1.2 空间向量基本定理-基础练(原卷版) 含答案.pdf

1.2空间向量基本定理-基础练（原卷版）.pdf1.2 空间向量基本定理-基础练一、选择题1.有以下命题：如果向量与任何向量不能组成空间向量的一组基底,那么的关系是不共线；为空间四点,且向量不组成空间的一个基底,则点一定共面；已知向量是空间的一个基底,则向量也是空间的一个基底其中正确的命题是A. B. C. D.2.设向量a ,b ,c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )A.{a+b ,b-a ,a }B.{a+b ,b-a ,b }C.{a+b ,b-a ,c }D.{a+b+c ,a+b ,c }3.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为点M ,=a ,=b ,=c ,则下列向量中与相等的向量是()A.-a +b +cB.a +b +cC.-a -b -cD.-a -b +c4.已知O ,A ,B ,C 为空间不共面的四点,且向量a =,向量b =,则不能与a ,b 组成空间的一个基底的是( )A. B. C. D.5．（多选题）（2020宁阳县四中高二期末）给出下列命题,其中正确命题有（）A ．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B ．已知向量,则与任何向量都不能组成空间的一个基底//a b ,a b C ．是空间四点,若不能组成空间的一个基底,那么共面,,,A B M N ,,BA BM BN ,,,A B M N D ．已知向量组是空间的一个基底,若,则也是空间的一个基底{},,a b c m a c =+ {},,a b m 6．（多选题）设,,是空间一个基底 a b c ()A ．若,,则a b ⊥ b c ⊥ a c ⊥B ．则,,两两共面,但,,不可能共面a b c a b c C ．对空间任一向量,总存在有序实数组,,,使p (x y )z p xa yb zc =++D ．则,,一定能组成空间的一个基底a b + b c + c a + 二、填空题7.在空间四边形OABC 中,=a ,=b ,=c ,点M 在线段AC 上,且AM=2MC ,点N 是OB 的中点,则=______.210．（2020山东菏泽四中高二期末）在正四面体中,,分别为棱、的中点,设,,,用,,表示向量______,异面直ABCD M N BC AB AB a = AC b = AD c =u u u r r a b c DM = 线与所成角的余弦值为______.DM CN 三、解答题11.已知{e 1,e 2,e 3}是空间的一个基底,且=e 1+2e 2-e 3,=-3e1+e 2+2e 3,=e 1+e 2-e 3,试判断{}能否作为空间的一个基底?若能,试以此基底表示向量OA OB OC ,,OA OB OC OD =2e 1-e 2+3e 3;若不能,请说明理由.12.如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',点E 是上底面A'B'C'D'的中心,取向量为基底的基向量,在下列条件下,分别求x ,y ,z 的值.(1)=x+y+z ;(2)=x+y+z.知识改变命运。

1.2空间向量基本定理-基础练一、选择题1.有以下命题：①如果向量疋，牙与任何向量不能组成空间向量的一组基底，那么〒的关系是不共线：②OJ、HC为空间四点，且向^oA,oB,o5不组成空间的一个基底，则点O.A.B.C-^共而：③已知向量万,了,疋是空间的一个基底，则向量N + 了，N-了，疋也是空间的一个基底•英中正确的命题是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【参考答案】C【解析】①如果向量疋,飞与任何向虽不能组成空间向於的一组基底.那么疋,7的关系是不共线，不正确.反例：如果7中有…个向量为零向量.N, 7共线但不能组成空讪叩上的一组基底,所以不正确.②OAB.C为空间四点，且向量刃，丙，况不组成空间的一个基底，那么点O AB,C •定共而：这是正确的.③已知向量N, T,疋是空间的一个基底,则向星万+〒,万一T, W，也是空间的一个基底：因为三个向量非零不共线，正确.故选C.2•设向量a.b.c不共而，则下列可作为空间的一个基底的是（）A.{a+b.b-a.a}B.{ a+b,b-a,b}C.{ a+b.b-a.c}D.{ a+b+c.a+b.c}【参考答案】c【解析】由已知及向量共而加理，易得a+b.b-a.c不共而，故可作为空间的一个基底.3.如图，在平行六而体ABCD-AiBiCiDi中"C与BD的交点为点A/.=a=b=cJi］下列向呈:中与相等的向量是（）A.-a+b+cB.a+b+cC.-a-b-cD.-a-b+c【参考答案】c【解析】）-（）=-a-b-c.4.已知OAbC为空间不共而的四点，且向虽:曲,向量b=，则不能与a.b组成空间的一个基底的是（）A. B. C. D.【参考答案】C【解析】：'a=.b=,・：（a-b）,・：与向量a.b共面,• ：ab不能组成空间的一个基底.5.（多选题）（2020宁阳县四中高二期末）给出下列命题，其中正确命题有（）A.空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B.已知向量方///；,则厶』与任何向量都不能组成空间的一个基底C.A、B、M、N是空间四点，若丽，丽,丽不能组成空间的一个基底，那么A、BMN共而D.已知向量{",可组是空间的一个基底，若fn = a+c^\{a,b,m}也是空间的一个基底【参考答案】ABCD【解析】选项A中.根据空间基底的概念，可得任意三个不共而的向量都可以作为一个空间肚底•所以A止确：选项8中，根据空间基底的概念，可得B正确：选项C中.由丽，丽.丽不能组成空间的一个基底，可得共而,又由页，丽；丽过相同点得A、B、M、N四点共而，所以C正确：选项D中：由仏乙,：}是空间的一个基底，则基向量f 川］就不=方+ ：—疋不共而.所以可以组成空间另一个基底，所以D正确.故选：ABCD.6.（多选题）设工是空间一个基底（）A.若“丄5屮丄芒，则〃丄0B.则"工两两共而，但不可能共而C.对空间任一向量"，总存在有序实数组（x?\叫使"= Xii + W +疋D.则〃 +厶，/； + c：,个+ 〃一泄能组成空间的一个基底【分析】利用N /疋是空间一个基底的性质宜接求解.【解答】解：由「心是空间一个基底，知：在A中，若〃丄b上丄8 ,则N与°相交或平行，故A错误；在“中,"工两两共而，但ab^c不可能共而，故B正确：在C中,对空间任一向量P.总存在有序实数组“，卩，2）,使"=加+ W + zc，故C正确；D^Ji + b .b+c s+li能组成空间的一个基底，故D正确.故选：BCD.二、填空题7•在空间四边形OABC中,=a.=b.=c,点M在线段AC上，且AM=2MC,点N是OB的中点，则= ______【参考答案】-a+b-c【解析】）,，（ac）-a+b=-a+b-c.8.在正方体ABCD-AiB^Di中，设=a=b.=c^iCi与B）Di的交点为£则=_________________ .【参考答案】-a+b+c【解析】如图,）=）=.a+b+c.9•若a=ei+e2.b=e2+e3X=ei+e3，d=e]+2e2+3e3,若ei.e》.© 不共而，当(1=如+妙)+徑时,a+0+y= .【参考答案】3【解析】由已知d=(a+y)ei+(a+“)e2+(?+“)e3,所以故有a+B+y=3・10.（2020山东荷泽四中髙二期末）在正四而体ABCD中,M/V分别为棱BC、A3的中点，设AB = a .AC = b ^AD = c用；C表示向^DM= _____________________ 异面直线DM与CN所成角的余弦值为_________ ・【解析】画出对应的正四而体，设棱长均为1则三. 解答题11. 已知｛ei,e2,e 3｝是空间的一个基底，且OA =ei+2e 2-e 3,o§ =-3ei+e 2+2e 3,OC =ei+e 2-e3,U^W ｛ CM,OB,OC ｝能否作为空间的一个基底?若能，试以此基底表示向量而 =2ere 2+3e 3 ；若不能，请说明理由.【参考答案】^ ob=^OA-5oB -30oc .【解析】能作为空间的一组基底.假设页，西,况共而•由向G 洪而的充要条件知存在实数心使=A OB +yOC 成立 e ｛ +爲_召=x(-3e l +e 2 +爲)+y(e x +e^-3e^) = (-3x+y)e[+(x+y)呂+(2x-刃&又因为｛勺，勺心｝是空W J 的一个基底，所以百忑耳不共£-3x + y = 1,因此＜ x + y = 2,此方程组无解，即不存在实数xy 使丙+.vOC •2r )=l,所以鬲，刃，况 不共而•故｛鬲,西.龙｝能作为空间的一个基底.设 OD=POA 十qUS +z 况，则有2e\-e 2 + 込=〃(弓+2勺-e i )+q(-3e l +e 2 +2®) + z (弓+勺 一6)= (“_3q + z )G + (2〃 + q + z)& + (_/? + 2g_z )sp ・3q + z = 2, 2" + § + z = -l,•解得 < ・p + 2g ・z = 3, 故 OD=^OA^OB^OC12•如图，已知正方体ABCDABCD ：点E 是上底而A'BCD 的中心，取向量为基底的基向量，在下列条件下,分别求料忆的值. (l)=x+y+z ；(2)=x+y+z.2DM -2CN\ 0 + 乙-2?).(方-M)1一1 + — 一2 — 1 + 2 丄.〃 =17,q = 5Z = -30.因为陽瓦习为空间的-个基底，所以＜【参考答案】见解析【解析】(1)因为又*y+z, 所以.x=Ly=-l^:=l.(2)因为=)=,又=x+y+z.所以・*=尸忆=1・。

1.2 空间向量基本定理课后篇巩固提升1.如图,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为M ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则下列向量中与C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( ) A.-12a +12b +cB.12a +12b +cC.-12a -12b -cD.-12a -12b +cC 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )-(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12a -12b -c .2.(2020广东汕头金山中学高二上期中)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,点E 为上底面A 1C 1的中心,若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x ,y 的值分别为( ) A.1,1B.1,12C.12,12D.12,1AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x=12,y=12.故选C .3.在空间四边形OABC 中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,点M 在线段AC 上,且AM=2MC ,N 是OB 的中点,则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.23a +12b -23cB.23a -12b +23cC.-13a +12b -23cD.13a +12b -13cMA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ , MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(a -c )-a +12b =-13a +12b -23c .4.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,A 1C 1与B 1D 1的交点为E ,则BE⃗⃗⃗⃗⃗ = .,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12a +12b +c .-12a +12b +c5.已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面,∠BAC=90°.求证:AB ⊥AC 1.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b +c .所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ·(b +c )=a ·b +a ·c , 因为AA 1⊥平面ABC ,∠BAC=90°, 所以a ·b =0,a ·c =0, 得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故AB ⊥AC 1. 6.如图所示,在平行四边形ABCD 中,AD=4,CD=3,∠ADC=60°,PA ⊥平面ABCD ,PA=6,求线段PC 的长.ABCD 中,∠ADC=60°,所以∠BAD=120°.又PA ⊥平面ABCD , 所以PA ⊥AB ,PA ⊥AD.因为PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AP⃗⃗⃗⃗⃗ )2= √|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ -2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗=√9+16+36+2×3×4×(-12)-0-0=7,即线段PC 的长为7.关键能力提升练7.(2020安徽淮北一中高二上期中)已知M ,N 分别是四面体OABC 的棱OA ,BC 的中点,点P 在线段MN 上,且MP=2PN ,设向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.16a+16b+16cB.13a+13b+13cC.16a+13b+13c D.13a+16b+16cOP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=23ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(OB⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+13×12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b +13c +16a ,故选C .8.在四面体O -ABC 中,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上的一点,且OG=3GG 1,若OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则(x ,y ,z )为( ) A.(14,14,14) B.(34,34,34) C.(13,13,13) D.(23,23,23)如图所示,连接AG 1交BC 于点E ,则E 为BC 的中点,AE⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ ), AG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ). 因为OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =3GG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OG ⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =34OG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AG 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=34(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗)=14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC⃗⃗⃗⃗⃗ .9.(多选题)在三棱锥P-ABC 中,三条侧棱PA ,PB ,PC 两两垂直,且PA=PB=PC=3,G 是△PAB 的重心,E ,F 分别为棱BC ,PB 上的点,且BE ∶EC=PF ∶FB=1∶2,则下列说法正确的是( ) A.EG ⊥PG B.EG ⊥BC C.FG ∥BC D.FG ⊥EF,设PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则{a ,b ,c }是空间的一个正交基底,则a ·b=a ·c=b ·c=0.