第五章-杆件轴向拉伸与压缩

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❖ 拉(杆)的横向变形
由实验可知，当杆件受拉(压)而沿轴向伸长(缩短)的同时，其横截面 的尺寸必伴随着缩小(增大)。
如右图所示，拉(压)杆前横向尺寸为d，拉(压)杆后为
d1，则横向变形为：
Ddd1d
d1 d
横向线变形与横向原始尺寸之比为横向线应变，以符号ε`表示，即：
Dd1 d
实验结果还表明，当杆件内的工作应力不超过弹性变形范围时，横向线 应变ε`与轴向线应变ε的比值的绝对值是一个常数，此比值称为泊松比或横 向变形系数，常用μ表示(量纲为1)，即：
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❖ 强度条件的应用
（1） 校核强度—已知杆件所受的荷载，杆件尺寸及材料的许用 应力，根据等截面的强度要求公式来校对杆件是否满足强度的 要求。这时工程中最常见的一种强度计算方法。
（2） 截面选择—已知杆件所受的荷载和材料的许用应力，确定 杆件所需的最小横截面面积。可用下式计算：
A
Fmax
N C P A 1 l1 A 2 l2 1 .9 2 kN8 （拉力）
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轴力图如图。
（3）应力计算
B截面 C截面
sBN A 1 B13 .4 21 2 1 0 430 1 0 64.4 1MPa （拉应力） sCN A 2 C14 .9 2 1 8 1 0 430 1 0 63.8 6MPa （拉应力）
一般来说，在采用截面法之前不要使用力的可传性原理，以 免引起错误。
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[例] 如图，以A点为分界点将杆分为两部分，用截面法求这两部分内力。
P
Ⅰ AⅡ
P
解： 截：
P
A P
代：
P
A FN
平：
Fx0 PFN0 PFN
内力 FN沿轴线方向，所以称为轴力。
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❖ 轴力图 若用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆
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第五章 轴向拉伸和压缩
➢ 轴向拉(压)杆横截面的内力及轴力图
➢ 应力和应力集中的概念
➢ 轴向拉(压)杆的强度计算
➢ 轴向拉(压)杆的变形计算
➢ 材料在拉伸、压缩时的力学性能
➢ 轴向拉(压)超静定问题
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6.1 轴向拉(压)杆横截面的内力及轴力图
F
F
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F F
3
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轴向拉伸：在轴向力作用下，杆件产生伸长变形，也简称拉伸。 轴向压缩：在轴向力作用下，杆件产生缩短变形，也简称压缩。
（2）绘轴力图
x1 0 ， x1 l1 ， x2 l1 ，
x2l1l2 ，
NAP12kN（拉力）
N B P A 1 l 1 1 0 . 0 2 3 2 5 1 2 8 0 1 0 . 4 2 kN2 （拉力）
N B P A 1 l 1 A 2 ( l 1 l 1 ) 1 . 4 k2 N2 （拉力）
s (缩短)变形是均匀的。亦即横截面上各点处的正应力
都相等。
设某横截面面积为A，截面轴力为F，则横截面上的正应力为：
s FN A
正应力的正负号与轴力一致，拉应力为正，压应力为负。
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❖ 拉(压)杆斜截面上的应力
F
k
F
左图为一杆件受轴向荷载F的作用。
现用一平面假想沿该杆的斜截面k-k截开，
根据上述现象，对杆件内部的变形作如下假设：变形之前横截面为平 面，变形之后仍保持为平面，而且仍垂直于杆轴线，只是每个横截面沿 杆轴作相对平移。这就是平面假设。
ac
F
a' c'
F
b' d'
bd
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推论：
1、等直拉（压）杆受力时没有发生剪切变形，因而横截 面上没有切应力。 2、拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长
k
它与垂直面的夹角为a。取左段为脱离体，
F
k pa FN
可求出该截面的轴力FN，且FN=F。则斜截 面上的应力P a为
k
Pa
FN Aa
式中，A a为斜截面面积。设横截面面积为A，则有：
Aa
A
cosa
可得：
Pa
FN A
cosa
Pascoas
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应力可分解为斜截面上的正应力和平行于截面的切应力(如 下图)，它们分别为：
s as a a p aco 0 s c2 os
tapasian s0ca ossa ins20 sin2a
pa
ta
讨论： （1） a0
s s max 0
（横截面）
a90
sa 0
（纵截面）
（2） a45
tt s a m a0 x /2
tt s a45
a m in 0 /2
