垂直平分线与角平分线(讲义及答案).

第三讲：垂直平分线与角平分线主讲教师：刘老师我们一起回顾1、垂直平分线2、角平分线重难点易错点解析垂直平分线题一：AC=AD，BC=BD，则有（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB角平分线题二：如图，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A．P A=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP第1题第2题金题精讲题一：如图，AB=AC，AC的垂直平分线MN交AB于D，交AC于E．（1）若∠A=40°，求∠BCD的度数；（2）若AE=5，△BCD的周长17，求△ABC的周长．题二：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E点，求PE的长．题三：如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F，AC于EF交于点O．（1）求证：∠3=∠B；（2）连接OD，求证：∠B+∠ODB=180°．题四：如图，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB．思维拓展题一：小傲做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）小德同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意小德的判断吗？为什么？（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．垂直平分线与角平分线课后练习题一：如图，AB是∠DAC的平分线，且AD=AC．求证：BD=BC．题二：给出以下两个定理：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．应用上述定理进行如下推理，如图，直线l是线段MN的垂直平分线．∵点A在直线l上，∴AM=AN（）∵BM=BN，∴点B在直线l上（）∵CM≠CN，∴点C不在直线l上．这是因为如果点C在直线l上，那么CM=CN（）这与条件CM≠CN矛盾．以上推理中各括号内应注明的理由依次是（）A．②①①B．②①②C．①②②D．①②①题三：如图所示，D是∠AOB平分线上的一点，DE⊥OA，DF⊥OB，垂足分别是E，F．下列结论不一定成立的是（）A．DE=DF B．OE=OF C．∠ODE=∠ODF D．OD=DE+DF题三题四题五题六题四：如图，P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP于P，并分别交OA、OB于C，D，则点P到∠AOB两边距离之和（）题六：如图，AB=AC=10，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．求：（1）∠ABD的度数；（2）若△BCD的周长是m，求BC的长．题五：已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，CD平分∠ACB交边AB于点D，DE⊥BC垂足为E，BD = 2AD．求证：BE=CE．题六：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF=CE．求证：FK∥AB．题七：如图，AD是△ABC的角平分线，AD的中垂线分别交AB、BC的延长线于点F、E题八：求证：（1）∠EAD=∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC=∠B．题九：如图，△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于D，F为垂足，DE⊥AB于E，且AB＞AC，求证：BE-AC=AE．题十：如图，已知△ABC中，∠BAC：∠ABC：∠ACB=4：2：1，AD是∠BAC的平分线．求证：AD=AC-AB．题十一：如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于D，且CD=15，AC=30，则AB的长为．题十二：一个风筝如图所示，两翼AB=AC，横骨BF⊥AC，CE⊥AB，问其中骨AD能平分∠BAC吗？为什么？垂直平分线与角平分线---课后练习参考答案详解：∵AB 是∠DAC 的平分线，∴∠DAB =∠CAB ，在△ABD 和△ABC 中，AD ACDAB CABAB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ABC （SAS ）．∴BD =BC题二： D ．详解：根据题意，第一个空，由垂直平分线得到线段相等，应用了性质，填①； 第二个空，由线段相等得点在直线上，应用了判定，填②； 第三个空，应用了垂直平分线的性质，填①． 所以填①②①，故选D ．题三： D ．详解：∵D 是∠AOB 平分线上的一点，DE ⊥OA ，DF ⊥OB ，∴DE =DF ，故A 选项成立，在Rt △ODE 和Rt △ODF 中，OD OD DE DF=⎧⎨=⎩，∴Rt △ODE ≌Rt △ODF （HL ），∴OE =OF ，∠ODE =∠ODF ，故B 、C 选项成立， OD =DE +DF 无法证明，不一定成立．故选D．题四： A ．详解：如图，过点P 作PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ， 则PE 、PF 分别为点P 到∠AOB 两边的距离，∵PE ＜PC ，PF ＜PD ，∴PE +PF ＜PC +PD ，∴PE +PF ＜CD ， 即点P 到∠AOB 两边距离之和小于CD ．故选A ．题五： 40°．详解：∵MN 是AC 的垂直平分线，∴AD =CD ，∴∠ACD =∠A ， ∵在Rt △ABC 中，∠B =90°，∴∠A +∠ACB =90°，∵∠BCD =10°，∴∠A +∠ACD +∠BCD =90°，即2∠A +10°=90°， 解得：∠A =40°．故答案为：40°．题六： （1）40°；（2）m -10．