取AB 的中点H , 则BC⃗⃗⃗⃗⃗ =c-b , PG⃗⃗⃗⃗⃗ =23PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(a+b )=13a+13b , PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23b+13c ,则EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =PG ⃗⃗⃗⃗⃗ −PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a+13b-23b-13c=13a-13b-13c ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ =c-b , FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =PG ⃗⃗⃗⃗⃗ −PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a+13b-13b=13a ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =PF⃗⃗⃗⃗⃗ −PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b-13c+23b =-13c-13b. EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故A 正确;EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故B 正确;FG ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ),故C 不正确;FG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故D 正确.故选ABD .10.若a=e 1+e 2,b=e 2+e 3,c=e 1+e 3,d=e 1+2e 2+3e 3,若e 1,e 2,e 3不共面,当d =α a +β b +γ c 时,α+β+γ=.d =(α+γ)e 1+(α+β)e 2+(γ+β)e 3,所以{α+γ=1,α+β=2,γ+β=3,故有α+β+γ=3.11.(2020浙江杭州学军中学高二上期中)在棱长为a 的正四面体ABCD 中,E ,F 分别为棱AD ,BC 的中点,则异面直线EF 与AB 所成角的大小是 ,线段EF 的长度为 .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则{a ,b ,c }是空间的一个基底,|a|=|b|=|c|=a ,a ·b=a ·c=b ·c =12a 2.∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a+b )-12c ,∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a 2+12a ·b-12a ·c =12a 2,|EF⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(12a +12b -12c) 2=√22a. ∴cos <EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ |EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗|=12a 2√22a×a =√22, ∴异面直线EF 与AB 所成的角为π4.√22a 12.如图所示,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,试用a ,b ,c 表示MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .AN ,则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 由已知可得四边形ABCD 是平行四边形,从而可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b ,MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13(a +b ),又A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b -c ,故AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −13A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b -13(b -c ),所以MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-13(a +b )+b -13(b -c )=13(-a +b +c ). 13.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,已知E ,F ,G ,H 分别是CC 1,BC ,CD 和A 1C 1的中点.证明: (1)AB 1∥GE ,AB 1⊥EH ; (2)A 1G ⊥平面EFD.设正方体棱长为1,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =i ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =j ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k ,则{i ,j ,k }构成空间的一个单位正交基底. AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =i +k ,GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =GC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12i +12k =12AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AB 1∥GE.EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1H ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12k +(-12)(i +j )=-12i -12j +12k , ∵AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(i +k )·(-12i -12j +12k)=-12|i |2+12|k |2=0,∴AB 1⊥EH.(2)A 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =-k +j +12i ,DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =i -12j ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =i +12k .∴A 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-k +j +12i)·(i -12j)=-12|j |2+12|i |2=0,∴A 1G ⊥DF.A 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-k +j +12i)·(i +12k)=-12|k |2+12|i |2=0,∴A 1G ⊥DE.又DE ∩DF=O ,∴A 1G ⊥平面EFD.学科素养创新练14.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是BB 1,D 1B 1的中点,求证:EF ⊥平面B 1AC.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,有a ·b =0,a ·c =0,b ·c =0,则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(-a +b +c ),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b .∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(-a +b +c )·(a +b )=12(|b |2-|a |2)=0.∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即EF ⊥AB 1.同理EF ⊥B 1C. ∵AB 1∩B 1C=B 1,∴EF ⊥平面B 1AC.。

1.2 空间向量基本定理-基础练一、选择题1.有以下命题：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，则点一定共面；已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底其中正确的命题是A.B. C. D. 【答案】C【解析】如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线，不正确．反例：如果中有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．，A ，B ，C 为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 一定共面；这是正确的．已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确．故选C ．2.设向量a ,b ,c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )A.{a+b ,b-a ,a }B.{a+b ,b-a ,b }C.{a+b ,b-a ,c }D.{a+b+c ,a+b ,c }【答案】C【解析】由已知及向量共面定理,易得a+b ,b-a ,c 不共面,故可作为空间的一个基底.3.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为点M ,AB =a ,AD =b ,AA 1=c ,则下列向量中与C 1M 相等的向量是( )A.-12a +12b +cB.12a +12b +cC.-12a -12b -cD.-12a -12b +c 【答案】C 【解析】C 1M =AM ―AC 1=12(AB +AD )-(AB +BC +CC 1)=-12a -12b -c .4.已知O ,A ,B ,C 为空间不共面的四点,且向量a =OA +OB +OC ,向量b =OA +OB ―OC ,则不能与a ,b 构成空间的一个基底的是( )A.OAB.OBC.OCD.OA 或OB【答案】C 【解析】∵a =OA +OB +OC ,b =OA +OB ―OC ,∴OC =12(a -b ),∴OC 与向量a ,b 共面,∴OC ,a ,b 不能构成空间的一个基底.5．（多选题）（2020宁阳县四中高二期末）给出下列命题，其中正确命题有（ ）A ．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B ．已知向量//a b v v ，则,a b v v 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．,,,A B M N 是空间四点，若,,BA BM BN uuu v uuuu v uuu v不能构成空间的一个基底，那么,,,A B M N 共面D ．已知向量{},,a b c v v v 组是空间的一个基底，若m a c =+v v v ，则{},,a b m v v v 也是空间的一个基底【答案】ABCD【解析】选项A 中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A正确；选项B 中，根据空间基底的概念，可得B 正确；选项C 中，由,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 不能构成空间的一个基底，可得,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 共面，又由,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，所以C 正确；选项D 中：由{},,a b c r r r 是空间的一个基底，则基向量,a b r r 与向量m a c =+u r r r 一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D 正确．故选：ABCD.6．（多选题）设a r ，b r ，c r 是空间一个基底( )A ．若a b ^r r ，b c ^r r ，则a c^r r B ．则a r ，b r ，c r 两两共面，但a r ，b r ，c r 不可能共面C ．对空间任一向量p r ，总存在有序实数组(x ，y ，)z ，使p xa yb zc=++r r r r D ．则a b +r r ，b c +r r ，c a +r r 一定能构成空间的一个基底【分析】利用a r ，b r ，c r 是空间一个基底的性质直接求解．【解答】解：由a r ，b r ，c r 是空间一个基底，知：在A 中，若a b ^r r ，b c ^r r ，则a r 与c r 相交或平行，故A 错误；在B 中，a r ，b r ，c r 两两共面，但a r ，b r ，c r 不可能共面，故B 正确；在C 中，对空间任一向量p r ，总存在有序实数组(x ，y ，)z ，使p xa yb zc =++r r r r ，故C 正确；在D 中，a b +r r ，b c +r r ，c a +r r 一定能构成空间的一个基底，故D 正确．故选：BCD ．二、填空题7.在空间四边形OABC 中,OA =a ,OB =b ,OC =c ,点M 在线段AC 上,且AM=2MC ,点N 是OB 的中点,则MN =______.【答案】 -13a +12b -23c 【解析】MA =23CA =23(OA ―OC ),ON =12OB , MN =MO +ON =MA +AO +ON =23(a -c )-a +12b =-13a +12b -23c .8．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,设AB =a ,AD =b ,AA 1=c ,A 1C 1与B 1D 1的交点为E ,则BE = .【答案】 -12a +12b +c 【解析】如图,BE =BB 1+B 1E =AA 1+12(B 1C 1+B 1A 1)=AA 1+12(AD ―AB )=-12a +12b +c .9.若a=e 1+e 2,b=e 2+e 3,c=e 1+e 3,d=e 1+2e 2+3e 3,若e 1,e 2,e 3不共面,当d =αa +βb +γc 时,α+β+γ= .【答案】3【解析】由已知d =(α+γ)e 1+(α+β)e 2+(γ+β)e 3,所以α+γ=1,α+β=2,γ+β=3,故有α+β+γ=3.10．（2020山东菏泽四中高二期末）在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC 、AB 的中点，设AB a =uuu r r ，AC b =uuu r r ，AD c =u u u r r ，用a r ，b r ，c r 表示向量DM =uuuu r ______，异面直线D M 与CN 所成角的余弦值为______.【答案】()122a b c +-r r r . 16. 【解析】画出对应的正四面体,设棱长均为1则(1) ()()11222DM DA AM c a b a b c =+=-++=+-uuuu r uuu r uuuu r r r r r r r .(2)由(1) ()122DM a b c =+-uuuu r r r r ,又()11222CN AN AC a b a b =-=-=-uuu r uuu r uuu r r r r r .又12a b a c b c ×=×=×=r r r r r r .设异面直线D M 与CN 所成角为q 则cos q 22111212222412=336a ab a b b ac b c-+--+-×+×--×+×==r r r r r r r r r r .三、解答题11.