1.2 空间向量基本定理-基础练(原卷版) 含答案.pdf

1.2空间向量基本定理-基础练（原卷版）.pdf1.2 空间向量基本定理-基础练一、选择题1.有以下命题：如果向量与任何向量不能组成空间向量的一组基底,那么的关系是不共线；为空间四点,且向量不组成空间的一个基底,则点一定共面；已知向量是空间的一个基底,则向量也是空间的一个基底其中正确的命题是A. B. C. D.2.设向量a ,b ,c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )A.{a+b ,b-a ,a }B.{a+b ,b-a ,b }C.{a+b ,b-a ,c }D.{a+b+c ,a+b ,c }3.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为点M ,=a ,=b ,=c ,则下列向量中与相等的向量是()A.-a +b +cB.a +b +cC.-a -b -cD.-a -b +c4.已知O ,A ,B ,C 为空间不共面的四点,且向量a =,向量b =,则不能与a ,b 组成空间的一个基底的是( )A. B. C. D.5．（多选题）（2020宁阳县四中高二期末）给出下列命题,其中正确命题有（）A ．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B ．已知向量,则与任何向量都不能组成空间的一个基底//a b ,a b C ．是空间四点,若不能组成空间的一个基底,那么共面,,,A B M N ,,BA BM BN ,,,A B M N D ．已知向量组是空间的一个基底,若,则也是空间的一个基底{},,a b c m a c =+ {},,a b m 6．（多选题）设,,是空间一个基底 a b c ()A ．若,,则a b ⊥ b c ⊥ a c ⊥B ．则,,两两共面,但,,不可能共面a b c a b c C ．对空间任一向量,总存在有序实数组,,,使p (x y )z p xa yb zc =++D ．则,,一定能组成空间的一个基底a b + b c + c a + 二、填空题7.在空间四边形OABC 中,=a ,=b ,=c ,点M 在线段AC 上,且AM=2MC ,点N 是OB 的中点,则=______.210．（2020山东菏泽四中高二期末）在正四面体中,,分别为棱、的中点,设,,,用,,表示向量______,异面直ABCD M N BC AB AB a = AC b = AD c =u u u r r a b c DM = 线与所成角的余弦值为______.DM CN 三、解答题11.已知{e 1,e 2,e 3}是空间的一个基底,且=e 1+2e 2-e 3,=-3e1+e 2+2e 3,=e 1+e 2-e 3,试判断{}能否作为空间的一个基底?若能,试以此基底表示向量OA OB OC ,,OA OB OC OD =2e 1-e 2+3e 3;若不能,请说明理由.12.如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',点E 是上底面A'B'C'D'的中心,取向量为基底的基向量,在下列条件下,分别求x ,y ,z 的值.(1)=x+y+z ;(2)=x+y+z.知识改变命运。

1.2空间向量基本定理-基础练一、选择题1.有以下命题：①如果向量疋，牙与任何向量不能组成空间向量的一组基底，那么〒的关系是不共线：②OJ、HC为空间四点，且向^oA,oB,o5不组成空间的一个基底，则点O.A.B.C-^共而：③已知向量万,了,疋是空间的一个基底，则向量N + 了，N-了，疋也是空间的一个基底•英中正确的命题是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【参考答案】C【解析】①如果向量疋,飞与任何向虽不能组成空间向於的一组基底.那么疋,7的关系是不共线，不正确.反例：如果7中有…个向量为零向量.N, 7共线但不能组成空讪叩上的一组基底,所以不正确.②OAB.C为空间四点，且向量刃，丙，况不组成空间的一个基底，那么点O AB,C •定共而：这是正确的.③已知向量N, T,疋是空间的一个基底,则向星万+〒,万一T, W，也是空间的一个基底：因为三个向量非零不共线，正确.故选C.2•设向量a.b.c不共而，则下列可作为空间的一个基底的是（）A.{a+b.b-a.a}B.{ a+b,b-a,b}C.{ a+b.b-a.c}D.{ a+b+c.a+b.c}【参考答案】c【解析】由已知及向量共而加理，易得a+b.b-a.c不共而，故可作为空间的一个基底.3.如图，在平行六而体ABCD-AiBiCiDi中"C与BD的交点为点A/.=a=b=cJi］下列向呈:中与相等的向量是（）A.-a+b+cB.a+b+cC.-a-b-cD.-a-b+c【参考答案】c【解析】）-（）=-a-b-c.4.已知OAbC为空间不共而的四点，且向虽:曲,向量b=，则不能与a.b组成空间的一个基底的是（）A. B. C. D.【参考答案】C【解析】：'a=.b=,・：（a-b）,・：与向量a.b共面,• ：ab不能组成空间的一个基底.5.（多选题）（2020宁阳县四中高二期末）给出下列命题，其中正确命题有（）A.空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B.已知向量方///；,则厶』与任何向量都不能组成空间的一个基底C.A、B、M、N是空间四点，若丽，丽,丽不能组成空间的一个基底，那么A、BMN共而D.已知向量{",可组是空间的一个基底，若fn = a+c^\{a,b,m}也是空间的一个基底【参考答案】ABCD【解析】选项A中.根据空间基底的概念，可得任意三个不共而的向量都可以作为一个空间肚底•所以A止确：选项8中，根据空间基底的概念，可得B正确：选项C中.由丽，丽.丽不能组成空间的一个基底，可得共而,又由页，丽；丽过相同点得A、B、M、N四点共而，所以C正确：选项D中：由仏乙,：}是空间的一个基底，则基向量f 川］就不=方+ ：—疋不共而.所以可以组成空间另一个基底，所以D正确.故选：ABCD.6.（多选题）设工是空间一个基底（）A.若“丄5屮丄芒，则〃丄0B.则"工两两共而，但不可能共而C.对空间任一向量"，总存在有序实数组（x?\叫使"= Xii + W +疋D.则〃 +厶，/； + c：,个+ 〃一泄能组成空间的一个基底【分析】利用N /疋是空间一个基底的性质宜接求解.【解答】解：由「心是空间一个基底，知：在A中，若〃丄b上丄8 ,则N与°相交或平行，故A错误；在“中,"工两两共而，但ab^c不可能共而，故B正确：在C中,对空间任一向量P.总存在有序实数组“，卩，2）,使"=加+ W + zc，故C正确；D^Ji + b .b+c s+li能组成空间的一个基底，故D正确.故选：BCD.二、填空题7•在空间四边形OABC中,=a.=b.=c,点M在线段AC上，且AM=2MC,点N是OB的中点，则= ______【参考答案】-a+b-c【解析】）,，（ac）-a+b=-a+b-c.8.在正方体ABCD-AiB^Di中，设=a=b.=c^iCi与B）Di的交点为£则=_________________ .【参考答案】-a+b+c【解析】如图,）=）=.a+b+c.9•若a=ei+e2.b=e2+e3X=ei+e3，d=e]+2e2+3e3,若ei.e》.© 不共而，当(1=如+妙)+徑时,a+0+y= .【参考答案】3【解析】由已知d=(a+y)ei+(a+“)e2+(?+“)e3,所以故有a+B+y=3・10.（2020山东荷泽四中髙二期末）在正四而体ABCD中,M/V分别为棱BC、A3的中点，设AB = a .AC = b ^AD = c用；C表示向^DM= _____________________ 异面直线DM与CN所成角的余弦值为_________ ・【解析】画出对应的正四而体，设棱长均为1则三. 解答题11. 已知｛ei,e2,e 3｝是空间的一个基底，且OA =ei+2e 2-e 3,o§ =-3ei+e 2+2e 3,OC =ei+e 2-e3,U^W ｛ CM,OB,OC ｝能否作为空间的一个基底?若能，试以此基底表示向量而 =2ere 2+3e 3 ；若不能，请说明理由.【参考答案】^ ob=^OA-5oB -30oc .【解析】能作为空间的一组基底.假设页，西,况共而•由向G 洪而的充要条件知存在实数心使=A OB +yOC 成立 e ｛ +爲_召=x(-3e l +e 2 +爲)+y(e x +e^-3e^) = (-3x+y)e[+(x+y)呂+(2x-刃&又因为｛勺，勺心｝是空W J 的一个基底，所以百忑耳不共£-3x + y = 1,因此＜ x + y = 2,此方程组无解，即不存在实数xy 使丙+.vOC •2r )=l,所以鬲，刃，况 不共而•故｛鬲,西.龙｝能作为空间的一个基底.设 OD=POA 十qUS +z 况，则有2e\-e 2 + 込=〃(弓+2勺-e i )+q(-3e l +e 2 +2®) + z (弓+勺 一6)= (“_3q + z )G + (2〃 + q + z)& + (_/? + 2g_z )sp ・3q + z = 2, 2" + § + z = -l,•解得 < ・p + 2g ・z = 3, 故 OD=^OA^OB^OC12•如图，已知正方体ABCDABCD ：点E 是上底而A'BCD 的中心，取向量为基底的基向量，在下列条件下,分别求料忆的值. (l)=x+y+z ；(2)=x+y+z.2DM -2CN\ 0 + 乙-2?).(方-M)1一1 + — 一2 — 1 + 2 丄.〃 =17,q = 5Z = -30.因为陽瓦习为空间的-个基底，所以＜【参考答案】见解析【解析】(1)因为又*y+z, 所以.x=Ly=-l^:=l.(2)因为=)=,又=x+y+z.所以・*=尸忆=1・。

1.2 空间向量基本定理课后篇巩固提升1.如图,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为M ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则下列向量中与C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( ) A.-12a +12b +cB.12a +12b +cC.-12a -12b -cD.-12a -12b +cC 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )-(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12a -12b -c .2.(2020广东汕头金山中学高二上期中)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,点E 为上底面A 1C 1的中心,若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x ,y 的值分别为( ) A.1,1B.1,12C.12,12D.12,1AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x=12,y=12.故选C .3.在空间四边形OABC 中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,点M 在线段AC 上,且AM=2MC ,N 是OB 的中点,则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.23a +12b -23cB.23a -12b +23cC.-13a +12b -23cD.13a +12b -13cMA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ , MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(a -c )-a +12b =-13a +12b -23c .4.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,A 1C 1与B 1D 1的交点为E ,则BE⃗⃗⃗⃗⃗ = .,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12a +12b +c .-12a +12b +c5.已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面,∠BAC=90°.求证:AB ⊥AC 1.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b +c .所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ·(b +c )=a ·b +a ·c , 因为AA 1⊥平面ABC ,∠BAC=90°, 所以a ·b =0,a ·c =0, 得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故AB ⊥AC 1. 6.如图所示,在平行四边形ABCD 中,AD=4,CD=3,∠ADC=60°,PA ⊥平面ABCD ,PA=6,求线段PC 的长.ABCD 中,∠ADC=60°,所以∠BAD=120°.又PA ⊥平面ABCD , 所以PA ⊥AB ,PA ⊥AD.因为PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AP⃗⃗⃗⃗⃗ )2= √|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ -2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗=√9+16+36+2×3×4×(-12)-0-0=7,即线段PC 的长为7.关键能力提升练7.(2020安徽淮北一中高二上期中)已知M ,N 分别是四面体OABC 的棱OA ,BC 的中点,点P 在线段MN 上,且MP=2PN ,设向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.16a+16b+16cB.13a+13b+13cC.16a+13b+13c D.13a+16b+16cOP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=23ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(OB⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+13×12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b +13c +16a ,故选C .8.在四面体O -ABC 中,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上的一点,且OG=3GG 1,若OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则(x ,y ,z )为( ) A.(14,14,14) B.(34,34,34) C.(13,13,13) D.(23,23,23)如图所示,连接AG 1交BC 于点E ,则E 为BC 的中点,AE⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ ), AG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ). 因为OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =3GG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OG ⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=34(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗)=14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC⃗⃗⃗⃗⃗ .9.(多选题)在三棱锥P-ABC 中,三条侧棱PA ,PB ,PC 两两垂直,且PA=PB=PC=3,G 是△PAB 的重心,E ,F 分别为棱BC ,PB 上的点,且BE ∶EC=PF ∶FB=1∶2,则下列说法正确的是( ) A.EG ⊥PG B.EG ⊥BC C.FG ∥BC D.FG ⊥EF,设PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则{a ,b ,c }是空间的一个正交基底,则a ·b=a ·c=b ·c=0.取AB 的中点H , 则BC⃗⃗⃗⃗⃗ =c-b , PG⃗⃗⃗⃗⃗ =23PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(a+b )=13a+13b , PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23b+13c ,则EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =PG ⃗⃗⃗⃗⃗ −PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a+13b-23b-13c=13a-13b-13c ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ =c-b , FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =PG ⃗⃗⃗⃗⃗ −PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a+13b-13b=13a ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =PF⃗⃗⃗⃗⃗ −PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b-13c+23b =-13c-13b. EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故A 正确;EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故B 正确;FG ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ),故C 不正确;FG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故D 正确.故选ABD .10.若a=e 1+e 2,b=e 2+e 3,c=e 1+e 3,d=e 1+2e 2+3e 3,若e 1,e 2,e 3不共面,当d =α a +β b +γ c 时,α+β+γ=.d =(α+γ)e 1+(α+β)e 2+(γ+β)e 3,所以{α+γ=1,α+β=2,γ+β=3,故有α+β+γ=3.11.(2020浙江杭州学军中学高二上期中)在棱长为a 的正四面体ABCD 中,E ,F 分别为棱AD ,BC 的中点,则异面直线EF 与AB 所成角的大小是 ,线段EF 的长度为 .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则{a ,b ,c }是空间的一个基底,|a|=|b|=|c|=a ,a ·b=a ·c=b ·c =12a 2.∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a+b )-12c ,∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a 2+12a ·b-12a ·c =12a 2,|EF⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(12a +12b -12c) 2=√22a. ∴cos <EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ |EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗|=12a 2√22a×a =√22, ∴异面直线EF 与AB 所成的角为π4.√22a 12.如图所示,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,试用a ,b ,c 表示MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .AN ,则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 由已知可得四边形ABCD 是平行四边形,从而可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b ,MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13(a +b ),又A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b -c ,故AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −13A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b -13(b -c ),所以MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13(a +b )+b -13(b -c )=13(-a +b +c ). 13.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,已知E ,F ,G ,H 分别是CC 1,BC ,CD 和A 1C 1的中点.证明: (1)AB 1∥GE ,AB 1⊥EH ; (2)A 1G ⊥平面EFD.设正方体棱长为1,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =i ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =j ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k ,则{i ,j ,k }构成空间的一个单位正交基底. AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =i +k ,GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =GC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12i +12k =12AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AB 1∥GE.EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1H ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12k +(-12)(i +j )=-12i -12j +12k , ∵AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(i +k )·(-12i -12j +12k)=-12|i |2+12|k |2=0,∴AB 1⊥EH.(2)A 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =-k +j +12i ,DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =i -12j ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =i +12k .∴A 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-k +j +12i)·(i -12j)=-12|j |2+12|i |2=0,∴A 1G ⊥DF.A 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-k +j +12i)·(i +12k)=-12|k |2+12|i |2=0,∴A 1G ⊥DE.又DE ∩DF=O ,∴A 1G ⊥平面EFD.学科素养创新练14.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是BB 1,D 1B 1的中点,求证:EF ⊥平面B 1AC.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,有a ·b =0,a ·c =0,b ·c =0,则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(-a +b +c ),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b .∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(-a +b +c )·(a +b )=12(|b |2-|a |2)=0.∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即EF ⊥AB 1.同理EF ⊥B 1C. ∵AB 1∩B 1C=B 1,∴EF ⊥平面B 1AC.。