详解：（1）∵AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，∴AD =BD ， ∵∠A =40°，∴∠ABD =∠A =40°；（2）∵AB 的垂直平分线交AC 于D ，∴AD =BD ，∵△BCD 的周长为m ， ∴BD +DC +BC =m ，即AD +DC +BC =m ，AC +BC =m ， ∵AC =10，BC =m ，∴BC =m -10．详解：∵∠A =90°，DE ⊥BC ，CD 平分∠ACB ，∴AD =DE ，∵BD = 2AD ，∴BD =2DE ．在Rt △BDE 中，∵BD =2DE ，∴∠B =30°． 在Rt △ABC 中，∵∠A =90°，∠B =30°，∴∠ACB =60°．∵CD 平分∠ACB ， ∴∠BCD =30°．∴∠BCD =∠B ，∴BD =CD ．∵DE ⊥BC ，∴BE =CE ．题八： 见详解．详解：证明：过点K 作MK ∥BC ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE =∠CAE ，又∵∠ACB =90°，CD ⊥AB ，∴∠BAE +∠DKA =∠CAE +∠CEA =90°，∴∠DKA =∠CEA ， 又∵∠DKA =∠CKE ，∴∠CEA =∠CKE ，∴CE =CK ，又CE =BF ，∴CK =BF ，而MK ∥BC ， ∴∠B =∠AMK ，∴∠BCD +∠B=∠DCA +∠BCD =90°，∴∠AMK =∠DCA ， 在△AMK 和△ACK 中，∴∠AMK =∠ACK ，AK =AK ，∠MAK =∠CAK ， ∴△AMK ≌△ACK ，∴CK =MK ，∴MK =BF ，MK ∥BF ， 四边形BFKM 是平行四边形，∴FK ∥AB ．题九： 见详解详解：（1）∵EF 是AD 的中垂线，∴DE =AE ．∴∠EAD =∠EDA ．（2）∵EF 为中垂线，∴FD =F A ．∴∠FDA =∠F AD ．∵AD 平分∠BAC ，∴∠F AD =∠DAC ， 所以∠FDA =∠DAC ．∴DF ∥AC ．（3）∵∠EAD =∠EDA ，∠EAD =∠DAC +∠CAE ，∠EDA =∠B +∠BAD ， ∴∠DAC +∠CAE =∠B +∠BAD ，∵∠F AD =∠DAC ，∴∠EAC =∠B ．题十： 见详解详解：作DG ⊥AC ，连接BD 、CD ，∵AD 是外角∠BAG 的平分线，DE ⊥AB ，∴∠DAE =∠DAG ，则在△ADE 与△ADG 中，DEA DGAEAD GADAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△ADG （AAS ），∴AE =AG ，∵DF 是BC 的中垂线，∴BD =CD ， ∴在Rt △BED 和Rt △CGD 中，DE DGBD CD =⎧⎨=⎩，∴Rt △BED ≌Rt △CGD （HL ），∴BE =CG =AC +AG ，AG =AE ，∴BE -AC =AE ．题十一： 见详解详解：在AC 上截取AE =AB ，连DE ，如图， 设∠C =x ， ∵∠BAC：∠ABC ：∠ACB =4：2：1，∴∠BAC =4x ，∠B =2x ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠3=∠4=2x ，∵在△ABD 和△AED 中，34A B A E A D A D =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△AED （SAS ），∴∠B =∠1=2x ，∴∠1=∠4，∴DA =DE ，∵∠1=∠2+∠C ，∠C =x ，∴∠2=2x -x =x ，即∠2=∠C ，∴ED =EC ，∴DA =EC ， ∴AC =AE +EC =AB +AD ，即AD =AC -AB ．题十二： 50．详解：如图，作DE ⊥AB ，∴∠BED =90°，∴∠BED =∠C =90°，∵∠EBD =∠ABC ，∴△ABC ∽△DBE ，∴AC DEBC BE=，设BD =x ，BE =y ，则301515x y=+，30y =152+15x ，x =2y -15，在Rt △DBE 中，BD 2=DE 2+BE 2，即（2y -15）2=y 2+152，y （y -20）=0，∴y =20，AB =AE +BE =30+20=50．故答案为：50．题十三： 能平分∠BAC ．详解：中骨AD 能平分∠BAC ．理由如下：∵BF ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠AFB =∠AEC =90°，又∵AB =AC ，∠BAF =∠CAE ，∴△BAF ≌△CAE ，∴AF =AE ．在Rt △AED 和Rt △AFD 中，AD =AD ，AE =AF ，∴Rt △AED ≌Rt △AFD ，∴∠EAD =∠F AD ，答：中骨AD 能平分∠BAC ．题十四： D ．详解：①在AE 取点F ，使EF =BE ．∵AB =AD +2BE =AF +EF +BE ，EF =BE ，∴AB =AD +2BE =AF +2BE ，∴AD =AF ， ∴AB +AD =AF +EF +BE +AD =2AF +2EF =2（AF +EF ）=2AE ，∴1()2A E AB A D=+，故①正确；②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF．在△ACD与△ACF中，∵AD=AF，∠DAC=∠FAC，AC=AC，∴△ACD≌△ACF，∴∠ADC=∠AFC．∵CE垂直平分BF，∴CF=CB，∴∠CFB=∠B．又∵∠AFC+∠CFB=180°，∴∠ADC+∠B=180°，∴∠DAB+∠DCB=360-（∠ADC+∠B）=180°，故②正确；③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD=CF，又∵CF=CB，∴CD=CB，故③正确；④易证△CEF≌△CEB，∴S△ACE-S△BCE=S△ACE-S△FCE=S△ACF，又∵△ACD≌△ACF，∴S△ACF=S△ADC，∴S△ACE-S△BCE=S△ADC，故④正确．故选D．。

