最佳平方逼近方法

最佳平方逼近的误差
最佳平方逼近是一种数学方法，用于逼近一个函数或数据集。

这种方法通过选择一个简单的函数（如多项式）来逼近目标函数或数据集，使得逼近误差的平方和最小。

最佳平方逼近的误差是指逼近函数与目标函数之间的误差。

这个误差可以通过最小化逼近误差的平方和来获得。

具体来说，对于一个给定的数据集，我们可以选择一个多项式函数来逼近它。

然后，我们可以通过最小化逼近函数与数据集之间的平方误差来找到最佳的逼近多项式。

最佳平方逼近的误差可以通过以下步骤计算：
确定逼近函数的形式，例如多项式函数。

确定逼近函数的系数，使得逼近函数能够最佳地逼近目标函数或数据集。

计算逼近函数与目标函数或数据集之间的平方误差。

最小化平方误差，以获得最佳的逼近效果。

最佳平方逼近的误差通常是一个衡量逼近效果好坏的指标。

如果误差较小，则说明逼近效果较好；如果误差较大，则说明逼近效果较差。

在实际应用中，我们通常会选择一个合适的逼近函数和系数，以使得逼近误差最小化。

第二章 最佳平方逼近为了便于计算和分析，常常需要用一个简单的函数()x ϕ来近似代替给定的函数()f x ，这类问题称为函数逼近问题。

插值问题以及Taylor 展开问题都属于这类问题。

本章介绍另一种函数逼近问题，即最佳平方逼近。

最佳平方逼近问题的提法是：设()f x 是[],a b 上的连续函数，n H 是所有次数不超过n 的多项式的集合，在n H 中求()n P x *逼近()f x ，使()()()()()1/2222infnb n naP x H f Px f x P x dx f Pρ**∈⎡⎤-=-=-⎣⎦⎰此时称()n P x *为()f x 在[],a b 上的最佳平方逼近多项式。

我们将要研究()n P x *是否存在？是否唯一？如何求得()n P x *？首先介绍正交多项式及其性质。

§1、正交多项式正交多项式是函数逼近的重要工具，在数值积分中也有广泛的应用。

1.1正交函数系的概念定义1 设()x ρ定义在[],a b 上（有限或无限），如果满足条件：（1）()[]0,,x x a b ρ≥∈； （2）()()0,1,bnax x dx n ρ=⎰存在；（3）对非负连续函数()f x ，若()()0ba f x x dx ρ=⎰，则在[],a b 上一定有()0f x ≡那么称()x ρ是区间[],a b 上的权函数。

简称为权函数。

权函数()x ρ的一种解释是物理上的密度函数，相应的()bax dx ρ⎰表示总质量。

当()x ρ=常数时，表示质量分布是均匀的。

下面引进内积定义。

定义2 给定()[]()(),,,,f x g x C a b x ρ∈是[],a b 上的权函数，称 ()()(),()ba f g x f x g x dx ρ=⎰ ()1.1为函数()f x 与()g x 在[],a b 上的内积。

内积具有下列简单性质： ()f g g f （1）、（，）=，；()()()1212,)(,00.f g f g R f f g f g f g f f f ααα∈++≠>（2）、（，）=，；（3）、 （，）=（4）、 当时，， 此外，还有如下Cauchy-Schwarz 不等式()()()2,,,.f g f f g g ≤⋅ ()1.2我们知道，一个向量的长度的几何概念，对于函数空间及逼近有许多自然的应用。

2013-2014（1）专业课程实践论文题目：函数的最佳平方逼近一、算法理论下面研究在区间[],a b 上一般的最佳平方逼近问题。

对于给定的函数()[,]f x C a b ∈，如果存在*01(){(),(),,()}n S x Span x x x ϕϕϕ∈使得[]22*()()()min ()()()bb a a a x b x f x S x dx x f x s x dx ρρ≤≤⎡⎤-=-⎣⎦⎰⎰则称*()s x 是()f x 在集合01{(),(),,()}n Span x x x ϕϕϕ 中的最佳平方逼近函数。

为了求*()s x ，由式可知，该为题等价于求多元函数。

若用H 表示行列式2(1,,,....,)n Gn G x x x =对应的矩阵，则*()s x ， H 称为Hilbert 矩阵。

记01(,,....,)T n a a a a =，01(,,....,)T n d d d d =其中 (,)(0,1,.....,)k k d f x k n ==则方程 Ha d =的解*(0,1,.....)k k a a k n ==即为所求。

