证明垂直平分线与角平分线

课题垂直平分线、角平分线的有关证明问题教学过程一、主要知识点1、线段的垂直平分线。

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

2、角平分线。

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

二、重点例题分析例 1：在△ ABC 中， AB 的中垂线 DE 交 AC 于 F，垂足为 D，若 AC=6 ， BC=4 ，求△ BCF 的周长。

（垂直平分线的性质）ECFA D B例 3：如图所示， AC=AD ， BC=BD ， AB 与 CD 相交于点 E。

求证：直线 AB 是线段 CD 的垂直平分线。

（用定义去证）AC DEB例 4：如图所示，在△ ABC 中，AB=AC ，∠BAC=1200，D、F 分别为 AB 、AC 的中点，DE AB，FGAC ，E、 G 在 BC 上， BC=15cm ，求 EG 的长度。

（连AE ，AG ）AD FB E G C例 5:：如图所示， Rt△ ABC 中，， D 是 AB 上一点， BD=BC ，过 D 作 AB 的垂线交 AC 于点 E， CD 交 BE 于点 F。

求证： BE 垂直平分 CD 。

（证全等）CEFA D B例 6:：在⊿ ABC 中，点 O 是 AC 边上一动点，过点O 作直线 M N∥BC ，与∠ACB的角平分线交于点E，与∠ ACB的外角平分线交于点F，求证： OE=OFA（角平分线性质、平行线间高处处一样）OM E F N12B C例 7、如图所示， AB>AC ， A 的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作DE AB 于E，DFAC于F ，求证： BE=CF 。

（角平分线与垂直平分线的性质的综合应用）AEB M CFD相应练习A1、如图，在△ ABC 中， AB=AC=BC ，AE= CD ， AD 、BE 相交于点 P， B Q⊥ AD于 Q。

学生做题前请先回答以下问题问题1：线段垂直平分线的定理及其逆定理的内容分别是什么？答：线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；线段垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．问题2：角平分线定理及其逆定理的内容分别是什么？答：角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；角平分线的逆定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．问题3：什么是反证法？答：反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或者已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．问题4：你能用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角吗？答：证明：假设等腰三角形ABC的底角是钝角或直角，①妨设∠B和∠C是钝角，即∠B=∠C90°，∴∠A+∠B+∠C180°这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠B和∠C是钝角”的假设不成立；②妨设∠B和∠C是直角，即∠B=∠C=90°，∴∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C180°这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠B和∠C是直角”的假设不成立；∴等腰三角形的底角必为锐角．三角形的证明（垂直平分线，角平分线）（北师版）一、单选题(共11道，每道9分)1.三条公路两两相交，交点分别为A，B，C，现计划建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，则满足要求的加油站地址有()种情况．A.1B.2C.3D.4答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线的性质定理2.如图，已知△ABC，求作一点P，使点P到∠BAC两边的距离相等，且PA=PB，下列确定点P的方法正确的是()A.P是∠BAC与∠B两角平分线的交点B.P是∠BAC的角平分线与AB的垂直平分线的交点C.P是AC，AB两边上的高的交点D.P是AC，AB两边的垂直平分线的交点答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线的性质定理3.如图，在△ABC中，AB=10，BC=15，AC=20，点O是△ABC内角平分线的交点，则△ABO，△BCO，△CAO 的面积比是()A.1：1：1B.1：2：3C.2：3：4D.3：4：5答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线的性质定理4.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为()A.11B.5.5C.7D.3.5答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定和性质5.已知△ABC，（1）如图1，若点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则；（2）如图2，若点P是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则；（3）如图3，若点P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则．上述结论正确的有()个．A.1 B.2C.3D.0答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线的性质定理6.如图，AC=AD，BC=BD，则有()A.AB垂直平分CDB.CD垂直平分ABC.AB与CD互相垂直平分D.CD平分∠ACB答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：线段垂直平分线的判定定理7.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE=4cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是()A.10cmB.12cmC.13cmD.17cm答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：线段垂直平分线的性质8.已知：如图，在△ABC中，∠BAC=110°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE等于()A.50°B.40°C.30°D.20°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：线段垂直平分线的性质9.如图，在△DAE中，∠DAE=30°，线段AE，AD的中垂线分别交直线DE于B，C两点，则∠BAC的度数是()A.80°B.90°C.100°D.120°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：线段垂直平分线的性质10.已知A，B两点在线段EF的中垂线上，且∠EAF=100°，∠EBF=70°，则∠AEB等于()A.95°B.15°C.95°或15°D.170°或30°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：线段垂直平分线的性质11.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AB于F，交BC的延长线于E．下列说法：①∠EAD=∠EDA；②DF∥AC；③AD=AE；④∠EAC=∠B．其中正确的有()A.①②B.③④C.①②③D.①②④答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：线段垂直平分线的性质。

