平面的基本性质教材

《平面的基本性质》（第一课时）教案
江苏省东台中学杨晓翔
一、教案背景
1. 学科：数学
2. 课时：1
3.面向学生：高一学生通过初中平面几何的学习，已掌握了点、线的概念、表示方法和画法。

但对初中学习过的点和直线的特征及基本性质印象不深。

二、教学课题
《平面的基本性质》（第一课时）
教学目标：
1.初步了解平面的概念，掌握平面的基本画法。

理解平面的基本性质，掌握它的应用；
2.会用图形、文字和符号描述点、直线、平面及其相互位置关系；
三、教材分析
本节课是苏教版必修2第一章《立体几何初步》的第二部分《点、线、面之间的位置关系》的第一课时。

教学重点：理解平面概念及基本性质。

教学难点：文字语言、图形语言和符号语言的转换与使用。

教学准备：多媒体课件和网络教室。

四、教学方法
多媒体教学和实验教学等。

五、教学过程
通过这一节课的研究，我们掌握了哪些知识，还有哪些感
本节课，我们类比了一参照物——直线，运用三种语言——文
七、教学反思
本节课从实例出发，引导学生从具体的实物中抽象出平面，并逐步探索其本质属性，为公理化研究问题打下伏笔，完成了一次从感悟到理性思维的飞跃；采用类比推理的模
式，让立体几何的建模与学习成为教师与学生合作下的“再创造”，实现了从二维平面到三维空间质的飞跃；集合语言的使用，加快了数学建模的进程，体现了数学符号语言的抽象美和简洁美，渗透了借形引数、以数证形、数形相辅的数学思想。

整节课内容较多，课时稍紧，可根据不同基础的学生作适当调整。

教学设计一、学习目标1、知识与技能：了解平面的概念，会其直观图的画法与表示法，掌握平面的基本性质与推论。

2、过程与方法：以学生熟悉的例子为载体，引入平面，介绍三个公理，并引导学生用图形语言、文字语言、符号语言加以准确描述。

3、情感、态度与价值观：使学生认识到我们所处的世界是三维的，在学习中提高学生的空间想象能力；通过图形、符号、文字之间的转换，体现数学的现实意义，进而增强学生的学习兴趣。

4、教学重点：平面的基本性质与推论及其应用。

教学难点：图形语言、文字语言、符号语言的转化。

5、教学方式：实物教学、类比教学、引导探究式教学用具：纸板两个、三角板一个、四条直线（自制）、三角架、投影仪二、教学过程（一）以一副对联的形式展现本节课的学习要求：“立足课本，夯实基础，学好点线面的位置关系”“利用实物，研究平面，知图形文字符号的转化”横批是本节课的标题“2.1.1平面”设计意图：以新颖的形式展现学习要求，可以增加本节课的趣味性。

（二）学生自己阅读“三维目标，教学方式，教学用具”，教师给出“教学重点和教学难点”设计意图：使学生对整节课的框架简单了解，并强调重难点。

（三）探究发现一：观察生活实例（类比直线）引入平面1、观察教室里的桌面、黑板面，给我们怎样的直观感觉？生活中还有那些物体呈现这样的形象？(给出教室、大海、操场的图片，并引导学生观察、思考、举例和互相交流。

与此同时，教师对学生的活动给予评价。

)2、几何中的平面就是从这些物体中抽象出来的，是平的、光滑的、无大小、无厚度，是无限延展的。

（类比直线总结平面的特征）设计意图：通过观察实物，使学生感受平面的形象；通过类比给出平面的特征。

（四）平面的画法及表示1.平面的画法（类比直线的画法）通常用平行四边形表示平面，平行四边形的锐角通常化成450，且横边长是邻边长的2倍（有时也用其它图形表示平面，比如三角形）。

水平放置与竖直放置直观图的画法。

2.平面表示（三种）（1）可以用希腊字母表示为“γβα平面平面平面,,”（2）可以用平行四边形的顶点表示为“平面ABCD ”（3）可以用平行四边形的对角线表示为“平面AC 或平面BD ”设计意图：学生观看教师展示实物，并用课件动态展示实物的画法与表示，可以给学生深刻的印象。