垂直平分线与角平分线主讲教师：傲德我们一起回顾1、垂直平分线2、角平分线重难点易错点解析垂直平分线[:题一：AC=AD，BC=BD，则有（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB角平分线题二：如图，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP金题精讲题一：如图，AB=AC，AC的垂直平分线MN交AB于D，交AC于E．（1）若∠A=40°，求∠BCD的度数；（2）若AE=5，△BCD的周长17，求△ABC的周长．题二：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E点，求PE的长．题三：如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F，AC于EF交于点O．（1）求证：∠3=∠B；（2）连接OD，求证：∠B+∠ODB=180°．题四：如图，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB．思维拓展题一：小傲做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）小德同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥B D，垂足为点E，并且BE=ED，你同意小德的判断吗？为什么？[:（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．学习提醒重点：垂直平分线性质——垂直平分线上一点到线段两端距离相等判定——到线段两端距离相等的点在其垂直平分线上角平分线性质——角平分线上一点到角两边距离相等判定——到角两边距离相等的点在角平分线上垂直平分线与角平分线讲义参考答案重难点易错点解析[:题一：A[:点拨：垂直平分线性质——垂直平分线上一点到线段两端距离相等判定——到线段两端距离相等的点在其垂直平分线上题二：D点拨：角平分线性质——角平分线上一点到角两边距离相等判定——到角两边距离相等的点在角平分线上金题精讲题一：（1）30°（2）27 题二：1题三：证明略题四：证明略思维拓展[:ab题一：(1) 同意；(2)2。

第二讲、垂直平分线与角平分线知识回顾1、线段的垂直平分线垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点的距离相等。

垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等，这个点叫做三角形的外心。

2、角平分线角平分线定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。

角平分线逆定理：在角内部，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。

三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三边距离相等，这个点叫做三角形的内心。

典型例题1．如图，点D，E分别在△A B C的边A C、B C上，∠A B D：∠A：∠C＝2：6：5，若D E垂直平分B C，则∠B D E＝（）A．30°B．35°C．40°D．50°2．在平面内，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（）A．三条角平分线的交点B．三条高线的交点C．三条中线的交点D．三条边垂直平分线的交点3．已知△A B C边A B、A C的垂直平分线D M、E N相交于O，M、N在B C边上，若∠M A N＝20°，则∠B A C 的度数为（）A．100°B．120°C．140°D．160°4．如图，在△A B C中，边A C的垂直平分线交A C于点M，交B C于点N，若A B＝3，B C＝13．那么△A B N的周长是（）A．10B．13C．16D．无法确定5．如图，在△A B C中，∠C＝30°，点D是A C的中点，D E⊥A C交B C于E；点O在D E上，O A＝O B，O D＝1，O E＝2，则B E的长为（）A．3B．4C．5D．66．已知如图，O P平分∠M O N，P A⊥O N于点A，点Q是射线O M上的一个动点，若∠M O N＝60°，O P ＝4，则P Q的最小值是（）A．2B．3C．4D．不能确定7．如图，△A B C的∠B的外角的平分线B D与∠C的外角的平分线C E相交于点P，若点P到直线A C的距离为4，则点P到直线A B的距离为（）A．4B．3C．2D．18．如图，在△A B C中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交A C，A B于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于M N长为半径画弧，两弧交于点O，作射线A O，交B C于点E．已知C E＝3，B E＝5，则A C的长为（）A．8B．7C．6D．59．已知：如图，△A B C中，∠C＝90°，点O为△A B C的三条角平分线的交点，O D⊥B C，O E⊥A C，O F ⊥A B，点D，E，F分别是垂足，且A B＝5，B C＝4，C A＝3，则点O到三边A B，A C和B C的距离分别等于（）A．1，1，1B．2，2，2C．3，3，3D．1，2，310．如图，在R t△A B C中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交A C，A B于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于M N的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线A P交边B C于点D，若C D＝5，A B＝12，则△A B D的面积是（）A．15B．30C．45D．6011．如图，A D是△A B C的角平分线，D E⊥A C，D F⊥A B，E，F分别是垂足，若B D＝2C D，A B＝6，则A C的长为（）A．3B．6C．9D．1212．如图，△A B C中，A D⊥B C交B C于D，A E平分∠B A C交B C于E，F为B C的延长线上一点，F G⊥A E交A D的延长线于G，A C的延长线交F G于H，连接B G，下列结论：①∠D A E＝∠F；②∠A G H＝∠B A E+∠A C B；③S△A E B：S△A E C＝A B：A C，其中正确的结论有（）个．A．0B．1C．2D．3二．解答题（共5小题）13．如图，△A B C中，∠A B C＝30°，∠A C B＝50°，D E、F G分别为A B、A C的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）求∠D A F的度数；（2）若△D A F的周长为10，求B C的长．14．如图，A B垂直平分线段C D（A B＞C D），点E是线段C D延长线上的一点，且B E＝A B，连接A C，过点D作D G⊥A C于点G，交A E的延长线与点F．（1）若∠C A B＝α，则∠A F G＝（用α的代数式表示）；（2）线段A C与线段D F相等吗？为什么？（3）若C D＝6，求E F的长．15．如图，D E⊥A B于E，D F⊥A C于F，若B D＝C D，B E＝C F求证：A D平分∠B A C．16．如图，D是∠E A F平分线上的一点，若∠A C D+∠A B D＝180°，请说明C D＝D B的理由．17．如图，A D∥B C，∠D＝90°．如图，若∠D A B的平分线与∠C B A的平分线交于点P，试问：点P是线段C D的中点吗？为什么？课后作业1．如图，在△A B C中，A B边的中垂线D E，分别与A B边和A C边交于点D和点E，B C边的中垂线F G，分别与B C边和A C边交于点F和点G，又△B E G周长为16，且G E＝1，则A C的长为（）A．13B．14C．15D．162．如图，△A B C中，∠C＝90°，E D垂直平分A B，若A C＝12，E C＝5，且△A C E的周长为30，则B E的长为（）A．5B．10C．12D．133．如图，在△A B C中，A B，A C的垂直平分线D F，E G交于点M，点F，G在B C上．若∠G A F＝46°，则∠M的度数为（）A．67°B．65°C．55°D．45°4．如图，A D是△A B C的角平分线，D E⊥A B，垂足为E，A B＝20，C D＝6，若∠C＝90°，则△A B D面积是（）A．120B．80C．60D．40（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）5．如图，B M是∠A B C的平分线，点D是B M上一点，点P为直线B C上的一个动点．若△A B D的面积为9，A B＝6，则线段D P的长不可能是（）A．2B．3C．4D．5.56．如图，在△A B C中，∠B＝90°，点O是∠C A B、∠A C B平分线的交点，且B C＝4c m，A C＝5c m，则点O到边A B的距离为（）A．1c m B．2c m C．3c m D．4c m7．平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点共有（）个．A．3B．4C．5D．68．如图，R t△A C B中，∠A C B＝90°，∠A B C的平分线B E和∠B A C的外角平分线A D相交于点P，分别交A C和B C的延长线于E，D．过P作P F⊥A D交A C的延长线于点H，交B C的延长线于点F，连接A F交D H于点G．则下列结论：①∠A P B＝45°；②P F＝P A；③B D﹣A H＝A B；④D G＝A P+G H．其中正确的是（）A．1B．2C．3D．4二．解答题（共2小题）9．如图，在△A B C中，∠B A C＝90°，B E平分∠A B C，A M⊥B C于点M交B E于点G，A D平分∠M A C，交B C于点D，交B E于点F．求证：线段B F垂直平分线段A D．10．△A B C中，∠C＝90°，∠B A C的平分线交B C于D，且C D＝15，A C＝30，求A B的长．。

三角形的角平分线和垂直平分线三角形是几何学中最常见的形状之一，它由三条边和三个角组成。

在研究三角形的性质时，我们经常会遇到角平分线和垂直平分线这两个重要的概念。

本文将详细介绍三角形的角平分线和垂直平分线的定义、性质以及它们在解题中的应用。

一、角平分线1. 定义：三角形的角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分为两个相等的角的线段。