1.2 空间向量基本定理-基础练一、选择题1.有以下命题：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，则点一定共面；已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底其中正确的命题是A.B. C. D. 【答案】C【解析】如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线，不正确．反例：如果中有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．，A ，B ，C 为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 一定共面；这是正确的．已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确．故选C ．2.设向量a ,b ,c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )A.{a+b ,b-a ,a }B.{a+b ,b-a ,b }C.{a+b ,b-a ,c }D.{a+b+c ,a+b ,c }【答案】C【解析】由已知及向量共面定理,易得a+b ,b-a ,c 不共面,故可作为空间的一个基底.3.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为点M ,AB =a ,AD =b ,AA 1=c ,则下列向量中与C 1M 相等的向量是( )A.-12a +12b +cB.12a +12b +cC.-12a -12b -cD.-12a -12b +c 【答案】C 【解析】C 1M =AM ―AC 1=12(AB +AD )-(AB +BC +CC 1)=-12a -12b -c .4.已知O ,A ,B ,C 为空间不共面的四点,且向量a =OA +OB +OC ,向量b =OA +OB ―OC ,则不能与a ,b 构成空间的一个基底的是( )A.OAB.OBC.OCD.OA 或OB【答案】C 【解析】∵a =OA +OB +OC ,b =OA +OB ―OC ,∴OC =12(a -b ),∴OC 与向量a ,b 共面,∴OC ,a ,b 不能构成空间的一个基底.5．（多选题）（2020宁阳县四中高二期末）给出下列命题，其中正确命题有（ ）A ．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B ．已知向量//a b v v ，则,a b v v 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．,,,A B M N 是空间四点，若,,BA BM BN uuu v uuuu v uuu v不能构成空间的一个基底，那么,,,A B M N 共面D ．已知向量{},,a b c v v v 组是空间的一个基底，若m a c =+v v v ，则{},,a b m v v v 也是空间的一个基底【答案】ABCD【解析】选项A 中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A正确；选项B 中，根据空间基底的概念，可得B 正确；选项C 中，由,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 不能构成空间的一个基底，可得,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 共面，又由,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，所以C 正确；选项D 中：由{},,a b c r r r 是空间的一个基底，则基向量,a b r r 与向量m a c =+u r r r 一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D 正确．故选：ABCD.6．（多选题）设a r ，b r ，c r 是空间一个基底( )A ．若a b ^r r ，b c ^r r ，则a c^r r B ．则a r ，b r ，c r 两两共面，但a r ，b r ，c r 不可能共面C ．对空间任一向量p r ，总存在有序实数组(x ，y ，)z ，使p xa yb zc=++r r r r D ．则a b +r r ，b c +r r ，c a +r r 一定能构成空间的一个基底【分析】利用a r ，b r ，c r 是空间一个基底的性质直接求解．【解答】解：由a r ，b r ，c r 是空间一个基底，知：在A 中，若a b ^r r ，b c ^r r ，则a r 与c r 相交或平行，故A 错误；在B 中，a r ，b r ，c r 两两共面，但a r ，b r ，c r 不可能共面，故B 正确；在C 中，对空间任一向量p r ，总存在有序实数组(x ，y ，)z ，使p xa yb zc =++r r r r ，故C 正确；在D 中，a b +r r ，b c +r r ，c a +r r 一定能构成空间的一个基底，故D 正确．故选：BCD ．二、填空题7.在空间四边形OABC 中,OA =a ,OB =b ,OC =c ,点M 在线段AC 上,且AM=2MC ,点N 是OB 的中点,则MN =______.【答案】 -13a +12b -23c 【解析】MA =23CA =23(OA ―OC ),ON =12OB , MN =MO +ON =MA +AO +ON =23(a -c )-a +12b =-13a +12b -23c .8．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,设AB =a ,AD =b ,AA 1=c ,A 1C 1与B 1D 1的交点为E ,则BE = .【答案】 -12a +12b +c 【解析】如图,BE =BB 1+B 1E =AA 1+12(B 1C 1+B 1A 1)=AA 1+12(AD ―AB )=-12a +12b +c .9.若a=e 1+e 2,b=e 2+e 3,c=e 1+e 3,d=e 1+2e 2+3e 3,若e 1,e 2,e 3不共面,当d =αa +βb +γc 时,α+β+γ= .【答案】3【解析】由已知d =(α+γ)e 1+(α+β)e 2+(γ+β)e 3,所以α+γ=1,α+β=2,γ+β=3,故有α+β+γ=3.10．（2020山东菏泽四中高二期末）在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC 、AB 的中点，设AB a =uuu r r ，AC b =uuu r r ，AD c =u u u r r ，用a r ，b r ，c r 表示向量DM =uuuu r ______，异面直线D M 与CN 所成角的余弦值为______.【答案】()122a b c +-r r r . 16. 【解析】画出对应的正四面体,设棱长均为1则(1) ()()11222DM DA AM c a b a b c =+=-++=+-uuuu r uuu r uuuu r r r r r r r .(2)由(1) ()122DM a b c =+-uuuu r r r r ,又()11222CN AN AC a b a b =-=-=-uuu r uuu r uuu r r r r r .又12a b a c b c ×=×=×=r r r r r r .设异面直线D M 与CN 所成角为q 则cos q 22111212222412=336a ab a b b ac b c-+--+-×+×--×+×==r r r r r r r r r r .三、解答题11.已知{e 1,e 2,e 3}是空间的一个基底,且OA uuu r =e 1+2e 2-e 3,OB uuu r =-3e 1+e 2+2e 3,OC uuu r =e 1+e 2-e 3,试判断{,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r }能否作为空间的一个基底?若能,试以此基底表示向量OD uuu r =2e 1-e 2+3e 3;若不能,请说明理由.【答案】能，OD uuu r =17OA uuu r -5OB uuu r -30OC uuu r ．【解析】能作为空间的一组基底．假设,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r 共面,由向量共面的充要条件知存在实数x ,y 使OA uuu r =x OB uuu r +y OC uuu r 成立123123123123+2(3+2)(+3)(3)()(2)e e e x e e e y e e e x y e x y e x y e -=-++-=-++++-u v u u v uv u v u u v uv u v u u v uv u v u u v uv 又因为{}123,,e e e u v u u v uv 是空间的一个基底,所以123,,e e e u r u u r ur 不共面.因此-31,2,2--1,x y x y x y +=ìï+=íï=î此方程组无解,即不存在实数x ,y 使OA uuu r =x OB uuu r +y OC uuu r ,所以,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r 不共面.故{,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r}能作为空间的一个基底.设OD uuu r =p OA uuu r +q OB uuu r +z OC uuu r ,则有12312312312323(+2)(3+2)(+)e e e p e e e q e e e z e e e -+=-+-++-u v u u v uv u v u u v uv u v u u v uv u v u u v uv 123(3)(2)(2)p q z e p q z e p q z e =-+++++-+-u v u u v uv 因为{}123,,e e e u v u u v uv 为空间的一个基底,所以-32,2-1,-2-3,p q z p q z p q z +=ìï++=íï+=î解得17,-5,-30.p q z =ìï=íï=î故OD uuu r =17OA uuu r -5OB uuu r -30OC uuu r.12.如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',点E 是上底面A'B'C'D'的中心,取向量AB ,AD ,AA '为基底的基向量,在下列条件下,分别求x ,y ,z 的值.(1)BD '=x AD +y AB +z AA ';(2)AE =x AD +y AB +z AA '.【答案】见解析【解析】 (1)因为BD '=BD +DD '=BA +AD +DD '=-AB +AD +AA ',又BD '=x AD +y AB +z AA ',所以x=1,y=-1,z=1.(2)因为AE =AA '+A 'E =AA '+12A 'C '=AA '+12(A 'B '+A 'D ')=12AD +12AB +AA ',又AE =x AD +y AB +z AA ',所以x=12,y=12,z=1.。