三角形的角平分线和垂直平分线三角形是几何学中最常见的形状之一，它由三条边和三个角组成。

在研究三角形的性质时，我们经常会遇到角平分线和垂直平分线这两个重要的概念。

本文将详细介绍三角形的角平分线和垂直平分线的定义、性质以及它们在解题中的应用。

一、角平分线1. 定义：三角形的角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分为两个相等的角的线段。

具体而言，设三角形ABC中的∠BAC的角平分线为AD，那么AD将∠BAC分为两个相等的角∠BAD和∠DAC。

2. 性质：（1）角平分线与对边的关系：角平分线将对边分成两个部分，这两个部分的长度之比等于与它们相对的两个角的正弦值之比。

即AB/AC = BD/DC = sin∠BAD/sin∠DAC。

（2）角平分线的交点：三角形的三条角平分线交于一点，称为内心。

内心是三角形内切圆的圆心，三条角平分线相交于该点的原因是，该点到三条边的距离相等，满足等距离定理。

（3）内心到三边的距离：内心到三边的距离相等，且等于内切圆的半径。

设内心到三边的距离分别为r₁、r₂和r₃，那么r₁=r₂=r₃=r。

二、垂直平分线1. 定义：三角形中的垂直平分线是指从一个角的顶点出发，与对边垂直相交，并将对边分成两个相等部分的直线。

以三角形ABC中∠BAC的垂直平分线为例，假设该垂直平分线与BC相交于点D，那么BD=DC。

2. 性质：（1）垂直平分线与对边的关系：垂直平分线平分对边，并且被平分的两部分的长度相等。

即BD=DC。

（2）垂直平分线与角平分线的关系：垂直平分线与角平分线互相垂直。

也就是说，三角形的垂直平分线同时也是它的内角平分线。

三、角平分线和垂直平分线的应用角平分线和垂直平分线在解决三角形相关问题时起着重要的作用，它们能够提供关键的几何信息，帮助我们求解未知量、证明定理。

1. 解题应用：（1）角平分线的应用：在求解三角形相关问题时，可以利用角平分线的性质来求解未知量，比如利用角平分线将角分为两个相等的角，从而应用三角函数关系进行计算。