具体而言，设三角形ABC中的∠BAC的角平分线为AD，那么AD将∠BAC分为两个相等的角∠BAD和∠DAC。

2. 性质：（1）角平分线与对边的关系：角平分线将对边分成两个部分，这两个部分的长度之比等于与它们相对的两个角的正弦值之比。

即AB/AC = BD/DC = sin∠BAD/sin∠DAC。

（2）角平分线的交点：三角形的三条角平分线交于一点，称为内心。

内心是三角形内切圆的圆心，三条角平分线相交于该点的原因是，该点到三条边的距离相等，满足等距离定理。

（3）内心到三边的距离：内心到三边的距离相等，且等于内切圆的半径。

设内心到三边的距离分别为r₁、r₂和r₃，那么r₁=r₂=r₃=r。

二、垂直平分线1. 定义：三角形中的垂直平分线是指从一个角的顶点出发，与对边垂直相交，并将对边分成两个相等部分的直线。

以三角形ABC中∠BAC的垂直平分线为例，假设该垂直平分线与BC相交于点D，那么BD=DC。

2. 性质：（1）垂直平分线与对边的关系：垂直平分线平分对边，并且被平分的两部分的长度相等。

即BD=DC。

（2）垂直平分线与角平分线的关系：垂直平分线与角平分线互相垂直。

也就是说，三角形的垂直平分线同时也是它的内角平分线。

三、角平分线和垂直平分线的应用角平分线和垂直平分线在解决三角形相关问题时起着重要的作用，它们能够提供关键的几何信息，帮助我们求解未知量、证明定理。

1. 解题应用：（1）角平分线的应用：在求解三角形相关问题时，可以利用角平分线的性质来求解未知量，比如利用角平分线将角分为两个相等的角，从而应用三角函数关系进行计算。

线段的垂直平分线和角平分线讲义如何作角的平分线？1.动手用尺规画出一个角的平分线；2.说明为什么是角平分线的理由。

用尺规作角的平分线.已知:∠AOB,如图.求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=2.分别以点D和E为圆心,以大于长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.3.作射线OC.则射线OC就是∠AOB的平分线.请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流.【知识梳理】1、线段的垂直平分线我们把垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，又叫中垂线．例如：如图所示，点O是线段AB的中点，且AB⊥CD，垂足为点O，则CD是线段AB的垂直平分线.2、线段的垂直平分线的定理线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等．如图，若MN为线段AB的垂直平分线，P点在MN上，则PA=PB．3、线段的垂直平分线定理的逆定理与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．如上图，若PA=PB，则P在AB的垂直平分线上．4、线段的垂直平分线说明了垂直平分线与线段的两种关系：①是位置关系——垂直；②是数量关系——平分．5、三角形三边的垂直平分线交于一点．从图中可以看出，要证明三条垂直平分线交于一点，只需证明其中的两条垂直平分线的交点一定在第三条垂直平分线上就可以了6、角的平分线的作法（1）在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OD、OE，使OD=OE.（2）分别以D、E为圆心，以大于DE长为半径画弧，两弧交于∠AOB内一点C.（3）作射线OC，则OC为∠AOB的平分线（如图）指出：（1）作角的平分线的依据是三角形全等的条件——“SSS”.（2）角的平分线是一条射线，不能简单地叙述为连接.7、角平分线的性质在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.指出：（1）这里的距离是指点到角两边垂线段的长.（2）该结论的证明是通过三角形全等得到的，它可以独立作为证明两条线段相等的依据.（3）使用该结论的前提条件是有角的平分线，关键是图中有“垂直”.8、角平分线的判定到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.指出：（1）此结论是角平分线的判定，它与角平分线的性质是互逆的.（2）此结论的条件是指在角的内部有点满足到角的两边的距离相等，那么过角的顶点和该点的射线必平分这个角.9、三角形的角平分线的性质三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等.指出：（1）该结论的证明揭示了证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点在第三线上.（2）该结论多应用于几何作图，特别是涉及到实际问题的作图题.【典型例题】知识点一：线段的垂直平分线考点一：利用线段垂直平分线求角的度数例1、在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，求底角B的大小.分析：AB的中垂线与AC所在直线的交点可能在AC上，也可能在CA的延长线上，故应分类讨论.解：若∠A为锐角，如图∵∠AED＝50°，∴∠A＝40°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝70°．若∠A为钝角，如图：∵∠AED＝50°，∴∠EAD＝40°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝20°．例2、如图，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E两点，AE平分∠BAC，若∠B=30°，求∠C的度数．解：此题考查“线段垂直平分线的性质”．因为DE垂直平分AB，所以BE=AE．所以∠1=∠B=30°．又因为∠1=∠2，所以∠1=∠2=30°．所以∠C=180°－∠BAC－∠B=90°．考点二：利用线段垂直平分线求长度例3、如图，AB=AC，DE垂直平分AB交AB于D，交AC于E．若△ABC的周长为28，BC=8，求△BCE的周长．解：∵等腰△ABC的周长为28，BC=8，∴2AC＋BC=28．∴AC=10．∵DE垂直平分AB，∴BE=AE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)．∴△BCE周长=BE＋EC＋BC=AE＋EC＋BC=AC＋BC=10＋8=18．点拨：这里是将△BCE的周长转化为等腰△ABC的腰和底，再由已知条件求得．例4、如图所示，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，且△BAD的周长为16cm，AE=7cm，求△ABC的周长．因为DE是AC的垂直平分线，所以EA=EC，DA=DC．又因为AE=7cm，所以AC＝2AE＝2×7=14(cm)．因为△BAD的周长为16cm，即AB＋BD＋AD＝AB＋BC＝16cm，所以△ABC的周长为AB＋BC＋AC=16＋14=30(cm)．例5、直角ΔABC中,∠ACB=90°,∠A=15°，将顶点A翻折使它与顶点B重合，折痕为MH，已知AH=2，求BC的长．分析：折叠问题可以看成轴对称问题．由外角定理得到直角三角形中有30°角，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可得．解：由于轴对称，得∠MA′H=∠A=15°，所以∠BHC=30°，BH=AH，又△BHC为直角三角形，因为直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，所以 BC=BH=×2=1．变式训练1.如图，AB=AC，AC的垂直平分线MN交AB于D，交AC于E．（1）若∠A=40°，求∠BCD的度数；（2）若AE=5，△BCD的周长17，求△ABC的周长．2.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E 点，求PE的长．答案：1.（1）30°（2）27 2.1考点三：线段垂直平分线与证明题例6、如图，点D、E在△ABC的边BC上，BD=CE，AB=AC，求证：AD=AE．证明：过点A作AF⊥BC于F．∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF．∵BD=CE，∴BF-BD=CF-CE．∴DF=EF．∴AF是DE的垂直平分线．AD=AE．例7、如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F.求证BF=2CF.分析：由线段的垂直平分线性质知联结AF，证线段二倍关系，通常考虑是否有直角三角形，且直角三角形中是否有30°角.证明：如图所示，联结AF，∵AB=AC，∠BAC=120°（已知），∴∠B=∠C==30°（等腰三角形性质）.又∵EF是AC的垂直平分线（已知），∴FA=FC（线段垂直平分线性质）.∴∠C=∠FAC=30°（等边对等角），∴∠BAF=∠BAC－∠FAC=120°－30°=90°（等式性质）.在Rt△BAF中，∠BAF=90°，∠B=30°(已证)，∴AF=BF（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.∴CF=BF（等量代换）.∴BF=2CF（等式性质）.例8、如图，△ABC中，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交AB于Q点，交BC于P点，PE ⊥AC于E点，AD⊥BC于D点，AD交PE于F点．求证：DF=DC．连接PA，则PA=PB，可求∠APD=45°，从而可得出AD=PD，再证△PDF ≌△ADC（ASA），即可得证.考点四：线段垂直平分线的实际应用例9、如图所示，牧童在A处放牛，他的家在B处，晚上回家时要到河边让牛饮一次水，则饮水的地点选在何处，牧童所走的路最短？分析：本题A，B两点在河的同侧，直接确定牛饮水的位置并不容易，但若A，B在河的两侧就容易了．将A点转化到河流的另一侧，设为A′，直线是AA′的垂直平分线，不论饮水处在什么位置，A点与它的对称点到饮水处的距离都相等．当A′B最小时，饮水处到A，B的距离和最小．解：如图所示，点C即为所求．例10、在沪宁高速公路L的同侧，有两个化工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？院址应同时满足两个条件：（1）在公路L上；（2）到A、B两厂的距离相等。

