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三棱锥外接球公式
三棱锥外接球公式是指一个三棱锥的外接球半径与其四个面的
面积和体积有关的公式。
在数学上，三棱锥外接球公式是三维几何中一个重要的定理，在几何学、物理学、工程学等领域应用广泛。
三棱锥是由一个三角形和一个顶点连接三条棱所组成的多面体。
它的外接球是指可以完全覆盖住三棱锥的球。
三棱锥外接球公式的推导过程可以通过数学计算得出。
具体来说，它可以表示为：
R = (3V/(4πS))^(1/3)
其中，R表示三棱锥外接球半径，V表示三棱锥体积，S表示三
棱锥四个面的总面积。
通过这个公式，我们可以得出一个三棱锥的外接球半径，从而求出它在空间中的位置和大小。
这对于几何学、物理学和工程学领域的研究非常有用。
例如，在建筑结构中，三棱锥外接球公式可以帮助建筑师计算出三棱锥结构的固定点和材料使用量，从而确保建筑物的稳定性和安全性。
总之，三棱锥外接球公式是一个重要的数学定理，在几何学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。
熟练掌握这个公式的计算方法，可以帮助我们更好地理解三维几何学，提高我们的数学和科学素养。
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三棱锥外接球问题1.有公共斜边的直角三角形组成的三棱锥，球心在公共斜边的中点处。
2.等腰四面体的外接球：补成长方体3.按照定义，球心到四个顶点的距离为半径4.平面截球的截面是圆，设球心到平面的距离为d ，球的半径为R ，截面圆（三角形外接圆）的半径为r ，则有222d r R +=5.补成直棱柱，球心在上下底面中心连线中点(2011年全国高考题)（11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为()A 6 ()B ()C 3 ()D 2【解析】选AABC ∆的外接圆的半径r =O 到面ABC 的距离d ==SC 为球O 的直径⇒点S 到面ABC 的距离为2d =此棱锥的体积为11233436ABC V S d ∆=⨯=⨯= 此解法充分利用了球当中的性质：每一个截面圆的圆心与球心的连线垂直于截面圆所在平面。
下面就几个例题简单总结一下三棱锥外接球问题。
1.(2010辽宁11)已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，2BC =，则球O 表面积等于 选A（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π【解析】该椎体可以补成一个长方体，而长方体的体对角线就是外接圆的直径，所以可轻松得解。
解：142112=++=R ππ442==R S 球 练一练：将边长为2的正ABC ∆沿BC 边上的高AD 折成直二面角B AD C --，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为 ．答案：5π说明：对于直角四面体和双垂四面体，都可以补成长方体或正方体，再利用体对角线是外接球直径这一性质求解。
2. 点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中△ ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6则该球的体积为 。
解析：由于有一条棱垂直于底面，所以该棱柱可以补成一个直三棱柱，而直三棱柱的外接球的球心正好是三棱柱中截面的外接圆圆心。
高中数学三棱锥外接球万能公式
高中数学中，三棱锥外接球是一个非常重要的概念。
它不仅在几何学中有着广泛的应用，而且在实际生活中也有着许多的应用。
在本文中，我们将讨论三棱锥外接球的万能公式以及其应用。
我们需要了解什么是三棱锥和外接球。
三棱锥是一个四面体，其中三个面是三角形，另一个面是三角形的顶点。
外接球是通过三棱锥四个顶点的球，即球的表面刚好接触三棱锥的四个顶点。
接下来，我们来看三棱锥外接球的万能公式。