2.1.1平面的概念和性质一、学习目标：（1）准确理解平面的几何概念，掌握平面的性质。

（2）熟练掌握三种语言的转换，会用三个公理证明共点共线共面的问题。

二、学习重点难点：（1）准确理解平面的概念，会用数学符号语言表述性质，（2）掌握熟记三个公理平面的性质四、学习过程：一）自主学习（认真阅读课本P40～43）1.几何里的平面是_______________的，我们通常把水平的平面画成一个______________， 平面通常记作___________________或____________________或__________________。

2.常用符号的记法：（1）点A 在平面α内，记作______________；点A 在平面α外，记作______________。

（2）点A 在直线l 上，记作_______________；点A 在直线l 外，记作________________。

（3）直线l 在平面α内，记作_____________；直线l 不在平面α内，记作_____________。

3.公理1:假如____________________________，那么这条直线在此平面内。

用符号表示 为____________________，图形为________________,其作用是____________________。

4.公理2:假如______________________的三点，___________________一个平面。

图形为 _________________________，其作用是__________________________________。

5.公理3:假如两个不重合的平面 ，那么它们_______________________的公共直线。

用符号表示为_________________________，图形为___________________，其作用是____________________________________。

【模块标题】三大公理【教材内容１】理解记忆三大公理（2星)<引入>说到立体几何，会忍不住拿来和平面几何对比，但其实他们有个共同的名字，叫：欧式几何 ．名字由来于欧几里得，他最出名的一本著作——几何原本．在当时，受环境限制，阅读几何原本全凭相互借阅誊写，特别难得．当然，我们现在不用誊写，我们一起来看一下我们教材里面给我们要求的都有哪些公理. 1.平面的基本性质 2.公理2的推论： 语言形式 推论1推论2推论3文字语言经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面经过两条相交直线有且只有一个平面经过两条平行直线有且只有一个平面文字语言 图形语言 符号语言作用公理一如果一条直线上的___两点___在一个平面内，那么这条直线此平面内,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂（1）证明点在平面内；（2）证明直线在平面内公理二 经过___不在__同一条直线上的___三个点___，有且只有____1_____个平面,,A B C 三点不共线推出有且只有一个平面α，使得,,A B C ααα∈∈∈，即,,A B C 三点不共线,,A B C ⇒确定一个平面.（1）确定平面； （2）证明点共面公理三 如果两个不重合的平面有__1__个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共__直线__P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈ 且且（1）判断平面相交并找到交线； （2）证明点共线； （3）证明线共点图形语言符号语言A a α∉⇒有且只有一个平面，,A a a α∈⊂使得 a b P α=⇒ 有且只有一个平面，,a b αα⊂⊂使得 //a b α⇒有且只有一个平面，,a b αα⊂⊂使得<承接>通过例题的演练，加深理解公理2及其推论． 例1．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×” （1）空间三点可以确定一个平面 （ ）（2）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（ ） （3）两条直线可以确定一个平面（ ）（4）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（ ） （5）两条相交直线可以确定一个平面（ ） （6）三条平行直线可以确定三个平面（ ） （7）一条直线和一个点可以确定一个平面（ ） （8）两两相交的三条直线确定一个平面（ ） （1）× 公理2 （2）× 公理2 （3）× 公理2推论2 （4）√ 公理2推论1 （5）√公理2推论2（6）× 公理2推论3，这里可以是空间上三条平行直线 （7）× 公理2推论1（8）× 公理2推论2，这里可以是空间上三条直线，比如长方体的一个“角”的三条直线<承接>例题重在考察如何确定一个平面，练习考察知共面不共线的条件. 练１．空间四点A B C D 、、、共面而不共线，那么四点中（ ）A.必有三点共线B.必有三点不共线C.至少三点共线D.不可能有三点共线A .反例：平面四边形ABCD ；C ．至少三点共线，就可以四点共线，与题设矛盾；D 是B 的反面，B 对D 错，因为必有三点不共线才能确定一个平面； 答案：B<要点提炼>注：可以尝试用逆否命题去判断，也能比较轻松得到答案.<承接>下面是公理间的结合考察.例2．如图，点E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，则过点E 与直线AB 和11B C 都相交的直线的条数是 条．由公理2得：ABE 确定平面ABE ，11B C E 确定平面11B C E ;由公理3得：11,ABE B C E l E l =∈ 平面平面这样的直线有且只有一条. 答案：1练2.在空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 上分别取,,,E F G H 四点，如果EF 与HG 交于点M ，那么( )A ．M 一定在直线AC 上B ．M 一定在直线BD 上C ．M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上 D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上答案：.A 点M 一定在平面ABC 和平面CDA 的交线AC 上．<承接>前面都在讲概念，例3是画图加深理解.