已知{e 1,e 2,e 3}是空间的一个基底,且OA uuu r =e 1+2e 2-e 3,OB uuu r =-3e 1+e 2+2e 3,OC uuu r =e 1+e 2-e 3,试判断{,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r }能否作为空间的一个基底?若能,试以此基底表示向量OD uuu r =2e 1-e 2+3e 3;若不能,请说明理由.【答案】能，OD uuu r =17OA uuu r -5OB uuu r -30OC uuu r ．【解析】能作为空间的一组基底．假设,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r 共面,由向量共面的充要条件知存在实数x ,y 使OA uuu r =x OB uuu r +y OC uuu r 成立123123123123+2(3+2)(+3)(3)()(2)e e e x e e e y e e e x y e x y e x y e -=-++-=-++++-u v u u v uv u v u u v uv u v u u v uv u v u u v uv 又因为{}123,,e e e u v u u v uv 是空间的一个基底,所以123,,e e e u r u u r ur 不共面.因此-31,2,2--1,x y x y x y +=ìï+=íï=î此方程组无解,即不存在实数x ,y 使OA uuu r =x OB uuu r +y OC uuu r ,所以,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r 不共面.故{,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r}能作为空间的一个基底.设OD uuu r =p OA uuu r +q OB uuu r +z OC uuu r ,则有12312312312323(+2)(3+2)(+)e e e p e e e q e e e z e e e -+=-+-++-u v u u v uv u v u u v uv u v u u v uv u v u u v uv 123(3)(2)(2)p q z e p q z e p q z e =-+++++-+-u v u u v uv 因为{}123,,e e e u v u u v uv 为空间的一个基底,所以-32,2-1,-2-3,p q z p q z p q z +=ìï++=íï+=î解得17,-5,-30.p q z =ìï=íï=î故OD uuu r =17OA uuu r -5OB uuu r -30OC uuu r.12.如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',点E 是上底面A'B'C'D'的中心,取向量AB ,AD ,AA '为基底的基向量,在下列条件下,分别求x ,y ,z 的值.(1)BD '=x AD +y AB +z AA ';(2)AE =x AD +y AB +z AA '.【答案】见解析【解析】 (1)因为BD '=BD +DD '=BA +AD +DD '=-AB +AD +AA ',又BD '=x AD +y AB +z AA ',所以x=1,y=-1,z=1.(2)因为AE =AA '+A 'E =AA '+12A 'C '=AA '+12(A 'B '+A 'D ')=12AD +12AB +AA ',又AE =x AD +y AB +z AA ',所以x=12,y=12,z=1.。

1.2 空间向量基本定理同步练习一、单选题1．{},,a b c 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ）A ．{},,a a b a b +-B ．{},,b a b a b +-C ．{},,c a b a b +-D ．{},,2a b a b a b +-+【答案】C【解析】对于A ，因为()()2a b a b a ++-=，所以,,a a b a b +-共面，不能构成基底，排除A ， 对于B ，因为)()2a b a b b +--=(，所以,,b a b a b +-共面，不能构成基底，排除B ， 对于D ，312()()22a b a b a b +=+--，所以,,2a b a b a b +-+共面，不能构成基底，排除D ， 对于C ，若,,c a b a b +-共面，则()()()()c a b a b a b λμλμλμ=++-=++-，则,,a b c 共面，与{},,a b c 为空间向量的一组基底相矛盾，故,,c a b a b +-可以构成空间向量的一组基底，故选C2．如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =，则BD 等于（ ）A ．1122a b c -+ B ．a b c +-C ．a b c -+D ．1122a b c -+- 【答案】A【解析】由题意在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =， 可知：BD BO OD =+，BO b =-，11112222OD OA OC a c =+=+，1122BD a b c =-+．故选A ．3．如图，在三棱锥A BCD -中，E ､F 分别是棱AD ､BC 的中点，则向量EF →与,AB CD →→的关系是（ ）A ．1122EF AB CD →→→=+B ．1122EF AB CD →→→=-+C ．1122EF AB CD →→→=-D ．1122EF AB CD →→→=--【答案】C【解析】取AC 的中点M ，连结,EM FM ，,E F 分别是,AD BC 的中点，12ME CD →→∴=，12MF AB →→∴=，1122EF MF ME AB CD →→→→→∴=-=-.故选C .4．如图，在四面体OABC 中，2OM MA =，BN NC =，则MN =（ ）A ．111222OA OB OC →→→+-B ．221332OA OB OC →→→+-C ．121232OA OB OC →→→-+D ．211322OA OB OC →→→-++【答案】D【解析】∵2OM MA →→=，BN NC →→=，∴12()23MN ON OM OB OC OA →→→→→→=-=+-211322OA OB OC →→→=-++．故选D ．5．在下列结论中：①若向量,a b 共线，则向量,a b 所在的直线平行；②若向量,a b 所在的直线为异面直线，则向量,a b 一定不共面； ③若三个向量,,a b c 两两共面，则向量,,a b c 共面；④已知空间的三个向量,,a b c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p xa yb zc =++. 其中正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错． 两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错，三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 两两共面，但它们不是共面向量，故③错．根据空间向量基本定理，,,a b c 需不共面，故④错． 故选A ．6．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若1,,AB a AD b AA c ===，则CM =（ ）A ．1122++a b c B ．1122-+a b c C ．1122a b c -++ D ．1122--+a b c【答案】D【解析】由题意，因为M 为11A C 与11B D 的交点，所以M 也为11A C 与11B D 的中点， 因此()()11112CM AM AC AA A M AB AD AA AC AB AD =-=+-+=+-+ ()1121122AA AB AD a b c -=-+=-+.故选D. 7．在三棱锥A BCD -中，E 是棱CD 的中点，且23BF BE =，则AF =（ ） A ．133244AB AC AD +- B ．3344AB AC AD +-C ．533AB AC AD -++D ．111333AB AC AD ++【答案】D【解析】因为E 是棱CD 的中点，23BF BE =， 所以()22213333AF AB BF AB BE AB AE AB AE AB =+=+=+-=+ ()1111133333AC AD AB AB AC AD =++=++.故选D.8．若{},,a b c 是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（ ）A ．,2,3a b cB ．,,a b b c c a +++C ．,,a b c b c c +++D ．2,23,39a b b c a c ++-【答案】D【解析】对于:,2,3,:,,,:,,A a b c B a b b c c a C a b c b c c ++++++，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底，对于D ：2,23,3-9a b b c a c ++满足：()()3-932-23a c a b b c ⎡⎤=++⎣⎦，是共面向量，不能构成空间的一个基底，故选D9．如图，在四面体OABC 中，G 是底面∆ABC 的重心，则OG 等于（ ）A ．OA OB OC ++ B ．111222OA OB OC ++ C ．111236OA OB OC ++D ．111333OA OB OC ++【答案】D 【解析】()()211112323333AG AC AB OC OA OB OA OC OB OA ⎛⎫=⋅⋅+=⋅-+-=+- ⎪⎝⎭ 则111333OG AG OA OA OB OC =+=++,故选D. 10．已知在平行六面体ABCD A B C D '-'''中，3AB =，45AD AA ='=，，120BAD ∠=︒，60BAA ∠='︒，90DAA ∠='︒，则AC '的长为（ ）A ．2B ．53C 58D 53【答案】D【解析】在平行六面体ABCD A B C D '-'''中，3AB =，AD 4=, 5AA '=，120BAD ∠=︒，60BAA ∠='︒，90DAA ∠='︒，AC AB AD AA ''=++,()22AC AB AD AA '∴=++'222222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+'⋅''91625234cos120235cos6050121553=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=-+=则53AC ='．故选D11．（多选题）给出下列命题，其中正确命题有（ ）A ．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B ．已知向量//a b ，则,a b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．,,,A B M N 是空间四点，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，那么,,,A B M N 共面D ．已知向量{},,a b c 组是空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底 【答案】ABCD【解析】选项A 中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A 正确；选项B 中，根据空间基底的概念，可得B 正确；选项C 中，由,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，可得,,BA BM BN 共面， 又由,,BA BM BN 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，所以C 正确；选项D 中：由{},,a b c 是空间的一个基底，则基向量,a b 与向量m a c =+一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D 正确． 故选ABCD.12．（多选题）设a ，b ，c 是空间一个基底，则（ ）A ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥cB ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，z )，使p xa yb zc =++D ．则a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 一定能构成空间的一个基底 【答案】BCD【解析】对于A 选项，b 与,a c 都垂直，,a c 夹角不一定是π2，所以A 选项错误. 对于B 选项，根据基底的概念可知a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面. 对于C 选项，根据空间向量的基本定理可知，C 选项正确.对于D 选项，由于a ，b ，c 是空间一个基底，所以a ，b ，c 不共面.假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，设()()()1a b x b c x c a +=++-+，化简得()1x a x b c ⋅=-+，即()1c x a x b =⋅+-，所以a ，b ，c 共面，这与已知矛盾，所以a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面，可以作为基底.所以D 选项正确.故选BCD三、填空题13．已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD =x SA ySB zSC ++，则x +y +z =_____.【答案】12-【解析】如图，根据条件()12BD BC BS =+ ()12SC SB SB =-- 12SB SC =-+ 102SA SB SC =-+,又BD xSA ySB zSC =++,∴由空间向量基本定理得110122x y z ++=-+=-,故填12-14．平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，向量1,,AB AD AA 两两的夹角均为60°，且AB =1，|AD |=2，|1AA |=3，则|1AC |等于_____. 【答案】5【解析】由平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1可得:11AC AB AD AA =++， ∴22221111222AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++⋅⋅++⋅+=12+22+32+2cos 60°(1×2+1×3+2×3) =25，∴1AC =5.故填5.15．已知点M ，N 分别是空间四面体OABC 的边OA 和BC 的中点，P 为线段MN 的中点，若OP =λOA +μOB +γOC ，则实数λ+μ+γ=_____.【答案】34【解析】如图，连接ON ，在△OMN 中，点P 是MN 中点，由平行四边形法则得．()()111111111222422444OP OM ON OM ON OA OB OC OA OB OC =+=+=+⨯+=++, 又OP =λOA +μOB +γOC ，∴111,,444λμγ===，∴34λμγ++=．故填34．16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 是1CC 的中点，1113A F AB =，且1DF AB AC AA αβγ=++，则αβγ++=__________．【答案】12-【解析】由题意的：1113A F A B =，1111DF DC C A A F =++=111123CC AC A B -+=1111111233AA AC A B A A -++=1111111233AA AC A B AA -+-=11136AB AC A A -+, 故可得α=13，β=-1，γ=16，可得：αβγ++=1-2.故填1-2.17．如图所示,在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===,点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N为BC 中点，若=MN xa yb zc ++，则x y z ++=_____________【答案】13【解析】,,,OA a OB b OC c ===点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，22=33OM OA a ∴= ()111222ON OB OC b c =+=+ 112=223MN ON OM b c a ∴-=+-211,,322x y z ∴=-== 故21113223x y z ++=-++= 故填1318．