它是这样的：
V = 1/3 * π * r^3
其中，V表示三棱锥的体积，r表示外接球的半径。
这个公式是如何得出的呢？我们可以通过以下步骤来证明它：
我们需要知道一个定理：如果一个三棱锥的底面是一个正三角形，那么它的高等于底边长度的根号3/2倍。
这个定理可以通过勾股定理来证明。
然后，我们可以求出三棱锥的高，以及外接球的半径。
三棱锥的高可以通过勾股定理求得，外接球的半径可以通过勾股定理和勾股定理的逆定理求得。
我们可以将三棱锥的体积和外接球的半径代入公式中，就可以得到
三棱锥外接球的万能公式了。
除了上面提到的正三角形底面的三棱锥，这个公式也适用于其他形状的三棱锥。
只需要将底面的面积代入公式中即可。
三棱锥外接球的万能公式在实际应用中有着广泛的运用。
例如，它可以用来计算水塔的容量，也可以用来计算建筑物的体积。
在工程学中，三棱锥外接球的公式也是非常重要的。
在数学学习中，三棱锥外接球的万能公式是我们必须要掌握的一个重要概念。
只有通过深入理解和掌握这个公式，我们才能更好地应用它，解决实际问题。
特殊三棱锥外接球半径的常见求法【方法介绍】【法一：补形法】外接球半径等于长方体体对角线的一半注意：图中三棱锥的外接球与长方体外接球是同一个球。
【法二：轴截面法】1、 寻找底面△PBC 的外心；2、 过底面的外心作底面的垂线；3、 外接球的球心必在该垂线上，利用轴截面计算出球心的位置。
【法三：向量法】设外接球的球心坐标为：),,(z y x O .由→→→→===OC OB OA OP 可得：【方法总结】三棱锥外接球半径的常见解法：1、 补形法；2、轴截面法；3、向量法.【练习巩固】【参考答案】练习1 【补形法】【轴截面法】练习2 【补形法】【轴截面法】练习3 【补形法】练习4 【轴截面法】仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwend et werden.Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.以下无正文。
三棱锥外接球问题1.有公共斜边的直角三角形组成的三棱锥，球心在公共斜边的中点处。
2.等腰四面体的外接球：补成长方体3.按照定义，球心到四个顶点的距离为半径4.平面截球的截面是圆，设球心到平面的距离为d ，球的半径为R ，截面圆（三角形外接圆）的半径为r ，则有222d r R +=5.补成直棱柱，球心在上下底面中心连线中点(2011年全国高考题)（11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为()A 6 ()B ()C 3 ()D 2【解析】选AABC ∆的外接圆的半径r =O 到面ABC 的距离d ==SC 为球O 的直径⇒点S 到面ABC 的距离为2d =此棱锥的体积为11233436ABC V S d ∆=⨯=⨯= 此解法充分利用了球当中的性质：每一个截面圆的圆心与球心的连线垂直于截面圆所在平面。
下面就几个例题简单总结一下三棱锥外接球问题。
1.(2010辽宁11)已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，2BC =，则球O 表面积等于 选A（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π【解析】该椎体可以补成一个长方体，而长方体的体对角线就是外接圆的直径，所以可轻松得解。
解：142112=++=R ππ442==R S 球 练一练：将边长为2的正ABC ∆沿BC 边上的高AD 折成直二面角B AD C --，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为 ．答案：5π说明：对于直角四面体和双垂四面体，都可以补成长方体或正方体，再利用体对角线是外接球直径这一性质求解。
2. 点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中△ ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6则该球的体积为 。