三角形的角平分线与垂直平分线的性质解析三角形是几何学中的基本图形之一，由三条边和三个角组成。

在研究三角形的性质时，角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。

本文将详细解析三角形的角平分线与垂直平分线的性质，并通过几何证明来加深理解。

一、角平分线的性质角平分线是指将一个角分成两个相等角的线段。

在三角形中，每个角都可以有三条角平分线，它们分别连接角的顶点和对边上的点。

下面将分别探讨三角形内、角平分线与三角形外、角平分线的性质。

1. 三角形内的角平分线性质对于任意三角形ABC，以顶点A为例，AC为角A的对边，BD为角A的一条角平分线（B点在AC上）。

则有以下结论：（1）角平分线BD将角A分成两个相等的角。

这是角平分线的定义性质，也即∠BAD = ∠DAC。

（2）角平分线所在的边（线段BD）与对边（线段AC）成等角。

这一性质可以通过角平分线定义的推论得到，即∠ABD = ∠CBD。

（3）角平分线所在的边（线段BD）与三角形的另一边（线段AB 或BC）成外角。

外角是指角的补角，也即∠ABC = ∠CBD + ∠ABD。

2. 三角形外的角平分线性质接上述讨论，若角平分线BD延长到线段BC上的点E，则有以下结论：（1）角平分线BD将角A分成两个相等的角。

这一性质是角平分线的定义性质，同前述。

（2）角平分线所在的射线（射线BD）与对边（线段AC）夹角的平分线是角平分线BD所在的边（线段BD）。

这一性质也即∠ABD是∠ACD的平分线，通过几何证明可得。

（3）角平分线所在的射线（射线BD）与三角形的另一边（线段AB或BC）成内角。

内角是指角的补角，也即∠DBE = ∠ABC + ∠CBD。

这一性质可通过几何证明来得到。

二、垂直平分线的性质垂直平分线是指将一个线段分成两个相等线段，并且与该线段垂直的线段。

在三角形中，每条边都可以有一条垂直平分线，它们分别与对边相交于一个点，并且将对边分成两个相等线段。

下面将讨论垂直平分线的性质。

平面向量的垂直平分线定理和角平分线定理在数学中，平面向量的垂直平分线定理和角平分线定理是关于平面向量的重要性质。

这两个定理在解决几何问题以及证明定理时起到了重要的推动作用。

在本文中，我们将探讨平面向量的垂直平分线定理和角平分线定理的定义、性质以及应用。

1. 平面向量的垂直平分线定理平面向量的垂直平分线定理是指，对于一个平面内的两个不共线的向量a和b，垂直于向量a和向量b的直线称为向量a和向量b的垂直平分线。

具体而言，垂直平分线经过向量a的起点、向量b的终点以及二者的中点。

垂直平分线的性质如下：- 垂直平分线上的任意一点到向量a和向量b起点的距离相等。

- 垂直平分线将平面分成两个相等的部分。

- 垂直平分线上的任意一点与向量a和向量b之间的夹角都是45度。

垂直平分线定理的应用之一是解决平面三角形的问题。

通过构造垂直平分线，可以求解三角形的内切圆、外接圆、重心以及其他重要性质。

此外，垂直平分线还可以用于证明定理和性质，为进一步的数学推导提供基础。

2. 角平分线定理角平分线定理是指，对于一个平面内的两个相邻角，在它们共有的边上存在一条直线，称为角平分线。

具体而言，角平分线经过相邻角的顶点以及它们共有的边的中点。

角平分线的性质如下：- 角平分线将平面分成两个相等的部分。

- 角平分线上的任意一点到相邻角的两条边的距离相等。

- 角平分线将相邻角划分成相等的两个角。

角平分线定理的应用之一是解决几何问题中与角度相关的计算。

通过构造角平分线，可以帮助我们求解角的大小、证明定理以及推导几何性质。

角平分线在三角形、四边形以及其他多边形的研究中具有重要作用。

总结：平面向量的垂直平分线定理和角平分线定理是数学中关于平面向量的重要性质。

垂直平分线和角平分线的定义、性质以及应用使得我们能够更好地理解向量的性质和几何问题。

通过应用垂直平分线和角平分线定理，我们能够解决一些与平面向量和角度相关的问题，证明数学定理以及推导几何性质，为数学研究和实际应用提供了有力的工具。

几何中的角平分线与垂直平分线在几何学中，角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。

它们不仅帮助我们理解和解决各种几何问题，还具有广泛的应用。

本文将介绍角平分线和垂直平分线的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。

一、角平分线的定义和性质角平分线是指将一个角平分为两个相等角的线段。

设角BAC是一个角，如果直线AD将该角分为两个相等的角，即∠BAD = ∠DAC，则称直线AD为角BAC的角平分线。

角平分线具有以下性质：1. 角平分线将原角分为两个相等的角。

根据定义可知，角平分线将原角BAC分为∠BAD和∠DAC，且∠BAD = ∠DAC。

2. 角平分线上的点到角两边的距离相等。

设点D为角BAC的角平分线，点E、F分别位于边BA和边AC 上，且DE = DF。

根据三角形的性质可知，∠BDE ≌∠CDF（角平分线AD将角BAC分为两个相等角），因此△BDE ≌△CDF。

根据全等三角形的性质可得，BE = CF，即角平分线上的点到角两边的距离相等。

3. 角平分线与角的两边垂直。

根据性质2可知，点D到边BA的距离等于点D到边CA的距离，即DE = DF。

而∠BED和∠CED为角内角，因此根据三角形的性质可得，△BED ≌△CED，进而得出BE = CE。

根据等腰三角形的性质可知，BE = CE，则∠BDE = ∠CDE = 90°。

因此，角平分线与角的两边垂直。

二、垂直平分线的定义和性质垂直平分线是指将线段垂直平分为两个相等线段的线。

设线段AB为一条线段，如果直线CD同时垂直于线段AB并将其等分，即AC = CB，则称直线CD为线段AB的垂直平分线。

垂直平分线具有以下性质：1. 垂直平分线将原线段分为两个相等线段。

根据定义可知，垂直平分线CD将线段AB分为AC和CB，且AC = CB。

2. 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

设点D为线段AB的垂直平分线，点E、F分别为线段AB的两个端点，且DE = DF。

第三课时证明（二）之线段的垂直平分线和角平分线定理的应用以及证明一．本章节知识点：1、角平分线：（1）角平分线的定义：一条射线，把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.（2）用直尺和圆规作已知角的平分线2、角平分线的性质：（1）角平分线上的点到角的两边的举距离相等.（2）到角两边距离相等的点在角的角平分线上.3、三角形角平分线性质：三角形三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到三边距离相等.4、角平分线的性质及相关证明：（1）有角平分线时，常用角平分线上的点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题.（2）有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形.5、角平分线的逆定理：逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