1.2 空间向量基本定理同步练习一、单选题1．{},,a b c 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ）A ．{},,a a b a b +-B ．{},,b a b a b +-C ．{},,c a b a b +-D ．{},,2a b a b a b +-+【答案】C【解析】对于A ，因为()()2a b a b a ++-=，所以,,a a b a b +-共面，不能构成基底，排除A ， 对于B ，因为)()2a b a b b +--=(，所以,,b a b a b +-共面，不能构成基底，排除B ， 对于D ，312()()22a b a b a b +=+--，所以,,2a b a b a b +-+共面，不能构成基底，排除D ， 对于C ，若,,c a b a b +-共面，则()()()()c a b a b a b λμλμλμ=++-=++-，则,,a b c 共面，与{},,a b c 为空间向量的一组基底相矛盾，故,,c a b a b +-可以构成空间向量的一组基底，故选C2．如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =，则BD 等于（ ）A ．1122a b c -+ B ．a b c +-C ．a b c -+D ．1122a b c -+- 【答案】A【解析】由题意在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =， 可知：BD BO OD =+，BO b =-，11112222OD OA OC a c =+=+，1122BD a b c =-+．故选A ．3．如图，在三棱锥A BCD -中，E ､F 分别是棱AD ､BC 的中点，则向量EF →与,AB CD →→的关系是（ ）A ．1122EF AB CD →→→=+B ．1122EF AB CD →→→=-+C ．1122EF AB CD →→→=-D ．1122EF AB CD →→→=--【答案】C【解析】取AC 的中点M ，连结,EM FM ，,E F 分别是,AD BC 的中点，12ME CD →→∴=，12MF AB →→∴=，1122EF MF ME AB CD →→→→→∴=-=-.故选C .4．如图，在四面体OABC 中，2OM MA =，BN NC =，则MN =（ ）A ．111222OA OB OC →→→+-B ．221332OA OB OC →→→+-C ．121232OA OB OC →→→-+D ．211322OA OB OC →→→-++【答案】D【解析】∵2OM MA →→=，BN NC →→=，∴12()23MN ON OM OB OC OA →→→→→→=-=+-211322OA OB OC →→→=-++．故选D ．5．在下列结论中：①若向量,a b 共线，则向量,a b 所在的直线平行；②若向量,a b 所在的直线为异面直线，则向量,a b 一定不共面； ③若三个向量,,a b c 两两共面，则向量,,a b c 共面；④已知空间的三个向量,,a b c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p xa yb zc =++. 其中正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错． 两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错，三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 两两共面，但它们不是共面向量，故③错．根据空间向量基本定理，,,a b c 需不共面，故④错． 故选A ．6．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若1,,AB a AD b AA c ===，则CM =（ ）A ．1122++a b c B ．1122-+a b c C ．1122a b c -++ D ．1122--+a b c【答案】D【解析】由题意，因为M 为11A C 与11B D 的交点，所以M 也为11A C 与11B D 的中点， 因此()()11112CM AM AC AA A M AB AD AA AC AB AD =-=+-+=+-+ ()1121122AA AB AD a b c -=-+=-+.故选D. 7．在三棱锥A BCD -中，E 是棱CD 的中点，且23BF BE =，则AF =（ ） A ．133244AB AC AD +- B ．3344AB AC AD +-C ．533AB AC AD -++D ．111333AB AC AD ++【答案】D【解析】因为E 是棱CD 的中点，23BF BE =， 所以()22213333AF AB BF AB BE AB AE AB AE AB =+=+=+-=+ ()1111133333AC AD AB AB AC AD =++=++.故选D.8．若{},,a b c 是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（ ）A ．,2,3a b cB ．,,a b b c c a +++C ．,,a b c b c c +++D ．2,23,39a b b c a c ++-【答案】D【解析】对于:,2,3,:,,,:,,A a b c B a b b c c a C a b c b c c ++++++，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底，对于D ：2,23,3-9a b b c a c ++满足：()()3-932-23a c a b b c ⎡⎤=++⎣⎦，是共面向量，不能构成空间的一个基底，故选D9．如图，在四面体OABC 中，G 是底面∆ABC 的重心，则OG 等于（ ）A ．OA OB OC ++ B ．111222OA OB OC ++ C ．111236OA OB OC ++D ．111333OA OB OC ++【答案】D 【解析】()()211112323333AG AC AB OC OA OB OA OC OB OA ⎛⎫=⋅⋅+=⋅-+-=+- ⎪⎝⎭ 则111333OG AG OA OA OB OC =+=++,故选D. 10．已知在平行六面体ABCD A B C D '-'''中，3AB =，45AD AA ='=，，120BAD ∠=︒，60BAA ∠='︒，90DAA ∠='︒，则AC '的长为（ ）A ．2B ．53C 58D 53【答案】D【解析】在平行六面体ABCD A B C D '-'''中，3AB =，AD 4=, 5AA '=，120BAD ∠=︒，60BAA ∠='︒，90DAA ∠='︒，AC AB AD AA ''=++,()22AC AB AD AA '∴=++'222222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+'⋅''91625234cos120235cos6050121553=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=-+=则53AC ='．故选D11．（多选题）给出下列命题，其中正确命题有（ ）A ．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B ．已知向量//a b ，则,a b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．,,,A B M N 是空间四点，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，那么,,,A B M N 共面D ．已知向量{},,a b c 组是空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底 【答案】ABCD【解析】选项A 中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A 正确；选项B 中，根据空间基底的概念，可得B 正确；选项C 中，由,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，可得,,BA BM BN 共面， 又由,,BA BM BN 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，所以C 正确；选项D 中：由{},,a b c 是空间的一个基底，则基向量,a b 与向量m a c =+一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D 正确． 故选ABCD.12．（多选题）设a ，b ，c 是空间一个基底，则（ ）A ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cB ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，z )，使p xa yb zc =++D ．则a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 一定能构成空间的一个基底 【答案】BCD【解析】对于A 选项，b 与,a c 都垂直，,a c 夹角不一定是π2，所以A 选项错误. 对于B 选项，根据基底的概念可知a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面. 对于C 选项，根据空间向量的基本定理可知，C 选项正确.对于D 选项，由于a ，b ，c 是空间一个基底，所以a ，b ，c 不共面.假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，设()()()1a b x b c x c a +=++-+，化简得()1x a x b c ⋅=-+，即()1c x a x b =⋅+-，所以a ，b ，c 共面，这与已知矛盾，所以a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面，可以作为基底.所以D 选项正确.故选BCD三、填空题13．已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD =x SA ySB zSC ++，则x +y +z =_____.【答案】12-【解析】如图，根据条件()12BD BC BS =+ ()12SC SB SB =-- 12SB SC =-+ 102SA SB SC =-+,又BD xSA ySB zSC =++,∴由空间向量基本定理得110122x y z ++=-+=-,故填12-14．平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，向量1,,AB AD AA 两两的夹角均为60°，且AB =1，|AD |=2，|1AA |=3，则|1AC |等于_____. 【答案】5【解析】由平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1可得:11AC AB AD AA =++， ∴22221111222AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++⋅⋅++⋅+=12+22+32+2cos 60°(1×2+1×3+2×3) =25，∴1AC =5.故填5.15．已知点M ，N 分别是空间四面体OABC 的边OA 和BC 的中点，P 为线段MN 的中点，若OP =λOA +μOB +γOC ，则实数λ+μ+γ=_____.【答案】34【解析】如图，连接ON ，在△OMN 中，点P 是MN 中点，由平行四边形法则得．()()111111111222422444OP OM ON OM ON OA OB OC OA OB OC =+=+=+⨯+=++, 又OP =λOA +μOB +γOC ，∴111,,444λμγ===，∴34λμγ++=．故填34．16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 是1CC 的中点，1113A F AB =，且1DF AB AC AA αβγ=++，则αβγ++=__________．【答案】12-【解析】由题意的：1113A F A B =，1111DF DC C A A F =++=111123CC AC A B -+=1111111233AA AC A B A A -++=1111111233AA AC A B AA -+-=11136AB AC A A -+, 故可得α=13，β=-1，γ=16，可得：αβγ++=1-2.故填1-2.17．如图所示,在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===,点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N为BC 中点，若=MN xa yb zc ++，则x y z ++=_____________【答案】13【解析】,,,OA a OB b OC c ===点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，22=33OM OA a ∴= ()111222ON OB OC b c =+=+ 112=223MN ON OM b c a ∴-=+-211,,322x y z ∴=-== 故21113223x y z ++=-++= 故填1318．如图，在空间四边形OABC 中，M ，N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且3MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG ，设OG x OA y OB z OC =⋅+⋅+⋅，则x 、y 、z 的和为______.【答案】78【解析】MN MA AB BN =++11111()22222OA OB OA OC OB OA OB OC =+-+-=-++ 13131112424222OG OM MG OA MN OA OA OB OC ⎛⎫∴=+=+=+-++ ⎪⎝⎭813388OA OB OC =++133,,888x y z ∴===，即78x y z ++=．故填78三、解答题19．已知ABCD A B C D -''''是平行六面体．（1）化简1223AA BC AB '++，并在图形中标出其结果； （2）设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC B ''的对角线BC '上的点，且:3:1BN NC '=，设MN AB AD AA αβγ'=++，试求α，β，γ的值．【解析】（1）如图所示，取线段AA '中点E ，则12EA AA ''=， BC AD A D ''==， 取23D F D C '''=， ∵AB D C =''，∴2233AB D C D F '''==．则2312AA BC AB EA A D D F EF '''''++=++=．（2）∵ M N MB BN +=124 3BC DB =+'314()()2DA AB BC CC '=+++ 113 244AB AD AA '=++αAB βAD γAA '++=，∴12α=，14β=，34γ=． 20．在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，设1,,AB a AD b AA c ===，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．（1）用向量,,a b c 表示1,D B EF ，；（2）若1D F xa yb zc =++，求实数x ，y ，z 的值．【解析】（1）111D B D D DB AA AB AD a b c=+=-+-=--，11122EF EA AF D A AC =+=+ 1111()()()222AA AD AB AD a c =-+++=-.（2）11111111()()22222D F D D D B c a b c a b c =+=-+--=--，所以11,,122x y z ==-=-.21．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAA CAA ∠=∠=︒．（1）设1AA a =，AB b =，AC c =，用向量a ，b ，c 表示1BC ，并求出1BC 的长度； （2）求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值．【解析】（1）111111111BC BB B C BB A C A B a c b =+=+-=+-∴11cos 11cos602a b a b BAA ︒=∠=⨯⨯=，同理可得12a cbc ==， ∴()222212222BC a c ba cb ac a b c b =+-=++-+-=．（2）因为1AB a b =+，所以()222123AB a b a b a b =+=++=，因为()()22111AB BC a ba cb a ac a b b a c b b =++-=+-++-=，所以1111116cos ,23AB BC AB BC AB BC <>==⨯．∴异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为6622．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60︒，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，（1）用,,a b c 表示BM ； （2）求对角线1AC 的长； （3）求1cos ,AB AC【解析】（1）连接1A B ,AC ，1AC ，如图：AB a =，AD b =，1AA c =在1A AB ，根据向量减法法则可得：11BA AA AB c a =-=- 底面ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD a b =+=+11//AC A C 且11AC AC =，∴ 11AC AC a b==+ 又M 为线段11A C 中点，∴ ()1111122A M b AC a ==+ 在1A MB 中()11111222BM BA A M c a a a b c b -+=+=+-++= （2）顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60︒∴1cos602a b a b ⋅=⋅︒=，s 2c 160o a a c c ⋅⋅==︒，s 2c 160o b b c c ⋅⋅==︒，由（1）可知AC a b =+∴平行四边形11AA CC 中故：11AC AC A b A a c+=+=+ ()()22211C a cb A AC ==++()()()222+++222+a c a b c c b b a =⋅+⋅⋅222+++cos cos cos 606062022b a bc a b c c a ︒+⋅⋅︒+︒=⋅11121+1+1+22222++=⨯⨯⨯6=∴16AC =故：对角线1AC . （3）1AC a b c=++，AB a =又111cos ,a a c AB AC AB AC AB AC b ⋅+⋅==⋅+212311b a a a c+++⋅⋅=+===。

1.2 空间向量的基本定理【题组一 基底的判断】1．（2020·山东微山县第二中学高二月考）已知a r ，b r ，c r 是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（ ）A ．2a r ，a r ﹣b r ，a r +2br B ．2b r ，b r ﹣a r ，b r +2a r C ．a r ，2b r ，b r ﹣cr D ．c r ，a r +c r ，a r ﹣c r 【答案】C【解析】对于A ，因为2a r =43（a r ﹣b r ）+23（a r +2b r ），得2a r 、a r ﹣b r 、a r +2b r 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，A 不正确；对于B ，因为2b r =43（b r ﹣a r ）+23（b r +2a r ），得2b r 、b r ﹣a r 、b r +2a r 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，B 不正确；对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a r =λ•2b r +μ（b r ﹣c r ）成立，故a r 、2b r 、b r ﹣c r 三个向量不共面，它们能构成一个基底，C 正确；对于D ，因为c r =12（a r +c r ）﹣12（a r ﹣c r ），得c r 、a r +c r 、a r ﹣c r 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，D 不正确故选：C ．2．（2018·安徽六安一中高二期末（理））已知点,,,O A B C 为空间不共面的四点，且向量a OA OB OC =++uuu v uuu v uuu v v ，向量b OA OB OC =+-uuu v uuu v uuu v v ，则与a v ，b v 不能构成空间基底的向量是（ ）A ．OAuuu v B ．OB uuu v C ．OC uuu v D ．OA uuu v 或OB uuu v【答案】C【解析】∵()()()111222OC a b OA OB OC OA OB OC =-=++-+-uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v v v ，即OC uuu v 与a v ，b v 共面，∴OC uuu v 与a v ，b v不能构成空间基底；故选C.3．已知{},a b c v v v ，是空间向量的一个基底，则与向量p a =v v +b v ，q a =v v -b v 可构成空间向量基底的是( )A ．a v B ．b vC ．a v +2b vD ．a v +2cv 【答案】D【解析】由题意，向量,,2a b a b +v v v v 都有向量,p a b p a b =+=-v vv v v v 为共面向量，因此A 、B 、C 都不符合题意，只有向量2a c +r r 与向量,p a b p a b =+=-v v v v v v 属于不共面向量，所以可以构成一个空间的基底，故选D.4．（2020·南昌市八一中学高二期末（理））{},,a b c r r r 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ）A ．{},,a a b a b +-r r r r rB ．{},,b a b a b +-r r r r r C ．{},,c a b a b +-r r r r r D ．{},,2a b a b a b +-+r r r r r r 【答案】C【解析】对于A ，因为()()2a b a b a r r r r r ++-=，所以,,a a b a b r r r r r +-共面，不能构成基底，排除A ，对于B ，因为)()2a b a b b +--=r r r r r (，所以,,b a b a b r r r r r +-共面，不能构成基底，排除B ，对于D ，312()()22a b a b a b +=+--r r r r r r ，所以,,2a b a b a b +-+r r r r r r 共面，不能构成基底，排除D ，对于C ，若,,c a b a b r r r r r +-共面，则()()()()c a b a b a b l m l m l m =++-=++-r r r r r r r ，则,,a b c r r r 共面，与{},,a b c r r r 为空间向量的一组基底相矛盾，故,,c a b a b r r r r r+-可以构成空间向量的一组基底，故选：C 5．（2018·江西南昌二中高二期中（理））若{},,a b c v v v 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ）A ．{},,a a b a b +-v v v v vB ．{},,b a b a b +-v v v v vC ．{},,c a b a b +-v v v v vD ．{},,2a b a b a b +-+v v v v v v 【答案】C【解析】().2,,,A a b a b a a a b a b ++-=\+-v v v v v Q v v v v v 共面，故不能作为基底，故错误；().2,,,B a b a b b b a b a b +--=\+-v v v v v v v v v v 共面，故不能作为基底，故错误；.,,C c a b a b v v v v v +-不共面，故可以作为基底，故正确；()()31.2,,,222D a b a b a b a b a b a b v v v v v v v v v v v v +=++-\+-+共面，故不能作为基底，故错误，故选C.【题组二 基底的运用】1．（2020·天水市第一中学高二月考（理））如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 交于点M ，设1,,AB a AD b AA c ===uuu v uuu v uuuv v v v ，则1B M =uuuuv（ ）A ．1122a b c ---v v v B ．1122a b c +-v v v C ．1122a b c --v v v D ．1122a b c -+-v v v 【答案】D 【解析】11B M B B BM =+uuuur uuur uuuu r ，12BM BD =uuuu r uuu r ，BD BA BC =+uuu r uuu r uuu r ，∴()1112B M AA AB AD uuuur uuur uuu r uuu r =-+-+1122c a b r r r =--+，故选D ．2．（2020·全国高一课时练习）若是空间的一个基底，，，，，，则，，的值分别为（ ）A ．，，B ．，，C ．，，D ．，1，【答案】A【解析】，由空间向量基本定理，得∴，，.3（2020·山东沂.高二期末）如图所示，P ，Q 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，M 是PQ 靠近P 的三等分点，且OM xOA yOB zOC =++uuuu r uuu r uuu r uuu r ，则x y z ++=__．【答案】23【解析】因为P ，Q 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，M 是PQ 靠近P 的三等分点，所以1111()2323OM OP PM OA PQ OA PA AB BQ =+=+=+++uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，1111()2322OA OA OB OA BC =++-+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，1111(())2322OA OA OB OA OC OB =++-+-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，111366OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r ，所以13x =，16y =，16z =，11123663x y z ++=++=，故答案为：23．4．（2019·江苏鼓楼.南京师大附中高二期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是11B C 的中点，且1DO xDA yDC zDD =++uuur uuu r uuu r uuuu r ，则x y z ++的值为________.【答案】52【解析】在正方体中得112DO DA DC DD =++uuur uuu r uuu r uuuu r ，又因为1DO xDA yDC zDD =++uuur uuu r uuu r uuuu r 所以1,1,12===x y z 所以52x y z ++=.故答案为：52【题组三 基本定理的运用】1．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足111333OM OA OB OC =++uuuu v uuu v uuu v uuu v ．（1）判断MA uuu v ，MB uuu v ，MC uuu u v 三个向量是否共面；（2）判断点M 是否在平面ABC 内．【答案】（1）,,MA MB MC uuu v uuu v uuu u v共面 （2）点M 在平面ABC 内．【解析】（1）如图，111()(333OA OC OA OC OQ Q +=+=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 为OAC D 的重心）1(3OB OQ OP OQ OM P +=+=uuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r 为OB 的三等分点）设AC 中点为N ，则::2:3PM ON BP BO ==可知M 在BN 上，且M 为ABC D 的重心故知,,MA MB MC uuu r uuur uuuu r 共面（2）由（1）知,,MA MB MC uuu r uuur uuuu r 共面且过同一点M .所以,,,M A B C 四点共面，从而点M 在平面ABC 内．2．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC Ð=°，121AB BC CC ===，，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为________．【解析】如图所示,将直三棱柱111ABC A B C -补成直四棱柱1111ABCD A B C D -,连接111,AD B D ,则11AD BC P ,所以11B AD Ð或其补角为异面直线AB 1与BC 1所成的角．因为1120,2,1ABC AB BC CC а====,所以1AB =, 1AD =.在111B D C D 中,11160B C D =а,11111,2B C D C ==所以11B D ===所以222111111112AB AD B D co A D AD B B s A +-==´=´Ð故答案为: 3．如图所示，在平行四边形ABCD 中，1AB AC ==，90ACD Ð=°，将它沿对角线AC 折起，使AB与CD 成60°角，求点B 与点D 之间的距离．【答案】2∴2222222BD BD BD BA AC CD BA AC BA CD AC CD=×=+++×+×+×uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 3211cos ,BA CD =+´´´uuu r uuu r <>，∴2BD =uuu r，故点B 与点D 之间的距离为2．4.已知空间四边形OABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ，且OA ＝OB ＝OC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点，求证：OG ⊥BC．【答案】见解析【解析】连接ON ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ，又设OA → ＝a ，OB → ＝b ，OC →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |.又OG → ＝12(OM → ＋ON → )＝12[12OA → ＋12(\o(OB ,\s\up7(→))＋\o(OC ,\s\up7(→)))]＝14(a ＋b ＋c )，BC → ＝c －b .∴OG → ·BC → ＝14(a ＋b ＋c )·(c －b )＝14(a ·c －a ·b ＋b ·c －b 2＋c 2－b ·c )＝14(|a |2·cos θ－|a |2·cos θ－|a |2＋|a |2)＝0.∴OG → ⊥BC →，即OG ⊥BC ．。

