三棱锥外接球问题

三棱锥的外接球空间几何体的外接球和内切球问题一直是立体几何中的高频考点，尤其以三棱锥的外接球问题考察频率最高.本文主要对三棱锥的外接球半径求法进行了总结归纳，为高三立体几何复习提供帮助.1补形法【原理】若长方体的长、宽、高分别为，则其外接球半径.1.1共端点的三条棱两两垂直（墙角模型）例1．（2019全国卷Ⅰ）已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，、分别是、的中点，，则球的体积为（）A． B． C． D．1.2三组对棱相等的三棱锥例2.在四面体中，，，，则其外接球的表面积为.1.3两组垂直棱首尾相连例3.直角梯形满足，，，将其沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，其外接球的体积为 .1.4有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥例4.在四面体中，，，，则四面体的外接球的体积为（）A. B. C. D.2轴截面法【原理】球心与球的截面圆心的连线垂直于这个截面.2.1有一条侧棱垂直于底面的三棱锥例5．三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，其中，是正三角形，，则该球的表面积为________．2.2有一个侧面垂直于底面的三棱锥例6.（2019·广州模拟）三棱锥中，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D.2.3侧棱与侧面都不垂直于底面的三棱锥例7.三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的表面积是（）A、 B、 C、 D、【总结】求解三棱锥外接球半径可以采用轴截面法：①先找到底面三角形外接圆的圆心；②过底面圆心作垂直于底面的轴；③根据球心到各顶点距离相等求出外接球半径.【特殊结论】：若正四面体的棱长为，则其外接球的半径 .。

高中数学三棱锥外接球万能公式
高中数学中，三棱锥外接球是一个非常重要的概念。

它不仅在几何学中有着广泛的应用，而且在实际生活中也有着许多的应用。

在本文中，我们将讨论三棱锥外接球的万能公式以及其应用。

我们需要了解什么是三棱锥和外接球。

三棱锥是一个四面体，其中三个面是三角形，另一个面是三角形的顶点。

外接球是通过三棱锥四个顶点的球，即球的表面刚好接触三棱锥的四个顶点。

接下来，我们来看三棱锥外接球的万能公式。

它是这样的：
V = 1/3 * π * r^3
其中，V表示三棱锥的体积，r表示外接球的半径。

这个公式是如何得出的呢？我们可以通过以下步骤来证明它：
我们需要知道一个定理：如果一个三棱锥的底面是一个正三角形，那么它的高等于底边长度的根号3/2倍。

这个定理可以通过勾股定理来证明。

然后，我们可以求出三棱锥的高，以及外接球的半径。

三棱锥的高可以通过勾股定理求得，外接球的半径可以通过勾股定理和勾股定理的逆定理求得。

我们可以将三棱锥的体积和外接球的半径代入公式中，就可以得到
三棱锥外接球的万能公式了。

除了上面提到的正三角形底面的三棱锥，这个公式也适用于其他形状的三棱锥。

只需要将底面的面积代入公式中即可。

三棱锥外接球的万能公式在实际应用中有着广泛的运用。

例如，它可以用来计算水塔的容量，也可以用来计算建筑物的体积。

在工程学中，三棱锥外接球的公式也是非常重要的。

在数学学习中，三棱锥外接球的万能公式是我们必须要掌握的一个重要概念。

只有通过深入理解和掌握这个公式，我们才能更好地应用它，解决实际问题。

三棱锥外接球专题引理1：每个三角形都有唯一一个外接圆，设ABC D 外接圆圆心为1O ，半径为2sin 2sin 2sin a b Cr A B C ===（正弦定理）正三角形的外接圆心在中心，r=3（a 为边长），直角三角形的外接圆心在斜边中点，2cr =（c 为斜边长），等腰三角形的外接圆圆心在底边的高上，22a r h =（a 为腰长，h 为底边的高）外接球的处理方式-----先确定一三角形设ABC D （以等边和直角居多），找出圆心为1O 和半径r设外接球球心为O,半径为R.在1AO O D内易证1O O =下面对P 点定位，如图设P 在面ABC D 的射影为1P ，高为h，设射影与小圆的距离为11m PO =，我们摘出平面11PO OP，如下图在OPE D，由勾股定理得222(R m h =+-解得2222222m h r R r h+-=+注：如果PABC 都在同一个半球，上述公式有平方，公式仍然不变。

所以我们努力的方向是找到这个截面（截面一般会包含三棱锥的一个顶点）后面就是水到成渠。

如果非要记公式的话可以努力找到h，m 套公式即可。

高中阶段都会有特殊的三角形特殊位置下面简单归类第一类;有线面垂直的---如图PA ABC^面此时m=r，h=PA.22222222h+r 22m h r R r h+-=+=，由此引出补形法，有线面垂直即可补成直三棱柱求解如上右图。

