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函数逼近实验学号：P0725005 姓名：乔海亮1. 问题描述 (2)2. 解决方法 (2)2.1. 最佳平方逼近二次多项式 (2)2.2. Chebyshev截断级数 (3)2.3. 插值余项极小化 (4)3. 数值结果 (4)4. 结果分析对比 (6)5. 代码和程序说明 (6)5.1. 开发环境 (6)5.2. 主要变量和函数说明 (6)5.3. 程序说明 (7)1. 问题描述设()[]ln ,1,3f x x x x =∈，试求出权函数()1x ρ=的最佳平方逼近二次多项式。
另外请用Chebyshev 截断级数的办法和插值余项极小化方法分别给出近似最佳一致逼近二次多项式。
并画出所有曲线图。
2. 解决方法2.1. 最佳平方逼近二次多项式设所求多项式为()()220i i i S x a x ϕ==∑其中()()()20121,,x x x x x ϕϕϕ===则()31131131,11j k j k j kjkx x dx j k j k ϕϕ+++++-===++++⎰()30019,ln ln 322d f x xdx ϕ===-⎰()3211126,ln 9ln 39d f x xdx ϕ===-⎰()3322181,ln ln 354d f x xdx ϕ===-⎰即有法方程01226924ln 323226264209ln 339262428120ln 35354a a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求解得到0120.9089635102,0.6275842954,0.2597705928a a a =-==所求最佳平方逼近二次多项式为()220.90896351020.62758429540.2597705928S x x x =-++最大误差()213ln 0.02161max x x x S x ≤≤-=2.2. Chebyshev 截断级数利用Chebyshev 多项式进行函数值的计算，主要是利用Chebyshev 的系数k a 趋于零的速度比较快，从而级数收敛速度快。
西京学院数学软件实验任务书实验十八实验报告一、实验名称：Chebyshev 多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近. 二、实验目地：进一步熟悉Chebyshev 多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近.实验要求：运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica 等其中一种语言完成程序设计.四、实验原理：1．Chebyshev 多项式最佳一致逼近：当一个连续函数定义在区间[1,1]-上时，它可以展开成切比雪夫级数.即：0()()n n n f x f T x ∞==∑其中()n T x 为n 次切比雪夫多项式，具体表达式可通过递推得出：0111()1,(),()2()()n n n T x T x x T x xT x T x +-===-它们之间满足如下正交关系：10 n mn=m 02n=m=0ππ-≠⎧⎪⎪=≠⎨⎪⎪⎩⎰ 在实际应用中，可根据所需地精度来截取有限项数.切比雪夫级数中地系数由下式决定：10112n f f ππ--==⎰⎰2．最佳平方逼近：求定义在区间01[,]t t 上地已知函数最佳平方逼近多项式地算法如下.设已知函数()f x 地最佳平方逼近多项式为01()n n p x a a x a x =+++，由最佳平方逼近地定义有：01(,,,)0(0,1,2,,)n iF a a a i n a ∂==∂其中120101(,,,)(())t n n n t F a a a f x a a x a x dx =----⎰形成多项式()p x 系数地求解方程组Ca D =其中121122211212bbb bn na a a a bb b b n n aaa ab b b b n n n n a a a abbb bn n n naaa a dx xdxx dxx dx xdx x dx x dx x dx C x dx x dx x dx x dx x dx x dx x dx x dx -+---+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1()()()()b a b a b n a b n a f x dx f x xdx D f x x dx f x x dx -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰五、实验内容：%Chebyshev 多项式最佳一致逼近function f=Chebyshev(y,k,x0)syms t ;T(1:k+1)=t; T(1)=1; T(2)=t;c(1:k+1)=0.0;c(1)=int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(1)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;c(2)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(2)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;f=c(1)+c(2)*t; for