1. 2 空间向量基本定理1．若O A B C ,,,为空间四点，且向量OAOBOC ，，不是构成空间的一个基底，则 （ ） A ．OAOB OC ，，共线 B ．OAOB，共线 C ．OB OC ，共线 D ． O A B C ,,,四点共面 2． 已知,,i j k 是空间直角坐标系Oxyz 中，x 轴、y 轴、z 轴的正方向上的单位向量，且AB i j k =-+-，则点B 的坐标 （ ）A 是1,11()--，B ．是(),,i j k --C ．是111()--，，D ．不确定 3．设向量,,a b c 不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（ ）A ． {,,}a b b a a +-B ． {,,}a b b a b +-C ． {,,}a b b a c +-D ． {,,}a b c a b c +++4． 已知点A 在基底{,,}a b c 下的坐标是(8，6，4)，其中a i j b j k c k i =+=+=+，，，则点A 在基底{},,i j k 下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)5． 设命题p: ,,a b c 是三个非零向量，命题q: {,,}a b c 为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6． 已知,,,,A B C D E 是空间五点，若, , ,,AB AC AD AB AC AE 与均不能构成空间的一个基底，则有下列结论:①, ,AB AD AE 不能构成空间的一个基底； ②, ,AC AD AE 不能构成空间的一个基底； ③, , BC CD DE 不能构成空间的一个基底； ④, , AB CD EA 能构成空间的一个基底． 其中正确的有_______个．7． 已知在正方体ABCD 一1111A B C D 中，点E 为底面1111A B C D 的中心，112a AA =，12b AB =，13c AD =，AE xa yb zc =++，则x =______，y =_______，z =_______．8． 设,y c,z c x a b b a =+=+=+且{,,}a b c 是空间的一组基底，给出下列向量组：①{},,a b x ；②{,,}x y z ③{,,}b c z ④{,,}x y a b c ++ 其中可以作为空间的基底的向量组是___________(填序号)．9． 在空间直角坐标系中．给定点3)1,2,M-（，求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标．10．如图3．1-47，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是上底面1111A B C D 的中心，求下列各式中的,,z x y 的值．（1）11BD xAD yAB zAA =++； （2）1AE xAD yAB zAA =++．11．如图3．1-48，在空间四边形OABC 中，点, G H 分别是ABC OBC ∆∆，的重心，设,,OA a OB b OC c ===，试用向量,,a b c 表示向量GH ．12．如图3．1-49，PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，,M N 分别是,AB PC 的中点，并且1PA AB ==． 试建立适当的空间直角坐标系，求向量MN 的坐标．答案与解析1． D 解析；由, ,OA OB OC 不能构成基底，知, ,OA OB OC 三向量共面，所以,,,O A B C 四点共面． 2． D 解析:由AB i j k =-+-只能确定向量()1,1,1AB =--．而向量的起点A 的坐标未知，故终点B 的坐标不确定．3． C 解析:由已知及向量共面定理，易知,,a b b a c +-不共面，故可作为空间的一个基底． 4． A 解析: ()()()864864121410OA a b c i j j k k i i j k =++=+++++=++．5． B 解析:当三个非零向量,,a b c 共面时，,,a b c 不能构成空间的一个基底，但是当{,,}a b c 为空间的一个基底时，必有,,a b c 都是非零向量，因此p q ≠>，而q p ⇒，故命题p 是命题q 的必要不充分条件． 6． 3解析:由题意．知空间五点,,,,A B C D E 共面，故①②③正确，④错误． 7． 2 132解析:如图3．1-5011113()222AE AA A E AA AB AD a b c xa yb zc =+=++=++=++所以32,1,2x y z ===8． ②③④解析:如图3．1-51，设1,,a AB b AD c AA ===，则11,,x AC y AD z AB ===，1a b c AC ++=．由11,,,A B C D 四点不共面可知，向量,,x y z 也不共面．同理可知,,b c z ；,,x y a b c ++也不共面．9． 解: 3)1,2,M-（关于坐标平面, , xOy xOz yOz 对称的点的坐标分别为123.12()()(,33),12,----，，,，；3)1,2,M -（关于x 轴、y 轴、z 轴对称的点的坐标分别为()()(1,231231,2,3)-----,,，，,；3)1,2,M -（关于坐标原点对称的点的坐标为12)3(--，，． 10．解:(1)因为1111BD BD DD BA BC DD AD AB AA =+=++=-+且11BD xAD yAB zAA =++所以1,1, 1.x y z ==-= (2)因为111111*********()2222AE AA A E AA AC AA A B A D AD AB AA =+=+=++=++ 且1AE xAD yAB zAA =++所以11,,122x y z ===11．解:因为2211()()3323OH OD OB OC b c ==⨯+=+J2212111()()()3333233OG OA AG OA AD OA OD OA OA OB OC a b c =+=+=+-=+⨯+=++ 所以1111()()3333GH OH OG b c a b c a =-=+--+=-12．解:因为1PA AB ==，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 是两两垂直的单位向量．设123e ,e ,AB AD AP e ===，以123{e ,e ,}e 为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz ，连接AC ．如图3．1-52．因为1111()2222MN MA AP PN AB AP PC AB AP PA AC ++=-++=-+=++23111111()e 222222AB AP PA AB AD AD AP e =-++++=+=+所以11(0,,)22MN =．。

1.2空间向量基本定理一、空间向量基本定理（1）定义：如果三个向量，，a b c r r r不共面，那么对空间任一向量p u r ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使=++p xa yb zc u r r r r.（2）基底与基向量：如果三个向量，，a b c r r r不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{},,,=++∈p p xa yb zc x y z R u r u r r r r，这个集合可以看作由向量，，a b c r r r 生成的，我们把{}，，a b c r r r叫做空间的一个基底，，，a b c r r r 都叫做基向量。

说明：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.二、空间向量的正交分解1、单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{}，，i j k r r r表示。

2、正交分解：把一个空间向量分解成三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正角分解。

题型一空间向量基底的概念辨析【例1】若{},,a b c 构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（）A．{},,a b b c c a +++B．{},,a b b c c a---C．{},,a b c a b c +++D．{},,3a b c a b c a b c -++--+【变式1-1】设=+x a b ，=+y b c ，=+z c a ，且{},,a b c 是空间的一个基底，给出下列向量组：①{},,a b x ；②{},,x y z ；③{},,b c z ；④{},,++x y a b c ，则其中可以作为空间的基底的向量组有（）A．1B．2C．3D．4【变式1-2】设向量{,,}a b c 是空间一个基底，则一定可以与向量,=+=-p a b q a b 构成空间的另一个基底的向量是()A．aB．bC．cD．a 或b【变式1-3】下列说法正确的是（）A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B．空间的基底有且仅有一个C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D．直线的方向向量有且仅有一个【变式1-4】已知{}123,,e e e 是空间的一个基底，向量12332a e e e =++，23b e e λ=+，12332c e e e =++，若{},,a b c 能作为基底，则实数λ的取值范围是（）A．()(),11,-∞--+∞B．()(),00,∞-+∞U C．()(),11,-∞+∞D．()()(),00,11,∞∞-⋃⋃+题型二用基底表示空间向量问题【例2】在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 是BC 的中点，则MN =（）A．121232a b c -+B．221332a b c+-r r r C．111222a b c+-D．211322a b c-++【变式2-1】在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN =（）A．121232a b c-+B．211322a b c-++C．111222a b c+-D．221332a b c ++【变式2-2】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c =，若E 为1DD 的中点，F 在BD 上，且3BF FD =，则EF 等于（）A．111332a b c --B．111442a b c --C．111442a b c -+D．111233a b c -+【变式2-3】如图：在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11AC ，11B D 的交点．若11A B a =，11A D b =，1A A c =，则向量BM =（）A．1122-++a b cB．1122-+-a b cC．1122a b c--+D．1122a b c -+题型三空间向量基本定理的应用【例3】如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为,OB AC ，,M N 分别为,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，3MG GN =，若OG xOA yOB zOC =++，则x y z ++=（）A．118B．98C．78D．58【变式3-】若{},,a b c 是空间的一个基底，且p xa yb zc =++，则(,,)x y z 叫p 在基底{},,a b c 下的坐标.已知p 在基底{},,a b c 下的坐标为()3,2,1，则p 在另一组基底{},,a b a b c -+下的坐标为（）A．13(,,1)22B．15(,,1)22C．13(,1,22D．15(,1,)22【变式3-2】在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1CC 的中点，E 为11C D 的中点，F 为11B C 的中点，O 为EF 的中点，直线PE 交直线1DD 于点Q ，直线PF 交直线1BB 于点R ，则（）A．511777AO AP AQ AR =++B．111244AO AP AQ AR =++C．211366AO AP AQ AR=++D．522999AO AP AQ AR=++【变式3-3】已知斜三棱柱111ABC A B C -所有棱长均为2，113A AB A AC π∠=∠=，点E ､F 满足112AE AA =，12BF BC =uu u r uu u r ，则EF =（）C．2。