如图，在空间四边形OABC 中，M ，N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且3MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG ，设OG x OA y OB z OC =⋅+⋅+⋅，则x 、y 、z 的和为______.【答案】78【解析】MN MA AB BN =++11111()22222OA OB OA OC OB OA OB OC =+-+-=-++ 13131112424222OG OM MG OA MN OA OA OB OC ⎛⎫∴=+=+=+-++ ⎪⎝⎭813388OA OB OC =++133,,888x y z ∴===，即78x y z ++=．故填78三、解答题19．已知ABCD A B C D -''''是平行六面体．（1）化简1223AA BC AB '++，并在图形中标出其结果； （2）设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC B ''的对角线BC '上的点，且:3:1BN NC '=，设MN AB AD AA αβγ'=++，试求α，β，γ的值．【解析】（1）如图所示，取线段AA '中点E ，则12EA AA ''=， BC AD A D ''==， 取23D F D C '''=， ∵AB D C =''，∴2233AB D C D F '''==．则2312AA BC AB EA A D D F EF '''''++=++=．（2）∵ M N MB BN +=124 3BC DB =+'314()()2DA AB BC CC '=+++ 113 244AB AD AA '=++αAB βAD γAA '++=，∴12α=，14β=，34γ=． 20．在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，设1,,AB a AD b AA c ===，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．（1）用向量,,a b c 表示1,D B EF ，；（2）若1D F xa yb zc =++，求实数x ，y ，z 的值．【解析】（1）111D B D D DB AA AB AD a b c=+=-+-=--，11122EF EA AF D A AC =+=+ 1111()()()222AA AD AB AD a c =-+++=-.（2）11111111()()22222D F D D D B c a b c a b c =+=-+--=--，所以11,,122x y z ==-=-.21．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都等于1，1160BAA CAA ∠=∠=︒．（1）设1AA a =，AB b =，AC c =，用向量a ，b ，c 表示1BC ，并求出1BC 的长度； （2）求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值．【解析】（1）111111111BC BB B C BB A C A B a c b =+=+-=+-∴11cos 11cos602a b a b BAA ︒=∠=⨯⨯=，同理可得12a cbc ==， ∴()222212222BC a c ba cb ac a b c b =+-=++-+-=．（2）因为1AB a b =+，所以()222123AB a b a b a b =+=++=，因为()()22111AB BC a ba cb a ac a b b a c b b =++-=+-++-=，所以1111116cos ,23AB BC AB BC AB BC <>==⨯．∴异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为6622．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60︒，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，（1）用,,a b c 表示BM ； （2）求对角线1AC 的长； （3）求1cos ,AB AC【解析】（1）连接1A B ,AC ，1AC ，如图：AB a =，AD b =，1AA c =在1A AB ，根据向量减法法则可得：11BA AA AB c a =-=- 底面ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD a b =+=+11//AC A C 且11AC AC =，∴ 11AC AC a b==+ 又M 为线段11A C 中点，∴ ()1111122A M b AC a ==+ 在1A MB 中()11111222BM BA A M c a a a b c b -+=+=+-++= （2）顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60︒∴1cos602a b a b ⋅=⋅︒=，s 2c 160o a a c c ⋅⋅==︒，s 2c 160o b b c c ⋅⋅==︒，由（1）可知AC a b =+∴平行四边形11AA CC 中故：11AC AC A b A a c+=+=+ ()()22211C a cb A AC ==++()()()222+++222+a c a b c c b b a =⋅+⋅⋅222+++cos cos cos 606062022b a bc a b c c a ︒+⋅⋅︒+︒=⋅11121+1+1+22222++=⨯⨯⨯6=∴16AC =故：对角线1AC . （3）1AC a b c=++，AB a =又111cos ,a a c AB AC AB AC AB AC b ⋅+⋅==⋅+212311b a a a c+++⋅⋅=+===。

1.2 空间向量的基本定理【题组一 基底的判断】1．（2020·山东微山县第二中学高二月考）已知a r ，b r ，c r 是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（ ）A ．2a r ，a r ﹣b r ，a r +2br B ．2b r ，b r ﹣a r ，b r +2a r C ．a r ，2b r ，b r ﹣cr D ．c r ，a r +c r ，a r ﹣c r 【答案】C【解析】对于A ，因为2a r =43（a r ﹣b r ）+23（a r +2b r ），得2a r 、a r ﹣b r 、a r +2b r 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，A 不正确；对于B ，因为2b r =43（b r ﹣a r ）+23（b r +2a r ），得2b r 、b r ﹣a r 、b r +2a r 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，B 不正确；对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a r =λ•2b r +μ（b r ﹣c r ）成立，故a r 、2b r 、b r ﹣c r 三个向量不共面，它们能构成一个基底，C 正确；对于D ，因为c r =12（a r +c r ）﹣12（a r ﹣c r ），得c r 、a r +c r 、a r ﹣c r 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，D 不正确故选：C ．2．（2018·安徽六安一中高二期末（理））已知点,,,O A B C 为空间不共面的四点，且向量a OA OB OC =++uuu v uuu v uuu v v ，向量b OA OB OC =+-uuu v uuu v uuu v v ，则与a v ，b v 不能构成空间基底的向量是（ ）A ．OAuuu v B ．OB uuu v C ．OC uuu v D ．OA uuu v 或OB uuu v【答案】C【解析】∵()()()111222OC a b OA OB OC OA OB OC =-=++-+-uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v v v ，即OC uuu v 与a v ，b v 共面，∴OC uuu v 与a v ，b v不能构成空间基底；故选C.3．已知{},a b c v v v ，是空间向量的一个基底，则与向量p a =v v +b v ，q a =v v -b v 可构成空间向量基底的是( )A ．a v B ．b vC ．a v +2b vD ．a v +2cv 【答案】D【解析】由题意，向量,,2a b a b +v v v v 都有向量,p a b p a b =+=-v vv v v v 为共面向量，因此A 、B 、C 都不符合题意，只有向量2a c +r r 与向量,p a b p a b =+=-v v v v v v 属于不共面向量，所以可以构成一个空间的基底，故选D.4．（2020·南昌市八一中学高二期末（理））{},,a b c r r r 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ）A ．{},,a a b a b +-r r r r rB ．{},,b a b a b +-r r r r r C ．{},,c a b a b +-r r r r r D ．{},,2a b a b a b +-+r r r r r r 【答案】C【解析】对于A ，因为()()2a b a b a r r r r r ++-=，所以,,a a b a b r r r r r +-共面，不能构成基底，排除A ，对于B ，因为)()2a b a b b +--=r r r r r (，所以,,b a b a b r r r r r +-共面，不能构成基底，排除B ，对于D ，312()()22a b a b a b +=+--r r r r r r ，所以,,2a b a b a b +-+r r r r r r 共面，不能构成基底，排除D ，对于C ，若,,c a b a b r r r r r +-共面，则()()()()c a b a b a b l m l m l m =++-=++-r r r r r r r ，则,,a b c r r r 共面，与{},,a b c r r r 为空间向量的一组基底相矛盾，故,,c a b a b r r r r r+-可以构成空间向量的一组基底，故选：C 5．（2018·江西南昌二中高二期中（理））若{},,a b c v v v 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ）A ．{},,a a b a b +-v v v v vB ．{},,b a b a b +-v v v v vC ．{},,c a b a b +-v v v v vD ．{},,2a b a b a b +-+v v v v v v 【答案】C【解析】().2,,,A a b a b a a a b a b ++-=\+-v v v v v Q v v v v v 共面，故不能作为基底，故错误；().2,,,B a b a b b b a b a b +--=\+-v v v v v v v v v v 共面，故不能作为基底，故错误；.,,C c a b a b v v v v v +-不共面，故可以作为基底，故正确；()()31.2,,,222D a b a b a b a b a b a b v v v v v v v v v v v v +=++-\+-+共面，故不能作为基底，故错误，故选C.【题组二 基底的运用】1．（2020·天水市第一中学高二月考（理））如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 交于点M ，设1,,AB a AD b AA c ===uuu v uuu v uuuv v v v ，则1B M =uuuuv（ ）A ．1122a b c ---v v v B ．1122a b c +-v v v C ．1122a b c --v v v D ．1122a b c -+-v v v 【答案】D 【解析】11B M B B BM =+uuuur uuur uuuu r ，12BM BD =uuuu r uuu r ，BD BA BC =+uuu r uuu r uuu r ，∴()1112B M AA AB AD uuuur uuur uuu r uuu r =-+-+1122c a b r r r =--+，故选D ．2．（2020·全国高一课时练习）若是空间的一个基底，，，，，，则，，的值分别为（ ）A ．，，B ．，，C ．，，D ．，1，【答案】A【解析】，由空间向量基本定理，得∴，，.3（2020·山东沂.高二期末）如图所示，P ，Q 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，M 是PQ 靠近P 的三等分点，且OM xOA yOB zOC =++uuuu r uuu r uuu r uuu r ，则x y z ++=__．【答案】23【解析】因为P ，Q 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，M 是PQ 靠近P 的三等分点，所以1111()2323OM OP PM OA PQ OA PA AB BQ =+=+=+++uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，1111()2322OA OA OB OA BC =++-+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，1111(())2322OA OA OB OA OC OB =++-+-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，111366OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r ，所以13x =，16y =，16z =，11123663x y z ++=++=，故答案为：23．4．（2019·江苏鼓楼.南京师大附中高二期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 是11B C 的中点，且1DO xDA yDC zDD =++uuur uuu r uuu r uuuu r ，则x y z ++的值为________.【答案】52【解析】在正方体中得112DO DA DC DD =++uuur uuu r uuu r uuuu r ，又因为1DO xDA yDC zDD =++uuur uuu r uuu r uuuu r 所以1,1,12===x y z 所以52x y z ++=.故答案为：52【题组三 基本定理的运用】1．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足111333OM OA OB OC =++uuuu v uuu v uuu v uuu v ．（1）判断MA uuu v ，MB uuu v ，MC uuu u v 三个向量是否共面；（2）判断点M 是否在平面ABC 内．【答案】（1）,,MA MB MC uuu v uuu v uuu u v共面 （2）点M 在平面ABC 内．【解析】（1）如图，111()(333OA OC OA OC OQ Q +=+=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 为OAC D 的重心）1(3OB OQ OP OQ OM P +=+=uuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r 为OB 的三等分点）设AC 中点为N ，则::2:3PM ON BP BO ==可知M 在BN 上，且M 为ABC D 的重心故知,,MA MB MC uuu r uuur uuuu r 共面（2）由（1）知,,MA MB MC uuu r uuur uuuu r 共面且过同一点M .所以,,,M A B C 四点共面，从而点M 在平面ABC 内．2．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC Ð=°，121AB BC CC ===，，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为________．【解析】如图所示,将直三棱柱111ABC A B C -补成直四棱柱1111ABCD A B C D -,连接111,AD B D ,则11AD BC P ,所以11B AD Ð或其补角为异面直线AB 1与BC 1所成的角．因为1120,2,1ABC AB BC CC а====,所以1AB =, 1AD =.在111B D C D 中,11160B C D =а,11111,2B C D C ==所以11B D ===所以222111111112AB AD B D co A D AD B B s A +-==´=´Ð故答案为: 3．如图所示，在平行四边形ABCD 中，1AB AC ==，90ACD Ð=°，将它沿对角线AC 折起，使AB与CD 成60°角，求点B 与点D 之间的距离．【答案】2∴2222222BD BD BD BA AC CD BA AC BA CD AC CD=×=+++×+×+×uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 3211cos ,BA CD =+´´´uuu r uuu r <>，∴2BD =uuu r，故点B 与点D 之间的距离为2．4.已知空间四边形OABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ，且OA ＝OB ＝OC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点，求证：OG ⊥BC．【答案】见解析【解析】连接ON ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ，又设OA → ＝a ，OB → ＝b ，OC →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |.又OG → ＝12(OM → ＋ON → )＝12[12OA → ＋12(\o(OB ,\s\up7(→))＋\o(OC ,\s\up7(→)))]＝14(a ＋b ＋c )，BC → ＝c －b .∴OG → ·BC → ＝14(a ＋b ＋c )·(c －b )＝14(a ·c －a ·b ＋b ·c －b 2＋c 2－b ·c )＝14(|a |2·cos θ－|a |2·cos θ－|a |2＋|a |2)＝0.∴OG → ⊥BC →，即OG ⊥BC ．。

