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三角形的角平分线和中垂线姓名时间【教学目标】1．要求学生掌握角平分线和中垂线的性质定理及其逆定理——判定定理，会用这四个定理解决一些简单问题。
2．理解角平分线和中垂线的性质定理和判定定理的证明3．能够作已知角的角平分线，和已知线段的中垂线，并会熟练地写出已知、求作和作法.【教学重点】角平分线和中垂线的性质定理及其逆定理。
【教学难点】掌握角平分线和中垂线的性质定理及其逆定理并进行证明。
【本节知识点】1、垂直平分线性质及判定定理判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.2、角平分线性质及判定定理判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.定理：三角形的三条内角平分线相交于一点，并且这一点到三条边距离相等.3、用尺规作图画线段垂直平分线，已知角的平分线.【经典练习】三角形的角平分线的性质及定理一、判断题1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等2.到角的两边距离相等的点在角的平分线上3.角的平分线是到角两边距离相等的点的集合4.角平分线是角的对称轴二、填空题1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF.2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP.3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=3，则PE=__________.4.已知，如图（4），∠AOB=60°,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=___度.5.如图（5），已知MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△DOM=6 cm2，OP=3 cm，则MQ=__________cm.（4）（5）三、选择题1.下列各语句中，不是真命题的是A.直角都相等B.等角的补角相等C.点P在角的平分线上D.对顶角相等2.下列命题中是真命题的是A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等B.相等的角是对顶角C.余角相等的角互余D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等3.如左下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm4.如右上图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF ②△BDF≌△CDE ③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是A.只有①B.只有②C.只有①和②D.①，②与③四、解答题1.如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.2.已知，如左下图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，AE=6，求四边形AFDE的周长.三角形的中垂线的性质及定理一、判断题1.如图（1），OC=OD直线AB是线段CD的垂直平分线2.如图（1），射成OE为线段CD的垂直平分线3.如图（2），直线AB的垂直平分线是直线CD4.如图（3），PA=PB，P′A=P′B，则直线PP′是线段AB的垂直平分线（1）（2）（3）二、填空题1.如右上图，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P是MN上一点，若AB=10 cm，则BD=__________cm；若PA=10 cm，则PB=__________cm；此时，PD=__________cm.2.如左下图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长是12 cm，AC=5cm，则AB+BD+AD=________cm；AB+BD+DC=__________cm；△ABC的周长是__________cm.图6EDCA3.如右上图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于E，BE=5，则AE=__________，∠AEC=__________，AC=__________ .4.已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm，则点P在__________上.5.如果P是线段AB的垂直平分线上一点，且PB=6cm，则PA=__________cm.6.如图（1），P是线段AB垂直平分线上一点，M为线段AB上异于A，B的点，则PA，PB，PM的大小关系是PA__________PB__________PM.7.如图（2），在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交BC于D，则点D在_____上.（1）（2）（3）8.