1.2　空间向量基本定理题型一：空间向量基底概念与判断1．下列能使向量MA uuu r ，MB uuu r ，MC uuu ur 成为空间的一个基底的关系式是（ ）A ．111333OM OA OB OC =++uuuu r uuu r uuu r uuu r B ．MA MB MC=+uuu r uuu r uuu u r C ．OM OA OB OC=++uuuu r uuu r uuu r uuu r D ．2MA MB MC=-uuu ruuu r uuu u r2．空间四个点O ，A ，B ，C ，,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r为空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）A ．O ，A ，B ，C 四点不共线B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线C ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线D ．O ，A ，B ，C 四点不共面3．若{},,a b c r r r为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（ ）A ．{},,a a b a b+-r r r r r B ．{},,b a b a b+-r r r r r C ．{},,c a b a b+-r r r r r D ．{},,2a b a b a b+-+r r r r r r题型二：空间向量基本定理的应用4．空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===uuu r r uuu r r uuu r r.点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，则MN uuuu r 等于（ ）A ．12a r -2132b c+r r B ．-211322a b c++r r rC ．12a r 12b +r -23crD ．2233a b +r r -12cr5．设O ABC -是正三棱锥，1G 是ABC V 的重心，G 是1OG 上的一点，且13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++uuu r uuu r uuu r uuu r，则x y z ++=（ ）．A ．14B ．12C ．34D ．16．如图，在四面体ABCD 中，点M 是棱BC 上的点，且2BM MC ＝，点N 是棱AD 的中点.若MN x AB y AC z AD =++uuuu r uuu r uuu r uuu r，其中,,x y z 为实数，则xyz 的值是（ ）A ．19-B ．18-C ．19D ．18【双基达标】一、单选题7．已知{},,a b c r r r 是空间的一个基底，若p a b,q a b =+=-u r r r r r r，则（ ）A ．a,p,q r u r r是空间的一组基底B ．b,p,q r u r r是空间的一组基底C ．c,p,q r u r r是空间的一组基底D ．,p q u r r 与,,a b c r r r中的任何一个都不能构成空间的一组基底8．点P 是矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ^平面ABCD ，M ，N 分别是PC ，PD 上的点，且23PM PC =uuuu r uuu r，=uuu r uuu rPN ND 则满足MN x AB y AD z AP =++uuuu r uuu r uuu r uuu r 的实数,,x y z 的值分别为（ ）A ．211,,366-B ．211,,366-C ．211,,366--D ．211,,366--9．在下列两个命题中，真命题是（ ）①若三个非零向量a r ，b r ，c r 不能构成空间的一个基底，则a r ，b r ，c r共面；②若a r ，b r 是两个不共线向量，而c r ＝λa r ＋μb r (λ，μR Î且λμ≠0)，则{a r ，b r ，c r}构成空间的一个基底．A ．仅①B ．仅②C ．①②D ．都不是10．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，P 是线段1D B 上一点，且12BP D P =，若1DP xAB y AD z AA =++uuu r uuu r uuu r uuur，则x y z ++=（ ）A ．43B ．23C ．13D ．111．如图，在三棱锥O ABC -中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点D 为线段PQ 上一点，且2PD DQ =uuu r uuur，若记OA a =uuu r r ，OB b =uuu r r ，OC c =uuu r r，则OD =uuu r （ ）A ．111633a b c++r r r B ．111333a b c++r r rC ．111363a b c++r r r D ．111336a b c++r r r 12．下列结论错误的是（ ）.A ．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C ．若a r ､b r是两个不共线的向量，且c a b l m =+r r r (R l m Î、且0l m ×¹)，则{}a b c r r r ，，构成空间的一个基底D ．若OA uuu r ､OB uuur ､OC uuu r 不能构成空间的一个基底，则O ､A ､B ､C 四点共面13．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为,,,OB AC M N 分别是,OA CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r 表示向量OG uuu r为（ ）A ．111633OG OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r B ．122233OG OA OB OC=++uuu r uuu r uuu r uuu r C ．2233OG OA OB OC=++uuu r uuu r uuu r uuu r D ．112233OG OA OB OC=++uuu uuu r uuu r uu r u r 14．设p ：a r ，b r ，c r是三个非零向量；q ：{},,a b c r r r 为空间的一个基底，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件15．已知空间向量a r ，b r 满足|a r |=|b r |=1，且a r ，b r的夹角为3p ，O 为空间直角坐标系的原点，点A ，B 满足OA uuu r =2a r +b r ，OB uuu r =3a r -b r，则△OAB 的面积为（ ）A B C D ．11416．已知在四棱柱ABCD A B C D ¢¢¢¢-中，四边形ABCD 为平行四边形，若32AC a AB bBC cCC =+¢+¢uuuu r uuu r uuu r uuur，则abc =（）A ．12B ．13C ．16D ．56【高分突破】一：单选题17．在空间四边形OABC 中，OA a =uuu r r ，OB b =uuu r r ，OC c =uuu r r ，且AM MB =uuuu r uuu r，则MC =uuu u r （ ）A ．1122+-r r r a b cB ．1122a b c ++r r rC ．1122---r r r a b c D ．1122a b c--+r r r18．在三棱锥O ABC -中，,,,2OA a OB b OC c AM MO ====uuu r r uuu r uuu r r uuuu r uuuu r r ，N 为BC 中点，则MN =uuuu r（ ）A ．121232a b c-+r r r B ．111322a b c-++r r rC ．111222a b c+-r rr D ．121332a b c+-r r r 19．在平行六面体1111ABCD A B C D －中，AC 与BD 的交点为M ，设AB a =uuu r r ，AD b =uuu r r ，1AA c =uuur r，则下列向量中与1D M uuuuu r相等的向量是（ ）A ．1122-++r r r a b cB ．1122a b c-+r r rC ．1122+-r r ra b cD ．1122--r r ra b c20．如图，在四面体OABC 中，M ，N 分别在棱OA ，BC 上且满足2OM MA =uuuu r uuu r ，BN NC =uuu r uuu r，点G 是线段MN 的中点，用向量OA uuu r ，OB uuu r ，OC uuu r 作为空间的一组基底表示向量OG uuu r应为（ ）A ．111363OG OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r B ．111344OG OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu rC ．111336OG OA OB OC=++uuu r uuu r uuu r uuu r D ．111443OG OA OB OC=++uuu r uuu r uuu r uuu r21．已知0a b c ++=r r r，||2a =r ，||3b =r ，||c =r ，则向量a r 与b r 之间的夹角,a b áñr r 为（ ）.A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对22．给出下列命题：①已知a b ^r r，则()()a b c c b a b c ×++×-=×r r r r r r r r ；②A 、B 、M 、N 为空间四点，若BA uuu r、BM uuuu r、BN uuu r不构成空间的一个基底，那么A 、B 、M 、N 共面；③已知a b ^r r，则a r 、b r 与任何向量都不构成空间的一个基底；④若a r 、b r 共线，则a r 、b r所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．423．已知O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，且向量a r =OA OB OC ++uuu r uuu r uuu r ，向量b =r OA OB OC +-uuu r uuu r uuu r ，则不能与,a b rr 构成空间的一个基底的是（ ）A ．OA uuu rB ．OB uuu rC ．OC uuu rD ．OA uuu r 或OBuuu r24．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，H 分别在棱1BB ，BC ，BA 上，且满足134BM BB =uuuu v uuuv，12BN BC =uuu v uuu v ，12BH BA =uuuv uuu v ，O 是平面1B HN ，平面ACM 与平面11B BDD 的一个公共点，设BO xBH yBN zBM=++uuu v uuuv uuu v uuuu v，则3x y z ++=（ ）A ．105B ．125C ．145D ．165二、多选题25．在以下命题中，不正确的命题有（ ）A ．a b a b -=+r r r r 是a r 、b r共线的充要条件B ．若//a b r r，则存在唯一的实数l ，使λa b=r r C ．对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若22OP OA OB OC =--uuu r uuu r uuu r uuu r，则P 、A 、B 、C 四点共面D ．若{},,a b c r r r 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++r r r r r r构成空间的另一个基底26．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC ®®®®=++，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．已知向量{},,a b c ®®®组是空间的一个基底，若m a c ®®®=+，则{},,a b m ®®®也是空间的一个基底D ．若0a b ®®×<，则a b ®®×是钝角27．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =uuuu r uuu r ，现用基组{},,OA OB OC uuu r uuu r uuu r 表示向量OG uuu r，有OG xOA yOB zOC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，则（ ）A ．16x =B ．13y =C ．13z =D ．1x y z ++=28．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a =uuu r r ，AD b =uuu r r ，1AA c =uuur r.则下列正确的是（ ）A ．1122BM a b c =-+u u u u r r r rB ．1AC a b c=++uuuu r r r rC ．1ACD ．1cos ,AB AC <>uuu r uuuu r =29．下列命题中，正确的命题有（ ）A ．a b a b +=-r r r r 是a b r r ，共线的充要条件B ．若//a b r r 则存在唯一的实数l ，使得=a bl r r C ．对空间中任意一点O 和不共线的三点,,,A B C 若243OP OA OB OC =-+uuu r uuu r uuu r uuu r，则,,,P A B C 四点共面D ．若{}a b c r r r，，为空间的一个基底，则{}23a b b c c a +++r r r r r r ，，构成空间的另一个基底30．给出下列命题，其中正确的有（ ）A ．空间任意三个向量都可以作为一组基底B ．已知向量//a b rr ，则a r 、b r 与任何向量都不能构成空间的一组基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA uuu r ，BM uuuu r ，BN uuu r不能构成空间的一组基底，则A ，B ，M ，N 共面D ．已知{,,}a b c r r r是空间向量的一组基底，若m a c =+r r r ，则{,,}a b m r r r 也是空间一组基底三、填空题31．已知在正方体ABCD 一1111D C B A 中，点E 为底面1111D C B A 的中心，112a AA =ruuur ，12b AB =ruuu r ，13c AD =ruuu r ，AE xa yb zc =++uuu r r r r，则x =______，y =_______，z =_______．32．设,,x a b y b c z c a =+=+=+r r r u r r r r r r且{},,a b c r r r 是空间的一组基底，给出下列向量组：①{},,a b x r r r ；②{,,}x y z r u r r③{,,}b c z r r r ④{,,}x y a b c ++r u r r r r其中可以作为空间的基底的向量组是___________(填序号)．33．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 是边OA 的中点，G 是ABC D 的重心，则用基向量OA uuu r ，OB uuur ，OC uuu r 表示向量MG uuuu r 的表达式为___________.34．如图，点M 为OA 的中点，{},,OA OC OD uuu r uuu r uuu r 为空间的一个基底，DM xOA yOC zOD =++uuuu r uuu r uuu r uuu r ，则有序实数组（x ，y ，z ）=________.35．已知123e e e u r u u r ur ，，为不共面的三个向量，123123123a e e e b e e e c e e e =++=+-=-+u r u ur ur u r u u r ur u r u u r ur r r r ，，，12323d e e e =++u r u u r ur r ，若d a b c a b l =++r r r r，则α，β，λ的值分别为________．36．下列关于空间向量的命题中，正确的有______．①若向量a r ，b r与空间任意向量都不能构成基底，则//a b r r ；②若非零向量a r ，b r ，c r 满足a b ^r r，b c ^r r ，则有//r r a c ；③若OA uuu r ，OB uuur ，OC uuu r 是空间的一组基底，且111333OD OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，则A ，B ，C ，D 四点共面；④若向量a b +r r ，b c +r r ，c a +r r ，是空间一组基底，则a r ，b r ，c r也是空间的一组基底．四、解答题37．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AB a =uuu r r ，AD b =uuu r r ，1AA c =uuur r，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．（1）用向量,,a b c r r r 表示1D B uuuu r，EF uuu r ；（2）若1D F xa yb zc =++uuuu r r r r，求实数,,x y z 的值．38．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.求证：A，E ，C 1，F 四点共面.39．如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，1,,AB a AD b AA c ===uuu r r uuu r r uuur r，E 为A 1D 1的中点，F 为BC 1与B 1C 的交点.（1）用基底{},,a b c r r r 表示向量1,,DB BE AFuuu r uuu r uuu r（2）化简1DD DB CD ++uuur uuu r uuu r，并在图中标出化简结果.40．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，G 为△PDC 的重心，AB =uuu ri ，AD =uuu r j ，AP =uuu rk ，试用基底{i ，j ，k }表示向量PG uuu r ，BG uuu r.【答案详解】1．C 【详解】对于A ：由()1OM xOA yOB zOC x y z =++++=uuuu v uuuu v uuu v uuu v ，可得M ，A ，B ，C 四点共面，即,,MA MB MC uuu r uuur uuuu r共面，所以选项A 无法构成基底，选项C 可以构成基底；对于B ：因为MA MB MC =+uuu r uuu r uuu u r ，由平面向量基本定理，可得,,MA MB MC uuu r uuur uuuu r共面，无法构成基底，故B 错误；同理选项D 中，,,MA MB MC uuu r uuur uuuu r共面，故D 错误.故选：C 2．D 【详解】由空间基底的定义，,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r三个向量不共面，但选项A ，B ，C 三种情形都有可能使,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r共面，只有D 才能使这三个向量不共面.故选：D.【点睛】本题考查基底的概念，属于基础题.3．C 【详解】A ：因为()()2a b a b a r r r r r++-=，所以向量,,a a b a b r r r r r +-是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；B ：因为()(1)()2a b a b b r r r r r++--=，所以向量,,b a b a b r r r r r +-是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；C ：因为{},,a b c r r r为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.若,,c a b a b r r r r r +-不构成一组基底，则有()()()()c x a b y a b c x y a x y b r r r r r r r r =++-Þ=++-，所以向量,,a b c r r r是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此,,c a b a b r r r r r+-能构成一组基底，D ：因为312()()22a b a b a b r r r r r r +=+++，所以向量,,2a b a b a b r r r r r r+-+是共面向量，因此,,2a b a b a b r r r r r r+-+不能构成一组基底.故选：C 4．B【详解】解：因为2OM MA =，所以2233OM OA a ==uuuu r uuu r r ,N 为BC 的中点，则()111222ON OB OC b c =+=+uuu r uuu r uuu r r r ，()2121132322MN MO ON OA OB OC a b c =+=-++=-++uuuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r r r .故选：B.5．C【详解】如下图所示，连接1AG 并延长交BC 于点D ，则点D 为BC 的中点，1G Q 为ABC V 的重心，可得123AG AD =uuuu r uuu r ，而()()111222OD OB BD OB BC OB OC OB OB OC =+=+=+-=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，()1122123333OG OA AG OA AD OA OD OA OA OD =+=+=+-=+uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ()()12113323OA OB OC OA OB OC =+×+=++uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以，13311111144333444OG OG OA OB OC OA OB OC æö==++=++ç÷èøuuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以，14x y z ===，因此，34x y z ++=.故选：C.6．C 【详解】因为12()23MN AN AM AD AB BC =-=-+uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r 12()23AD AB AC AB =---uuu r uuu r uuu r uuu r 112233AD AB AC =--uuu r uuu r uuu r ，所以121,,332x y z =-=-=，故19xyz =.故选：C.7．C假设12c k p k q =+r u r r ，即()()12c k a b k a b =++-r r r r r ，得()()12120k k a k k b c ++--=r r r r ，这与{},,a b c r r r 是空间的一个基底矛盾，故c,p,q r u r r 是空间的一组基底，故选：C .8．D取PC 的中点E ，连接NE ，则()21321122MN EN EM PC PC CD PM PE CD æö=-=--=--ç÷èøuuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ()()111221116626PC AC AP AB AD A B P CD A AB =--=+----=-u uuu r uuu r u uu r uuu r uu uu r uu u r uuu u r r uuu r 211366AB AD AP =--+uuu r uuu r uuu r ，又因为MN x AB y AD z AP =++uuuu r uuu r uuu r uuu r ，由空间向量基本定理可得：231616x y z ì=-ïïï=-íïï=ïî故选：D.9．A【详解】解：根据空间向量基底的定义，三个非零向量a r ，b r ，c r 不能构成空间的一个基底，则a r ，b r ，c r 共面正确，故①为真命题；根据平面向量基本定理，若a r ，b r 是两个不共线向量，且c r ＝λa r ＋μb r(λ，μR Î且λμ≠0)，则c r 与a r 、b r 所确定的平面共面，即a r ，b r ，c r 共面，所以{a r ，b r ，c r }不能构成空间的一个基底，故②为假命题.故选：A.10．B【详解】长方体1111ABCD A B C D -中，依题意，1113D P D B =uuuu r uuuu r ，11111111121()()3333DP DD D P DD D B DD DB DD DD DA AB =+=+=+-=++uuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuu r uuuu r uuuu r uuu r uuu r 1112333AB AD AA =-+uuu r uuu r uuur ，而1DP xAB y AD z AA =++uuu r uuu r uuu r uuur ，又1,,AB AD AA uuu r uuu r uuur 不共面，于是得13x =，13y =-，23z =，所以23x y z ++=.故选：B 11．A【详解】解: ()12121222323233OD OP PD OA PQ OA OQ OP OA OQ OP =+=+=+-=+-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ()12121111+11126332326333OA OB OC OA OA OB OC a b c =+´+´=++-=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r u r r uu r r ,故选:A12．C【详解】A 选项，三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，故A 正确；B 选项，三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，如图，故B 正确；C 选项，∵ 满足c a b l m =+r r r ，∴a r ，b r ，c r 共面，不能构成基底，故C 错误，D 选项，因为OA uuu r ､OB uuu r ､OC uuu r 共起点，若O ，A ，B ，C 四点不共面，则必能作为空间的一个基底，故D 正确，故选C .13．A 【详解】221333OG OM MG OM MN ON OM =+=+=+uuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuu r uuuu r .因为,M N 分别为,OA CB 的中点，所以()11,,22OM OA ON OB OC ==+uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 所以()1111136633OG OB OC OA OA OB OC =++=++uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r .故选：A.14．B当非零向量a r ，b r ，c r 共面时，{},,a b c r r r 不能是空间的一个基底，由p 得不出q ，若{},,a b c r r r 为空间的一个基底，则a r ，b r ，c r 一定不共面，所以a r ，b r ，c r 一定是非零向量，所以由q 可以得出p ，因此p 是q 的必要不充分条件，故选：B.15．B【详解】|OA uuu r，|OB uuu r |==，则cos∠AOB=·||||OA OB OA OB uuu r uuu r uuu r uuu r=226||||7a b a b -+×r r r r 1611127-+´´==1114，从而有sin ∠AOB=，∴△OAB 的面积S 1||||sin 2OA OB AOB =Ðuuu r uuu r =12，故选：B ．16．C【详解】据题意，得AC AB BC CC ¢¢=++uuuu r uuu r uuu r uuuu r ，32AC a AB bBC cCC =+¢+¢uuuu r uuu r uuu r uuur ，所以32AB BC CC a AB bBC cCC ¢¢++=++uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur ，即(31)(21)(1)0a AB b BC c CC ¢-+-+-=uuu r uuu r uuur .又因为,,AB BC CC ¢uuu r uuu r uuur 为空间不共面的三个向量，所以312110a b c -=-=-=，所以11,,132a b c ===，所以16abc =.故选：C.17．D()1122MC OC OM OC OA AB OC OA OB OA æö=-=-+=---ç÷èøu u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u r 11112222OC OA OB c a b --=--=u u u r u u r u u u r r r r 故选：D18．B【详解】连接ON ，所以()()1122ON OB OC b c =+=+uuu r uuu r uuu r r r ，因为2AM MO =uuuu r uuuu r ，所以1133OM OA a ==uuuu r uuu r r ，所以()11112322MN MO ON OM OB OC a b c =+=-++=-++uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uu r r uu r r .故选：B.19．D 【详解】()()11112D M AM AD AB AD AD AA =-=+-+uuuuu r uuuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 11122AB AD AA =--uuu r uuu r uuur 1122a b c =--r r r 故选：D20．B【详解】连接ON ，如图，则由向量加法的平行四边形法则可得()()1121122322OG OM ON OA OB OC =+=´+´+uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 111344OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r .故选：B.21．C因为0a b c ++=r r r ，所以a b c +=-r r r ，两边平方得：222||||||2||||cos ,c a b a b a b =++áñr r r r r r r ，即1949223cos ,a b =++´´´áñr r ，所以1cos ,2a b áñ=r r ，因为[],0,180a b ΰ°n n r r ，所以,60a b °áñ=r r .故选：C22．C对于①，若a b ^r r ，则0a b ×=r r ，故()()a b c c b a a b a c c b c a c b ×++×-=×+×+×-×=×r r r r r r r r r r r r r r r r ，故①正确；对于②，若BA uuu r 、BM uuuu r 、BN uuu r 不构成空间的一个基底，则BA uuu r 、BM uuuu r 、BN uuu r 这3个向量在同一平面内，故A 、B 、M、N 共面，故②正确；对于③，当a b ^r r 时，若c r 与a r 、b r 不共面，则a r 、b r 、c r 可构成空间的一个基底，故③不正确；对于④，根据向量共线的定义可得其成立，故④正确，故选：C.23．C【详解】因为a r =OA OB OC ++uuu r uuu r uuu r ，b r =OA OB OC +-uuu r uuu r uuu r ，故12OC =uuu r (a b -r r )，所以OC uuu r 与向量,a b r r 共面，故OC uuu r ，a r ，b r 不能构成空间的一个基底.故选：C .24．C【详解】如图，Q 为AC 与BD 交点，P 为BQ 中点，O 为MQ 与1B P 的交点.过P 作PT 平行MQ 交1BB 于T .如图,则T 为BM 中点，所以1111131334224242MT BM BB MB MB ==´=´´=.所以123B O OP =uuur uuu r ，因此1323421411()555352555BO BB BP BM BH BN BM BH BN =+=×+×+=++uuu r uuur uuu r uuuu r uuur uuu r uuuu r uuur uuu r ，因为BO xBH yBN zBM =++uuu r uuu r ，所以411,,555z x y ===,1435x y z \++=.故选：C25．ABC 【详解】对于A 选项，充分性：若a b a b -=+r r r r ，则a r 、b r 方向相反，且a b ³r r ，充分性成立；必要性：若a r 、b r 共线且方向相同，则a b a b +=+r r r r ，即必要性不成立，所以，a b a b -=+r r r r 是a r 、b r 共线的充分不必要条件，A 选项错误；对于B 选项，若0b =r r ，0a ¹r r ，则//a b r r ，但不存在实数l ，使得λa b =r r ，B 选项错误；对于C 选项，对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若P 、A 、B 、C 四点共面，可设AP xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r，其中x 、y R Î，则()()OP OA x OB OA y OC OA -=-+-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，可得()1OP x y OA xOB yOC =--++uuu r uuu r uuu r uuu r ，由于22OP OA OB OC =--uuu r uuu r uuu r uuu r ，22111--=-¹Q ，此时，P 、A 、B 、C 四点不共面，C 选项错误；对于D 选项，假设a b +r r 、b c +r r 、c a +r r 共面，可设()()()a b m b c n c a na mb m n c +=+++=+++r r r r r r r r r ，由于{},,a b c r r r 为空间的一个基底，可得110m n m n =ìï=íï+=î，该方程组无解，假设不成立，所以，{},,a b b c c a +++r r r r r r 构成空间的另一个基底，D 选项正确.故选：ABC.26．ABC【详解】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的;对于B 中，若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC ®®®®=++，因为1111632++=，根据空间向量的基本定理,可得P,A,B,C 四点一定共面，所以是正确的;对于C 中，由{},,a b c ®®®是空间中的一组基底，则向量,,a b c ®®®不共面，可得向量,,a b c a +r r r r 不共面，所以{},,a b m ®®®也是空间的一组基底，所以是正确的;对于D 中，若0a b ®®×<，又由[0,]a b p ®®×Î，所以(,]2a b pp ®®×Î，所以不正确.故选：ABC27．ABC【详解】如下图所示，N Q 为BC 的中点，则()11112222ON OB BN OB BC OB OC OB OB OC =+=+=+-=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，M Q 为OA 的中点，则12OM OA =uuuu r uuu r ，111222MN ON OM OB OC OA \=-=+-uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r ，2MG GN =uuuu r uuu r Q ，则23MG MN =uuuu r uuuu r ，212111111323222633OG OM MG OM MN OA OB OC OA OA OB OC æö\=+=+=++-=++ç÷èøuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，16x \=，13y z ==，则56x y z ++=.故选：ABC.28．BD【详解】由空间向量的加法法则得1AC a b c =++uuuu r r r r ，B 正确，111111111111()22BM BB B M BB B D AA B A B C =+=+=++uuuu r uuur uuuur uuur uuuu r uuur uuuu r uuuu r 111()222c a b a b c =+-+=-++r r r r r r ，A 错误；由已知111cos 602a b b ca c ×=×=×=´´°=r r r r r r ，1AC a b =+===uuuu r r rC 错；1cos ,AB AC <==uuu r uuuu r ，D 正确．故选：BD ．29．CD【详解】对于,A 当a b a b +=-r r r r 时，a b r r ，共线成立，但当a b r r ，同向共线时a a bb +¹-r r r r 所以a b a b +=-r r r r 是a b r r ，共线的充分不必要条件，故A 不正确对于B ，当0b =r 时，//a b r r ，不存在唯一的实数,l 使得=a b l r r ，故B 不正确对于C ，由于243OP OA OB OC =-+uuu r uuu r uuu r uuu r ，而2431-+=，根据共面向量定理知P A B C ，，，四点共面，故C 正确对于D ，若{}a b c r r r ，，为空间的一个基底，则a b c r r r ，，不共面，由基底的定义可知，23a b b c c a +++r r r r r r ，，不共面，则{}23a b b c c a +++r r r r r r ，，构成空间的另一个基底，故D 正确.故选：CD30．BCD【详解】选项A 中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A 不正确；选项B 中，根据空间基底的概念，可得B 正确；选项C 中，由,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 不能构成空间的一个基底，可得,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 共面，又由,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，所以C 正确；选项D 中：由{},,a b c r r r 是空间的一个基底，则基向量,a b r r 与向量m a c =+r r r 一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D 正确．故选：BCD.31．2 132如图所示，11113()222AE AA A E AA AB AD a b c xa yb zc =+=++=++=++uuu r uuur uuu u r uuur uuu r uuu r r r r r r r 所以3212x y z ===，，，故答案为：①2，②1，③3232．②③④【详解】如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1,,a AB b AD c AA ===r uuu r r uuu r r uuur ，则11,,x AC y AD z AB ===r uuu r u r uuuu r r uuu u r ，1a b c AC ++=r r r uuuu r ，因,,,A B D C 四点共面，则向量,,a b x r r r 共面，而11,,,A C D B 四点不共面，则向量,,x y z r u r r 不共面，又11,,,A D A B 四点不共面，则,,b c z r r r 不共面，11,,,A C D C 四点不共面，则,,x y a b c ++r u r r r r 也不共面，所以可以作为空间的基底的向量组是②③④.故答案为：②③④33．如图所示，连AG 延长交BC 于E ，MG MA AG=+u u u r u u u r u u u r 1223OA AE =+uuu r uuu r ()121232OA AB AC =+×+uuu r uuu r uuu r ()()111233OA OB OA OC OA =+-+-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 111633OA OB OC =-++uuu r uuu r uuu r 故答案为：111633MG OA OB OC =-++uuuu r uuu r uuu r uuu r .34．1,0,12æö-ç÷èø12DM OM OD OA OD =-=-uuuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r 所以有序实数组()1,,,0,12x y z æö=-ç÷èø，故答案为：1,0,12æö-ç÷èø.35．511.22a b l ==-=-；；∵()()()123123123d a b c e e e e e e e e e a b l a b l =++=++++-+-+u r u u r ur u r u u r ur u r u u r ur r r r r 且123e e e u r u u r ur ，，不共面()()()123d e e e a b l a b l a b l \=++++-+-+u r u r u u r ur∴123a a a b l b l b l ++=ìï+-=íï-+=î，∴5,21,1.2a b l ì=ïï=-íïï=-î故答案为：511.22a b l ==-=-；；36．①③④【详解】对于①：若向量a r ， b r 与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即//a b r r ，故①正确；对于②：若非零向量a r ，b r ，c r 满足a b ^r r ，b c ^r r ，则a r 与c r 不一定共线，故②错误；对于③：若OA uuu r ，OB uuu r ，OC uuu r 是空间的一组基底，且111333OD OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，则11()()33OD OA OB OA OC OA -=-+-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，即1133AD AB AC =+uuu r uuu r uuu r ，可得到,,A B C ，D 四点共面，故③正确；对于④：若向量a b +r r ，b c +r r ，c a +r r ，是空间一组基底，则空间任意一个向量d u r ，存在唯一实数组(,,)x y z ，使得()()()()()()d x a b y b c z c a x z a x y b y z c =+++++=+++++v v v v v v v v v v ，由,,x y z 的唯一性，则x z +，x y +，y z +也是唯一的则a r ，b r ，c r 也是空间的一组基底，故④正确．故答案为：①③④37．（1）1D B a b c =--uuuu r r r r ，()12EF a c =-uuu r r r ；（2）11,,122x y z ==-=-（1）如图，连接AC ，EF ，D 1F ，BD 1，111D B D D DB AA AB AD a b c=+=-+-=--uuuu r uuuu r uuu r uuur uuu r uuu r r r r ()()()111111122222EF EA AF D A AC AA AD AB AD a c =+=+=-+++=-uuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r r r （2）()()()111111*********D F D D D B AA D B c a b c a b c =+=-+=-+--=--uuuu r uuuu r uuuu r uuur uuuu r r r r r r r r 11,,122x y z \==-=-38．证明:因为11AC AB AD AA ®®®®=++＝111233AB AD AA AA ®®®®+++＝11()3AB AA ®®+＋12()3AD AA ®®+＝AB BE AD DF AE AF ®®®®®®+++=+，所以1AC ®，AE ®，AF ®共面，所以A ，E ，C 1，F 四点共面.39．（1）111DC CB DC BB BC a b B c D =+=+-=-+uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r r r r ，1112BA AA A E a b BE c =++=-++uuu r uuu r uuur uuur r r r ，()111222AB BF a b c a b AF c =+=++=++uuu r uuu r uuu r r r r r r r ；（2）()1111111DD DB CD DD DB CD DD CB DD D A DA ++====++++uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuuur uuu u r 如图，连接DA 1，则1DA uuu u r 即为所求.40．PG uuu r 13=i +23j -23k ；BG uuu r =-23i +23j +13k .【详解】延长PG 交CD 于点N ，则N 为CD 的中点，因为G 为△PDC 的重心，所以PG uuu r ()1122233333PN PA AB AD AP A A A AD P D B ==+++-+-==uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 13i +23j -23k .111323BG BC CN NG BC CN NP AD DC PN =++=++=--uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 111221()63323331A AB AD AP AD AB AP D AB =+-=-+--uuu r uuu r uuu r uuu r uuu uuu r uuu r r uuu r 23=-i ＋23j ＋13k .。

