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工程力学-第13讲轴向拉压杆的变形和胡克定律.

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拉压杆的变形计算胡克定律

拉压杆的变形计算胡克定律

200 103 500
500
300
102 64 3.2102 mm 0.032mm 200 103
小结
一、变形与线应变
绝对变形 l=l1- l
线应变 =
Δl l
横向应变
， Δb b
横向变形系数（泊松比）
`

或
´= -
二、胡克定律
胡克定律的两种表达式 Δl FNl EA
`


横 向
Δb b1 b



Δb b
´= -
知识准备：拉（压）杆的变形计算
二、胡克定律
实验表明，在材料的弹性范围内，杆件的变形与内力FN、杆长l 成正比关系，与横截面积成反比关系，比例常数E 称为材料的弹性模
量。即
Δl FNl EA



E
或

E
其中EA 称为抗拉（压）刚度。
=E
抗拉（压）刚度EA，在弹性范围内，应力与应变成正比。
三、拉（压）杆的变形计算
任务布置
1.图示螺栓接头，螺栓内径d1=10.1mm ,拧紧后测得长度l=80mm 内的伸长量△l=0.4mm，E=200GPa,试求螺栓拧紧后横截面的正应
力及螺栓对钢板的预紧力。
情境三 轴向拉（压）强度计算
◆ 轴力 ◆ 应力 ◆ 强度计算（强度校核） ◆ 强度计算（设计截面，确定许可载荷） ◆ 变形计算 ◆ 材料力学性能
知识准备：拉（压）杆的变形计算
F
l l1
F b1 b
一、变形与线应变
绝对变形
相对变形 横向变形系数 （线应变） （泊松比）
轴
向
Δl l1 l

工程力学-第13讲轴向拉压杆的变形和胡克定律.

工程力学-第13讲轴向拉压杆的变形和胡克定律.
设杆件变形前的横向尺寸为a变形后为a试验表明杆的横向应变与纵向应变之间存在着一定的关系在弹性范围内横向应变与纵向应变的比值的绝对值是一个常数用表示称为泊松比或横向变形系数其值可通过试验确定
LOGO
现在打盹,你将做梦; 现在学习,你将圆梦!!!!_
拓展：
对于作用在物体边界上一小块表面上的外力系可以用静力等效（主矢量、 主矩相同）并且作用于同一小块表面上的外力系替换，这种替换造成的 区别仅在离该小块表面的近处是显著的，而在较远处的影响可以忽略。
l
二、胡克定律
应力不超过某一限度时：
l Nl EA
E•
E为弹性模量，表示材料的弹性性能，单位为MPa。
三、横向变形
拉（压）杆产生纵向变形时，横向也产生变形。 设杆件变形前的横向尺寸为a，变形后为a1，则横 向变形为
a a1 a
a
a
试验表明，杆的横向应变与纵向应变之间存在着 一定的关系，在弹性范围内，横向应变与纵向应变的
比值的绝对值是一个常数，用 表示

称为泊松比或横向变形系数，其值可通过试
验确定。由于 和 的符号恒为异号，故有

例1 求图示构件B点的位移（EA=常数）。
解：(1)求各段杆轴力。 FNAC=2F，FNBC=F (2)求各段杆变形。
l AC

2Fa EA
l l 假设杆件变形前长度为
件的纵向变形为
，变形后长为 1 ，则杆
F
Fll1l Nhomakorabea l1 l
纵向变形的大小与杆的原长有关，为了度量杆的 变形程度，需用单位长度的变形量。单位长度的变形
称纵向线应变，简称线应变，以 表示。对于轴力为