5.角平分线、垂直平分线知识考点：了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。

精典例题：【例题】如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝300，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：CF ＝2BF 。

分析一：要证明CF ＝2BF ，由于BF 与CF 没有直接联系，联想题设中EF 是中垂线，根据其性质可连结AF ，则BF ＝AF 。

问题转化为证CF ＝2AF ，又∠B ＝∠C ＝300，这就等价于要证∠CAF ＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF ＝2AF ＝2BF 。

分析二：要证明CF ＝2BF ，联想∠B ＝300，EF 是AB 的中垂线，可过点A 作AG ∥EF 交FC 于G 后，得到含300角的Rt △ABG ，且EF 是Rt △ABG 的中位线，因此BG ＝2BF ＝2AG ，再设法证明AG ＝GC ，即有BF ＝FG ＝GC 。

例题图1F EC B A例题图2 G F ECB A分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD ⊥BC 于D ，则BD ＝CD ，考虑到∠B ＝300，不妨设EF ＝1，再用勾股定理计算便可得证。

以上三种分析的证明略。

例题图3D F ECB A问题图321ED CB A探索与创新：【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题： 三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

如图，△ABC 中，AD 是角平分线。

求证：ACABDC BD =。

分析：要证ACABDC BD =，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似，现在B 、D 、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。

我们注意到在比例式ACABDC BD =中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例项AE ，这样，证明ACABDC BD =就可以转化为证AE ＝AC 。

3 垂直平分线与角平分线（讲义）知识点睛垂直平分线相关定理：① 线段垂直平分线上的点到这条线段 ____________________ ; ② 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平 分线上.角平分线相关定理：① 角平分线上的点到这个角的 _____________________ ; ② 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平 分线上•精讲精练如图，在△ABC 中，AB=AC, DE 垂直平分AB,交AC 于点 E,垂足为点D.若BE+CE=n. BC=8,则△ABC 的周氏为第2题图 ZC=90% ZA=30。

，DE 是线段 AB 的垂直平分线，交AB 于点、D,交AC 于点£.若DE" 则线段AC 的长为 _________ ・ 如图，在HABC 中，DE, GF 分别是AG BC 的垂直平分线,AD=8, BG=IO ・若AD 丄CD,则DG 的长为____________ •2. 第I 题图 如图，在RtAABC3如图，AD U BC 相交于点 0, OA=OC. ZA=ZC,BE=DE ・求证；OE 垂直平分BD ・如图，BD 平分ZABC. DE 丄4B 于点E, AB=8, BC=6・S AABC - 14,则 DE= ___________ .第6题图 如图，PC 丄04于点C, PD 丄OB 于点、D,且PC 二PD, 在射线OA 上，若ZAOB=60。

，ZOP 民80。

，则ZAEP 的度数 为 •如图，在△ABC 中，ZABC 的平分线与ZACB 的平分线相交 于点O, OD 丄AB, OE 丄AC.垂足分别为点D, E.求证：OD=OE ・点£C第5题图8 已知―如图，AABC的外角ZCBD和ZBCE的平分线相交于点F,求证：点F在ZDAE的平分线上-9 如图，直线y=x+4 -tj X轴、y轴分别交于点A, B,点C在x 轴正半轴上，且OC=OB,点D位于牙轴上点C的右侧，连接BC,ZBAO和ZBCD的平分线AP, CP相交于点P,连接肿, 则ZPBC的度数为__________________ -如图，在RtAABC 中，ZC=90%在AC 和上分别截取AE. AD.使AE=AD.再分别以点D, E 为圆心，大记 DE2的长为半径作弧，两弧在ZBAC 内交于点F,作射线AF 交边 BC 于点 G 若 CG=4. AB=IQ.如图，在△A3C 中，ZB=35。

垂直平分线与角平分线精讲教案第一章：垂直平分线的概念与性质1.1 垂直平分线的定义解释线段垂直平分线的概念强调线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质1.2 垂直平分线的性质展示线段垂直平分线的基本性质引导学生通过几何证明来理解垂直平分线的性质1.3 垂直平分线的作图教授如何作出线段的垂直平分线的方法让学生通过实际操作来加深对垂直平分线作图方法的理解第二章：角平分线的概念与性质2.1 角平分线的定义解释角平分线的概念强调角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质2.2 角平分线的性质展示角平分线的基本性质引导学生通过几何证明来理解角平分线的性质2.3 角平分线的作图教授如何作出角的平分线的方法让学生通过实际操作来加深对角平分线作图方法的理解第三章：垂直平分线与角平分线的交点3.1 垂直平分线与角平分线的交点性质解释垂直平分线与角平分线的交点（即内心）的性质强调内心到角的两边的距离相等的性质3.2 垂直平分线与角平分线的交点的应用展示如何利用内心解决几何问题引导学生通过实际问题来应用内心性质解决问题第四章：垂直平分线与角平分线在几何中的应用4.1 利用垂直平分线与角平分线证明线段相等教授如何利用垂直平分线与角平分线证明线段相等让学生通过实际操作来加深对证明方法的理解4.2 利用垂直平分线与角平分线证明角度相等教授如何利用垂直平分线与角平分线证明角度相等让学生通过实际操作来加深对证明方法的理解4.3 利用垂直平分线与角平分线解决实际问题展示如何利用垂直平分线与角平分线解决实际问题引导学生通过实际问题来应用垂直平分线与角平分线性质解决问题第五章：线段垂直平分线的几何作图与应用5.1 线段垂直平分线的作图方法复习线段垂直平分线的作图技巧通过实际操作演示和练习，让学生熟练掌握作图方法5.2 线段垂直平分线在几何作图中的应用介绍线段垂直平分线在解决几何作图问题中的应用通过具体例子展示如何利用线段垂直平分线构造特殊图形或证明几何性质第六章：角平分线的几何作图与应用6.1 角平分线的作图方法教授角平分线的作图方法通过练习让学生掌握角平分线的作图技巧6.2 角平分线在几何作图中的应用探讨角平分线在几何作图中的作用举例说明如何利用角平分线构造特殊图形或证明几何性质第七章：垂直平分线与角平分线在实际问题中的应用7.1 线性规划问题中的应用介绍如何利用垂直平分线与角平分线解决线性规划问题通过实际案例分析，让学生理解几何方法在解决实际问题中的应用7.2 几何证明问题中的应用展示垂直平分线与角平分线在几何证明中的重要性引导学生运用这些线段的性质解决复杂的几何证明问题第八章：垂直平分线与角平分线的综合练习8.1 综合练习题设计设计一系列综合练习题，涵盖垂直平分线与角平分线的知识点确保练习题难度层次分明，适合不同水平的学生8.2 学生练习与反馈监督学生完成练习题，提供必要的帮助和指导收集学生练习结果，分析错误原因，给予针对性的反馈第九章：垂直平分线与角平分线的拓展学习9.1 拓展阅读材料提供关于垂直平分线与角平分线的拓展阅读材料鼓励学生阅读这些材料，以加深对相关概念和应用的理解9.2 研究性学习项目设计一个研究性学习项目，让学生深入研究垂直平分线与角平分线的某个方面指导学生进行研究，帮助他们在探究中学习和思考第十章：总结与评价10.1 知识点回顾与学生一起回顾本教案中的关键概念和定理强调垂直平分线与角平分线在几何学中的重要性10.2 学生评价对学生在整个教案学习过程中的表现进行评价收集学生对教案的反馈，以改进未来的教学设计和内容安排重点和难点解析：一、垂直平分线的作图方法：学生往往对如何准确作出线段的垂直平分线感到困惑，需要通过多次练习和讲解来掌握。