如图（3），BC是等腰△ABC和等腰△DBC的公共底，则直线AD必是_________的垂直平分线.三、选择题1.下列各图形中，是轴对称图形的有多少个①等腰三角形②等边三角形③点④角⑤两个全等三角形A.1个B.2个C.3个D.4个2.如左下图，AC=AD，BC=BD，则A.CD垂直平分ADB.AB垂直平分CDC.CD平分∠ACBD.以上结论均不对3.如右上图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm四、解答题如右图，P 是∠AOB 的平分线OM 上任意一点，PE ⊥CA 于E ，PF ⊥OB 于F ，连结EF.求证：OP 垂直平分EF. 一题多变例1：如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长.变式1：如图1，在△ABC 中， AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若∠BEC=70°，则∠A=？变式2：如图3，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。
一. 教学内容：三角形中的角平分线、中线、高线和中垂线二. 教学内容1. 三角形的角平分线和中线2. 三角形的高线和中垂线3. 角平分线性质定理、中垂线性质定理三. 教学目标和要求1. 理解三角形角平分线、中线、高线和中垂线的概念，并能画出相应的线。
2. 掌握三角形角平分线、中线、高线及中垂线的一些特征，并能在解题中灵活应用。
四. 教学重点、难点1. 重点：角平分线性质定理及中垂线性质定理的运用2. 难点：三角形中线在面积方面的应用，角平分线性质定理、中垂线性质定理的运用是本周难点。
五. 知识要点1. 角平分线性质定理2. 中垂线性质定理3. 三角形中的三条角平分线4. 三角形中的三条中线5. 三角形中的三条高线6. 三角形中三边上的中垂线【典型例题】例1. 如图，△ABC的两条角平分线AD，CE相交于P，PM⊥BC于M，PN ⊥AB于N，则PN＝PM，请说明理由。
解：过P作PF⊥AC，垂足为F∵AD平分∠BAC，PN⊥AB，PF⊥AC∴PN＝PF （为什么）∵CE平分∠ACB，PM⊥BC，PF⊥AC∴PM＝PF∴PM＝PN （为什么）例2. 如图，BP、CP分别为△ABC的两个外角的平分线，则点P到△ABC三边的距离相等吗？若相等，请说明理由。
解析：略例3. 已知△ABC ，要把它分成面积相等的6块，且只能画三条线，应怎样分？并说明分法的正确性。
解：分法：分别画△ABC 的三条中线AD 、BE 、CF ，交于P 点，所分得的6块面积相等。
理由：∵AD 为中线∴BD ＝CD ∴S △PBD ＝S △PCD 设S △PBD ＝S △PCD ＝a同理：可设S △PCE ＝S △PEA ＝b ；S △PAF ＝S △PBF ＝c ∵AD 为△ABC 的中线 ∴S △ABD ＝S △ACD 即a+2c ＝a+2b ∴c ＝b同理可得a ＝b ∴a ＝b ＝c∴△ABC 三条中线分得的6块三角形面积相等。
三角形高，中线，角平分线的定义
定义如下：
1、高：三角形的一个顶点向对边做的一条垂线段叫三角形的高。
2、中线：连接顶点和它，所对的边的中点，所得的线段，叫做三角形的中线。
3、角平分线：将一个叫分成相等的两份。
其他定义
三角形(triangle)是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。
常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。
三角形的角平分线与垂直平分线的性质解析三角形是几何学中的基本图形之一，由三条边和三个角组成。
在研究三角形的性质时，角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。
本文将详细解析三角形的角平分线与垂直平分线的性质，并通过几何证明来加深理解。
一、角平分线的性质角平分线是指将一个角分成两个相等角的线段。
在三角形中，每个角都可以有三条角平分线，它们分别连接角的顶点和对边上的点。
下面将分别探讨三角形内、角平分线与三角形外、角平分线的性质。
1. 三角形内的角平分线性质对于任意三角形ABC，以顶点A为例，AC为角A的对边，BD为角A的一条角平分线（B点在AC上）。
则有以下结论：（1）角平分线BD将角A分成两个相等的角。
这是角平分线的定义性质，也即∠BAD = ∠DAC。
（2）角平分线所在的边（线段BD）与对边（线段AC）成等角。
这一性质可以通过角平分线定义的推论得到，即∠ABD = ∠CBD。
（3）角平分线所在的边（线段BD）与三角形的另一边（线段AB 或BC）成外角。
外角是指角的补角，也即∠ABC = ∠CBD + ∠ABD。
2. 三角形外的角平分线性质接上述讨论，若角平分线BD延长到线段BC上的点E，则有以下结论：（1）角平分线BD将角A分成两个相等的角。
这一性质是角平分线的定义性质，同前述。
（2）角平分线所在的射线（射线BD）与对边（线段AC）夹角的平分线是角平分线BD所在的边（线段BD）。
这一性质也即∠ABD是∠ACD的平分线，通过几何证明可得。
（3）角平分线所在的射线（射线BD）与三角形的另一边（线段AB或BC）成内角。
内角是指角的补角，也即∠DBE = ∠ABC + ∠CBD。
这一性质可通过几何证明来得到。
二、垂直平分线的性质垂直平分线是指将一个线段分成两个相等线段，并且与该线段垂直的线段。