变形及胡克定律

变形及胡克定律

图式平板，两端受均布载荷q作用，若变形前在板面划上两条平行
线段AB和CD，则变形后（ A ）。
A.AB∥CD，α角减小；B. AB∥CD，α角不变； C.AB∥CD，α角增大；D.AB不平行于CD。
AC
q
q
BD
图示单向均匀拉伸的板条。若受力前在其表面画上两个正方形
a和b，则受力后正方形a、b分别变为（ C ）。
件的轴向变形△L，B点的位移δB和C 点的位移δC
A L
F
F
B
LAB
FL EA
B
C
L
C
B
FL EA
图示结构，横梁AB是刚性杆，吊杆CD是等截面直杆， B点受荷载F作用,试在下面两种情况下分别计算B点的位 移δB。1、已经测出CD杆的轴向应变ε；2、已知CD杆 的抗拉刚度EA.
1. 已知ε
LCD
伸变形后，圆a、b分别为（ A ）。
A.圆形和圆形；B.圆形和椭圆形； C.椭圆形和圆形；D. 椭圆形和椭圆形。
a
b
a
LCD a
D
FNCD
Fa
A
C 刚杆
B
L C1
L
2
2
B1
B 2LCD 2a
2. 已知EA
LCD
FNCD a EA
mA 0
FNCD 2F
B
2L2LCFDNCD
4FFa L EA
0
3
图示刚性杆上连接有三根杆子,其长度分别为 L,2L和3L,位置如图示.若已知力F及杆1的应变值 ε1,求:2,3两杆的应变值.
A.正方形、正方形；B.正方形、菱形；
C.矩形、菱形；D.矩形、正方形。
q
a

变形及胡克定律

变形及胡克定律
件的轴向变形△L，B点的位移δB和C 点的位移δC
A L
F
F
B
LAB
FL EA
B
C
L
C
B
FL EA
图示结构，横梁AB是刚性杆，吊杆CD是等截面直杆， B点受荷载F作用,试在下面两种情况下分别计算B点的位 移δB。1、已经测出CD杆的轴向应变ε；2、已知CD杆 的抗拉刚度EA.
1. 已知ε
LCD
§4 拉（压）杆的变形.胡克定律`
杆件在轴向拉压时：
沿轴线方向产生伸长或缩短——纵向变形 横向尺寸也相应地发生改变——横向变形
1、纵向变形
L
L
L L L 绝对变形
L 相对变形 L
表示轴向变形的程度
线应变: 描述弹性体在各点处线变
形程度的量
当杆沿长度均匀变形时
L
L
纵向线应变 (无量纲)
L
图式平板，两端受均布载荷q作用，若变形前在板面划上两条平行
线段AB和CD，则变形后（ A ）。
A.AB∥CD，α角减小；B. AB∥CD，α角不变； C.AB∥CD，α角增大；D.AB不平行于CD。
AC
q
q
BD
图示单向均匀拉伸的板条。若受力前在其表面画上两个正方形
a和b，则受力后正方形a、b分别变为（ C ）。
伸变形后，圆a、b分别为（ A ）。
A.圆形和圆形；B.圆形和椭圆形； C.椭圆形和圆形；D. 椭圆形和椭圆形。
a
b
A AL
在材料的线弹性范围内，正应力与线应变呈正比关系。
当杆沿长度非均匀变形时
FN x
F
x
dx
L
x
dx dx
FN xdx EAx

(压)杆的变形· 胡克定律 - 材料力学

(压)杆的变形· 胡克定律 - 材料力学

内力。
第二章 轴向拉伸和压缩
Ⅱ. 截面法· 轴力及轴力图
步骤： （1）断开 （2）代替 （3）平衡
解得：轴力FN=F ，方向：拉为正，压为负。
第二章 轴向拉伸和压缩
思考题 静力学中力的可传递性原理，在用截面法求内力的 过程中是否可用？
轴力图：平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置。 垂直于杆轴线的坐标表示横截面轴力的数值。
3
第二章 轴向拉伸和压缩
例题2-5 如图所示杆系，荷载 P = 100 kN，试求结点A 的位移ΔA。已知： = 30° ，l = 2 m，d = 25 mm，杆的材
料(钢)的弹性模量为E = 210 GPa。
第二章 轴向拉伸和压缩
解：结点A的位移ΔA系由两杆的伸长变形引起，故需先
求两杆的伸长。 1. 求杆的轴力及伸长 由结点 A 的平衡(如图)有
说，拉杆在其任意两个横截面之间的纵向线段的伸长是均
匀的。
第二章 轴向拉伸和压缩
FN s A
推论：横截面上各点处的正应力s 都相等
第二章 轴向拉伸和压缩
注意： 由于杆端连接方式的不同，等直杆在外力作用点附近， 横截面上的应力情况复杂。圣维南原理：“力作用于杆端方
式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内
受到影响”。
第二章 轴向拉伸和压缩
例题2-2 试求此正
方形砖柱由于荷载引起
的横截面上的最大工作 应力。已知F = 50 kN。
第二章 轴向拉伸和压缩
解：Ⅰ段柱横截面上的正应力
FN1 50 103 N s1 A1 (0.24 m) (0.24 m) 0.87 106 P a 0.87 MP a (压应力)
化阶段中，Δl=Δle+Δlp。