例3．如图,P 是正方体1111ABCD A B C D -棱1CC 中点．画出平面11B D P 与平面ABCD 的交线.考点：公理1 答案：直线EF 为所求练3．在正方体1111ABCD A B C D 中，画出平面1ACD 与平面1BDC 的交线，并且说明理由．如图，EF 为所求．<承接>在概念理解的基础上，研究三大公理的功能作用.P D 1C 1B 1A 1DCBAM ABCD B 1C 1D 1A 1【教材内容2】会用三大公理证明“点共线”（3星)要证“点共线”：可将线看作两个平面的交线，只需要证明这些点都在这两个平面内，根据公理3得这些点都在交线上，故共线.例4．如图，点E F G H 、、、分别是空间四边形的棱,AB,BC CD,DA 上的点，且EH 与FG 相交于点O . 求证：点B D O 、、三点共线．<板书演示>ABD BDC BD = 平面平面点E F G H 、、、分别是空间四边形的棱AB,CD,DA 上的点 EH FG O = ,O EH O FG ∴∈∈ABD EH O ABD ⊂∈∴ 平面平面 BDCO B C FG D ⊂∴∈ 平面平面O BD ∴∈点B D O 、、三点共线.<要点提炼>点拨：证明点共线，可将线看作两个平面的交线，只需要证明这些点都在这两个平面内，根据公理3得这些点都在交线上，即点共线.练4．已知,,,E F G H 分别是空间四边形ABCD 各边,,,AB AD BC CD 上的点，且直线EF 和GH 交于点P ． 求证：,,B D P 在同一条直线上．ABFCGDHEO<板书演示>因为EF G P = ，所以P EF ∈， 而EF ABD ⊂平面，所以P ABD ∈平面， 同理P BCD ∈平面．因为ABD BCD BD = 平面平面，所以P BD ∈， 故,,B D P 三点在一条直线上．【教材内容3】会用三大公理证明“点共面”（3星)“点共面”问题，通常分两类： 1.四点共面：一般在证明四点共面的时候，我们通常利用平面的公理二的推论直接证明，即证明它们所在的直线平行或相交，从而得证这四点共面． 2.点个数多余四个：可用纳入法证明，即由部分点确定一个平面，再证其余点在平面内（公理1、公理2）. 也可将点分成两部分，先由每部分分别确定一个平面，再证明两平面重合.例5．如图，已知1111ABCD A B C D -是棱长为3的正方体，点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11AE FC ==．求证：1E B F D 、、、四点共面.<板书演示>A 1D 1C 1B 1D CB A FE在1DD 上取点N ，使得1DN =，连接CN EN ，，显然，1CFD N 四边形是平行四边形1//D F CN ∴同理，DNEA 四边形为平行四边形//,EN AD EN AD ∴=且 //,BC AD BC AD = 且 //,EN BC EN BC ∴=CNEB ∴四边形为平行四边形，CN //BE ，1D F //BE故1E B F D 、、、四点共面<要点提炼>点拨：证明四点共面，即证线线相交或者平行（公理2）.<承接>点个数多余四个.练5．如图，设,,,,,P Q R S M N 分别为正方体1111ABCD A B C D -的棱111111,,,,,AB BC CC C D A D A A 的中点，求证：,,,,,P Q R S M N 共面．第一步，证明SR 与MQ 确定一个平面α． 第二步，证明MQ 与NP 确定一个平面β第三步，证明α与β是同一个平面<承接>下面“线共点 ”问题，考察公理2，公理3.【教材内容4】会用三大定理证明“线共点（3星)要证“线共点”：即证三条或者三条以上直线交于一点，需先证两条线交于一点，再证交点在第三条直线上. 例6．已知长方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是1AA 与AB 的中点，求证：1,,D M DA CN 三线共点．<板书演示>在长方体1111ABCD A B C D -中可证1MN CD ‖, 则根据公理二的推论可知1,,,M N C D 四点共面， 又1D M 和CN 不平行，所以它们相交，设交点为K ．由于1,K CN K D M ∈∈，所以11,K ABCD K ADD A ∈∈面且面. 于是K 为面ABCD 和面1111A B C D 的公共点．根据平面的基本性质中的公理三，K 在它们的交线AD 上． 于是1,,D M CN AD 三线共点．<要点提炼>点拨：证明线共点，即证三条（或3>）直线交于一点，需先证两条线交于一点，再证交点在第三条直线上练6．如图，在空间四边形ABCD 中，E F 、分别为AB CB 、上的点，H G 、 分别为DA DC 、上的点.且1,2AE CF AH CGEB FB HD GD====. 求证：EH BD FG 、、三线交于一点．<板书演示>连接,EF GH//,//,EF AC HG AC EH FG ∴且不平行 不妨设//EH FG =P,P EH EH ABD ∴∈⊂面 P ABD ∴∈面同理，P BCD ∈面 =ABD BCD BD 面面P BD ∴∈所以，EH BD FG 、、三线交于一点【教材内容5】会用三大公理证明“线共面”（3星)要证“线共面”：可用纳入法证明，可由部分线确定一个平面，再证其余线在平面内（公理1、公理2）. 也可将线分成两部分，先由每部分分别确定一个平面，再证明两平面重合.例7．已知一直线d 与三条平行线,,a b c 都相交，求证：这四条直线在同一个平面内．<板书演示>设,,d a A d b B d c C ⋂=⋂=⋂=． 由a b ‖，知直线,a b 确定平面α， ,A B αα∴∈∈．d α∴⊂．即直线,,a b d 同在平面α内．同理，直线,,b c d 同在由直线,b c 确定的平面β内． 由d b B ⋂=，知平面α与平面β重合． 故,,,a b c d 同在一个平面内．<承接>下面纳入法证明.练7．已知,,,a b c d 两两相交且任何三条直线都不过同一点，证明这四条直线共面．如图，,,,a b c d 四条直线两两相交，且任三条直线都不过同一点，则一共有六个交点，记为,,,,,A B C D E F ．根据平面的基本性质中的公理二的推论，,a b 确定一个平面，记为α． 因为,B b F α∈∈，而,a b αα⊂⊂，所以,B F αα∈∈.而,B c F c ∈∈，所以根据平面的基本性质中的公理一，得c α⊂. 同理可得d α⊂.于是,,,a b c d 四条直线共面．dcb a【模块小结】1.回顾空间中的三大公理2.回顾证明“点共面”、“线共面”、“点共线”、“线共点”的方法11。