三棱柱不熟也可以用补成长方体（不过要求底面有直角）1.已知ABC △中，90,B DC ∠=︒⊥平面,4,5,3ABC AB BC CD ===，则三棱锥D ABC -的外接球表面积为()A.50π3B.25πC.50πD.1252π3解析：由已知条件可构造一个长方体，长方体的外接球过,,,A B C D 四点，所以长方体的外接球即三棱锥D ABC -的外接球，得外接球直径250R AD ==,外接球表面积为24π50πR =，故选：C.法二：三棱柱中，22222114522350()24r AC R r ==+=+=2.在四面体S ABC -中,SA ⊥平面,120,4,ABC BAC BC SA ∠=︒==则该四面体的外接球的表面积为.(底面无直角补成三棱柱)3.在三棱锥ABC P -中，222==AB AC ，10=BC ，90=∠APC ，平面⊥ABC 平面PAC ，则三棱锥ABC P -外接球的表面积为()找线面垂直补形即可，跟上面一样A.4πB.5πC.8πD.10π3.所以PC ⊥平面PAB ,所以90CPB ∠=︒，故该外接球的半径等于||22BC =，所以球的表面积为224πR 4π(10π2S ==⋅=，故选D。

数学一对一辅导教案授课教师 上课时间 2020年 月 日 第（ ）次课 2小时教学课题 高考探究专题1：三棱锥最值问题【法一：补形法】外接球半径等于长方体体对角线的一半ππ64262===R S R ，注意：图中三棱锥的外接球与长方体外接球是同一个球。

【法二：轴截面法（确定球心法）】1、寻找底面△PBC 的外心；2、过底面的外心作底面的垂线；3、外接球的球心必在该垂线上，利用轴截面计算出球心的位置。

【题型分析】【利用轴截面法1】例1.在三棱锥ABC P -中，︒=∠===⊥120,BAC AC AB PA ABC PA 2，底面，求其外接球的半径【变式1】已知在三棱锥ABC P -，222===⊥⊥⊥PC PB PA PA PC PC PB PB PA ，且,,，求该三棱锥外接球的表面积与体积。

【变式2】在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=°，2SA AC ==，1AB =，则该四面体的外接球的表面积为【变式3】三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,,1,3ABC AC BC AC BC PA ⊥===，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．5π B ．2π C ．20π D ．4π【变式4】如图，已知点A、B、C、D是球O的球面上四点，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=3，则球O 的表面积等于_________.【利用轴截面法2】例2.三棱锥P-ABC 内接于半径为2的球中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC=90°，BC=22，则三棱锥P-ABC 的体积最大值是【变式1】三棱锥P-ABC 内接于半径为4的球中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC=45°，BC=22，则三棱锥P-ABC 的体积最大值是【变式2】已知球的直径4SC =，A 、B 是该球球面上的两点，30ASC BSC ∠=∠=︒，则棱锥S ABC -的体积最大为（ ） A ．2 B ．83C ．3D ．23 【答案】A【解析】如图所示，∵线段SC 是球的直径且4SC =，30ASC BSC ∠=∠=︒， ∴2AC =，=2BC ，23AS =，=23BS ，13A SBC SBC V S h -=⨯⋅△， （其中h 为点A 到底面SBC 的距离），故当h 最大时，A SBC V -的体积最大，由图可得当面ASC ⊥面BSC 时，h 最大且满足4223h =⋅，即3h =，此时112233232A SBC V -=⨯⨯⨯⨯=，故选A ．【变式3】在三棱锥BCD A -中，BD AB DB AB DC DB AC AB ⊥=+==,4,,，则三棱锥BCD A -外接球的体积的最小值为（ ） A ．3264π B ．332πC ．328πD ．34π【利用图形的特殊性】例3.已知在三棱锥ABC P -，222===⊥⊥⊥PC PB PA PA PC PC PB PB PA ，且,,，求该三棱锥外接球的表面积与体积。

几何体外接球常用结论及方法(如何求几何体的外接球半径)几何体的外接球是一个常见的问题，其中有一些常用的结论和方法：1.对于三棱锥P-ABC，如果PA垂直于PB和PC，则该三棱锥的外接球半径2R可以用公式2R=PA²+PB²+PC²求得。