6.垂直平分线（1）定义：垂直平分一条线段的直线叫线段的垂直平分线。

（2）性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

②三角形三边的垂直平分线相交于一点，且到三个顶点的距离相等。

（3）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

二．典型例题例1．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )A．一处B．两处C．三处D．四处答案：D说明：因为到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，所以可供选择的地点可在这三条直线围成的三角形的内角平分线的交点处或这个三角形的外角平分线的交点处，如图，可供选择的地址有P1、P2、P3、P4共四处，答案为D．例2．如图，△ABC中，∠ABC = 120º，∠C = 26º，且DE⊥AB，DF⊥AC，DE = DF．求∠ADC的度数．解：△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠C = 180º，∵∠ABC = 120º，∠C = 26º，∴∠BAC = 180º−120º−26º = 34º，∵DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，DE = DF，∴点D在∠BAC的平分线上，∠DAF =∠DAB =∠BAC =×34º = 17º．∴△ADC中，∠ADC = 180º−∠DAF−∠C = 180º−17º−26º = 137º．例3．如图，已知：在ABC∆中，︒=∠90C，︒=∠30A，BD平分ABC∠交AC于D. 求证：D在AB的垂直平分线上.分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上，只需证明DABD=即可.证明：∵︒=∠90C ，︒=∠30A （已知），∴ ︒=∠60ABC （∆Rt 的两个锐角互余）又∵BD 平分ABC ∠（已知）∴ A ABC DBA ∠=︒=∠=∠3021. ∴AD BD =（等角对等边）∴D 在AB 的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.例4．如图，已知：在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠120BAC ，AB 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于F 。

三角形中的角平分线与垂直平分线在几何学中，三角形是最基础且常见的几何图形之一。

而角平分线和垂直平分线是三角形内部的两个重要概念。

它们在解决三角形性质和计算题中起着关键的作用。

本文将详细探讨三角形中的角平分线和垂直平分线的性质及其应用。

一、角平分线角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角等分成两个相等的角的线段。

在任意三角形中，都存在三条角平分线。

我们给出以下两个性质：1.1 角平分线的性质性质一：三角形中的角平分线与对边上的点连线相等。

证明：设三角形ABC的角A的平分线为AD，与对边BC相交于点D。

则有∠BAD = ∠DAC（角平分线定义）。

因此，∠BAC = ∠BAD+ ∠DAC = ∠DAC + ∠DAC = 2∠DAC。

同理，可证明∠CED = 2∠DCE。

因此，∠BAC = 2∠DAC =2∠DCE。

于是，三角形ABC中的角平分线AD也等于对边BC。

性质二：三角形中的角平分线互相垂直。

证明：设三角形ABC的角A的平分线为AD，角B的平分线为BE，两条平分线相交于点D。

则有∠DAB = ∠DAC，∠DBE = ∠EBC（角平分线定义）。

又因为∠ADB = ∠BED = 90°（直角），所以∠BDA = ∠BEA = 180° - ∠ADB - ∠DBE = 180° - 90° - 90° = 0°。