二、算法框图三、算法程序#include<stdio.h>#include<math.h>double function1(double x){ double s1;s1=1/sqrt(4+x*x);//替换函数return s1;}double function2(double x){ double s2;s2=x/sqrt(4+x*x);//替换函数return s2;}double ReiterationOfSimpson(double a,double b,double n,double f(double x)){ double h,fa,fb,xk,xj;h=(b-a)/n;fa=f(a);fb=f(b);double s1=0.0;double s2=0.0;for(int k=1;k<n;k++){ xk=a+k*h;s1=s1+f(xk);}for(int j=0;j<n;j++){ xj=a+(j+0.5)*h;s2=s2+f(xj);}double sn;sn=h/6*(fa+fb+2*s1+4*s2);return sn;}int main(){ double a=0.0,b=1.0,Result[2];int n=5;Result[0]=ReiterationOfSimpson(a,b,n,function1);Result[1]=ReiterationOfSimpson(a,b,n,function2);printf("d0=%f,d1=%f\n\n",Result[0],Result[1]);double x[2]={Result[0],Result[1]};double a0,a1;a0=4*Result[0]-6*Result[1];a1=12*Result[1]-4*Result[0];printf("a0=%5.7f,a1=%5.7f\n\n",a0,a1);}四、算法实现例1. 求()f x x =在[1,1]-上的一次最佳平方逼近解：运行程序，把替换函数分别改成s1=abs(x)，s2=x*abs(x)， 上机运行截图例2. 设()1/0,1上的一次最佳平方逼近多项式。

§3 最佳平方逼近摘要：介绍内积赋范线性空间中的最佳平方逼近的特征，最佳逼近元存在唯一性及求解；2,L a b ρ⎡⎤⎣⎦中的最佳平方逼近问题的讨论。

一、赋范线性空间定义1 线性空间X 称为赋范线性空间，如果其上赋予一个满足如下3条性质的函数：（1）0,00,;x x x x X ≥=⇔=∈ （2）,,;α=∈∈ax a x x X（3）,,.x y x y x y X +≤+∈ 则称是线性空间X 的范数。

例1 欧氏空间(欧几里德空间（Euclid ）)n:12221,,=⎛⎫=∈⎪⎝⎭∑nnk k x x x范数称为欧氏范数或2-范数。

例2 1-范数赋范线性空间n：11,,==∈∑nnk k x x x称为1-范数。

定义2 赋范线性空间中的最佳逼近：若Y 是赋范线性空间X 的一个线性子空间，x X ∈，则称量(),inf y Yx Y x y∈∆=-为子空间Y 对元素x 的最佳逼近，而使上式成立的元素*y 称为最佳逼近元，且Y 称为逼近子空间。

二、内积空间定义3 假设X 是一线性空间，如果其上赋予一个满足如下4条性质的二元函数(),：()()(1)(,)(,),,;(2)(,)(,),,,;(3)(,)(,)(,),,,;(4),0,;,00,ααα=∀∈=∀∈∈+=+∀∈≥∀∈=⇔=x y y x x y X x y x y x y X x y z x z y z x y z X x x x X x x x则称X 为内积空间。

例3 欧几里得空间n： (),,,=∈Tnx y x y x y内积→范数：2x ，2x 满足范数的3条性质。

内积空间→赋范线性空间定义4 内积空间中的最佳逼近：假设(1,2,,)ϕ=i i n 是内积空间X 中的n 个线性无关的元素，f X ∈，则子集{}12,,,ϕϕϕΦ=n n span对f 的最佳平方逼近定义为()2,min ϕϕ∈Φ∆Φ=-nn f f . （1） 使（1）成立的那个元素称为最佳逼近元素。

最佳平方逼近与最小二乘拟合——两者的区别与联系 函数逼近是用一个多项式无限接近原函数，而拟合是将函数中的元素联系起来。

也就是说，最佳平方逼近是针对函数，最小二乘法是针对离散的点，二者在形式上基本一致。

另外，最小二乘拟合也称为离散型最佳平方逼近，两者的解法有很多相似之处。

一、 函数的最佳平方逼近 （一）最佳平方逼近函数的概念对[]b a C x f ,)(∈及[]b a C ,中的一个子集{}n span ϕϕϕφ,,,10⋯=，若存在φ∈)(*x S，使[]dx x S x f x S f Sf baS S ⎰-=-=-∈∈22222*)()()(infinf ρϕϕ，则称)(*x S 是)(x f 在子集[]b a C ,⊆φ中的最佳平方逼近函数。

（二）最佳平方逼近函数的解法为了求)(*x S ，由[]dxx S x f x S f Sf baS S ⎰-=-=-∈∈22222*)()()(infinf ρϕϕ可知，一般的最佳平方逼近问题等价于求多元函数dxx f x a x a a a I banj j j n 2010)()()(),,,(⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⋯=ϕρ的最小值问题。