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【拓展1】用符号语言表示下列语句 1.点A 在直线l 上，点B 不在直线l 上 2.平面α与平面β相交于过点A 的直线l
3.直线l 在平面α内，直线m 与平面α有且只有一个公共点M
【拓展2】.已知直线a ,b ,c ,且a b A = ，a c B = ，b 和c 异面，试画出图形表示他们之间的关系
【小结】
探究点二：平面的基本性质及推论应用
【例2】已知平面ABD 与平面CBD 相交于直线BD ，直线EF 与直线GH 分别在已知的两个平面内且相交于点M ，则点M 在直线 （ ）
A. AB
B. AC
C. BC
D. BD
【拓展】（BC 层选作）如图，已知△ABC 的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB 、BC 、AC 延长后分别交平面α于
点P ，O ，R.求证：点P,O,R 在同一直线上
【我的收获】 1.知识方面
． 2.数学思想方法
． 3.我的感悟：。

．
R A C B
P O A
M
G
E
D
B
C
H
F。

1.2.1平面的基本性质（1）
教学目标：
1. 初步理解平面的概念；
2. 了解平面的基本性质（公理1、2、3）；
3. 能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系；
4. 能运用平面的基本性质解决一些简单的问题．
教材分析及教材内容的定位：
教材首先从生活中的草原、湖面等抽象出平面的描述性概念．教学中要让学生认识到平面是没有厚薄的，是无限延展的．进而阐述平面的基本性质即公理，它们是研究立体几何的理论基础，是今后推理论证的出发点和依据．教学中应重视文字语言、图形语言和符号语言的相互转换．
教学重点：
平面的基本性质．
教学难点：
正确使用图形语言、符号语言表示平面的基本性质.
教学方法：
实验、探究、发现
教学过程：
一、问题情境
投影
立体几何平面几何
现实生活中有哪些事物能够给我们以平面的形象，它们的共同特征主要有哪些？
二、学生活动
思考、联想列举出诸如平静的水面、广阔的平原、光滑的桌面、黑板面等等平面的形象．进而归纳出它们的共同特征是平坦的、与厚薄无关．
符号表示: AB
B α
α
⇒⊂⎬
∈⎭
⑤直线l是平面α和β的交线，直线m在平面α内，l 和m相交于点P．五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．平面的含义、表示和画法；
2．点、直线、平面之间的基本关系；
3．平面的基本性质（公理1，公理2，公理3）．。