解析：由于有一条棱垂直于底面，所以该棱柱可以补成一个直三棱柱，而直三棱柱的外接球的球心正好是三棱柱中截面的外接圆圆心。
数学一对一辅导教案授课教师 上课时间 2020年 月 日 第（ ）次课 2小时教学课题 高考探究专题1：三棱锥最值问题【法一：补形法】外接球半径等于长方体体对角线的一半ππ64262===R S R ，注意：图中三棱锥的外接球与长方体外接球是同一个球。
【法二：轴截面法（确定球心法）】1、寻找底面△PBC 的外心；2、过底面的外心作底面的垂线；3、外接球的球心必在该垂线上，利用轴截面计算出球心的位置。
【题型分析】【利用轴截面法1】例1.在三棱锥ABC P -中，︒=∠===⊥120,BAC AC AB PA ABC PA 2，底面，求其外接球的半径【变式1】已知在三棱锥ABC P -，222===⊥⊥⊥PC PB PA PA PC PC PB PB PA ，且,,，求该三棱锥外接球的表面积与体积。
【变式2】在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=°，2SA AC ==，1AB =，则该四面体的外接球的表面积为【变式3】三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,,1,3ABC AC BC AC BC PA ⊥===，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．5π B ．2π C ．20π D ．4π【变式4】如图，已知点A、B、C、D是球O的球面上四点，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=3，则球O 的表面积等于_________.【利用轴截面法2】例2.三棱锥P-ABC 内接于半径为2的球中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC=90°，BC=22，则三棱锥P-ABC 的体积最大值是【变式1】三棱锥P-ABC 内接于半径为4的球中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC=45°，BC=22，则三棱锥P-ABC 的体积最大值是【变式2】已知球的直径4SC =，A 、B 是该球球面上的两点，30ASC BSC ∠=∠=︒，则棱锥S ABC -的体积最大为（ ） A ．2 B ．83C ．3D ．23 【答案】A【解析】如图所示，∵线段SC 是球的直径且4SC =，30ASC BSC ∠=∠=︒， ∴2AC =，=2BC ，23AS =，=23BS ，13A SBC SBC V S h -=⨯⋅△， （其中h 为点A 到底面SBC 的距离），故当h 最大时，A SBC V -的体积最大，由图可得当面ASC ⊥面BSC 时，h 最大且满足4223h =⋅，即3h =，此时112233232A SBC V -=⨯⨯⨯⨯=，故选A ．【变式3】在三棱锥BCD A -中，BD AB DB AB DC DB AC AB ⊥=+==,4,,，则三棱锥BCD A -外接球的体积的最小值为（ ） A ．3264π B ．332πC ．328πD ．34π【利用图形的特殊性】例3.已知在三棱锥ABC P -，222===⊥⊥⊥PC PB PA PA PC PC PB PB PA ，且,,，求该三棱锥外接球的表面积与体积。
特殊三棱锥外接球半径的常见求法
【方法介绍】
【法一：补形法】
外接球半径等于长方体体对角线的一半
ππ642
6
2===
R S R ，
注意：图中三棱锥的外接球与长方体外接球是同一个球。
【法二：轴截面法】
1、 寻找底面△PBC 的外心；
2、 过底面的外心作底面的垂线；
3、 外接球的球心必在该垂线上，利用轴截面计算出球心的位置。
【法三：向量法】
设外接球的球心坐标为：),,(z y x O .由→
→
→
→
===OC OB OA OP 可得：
【方法总结】
三棱锥外接球半径的常见解法：
1、 补形法；
2、轴截面法；
3、向量法.