1. 2 空间向量基本定理1．若O A B C ,,,为空间四点，且向量OAOBOC ，，不是构成空间的一个基底，则 （ ） A ．OAOB OC ，，共线 B ．OAOB，共线 C ．OB OC ，共线 D ． O A B C ,,,四点共面 2． 已知,,i j k 是空间直角坐标系Oxyz 中，x 轴、y 轴、z 轴的正方向上的单位向量，且AB i j k =-+-，则点B 的坐标 （ ）A 是1,11()--，B ．是(),,i j k --C ．是111()--，，D ．不确定 3．设向量,,a b c 不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（ ）A ． {,,}a b b a a +-B ． {,,}a b b a b +-C ． {,,}a b b a c +-D ． {,,}a b c a b c +++4． 已知点A 在基底{,,}a b c 下的坐标是(8，6，4)，其中a i j b j k c k i =+=+=+，，，则点A 在基底{},,i j k 下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)5． 设命题p: ,,a b c 是三个非零向量，命题q: {,,}a b c 为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6． 已知,,,,A B C D E 是空间五点，若, , ,,AB AC AD AB AC AE 与均不能构成空间的一个基底，则有下列结论:①, ,AB AD AE 不能构成空间的一个基底； ②, ,AC AD AE 不能构成空间的一个基底； ③, , BC CD DE 不能构成空间的一个基底； ④, , AB CD EA 能构成空间的一个基底． 其中正确的有_______个．7． 已知在正方体ABCD 一1111A B C D 中，点E 为底面1111A B C D 的中心，112a AA =，12b AB =，13c AD =，AE xa yb zc =++，则x =______，y =_______，z =_______．8． 设,y c,z c x a b b a =+=+=+且{,,}a b c 是空间的一组基底，给出下列向量组：①{},,a b x ；②{,,}x y z ③{,,}b c z ④{,,}x y a b c ++ 其中可以作为空间的基底的向量组是___________(填序号)．9． 在空间直角坐标系中．给定点3)1,2,M-（，求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称点的坐标．10．如图3．1-47，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是上底面1111A B C D 的中心，求下列各式中的,,z x y 的值．（1）11BD xAD yAB zAA =++； （2）1AE xAD yAB zAA =++．11．如图3．1-48，在空间四边形OABC 中，点, G H 分别是ABC OBC ∆∆，的重心，设,,OA a OB b OC c ===，试用向量,,a b c 表示向量GH ．12．如图3．1-49，PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，,M N 分别是,AB PC 的中点，并且1PA AB ==． 试建立适当的空间直角坐标系，求向量MN 的坐标．答案与解析1． D 解析；由, ,OA OB OC 不能构成基底，知, ,OA OB OC 三向量共面，所以,,,O A B C 四点共面． 2． D 解析:由AB i j k =-+-只能确定向量()1,1,1AB =--．而向量的起点A 的坐标未知，故终点B 的坐标不确定．3． C 解析:由已知及向量共面定理，易知,,a b b a c +-不共面，故可作为空间的一个基底． 4． A 解析: ()()()864864121410OA a b c i j j k k i i j k =++=+++++=++．5． B 解析:当三个非零向量,,a b c 共面时，,,a b c 不能构成空间的一个基底，但是当{,,}a b c 为空间的一个基底时，必有,,a b c 都是非零向量，因此p q ≠>，而q p ⇒，故命题p 是命题q 的必要不充分条件． 6． 3解析:由题意．知空间五点,,,,A B C D E 共面，故①②③正确，④错误． 7． 2 132解析:如图3．1-5011113()222AE AA A E AA AB AD a b c xa yb zc =+=++=++=++所以32,1,2x y z ===8． ②③④解析:如图3．1-51，设1,,a AB b AD c AA ===，则11,,x AC y AD z AB ===，1a b c AC ++=．由11,,,A B C D 四点不共面可知，向量,,x y z 也不共面．同理可知,,b c z ；,,x y a b c ++也不共面．9． 解: 3)1,2,M-（关于坐标平面, , xOy xOz yOz 对称的点的坐标分别为123.12()()(,33),12,----，，,，；3)1,2,M -（关于x 轴、y 轴、z 轴对称的点的坐标分别为()()(1,231231,2,3)-----,,，，,；3)1,2,M -（关于坐标原点对称的点的坐标为12)3(--，，． 10．解:(1)因为1111BD BD DD BA BC DD AD AB AA =+=++=-+且11BD xAD yAB zAA =++所以1,1, 1.x y z ==-= (2)因为111111*********()2222AE AA A E AA AC AA A B A D AD AB AA =+=+=++=++ 且1AE xAD yAB zAA =++所以11,,122x y z ===11．解:因为2211()()3323OH OD OB OC b c ==⨯+=+J2212111()()()3333233OG OA AG OA AD OA OD OA OA OB OC a b c =+=+=+-=+⨯+=++ 所以1111()()3333GH OH OG b c a b c a =-=+--+=-12．解:因为1PA AB ==，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 是两两垂直的单位向量．设123e ,e ,AB AD AP e ===，以123{e ,e ,}e 为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz ，连接AC ．如图3．1-52．因为1111()2222MN MA AP PN AB AP PC AB AP PA AC ++=-++=-+=++23111111()e 222222AB AP PA AB AD AD AP e =-++++=+=+所以11(0,,)22MN =．。

1.2空间向量基本定理一、空间向量基本定理（1）定义：如果三个向量，，a b c r r r不共面，那么对空间任一向量p u r ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使=++p xa yb zc u r r r r.（2）基底与基向量：如果三个向量，，a b c r r r不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{},,,=++∈p p xa yb zc x y z R u r u r r r r，这个集合可以看作由向量，，a b c r r r 生成的，我们把{}，，a b c r r r叫做空间的一个基底，，，a b c r r r 都叫做基向量。

说明：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.二、空间向量的正交分解1、单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{}，，i j k r r r表示。

2、正交分解：把一个空间向量分解成三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正角分解。

题型一空间向量基底的概念辨析【例1】若{},,a b c 构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（）A．{},,a b b c c a +++B．{},,a b b c c a---C．{},,a b c a b c +++D．{},,3a b c a b c a b c -++--+【变式1-1】设=+x a b ，=+y b c ，=+z c a ，且{},,a b c 是空间的一个基底，给出下列向量组：①{},,a b x ；②{},,x y z ；③{},,b c z ；④{},,++x y a b c ，则其中可以作为空间的基底的向量组有（）A．1B．2C．3D．4【变式1-2】设向量{,,}a b c 是空间一个基底，则一定可以与向量,=+=-p a b q a b 构成空间的另一个基底的向量是()A．aB．bC．cD．a 或b【变式1-3】下列说法正确的是（）A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B．空间的基底有且仅有一个C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D．直线的方向向量有且仅有一个【变式1-4】已知{}123,,e e e 是空间的一个基底，向量12332a e e e =++，23b e e λ=+，12332c e e e =++，若{},,a b c 能作为基底，则实数λ的取值范围是（）A．()(),11,-∞--+∞B．()(),00,∞-+∞U C．()(),11,-∞+∞D．()()(),00,11,∞∞-⋃⋃+题型二用基底表示空间向量问题【例2】在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 是BC 的中点，则MN =（）A．121232a b c -+B．221332a b c+-r r r C．111222a b c+-D．211322a b c-++【变式2-1】在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN =（）A．121232a b c-+B．211322a b c-++C．111222a b c+-D．221332a b c ++【变式2-2】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c =，若E 为1DD 的中点，F 在BD 上，且3BF FD =，则EF 等于（）A．111332a b c --B．111442a b c --C．111442a b c -+D．111233a b c -+【变式2-3】如图：在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11AC ，11B D 的交点．若11A B a =，11A D b =，1A A c =，则向量BM =（）A．1122-++a b cB．1122-+-a b cC．1122a b c--+D．1122a b c -+题型三空间向量基本定理的应用【例3】如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为,OB AC ，,M N 分别为,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，3MG GN =，若OG xOA yOB zOC =++，则x y z ++=（）A．118B．98C．78D．58【变式3-】若{},,a b c 是空间的一个基底，且p xa yb zc =++，则(,,)x y z 叫p 在基底{},,a b c 下的坐标.已知p 在基底{},,a b c 下的坐标为()3,2,1，则p 在另一组基底{},,a b a b c -+下的坐标为（）A．13(,,1)22B．15(,,1)22C．13(,1,22D．15(,1,)22【变式3-2】在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1CC 的中点，E 为11C D 的中点，F 为11B C 的中点，O 为EF 的中点，直线PE 交直线1DD 于点Q ，直线PF 交直线1BB 于点R ，则（）A．511777AO AP AQ AR =++B．111244AO AP AQ AR =++C．211366AO AP AQ AR=++D．522999AO AP AQ AR=++【变式3-3】已知斜三棱柱111ABC A B C -所有棱长均为2，113A AB A AC π∠=∠=，点E ､F 满足112AE AA =，12BF BC =uu u r uu u r ，则EF =（）C．2。