海伊教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：高老师课题垂直平分线与角平分线授课时间：2013 年10月25日备课时间：2013 年10月23日教学目标1．经历线段垂直平分线性质的发现过程，初步掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，体会辨证思想；2．能运用线段垂直平分线性质定理及其逆定理解决简单的几何问题；3．通过从操作实验到演绎推理的数学活动，认识实验归纳和演绎推理的作用4、掌握角平分线的性质定理和判定定理，并能灵活应用它们进行计算和证明。

5、能够证明角平分线的性质定理和判定定理。

6、能够利用尺规作图作已知角的角平分线。

重点、难点重点：1.线段垂直平分线性质定理及其逆定理；2.2角平分线性质定理和判定定理的应用1世纪教育网难点：1.线段垂直平分线性质定理及其逆定理的应用2. 角平分线性质定理和判定定理的证明及应用。

授课方法联想质疑——交流研讨——归纳总结——实践提高教学过程一、情景设置（知识导入）二、探索研究【知识点总结与归纳】（一）探究新知1.线段的垂直平分线的性质定理操作：以直线MN为折痕将这个图形翻折，观察点P的位置动不动？点A与点B是否重合？你得到哪些线段相等？21世纪教育网归纳：如果一个点在一条直线的垂直平分线上，那么分别联结这点与线段两个端点所得的两BACDDABCPED ABC ACDB条线段相等.验证：证明这个命题，写出已知和求证.已知：如图，直线MN 是线段AB 的垂直平分线，垂足为点C ，点P 在直线MN 上. 求证： P A ＝PB . [来源:21世纪教育网]分析：如图，当点P 不在线段AB 上时，要证明P A ＝PB ，只需要证△PCA ≌△PCB .由直线MN 是线段AB 的垂直平分线，可知CA =CB ，∠PCA =∠PCB ，再加上PC 为公共边，三角形全等即可得到.21世纪特别地，当点P 在线段AB 上时，P 点与C 点重合，此时PA=PB 当然也成立。

第02讲_线段的垂直平分线与角平分线知识图谱线段的垂直平分线知识精讲垂直平分线（中垂线）定义1：经过某条线段的中点，且垂直于这条线段的直线定义2：中垂线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，中垂线是线段的一条对称轴性质（1）垂直平分线垂直且平分其所在线段（2）垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等l为中垂线AC=BC，AD=BD判定在同一平面内，到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上A BlOA BlOCD尺规作图作法：如图（1）分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于C 、D 两点；（2）作直线CD ，CD 为所求直线三点剖析重难点：垂直平分线的性质和判定，垂直平分线的画法 考点：垂直平分线的性质和判定，垂直平分线的画法 易错点：①垂直平分线的画法和角平分线的画法进行区分②垂直平分线垂直平分的一定是线段，不能是射线或直线，这根据射线和直线可以无限延长有关，再看后面的，垂直平分线是一条直线。

垂直平分线的概念和性质例题1、 如图，△ABC 中，AC=8，BC=5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交边AC 于点E ，则△BCE 的周长为 ．【答案】 13【解析】 △DE 是AB 的垂直平分线， △EA=EB ，则△BCE 的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13例题2、 如图，在△ABC 中，BC 边上的垂直平分线DE 交边BC 于点D ，交边AB 于点E ．若△EDC 的周长为24，△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，则线段DE 的长为___．【答案】 6【解析】 ∵DE 是BC 边上的垂直平分线， ∴BE=CE ．∵△EDC 的周长为24， ∴ED+DC+EC=24，①∵△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12，∴（AB+AC+BC ）﹣（AE+ED+DC+AC ）=（AB+AC+BC ）﹣（AE+DC+AC ）﹣DE=12， ∴BE+BD ﹣DE=12，② ∵BE=CE ，BD=DC ， ∴①﹣②得，DE=6例题3、 已知△ABC ，∠BAC=110°，DE ，FG 分别是AB ，AC 的垂直平分线且DE 交BC 于M 点，FG 交BC 于N 点，求∠MAN 的度数。