1.2 空间向量基本定理-基础练一、选择题 1.有以下命题：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，则点一定共面；已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底其中正确的命题是A. B. C. D.2.设向量a ,b ,c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )A.{a+b ,b -a ,a }B.{a+b ,b -a ,b }C.{a+b ,b -a ,c }D.{a+b+c ,a+b ,c }3.如图,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为点M ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则下列向量中与C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( )A.-12a +12b +cB.12a +12b +cC.-12a -12b -cD.-12a -12b +c 4.已知O ,A ,B ,C 为空间不共面的四点,且向量a =OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,向量b =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则不能与a ,b 构成空间的一个基底的是( )A.OA ⃗⃗⃗⃗⃗B.OB ⃗⃗⃗⃗⃗C.OC ⃗⃗⃗⃗⃗D.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 或OB ⃗⃗⃗⃗⃗5．（多选题）（2020宁阳县四中高二期末）给出下列命题，其中正确命题有（ ）A ．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B ．已知向量//a b ，则,a b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．,,,A B M N 是空间四点，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，那么,,,A B M N 共面D ．已知向量{},,a b c 组是空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底6．（多选题）设a ，b ，c 是空间一个基底( )A ．若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥B ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，)z ，使p xa yb zc =++D ．则a b +，b c +，c a +一定能构成空间的一个基底二、填空题 7.在空间四边形OABC 中,OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,点M 在线段AC 上,且AM=2MC ,点N 是OB 的中点,则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______. 8．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,A 1C 1与B 1D 1的交点为E ,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ = .10．（2020山东菏泽四中高二期末）在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC 、AB 的中点，设AB a =，AC b =，AD c =，用a ，b ，c 表示向量DM =______，异面直线DM 与CN 所成角的余弦值为______. 三、解答题11.已知{e 1,e 2,e 3}是空间的一个基底,且OA =e 1+2e 2-e 3,OB =-3e 1+e 2+2e 3,OC =e 1+e 2-e 3,试判断{,,OA OB OC }能否作为空间的一个基底?若能,试以此基底表示向量OD =2e 1-e 2+3e 3;若不能,请说明理由.12.如图,已知正方体ABCD -A'B'C'D',点E 是上底面A'B'C'D'的中心,取向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底的基向量,在下列条件下,分别求x ,y ,z 的值.(1)BD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .。