因此，∠BDA = ∠BEA = 0°，即角ADB和角BEA为直角。

所以，角平分线AD垂直于角BAC的角平分线BE。

通过以上两个性质，我们可以看出角平分线在三角形中有着重要的几何意义和运用价值。

二、垂直平分线垂直平分线是指从一个线段的中点出发，与该线段垂直且等分该线段的直线。

在三角形中，任意一条边的中垂线可以称为该边的垂直平分线。

我们来介绍两个垂直平分线的性质：2.1 垂直平分线的性质性质一：三角形中的垂直平分线互相交于圆心。

空间几何中的角平分线与垂直平分线的性质推导解析在空间几何中，角平分线与垂直平分线是两个重要的概念。

它们在解决角和线段相关问题时起到了重要的作用。

本文将对角平分线与垂直平分线的性质进行推导解析。

一、角平分线的性质推导解析角平分线是指将一个角平分为两个相等的角的直线。

下面讨论角平分线的性质。

1. 角平分线的存在性证明:设在平面α中，有一点O。

对于该平面中的任意两条射线OA和OB，存在且唯一一条射线OC，使得OC既与OA也与OB所围成的两个角∠AOC和∠COB相等。

因此，点O到角∠AOB的两边OA和OB上有一条射线OC，称之为角∠AOB的角平分线。

2. 角平分线的性质一：角平分线上的任意一点都与两条角的顶点连线所围成的两个小角相等。

证明：设角∠AOB的角平分线为OC，连接OA和OB。

由分割线性质可知，∠BOC = ∠AOC。

又因为∠BOC = ∠AOC，∠BOC = ∠COA，∠COA = ∠AOB。

所以，点O到角∠AOB的两边OA和OB上的射线OC分别为角∠COA和∠COB的平分线，且这两个角相等。

3. 角平分线的性质二：角平分线上的任意一点到角的两边所成角的大小相等。

证明：设角∠AOB的角平分线为OC，连接OA和OB。

∵∠COA = ∠AOC，∠COB = ∠BOC∴∠AOB = ∠COA + ∠COB = ∠AOC + ∠BOC又因∠COA = ∠AOC, ∠COB = ∠BOC∴∠AOB = 2∠COA = 2∠COB。

即，点O到角∠AOB的两边OA和OB上的射线OC分别为∠COA和∠COB的角平分线，且∠COA = ∠COB，而∠AOB =2∠COA = 2∠COB所以，点O到角∠AOB的两边OA和OB上的射线OC分别为∠COA和∠COB的角平分线，且∠COA = ∠COB，而∠AOB =2∠COA = 2∠COB二、垂直平分线的性质推导解析垂直平分线是指将一条线段的中点与该线段的垂直平分线上的任意一点连接起来所得的线段。

三角形的角平分线和垂直平分线角平分线和垂直平分线是三角形中的两种特殊线段，它们对于三角形的性质和结构具有重要的作用。

本文将从定义、性质和应用三个方面来探讨三角形的角平分线和垂直平分线。

一、角平分线角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角平分成两个相等的角的线段。

具体来说，假设ABC是一个三角形，∠BAC是这个三角形的一个内角，如果从∠BAC的顶点A出发，以平分∠BAC的直线切分∠BAC，那么这条直线就是∠BAC的角平分线。

角平分线具有以下性质：1. 角平分线将对边分成两个相等的线段。

即，如果从∠BAC的顶点A引一条角平分线，与边BC交于点D，那么AD=CD。

2. 角平分线是三角形内一条重要的对称轴线。

即，如果有一条角平分线，它将三角形分成两个具有对称关系的部分。

角平分线的应用：1. 寻找三角形的内心：三角形的内心是三条角平分线的交点，可以通过角平分线求解三角形的内心坐标。

2. 探索三角形的相似性：角平分线切分三角形的两边，可以得到边长的比例关系，从而推导出三角形的相似性质。

二、垂直平分线垂直平分线是指从一个线段的中点出发，垂直于这条线段的线段。

具体来说，假设AB是一个线段，M是AB的中点，如果从M出发，以垂直于AB的直线切分AB，那么这条直线就是AB的垂直平分线。

垂直平分线具有以下性质：1. 垂直平分线将线段分成两个相等的部分。

即，如果从线段AB的中点M引一条垂直平分线，与AB的交点为N，那么AM=MN=NB。

2. 垂直平分线是线段的中垂线。

即，如果一个点在垂直平分线上，那么它到线段两端点的距离相等。

垂直平分线的应用：1. 构造等腰三角形：垂直平分线可以将一个线段平分成两个相等的线段，从而构造出等腰三角形的两条等腰边。

2. 寻找三角形的外心：三角形的外心是三条垂直平分线的交点，可以通过垂直平分线求解三角形的外心坐标。

综上所述，三角形的角平分线和垂直平分线具有重要的性质和应用。

它们能够帮助我们研究三角形的性质，解决一些与三角形相关的问题。

线段的垂直平分线与角平分线线段是几何学中非常基础的概念之一，而线段的垂直平分线与角平分线则是与线段相关的两个重要概念。

本文将详细介绍线段的垂直平分线和角平分线的定义、性质以及应用。

一、线段的垂直平分线线段的垂直平分线是指将一条线段平分，并与该线段垂直的线。

具体来说，对于给定的线段AB，如果存在一条线段CD，满足以下条件：1. 线段CD的长度等于线段AB的长度；2. 线段CD与线段AB垂直。

那么线段CD就是线段AB的垂直平分线。

线段的垂直平分线有以下几个重要性质：1. 垂直平分线与线段的中点相交；2. 垂直平分线上的任意一点到线段两端的距离相等；3. 线段的垂直平分线唯一存在，且与线段垂直。