1.2　空间向量基本定理题型一：空间向量基底概念与判断1．下列能使向量MA uuu r ，MB uuu r ，MC uuu ur 成为空间的一个基底的关系式是（ ）A ．111333OM OA OB OC =++uuuu r uuu r uuu r uuu r B ．MA MB MC=+uuu r uuu r uuu u r C ．OM OA OB OC=++uuuu r uuu r uuu r uuu r D ．2MA MB MC=-uuu ruuu r uuu u r2．空间四个点O ，A ，B ，C ，,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r为空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）A ．O ，A ，B ，C 四点不共线B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线C ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线D ．O ，A ，B ，C 四点不共面3．若{},,a b c r r r为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（ ）A ．{},,a a b a b+-r r r r r B ．{},,b a b a b+-r r r r r C ．{},,c a b a b+-r r r r r D ．{},,2a b a b a b+-+r r r r r r题型二：空间向量基本定理的应用4．空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===uuu r r uuu r r uuu r r.点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，则MN uuuu r 等于（ ）A ．12a r -2132b c+r r B ．-211322a b c++r r rC ．12a r 12b +r -23crD ．2233a b +r r -12cr5．设O ABC -是正三棱锥，1G 是ABC V 的重心，G 是1OG 上的一点，且13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++uuu r uuu r uuu r uuu r，则x y z ++=（ ）．A ．14B ．12C ．34D ．16．如图，在四面体ABCD 中，点M 是棱BC 上的点，且2BM MC ＝，点N 是棱AD 的中点.若MN x AB y AC z AD =++uuuu r uuu r uuu r uuu r，其中,,x y z 为实数，则xyz 的值是（ ）A ．19-B ．18-C ．19D ．18【双基达标】一、单选题7．已知{},,a b c r r r 是空间的一个基底，若p a b,q a b =+=-u r r r r r r，则（ ）A ．a,p,q r u r r是空间的一组基底B ．b,p,q r u r r是空间的一组基底C ．c,p,q r u r r是空间的一组基底D ．,p q u r r 与,,a b c r r r中的任何一个都不能构成空间的一组基底8．点P 是矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ^平面ABCD ，M ，N 分别是PC ，PD 上的点，且23PM PC =uuuu r uuu r，=uuu r uuu rPN ND 则满足MN x AB y AD z AP =++uuuu r uuu r uuu r uuu r 的实数,,x y z 的值分别为（ ）A ．211,,366-B ．211,,366-C ．211,,366--D ．211,,366--9．在下列两个命题中，真命题是（ ）①若三个非零向量a r ，b r ，c r 不能构成空间的一个基底，则a r ，b r ，c r共面；②若a r ，b r 是两个不共线向量，而c r ＝λa r ＋μb r (λ，μR Î且λμ≠0)，则{a r ，b r ，c r}构成空间的一个基底．A ．仅①B ．仅②C ．①②D ．都不是10．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，P 是线段1D B 上一点，且12BP D P =，若1DP xAB y AD z AA =++uuu r uuu r uuu r uuur，则x y z ++=（ ）A ．43B ．23C ．13D ．111．如图，在三棱锥O ABC -中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点D 为线段PQ 上一点，且2PD DQ =uuu r uuur，若记OA a =uuu r r ，OB b =uuu r r ，OC c =uuu r r，则OD =uuu r （ ）A ．111633a b c++r r r B ．111333a b c++r r rC ．111363a b c++r r r D ．111336a b c++r r r 12．下列结论错误的是（ ）.A ．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C ．若a r ､b r是两个不共线的向量，且c a b l m =+r r r (R l m Î、且0l m ×¹)，则{}a b c r r r ，，构成空间的一个基底D ．若OA uuu r ､OB uuur ､OC uuu r 不能构成空间的一个基底，则O ､A ､B ､C 四点共面13．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为,,,OB AC M N 分别是,OA CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r 表示向量OG uuu r为（ ）A ．111633OG OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r B ．122233OG OA OB OC=++uuu r uuu r uuu r uuu r C ．2233OG OA OB OC=++uuu r uuu r uuu r uuu r D ．112233OG OA OB OC=++uuu uuu r uuu r uu r u r 14．设p ：a r ，b r ，c r是三个非零向量；q ：{},,a b c r r r 为空间的一个基底，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件15．已知空间向量a r ，b r 满足|a r |=|b r |=1，且a r ，b r的夹角为3p ，O 为空间直角坐标系的原点，点A ，B 满足OA uuu r =2a r +b r ，OB uuu r =3a r -b r，则△OAB 的面积为（ ）A B C D ．11416．已知在四棱柱ABCD A B C D ¢¢¢¢-中，四边形ABCD 为平行四边形，若32AC a AB bBC cCC =+¢+¢uuuu r uuu r uuu r uuur，则abc =（）A ．12B ．13C ．16D ．56【高分突破】一：单选题17．在空间四边形OABC 中，OA a =uuu r r ，OB b =uuu r r ，OC c =uuu r r ，且AM MB =uuuu r uuu r，则MC =uuu u r （ ）A ．1122+-r r r a b cB ．1122a b c ++r r rC ．1122---r r r a b c D ．1122a b c--+r r r18．在三棱锥O ABC -中，,,,2OA a OB b OC c AM MO ====uuu r r uuu r uuu r r uuuu r uuuu r r ，N 为BC 中点，则MN =uuuu r（ ）A ．121232a b c-+r r r B ．111322a b c-++r r rC ．111222a b c+-r rr D ．121332a b c+-r r r 19．在平行六面体1111ABCD A B C D －中，AC 与BD 的交点为M ，设AB a =uuu r r ，AD b =uuu r r ，1AA c =uuur r，则下列向量中与1D M uuuuu r相等的向量是（ ）A ．1122-++r r r a b cB ．1122a b c-+r r rC ．1122+-r r ra b cD ．1122--r r ra b c20．如图，在四面体OABC 中，M ，N 分别在棱OA ，BC 上且满足2OM MA =uuuu r uuu r ，BN NC =uuu r uuu r，点G 是线段MN 的中点，用向量OA uuu r ，OB uuu r ，OC uuu r 作为空间的一组基底表示向量OG uuu r应为（ ）A ．111363OG OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r B ．111344OG OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu rC ．111336OG OA OB OC=++uuu r uuu r uuu r uuu r D ．111443OG OA OB OC=++uuu r uuu r uuu r uuu r21．已知0a b c ++=r r r，||2a =r ，||3b =r ，||c =r ，则向量a r 与b r 之间的夹角,a b áñr r 为（ ）.A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对22．给出下列命题：①已知a b ^r r，则()()a b c c b a b c ×++×-=×r r r r r r r r ；②A 、B 、M 、N 为空间四点，若BA uuu r、BM uuuu r、BN uuu r不构成空间的一个基底，那么A 、B 、M 、N 共面；③已知a b ^r r，则a r 、b r 与任何向量都不构成空间的一个基底；④若a r 、b r 共线，则a r 、b r所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．423．已知O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，且向量a r =OA OB OC ++uuu r uuu r uuu r ，向量b =r OA OB OC +-uuu r uuu r uuu r ，则不能与,a b rr 构成空间的一个基底的是（ ）A ．OA uuu rB ．OB uuu rC ．OC uuu rD ．OA uuu r 或OBuuu r24．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，H 分别在棱1BB ，BC ，BA 上，且满足134BM BB =uuuu v uuuv，12BN BC =uuu v uuu v ，12BH BA =uuuv uuu v ，O 是平面1B HN ，平面ACM 与平面11B BDD 的一个公共点，设BO xBH yBN zBM=++uuu v uuuv uuu v uuuu v，则3x y z ++=（ ）A ．105B ．125C ．145D ．165二、多选题25．在以下命题中，不正确的命题有（ ）A ．a b a b -=+r r r r 是a r 、b r共线的充要条件B ．若//a b r r，则存在唯一的实数l ，使λa b=r r C ．对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若22OP OA OB OC =--uuu r uuu r uuu r uuu r，则P 、A 、B 、C 四点共面D ．若{},,a b c r r r 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++r r r r r r构成空间的另一个基底26．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC ®®®®=++，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．已知向量{},,a b c ®®®组是空间的一个基底，若m a c ®®®=+，则{},,a b m ®®®也是空间的一个基底D ．若0a b ®®×<，则a b ®®×是钝角27．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =uuuu r uuu r ，现用基组{},,OA OB OC uuu r uuu r uuu r 表示向量OG uuu r，有OG xOA yOB zOC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，则（ ）A ．16x =B ．13y =C ．13z =D ．1x y z ++=28．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a =uuu r r ，AD b =uuu r r ，1AA c =uuur r.则下列正确的是（ ）A ．1122BM a b c =-+u u u u r r r rB ．1AC a b c=++uuuu r r r rC ．1ACD ．1cos ,AB AC <>uuu r uuuu r =29．下列命题中，正确的命题有（ ）A ．a b a b +=-r r r r 是a b r r ，共线的充要条件B ．若//a b r r 则存在唯一的实数l ，使得=a bl r r C ．对空间中任意一点O 和不共线的三点,,,A B C 若243OP OA OB OC =-+uuu r uuu r uuu r uuu r，则,,,P A B C 四点共面D ．若{}a b c r r r，，为空间的一个基底，则{}23a b b c c a +++r r r r r r ，，构成空间的另一个基底30．给出下列命题，其中正确的有（ ）A ．空间任意三个向量都可以作为一组基底B ．已知向量//a b rr ，则a r 、b r 与任何向量都不能构成空间的一组基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA uuu r ，BM uuuu r ，BN uuu r不能构成空间的一组基底，则A ，B ，M ，N 共面D ．已知{,,}a b c r r r是空间向量的一组基底，若m a c =+r r r ，则{,,}a b m r r r 也是空间一组基底三、填空题31．已知在正方体ABCD 一1111D C B A 中，点E 为底面1111D C B A 的中心，112a AA =ruuur ，12b AB =ruuu r ，13c AD =ruuu r ，AE xa yb zc =++uuu r r r r，则x =______，y =_______，z =_______．32．设,,x a b y b c z c a =+=+=+r r r u r r r r r r且{},,a b c r r r 是空间的一组基底，给出下列向量组：①{},,a b x r r r ；②{,,}x y z r u r r③{,,}b c z r r r ④{,,}x y a b c ++r u r r r r其中可以作为空间的基底的向量组是___________(填序号)．33．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 是边OA 的中点，G 是ABC D 的重心，则用基向量OA uuu r ，OB uuur ，OC uuu r 表示向量MG uuuu r 的表达式为___________.34．如图，点M 为OA 的中点，{},,OA OC OD uuu r uuu r uuu r 为空间的一个基底，DM xOA yOC zOD =++uuuu r uuu r uuu r uuu r ，则有序实数组（x ，y ，z ）=________.35．已知123e e e u r u u r ur ，，为不共面的三个向量，123123123a e e e b e e e c e e e =++=+-=-+u r u ur ur u r u u r ur u r u u r ur r r r ，，，12323d e e e =++u r u u r ur r ，若d a b c a b l =++r r r r，则α，β，λ的值分别为________．36．下列关于空间向量的命题中，正确的有______．①若向量a r ，b r与空间任意向量都不能构成基底，则//a b r r ；②若非零向量a r ，b r ，c r 满足a b ^r r，b c ^r r ，则有//r r a c ；③若OA uuu r ，OB uuur ，OC uuu r 是空间的一组基底，且111333OD OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，则A ，B ，C ，D 四点共面；④若向量a b +r r ，b c +r r ，c a +r r ，是空间一组基底，则a r ，b r ，c r也是空间的一组基底．四、解答题37．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AB a =uuu r r ，AD b =uuu r r ，1AA c =uuur r，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．（1）用向量,,a b c r r r 表示1D B uuuu r，EF uuu r ；（2）若1D F xa yb zc =++uuuu r r r r，求实数,,x y z 的值．38．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.求证：A，E ，C 1，F 四点共面.39．如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，1,,AB a AD b AA c ===uuu r r uuu r r uuur r，E 为A 1D 1的中点，F 为BC 1与B 1C 的交点.（1）用基底{},,a b c r r r 表示向量1,,DB BE AFuuu r uuu r uuu r（2）化简1DD DB CD ++uuur uuu r uuu r，并在图中标出化简结果.40．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，G 为△PDC 的重心，AB =uuu ri ，AD =uuu r j ，AP =uuu rk ，试用基底{i ，j ，k }表示向量PG uuu r ，BG uuu r.