2.对于等边三角形，其外接圆的半径等于连长的1/3倍。

3.直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半。

4.对于一般的三角形ABC，可以用正弦定理求得外接圆半径R，而内切圆的半径r可以用海龙公式S=Cr求得。

5.如果已知三棱锥P-ABC中PA=a，且△ABC的外接圆半径为r，则该三棱锥的外接球半径2R可以用公式2R=2r+a²求得。

6.正方体的外接球、内切球和棱切球的直径分别为正方体的体对角线长2R=3a、棱长2R=a和面对角线长2R=2√2a。

7.对于四面体P-ABC，如果∠APC=90°且∠ABC=90°，则该四面体的外接球直径为AC。

8.对于正三棱锥V-ABC，可以用射影定理求得其外接球半径，即VA²=h(2R-h)。

9.对于正四面体，其高h=2/3√2a，外接球半径和内切球半径均为a。

10.对于有内切球的多面体，其内切球半径可以用公式V=Sr/3求得。

11.如果三棱锥A-BCD中的面ABD和面BCD互相垂直且其外接圆半径分别为r1和r2，公共棱BD的长度为a，则该三棱锥的外接球半径2R可以用公式2R=2r1+2r2-a²/2√(r1²+r2²)求得。

的公共弦AD和BC的垂线，分别交于点E和F。

连接OE和OF，则OE=OF=R，且OE和OF分别是三棱锥P-ABC 和A-BCD的外接球的直径。

由于三棱锥P-ABC和A-BCD的外接球是重合的，因此它们的直径相等，即2R=2r1+2r2-a。

对于三棱锥P-ABC，已知面PAC与ABC所形成的二面角为θ（θ<θ≤90°），且已知ΔPAC和ΔABC的外接圆的半径分别为r1，r2，AC=a，则该棱锥的外接球半径R满足：left(2R+2\cos\theta\right)\left(R-r_1\right)\left(R-r_2\right)=2\left(r_1+r_2\right)^2-4\left(r_1-r_2\right)^2\cos^2\frac{\theta}{2}$这个公式可以通过对三棱锥P-ABC和A-BCD的共面直角投影，推导出它们的公共弦长等于$\sqrt{a^2+\left(r_1+r_2\right)^2-2r_1r_2\cos\theta}$。

三棱锥外接球公式三棱锥外接球公式，是描述三棱锥与外接球之间的关系的数学公式。

在几何学中，三棱锥是一种四面体，它有三个侧面和一个底面，底面是一个三角形。

外接球是一个与三棱锥的四个顶点都相切的球。

三棱锥外接球公式可以用来计算外接球的半径。

在了解三棱锥外接球公式之前，我们先来了解一下三棱锥和外接球的基本概念。

三棱锥是一个四面体，它有一个底面和三个侧面。

底面是一个三角形，侧面是连接底面顶点和一个共同顶点的三个三角形。

外接球是一个与三棱锥的四个顶点都相切的球，也就是说，外接球的球心正好在三棱锥的顶点上。

根据三棱锥外接球公式，我们可以计算外接球的半径。

这个公式的表达式为：R = a / (2 * √3)，其中R代表外接球的半径，a代表三棱锥的边长。

通过这个公式，我们可以根据三棱锥的边长来计算外接球的半径。

三棱锥外接球公式的推导过程比较复杂，这里不做详细介绍。

但是我们可以通过一些几何性质来理解这个公式的原理。

首先，我们知道三棱锥的底面是一个三角形，而外接球与三角形的三个顶点都相切。

根据几何性质，三角形的外接圆的圆心和三角形的三个顶点所在直线的交点是共线的。

所以，外接球的球心必须在三棱锥的顶点所在的直线上。

而且，由于外接球与三棱锥的四个顶点都相切，所以外接球的球心和顶点之间的距离必须相等。

根据几何性质，这个距离正好等于三棱锥的高。

而三棱锥的高可以通过边长和底面的面积计算得到。

通过这些几何性质，我们可以推导出三棱锥外接球公式。

首先，我们根据三棱锥的边长和底面的面积计算出三棱锥的高。

然后，根据三棱锥的高和顶点到球心的距离相等的性质，我们可以计算出外接球的半径。

三棱锥外接球公式的应用范围非常广泛。

在几何学和工程学中，我们经常需要计算三棱锥的各种属性，比如体积、表面积等。

而外接球的半径是三棱锥的一个重要属性，它可以帮助我们计算其他与三棱锥相关的量。

所以，掌握三棱锥外接球公式对于理解和应用几何学和工程学知识非常重要。

总结起来，三棱锥外接球公式是描述三棱锥与外接球之间关系的数学公式。

特殊三棱锥外接球半径的常见求法【法一：补形法】
外接球半径等于长方体体对角线的一半
注意：图中三棱锥的外接球与长方体外接球是同一个球。

【法二：轴截面法】
1、寻找底面厶PBC的外心；
2、过底面的外心作底面的垂线；
外接球的球心必在该垂线上，利用轴截面计算出球心的
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3、位置。