由于),,,(10n a a a I ⋯是关于n a a a ,,,10⋯的二次函数，利用多元函数极值的必要条件),,1,0(0n k a Ik⋯==∂∂，即),,,,1(2nn x x x G G =n),,1,0(0)()()()(20⋯==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∂∂⎰∑=k dx x x f x a x a Ik b a n j j j kϕϕρ，于是有()()),,1,0(,,0n k f a k j nj j k ⋯==∑=ϕϕϕ。

()()),,1,0(,,0n k f a k j nj j k⋯==∑=ϕϕϕ是关于n 10,,,a a a ⋯的线性方程组，称其为法方程。

由于n ϕϕϕ,,,10⋯线性无关，故系数行列式()0,,,10≠⋯n G ϕϕϕ，于是方程组()()),,1,0(,,0n k f a k j nj j k⋯==∑=ϕϕϕ有唯一解),,1,0(*n k a a k k ⋯==，从而得到)()()(*0*0*x a x a x S n n ϕϕ+⋯+=。

最佳平方逼近方法(总7页)
--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可--
--内页可以根据需求调整合适字体及大小--
2016-2017（1）专业课程实践论文用最佳平方逼近法求逼近函数
肖夏， 29，R数学12-1班
一、算法理论
设函数组都是上的连续函数，并且在上线性无关。

以此函数组为基，生成空间上的一个子空间
则中的任意一个元素为
对空间的任意两个函数，，定义内积
对于给定的函数，若，满足
则称为子空间中对于的最佳逼近平方元素。

特别地，若，则称满足条件的，为函数在区间上带权的次最佳平方逼近多项式。

设，是子空间中对于的最佳平方逼近元素的充分必要条件是，或对于任意一个，总有。

求最佳平方逼近元素，只要求出。

因
得
求出，带入即可。

二、算法框图
是
开始
定义权函数，和函数
输入，，
否
三、算法程序
function S=abc(n,a,b) 在上的一次最佳平方逼近多项式。

解：
由方程组
，，
第一题的解：
例2. 求在上的一次最佳平方逼近多项式。

解：
结束
由方程组
，，
第二题的解：
例3. 求在上的2次最佳平方逼近多项式。

解：
由方程组
，，，
第三题的解：
例4.求在上的一次最佳平方逼近多项式。

解：
由方程组
，，
第三题的解：。

最佳三角多项式平方逼近最佳三角多项式平方逼近是一种数学方法，用于找到最接近给定数据集的三角多项式。

这种方法可以在各种领域中找到广泛的应用，包括信号处理、数据分析和图像处理。

下面将通过一个具体的例子来说明最佳三角多项式平方逼近的原理和应用。

假设我们有一组离散的数据点，表示某个周期性现象的变化趋势。

我们的目标是找到一个三角多项式，使得该多项式的平方与数据点的误差最小。

简单来说，我们希望找到一个函数，尽可能地逼近这些数据点，并且在逼近过程中最小化误差。

为了实现这个目标，我们可以使用最小二乘法。

最小二乘法是一种常见的数学方法，用于拟合数据和模型之间的关系。

它通过最小化残差平方和来找到最佳的拟合曲线。

在三角多项式平方逼近中，我们可以使用最小二乘法来找到最佳的三角多项式。

具体来说，我们可以使用三角函数的线性组合作为三角多项式的形式。

常见的三角函数包括正弦函数和余弦函数。

通过选择适当的系数，我们可以将这些三角函数进行线性组合，并得到一个逼近函数。

然后，我们可以使用最小二乘法来找到最佳的系数，使得逼近函数的平方与数据点的误差最小。

最佳三角多项式平方逼近的优点是可以适应不同类型的数据集。

它可以在周期性数据和非周期性数据中都得到良好的逼近效果。

此外，该方法还可以通过调整三角多项式的阶数来控制逼近的精度。

较高阶的三角多项式可以更精确地逼近数据，但也可能导致过拟合问题。

需要注意的是，最佳三角多项式平方逼近并不是万能的。

它的适用范围有一定限制，对于某些特殊的数据集可能效果不佳。

此外，该方法也需要一定的数学基础和计算能力才能正确应用。

总结来说，最佳三角多项式平方逼近是一种用于找到最接近给定数据集的三角多项式的数学方法。

它通过最小化平方误差来实现数据的逼近。

该方法在各种领域中都有广泛的应用，并且可以通过调整阶数来控制逼近的精度。

然而，需要注意该方法的适用范围和限制，并具备一定的数学基础和计算能力才能正确应用。