张喜林制1.2.1 平面的基本性质与推论教材知识检索考点知识清单1．点与直线的基本性质连接两点的线中， 最短；过两点有 ，并且只有 ． 2．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线上的 ，这时我们就说：直线在 或 ．公理2：经过 的三点，有且只有一个 即 的三点确定 ．公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有 条过 的公共直线． 3．平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和____，有且只有____推论 2：经过两条____，有且只有____ ． 推论3：经过两条____，有且只有____．要点核心解读1．平面的基本性质 (1)公理l①三种语言表述文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内， 图形语言：如图1-2 -1-1． 符号语言：⇒∈∈∈∈ααB A l B l A ,,,.α⊂l②公理1的条件是“线上有两点在平面内”，结论是“线上的所有点都在平面内”，这个结论阐述两个观点，一是整条直线在平面内，二是直线上的所有点在平面内． ③作用：判定直线是否在平面内，判定点是否在平面内． (2)公理2①三种语言表述文字语言：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．图形语言：如图1-2 -1-2．符号语言：A ，B ，C 三点不共线等有且仅有一个平面α，使.,,ααα∈∈∈C B A②公理2的条件是“过不在同一直线上的三点”，结论是“有且仅有一个平面”，要注意“不在同一条直线上”这一附加条件，舍之则结论不成立．结论中“有且仅有”即“存在且唯一”，又可称之为“确定”平面．③公理2的三个推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．④公理2及三个推论的作用：其一是确定平面，其二可用来证明点、线共面的问题，其三是用来作为计算平面个数的依据． (3)公理3①三种语言表述文字语言：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线． 图形语言：如图1-2 -1-3．符号语言：.l P l P ∈=⇒∈且βαβα②公理3的条件是“两面共一点”，结论是“两面共一线，且过这一点，线唯一”．③作用：其一是判定两个平面是否相交，其二是判定点在直线上，可用来证明多点共线或多线共点问题2．平面基本性质的理解及应用 平面基本性质的三条公理及推论，是我们学习和研究立体几何问题的重要基础，根据平面的基本性质，常将空间图形转化为平面图形解决，这是解答立体几何问题的重要思想方法．(1)公理1是判定直线是否在平面内的依据，运用公理1可判定直线是否在某一平面内．(2)公理2以及推论是确定平面的依据，确定一个平面，包括两层意思：①存在一个平面；②只有一个平面．公理2及其三个推论是四个等价命题．(3)公理3是确定两个平面相交于一条直线的依据，运用公理3可判定多点共线或点在线上．(4)证明空间三点共线的问题．通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面内又在第二个平面内，当然必在两个平面的交线上．(5)证明空间三线共点的问题可把其中一条作为分别过其余两条的两个平面的交线，然后存证另两条直线的交点在此直线上．(6)证明空间几点共面的问题，可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证其他各点都在这个平面内．(7)证明空间几条直线共面的问题，可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证其余直线在这个平面内，或者从这些直线中取任意两条确定若干个平面，再一一确定这些平面重合．典例分类剖析考点1 判断命题的正误 命题规律判断对给出的公理及推论的理解或不同表述是否正确. [例1] (1)下列命题中不正确的是( ).A.若一条直线上有一点在平面外，则直线上有无穷多个点在平面外B ．若,,,ABC B A ∈∈∈αα则α∈C C ．若,,,,B b l A a lb a ==⊂⊂ αα则α⊂lD ．若一条直线上有两点在已知平面外，则直线上的所有点都在平面外(2)直线⊂a 平面α，直线⊂b 平面b N a M ∈∈,,α且,l M ∈,l N ∈则( )．α⊂l A . α⊂/l B . M l C =α. N l D =α . [试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能）[解析] (1)根据公理l ，直线在平面内的条件是直线上有两个点在平面内即可，因此选D ．,,,,,,)2(ααα∈∴⊂⊂∈∈N M b a b N a M 而M ．N 确定直线L ．根据公理1可知,α⊂l 故选A ．[答案](1)D(2)A母题迁移 1．下列命题：(1)空间不同的3点确定一个平面； (2)有3个公共点的两个平面必重合；(3)空间两两相交的三条直线确定一个平面； (4)三角形是平面图形；(5)平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； (6)垂直于同一直线的两直线平行；(7)-条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； (8)两组对边相等的四边形是平行四边形， 其中正确的命题是 ． 