1.2空间向量基本定理（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·河南郑州·高二期末（理））已知三棱锥O —ABC ，点M ，N 分别为线段AB ，OC 的中点，且OA a =，OB b =，OC c =，用a ，b ，c 表示MN ，则MN 等于（）A ．()12c a b --B ．()12b ac --C ．()12a cb --D ．()12c a b ++2．（2022·全国·高二）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11AC 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则BM =（）A ．1122a b c-+B ．1122a b c++C ．1122a b c--+D ．1122-++a b c3．（2022·全国·高二）已知O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底，则一定有（）A ．OA ，OB ，OC 共线B ．O ，A ，B ，C 中至少有三点共线C ．OA OB +与OC 共线D ．O ，A ，B ，C 四点共面4．（2022·江苏·高二课时练习）设向量{,,}a b c 是空间一个基底，则一定可以与向量,p a b q a b =+=-构成空间的另一个基底的向量是()A ．aB ．bC ．cD ．a 或b5．（2022·江苏·泰州中学高二期中）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1CM MD =，14CQ QA =，则（）A ．11122AM AB AD AA =++B ．11122AQ AB AD AA =++C ．1113444AQ AB AD AA =++D ．1114555AQ AB AD AA =++6．（2022·江苏南通·高二期末）在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点D 满足BD BC λ=，E 为AD 的中点，且111244OE a b c =++，则λ=（）A ．12B ．14C ．13D ．237．（2022·广东梅州·高二期末）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，M ，N 分别为棱BC ，PD 上的点，13CM CB =，PN ND =，设AB a =，AD b =，c AP =，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（）A ．1132a b c++B ．1162a b c-++C ．1132a b c-+D ．1162a b c--+二、多选题8．（2022·全国·高二）若{},,a b c 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A ．b c +r r，b ，b c-r r B ．a ，a b +，a b -C ．a b +，a b -，c D ．a b +，a b c ++，c9．（2022·江苏南通·高二期末）已知a ，b ，c 是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（）A ．若//a b ，//b c ，则//a cB ．若a ，b ，c 两两共面，则a ，b ，c 共面C ．对于空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z ，使得p xa yb zc =++D ．若{}a b c ，，是空间的一组基底，则{}a b b c c a +++，，也是空间的一组基底10．（2022·福建·上杭县第二中学高二阶段练习）关于空间向量，以下说法正确的是（）A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．已知向量{},,a b c 是空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底D ．若0a b ⋅<，则,a b 是钝角11．（2022·江苏·高二阶段练习）下面四个结论正确的是（）A ．空间向量a ，b （0a ≠，0b ≠），若a b ⊥，则0a b ⋅=B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P 、A 、B 、C 四点共面C ．已知{},,a b c 是空间的一组基底，若m a c =+，则{,,}a b m 也是空间的一组基底D ．任意向量a ，b ，c ，满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅三、填空题12．（2022·全国·高二课时练习）正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是上底面1111D C B A 的中心，若1AE xAB y AD z AA =++，则x y z ++=___________.13．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11AC 的中点，若AB a =，BC b =，1AA c =，则BM =______．（用a 、b 、c 表示）14．（2022·全国·高二）如图，在四面体ABCD 中，E 是BC 的中点，设1AB e =，2AC e =，3AD e =uuu r u r ，请用1e ､2e ､3e 的线性组合表示DE =uuu r___________.四、解答题15．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知在三棱锥A BCD -中，向量AB a =，AC b =，AD c =uuu r r，已知M 为BC 的中点，试用a 、b 、c 表示向量DM ．16．（2022·全国·高二课时练习）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB ，AD ，1AA 两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P 在线段BC 上，且3BP BC =，记a AB =，b AD =，1c AA =．试用a ，b ，c 表示1D P ．17．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知1111ABCD A B C D -是平行六面体．(1)化简1AA BC AB ++；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面11BCC B 对角线1BC 上的34分点，设1MN AB AD AA αβγ=++，试求α，β，γ的值．【能力提升】一、单选题1．（2022·江苏扬州·高二期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 和BD 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列式子中与1MB 相等的是（）A ．1122-+a b cB ．1122a b c+-C ．1122a b c-++D ．1122--+a b c2．（2022·全国·高二课时练习）在以下命题中，真命题的是（）．A ．a b a b -=+是a 、b 共线的充要条件B ．若a b ∥，则存在唯一的实数λ，使a bλ=C ．对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若22OP OA OB OC =--，则P 、A 、B 、C 四点共面D ．若a 、b 、c 是不共面的向量，则a b +、b c +、c a +的线性组合可以表示空间中的所有向量3．（2022·上海市建平中学高二期末）已知A ､B ､C ､D ､E 是空间中的五个点，其中点A ､B ､C 不共线，则“DE平面ABC ”是“存在实数x ､y ，使得DE x AB y AC =+的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2022·广东·高二阶段练习）在三棱锥A BCD -中，P 为BCD △内一点，若1PBCS=，2=PCDS，3PBDS=，则AP =（）A ．111362AB AC AD++B ．111263AB AC AD ++C ．111326AB AC AD++D ．111632AB AC AD ++5．（2022·河北邢台·高二阶段练习）如图．空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且满足2OM MA =，点N 为BC 的中点，则NM =（）A ．123122a b c-+B ．122132a b c-++C ．122121a b c+-D ．211322a b c--二、多选题6．（2022·广东惠州·高二期末）下面四个结论正确的是（）A ．空间向量a ，()0,0b a b ≠≠，若a b ⊥，则0a b ⋅=B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P 、A 、B 、C 四点共面C ．已知{},,a b c 是空间的一组基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一组基底D ．任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅r r r r r r7．（2022·浙江宁波·高二期末）若OA ，OB ，OC 是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为θ，则（）A ．θ的取值范围是()0,πB ．{},,OA AB BC 能构成空间的一个基底C ．“2OP OA OB OC =-+”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件D ．()OA OB OC BC ++⋅=8．（2021·全国·高二期中）在四面体P ABC -中，以下说法正确的有（）A ．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD =B ．若Q 为△ABC 的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，则1MN =D ．若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则0PB AC ⋅=三、填空题9．（2022·全国·高二课时练习）已知123,,e e e 是空间单位向量，12233113e e e e e e ⋅=⋅=⋅=，若空间向量a 满足()120,0a xe ye x y =+>>，4a =，则3a e ⋅的最大值是_______.10．（2021·全国·高二课时练习）如图在正方体1111ABCD A B C D -中，已知1A A a =,11A B b =,11A D c =,O 为底面的ABCD 的中心，G 为11D C O 的重心，则AG =______四、解答题11．（2022·全国·高二课时练习）在长方体1111ABCD A B C D -中，E 是CD 的中点．(1)设AB a =，AD b =，1AA c =，用向量a 、b 、c 表示1A E ；(2)设1AB a =，1AD b =，AC c =，用向量a 、b 、c 表示1A E ．12．（2022·全国·高二课时练习）A 是BCD △所在平面外一点，G 是BCD △的重心，M 、E 分别是BD 、AG 的中点，点F 在线段AM 上，25AF AM =，判断三点C 、E 、F 是否共线．13．（2022·全国·高二课时练习）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12C C EC =，13AC FC =．(1)求证：A 、F 、E 三点共线；(2)若点G 是平行四边形11B BCC 的中心，求证：D 、F 、G 三点共线．。