【答案详解】1．C 【详解】对于A ：由()1OM xOA yOB zOC x y z =++++=uuuu v uuuu v uuu v uuu v ，可得M ，A ，B ，C 四点共面，即,,MA MB MC uuu r uuur uuuu r共面，所以选项A 无法构成基底，选项C 可以构成基底；对于B ：因为MA MB MC =+uuu r uuu r uuu u r ，由平面向量基本定理，可得,,MA MB MC uuu r uuur uuuu r共面，无法构成基底，故B 错误；同理选项D 中，,,MA MB MC uuu r uuur uuuu r共面，故D 错误.故选：C 2．D 【详解】由空间基底的定义，,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r三个向量不共面，但选项A ，B ，C 三种情形都有可能使,,OA OB OC uuu r uuu r uuu r共面，只有D 才能使这三个向量不共面.故选：D.【点睛】本题考查基底的概念，属于基础题.3．C 【详解】A ：因为()()2a b a b a r r r r r++-=，所以向量,,a a b a b r r r r r +-是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；B ：因为()(1)()2a b a b b r r r r r++--=，所以向量,,b a b a b r r r r r +-是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；C ：因为{},,a b c r r r为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.若,,c a b a b r r r r r +-不构成一组基底，则有()()()()c x a b y a b c x y a x y b r r r r r r r r =++-Þ=++-，所以向量,,a b c r r r是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此,,c a b a b r r r r r+-能构成一组基底，D ：因为312()()22a b a b a b r r r r r r +=+++，所以向量,,2a b a b a b r r r r r r+-+是共面向量，因此,,2a b a b a b r r r r r r+-+不能构成一组基底.故选：C 4．B【详解】解：因为2OM MA =，所以2233OM OA a ==uuuu r uuu r r ,N 为BC 的中点，则()111222ON OB OC b c =+=+uuu r uuu r uuu r r r ，()2121132322MN MO ON OA OB OC a b c =+=-++=-++uuuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r r r .故选：B.5．C【详解】如下图所示，连接1AG 并延长交BC 于点D ，则点D 为BC 的中点，1G Q 为ABC V 的重心，可得123AG AD =uuuu r uuu r ，而()()111222OD OB BD OB BC OB OC OB OB OC =+=+=+-=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，()1122123333OG OA AG OA AD OA OD OA OA OD =+=+=+-=+uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ()()12113323OA OB OC OA OB OC =+×+=++uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以，13311111144333444OG OG OA OB OC OA OB OC æö==++=++ç÷èøuuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以，14x y z ===，因此，34x y z ++=.故选：C.6．C 【详解】因为12()23MN AN AM AD AB BC =-=-+uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r 12()23AD AB AC AB =---uuu r uuu r uuu r uuu r 112233AD AB AC =--uuu r uuu r uuu r ，所以121,,332x y z =-=-=，故19xyz =.故选：C.7．C假设12c k p k q =+r u r r ，即()()12c k a b k a b =++-r r r r r ，得()()12120k k a k k b c ++--=r r r r ，这与{},,a b c r r r 是空间的一个基底矛盾，故c,p,q r u r r 是空间的一组基底，故选：C .8．D取PC 的中点E ，连接NE ，则()21321122MN EN EM PC PC CD PM PE CD æö=-=--=--ç÷èøuuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ()()111221116626PC AC AP AB AD A B P CD A AB =--=+----=-u uuu r uuu r u uu r uuu r uu uu r uu u r uuu u r r uuu r 211366AB AD AP =--+uuu r uuu r uuu r ，又因为MN x AB y AD z AP =++uuuu r uuu r uuu r uuu r ，由空间向量基本定理可得：231616x y z ì=-ïïï=-íïï=ïî故选：D.9．A【详解】解：根据空间向量基底的定义，三个非零向量a r ，b r ，c r 不能构成空间的一个基底，则a r ，b r ，c r 共面正确，故①为真命题；根据平面向量基本定理，若a r ，b r 是两个不共线向量，且c r ＝λa r ＋μb r(λ，μR Î且λμ≠0)，则c r 与a r 、b r 所确定的平面共面，即a r ，b r ，c r 共面，所以{a r ，b r ，c r }不能构成空间的一个基底，故②为假命题.故选：A.10．B【详解】长方体1111ABCD A B C D -中，依题意，1113D P D B =uuuu r uuuu r ，11111111121()()3333DP DD D P DD D B DD DB DD DD DA AB =+=+=+-=++uuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuu r uuuu r uuuu r uuu r uuu r 1112333AB AD AA =-+uuu r uuu r uuur ，而1DP xAB y AD z AA =++uuu r uuu r uuu r uuur ，又1,,AB AD AA uuu r uuu r uuur 不共面，于是得13x =，13y =-，23z =，所以23x y z ++=.故选：B 11．A【详解】解: ()12121222323233OD OP PD OA PQ OA OQ OP OA OQ OP =+=+=+-=+-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ()12121111+11126332326333OA OB OC OA OA OB OC a b c =+´+´=++-=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r u r r uu r r ,故选:A12．C【详解】A 选项，三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，故A 正确；B 选项，三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，如图，故B 正确；C 选项，∵ 满足c a b l m =+r r r ，∴a r ，b r ，c r 共面，不能构成基底，故C 错误，D 选项，因为OA uuu r ､OB uuu r ､OC uuu r 共起点，若O ，A ，B ，C 四点不共面，则必能作为空间的一个基底，故D 正确，故选C .13．A 【详解】221333OG OM MG OM MN ON OM =+=+=+uuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuu r uuuu r .因为,M N 分别为,OA CB 的中点，所以()11,,22OM OA ON OB OC ==+uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 所以()1111136633OG OB OC OA OA OB OC =++=++uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r .故选：A.14．B当非零向量a r ，b r ，c r 共面时，{},,a b c r r r 不能是空间的一个基底，由p 得不出q ，若{},,a b c r r r 为空间的一个基底，则a r ，b r ，c r 一定不共面，所以a r ，b r ，c r 一定是非零向量，所以由q 可以得出p ，因此p 是q 的必要不充分条件，故选：B.15．B【详解】|OA uuu r，|OB uuu r |==，则cos∠AOB=·||||OA OB OA OB uuu r uuu r uuu r uuu r=226||||7a b a b -+×r r r r 1611127-+´´==1114，从而有sin ∠AOB=，∴△OAB 的面积S 1||||sin 2OA OB AOB =Ðuuu r uuu r =12，故选：B ．16．C【详解】据题意，得AC AB BC CC ¢¢=++uuuu r uuu r uuu r uuuu r ，32AC a AB bBC cCC =+¢+¢uuuu r uuu r uuu r uuur ，所以32AB BC CC a AB bBC cCC ¢¢++=++uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur ，即(31)(21)(1)0a AB b BC c CC ¢-+-+-=uuu r uuu r uuur .又因为,,AB BC CC ¢uuu r uuu r uuur 为空间不共面的三个向量，所以312110a b c -=-=-=，所以11,,132a b c ===，所以16abc =.故选：C.17．D()1122MC OC OM OC OA AB OC OA OB OA æö=-=-+=---ç÷èøu u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u r 11112222OC OA OB c a b --=--=u u u r u u r u u u r r r r 故选：D18．B【详解】连接ON ，所以()()1122ON OB OC b c =+=+uuu r uuu r uuu r r r ，因为2AM MO =uuuu r uuuu r ，所以1133OM OA a ==uuuu r uuu r r ，所以()11112322MN MO ON OM OB OC a b c =+=-++=-++uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uu r r uu r r .故选：B.19．D 【详解】()()11112D M AM AD AB AD AD AA =-=+-+uuuuu r uuuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 11122AB AD AA =--uuu r uuu r uuur 1122a b c =--r r r 故选：D20．B【详解】连接ON ，如图，则由向量加法的平行四边形法则可得()()1121122322OG OM ON OA OB OC =+=´+´+uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 111344OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r .故选：B.21．C因为0a b c ++=r r r ，所以a b c +=-r r r ，两边平方得：222||||||2||||cos ,c a b a b a b =++áñr r r r r r r ，即1949223cos ,a b =++´´´áñr r ，所以1cos ,2a b áñ=r r ，因为[],0,180a b ΰ°n n r r ，所以,60a b °áñ=r r .故选：C22．C对于①，若a b ^r r ，则0a b ×=r r ，故()()a b c c b a a b a c c b c a c b ×++×-=×+×+×-×=×r r r r r r r r r r r r r r r r ，故①正确；对于②，若BA uuu r 、BM uuuu r 、BN uuu r 不构成空间的一个基底，则BA uuu r 、BM uuuu r 、BN uuu r 这3个向量在同一平面内，故A 、B 、M、N 共面，故②正确；对于③，当a b ^r r 时，若c r 与a r 、b r 不共面，则a r 、b r 、c r 可构成空间的一个基底，故③不正确；对于④，根据向量共线的定义可得其成立，故④正确，故选：C.23．C【详解】因为a r =OA OB OC ++uuu r uuu r uuu r ，b r =OA OB OC +-uuu r uuu r uuu r ，故12OC =uuu r (a b -r r )，所以OC uuu r 与向量,a b r r 共面，故OC uuu r ，a r ，b r 不能构成空间的一个基底.故选：C .24．C【详解】如图，Q 为AC 与BD 交点，P 为BQ 中点，O 为MQ 与1B P 的交点.过P 作PT 平行MQ 交1BB 于T .如图,则T 为BM 中点，所以1111131334224242MT BM BB MB MB ==´=´´=.所以123B O OP =uuur uuu r ，因此1323421411()555352555BO BB BP BM BH BN BM BH BN =+=×+×+=++uuu r uuur uuu r uuuu r uuur uuu r uuuu r uuur uuu r ，因为BO xBH yBN zBM =++uuu r uuu r ，所以411,,555z x y ===,1435x y z \++=.故选：C25．ABC 【详解】对于A 选项，充分性：若a b a b -=+r r r r ，则a r 、b r 方向相反，且a b ³r r ，充分性成立；必要性：若a r 、b r 共线且方向相同，则a b a b +=+r r r r ，即必要性不成立，所以，a b a b -=+r r r r 是a r 、b r 共线的充分不必要条件，A 选项错误；对于B 选项，若0b =r r ，0a ¹r r ，则//a b r r ，但不存在实数l ，使得λa b =r r ，B 选项错误；对于C 选项，对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若P 、A 、B 、C 四点共面，可设AP xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r，其中x 、y R Î，则()()OP OA x OB OA y OC OA -=-+-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，可得()1OP x y OA xOB yOC =--++uuu r uuu r uuu r uuu r ，由于22OP OA OB OC =--uuu r uuu r uuu r uuu r ，22111--=-¹Q ，此时，P 、A 、B 、C 四点不共面，C 选项错误；对于D 选项，假设a b +r r 、b c +r r 、c a +r r 共面，可设()()()a b m b c n c a na mb m n c +=+++=+++r r r r r r r r r ，由于{},,a b c r r r 为空间的一个基底，可得110m n m n =ìï=íï+=î，该方程组无解，假设不成立，所以，{},,a b b c c a +++r r r r r r 构成空间的另一个基底，D 选项正确.故选：ABC.26．