【练习巩固】
【参考答案】
练习1 【补形法】【轴截面法】
【轴截面法】
练习3 【补形法】。
三棱锥外接球半径常见解法含答案解析在立体几何的学习中，三棱锥外接球半径的求解是一个常见且重要的问题。
它不仅考验我们对空间几何的理解，还需要运用多种数学方法和技巧。
接下来，让我们一起深入探讨三棱锥外接球半径的常见解法。
一、定义法如果一个三棱锥的各条棱都相等，那么这个三棱锥就是正三棱锥。
对于正三棱锥，我们可以利用其外接球的半径与棱长之间的关系来求解。
假设正三棱锥的棱长为 a，我们先求出底面正三角形的外接圆半径 r。
根据正弦定理，底面正三角形外接圆的半径 r ＝√3a ／ 3 。
正三棱锥的高 h ＝√6a ／ 3 。
外接球的半径 R 满足：R²＝（h R)²＋ r²，解得 R ＝√6a ／ 4 。
例 1：已知一个正三棱锥的棱长为 2，求其外接球的半径。
解：底面正三角形外接圆的半径 r ＝√3×2 ／ 3 ＝2√3 ／ 3 ，正三棱锥的高 h ＝√6×2 ／ 3 ＝2√6 ／ 3 。
由 R²＝（h R)²＋ r²，即 R²＝（2√6 ／ 3 R)²＋（2√3 ／ 3)²，解得 R ＝√6 ／ 2 。
二、补形法当三棱锥的形状比较特殊时，我们可以通过补形的方法将其转化为一个常见的几何体，如长方体、正方体等，然后利用这些几何体与外接球的关系来求解。
例 2：三棱锥 P ABC 中，PA⊥平面 ABC，AB⊥AC，PA ＝ AB ＝AC ＝ 1，求其外接球的半径。
解：把三棱锥 P ABC 补成一个以 PA，AB，AC 为棱的长方体，则长方体的外接球就是三棱锥的外接球。
长方体的体对角线就是外接球的直径 2R ＝√（1²＋ 1²＋ 1²) ＝√3 ，所以外接球的半径 R ＝√3 ／ 2 。
三、确定球心位置法我们知道，外接球的球心到三棱锥各顶点的距离相等。
通过寻找一些特殊的线面关系，确定球心的位置，然后利用勾股定理等方法求出半径。
正三棱锥外接球半径万能公式正三棱锥外接球半径万能公式是一种描述正三棱锥外接球半径的公式，它可以用来计算正三棱锥外接球的半径。
正三棱锥是一种几何形状，由一个三角形的底面和三个相同的锥面组成。
它的特点是：它的底面是一个正三角形，它的三个锥面是平行的，它的三个侧面是平行的，它的三个角都是直角。
外接球是一种几何图形，由一个球体上的点集合组成，使得所有点都距离球心同样的距离。
外接球的半径是指从球心到外接球表面点的距离。
正三棱锥外接球半径万能公式如下：R = (a^2 + ha)/3其中，R 为正三棱锥外接球的半径，a 是正三棱锥的底面的边长，h 是正三棱锥的高。
该公式表明，正三棱锥外接球的半径R与正三棱锥的底面边长a和高h有关，它们之间的关系就是R= (a^2 + ha)/3。
首先，我们考虑正三棱锥的底面边长a。
我们知道，正三棱锥的底面是一个正三角形，它的三个边长是相等的。
因此，正三棱锥的底面边长a可以表示为a=a1=a2=a3。
然后，我们考虑正三棱锥的高h。
正三棱锥的高h指的是从底面到顶点的距离。
我们可以用勾股定理来求出h：h = √(a^2 - (a/2)^2)将a和h代入正三棱锥外接球半径万能公式中，我们就可以得到正三棱锥外接球半径的具体值：R = (a^2 + ha)/3R = (a^2 + √(a^2 - (a/2)^2)*a)/3R = (a^2 + a√(4a^2 - a^2))/3R = (a^2 + 2a^2)/3R = 3a^2/3R = a^2因此，我们就得到了正三棱锥外接球半径的万能公式：R = a^2，其中a是正三棱锥底面边长。
正三棱锥外接球半径万能公式非常实用，可以用来快速计算正三棱锥外接球的半径。
它可以大大减轻数学家的计算量，使用该公式，可以快速准确地计算出正三棱锥外接球的半径。
正三棱锥外接球半径万能公式不仅可以用于计算正三棱锥外接球的半径，也可以用于计算正三棱锥内接球的半径。
三棱锥外接球专题引理1：每个三角形都有唯一一个外接圆，设ABC D 外接圆圆心为1O ，半径为2sin 2sin 2sin a b Cr A B C ===（正弦定理）正三角形的外接圆心在中心，r=3（a 为边长），直角三角形的外接圆心在斜边中点，2cr =（c 为斜边长），等腰三角形的外接圆圆心在底边的高上，22a r h =（a 为腰长，h 为底边的高）外接球的处理方式-----先确定一三角形设ABC D （以等边和直角居多），找出圆心为1O 和半径r设外接球球心为O,半径为R.在1AO O D内易证1O O =下面对P 点定位，如图设P 在面ABC D 的射影为1P ，高为h，设射影与小圆的距离为11m PO =，我们摘出平面11PO OP，如下图在OPE D，由勾股定理得222(R m h =+-解得2222222m h r R r h+-=+注：如果PABC 都在同一个半球，上述公式有平方，公式仍然不变。