在三角形中，每条边都可以有一条垂直平分线，它们分别与对边相交于一个点，并且将对边分成两个相等线段。
下面将讨论垂直平分线的性质。
初中几何辅助线大全及口诀
以下是初中几何常用的辅助线和口诀：
1. 中线：连接三角形任意两个顶点，并且过第三个顶点的线段叫做中线。
中线的特点是相等，即三条中线交于一个点，这个点叫做三角形的重心。
2. 高线：从三角形一个顶点向对边所在直线引垂线，垂足到对边的线段叫做高线。
三角形的高线有三条，交于一个点，这个点叫做三角形的垂心。
3. 角平分线：从三角形一个顶点出发，把相邻的两个角平分成两个相等的角的线段叫做角平分线。
三角形内的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心。
4. 中垂线：从三角形一个角的顶点作对边中点的垂线叫做中垂线。
三角形内的三条中垂线交于一点，这个点叫做三角形的外心。
常用口诀：
1. 重心定位，中线相等。
2. 垂心急行，高线相等。
3. 角平分线，内心定位。
4. 中垂线汇集，外心得位。
希望这些辅助线和口诀对你有所帮助！。
线段的垂直平分线与角平分线知识要点详解C1、线段垂直平分线的性质/\(1)垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到/ m\这条线段两个端点的距离相等. A |D—X B图i 定理的数学表示：如图1,已知直线m与线段AB垂直相交于点D,且A[> BD若点C在直线m上，贝S AO BC.定理的作用：证明两条线段相等(2)线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理(1)线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2,已知直线m与线段AB垂直相交于点D,且AD=BD,若AC= BC则点C在直线m上. 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.课堂笔记：3、关于三角形三边垂直平分线的定理(1)关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一ki点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3,若直线i,j,k分别是△ ABC三边AB BGCA的垂直平分线，则直线i,j,k相交于一点0,且0A= OB= OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.(2)三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系:若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例1 如图1,在厶ABC中, BC= 8cm AB的垂直平分线交AB于点D,交边AC于点E, △ BCE勺周长等于18cm 则AC的长等于( )A. 6cmB. 8cmC. 10cm D .课堂笔记：例2、在厶ABC中, AB二AC AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°,^ ABC的底角/ B的大小为__________________ 。
第三期课题：角平分线和垂直平分线一、知识解析分析：欲证AD ⊥EF ，就要证∠AOE=∠AOF=21∠EOF=90°。
所以要考虑证ΔAEO ≌ΔAFO 。
由题中条件可知ΔAEO ，ΔAFO 已有一边（公共边）一角对应相等，只要证出AE=AF 问题就解决了，所以需先证明ΔAED ≌ΔAFD 。
证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴ DE=DF （角平分线上的点到这个角的两边距离相等）在RtΔAED 和RtΔAFD 中⎩⎨⎧==)()(公共边已证AD AD DF DE∴RtΔAED ≌RtΔAFD(HL)∴AE=AF(全等三角形的对应边相等)在ΔAEO 和ΔAFO 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(公共边已知已证AO AO FAO EAO AF AE∴ΔAEO ≌ΔAFO,∴∠AOE=∠AOF (全等三角形对应角相等) ∴∠AOE=21∠EOF=90°， ∴AD ⊥EF （垂直定义）。
例2、二、课堂练习1、函数()0≠+=k k kx y 在直角坐标系中的图象可能是（ ）．2、已知一次函数图象经过点(3，－3)，并且与x 轴交于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,43，求此函数的解析式。
3、若直线b kx y +=平行直线y=3x+2，且过点（2，﹣1），则k 和b 的值是多少？4、如图，直线3+=x y 的图象与x ,y 轴交于A 、B 两点，直线L 经过原点，与线段AB 交于点C ，把△AOB 的面积分为2：1的两部分，求直线L 的解析式。
解：依题意得,A(-3,0),B(0,3) 设点C 的坐标为()3,+x x∴3233321+=+-=∆x x S AOC x x S B O C 23321==∆∵若则,2BO C AO C S S ∆∆=x x 232323⨯=+ ，则1-=x 若则,2BO C AO CS S ∆∆=x x 233232=+⨯ ，则2-=x∴点C 的坐标为（-1,2）或（-2,1） ∴所求的直线L 的解析式为x y x y 212-=-=或5、如图，直线6+=kx y 与x 轴y 轴分别交于点E 、F ，点E 的坐标为（-8，0），点A 的坐标为（-6，0）。