人教A 版选择性必修第一册《1.2 空间向量基本定理》同步练习卷（5）一、选择题1. 若向量{a →，b →，c →}是空间的一个基底，则一定可以与向量p →=2a →+b →，q →=2a →−b →构成空间的另一个基底的向量是（ ） A.a →B.b →C.c →D.a →+b →2. 如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→=a →，A 1D 1→=b →，A 1A →=c →．则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A.−12a →+12b →+c →B.12a →+12b →+c →C.12a →−12b →+c →D.−12a →−12b →+c →3. 若向量MA →，MB →，MC →的起点M 和终点A ，B ，C 互不重合，且无三点共线，则能使向量MA →，MB →，MC →成为空间一个基底的关系式是（ ） A.OM →=13OA →+13OB →+13OC →B.MA →=MB →+MC →C.OM →=OA →+OB →+OC →D.MA →=2MB →−MC →4. 如图所示，在四面体O −ABC 中，，，，点M 在OA 上，且＝2，N 为BC 的中点，则＝（ ）A.-+B.-++C.D.5. 在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，向量AB →,AD →,AA 1→两两的夹角均为60∘，且|AB →|=1，|AD →|=2，|AA 1→|=3，则|AC 1→|等于( ) A.5 B.6 C.4 D.8二、填空题在四面体O −ABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →=________（用a ，b ，c 表示）已知{，，}是空间的一个单位正交基底，{+，-，}是空间的另一个基底，若向量在基底{，，}下表示为＝3+5+9，则在基底，{+，-，3}下可表示为________．在四棱锥P −ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，＝，＝，＝，试用基底{，，}表示向量＝________．三、解答题如图所示，正方体OABCO′A′B′C′，且＝，＝，＝．（1）用，，表示向量，；（2）设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用，，表示．如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，＝-，＝，设＝，＝，＝，试用，，表示．四、选择题已知，，是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是（）A.2，-，+2B.2，-，+2C.，2，-D.，+，-给出下列命题，其中是真命题的是（）A.若{，，}可以作为空间的一个基底，与共线，≠，则{，，}也可以作为空间的一个基底B.已知向量 // ，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底C.已知A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面D.已知{，，}是空间的一个基底，若＝+，则{，，}也是空间的一个基底 五、填空题已知空间的一个基底{，，}，＝-+，＝x +y +，若与共线，则x ＝________，y ＝________．已知e →1，e →2是空间单位向量，e →1⋅e →2=12，若空间向量b →满足b →⋅e →1=2，b →⋅e →2=52，且对于任意x ，y ∈R ，|b →−(xe 1→+ye 2→)|≥|b →−(x 0e 1→+y 0e 2→)|=1(x 0, y 0∈R)，则x 0=________，y 0=________，|b →|=________．在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，设＝，＝，＝，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．（1）用向量，，表示，；（2）若＝x +y +z ，求实数x ，y ，z 的值．参考答案与试题解析人教A 版选择性必修第一册《1.2 空间向量基本定理》同步练习卷（5）一、选择题 1.【答案】 C【考点】空间向量的基本定理及其意义 【解析】空间向量的一组基底，要满足不为零向量，且三个向量不共面，逐个判断即可． 【解答】解：由已知及向量共面定理，结合p →+q →=2a →+b →+2a →−b →=4a →， 可知向量p →，q →，a →共面，同理可得p →−q →=2a →+b →−2a →+b →=2b →， 故向量p →，q →，b →共面，故向量a →，b →都不可能与p →，q →构成基底， 又可得a →+b →=34(2a →+b →)−14(2a →−b →)=34p →−14q →， 故向量a →+b →也不可能与p →，q →构成基底，只有c →符合题意， 故选C 2.【答案】 A【考点】向量加减混合运算及其几何意义 相等向量与相反向量 【解析】由题意可得B 1M →=B 1B →+BM →=A 1A →+12B 1D 1→=c →+12[b →−a →]，化简得到结果． 【解答】解：由题意可得B 1M →=B 1B →+BM →=A 1A →+12BD →=A 1A →+12B 1D 1→=c →+12(A 1D 1→−A 1B 1→)=c →+12(b →−a →)=−12a →+12b →+c →， 故选A ．3. 【答案】 C【考点】平面向量的基本定理及其意义 【解析】A ．由OM →=13OA →+13OB →+13OC →，13+13+13=1，利用平面向量基本定理可知：点M 在平面ABC 内；B ．由MA →=MB →+MC →，利用平面向量基本定理可知：向量MA →，MB →，MC →共面； C ．由OM →=OA →+OB →+OC →，且向量MA →，MB →，MC →的起点M 与终点A 、B 、C 互不重合且无三点共线，由空间平行六面体法则即可判断出； D ．由MA →=2MB →−MC →可知：向量MA →，MB →，MC →共面． 【解答】解：A ．∵ OM →=13OA →+13OB →+13OC →，13+13+13=1，∴ 点M 在平面ABC 内，因此向量MA →，MB →，MC →不能构成一个空间基底； B ．∵ MA →=MB →+MC →，∴ 向量MA →，MB →，MC →共面，不能构成一个空间基底；C ．由OM →=OA →+OB →+OC →，且向量MA →，MB →，MC →的起点M 与终点A 、B 、C 互不重合且无三点共线，由空间平行六面体法则可知： OM 是以点O 为顶点的对角线，∴ 向量MA →，MB →，MC →能构成一个空间基底；D ．由MA →=2MB →−MC →可知：向量MA →，MB →，MC →共面， 因此不能构成空间的一个基底． 综上可得：只有C 正确． 故选：C ． 4.【答案】 B【考点】平面向量的基本定理 【解析】根据向量加法和减法的三角形法则得出． 【解答】 连接ON ，∵ N 是BC 的中点，∴ ＝，∵ ＝2，∴ ＝，∴ ＝＝-＝-++，5.【答案】 A【考点】平面向量的夹角 向量在几何中的应用 【解析】由题设知AC 1→=AB →+BC →+CC 1→，故AC 1→2=(AB →+BC →+CC 1→)2，由此能求出|AC 1→|． 【解答】 解：如图，∵ 在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中， 向量AB →、AD →、AA 1→两两的夹角均为60∘， 且|AB →|=1，|AD →|=2，|AA 1→|=3， ∴ AC 1→=AB →+BC →+CC 1→， ∴ AC 1→2=(AB →+BC →+CC 1→)2 =AB →2+BC →2+CC 1→2+2AB →⋅BC →+ 2AB →⋅CC 1→+2BC →⋅CC 1→=1+4+9+2×1×2×cos 60∘+ 2×1×3×cos 60∘+2×2×3×cos 60∘ =25， ∴ |AC 1→|=5． 故选A ． 二、填空题 【答案】 12a →+14b →+14c → 【考点】空间向量的加减法中点坐标公式 【解析】利用D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，OE →=12(OA →+OD →)，OD →=12(OB →+OC →)，化简可得结果． 【解答】解：在四面体O −ABC 中，OA →=a ，OB →=b ，OC →=c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点， ∴ OE →=12(OA →+OD →)=OA →2+OD →2=12a →+12×12(OB →+OC →)=12a →+14(b →+c →)=12a →+14b →+14c →，故答案为：12a →+14b →+14c →． 【答案】＝4（+）-（-）+3(3） 【考点】空间向量的基本定理及其意义 空间向量的正交分解及其坐标表示 【解析】设＝x （+）+y （-）+z(3），利用向量相等列方程组求出x 、y 、z 的值即可． 【解答】 由题意知，＝3+9， 设＝x （+-）+z(2）， 所以＝(x +y)+3z ，由向量相等得，解得；所以在基底{+，-，4 ＝4（+）-（-）．【答案】【考点】空间向量的基本定理及其意义空间向量的正交分解及其坐标表示【解析】由题意画出图形，然后利用向量加减法的三角形法则求得．【解答】如图，＝＝．三、解答题【答案】正方体OABC−O′A′B′C′，且＝，＝，＝．所以，．根据三角形法则：连接OG和OH，【考点】空间向量的基本定理及其意义空间向量的正交分解及其坐标表示【解析】（1）直接利用三角形法则和向量的线性运算的应用求出结果．（2）直接利用三角形法则和向量的线性运算的应用求出结果．【解答】正方体OABC−O′A′B′C′，且＝，＝，＝．所以，．根据三角形法则：连接OG和OH，【答案】连接AN，∴＝+，∵＝-（+），＝+＝+（-）＝+，∴＝-（++＝-++．【考点】空间向量的基本定理及其意义空间向量的正交分解及其坐标表示【解析】根据向量的加减的几何意义即可求出．【解答】连接AN，∴＝+，∵＝-（+），＝+＝+（-）＝+，∴＝-（++＝-++．四、选择题【答案】A,B,D【考点】空间向量的基本定理及其意义空间向量的正交分解及其坐标表示平面向量的基本定理【解析】分别判断向量是否共面即可．【解答】A，因为2＝（-（+8）、-、+2，故它们不能构成一个基底；B，因为2＝（-（+2）、-、+2，故它们不能构成一个基底；C，因为找不到实数λ、μ，使+μ（-，故、8、-三个向量不共面；对于D，因为＝（+（-），得、+、-三个向量共面，【答案】A,B,C,D【考点】命题的真假判断与应用【解析】直接利用向量的基底的定义，向量的共线，共面向量的充要条件判定A、B、C、D的结果．【解答】对于选项A：若{，，}可以作为空间的一个基底，与，≠，则{，，，真命题．对于选项B：已知向量 // ，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底．对于选项C：已知A，B，M，N是空间中的四点，若，，，则A，B，M，真命题．对于选项D：已知{，，}是空间的一个基底，若＝+，，}也是空间的一个基底．五、填空题【答案】1,−1【考点】共线向量与共面向量【解析】由与共线，得存在实数λ，使，列出方程组能求出结果．【解答】因为空间的一个基底{，，}， ＝-+，＝x +，与共线，所以存在实数λ，使，即-+＝λx+λ，∴ ，解得．【答案】1,2,2√2 【考点】空间向量的数量积运算 平面向量数量积的运算 【解析】由题意和数量积的运算可得<e 1→⋅e 2→>=π3，不妨设e 1→=(12, √32, 0)，e 2→=(1, 0, 0)，由已知可解b →=(52, √32, t)，可得|b →−(xe 1→+ye 2→|2=(x +y−42)2+34(y −2)2+t 2，由题意可得当x =x 0=1，y =y 0=2时，(x +y−42)2+34(y −2)2+t 2取最小值1，由模长公式可得|b →|． 【解答】解：∵ e 1→⋅e 2→=|e 1→||e 2→|cos <e 1→⋅e 2→>=cos <e 1→⋅e 2→>=12，∴ <e 1→⋅e 2→>=π3，不妨设e 1→=(12, √32, 0)，e 2→=(1, 0, 0)，b →=(m, n, t)， 则由题意可知b →⋅e 1→=12m+√32n =2，b →⋅e 2→=m =52，解得m =52，n =√32，∴ b →=(52, √32, t)， ∵ b →−(xe 1→+ye 2→)=(52−12x −y, √32−√32x, t)， ∴ |b →−(xe 1→+ye 2→|2=(52−12x −y)2+(√32−√32x)2+t 2=x 2+xy +y 2−4x −5y +t 2+7=(x +y−42)2+34(y −2)2+t 2，由题意当x =x 0=1，y =y 0=2时，(x +y−42)2+34(y −2)2+t 2取最小值1，此时t 2=1，故|b →|=(52)(√32)=2√2故答案为：1；2；2√2 【答案】 如图，＝+＝-+-＝--，＝+＝+＝-（+）+（+（-）．＝（+）＝（-+）＝（-+--）＝--，∴ x ＝，y ＝-．【考点】数量积表示两个向量的夹角 平面向量的基本定理 【解析】（1）如图，＝+＝-+-，＝+＝+＝-（+）+（+），进而得到答案；（2）＝（+）＝（-+），结合＝x +y +z，可得实数x，y，z的值．【解答】如图，＝+＝-+-＝--，＝+＝+＝-（+）+（+（-）．＝（+）＝（-+）＝（-+--）＝--，∴x＝，y＝-．。

1.2 空间向量基本定理-提高练一、选择题1.给出下列命题：①已知a b ⊥，则()()a b c c b a b c ⋅++⋅-=⋅； ②,,,A B M N 为空间四点，若,,BA BM BN 不构成空间的一个基底，那么,,,A B M N 共面； ③已知a b ⊥，则,a b 与任何向量都不构成空间的一个基底；④若,a b 共线，则,a b 所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42.若{},,a b c 为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（ ） A ．{},,a a b a b +-B ．{},,b a b a b +-C ．{},,c a b a b +-D ．{},,2a b a b a b +-+ 3.已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是边OA ，CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量OA ，OB ，OC 表示向量OG 是（ ） ．2233OG OA OB OC =++ ．122233OG OA OB OC =++ ．111633OG OA OB OC =++ D ．112633OG OA OB OC =++ 4.在四面体O -ABC 中,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上的一点,且OG=3GG 1,若OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则(x ,y ,z )为( ) A.(14,14,14) B.(34,34,34) C.(13,13,13) D.(23,23,23)5.下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）A.若向量a ，b 与空间任意向量都不能构成基底，则//a b ；B.若非零向量a ，b ，c 满足a b ⊥，b c ⊥，则有//a c ； 若OA ，OB ，OC 是空间的一组基底，且111333OD OA OB OC =++，则A D.若向量a b +，b c +，c a +，是空间一组基底，则a ，b ，c 也是空间的一组基底.6．（多选题）若{a ,b ,c }是空间的一个基底,则下列各组中能构成空间一个基底的是( ) A.{a ,2b ,3c }B.{a +b ,b +c ,c +a }C.{a +2b ,2b +3c ,3a -9c }D.{a +b +c ,b ,c } 二、填空题7．（2020山东泰安实验中学高二月考）在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点，若记→→=AB a ，AD b →→=，AC c →→=，则AG →=______.8.（2020上海复旦附中青浦分校高二月考）在斜三棱柱111A B C ABC -中，BC 的中点为M ，11AB a =，11AC b =，1A A c =，则1B M可用a 、b 、c 表示为______. 9.已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC 1=1,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值10. （2020山东省高二期末）如图所示的平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知1,AB AA AD ==1BAD DAA ∠=∠60,︒=1BAA ∠30︒=，N 为11A D 上一点，且111A N A D λ=.若BD AN ⊥，则λ的值为________；若M 为棱1DD 的中点，//BM 平面1AB N ，则λ的值为________.三、解答题11.如图所示,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,试用a ,b ,c 表示MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .12.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,已知E ,F ,G ,H 分别是CC 1,BC ,CD 和A 1C 1的中点. 证明:(1)AB 1∥GE ,AB 1⊥EH ;(2)A 1G ⊥平面EFD.。

1.2 空间向量基本定理一、单选题1．{},,a b c 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ）A ．{},,a a b a b +-B ．{},,b a b a b +-C ．{},,c a b a b +-D ．{},,2a b a b a b +-+2.给出下列命题：①已知a b ⊥，则()()a b c c b a b c ⋅++⋅-=⋅；②,,,A B M N 为空间四点，若,,BA BM BN 不构成空间的一个基底，那么,,,A B M N 共面； ③已知a b ⊥，则,a b 与任何向量都不构成空间的一个基底； ④若,a b 共线，则,a b 所在直线或者平行或者重合． 正确的结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43.在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于( )A ．112223EF AC AB AD =+- B ．112223EF AC AB AD =--+C ．112223EF AC AB AD =-+ D ．112223EF AC AB AD =-+-4.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面11A C 的中心，若1AE AA xAB y AD =++则(x y += )A ．12B ．1C ．32D ．25．（多选题）（2020宁阳县四中高二期末）给出下列命题，其中正确命题有（ ） A ．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B ．已知向量//a b ，则,a b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．,,,A B M N 是空间四点，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，那么,,,A B M N 共面D ．已知向量{},,a b c 组是空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底6．（多选题）设a ，b ，c 是空间一个基底( ) A ．若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥B ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，)z ，使p xa yb zc =++D ．则a b +，b c +，c a +一定能构成空间的一个基底 二、填空题7．已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD =x SA ySB zSC ++，则x +y +z =_____.8.已知四棱柱的底面ABCD 是矩形，底面边长和侧棱长均为2，，则对角线的长为_____________．9.已知为空间的一个基底，且，，，能否以作为空间的一个基底______ 填“能”或“不能”． 三、解答题10．已知ABCD A B C D-''''是平行六面体．（1）化简1223AA BC AB'++，并在图形中标出其结果；（2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC B''的对角线BC'上的点，且:3:1BN NC'=，设MN AB AD AAαβγ'=++，试求α，β，γ的值．11、如图，平面平面，，四边形为平行四边形，，，为线段的中点，点满足．（Ⅰ）求证：直线平面；（Ⅱ）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．。