所以我们努力的方向是找到这个截面（截面一般会包含三棱锥的一个顶点）后面就是水到成渠。
如果非要记公式的话可以努力找到h，m 套公式即可。
高中阶段都会有特殊的三角形特殊位置下面简单归类第一类;有线面垂直的---如图PA ABC^面此时m=r，h=PA.22222222h+r 22m h r R r h+-=+=，由此引出补形法，有线面垂直即可补成直三棱柱求解如上右图。
三棱柱不熟也可以用补成长方体（不过要求底面有直角）1.已知ABC △中，90,B DC ∠=︒⊥平面,4,5,3ABC AB BC CD ===，则三棱锥D ABC -的外接球表面积为()A.50π3B.25πC.50πD.1252π3解析：由已知条件可构造一个长方体，长方体的外接球过,,,A B C D 四点，所以长方体的外接球即三棱锥D ABC -的外接球，得外接球直径250R AD ==,外接球表面积为24π50πR =，故选：C.法二：三棱柱中，22222114522350()24r AC R r ==+=+=2.在四面体S ABC -中,SA ⊥平面,120,4,ABC BAC BC SA ∠=︒==则该四面体的外接球的表面积为.(底面无直角补成三棱柱)3.在三棱锥ABC P -中，222==AB AC ，10=BC ，90=∠APC ，平面⊥ABC 平面PAC ，则三棱锥ABC P -外接球的表面积为()找线面垂直补形即可，跟上面一样A.4πB.5πC.8πD.10π3.所以PC ⊥平面PAB ,所以90CPB ∠=︒，故该外接球的半径等于||22BC =，所以球的表面积为224πR 4π(10π2S ==⋅=，故选D。
第二类：射影好找的（有面面垂直或者边长相等射影在中垂线上）---去求m 和h 的值即可4.在三棱锥S ABC -中,4,SB SA AB BC AC SC ======,则三棱锥S ABC -外接球的表面积是()先按线面垂直解，后面有面面夹角的做法A.40π3B.80π3C.40π9D.80π9解析：4答案：B变式：在三棱锥P ABC -中,2,2,AB AC BC PA PB PC =====则三棱椎P ABC -的外接球的半径为________________________.4.在三棱锥A BCD -中,60,4,ABC ABD BC BD CD AB ∠=∠=︒====则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为()A.10πB.20πC.D.答案解析如下得AD===AC ===所以222222,AC AB BC AD AB BD +=+=故,BAD BAC △△为直角三角形．所以三棱锥A BCD -的外接球的球心在过ACD △的外心E 垂线上,设为点O ,因为22222241cos 23AC AD CDCAD AC AD +-+-∠==-⋅,所以sin 3CAD ∠=,故ACD △外接圆的半径112sin22CDr AE CAD ==⋅=⨯∠,则外接球的半径2222222215222R OA OE AE AB AE ⎛⎫⎛⎛⎫==+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故外接球的表面积为4π4π520πR =⨯=,6：在三棱锥P ABC -中,平面PBC ⊥平面ABC ,90,2,1,45ABC AB BC PB PBC∠====∠=,则三棱锥P ABC -外接球的表面积是_________.所以h=2,m=11O P ,在11O CP D 中，余弦定理第二类找法：如图：找两个面的内心12O O ，,和球心O 组成平面扩展交交线于一点E ，易证角12O EO 为二面角平面角，摘出红色平面12O EO O即可。
此类题目一般涉及二面角，折叠问题，并且有等边或者两个全等的三角形。
特别的如果两个有公共斜边的直角三角形，球心一定在斜边的中点上。