相似三角形的角平分线和中垂线的关系相似三角形是几何学中重要的概念之一，它们具有相似的形状但尺寸不同。
在研究相似三角形的性质时，角平分线和中垂线是两个重要的概念。
本文将探讨相似三角形的角平分线和中垂线之间的关系。
一、角平分线和中垂线的定义在开始深入了解两者关系之前，首先需要明确角平分线和中垂线的定义。
1. 角平分线：对于三角形ABC，如果有一条线段AD从角A的顶点出发并且将角A分成两个相等的角，则称线段AD为角A的角平分线。
2. 中垂线：对于三角形ABC，通过三角形的某一边的中点M，和该边的垂直平分线，将与该边垂直的线段MN称为该三角形对边BC的中垂线。
二、相似三角形的性质在继续讨论两者关系之前，需要了解相似三角形的一些基本性质。
1. 边比例：如果两个三角形ABC和DEF相似，那么它们的对应边的长度比例相等，即AB/DE = AC/DF = BC/EF。
2. 角等价：相似三角形的对应角度相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
3. 高比例：如果两个三角形ABC和DEF相似，那么它们的对应高的长度比例相等，即hA/hD = hB/hE = hC/hF。
现在我们来探讨角平分线和中垂线的关系。
三、角平分线和中垂线的关系在已知一个三角形ABC的角平分线和中垂线的情况下，我们可以得到以下的关系：1. 角平分线和中垂线的交点如果角ABC的角平分线AD和角BAC的角平分线BE相交于点O，则点O是三角形ABC的内心。
内心是三角形内部的一个点，到三边的距离相等，并且角平分线经过该点。
2. 角平分线和中垂线的关系在相似三角形ABC和DEF中，当角ABC的角平分线AD与角DEF的角平分线DG相交于点O时，点O也是相似三角形ABC和DEF的内心。
这意味着角平分线和中垂线同时也是相似三角形的内心连线。
3. 角平分线和中垂线的长度比例如果三角形ABC和DEF相似，并且角ABC的角平分线AD与角DEF的角平分线DG交于点O，则线段AD与线段DG的长度比等于线段AB与线段DE的长度比。
角平分线和中垂线类型1：角平分线【例题1】如图，∠BAC＝30°，AP平分∠BAC，GF垂直平分AP，交AC于F，Q为射线AB上一动点，若PQ的最小值为3，则AF的长为__________．【答案】6．（提示：）【例题2】如图，已知点E为矩形ABCD的边CB延长线上一点，且D到直线AE的距离DF＝DC，下列结论：①∠AEB＝∠EDC；②AE＝BC，③AF＝AB；④若BC，则点F在线段BC的垂直平分线上，其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B．（提示：②④正确．∵DF＝DC，DF⊥EF，DC⊥BC，∴∠1＝∠2，∵AD∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3，∴AE＝AD＝BC，∴②正确；设DC＝1，BCFD＝1，ADRt△F AD中，AF＝1，∴AF＝FD，∴点F在线段BC的垂直平分线上，∴④正确）【例题3】如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点，且∠MDN＋∠BAC＝180°．若AD＝6，∠BAC＝60°，则四边形AMDN的面积为_________．【答案】（提示：作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE＝DF，又∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴∠AED＝∠AFD＝90°，又∵AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE＝AF；∵∠MDN＋∠BAC＝180°，∴∠AMD＋∠AND＝180°，又∵∠DNF＋∠AND＝180°∴∠EMD＝∠FND，又∵∠DEM＝∠DFN，DE＝DF，∴△DEM≌△DFN，∴S△DEM＝S△DFN，∴S四边形AMDN＝S四边形AEDF，∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠DAF＝30°，∴Rt△ADF中，DF＝3，AF＝，∴S△ADF＝12AF×DF＝12×3，∴S四边形AMDN＝S四边形A EDF＝2×S△ADF＝ABCGFPQQPGABCF MABCDEF32FEDCBA1AB CDNM MNFEDCBA【例题4】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，AC＝√6，若点P是AD上一动点，且作PN⊥AC于点N，则PN＋PC的最小值是__________．（提示：过点P作PE⊥AB于点E，当C、P、E三点共线时，PE＋PC＝CE最小）【例题5】如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在AB上，AD＝AC，且∠BCD＝12∠A，若△BCD的面积是20，则CD的长为____________．【答案】．（提示：如图，作AH⊥CD于H，BM⊥CD交CD的延长线于M．∵AC＝AD，AH⊥CD，∴∠CAH＝∠DAH，CH＝DH，∵∠CAH＋∠ACH＝90°，∠BCD＝12∠CAD＝∠CAH，∴∠BCD＋∠ACH＝90°，∴∠ACB＝90°，∵∠AHC＝∠M＝90°，∴∠ACH＋∠BCM＝90°，∠BCM＋∠CBM＝90°，∴∠ACH＝∠CBM，∵AC＝BC，∴△AHC≌△CMB（AAS），∴CH＝BM，∴CH＝DH＝BM，设BM＝CH＝DH＝m，∵S△BCD＝12CD·BM，∴12·2m·m＝20，∴m＝，∴CD＝2m＝4）【例题6】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，点D是BC边上的点，CDACD 沿直线AD折叠，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是_________．【答案】3PNDCBA ABCDEFNPDCBAA BCDMHEDC BAP【例题7】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，点D，E，F分别是线段AC，AB，DC的中点，下列结论：①△EFB为等边三角形；②S四边形DFBE＝12S△ACB；③AE；④AC＝8DG；其中正确的是_____________．【答案】①②③④．（提示：根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，结合等边三角形的判定定理，即可判断①；根据三角形的中线等分三角形的面积，即可判断②；先推出BF＝AE，结合含30°角的直角三角形的性质，即可判断③；根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可判断④）【例题8】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，分别过点A 作AE∥BC，过点B作BE∥AD，AE与BE相交于点E．若CD＝2，则四边形ADBE的面积是_____________．【答案】＋8．（提示：如图，过D作DF⊥AB于F，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，∴DF＝CD＝2．∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴BF＝DF＝2，BD＝BC＝CD＋BD＝2＋AC＝BC＝2＋AE∥BC，BE∥AD，∴四边形ADBE是平行四边形，∴AE＝BD＝ADBE的面积＝BD•AC＝2＋2）＝8）【例题9】如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AD的垂直平分线交AB于点F，则△DEF的面积为____________．【答案】6－（提示：∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠CAD＝∠EAD，DE＝CD，AE＝AC＝2，∵AD的垂直平分线交AB于点E，∴AF＝DF，∴∠ADF＝∠EAD，∴∠ADF ＝∠CAD，∴AC∥DE，∴∠BDE＝∠C＝90°，∴△BDF、△BED是等腰直角三角形，设DE＝x，则EF ＝BE＝x，BD＝DF＝2－x，在Rt△BED中，DE2＋BE2＝BD2，∴x2＋x2＝（2－x）2，解得x1＝－2－2（负值舍去），x2＝－2＋，∴△DEF的面积为（－2＋2＋）÷2＝6－A BCDEFGABCDEFEDC BAFEDC BA【例题10】如图所示，△ABC 的两条外角平分线AP 、CP 相交于点P ，PH ⊥AC 于H ．若∠ABC ＝60°，则下面的结论：①∠ABP ＝30°；②∠APC ＝60°；③PB ＝2PH ；④∠APH ＝∠BPC ，其中正确结论的个数是（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D ．（提示：如图，作PM ⊥BC 于M ，PN ⊥BA 于N ．∵∠PAH ＝∠PAN ，PN ⊥AD ，PH ⊥AC ，∴PN ＝PH ，同理PM ＝PH ，∴PN ＝PM ，∴PB 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝12∠ABC ＝30°，故①正确，∵在Rt △PAH 和Rt △PAN 中，PA ＝PA ，PN ＝PH ，∴△PAN ≌△PAH ，同理可证，△PCM ≌△PCH ，∴∠APN ＝∠APH ，∠CPM ＝∠CPH ，∵∠MPN ＝180°－∠ABC ＝120°，∴∠APC ＝12∠MPN ＝60°，故②正确，在Rt △PBN 中，∵∠PBN ＝30°，∴PB ＝2PN ＝2PH ，故③正确，∵∠BPN ＝∠CPA ＝60°，∴∠CPB ＝∠APN ＝∠APH ，故④正确）【例题11】如图，BH 是△ABC 的角平分线，BA ＝BC ＝10，AC ＝12，P ，D 分别是BH 和AB 上的任意一点，连接PA ，PC ，PD ，CD ．给出下列结论：①PA ＝PC ；②PA ＋PD ≥CD ；③PA ＋PD 的最小值是485；④若PA 平分∠BAC ，则△APH 的面积为12．其中正确的是（ ）．A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④ 【答案】A ．（提示：∵BA ＝BC ，BH 是角平分线，∴BH ⊥AC ，AH ＝CH ，∴PA ＝PC ，故①正确；∴PA ＋PD ＝PD ＋PC ≥CD ，故②正确；根据垂线段最短可知，当CD ⊥AB 时，C ，P ，D 共线时，PA ＋PD 的值最小，最小值为CD ，在Rt △ABH 中，AB ＝10，AH ＝6，BH ＝8，由等积法可知CD ＝4.8，∴PA ＋PD 的最小值为4.8，故③正确；如图，过点P 作PT ⊥AB 于T ．在△PAT 和△PAH 中，∠PTA ＝∠PHA ＝90°，∠PAT ＝∠PAH ，PA ＝PA ，∴△PAT ≌△PAH （AAS ），∴AT ＝AH ＝6，PT ＝PH ，设PT ＝PH ＝x ，在Rt △PTB 中，则有（8－x ）2＝x 2＋42，∴x ＝3，∴S △APH ＝＝9，故④错误）类型2：垂直平分线【例题12】如图，△ABC 的面积为9cm 2，AP 垂直∠ABC 的平分线BP 于P ，则△PBC 的面积为__________．PH A BCD EEDCBA H MP NHA BCDPPDCBAHT【答案】4.5cm 2．（提示：延长AP 交BC 于点D ，∵BP 平分∠ABC ，AP ⊥BP ，∴AP ＝PD ，∴S △ABP ＝S △DBP ，S △APC ＝S △DPC ，∴S △BPC ＝9÷2＝4.5cm 2）【例题13】如图，已知在△ABC 中，BC ＝6，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点M 、N ，若MN ＝2，则△AMN 的周长是__________．【答案】10．（提示：依题意AN ＝CN ，AM ＝BM ，∴AM ＋AN ＝BC ＋MN ＝6＋2＝8，△AMN 的周长＝8＋2＝10）【例题14】如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交AB 于点E ，交AC 于点G ，交BC 的延长线于点F ，连接AF 、DE ，下列结论：①△AEF ≌△DEF ；②CF ＝AF －CD ；③DE ∥AC ；④△AEG 为等边三角形，其中正确的结论有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C ．（提示：①②③正确．∵EF 垂直平分AD ，∴△AEF ≌△DEF （SSS ），∴①正确；∵△AEF ≌△DEF ，∴∠1＝∠3，又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴DE ∥AC ，∴③正确；∵EF 垂直平分AD ，∴AF ＝DF ，∴CF ＝AF －CD ，∴②正确）类型3：解答题【例题15】如图，△ABC 中，点D 在边BC 的延长线上，∠ACB ＝100°，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，过点E 作EH ⊥BD ，且∠CEH ＝50°． （1）求∠ACE 的度数；（2）求证：AE 平分∠CAE ；（3）若AC ＋CD ＝14，AB ＝8.5，且S △ACD ＝21，求△ABE 的面积．【答案】（1）∠ACE ＝40°；（2）略；（3）S △ABE ＝514． （提示：（3）S △ACD ＝S △ACE ＋S △CED ）A BCD EMN ABCDEFG321A BCDEFGHFED C BAABC DE FH。
中垂线与角平分线中垂线和角平分线是几何学中常见且重要的概念。
它们在解决几何问题、证明几何定理以及构造几何图形等方面具有广泛的应用。
本文将介绍中垂线和角平分线的基本概念、性质以及相关定理，并通过实例来说明它们在实践中的应用。
一、中垂线1.中垂线的定义与性质中垂线是一个线段，它有一个端点位于直线上，且与直线上的另外两点距离相等。
中垂线由直线上的一点以垂直于直线的方式引出，并延伸至直线的另外一侧。
一个三角形有三条中垂线，它们的交点称为三角形的垂心。
2.中垂线的应用中垂线可以用来构造、证明和解决各类几何问题。
例如，可以利用中垂线来构造一个等边三角形，即通过连接三角形的各个顶点与垂心，得到的三条边均相等的三角形。
此外，中垂线还可以用来证明一些几何定理，如证明垂直线段的中点连线垂直于直线段等。
二、角平分线1.角平分线的定义与性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角平分为两个相等的角的线段。
角平分线可以是一个直线段，也可以是为了平分角而引出的射线。
对于三角形，若一边的中点和与之相对的顶点通过一条直线相连，则这条直线即为该边所在的角的角平分线。
2.角平分线的应用角平分线在几何推理中应用广泛。
例如，可以利用角平分线的性质来证明两个角相等，或者证明两个三角形相似。
此外，角平分线还可以用来构造、解决和证明各类几何问题，如构造等角三角形、解决角平分线的相交问题等。
三、中垂线与角平分线的关系1.性质中垂线和角平分线在一些情况下有特殊的关系。
例如，在等边三角形中，中垂线和角平分线重合，即三角形的垂心、内心和外心重合于同一点。
此外，在直角三角形中，直角边上的中垂线即为该边的角平分线。
2.实例分析为了更好地理解中垂线和角平分线的关系，我们举一个实例。
假设有一个等边三角形ABC，我们要证明其三条中垂线和三条角平分线重合于同一点。
解：首先，连接三角形的顶点与中点所形成的线段是三条中垂线。
同时，根据角平分线的定义，我们可以找到三条角平分线。
中垂线
判断
( )1.三角形两边的垂直平分线交点在三角形一边上，则该三角形为等边三角形.