ABC【详解】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的;对于B 中，若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC ®®®®=++，因为1111632++=，根据空间向量的基本定理,可得P,A,B,C 四点一定共面，所以是正确的;对于C 中，由{},,a b c ®®®是空间中的一组基底，则向量,,a b c ®®®不共面，可得向量,,a b c a +r r r r 不共面，所以{},,a b m ®®®也是空间的一组基底，所以是正确的;对于D 中，若0a b ®®×<，又由[0,]a b p ®®×Î，所以(,]2a b pp ®®×Î，所以不正确.故选：ABC27．ABC【详解】如下图所示，N Q 为BC 的中点，则()11112222ON OB BN OB BC OB OC OB OB OC =+=+=+-=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，M Q 为OA 的中点，则12OM OA =uuuu r uuu r ，111222MN ON OM OB OC OA \=-=+-uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r ，2MG GN =uuuu r uuu r Q ，则23MG MN =uuuu r uuuu r ，212111111323222633OG OM MG OM MN OA OB OC OA OA OB OC æö\=+=+=++-=++ç÷èøuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，16x \=，13y z ==，则56x y z ++=.故选：ABC.28．BD【详解】由空间向量的加法法则得1AC a b c =++uuuu r r r r ，B 正确，111111111111()22BM BB B M BB B D AA B A B C =+=+=++uuuu r uuur uuuur uuur uuuu r uuur uuuu r uuuu r 111()222c a b a b c =+-+=-++r r r r r r ，A 错误；由已知111cos 602a b b ca c ×=×=×=´´°=r r r r r r ，1AC a b =+===uuuu r r rC 错；1cos ,AB AC <==uuu r uuuu r ，D 正确．故选：BD ．29．CD【详解】对于,A 当a b a b +=-r r r r 时，a b r r ，共线成立，但当a b r r ，同向共线时a a bb +¹-r r r r 所以a b a b +=-r r r r 是a b r r ，共线的充分不必要条件，故A 不正确对于B ，当0b =r 时，//a b r r ，不存在唯一的实数,l 使得=a b l r r ，故B 不正确对于C ，由于243OP OA OB OC =-+uuu r uuu r uuu r uuu r ，而2431-+=，根据共面向量定理知P A B C ，，，四点共面，故C 正确对于D ，若{}a b c r r r ，，为空间的一个基底，则a b c r r r ，，不共面，由基底的定义可知，23a b b c c a +++r r r r r r ，，不共面，则{}23a b b c c a +++r r r r r r ，，构成空间的另一个基底，故D 正确.故选：CD30．BCD【详解】选项A 中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A 不正确；选项B 中，根据空间基底的概念，可得B 正确；选项C 中，由,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 不能构成空间的一个基底，可得,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 共面，又由,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 过相同点B ，可得,,,A B M N 四点共面，所以C 正确；选项D 中：由{},,a b c r r r 是空间的一个基底，则基向量,a b r r 与向量m a c =+r r r 一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D 正确．故选：BCD.31．2 132如图所示，11113()222AE AA A E AA AB AD a b c xa yb zc =+=++=++=++uuu r uuur uuu u r uuur uuu r uuu r r r r r r r 所以3212x y z ===，，，故答案为：①2，②1，③3232．②③④【详解】如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1,,a AB b AD c AA ===r uuu r r uuu r r uuur ，则11,,x AC y AD z AB ===r uuu r u r uuuu r r uuu u r ，1a b c AC ++=r r r uuuu r ，因,,,A B D C 四点共面，则向量,,a b x r r r 共面，而11,,,A C D B 四点不共面，则向量,,x y z r u r r 不共面，又11,,,A D A B 四点不共面，则,,b c z r r r 不共面，11,,,A C D C 四点不共面，则,,x y a b c ++r u r r r r 也不共面，所以可以作为空间的基底的向量组是②③④.故答案为：②③④33．如图所示，连AG 延长交BC 于E ，MG MA AG=+u u u r u u u r u u u r 1223OA AE =+uuu r uuu r ()121232OA AB AC =+×+uuu r uuu r uuu r ()()111233OA OB OA OC OA =+-+-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 111633OA OB OC =-++uuu r uuu r uuu r 故答案为：111633MG OA OB OC =-++uuuu r uuu r uuu r uuu r .34．1,0,12æö-ç÷èø12DM OM OD OA OD =-=-uuuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r 所以有序实数组()1,,,0,12x y z æö=-ç÷èø，故答案为：1,0,12æö-ç÷èø.35．511.22a b l ==-=-；；∵()()()123123123d a b c e e e e e e e e e a b l a b l =++=++++-+-+u r u u r ur u r u u r ur u r u u r ur r r r r 且123e e e u r u u r ur ，，不共面()()()123d e e e a b l a b l a b l \=++++-+-+u r u r u u r ur∴123a a a b l b l b l ++=ìï+-=íï-+=î，∴5,21,1.2a b l ì=ïï=-íïï=-î故答案为：511.22a b l ==-=-；；36．①③④【详解】对于①：若向量a r ， b r 与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即//a b r r ，故①正确；对于②：若非零向量a r ，b r ，c r 满足a b ^r r ，b c ^r r ，则a r 与c r 不一定共线，故②错误；对于③：若OA uuu r ，OB uuu r ，OC uuu r 是空间的一组基底，且111333OD OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，则11()()33OD OA OB OA OC OA -=-+-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，即1133AD AB AC =+uuu r uuu r uuu r ，可得到,,A B C ，D 四点共面，故③正确；对于④：若向量a b +r r ，b c +r r ，c a +r r ，是空间一组基底，则空间任意一个向量d u r ，存在唯一实数组(,,)x y z ，使得()()()()()()d x a b y b c z c a x z a x y b y z c =+++++=+++++v v v v v v v v v v ，由,,x y z 的唯一性，则x z +，x y +，y z +也是唯一的则a r ，b r ，c r 也是空间的一组基底，故④正确．故答案为：①③④37．（1）1D B a b c =--uuuu r r r r ，()12EF a c =-uuu r r r ；（2）11,,122x y z ==-=-（1）如图，连接AC ，EF ，D 1F ，BD 1，111D B D D DB AA AB AD a b c=+=-+-=--uuuu r uuuu r uuu r uuur uuu r uuu r r r r ()()()111111122222EF EA AF D A AC AA AD AB AD a c =+=+=-+++=-uuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r r r （2）()()()111111*********D F D D D B AA D B c a b c a b c =+=-+=-+--=--uuuu r uuuu r uuuu r uuur uuuu r r r r r r r r 11,,122x y z \==-=-38．证明:因为11AC AB AD AA ®®®®=++＝111233AB AD AA AA ®®®®+++＝11()3AB AA ®®+＋12()3AD AA ®®+＝AB BE AD DF AE AF ®®®®®®+++=+，所以1AC ®，AE ®，AF ®共面，所以A ，E ，C 1，F 四点共面.39．（1）111DC CB DC BB BC a b B c D =+=+-=-+uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r r r r ，1112BA AA A E a b BE c =++=-++uuu r uuu r uuur uuur r r r ，()111222AB BF a b c a b AF c =+=++=++uuu r uuu r uuu r r r r r r r ；（2）()1111111DD DB CD DD DB CD DD CB DD D A DA ++====++++uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuuur uuu u r 如图，连接DA 1，则1DA uuu u r 即为所求.40．PG uuu r 13=i +23j -23k ；BG uuu r =-23i +23j +13k .【详解】延长PG 交CD 于点N ，则N 为CD 的中点，因为G 为△PDC 的重心，所以PG uuu r ()1122233333PN PA AB AD AP A A A AD P D B ==+++-+-==uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 13i +23j -23k .111323BG BC CN NG BC CN NP AD DC PN =++=++=--uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 111221()63323331A AB AD AP AD AB AP D AB =+-=-+--uuu r uuu r uuu r uuu r uuu uuu r uuu r r uuu r 23=-i ＋23j ＋13k .。

1.2 空间向量基本定理-基础练一、选择题 1.有以下命题：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，则点一定共面；已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底其中正确的命题是A. B. C. D.2.设向量a ,b ,c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )A.{a+b ,b -a ,a }B.{a+b ,b -a ,b }C.{a+b ,b -a ,c }D.{a+b+c ,a+b ,c }3.如图,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为点M ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则下列向量中与C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( )A.-12a +12b +cB.12a +12b +cC.-12a -12b -cD.-12a -12b +c 4.已知O ,A ,B ,C 为空间不共面的四点,且向量a =OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,向量b =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则不能与a ,b 构成空间的一个基底的是( )A.OA ⃗⃗⃗⃗⃗B.OB ⃗⃗⃗⃗⃗C.OC ⃗⃗⃗⃗⃗D.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 或OB ⃗⃗⃗⃗⃗5．（多选题）（2020宁阳县四中高二期末）给出下列命题，其中正确命题有（ ）A ．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底B ．已知向量//a b ，则,a b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．,,,A B M N 是空间四点，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，那么,,,A B M N 共面D ．已知向量{},,a b c 组是空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底6．（多选题）设a ，b ，c 是空间一个基底( )A ．若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥B ．则a ，b ，c 两两共面，但a ，b ，c 不可能共面C ．对空间任一向量p ，总存在有序实数组(x ，y ，)z ，使p xa yb zc =++D ．则a b +，b c +，c a +一定能构成空间的一个基底二、填空题 7.在空间四边形OABC 中,OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,点M 在线段AC 上,且AM=2MC ,点N 是OB 的中点,则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______. 8．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,A 1C 1与B 1D 1的交点为E ,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ = .10．（2020山东菏泽四中高二期末）在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC 、AB 的中点，设AB a =，AC b =，AD c =，用a ，b ，c 表示向量DM =______，异面直线DM 与CN 所成角的余弦值为______. 三、解答题11.已知{e 1,e 2,e 3}是空间的一个基底,且OA =e 1+2e 2-e 3,OB =-3e 1+e 2+2e 3,OC =e 1+e 2-e 3,试判断{,,OA OB OC }能否作为空间的一个基底?若能,试以此基底表示向量OD =2e 1-e 2+3e 3;若不能,请说明理由.12.如图,已知正方体ABCD -A'B'C'D',点E 是上底面A'B'C'D'的中心,取向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底的基向量,在下列条件下,分别求x ,y ,z 的值.(1)BD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .。