垂直平分线与角平分线讲义

第三讲：垂直平分线与角平分线主讲教师：刘老师我们一起回顾1、垂直平分线2、角平分线重难点易错点解析垂直平分线题一：AC=AD，BC=BD，则有（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB角平分线题二：如图，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A．P A=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP第1题第2题金题精讲题一：如图，AB=AC，AC的垂直平分线MN交AB于D，交AC于E．（1）若∠A=40°，求∠BCD的度数；（2）若AE=5，△BCD的周长17，求△ABC的周长．题二：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E点，求PE的长．题三：如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F，AC于EF交于点O．（1）求证：∠3=∠B；（2）连接OD，求证：∠B+∠ODB=180°．题四：如图，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB．思维拓展题一：小傲做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）小德同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意小德的判断吗？为什么？（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．垂直平分线与角平分线课后练习题一：如图，AB是∠DAC的平分线，且AD=AC．求证：BD=BC．题二：给出以下两个定理：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．应用上述定理进行如下推理，如图，直线l是线段MN的垂直平分线．∵点A在直线l上，∴AM=AN（）∵BM=BN，∴点B在直线l上（）∵CM≠CN，∴点C不在直线l上．这是因为如果点C在直线l上，那么CM=CN（）这与条件CM≠CN矛盾．以上推理中各括号内应注明的理由依次是（）A．②①①B．②①②C．①②②D．①②①题三：如图所示，D是∠AOB平分线上的一点，DE⊥OA，DF⊥OB，垂足分别是E，F．下列结论不一定成立的是（）A．DE=DF B．OE=OF C．∠ODE=∠ODF D．OD=DE+DF题三题四题五题六题四：如图，P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP于P，并分别交OA、OB于C，D，则点P到∠AOB两边距离之和（）题六：如图，AB=AC=10，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．求：（1）∠ABD的度数；（2）若△BCD的周长是m，求BC的长．题五：已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，CD平分∠ACB交边AB于点D，DE⊥BC垂足为E，BD = 2AD．求证：BE=CE．题六：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF=CE．求证：FK∥AB．题七：如图，AD是△ABC的角平分线，AD的中垂线分别交AB、BC的延长线于点F、E题八：求证：（1）∠EAD=∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC=∠B．题九：如图，△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于D，F为垂足，DE⊥AB于E，且AB＞AC，求证：BE-AC=AE．题十：如图，已知△ABC中，∠BAC：∠ABC：∠ACB=4：2：1，AD是∠BAC的平分线．求证：AD=AC-AB．题十一：如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于D，且CD=15，AC=30，则AB的长为．题十二：一个风筝如图所示，两翼AB=AC，横骨BF⊥AC，CE⊥AB，问其中骨AD能平分∠BAC吗？为什么？垂直平分线与角平分线---课后练习参考答案详解：∵AB 是∠DAC 的平分线，∴∠DAB =∠CAB ，在△ABD 和△ABC 中，AD ACDAB CABAB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ABC （SAS ）．∴BD =BC题二： D ．详解：根据题意，第一个空，由垂直平分线得到线段相等，应用了性质，填①； 第二个空，由线段相等得点在直线上，应用了判定，填②； 第三个空，应用了垂直平分线的性质，填①． 所以填①②①，故选D ．题三： D ．详解：∵D 是∠AOB 平分线上的一点，DE ⊥OA ，DF ⊥OB ，∴DE =DF ，故A 选项成立，在Rt △ODE 和Rt △ODF 中，OD OD DE DF=⎧⎨=⎩，∴Rt △ODE ≌Rt △ODF （HL ），∴OE =OF ，∠ODE =∠ODF ，故B 、C 选项成立， OD =DE +DF 无法证明，不一定成立．故选D．题四： A ．详解：如图，过点P 作PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ， 则PE 、PF 分别为点P 到∠AOB 两边的距离，∵PE ＜PC ，PF ＜PD ，∴PE +PF ＜PC +PD ，∴PE +PF ＜CD ， 即点P 到∠AOB 两边距离之和小于CD ．故选A ．题五： 40°．详解：∵MN 是AC 的垂直平分线，∴AD =CD ，∴∠ACD =∠A ， ∵在Rt △ABC 中，∠B =90°，∴∠A +∠ACB =90°，∵∠BCD =10°，∴∠A +∠ACD +∠BCD =90°，即2∠A +10°=90°， 解得：∠A =40°．故答案为：40°．题六： （1）40°；（2）m -10．详解：（1）∵AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，∴AD =BD ， ∵∠A =40°，∴∠ABD =∠A =40°；（2）∵AB 的垂直平分线交AC 于D ，∴AD =BD ，∵△BCD 的周长为m ， ∴BD +DC +BC =m ，即AD +DC +BC =m ，AC +BC =m ， ∵AC =10，BC =m ，∴BC =m -10．详解：∵∠A =90°，DE ⊥BC ，CD 平分∠ACB ，∴AD =DE ，∵BD = 2AD ，∴BD =2DE ．在Rt △BDE 中，∵BD =2DE ，∴∠B =30°． 在Rt △ABC 中，∵∠A =90°，∠B =30°，∴∠ACB =60°．∵CD 平分∠ACB ， ∴∠BCD =30°．∴∠BCD =∠B ，∴BD =CD ．∵DE ⊥BC ，∴BE =CE ．题八： 见详解．详解：证明：过点K 作MK ∥BC ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE =∠CAE ，又∵∠ACB =90°，CD ⊥AB ，∴∠BAE +∠DKA =∠CAE +∠CEA =90°，∴∠DKA =∠CEA ， 又∵∠DKA =∠CKE ，∴∠CEA =∠CKE ，∴CE =CK ，又CE =BF ，∴CK =BF ，而MK ∥BC ， ∴∠B =∠AMK ，∴∠BCD +∠B=∠DCA +∠BCD =90°，∴∠AMK =∠DCA ， 在△AMK 和△ACK 中，∴∠AMK =∠ACK ，AK =AK ，∠MAK =∠CAK ， ∴△AMK ≌△ACK ，∴CK =MK ，∴MK =BF ，MK ∥BF ， 四边形BFKM 是平行四边形，∴FK ∥AB ．题九： 见详解详解：（1）∵EF 是AD 的中垂线，∴DE =AE ．∴∠EAD =∠EDA ．（2）∵EF 为中垂线，∴FD =F A ．∴∠FDA =∠F AD ．∵AD 平分∠BAC ，∴∠F AD =∠DAC ， 所以∠FDA =∠DAC ．∴DF ∥AC ．（3）∵∠EAD =∠EDA ，∠EAD =∠DAC +∠CAE ，∠EDA =∠B +∠BAD ， ∴∠DAC +∠CAE =∠B +∠BAD ，∵∠F AD =∠DAC ，∴∠EAC =∠B ．题十： 见详解详解：作DG ⊥AC ，连接BD 、CD ，∵AD 是外角∠BAG 的平分线，DE ⊥AB ，∴∠DAE =∠DAG ，则在△ADE 与△ADG 中，DEA DGAEAD GADAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△ADG （AAS ），∴AE =AG ，∵DF 是BC 的中垂线，∴BD =CD ， ∴在Rt △BED 和Rt △CGD 中，DE DGBD CD =⎧⎨=⎩，∴Rt △BED ≌Rt △CGD （HL ），∴BE =CG =AC +AG ，AG =AE ，∴BE -AC =AE ．题十一： 见详解详解：在AC 上截取AE =AB ，连DE ，如图， 设∠C =x ， ∵∠BAC：∠ABC ：∠ACB =4：2：1，∴∠BAC =4x ，∠B =2x ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠3=∠4=2x ，∵在△ABD 和△AED 中，34A B A E A D A D =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△AED （SAS ），∴∠B =∠1=2x ，∴∠1=∠4，∴DA =DE ，∵∠1=∠2+∠C ，∠C =x ，∴∠2=2x -x =x ，即∠2=∠C ，∴ED =EC ，∴DA =EC ， ∴AC =AE +EC =AB +AD ，即AD =AC -AB ．题十二： 50．详解：如图，作DE ⊥AB ，∴∠BED =90°，∴∠BED =∠C =90°，∵∠EBD =∠ABC ，∴△ABC ∽△DBE ，∴AC DEBC BE=，设BD =x ，BE =y ，则301515x y=+，30y =152+15x ，x =2y -15，在Rt △DBE 中，BD 2=DE 2+BE 2，即（2y -15）2=y 2+152，y （y -20）=0，∴y =20，AB =AE +BE =30+20=50．故答案为：50．题十三： 能平分∠BAC ．详解：中骨AD 能平分∠BAC ．理由如下：∵BF ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠AFB =∠AEC =90°，又∵AB =AC ，∠BAF =∠CAE ，∴△BAF ≌△CAE ，∴AF =AE ．在Rt △AED 和Rt △AFD 中，AD =AD ，AE =AF ，∴Rt △AED ≌Rt △AFD ，∴∠EAD =∠F AD ，答：中骨AD 能平分∠BAC ．题十四： D ．详解：①在AE 取点F ，使EF =BE ．∵AB =AD +2BE =AF +EF +BE ，EF =BE ，∴AB =AD +2BE =AF +2BE ，∴AD =AF ， ∴AB +AD =AF +EF +BE +AD =2AF +2EF =2（AF +EF ）=2AE ，∴1()2A E AB A D=+，故①正确；②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF．在△ACD与△ACF中，∵AD=AF，∠DAC=∠FAC，AC=AC，∴△ACD≌△ACF，∴∠ADC=∠AFC．∵CE垂直平分BF，∴CF=CB，∴∠CFB=∠B．又∵∠AFC+∠CFB=180°，∴∠ADC+∠B=180°，∴∠DAB+∠DCB=360-（∠ADC+∠B）=180°，故②正确；③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD=CF，又∵CF=CB，∴CD=CB，故③正确；④易证△CEF≌△CEB，∴S△ACE-S△BCE=S△ACE-S△FCE=S△ACF，又∵△ACD≌△ACF，∴S△ACF=S△ADC，∴S△ACE-S△BCE=S△ADC，故④正确．故选D．。

垂直平分线与角平分线主讲教师：傲德我们一起回顾1、垂直平分线2、角平分线重难点易错点解析垂直平分线[:题一：AC=AD，BC=BD，则有（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB角平分线题二：如图，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP金题精讲题一：如图，AB=AC，AC的垂直平分线MN交AB于D，交AC于E．（1）若∠A=40°，求∠BCD的度数；（2）若AE=5，△BCD的周长17，求△ABC的周长．题二：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E点，求PE的长．题三：如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F，AC于EF交于点O．（1）求证：∠3=∠B；（2）连接OD，求证：∠B+∠ODB=180°．题四：如图，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB．思维拓展题一：小傲做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）小德同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥B D，垂足为点E，并且BE=ED，你同意小德的判断吗？为什么？[:（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．学习提醒重点：垂直平分线性质——垂直平分线上一点到线段两端距离相等判定——到线段两端距离相等的点在其垂直平分线上角平分线性质——角平分线上一点到角两边距离相等判定——到角两边距离相等的点在角平分线上垂直平分线与角平分线讲义参考答案重难点易错点解析[:题一：A[:点拨：垂直平分线性质——垂直平分线上一点到线段两端距离相等判定——到线段两端距离相等的点在其垂直平分线上题二：D点拨：角平分线性质——角平分线上一点到角两边距离相等判定——到角两边距离相等的点在角平分线上金题精讲题一：（1）30°（2）27 题二：1题三：证明略题四：证明略思维拓展[:ab题一：(1) 同意；(2)2。

第二节线段的垂直平分线与角平分线知识点1 线段的垂直平分线的判定与性质1.垂直平分线：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，就叫这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。

这就是垂直平分线的定义（多媒体展示定义）。

几何语言：∵MN是AA′的垂直平分线∴AP=PA′(即点P是AA'的中点)∠MPA= ∠MPA′=90°2.线段的垂直平分线的性质a)线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。

b)数学语言：∵l⊥AB，AC=BC，且点P在l上∴PA=PB3.尺规法画垂直平分线。

分别以点A和点B为圆心，大于½AB的长为半径作弧，两弧相交于点C，D，直线CD即为所求。

4.三角形的外心（1）对任意一个三角形，其三条边的垂直平分线必交于一点，这个点叫做这个三角形的外心。

外心到三角形各个顶点的距离相等。

（2）三角形的外心任意一个三角形三条边的垂直平分线必交于一点，这个点叫做这个三角形的外心。

外心到三角形各个顶点的距离相等。

例1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（）A．3 B．6 C．12 D．16例2.作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．例3.如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，若∠A ＝50°，∠DCB ＝2∠ACD ，则∠B 的度数为（ ）A ．26°B ．36°C ．52°D ．45°知识点2 角的平分线的判定与性质1.作法：(1)以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N.(2) 分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部相交于点C. (3) 画射线OC.射线OC 即为所求．2.角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．3. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．例1.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于21MN 长为半径画弧，两弧交于点O ，作射线AO ，交BC 于点E ．已知CE ＝3，BE ＝5，则AC 的长为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5 例2.如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝45°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ．若DE ＝1，则BC 的长为（ ）A ．2+2B ．2+3C ．2+3D ．3。

三角形的角平分线与垂直平分线角平分线与垂直平分线是三角形中重要的几何概念。

它们可以帮助我们研究三角形的性质和推导出一些有用的结论。

本文将详细介绍角平分线与垂直平分线的定义、性质和应用。

一、角平分线角平分线定义为从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角的线段。

以三角形ABC为例，假设角A的角平分线为AD，则角BAD 与角DAC是相等的。

这一定义可以推广到任意三角形中的任意角。

角平分线具有以下性质：1. 一个角的两条平分线相交于该角的顶点，并将该角平分成两个相等的角。

2. 三角形的内角平分线三条相交于一点，称为内心。

这个点到三角形三边的距离相等，可以证明是三角形内接圆的圆心。

3. 三角形的外角平分线三条相交于一点，称为外心。

这个点到三角形的顶点的距离相等，可以证明是三角形外接圆的圆心。

4. 三角形的角平分线分割对边成比例，即根据角平分线定理可得：AB/BC=AD/DC。

角平分线的应用广泛，特别是在证明三角形的性质和推导结论时非常有用。

例如，可以利用角平分线证明角的等分性质、三角形的相似性质、垂心定理等。

二、垂直平分线垂直平分线定义为从一个线段的中点出发，与该线段垂直且将该线段平分为两段相等的线段。

以三角形ABC为例，假设AB的垂直平分线为DE，则AD=BD=BE=CE=CD。

这一定义可以推广到任意线段。

垂直平分线具有以下性质：1. 一个三角形的三条垂直平分线交于一点，称为垂心。

这个点到三角形三顶点的距离相等，可以证明是三角形外接圆的圆心。

2. 一个角的垂直平分线经过角的顶点，并将该角平分成两个相等的角。

3. 垂直平分线等分线段，即对于一个线段AB，若点D是其垂直平分线的交点，则AD=DB。

垂直平分线也有许多应用，特别是在几何证明中常常能发挥关键作用。

例如，可以利用垂直平分线证明角的等分性质、直角三角形的性质、垂心定理等。

总结：角平分线与垂直平分线是三角形中重要的概念，它们有着许多有用的性质和应用。

垂直平分线与角平分线精讲教案一、教学目标：1. 让学生理解垂直平分线和角平分线的定义。

2. 让学生掌握垂直平分线和角平分线的性质。

3. 培养学生运用垂直平分线和角平分线解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 垂直平分线的定义：垂直平分线是指一个线段的两端点关于某条直线对称，且这条直线垂直于线段所在的平面。

2. 角平分线的定义：角平分线是指一个角的内部的一条直线，它将这个角分成两个相等的角。

3. 垂直平分线的性质：a. 垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。

b. 垂直平分线垂直于线段所在的平面。

c. 垂直平分线上的任意一点到线段所在直线的距离等于线段一半。

4. 角平分线的性质：a. 角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。

b. 角平分线将角分成两个相等的角。

c. 角平分线上的任意一点到角的两边的夹角等于该点到角的两边的距离的比值。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：垂直平分线和角平分线的定义及其性质。

2. 教学难点：垂直平分线和角平分线的性质的应用。

四、教学方法：1. 采用多媒体课件辅助教学，直观展示垂直平分线和角平分线的定义和性质。

2. 利用实物模型，让学生直观地感受垂直平分线和角平分线的性质。

3. 运用例题讲解，让学生掌握垂直平分线和角平分线的性质及应用。

4. 开展小组讨论，让学生互相交流学习心得，提高解题能力。

五、教学过程：1. 引入新课：通过展示实际生活中的垂直平分线和角平分线的例子，引导学生思考并引入本节课的主题。

2. 讲解垂直平分线的定义和性质：利用多媒体课件和实物模型，讲解垂直平分线的定义和性质，让学生直观地理解并掌握。

3. 讲解角平分线的定义和性质：利用多媒体课件和实物模型，讲解角平分线的定义和性质，让学生直观地理解并掌握。

4. 应用练习：出示一些有关垂直平分线和角平分线的练习题，让学生独立解答，巩固所学知识。

教学评价：通过课堂讲解、练习解答和小组讨论，评价学生对垂直平分线和角平分线的理解掌握程度。

PM NCBAD21P CABEO第二十四讲 垂直平分线与角平分线【知识要点】1.线段垂直平分线性质定理及其逆定理：定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等. 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的直平分线上.2.角平分线的性质定理及其逆定理：定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等. 逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边 距离相等的点，在这个角的平分线上. 3.三角形三边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等。

4.三角形三角的角平分线的交点到三边的距离相等。

【经典例题】【例1】已知点O 是∠ABC ，∠ACB 的平分线的交点，且OD ∥AB ，OE ∥AC 。

①图形中共有哪几个等腰三角形？选一者证明之； ②试说明△ODE 的周长与BC 的关系； ③若BC=12cm ，则△ODE 的周长 .B 【例2】四边形ABCD 中，︒=∠=∠90ACB ADB ，E ，F 分别是DC 、AB 的中点，连接DF 、CF ，观察图形：①.DF 和CF 相等吗？为什么？②.EF 是否垂直平分DC ，请说明理由。

【例3】在ABC ∆中，OE 、OF 分别是AB 、AC 边的垂直平分线，,OBC OCB ∠∠的平分线相交于点I ，判断OI 与BC 的位置关系，并证明你的判断。

【例4】△ABC 中AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 延长线上，且BD=CE ，DE 交BC 于P ， 求证：DP=EP 。

【初试锋芒】1.在△ABC 中，∠ACB=90°,BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC=3 cm ，那么AE+DE 等于( ) A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm2.已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=32，且BD ∶CD=9∶7，则D 到AB 的距离为（ ） A.18B.16C.14D.123.△ABC 中，∠C=90°，AB 的中垂线交直线BC 于D ，若∠BAD －∠DAC=22.5°，则∠B 等（ ）A.37.5°B.67.5°C.37.5°或67.5°D.无法确定 4.设a .b 都是正整数，且)2(,3,b a b a b b a >+-构成一直角三角形三边的长，则这个三角形的任一边的长不可能是（ ） A ．12B.13C.14D.155.如图，直线321l l l 、、表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站， 要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A ．一处B.两处C.三处D.四处6.如图，D 、E 分别是△ABC 的边BC 、AC 上的点.若AB=AC ，AD=AE ，则（ ） A.当∠B 为定值时，∠CDE 为定值 B.当∠α为定值时，∠CED 为定值 C.当∠β为定值时，∠CDE 为定值 D.当∠γ为定值时，∠CDE 为定值7.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠ABC 的平分线，若BD=10，则CD= .8.在△ABC 中，AB=AC ，DE 是AB 的垂直平分线， AB=8，BC=4，∠A=36°，则∠DBC= ，△BDC 的周长C △BDC = 。

线段的垂直平分线和角平分线讲义如何作角的平分线？1.动手用尺规画出一个角的平分线；2.说明为什么是角平分线的理由。

用尺规作角的平分线.已知:∠AOB,如图.求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=2.分别以点D和E为圆心,以大于长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.3.作射线OC.则射线OC就是∠AOB的平分线.请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流.【知识梳理】1、线段的垂直平分线我们把垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，又叫中垂线．例如：如图所示，点O是线段AB的中点，且AB⊥CD，垂足为点O，则CD是线段AB的垂直平分线.2、线段的垂直平分线的定理线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等．如图，若MN为线段AB的垂直平分线，P点在MN上，则PA=PB．3、线段的垂直平分线定理的逆定理与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．如上图，若PA=PB，则P在AB的垂直平分线上．4、线段的垂直平分线说明了垂直平分线与线段的两种关系：①是位置关系——垂直；②是数量关系——平分．5、三角形三边的垂直平分线交于一点．从图中可以看出，要证明三条垂直平分线交于一点，只需证明其中的两条垂直平分线的交点一定在第三条垂直平分线上就可以了6、角的平分线的作法（1）在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OD、OE，使OD=OE.（2）分别以D、E为圆心，以大于DE长为半径画弧，两弧交于∠AOB内一点C.（3）作射线OC，则OC为∠AOB的平分线（如图）指出：（1）作角的平分线的依据是三角形全等的条件——“SSS”.（2）角的平分线是一条射线，不能简单地叙述为连接.7、角平分线的性质在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.指出：（1）这里的距离是指点到角两边垂线段的长.（2）该结论的证明是通过三角形全等得到的，它可以独立作为证明两条线段相等的依据.（3）使用该结论的前提条件是有角的平分线，关键是图中有“垂直”.8、角平分线的判定到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.指出：（1）此结论是角平分线的判定，它与角平分线的性质是互逆的.（2）此结论的条件是指在角的内部有点满足到角的两边的距离相等，那么过角的顶点和该点的射线必平分这个角.9、三角形的角平分线的性质三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等.指出：（1）该结论的证明揭示了证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点在第三线上.（2）该结论多应用于几何作图，特别是涉及到实际问题的作图题.【典型例题】知识点一：线段的垂直平分线考点一：利用线段垂直平分线求角的度数例1、在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，求底角B的大小.分析：AB的中垂线与AC所在直线的交点可能在AC上，也可能在CA的延长线上，故应分类讨论.解：若∠A为锐角，如图∵∠AED＝50°，∴∠A＝40°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝70°．若∠A为钝角，如图：∵∠AED＝50°，∴∠EAD＝40°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝20°．例2、如图，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E两点，AE平分∠BAC，若∠B=30°，求∠C的度数．解：此题考查“线段垂直平分线的性质”．因为DE垂直平分AB，所以BE=AE．所以∠1=∠B=30°．又因为∠1=∠2，所以∠1=∠2=30°．所以∠C=180°－∠BAC－∠B=90°．考点二：利用线段垂直平分线求长度例3、如图，AB=AC，DE垂直平分AB交AB于D，交AC于E．若△ABC的周长为28，BC=8，求△BCE的周长．解：∵等腰△ABC的周长为28，BC=8，∴2AC＋BC=28．∴AC=10．∵DE垂直平分AB，∴BE=AE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)．∴△BCE周长=BE＋EC＋BC=AE＋EC＋BC=AC＋BC=10＋8=18．点拨：这里是将△BCE的周长转化为等腰△ABC的腰和底，再由已知条件求得．例4、如图所示，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，且△BAD的周长为16cm，AE=7cm，求△ABC的周长．因为DE是AC的垂直平分线，所以EA=EC，DA=DC．又因为AE=7cm，所以AC＝2AE＝2×7=14(cm)．因为△BAD的周长为16cm，即AB＋BD＋AD＝AB＋BC＝16cm，所以△ABC的周长为AB＋BC＋AC=16＋14=30(cm)．例5、直角ΔABC中,∠ACB=90°,∠A=15°，将顶点A翻折使它与顶点B重合，折痕为MH，已知AH=2，求BC的长．分析：折叠问题可以看成轴对称问题．由外角定理得到直角三角形中有30°角，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可得．解：由于轴对称，得∠MA′H=∠A=15°，所以∠BHC=30°，BH=AH，又△BHC为直角三角形，因为直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，所以 BC=BH=×2=1．变式训练1.如图，AB=AC，AC的垂直平分线MN交AB于D，交AC于E．（1）若∠A=40°，求∠BCD的度数；（2）若AE=5，△BCD的周长17，求△ABC的周长．2.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E 点，求PE的长．答案：1.（1）30°（2）27 2.1考点三：线段垂直平分线与证明题例6、如图，点D、E在△ABC的边BC上，BD=CE，AB=AC，求证：AD=AE．证明：过点A作AF⊥BC于F．∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF．∵BD=CE，∴BF-BD=CF-CE．∴DF=EF．∴AF是DE的垂直平分线．AD=AE．例7、如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F.求证BF=2CF.分析：由线段的垂直平分线性质知联结AF，证线段二倍关系，通常考虑是否有直角三角形，且直角三角形中是否有30°角.证明：如图所示，联结AF，∵AB=AC，∠BAC=120°（已知），∴∠B=∠C==30°（等腰三角形性质）.又∵EF是AC的垂直平分线（已知），∴FA=FC（线段垂直平分线性质）.∴∠C=∠FAC=30°（等边对等角），∴∠BAF=∠BAC－∠FAC=120°－30°=90°（等式性质）.在Rt△BAF中，∠BAF=90°，∠B=30°(已证)，∴AF=BF（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.∴CF=BF（等量代换）.∴BF=2CF（等式性质）.例8、如图，△ABC中，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交AB于Q点，交BC于P点，PE ⊥AC于E点，AD⊥BC于D点，AD交PE于F点．求证：DF=DC．连接PA，则PA=PB，可求∠APD=45°，从而可得出AD=PD，再证△PDF ≌△ADC（ASA），即可得证.考点四：线段垂直平分线的实际应用例9、如图所示，牧童在A处放牛，他的家在B处，晚上回家时要到河边让牛饮一次水，则饮水的地点选在何处，牧童所走的路最短？分析：本题A，B两点在河的同侧，直接确定牛饮水的位置并不容易，但若A，B在河的两侧就容易了．将A点转化到河流的另一侧，设为A′，直线是AA′的垂直平分线，不论饮水处在什么位置，A点与它的对称点到饮水处的距离都相等．当A′B最小时，饮水处到A，B的距离和最小．解：如图所示，点C即为所求．例10、在沪宁高速公路L的同侧，有两个化工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？院址应同时满足两个条件：（1）在公路L上；（2）到A、B两厂的距离相等。

三角形的角平分线与垂直平分线的性质解析三角形是几何学中的基本图形之一，由三条边和三个角组成。

在研究三角形的性质时，角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。

本文将详细解析三角形的角平分线与垂直平分线的性质，并通过几何证明来加深理解。

一、角平分线的性质角平分线是指将一个角分成两个相等角的线段。

在三角形中，每个角都可以有三条角平分线，它们分别连接角的顶点和对边上的点。

下面将分别探讨三角形内、角平分线与三角形外、角平分线的性质。

1. 三角形内的角平分线性质对于任意三角形ABC，以顶点A为例，AC为角A的对边，BD为角A的一条角平分线（B点在AC上）。

则有以下结论：（1）角平分线BD将角A分成两个相等的角。

这是角平分线的定义性质，也即∠BAD = ∠DAC。

（2）角平分线所在的边（线段BD）与对边（线段AC）成等角。

这一性质可以通过角平分线定义的推论得到，即∠ABD = ∠CBD。

（3）角平分线所在的边（线段BD）与三角形的另一边（线段AB 或BC）成外角。

外角是指角的补角，也即∠ABC = ∠CBD + ∠ABD。

2. 三角形外的角平分线性质接上述讨论，若角平分线BD延长到线段BC上的点E，则有以下结论：（1）角平分线BD将角A分成两个相等的角。

这一性质是角平分线的定义性质，同前述。

（2）角平分线所在的射线（射线BD）与对边（线段AC）夹角的平分线是角平分线BD所在的边（线段BD）。

这一性质也即∠ABD是∠ACD的平分线，通过几何证明可得。

（3）角平分线所在的射线（射线BD）与三角形的另一边（线段AB或BC）成内角。

内角是指角的补角，也即∠DBE = ∠ABC + ∠CBD。

这一性质可通过几何证明来得到。

二、垂直平分线的性质垂直平分线是指将一个线段分成两个相等线段，并且与该线段垂直的线段。

在三角形中，每条边都可以有一条垂直平分线，它们分别与对边相交于一个点，并且将对边分成两个相等线段。

下面将讨论垂直平分线的性质。

3 垂直平分线与角平分线（讲义）知识点睛垂直平分线相关定理：① 线段垂直平分线上的点到这条线段 ____________________ ; ② 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平 分线上.角平分线相关定理：① 角平分线上的点到这个角的 _____________________ ; ② 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平 分线上•精讲精练如图，在△ABC 中，AB=AC, DE 垂直平分AB,交AC 于点 E,垂足为点D.若BE+CE=n. BC=8,则△ABC 的周氏为第2题图 ZC=90% ZA=30。