杆系结构的刚度与稳定性计算—轴向拉压杆的变形

杆系结构的刚度与稳定性计算—轴向拉压杆的变形
所示。已知材料的弹性模量 E 0.03 105 MPa，外力 F 50kN 。试求砖柱顶部
的位移。
解：（1）求各杆段的轴力，作其轴力图。
AB段
BC段
FN 1 F 50 (kN)
FN 2 F 2 F 150 kN
作轴力图如右图所示。
（2）求柱的轴向变形。由 l 计算式得：
0.03 10 370
计算结果为负，说明柱沿轴线方向缩短。
（3）求柱顶的位移
因为柱的下端C固定不动，柱沿轴线的缩短量等于柱顶向下的位移
量，所以，柱顶A向下位移了2.3mm。
轴向拉压杆的变形
目
录
1
绝对变形量
2
工程案例
添加标题
1.绝对变形量
1. 绝对变形量计算式
材料在线性弹性范围内，轴向拉压杆横截面上的正应力 与轴向线应变
满足胡克定律：
将应力公式

E
和应变公式 =

=绝对变Βιβλιοθήκη 量 l 为：
代入胡克定律表达式中可得，杆件的
FN l
l
EA
适用于等截面常轴力拉压杆，在正应力不超过材料的比例极限时，拉压杆
的轴向变形 l 与轴力 FN 及杆长 成正比，与乘积EA成反比。EA称为杆件的
抗拉压刚度。
对于给定长度的等截面拉压杆，在一定轴向力作用下，拉压刚度愈大，杆
的轴向变形愈小。
轴向变形 l 与轴力 FN 具有相同的正负符号，即伸长为正，缩短为负。
FN l FN l FN l
l



EA 1 EA 2
i 1 EA i
2
50 10 3 3 10 3 150 10 3 4 10 3

胡克定律与拉压杆的变形


1.分段解法
FN1 = F2 − F1
FN2 = F2
(∆l )分段解法
=
FN1l1 EA
+
FN2l2 EA
=
(F2
− F1 )l1 EA
+
F2l2 EA
(∆l )分段解法
=
F2(l1 + EA
l2 )
−
F1l1 EA
2. 分解载荷法
(∆l
)分段解法
=
F2
( l1 + EA
l2
)
−
F1l1 EA
3. 比较
§9 连接部分的强度计算
连接实例 剪切与剪切强度条件 挤压与挤压强度条件 例题
单辉祖:工程力学(材料力学)
73
连接实例
单辉祖:工程力学(材料力学)
销钉
螺栓
耳片
74
单辉祖:工程力学(材料力学)
75
剪切与剪切强度条件
以耳片销钉为例介绍分析方法
单辉祖:工程力学(材料力学)
76
解：1. 破坏形式分析
单辉祖:工程力学(材料力学)
81
2. 许用载荷 [F]
n
τ
=
4F πd 2
≤ [τ
]
F ≤ πd 2[τ ] = 1.257 kN
4
o
σ bs
=
F
δd
≤ [σ bs ]
F ≤ δd[σ bs ] = 2.40 kN
p
σ max
=
F
(b − d )δ
≤ [σ ]
F ≤ (b − d )δ [σ ] = 3.52 kN
FN1 = FN1,F1 + FN1,F2 = −F1 + F2