应用举例：在建筑设计中，垂直平分线可以用来确定一个长方形或正方形的中心位置，帮助确定对称的放置家具或装饰品等物品。

二、线段的角平分线线段的角平分线是指将一条角平分成两个相等的角，并且该线段在原角的内部。

具体来说，对于给定的角AOB，如果存在一条线段OC，满足以下条件：1. 线段OC与线段OB和线段OA的夹角相等；2. 线段OC将角AOB平分。

那么线段OC就是角AOB的角平分线。

线段的角平分线有以下几个重要性质：1. 角的角平分线可以将角平分成两个相等的角；2. 角的角平分线唯一存在。

应用举例：在几何证明或构造中，角平分线的性质被广泛应用。

例如，在正方形中，线段的角平分线即为正方形的对角线，利用这一性质可以证明正方形的对角线互相垂直且平分彼此。

总结：线段的垂直平分线与角平分线都是线段在几何中的重要应用。

垂直平分线可用于确定线段的中点和建筑设计中的对称性；角平分线可用于证明和构造多边形等几何图形。

了解并掌握线段的垂直平分线和角平分线的性质对于解决几何问题以及理解几何学的基本概念和定理都具有重要意义。

通过本文的介绍，相信读者对线段的垂直平分线与角平分线有了更加深入的了解，希望对读者在学习和应用几何学知识时能够提供帮助。

角平分线与垂直平分线在几何学中，角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。

它们在解决几何问题和证明定理时起到了关键作用。

本文将介绍角平分线和垂直平分线的定义、性质以及它们在几何学中的应用。

一、角平分线角平分线是指将一个角分成两个相等角的直线或线段。

对于任意一个角ABC，如果直线AD将角ABC分成两个相等角，那么称直线AD 为角ABC的角平分线。

如图1所示，AD是角ABC的角平分线。

角平分线有以下的性质：1. 角平分线与角的两边垂直角平分线与角的两边垂直是角平分线的重要性质之一。

也就是说，角的两边与角平分线之间的夹角是90度。

这是很容易证明的，我们可以利用垂直角的性质来证明。

2. 角平分线相交于角的内部角平分线与角的两边相交于角的内部。

这可以通过反证法来证明。

假设角平分线与角的内部不相交，那么根据对角分线定理，该线段将角分成两个不等的角，与角平分线的定义相矛盾。

3. 角平分线将角分成两个相等角这是角平分线的定义所保证的。

通过角的内部一点作角的角平分线，可以将角分成两个相等的角。

这一性质在解决几何问题时经常会被应用。

二、垂直平分线垂直平分线是指将一条线段分成两个相等的线段，并且与该线段垂直的直线或线段。

对于线段AB，如果直线CD将线段AB平分，并且垂直于线段AB，那么称直线CD为线段AB的垂直平分线。

如图2所示，CD是线段AB的垂直平分线。

垂直平分线也有一些重要的性质：1. 垂直平分线与线段相交于线段的中点垂直平分线与线段相交于线段的中点，这是垂直平分线的定义所保证的。

线段的中点是指线段的两个端点的中点，可以通过连结线段的两个端点并取垂直平分线上的一点来证明。

2. 垂直平分线是线段的对称轴垂直平分线将线段分成两个相等的部分，并且对称于垂直平分线。

这是因为线段的两侧与垂直平分线之间的距离相等。

3. 垂直平分线垂直于线段垂直平分线与线段垂直是垂直平分线的重要性质之一。

也就是说，线段与垂直平分线之间的夹角是90度。

平面几何中的角平分线和垂直平分线在平面几何中，角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。

它们在解决三角形和四边形等几何问题时起到了关键的作用。

本文将详细介绍角平分线和垂直平分线的定义、性质和应用。

一、角平分线角的平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线。

具体而言，对于一个角ABC，如果有一条直线AD，使得∠DAB和∠DAC的度数相等，则称线段AD为角ABC的平分线。