( )2.到三角形三顶点距离相等的点在三角形内.
( )3.到三角形距离三边相等的点是三条中垂线的交点.
( )4.四边形ABCD中共有一点P，使PA=PB=PC=PD，则∠A+∠C=180°.
( )5.和线段两端距离相等的点只有线段的中点.
( )6.和线段两端相等的点不一定在线段上.
选择
1.到三角形三个顶点距离相等的是( )
A.三条中线交点
B.三条高的交点
C.三条角平分线的交点
D.三条中垂线的交点
2.线段AB外有两点C，D(在AB同侧)使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°, ∠CAD=10°,则∠ACB=( )
A.90°
B.100°
C.110°
D.120°
3.BD为CE的中垂线，A在CB延长线上，∠C=34°,则∠ABE=( )
A.17°
B.34°
C.68°
D.136°
4.O为△ABC三边中垂线的交点，则O称为△ABC的( )
A.外心
B.内心
C.垂心
D.重心
5.若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为( )
A．钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形
6. 如图,△ABC中，∠ACB=90°, ∠A=30°AC的中垂线交AC于E.交AB于D，则图中60°的角共有( )
A．6个 B.5个 C.4个D3个
填空
1.△ABC中，AB=AC，P为形内一点，PB=PC，则P在的中垂线上，P还在∠的平分线上.
2.△ABC中，AB=AC=14，腰AB的中垂线交AC于D，△BCD周长为4cm,则BC= .
BE= .
3.△ABC中，AB=AC，∠A=120°,AB中垂线交BC于E，则
BC
4.正△ABC内一点O到三边距离相等，且OA=OB=OC.则∠BOC= .
5.△ABC的边AC、BC的中垂线交于AB上一点O，且OC=BC，则∠A= .
6.若PA=PB，DA=DB，则PD是AB的.
角平分线同步练习
判断题
1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等
2.到角的两边距离相等的点在角的平分线上
3.角的平分线是到角两边距离相等的点的集合
4.角平分线是角的对称轴
填空题
1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF.
2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP.
3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=3，则PE=__________.
4.已知，如图（4），∠AOB =60°,CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，若CD =CE ，则∠COD +∠AOB =__________度.
5.如图（5），已知MP ⊥OP 于P ，MQ ⊥OQ 于Q ，S △DOM =6 cm 2，OP =3 cm ，则MQ
=__________cm.
（4） （5）
选择题
1.下列各语句中，不是真命题的是
A.直角都相等
B.等角的补角相等
C.点P 在角的平分线上
D.对顶角相等
2.下列命题中是真命题的是
A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等
B.相等的角是对顶角
C.余角相等的角互余
D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等
3.如左下图，在△ABC 中，∠ACB =90°,BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC =3 cm ，那么AE +DE 等于
A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
4.如右上图，已知AB =AC ，AE =AF ，BE 与CF 交于点D ，则①△ABE ≌△ACF ②△BDF ≌△CDE ③D 在∠BAC 的平分线
上，以上结论中，正确的是
A.只有①
B.只有②
C.只有①和②
D.①，②与③
解答题
1.如右图，已知BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，若BD =CD .求证：AD 平分∠BAC .
2.已知：如图，在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，求证：⊿DBE 的周长等于AB.
3.已知：如图，在⊿ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：AD ⊥EF.
C。