13.轴向拉压的应力、变形计算


A
d
N AB sin 30 F
0
N AB cos 30 N BC
0
NAB
300
C
B
AB
N AB 28.3MPa AAB
a
NBC
F
BC
N BC 4.8MPa ABC
四、拉(压)杆斜截面上的应力
横截面----是指垂直杆轴线方向的截面； 斜截面----是指任意方位的截面。
F
B
F
120
-
C
240
4m
例2 1、计算轴力： ∑X=0
2、计算变形：
例3
P1=30kN，P2 =10kN , AC段的横截面面积 AAC=500mm2, CD段的横截面面积 ACD=200mm2，弹性模量E=200GPa。 试求： （1）各段杆横截面上的内力和应力； （2）杆件内最大正应力； （3）杆件的总变形。
p

讨论
1 cos sin 2 2 σα及τα 均是角α的函数，
2
（1）当α=0，即为横截面时， max
0
轴向拉压杆件的最大正应力发生在横截面上。 （2）当
45
a 2
max 2
轴向拉压杆件的最大切应力发生在与 杆轴线成450截面上。
解：(1)、计算支反力 ∑X=0 P2-P1-RA=0 RA=P2-P1=-20KN
(2)、计算各段杆件 横截面上的轴力
AB段： NAB=RA=－20kN BD段： NBD=F2=10kN
(3)、画出轴力图，如图（c）所示。 (4)、计算各段应力 AB段： AB
FNAB 20 103 40MPa AAC 500

拉压杆横截面上的应力应变及胡克定律


拉、压杆横截面上的应力、应变及胡克定理
一、杆件在一般情况下应力的概念
用同一材料制成而横截面积不同的两杆，在相同 拉力的作用下，随着拉力的增大，横截面小的杆件必 然先被拉断。这说明，杆的强度不仅与轴力的大小有 关，而且还与横截面的大小有关，即杆的强度取决于 内力在横截面上分布的密集程度。分布内力在某点处 的集度，即为该点处的应力。
A 力平观在面察横假到截设：面。横上向的线分在布变是形均前匀后的均，为且直都线垂，直且于都横垂截直面于。杆的轴线，
只是其正间应距力增大，(缩其小计)算，式纵为向间距减小(增大)，所有正方形的
网格均变成大小相同的长方形。
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一中段开槽的直杆，承受轴向载荷F＝20kN作用，
机械工业出版社
同的。当=0时，横截面上的正应力达到最大值
max =
当 =45时，切应力达到最大值
max
=
2
当 =90时， 和均为零，表明轴向拉（压）杆在平
行于杆轴的纵向截面上无任何应力。
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＝ cos2
＝ sin 2
2
（6-3）
机械工业出版社

A11—1
A22—2
h h0 h
中段正应力大。
A2=(h-h0)b=(25-10)20mm2
=300mm2
F
b
b
FN
3）计算最大正应力
max
FN A2
20103 300
N/mm 2
66.7MPa
负号表示其应力为负（压力）。
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三、斜截面上的应力
轴向拉（压）杆的破坏有 F
机械工业出版社