i=3:k+1T(i)=2*t*T(i-1)-T(i-2);c(i)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(i)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi; f=f+c(i)*T(i); f=vpa(f,6); if (i==k+1) if (nargin==3)f=subs(f,'t',x0);elsef=vpa(f,6);endendEnd%最佳平方逼近function coff=ZJPF(func,n,a,b)C=zeros(n+1,n+1);var=findsym(sym(func));func=func/var;for i=1:n+1C(1:i)=(power(b,i)-power(a,i))/i;func=func*var;d(i,1)=int(sym(func),var,a,b);endfor i=2:n+1C(i,1:n)=C(i-1,2:n+1);f1=power(b,n+1);f2=power(a,n+1);C(i,n+1)=(f1-f2)/(n+i);endcoff=C\d;版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.5PCzV。
实验三 最佳平方逼近多项式的收敛性一、 实验目的若已知给定区间[a,b]上的连续函数f (x ),寻找一个简单、易于计算的函数P (x )来代替f (x )使用，即用P (x )去近似f (x )，这就是函数逼近所要研究的问题。
而逼近的方法很多，收敛速度也各有差异，本实验主要讨论最佳平方逼近，分别对Legendre 以及Chebychev 方法讨论其n 次截断多项式的问题，观察其收敛性，学习并掌握最佳平方逼近多项式的MATLAB 实验及精度比较。
二、 实验原理由教材定义有：对于给定的函数],[)(b a C x f ∈，如果存在使得则称S *(x )是f (x )在集合01{(),(),,()}n Span x x x ϕϕϕL 中的最佳平方逼近函数。
显然，求最佳平方逼近函数)()(0**x a x S j nj j ϕ⋅=∑=的问题可归结为求它的系数**1*0,,,n a a a Λ，使多元函数取得极小值，也即点(**1*0,,,n a a a Λ)是I (a 0, …，a n )的极点。
由于I (a 0, a 1, …，a n )是关于a 0, a 1, …，a n 的二次函数，利用多元函数取得极值的必要条件，0=∂∂ka I (k = 0, 1, 2, …, n )即得方程组 如采用函数内积记号那么，方程组可以简写为0(,)(,)(0,1,2,,)n k jj k j a f k n ϕϕϕ===∑L (1)这是一个包含n + 1个未知元a 0, a 1, …, a n 的n + 1阶线性代数方程组，写成矩阵形式为0001000101111101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n n n a f a f a f ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L LM M L L L L L ………（2） 此方程组叫做求a j (j = 0, 1, 2, …, n )的法方程组。
Chebyshev多项式在公钥密码中的应用的开题报告1. 研究背景公钥密码学是一种基于数学难题的密码学，主要应用于安全通信、数字签名、身份认证等领域。
其中，RSA算法、Diffie-Hellman密钥交换算法、椭圆曲线加密算法等公钥密码算法得到广泛应用。
这些算法使用大量的数学知识，包括线性代数、群论、椭圆曲线等等。
其中，Chebyshev多项式是一种基于特殊函数的工具，可用于优化这些算法的性能。
2. 研究内容Chebyshev多项式是一种基于特殊函数的多项式，在数学和工程学中得到广泛应用。
它有许多独特的性质，比如它们是最小二乘逼近多项式的最佳选择。
Chebyshev多项式在公钥密码中的应用主要包括：① RSA算法中的Montgomery乘法算法：在RSA算法中，Montgomery算法可以用于加速模幂运算，其中Chebyshev多项式可用于计算Montgomery乘法算法的系数。
②椭圆曲线加密算法中的Galois Field操作：在椭圆曲线加密算法中，Galois Field的操作可用于实现加法、减法、乘法和除法。
Chebyshev多项式可用于加速Galois Field的操作，提高算法的性能。
3. 研究方法本次研究将主要通过文献调研和数学推导的方法，深入研究Chebyshev多项式在公钥密码学中的应用。
首先，通过查阅相关文献，了解Chebyshev多项式的基本性质和应用场景；其次，结合实际应用，推导Chebyshev多项式在RSA算法和椭圆曲线加密算法中的具体应用方式；最后，通过实验验证和性能分析，评估Chebyshev多项式在优化公钥密码算法中的实际效果。
4. 研究意义本研究的主要目的是探讨Chebyshev多项式在公钥密码学中的应用，提高公钥密码学中算法的性能和安全性。
以RSA算法和椭圆曲线加密算法为例，可以看出，Chebyshev多项式可以用于优化公钥密码学中的各种算法，从而提高密码算法中的执行速度和安全性。