7.在菱形ABCD 中，π3A =，AB =ABD △沿BD 折起到PBD △的位置，若二面角P BD C --的大小为2π3，三棱锥P BCD -的外接球心为O ，则三棱锥P BCD -的外接球的表面积为（）（跟上述一样，摘面即可） A.B. C.112πD ．421π3解析：因为四边形ABCD 是菱形，π3A =，所以BCD △是等边三角形；过球心O 作'OO BCD ⊥平面，则'O 为等边BCD △的中心，取BD 的中点为E ，则BD PE ⊥且BD EC ⊥，由二面角P BD C --的大小为2π3，所以2π3PEC ∠=，即π3OEC ∠=；因为AB =，所以6AE EC ==，1'23EO E ==，在'Rt OEO △中，由π3OEC ∠=，可得4OE =；在OEC△中，222=+2cos 28OC OE EC OE EC OEC -⋅⋅∠=，即OC =，设三棱锥P BCD -的外接球的半径为R ，即R =，三棱锥P BCD -的外接球的表面积为24π112πR =，选C ．3：（跟上述第三题一样，安面面求解）在三棱锥S ABC -中,4,SB SA AB BC AC SC ======,则三棱锥S ABC -外接球的表面积是()A.40π3B.80π3C.40π9D.80π9解析：取AB 的中点D .由SAB △和ABC △都是正三角形,得,SD AB CD AB ⊥⊥,则42SD CD ==⨯=,则222222SD CD SC +=+==.故由勾股定理的逆定理,得90SDC ∠= ,设球心为O ,ABC △和SAB △的中心分别为,E F .由球的性质可知:OE ⊥平面ABC ,OF ⊥平面SAB ,又14233DE DF OE OF ====⨯=,所以由勾股定理,得3OD =所以外接球半径为3R ===.所以外接球的表面积为2280π44π(33S R ===.8.在三棱锥S ABC -中,AB BC ⊥,AB BC ==2SA SC ==．二面角S AC B --的余弦值是3,则该三棱锥外接球的表面积为_____．（找射影也行，不过按面面夹角算也行）答案：6π9.在三棱锥P ABC -中，60ABC ∠=︒，90PBA PCA ∠=∠=︒，PB PC ==点到底面ABC的距离为P ABC -的外接球的表面积为_______.答案：6π解析：解取PA 的中点O ,连接,,90OB OC PBA PCA ∠∠==︒，所以OA OB OC ==，所以O 为外接球的球心，因为PB PC ==,所以PAB PAC ≅△△，所以AB AC =,由60BAC ∠=︒，所以三角形ABC 为等边三角形，设O '为O 在底面ABC 的投影,则O '为三角形ABC 的中心,连接,OA OO ',点P 到底面ABC的距离为，所以2OO '=,设三角形ABC 的边长为a ,则3O A '=，在三角形PBA 中,PA =,可得OA =，在三角形OO A '中,222OA OO AO =+,即22311423a a +=+,解得a =所以三棱锥P ABC -的外接球的半径2OA =，所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积24π6πS R ==，10已知三棱锥A BCD -中，,1,BC CD AB AD BC CD ⊥====，则该三棱锥的外接球的体积为_______.答案：43π（双公边直角三角形，特殊的一类套中点就球心就行）11.在四面体ABCD 中，6,4,5AB CD AC BD AD BC ======，则四面体ABCD 的外接球的表面积等于_____________.（第三题的特例，对于这种对边都相等的补形法最快，如果有一组不相等，只能套上面的两种解法）答案：77π2解析：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD 的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以6,4,5为三边的三角形作为底面，且以分别为,,x y z ，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为,,x y z 的长方体，并且22222236,16,25x y x z y z +=+=+=，设球半径为R,则有()2222772R 2x y z =++=，∴2774R 2=，∴球的表面积为2774πR π2S ==故答案为：77π2。