考点2 平面个数的确定 命题规律由给定的条件，借助公理确定平面的个数． [例2] (1)不共面的四点可以确定几个平面？(2)三条直线两两平行但不共面，它们可以确定几个平面？ (3)共点的三条直线可以确定几个平面？ (4)空间三点可以确定几个平面？[答案] (1)不共面的四点可以确定四个平面．(2)三条直线两两平行但不共面，它们可以确定三个平面． (3)共点的三条直线可以确定一个或三个平面．(4)若空间三点不共线，由公理2，则可以确定一个平面；若空间三点共线，则过三点的平面有无数多个，但这三点都不能确定其中的任何一个平面，此时有0个平面．故空间三点可以确定一个或0个平面． [点拨] (1)判定平面的个数问题关键是要紧紧地抓住已知条件，做到不重不漏．平面的个数问题主要是根据已知条件和公理2及其三个推论来判定．(2)题中“确定”即“有且只有”．“有”是说平面存在，“只有”是说平面的唯一性．(3)解此类问题要注意理解“确定”的含义，否则(4)中就会错答为“可确定一个或无数个平面”． 母题迁移 2．四条直线两两平行，任意三条不共面，过其中的任意两条作一个平面，共可以作平面____个.考点3 线共点问题命题规律 证明满足某些条件的几条直线交于一点．[例3] 如图1-2 -1-5所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且满足===GD CG FB CF EB AE :,1:2::,1:3过E 、F 、G 的平面交AD 于H(1)求AH ：HD ；(2)求证：EH 、FC 、BD 三线共点．[答案] (1) ,//,2AC EF FBCFEB AE ∴== //EF ∴平面ACD ．而⊂EF 平面EFCR ，平面 EFGH平面,GH ACD =.3.//,//,//==∴∴∴GDCGHD AH GH AC AC nEF GH EF,//)2(GH EF 且,41,31==AC GH AC EF ∴=/∴,GH EF 四边形EFGH 为梯形．令,P FG EH= 则⊂∈∈EH FG P EH P 又,,平面ABD ，⊂FG 平面BCD ，平面 ABD 平面,BD BCD =BD FG EH BD P 、、∴∈∴⋅三线共点．[点拨] 证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线，点看作是两平面的公共点，由公理3得证．母题迁移 3．三个平面两两相交得到三条交线，如果其中有两条相交于一点，那么第三条也经过这个点．考点4 点共线问题命题规律 证明满足某些条件的几个点在一条直线上.[例4] 正方体1111D C B A ABCD -中，对角线C A 1与平面1BDC 交于点O ，AC 、BD 交于点M ，求证：点M O C 、、1共线．[解析] 要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可．[答案] 如图1-2-1-6所示，C C A A C C A A 1111//、⇒确定平面,1C A的交线上与平面在平面平面直线平面平面平面D BC C A O D BC D BC C A O C A 111111111⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∈⇒=∈⇒⎭⎬⎫∈⊂O O C A O C A C A ,D BC C A 111111M C O M C C A D BC O ∈⇒⎭⎬⎫=平面平面的交线上与平面在平面即M C O 、、1三点共线．[点拨] 证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点．这样就可根据公理3证明这些点都在这两个平面的公共直线上， 母题迁移 4．已知△ABC 在平面α外，直线,P AB =α 直线,R AC =α 直线,Q BC =α 如图1 -2-1 -7.求证：P 、Q 、R 三点共线． 考点5点、线共面问置命题规律证明满足某些条件的若干个点或直线在题同一平面内.[例5] 如图1-2 -1-8所示，M 、N 、P 、Q 分别是正方体////D C B A ABCD -中棱///CC D C BC AB 、、、的中点．求证：M 、N 、P 、Q 四点共面．[解析] 要证这四点共面，方法较多，但注意到本题中点P 、Q 、N 、M 的特殊性及对正方体的理解和认识，可证直线PQ 和MN 相交或M P// NQ.[答案] 证法一：如图l-2-1-8所示，连接MN 并延长交DC 的延长线于O ，则≅∆MBN ,OCN ∆.BM CO =∴连接PQ 并延长交DC 的延长线于,/O 则,//CQ O Q PC ∆≅∆/////,,.O O CO CO PC MB PC CO 、又∴=∴==∴ 重合，∴ PQ 、MN 相交且确定一个平面，故M 、N 、P 、Q 四点共面．证法二：∴,///PC MB 四边形P MBC /为平行四边形．⋅∴∴NQ MP BC NQ BC MP //,//.////∴ MP 与NQ 确定一个平面， 故M 、N 、P 、Q 四点共面．[点拨] 一般地，证明若干个点共面，可证明这些点所在的直线相交，或先证明其中的三点共面，再证明其他的点也在这个平面内，这往往就要用到有关的定理或推论， 母题迁移 5．