解 1）作轴力图。用截 面法求得CD段和BC段的轴力

轴向拉(压)杆的变形

（5-8） ε′没有量纲。
轴向拉（压）杆的变形
1.4 泊松比
实验表明，对于同一种材料，当应力不超过比例极
限时，横向线应变与纵向线应变之比的绝对值为常数。比
值ν称为泊松比，亦称横向变形系数。即
(5-9a)
由于这两个应变的符号恒相反，故有
ε'=-νε
(5-9b)
泊松比ν是材料的另一个弹性常数，由实验测得。工
程上常用材料的泊松比见表5-1。
轴向拉（压）杆的变形
工程力学
引入比例常数E，则上式可写为 （5-7）
上式称为胡克定律，这是胡克定律的另一形式。 由式（5-7）可看出，EA越大，杆件的变形Δl就越小，故称EA 为杆件抗拉（压）刚度。工程上常用材料的弹性模量见表5-1。
轴向拉（压）杆的变形
1.3 横向变形
在轴向力作用下，杆件沿轴向的方向伸长（缩 短）的同时，横向尺寸也将缩小（增大）。设横向 尺寸由b变为b1，如图5-8(b)所示，Δb= b1-b，则 横向线应变为
工程力学
轴向拉（压）杆的变形
轴向拉伸（或压缩）时，杆件的变 形主要表现为沿轴向的伸长（或缩短）， 即纵向变形。由实验可知，当杆沿轴向 伸长（或缩短）时，其横向尺寸也会相 应缩小（或增大），即产生垂直于轴线 方向的横向变形。
轴向拉（压）杆的变形
1.1 纵向变形
设一等截面直杆原长为l，横截面面积为A。在轴向拉力F 的作用下，长度由l变为l1，如图5-8（a）所示。杆件沿轴线方 向的伸长为Δl=l1－l，拉伸时Δl为正，压缩时Δl为负。
图5-8
轴向拉（压）杆的变形
杆件的伸长量与杆的原长有关，为了消除杆件长度 的影响，将Δl除以l，即以单位长度的伸长量来表征杆件 变形的程度，称为线应变或相对变形，用ε表形
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0.152mm
杆件AC的总伸长量
l l1 l2
0.143 0.152 0.295mm
截面C相对于截面B的位移
ΔCB l2 0.152mm ()
截面C的绝对位移
ΔC l 0.295mm ()
l1 =300 A
l2=200
F=40kN
B B'
C C'
解: 由平衡方程计算各截面上的轴力
FN F
因此
l1

FNl1 EA1

40 103 N 300mm 210 103 MPa 400mm2
0.143mm
l2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
FNl2 EA2

40 103 N 200mm 210 103 MPa 250mm2
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现在打盹,你将做梦; 现在学习,你将圆梦!!!!_
拓展：
对于作用在物体边界上一小块表面上的外力系可以用静力等效（主矢量、 主矩相同）并且作用于同一小块表面上的外力系替换，这种替换造成的 区别仅在离该小块表面的近处是显著的，而在较远处的影响可以忽略。
F
FF F
22
影响区
影响区
FFF
F
22
}
例题：比较下列问题的应力解答
比值的绝对值是一个常数，用 表示

称为泊松比或横向变形系数，其值可通过试
验确定。由于 和 的符号恒为异号，故有

例1 求图示构件B点的位移（EA=常数）。
解：(1)求各段杆轴力。 FNAC=2F，FNBC=F (2)求各段杆变形。
l AC

2Fa EA
F
F
l
l1
l l1 l
纵向变形的大小与杆的原长有关，为了度量杆的 变形程度，需用单位长度的变形量。单位长度的变形
称纵向线应变，简称线应变，以 表示。对于轴力为
常量的等截面直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故 线应变为
l
l
二、胡克定律
应力不超过某一限度时：
l Nl EA
lBC

Fb EA
(3)B点的竖向位移
BV

l AC

lBC

F (2a EA
b)
l
b
a
A
C
F
B
F
例2
台阶形杆件受载如图所示，已知AB和BC段的截 面面积为 A1=400mm2、A2=250mm2. 材料的弹性模 量为 E=210GPa。试计算AB段、BC段和整个杆件 的伸长量；并计算截面C相对于截面B的位移以及 截面C的绝对位移.
E•
E为弹性模量，表示材料的弹性性能，单位为MPa。
三、横向变形
拉（压）杆产生纵向变形时，横向也产生变形。 设杆件变形前的横向尺寸为a，变形后为a1，则横 向变形为
a a1 a
a
a
试验表明，杆的横向应变与纵向应变之间存在着 一定的关系，在弹性范围内，横向应变与纵向应变的
h＞＞b
σ1≠ σ2 ≠ σ3
σ4 ≈σ5 ≈σ6
σ
σ1≠ σ2 σ3 ≈ σ4
2.3轴向拉（压）杆的变形
学习目标： ⑴ 了解轴向拉压杆的纵向变形和横向变形及相应 的表征参数 ⑵ 掌握胡克定律，并能熟练运用其求解杆的变形。
一、纵向变形
l l 假设杆件变形前长度为
件的纵向变形为
，变形后长为 1 ，则杆