如下图所示：[图]角平分线具有以下性质：1. 角平分线将原始角分成两个度数相等的角。

2. 角平分线与角的两边相交，且交点在角的内部。

3. 如果一条线段是角的平分线，则这条线段上的所有点到角的两边的距离相等。

角平分线的应用广泛。

在解决几何问题时，我们常常需要根据已知条件来确定角的度数，进而研究其他相关性质。

在构造角的平分线时，可以帮助我们将一个角划分为两个相等的部分，从而简化问题的处理。

二、垂直平分线垂直平分线是指将一个线段分成两个相等部分，并且与该线段垂直的直线。

具体来说，对于一个线段AB，如果有一条直线CD，使得CD与AB垂直且AD=BD，则称线段CD为线段AB的垂直平分线。

如下图所示：[图]垂直平分线具有以下性质：1. 垂直平分线将线段分成两个相等的部分。

2. 垂直平分线与线段的中点重合。

垂直平分线的应用也非常广泛。

在解决几何问题时，我们经常需要将线段平分成相等的部分，以便进行进一步的研究。

垂直平分线的存在可以帮助我们确定线段的中点，并且可以方便地构造出与线段垂直的直线。

综上所述，角平分线和垂直平分线在平面几何中具有重要的地位和作用。

它们的定义和性质为我们解决各种几何问题提供了有力的工具和方法。

熟练掌握角平分线和垂直平分线的性质，对于理解和应用几何知识具有重要的意义。

因此，在学习和研究平面几何的过程中，我们应该注重对角平分线和垂直平分线的理解和运用。

相信通过不断的练习和实践，我们将能够灵活地应用它们，解决各类几何问题。

三角形的角平分线与垂直平分线在几何学中，我们经常学习到与三角形相关的概念和性质。

其中，角平分线和垂直平分线是常见且重要的两个概念。

本文将详细介绍三角形的角平分线和垂直平分线，包括其定义、性质以及几何意义。

一、角平分线角平分线指的是将一个角分成两个相等角的线段。

在三角形中，每个角都有三条角平分线。

接下来我们将探讨角平分线的性质和几何意义。

1. 角平分线的性质（1）角平分线将角分成相等的两个角。

（2）角平分线与三角形的边相交于一个点，称为角平分线的起点。

（3）角平分线与三角形的对边上的点相连，构成两条相等的线段。

（4）角平分线的起点、两条角平分线相交点和三角形对边上与角平分线相交的点四点共线。

2. 角平分线的几何意义角平分线在几何学中具有重要的应用和几何意义。

其中，最常见的应用是求角平分线的长度和证明角平分线存在。

此外，角平分线也常用于解决与角度相关的几何问题，如角度相等、角度比较等。

二、垂直平分线垂直平分线是指与三角形的一条边垂直且等分该边的线段。

同样，每个三角形都有三条垂直平分线。

下面我们将详细讨论垂直平分线的性质和几何意义。

1. 垂直平分线的性质（1）垂直平分线与三角形的边垂直相交。

（2）垂直平分线将三角形边分成两个相等的线段。

（3）三角形的三条垂直平分线的交点共同形成三角形的内心，称为内心的位似点。

2. 垂直平分线的几何意义垂直平分线在几何学中起着重要的作用。

垂直平分线不仅可以用于构造三角形的内心，还可以用于判断一个点是否在三角形的内部。

此外，在解决与三角形有关的几何问题时，垂直平分线也有广泛的应用。

综上所述，三角形的角平分线和垂直平分线是几何学中常见且重要的概念。

通过学习它们的性质和几何意义，我们可以更好地理解三角形以及与之相关的形状和性质。

希望通过本文的介绍，读者能够对角平分线和垂直平分线有更深入的了解，并能在实际问题中熟练应用。

线段垂直平分线和角平分线的性质
和判定
线段垂直平分线：
它是在一条线段上的两个端点之间画出的一条垂直于该线段的线段，其中两段等长。

性质：
1.线段垂直平分线是一条垂直于给定线段的线段；
2.它将给定线段分成两段等长的线段；
3.它的端点位于给定线段的端点。

判定：
可以使用叉乘或者勾股定理来判断线段垂直平分线，如果a×b=0，则a线段垂直于b线段；如果|a–
b|=|a+b|，则a线段和b线段等长；如果a和b都满足上述条件，则a线段就是给定线段的垂直平分线。