，DE 是线段 AB 的垂直平分线，交AB 于点、D,交AC 于点£.若DE" 则线段AC 的长为 _________ ・ 如图，在HABC 中，DE, GF 分别是AG BC 的垂直平分线,AD=8, BG=IO ・若AD 丄CD,则DG 的长为____________ •2. 第I 题图 如图，在RtAABC3如图，AD U BC 相交于点 0, OA=OC. ZA=ZC,BE=DE ・求证；OE 垂直平分BD ・如图，BD 平分ZABC. DE 丄4B 于点E, AB=8, BC=6・S AABC - 14,则 DE= ___________ .第6题图 如图，PC 丄04于点C, PD 丄OB 于点、D,且PC 二PD, 在射线OA 上，若ZAOB=60。

，ZOP 民80。

，则ZAEP 的度数 为 •如图，在△ABC 中，ZABC 的平分线与ZACB 的平分线相交 于点O, OD 丄AB, OE 丄AC.垂足分别为点D, E.求证：OD=OE ・点£C第5题图8 已知―如图，AABC的外角ZCBD和ZBCE的平分线相交于点F,求证：点F在ZDAE的平分线上-9 如图，直线y=x+4 -tj X轴、y轴分别交于点A, B,点C在x 轴正半轴上，且OC=OB,点D位于牙轴上点C的右侧，连接BC,ZBAO和ZBCD的平分线AP, CP相交于点P,连接肿, 则ZPBC的度数为__________________ -如图，在RtAABC 中，ZC=90%在AC 和上分别截取AE. AD.使AE=AD.再分别以点D, E 为圆心，大记 DE2的长为半径作弧，两弧在ZBAC 内交于点F,作射线AF 交边 BC 于点 G 若 CG=4. AB=IQ.如图，在△A3C 中，ZB=35。

第一章：垂直平分线的定义与性质1.1 引入垂直平分线的概念通过实际例子，让学生感受垂直平分线的作用和意义。

引导学生思考：如何找到一个线段的垂直平分线？1.2 垂直平分线的性质讲解线段的垂直平分线的性质，如垂直、平分等。

通过几何图形，让学生理解并证明垂直平分线的性质。

1.3 垂直平分线的作图教授如何作一条线段的垂直平分线的方法。

让学生动手实践，尝试作图并验证结果。

第二章：角平分线的定义与性质2.1 引入角平分线的概念通过实际例子，让学生感受角平分线的作用和意义。

引导学生思考：如何找到一个角的角平分线？2.2 角平分线的性质讲解角的角平分线的性质，如将角平分、垂直等。

通过几何图形，让学生理解并证明角平分线的性质。

2.3 角平分线的作图教授如何作一个角的角平分线的方法。

让学生动手实践，尝试作图并验证结果。

第三章：垂直平分线与角平分线的联系讲解垂直平分线与角平分线的交点的性质和特点。

通过几何图形，让学生理解并证明垂直平分线与角平分线的交点的性质。

3.2 垂直平分线与角平分线在解题中的应用通过实际例子，讲解垂直平分线与角平分线在解题中的应用。

引导学生思考：如何运用垂直平分线与角平分线解决问题？第四章：垂直平分线与角平分线的综合应用4.1 垂直平分线与角平分线的几何证明通过几何图形，让学生理解和证明垂直平分线与角平分线之间的关系。

引导学生思考：如何运用垂直平分线与角平分线进行几何证明？4.2 垂直平分线与角平分线在实际问题中的应用通过实际例子，讲解垂直平分线与角平分线在实际问题中的应用。

引导学生思考：如何运用垂直平分线与角平分线解决实际问题？第五章：巩固与拓展5.1 垂直平分线与角平分线的练习题提供一些有关垂直平分线与角平分线的练习题，让学生巩固所学知识。

引导学生思考：如何运用垂直平分线与角平分线解决练习题？5.2 垂直平分线与角平分线的拓展知识讲解与垂直平分线与角平分线相关的拓展知识，如线段垂直平分线的性质等。