求证：两两相交且不共点的四条直线共面．学业水平测试1．下列叙述中正确的是( )．A ．因为,,αα∈∈Q P 所以α∈PQB ．因为,,βα∈∈Q P 所以PQ =βαC ．因为,,,ABD AB C AB ∈∈⊂α所以α∈CD D ．因为,,βα⊂⊂AB AB 所以)()(βαβα∈-∈∏B A2．下列命题中是真命题的是( )． A ．空间不同的三点确定一个平面B ．有三个内角是直角的空间四边形是矩形C ．三条直线中任意两条均相交，则这三条直线确定一个平面D ．顺次连接空间四边形各边的中点所得的四边形其对角线必共面3．在空间，若四点中的任意三点不共线，则此四点不共面．此结论( )． A ．正确 B ．不正确 C ．无法判断 D ．缺少条件 4．已知点A ，直线a ，平面α;,αα∉⇒⊂/∈A a a A ①;,αα∈⇒∈∈A a a A ②⊂∉a a A ,③;αα∉⇒A .,αα⊂⇒⊂∈A a a A ④以上命题正确的个数为 ．5．下列命题：①空间3点确定一个平面；②有3个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；⑧两组对边相等的四边形是平行四边形，其中正确的命题是 ． 6．有空间不同的五个点．(1)若有某四点共面，则这五点最多可确定多少个平面？(2)若任意四点都在同一平面内，则这五点共能确定多少个平面？并证明你的结论，高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分） 一、选择题（6分x 7 = 42分）1．空间四点A 、B 、C 、D 共面而不共线，那么四点中( )． A ．必有三点共线 B ．必有三点不共线 C ．至少有三点共线 D ．不可能有三点共线 2．如图1-2-1-11所示，平面,l =βα 点、A ,α∈B 点β∈C 且,,R l AB l C =∉ 设过A 、B 、C 三点的平面为γ，则γβ是( )．A ．直线ACB ．直线BC C ．直线CRD ．以上均不正确3．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成( )． A.5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分 4．在空间内，可以确定一个平面的条件是( )．A ．两两相交的三条直线B ．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交C ．三个点D ．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点5．如图1-2 -1-12所示，正方体-ABCD 1111D C B A 中，P 、Q 、R 分别是11C B AD AB 、、的中点．那么，正方体过P 、Q 、R 的截面图形是( )．A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形6．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面a 共有( )． A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．7个7．三条直线两两相交，由这三条直线所确定的平面个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．1或3二、填空题（5分x4 =20分）8．如果一条直线与一个平面有一个公共点，则这条直线可能有 个点在这个平面内． 9．有下面几个命题：①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④四边形有三条边在同一个平面内，则第四条边也在这个平面内；⑤点A 在平面α外，点A 和平面a 内的任何一条直线都不共面． 其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确的序号都填上） 10.如图1-2 -1 -13所示，正方体-ABCD 1111D C B A 中，E 、F 分别为1CC 和1AA 的中点，画出平面F BED 1与平面ABCD 的交线的作法为11．如图1-2 -1-14所示，E 、F 分别是正方体的面11A ADD 和面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的投影可能是 （要求：把图1-2 -1 -15中可能的图的序号都填上）三、解答题（共38分）12.（8分）如图1-2-1-16所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为AB 的中点，F 为1AA 的中点．求证：DA F D CE 、、1A 三线交于一点．13.（10分）如图1-2-1 -17所示，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，M 为AB 的中点，N 为1BB的中点，D 为平面11B BCC 的中心．(1)过O 作一直线与AN 交于P ，与CM 交于Q （只写作法，不必证明）；(2)求PQ 的长．14.（10分）如图1-2-1-18所示，正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1111.B C C D 的中点。