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❖ 应力集中的概念 在实际工程中，由于结构和工艺上的要求，构件的截面尺寸
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[例] 起吊钢索如图所示，截面积分别为A1=3cm2，
A2=4cm2，l1=l2=50m，P=12kN，材料单位体积重量 γ=0.028N/cm3，试考虑自重绘制轴力图，并求σmax。
解：（1）计算轴力
AB段：取1—1截面
N 1PA 1x1 0 x 1 l1
BC段：取2—2截面
N 2 P A 1 l 1 A 2 x 2 l 1l1 x 2 l1 l2
轴力FN =F =25kN
（2）计算应力
根据公式
smax
FN max A
可得，smax16M 2 Pa
（3）确定校核
s s m 1 ax M 6 2 P 1M a 70 Pa
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6.4 轴向拉(压)杆的变形计算
❖ 线变形和线应变
如下图，设杆件原长为l，横截面面积为A，在轴向力P作 用下，长度由 l 变为l1。
变形程度可以用杆件单位长度的变形ε来表示，即： Dl
l 式中， ε表示杆件的相对形变，常称为线应变，它表示原 线段每单位长度内的线变形，又称为轴向应变，是一个量纲 为1的量，可表示为百分率。线应变ε的正负号与△l一致。所 以有：拉应变为正，压应变为负。
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❖ 胡克定律
实验证明：大多数建筑材料在受力不超过弹性范围时，其横截面上正 应力和轴向线应变成正比。材料受力后其应力与应变之间的这种比例关 系，称为胡克定律，其表达式为：
应力的单位为帕斯卡(简称帕)，符号Pa。常用的单位有千 帕(kPa)、兆帕(MPa)、或吉帕(GPa)。
p t
s M
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❖ 拉(压)杆横截面上的正应力
推导思路：实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式
简单实验如下。用弹性材料做一截面杆(如下图)，在受拉力前，在截 面的外表皮上画ab和cd两个截面，在外力F的作用下，两个截面ab和cd的 周线分别平行移动到a`b`和c`d`。根据观察，周线仍为平面周线，并且截面 仍与杆件轴线正交。
通常情况下我们认为，构件截面上的内力为拉力(拉力为 正值)。通过计算得到内力值为正值时，说明内力为拉力； 计算结果为负值，说明内力为压力。
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❖ 截面法—求内力的一般方法 用截面法求内力可归纳为四个字： (1)截：求某一截面的内力，沿该截面将构件假想地截成两部分。 (2)取：取其中任意部分为研究对象，而除去另一部分。 (3)代：用作用于截面上的内代替除去部分对留下部分的作用力。 (4)平：对留下的部分建立平衡方程，由利用力确定未知的内力。
C DF
DA
pm
DF DA
当△A趋于零时， Pm的极限值 就是点C的应力，即:
pΔ lA i0m pmΔ lA i0m Δ ΔF Ad dF A
式中，p为点C 的应力， △F 为小面积△A上的合内力。
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一点处的应力可以分解成两个应力分量：垂直于截面的分
量称为正应力，引起长度变化，用符号σ表示；与截面相切的 分量称为切应力，引起角度变化，用符号τ表示。如下图所示。
拉压受力特点：作用于杆件两端的外力大小相等，方向相反， 作用线与杆件轴线重合，即称轴向力。
拉压变形特点：杆件变形是沿轴向方向的伸长或缩短。
此类受轴向外力作用的等截面直杆称为拉杆或压杆。
F
FF
F
拉压计算简图
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❖ 内力 内力：构件内部所产生的力。 外力：构件之外其他物体作用于构件上的力。
内力—由于物体受外力作用而引起的其内部各质点间相互作 用的力的改变量。因此可以说，内力是该构件内力系的合成。 需要注意的是：(1)内力是连续分布的；(2)内力与外力组成 平衡力系。杆件构件截面上内力变化随着外力的变化而改变。 ❖ 内力的正负号规则
在实际工程中，应力集中程度用孔和开口处最大应力σmax 与截面上平均应力的比值来表示，即：
K s max sm
式中，K称为理论应力集中系数。它反映了应力集中的程 度，是一个大于 1 的系数。应力系数的确定根据实际情况， 查阅相关的材料手册。
试验结果还表明 : 截面尺寸改变愈剧烈，应力集中系数就愈 大。因此，零件上应尽量避免带尖角的孔或槽，在阶梯杆截 面的突变处要用圆弧过渡。
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❖ 强度条件
轴向拉压杆要满足强度的要求，就必须保证杆件的最大 工作应力不超过材料的许用应力，即：
sma ≤xs
对于等截面杆，上式可以写成：
smax
FN max A
≤[σ]
如果最大应力与许用应力相等，则从力学角度来说，就达 到了安全与经济的统一。如果最大应力远小于许用应力，则 造成材料的浪费。如果最大应力大于许用应力，说明强度不 够，安全强度没有达到规定的标准。一般情况下，超额幅度 在5%之内，课认为是安全的。