角平分线：
它是在一个角的两边画出的一条线段，其中两段之间的夹角是该角的一半。

性质：
1.角平分线是一条穿过角的线段；
2.它将角分割成两个等分的角；
3.它的端点位于角的两条边上。

判定：
可以使用叉乘法判断角平分线，如果a×b=0，则a线段和b线段垂直；如果|a+b|= 2*|a|，则a和b之间的夹角是180°的一半；如果a和b都满足上述条件，则a线段就是角的平分线。

线段的垂直平分线与角平分线【知识框架】1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1.∵ CD ⊥AB.且AD ＝BD∴ AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2.∵ AC ＝BC∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于线段垂直平分线性质定理的推论（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点.并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等.性质的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形.则它三边垂直平分线的交点在三角形内部； 若三角形是直角三角形.则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形.则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之.也成立。

4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图4.∵ OE 是∠AOB 的平分线.F 是OE 上一点.且CF ⊥OA 于点C.DF ⊥OB 于点D. ∴ CF ＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形.它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5.∵点P 在∠AOB 的内部.且PC ⊥OA 于C.PD ⊥OB 于D.且PC ＝PD.图1图2图4∴点P在∠AOB的平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与判定定理的区别和联系.（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点.并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6.如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线.那么：① AP、BQ、CR相交于一点I；②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F.则DI＝EI＝FI.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.【典型例题】例1、如图1.在△ABC 中.BC ＝8cm.AB 的垂直平分线交AB 于点D.交边AC 于点E.△BCE 的周长等于18cm.则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm【跟踪练习】（1）如图.AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D.交AC 于点E. 如果△EBC 的周长是24cm.那么BC=_________;（2）如图.AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D.交AC 于点E. 如果BC=8cm.那么△EBC 的周长是______;（3）如图.AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D.交AC 于点E. 如果∠A=28度.那么∠EBC=___.例2、已知： AB=AC.DB=DC.E 是AD 上一点.求证：BE=CE.【跟踪练习】已知：在△ABC 中.ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC.求证：点O 在BC 的垂直平分线.例3、在△ABC 中.AB=AC.AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°.△ABC 的底角∠B的大小为_______________。

角的平分线与垂直平分线角是几何学中常见的重要概念，平分线是指将一个角平分为两个相等部分的线段。

垂直平分线则是指从一个角的顶点到对边中点的垂线。

角的平分线与垂直平分线在几何学中有着广泛的应用，并且具有一些重要的性质和定理。

本文将详细介绍角的平分线与垂直平分线的概念、性质以及应用。

1. 角的平分线角的平分线是指从角的顶点出发，将角分成两个相等的部分的线段。

平分线可以是直线、射线或线段。

当平分线是直线时，它穿过角的顶点并且将角分成两个相等的角度。

当平分线是射线或线段时，它起始于角的顶点但不穿过角的顶点，并且将角分成两个相等的一部分。

平分线有时候也被称为角的二等分线。

平分线是角的重要性质之一。

在几何学中，平分线可以帮助我们解决各种角相关的问题。

例如，当我们需要将一个角分成两个相等的角度时，可以通过构造该角的平分线来达到目的。

平分线也可以用来证明两个角相等，当且仅当它们的平分线重合时，这是角的平分线的一个重要性质。

2. 垂直平分线垂直平分线是指从一个角的顶点作垂线，且该垂线与对边重合的线段。

换句话说，垂直平分线是从一个角顶点到对边中点的垂线。

垂直平分线有时候也被称为角的垂直二等分线。

与平分线类似，垂直平分线也有许多重要的性质和应用。

首先，垂直平分线将一个角分成两个相等的角度。

其次，垂直平分线是角的对称轴，即通过对称操作，将角绕垂直平分线旋转180度，可以得到一个重合的角。

这个性质在角的对称性证明中经常被使用到。

3. 角的平分线与垂直平分线的应用角的平分线和垂直平分线在几何学中广泛应用于证明和解决各种角相关的问题。

它们可以帮助我们证明两个角相等、寻找角的平分线、构造垂直平分线等。

举个例子，假设我们需要证明两个角相等。

可以通过构造两个角的平分线来达到目的。

首先，我们利用直尺和铅笔构造出两个角，并在它们的顶点处作出平分线。

接着，我们可以利用这些平分线的性质来证明这两个角是相等的。

此外，平分线还可以帮助我们寻找未知角的大小。