】由于a∈P，a＝0或2，b∈Q，b＝1或2，因此a＋b的值为1,2,3,4，共4个．【答案】 43．集合A中的元素y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为________．【解析】依题意A＝{y∈N|y＝－x2＋1}＝{y∈N|y≤1}＝{0,1}．又t∈A，∴t＝0或1.【答案】0或14．若所有形如3a＋2b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断32－9是否是集合A中的元素．【解】∵32－9＝－9＋32＝3×(－3)＋2×3.令a＝－3，b＝3，则－3∈Z,3∈Z.∴32－9是集合A中的元素．。