【法三：向量法】
【练习巩固】
练习1 （陕西，2010）如图，在三棱锥P-ABC 中，朋丄平^ABC^CBLPB.CB丄加•且E4二2加二2BC二2 , 求其外接球的体积。

P
练习2 （全国卷，2010）已知三棱锥的各条 棱长均为求其外接球的表面积。

练习3 （河北，2012）如图，在四面体ABCD 中,AB 二DC 二逐,AD 二BC 二&BD 二AC 二屈,
求其外接球的表面积。

【参考答案】
练习1【补形法】
【轴截面法】
0A 二OB 二
0C 二OP
晶兀
练习2 【补形法】
R = -------- 、 S = A-TT R 2
= 14?r 2
D A A 【轴截面法】
D A。

Ｐ ＤS ＣAＯ空间几何体的外接球、内切球问题外接球问题一.棱锥的外接球三棱锥都有外接球；底面有外接圆的任意棱锥都有外接球。

1.确定棱锥外接球球心的通法先找到棱锥底面的外接圆的圆心D ，过D 作底面的垂线ＤＰ交一侧棱的中垂面于O ，点O 即为外接球的球心。

练习：1.三棱锥S-ABC 的各顶点都在同一球面上，若SB ⊥平面ABC ,SB=6，AB=AC=2120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。

2. 点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中△ ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6则该球的体积为 。

3.四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，32=AC ，6=BD ，则该球的表面积为 （ ）A ． π14 B.π15 C.π16 D.π182.补成长方体或正方体，再利用体对角线是外接球直径这一结论求解。

练习：1.三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（ ）A ．26a πB ．29a πC ．212a πD ．224a π2.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC =O 表面积等于（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π3.,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( )A.3πB.4πD.6π4.3.公共边所对的两个角为直角确定球心法 练习1.在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π2.空间四边形ABCD中，1,AB BC AD DC ====ABCD 的外接球的表面积为4.利用轴截面截球为大圆确定球半径正四、六、八棱锥的外接球的一个轴截面为大圆，该圆的半径等于外接球的半径. 练习：1.正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .2.正六棱锥EF S ABCD -的底面边长为1S A B C D 、、、、、E 、F 都在同一球面上，则此球的表面积为 .3.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为_ C_ A_ O_ D _ BA．3B．13π C．23π D．3二.棱柱的外接球底面有外接圆的直棱柱才有外接球。

三棱锥外接球半径常见解法含答案解析在立体几何中，求三棱锥外接球半径是一个常见且重要的问题。

掌握有效的解法不仅能够帮助我们解决具体的数学题目，还能加深对空间几何关系的理解。

下面将为大家介绍几种常见的求解三棱锥外接球半径的方法，并通过具体的例子进行答案解析。

一、补形法补形法是一种常用的技巧，通过将三棱锥补成一个特殊的几何体，如长方体、正方体等，然后利用这些特殊几何体的外接球半径与原三棱锥外接球半径的关系来求解。

例如，对于墙角三棱锥（三条侧棱两两垂直的三棱锥），我们可以将其补成长方体。

设三棱锥的三条侧棱长分别为＼（a\）、＼（b\）、＼（c\），则长方体的体对角线就是三棱锥外接球的直径＼（2R\），根据长方体体对角线公式可得：＼＼begin{align}2R&＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2 ＋ c^2}＼＼R&＝＼frac{＼sqrt{a^2 ＋ b^2 ＋ c^2}｝｛2}＼end{align}＼例 1：已知三棱锥＼（P ABC\）中，＼（PA\perp PB\），＼（PB\perp PC\），＼（PC\perp PA\），且＼（PA ＝ 3\），＼（PB ＝4\），＼（PC ＝ 5\），求其外接球半径。

解：将三棱锥＼（P ABC\）补成长方体，长方体的体对角线就是外接球的直径。

＼＼begin{align}2R&＝＼sqrt{3^2 ＋ 4^2 ＋ 5^2}＼＼＆＝＼sqrt{9 ＋ 16 ＋ 25}＼＼＆＝＼sqrt{50}＼＼＆＝5\sqrt{2}＼end{align}＼所以，外接球半径＼（R ＝＼frac{5\sqrt{2}｝｛2}＼）二、确定球心位置法通过寻找三棱锥外接球的球心位置，利用球心到各顶点的距离等于外接球半径来求解。

对于正三棱锥，球心通常在高线上。

设正三棱锥底面边长为＼（a\），高为＼（h\），底面外接圆半径为＼（r\）（可由正弦定理求得＼（r ＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛3}a\）），球心到底面距离为＼（d\），则根据勾股定理有：＼＼begin{align}R^2&＝d^2 ＋ r^2\＼d&＝h R＼end{align}＼联立可得＼（R\）的表达式。