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九年级数学尖子生辅导提升辅助圆问题考点一：共顶点等线段问题1. 如图1，在直角梯形ABCD 中90,3,4,6DAB ABC AD AB BC ∠=∠=︒===，点E 是线段AB 上一动点，将EBC ∆沿CE 翻折到EB C '∆，连结,B D B A ''.当点E 在AB 上运动时，分别求,,B D B A B D B A ''''+的最小值.2. 在ABC △中，BA BC BAC =∠=α，，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ．⑴ 若α=60︒且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数；⑵ 在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ， 猜想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；3. 已知：AOB △中，2AB OB ==，COD △中，3CD OC ==，ABO DCO =∠∠．连接AD 、BC ，点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点．图1NMOPDCBA图2NM OPDCBA⑴ 如图1，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且60ABO =∠°，则PMN △的形状是___________，此时ADBC=________； ⑵ 如图2，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且2ABO α=∠，证明PMN BAO △∽△，并计算ADBC的值（用含α的式子表示）；考点二：定边对定角问题1. 已知90AOB ∠=︒，OM 是AOB ∠的平分线．将一个直角RPS 的直角顶点P 在射线OM 上移动，点P 不与点O 重合．如图，当直角RPS 的两边分别与射线OA 、OB 交于点C 、D 时，请判断PC 与PD 的数量关系，并证明你的结论；RBPCAD OG S M321G N SH ODACMPBR2. 如图，正方形ABCD边长为2，点E是正方形ABCD内一动点，90AEB∠=︒，连结DE，求DE的最小值.3. 如图，四边形ABCD是正方形，M是BC上一点，ME AM⊥交BCD∠的外角平分线于E，求证：AM EM=．AB CDEM4.如图, 45XOY∠=︒，一把直角三角形尺ABC的两个顶点,A B分别在,OX OY 上移动，10AB=，求点O到AB距离的最大值.5. 如图，正三角形ABCAD BC，点E是射线AD上一动点(不∆边长为2，射线//与点A重合)，AEC∆外接圆交EB于点F，求AF的最小值.6. 在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P 处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．⑴ 如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；⑵ 将三角板从⑴中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：① ∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；② 直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．D考点三：四点共圆问题1. 如图，在四边形ABCD 中，AC 是BAD ∠的平分线，若180B D ∠+∠=︒，求证：BC CD =．2. 如图，在正△ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，且AD=31AC ，AE=32AB ，BD ，CE 相交于点F 。
圆中辅助线应用的典型例题圆是数学中非常重要的一个几何图形，在数学教学中也经常涉及到相关内容。
圆中辅助线的应用也是数学教学中的一个重要内容。
在这里，我将为大家介绍一下圆中辅助线应用的典型例题。
例题一：如图，已知圆的半径OA和圆心角α，求BC 的长度。
解题思路：由于圆心角α是已知的，可以根据圆心角公式计算出弧长AC，即AC = αR，其中R为圆的半径。
又因为BC是弦，所以可以根据弦长公式计算出BC的长度：BC = 2√(R² - AC²/4)。
因此，只需把圆心角α和半径OA 代入公式，就可以得出BC的值。
例题二：如图，已知圆的半径OA和圆心角α，DE与BC平行，求DE的长度。
解题思路：由于DE与BC平行，所以可以构造辅助线EF与BC垂直，如图所示。
则BE = EC = Rcos(α/2)，EF = Rsin(α/2)，因此BF = 2Rsin(α/2)。
根据正弦定理，在三角形BDF中，有sin(α/2)/BD = sin(γ)/BF，又因为sin(γ) = DE/BD，所以DE = BDsin(α/2)/sin(γ)，代入BF的值即可求出DE的长度。
例题三：如图，已知圆上两个点A、B和点P到AB的距离为h，求圆心O到AB的距离d。
解题思路：首先，构造辅助线PC，并延长到圆上的交点D，如图所示。
则OP垂直于AB，所以POD是直角三角形。
由于PO = R - h，OD = √(R² - PD²)，所以DP =√(R² - (R - h)²)。
在三角形PBD中，有d/BD = PO/DP，所以d = (R - h)BD/√(R² - (R - h)²)，代入数据即可求出d的值。
以上就是三个典型的圆中辅助线应用例题。
这些例题的重点在于如何灵活应用几何知识，构造合适的辅助线，从而得出正确的解答。
在学习数学的过程中，需要不断地训练自己的思维能力，培养解决问题的能力。
PEF第 22 讲 辅助圆（2）1．共端点，等线段 2．两直角三角形共斜边（1）共斜边的两个直角三角形组成的四边形的四个顶点共圆．（两直角顶点位于斜边同侧）（2）共斜边的两个直角三角形组成的四边形的四个顶点共圆．（两直角顶点位于斜边异侧）【例 1】在等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC ＝90°，D 为 BC 边的中点，E 、 F 分别为 AB 、AC 上的点，且满足∠EDF ＝90°．求证：DE ＝DF ．A BD C【例 2】在△ABC 中，∠ABC = 90 ， AB = 6 ，BC = 8 ，O 为 AC 的中点，过O 作OE ⊥ OF ，OE 、OF 分别交射线 AB ， BC 于 E 、F ，则 EF 的最小值为多少？A EBFC 【例 3】如图， R t △ABC 中， AB ⊥ BC ， AB = 6 ， BC = 4 ， P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB = ∠PBC ，则线段CP 长的最小值为（ ）A ．3 A2 B ． 2 C ．8 13 13 D ．12 13 13BCO3 【例 4】如图，E 、F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AE =DF ． 连接CF 交 BD 于点G ，连接 BE 交 AG 于点 H ．若正方形的边长为2 ，则线段 DH 长度的最小值是多少？A E F DB C【例 5】如图，等边△ABC 中， AB = 6 ， P 为 AB 上一动点 PD ⊥ BC ，PE ⊥ AC ，则 DE 的最小值为多少？ABDC 【练习 1】如图，在 ABCD 中， ∠BCD ＝30︒ ， BC ＝4 ，CD ＝3 ，M 是 AD 边的中点， N 是 AB 边上一动点，将△AMN 沿 MN 所在直线翻折得到 △PMN ，连接 PC ，则 PC 长度的最小值是多少？DCMPANB【练习 2】如图，在矩形 ABCD 中，AB = 2 ，AD = 3 ，点 E ，F 分别为 AD 、DC 边上的点，且 EF = 2 ， G 为 EF 的中点， P 为 BC 边上一动点，则 PA + PG 的最小值为多少？AE D GFEP。
辅助圆模型模型讲解一、定点定长1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。
二、定弦定角2、线段AB固定，Q为动点，且∠AQB为定值，那么Q、A、B三点可以确定一个圆，动点Q在圆弧AB上运动，如图所示，R为圆外一定点，当Q运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，RQ最小。
方法点拨一、题型特征：①动点的运动轨迹为圆②圆外一点到圆上一点的距离最短：即圆外一点与圆心连线与圆的交点③常见确定圆的模型：定点定长、定弦定角。
二、模型本质：两点之间，线段最短。
例题演练1．如图，已知AB＝AC＝BD＝6，AB⊥BD，E为BC的中点，则DE的最小值为（）A．3﹣3B．3C．3﹣3D．2【解答】解：取AB的中点O，连接AE，OE，OD．∵AB＝AC，BE＝EC，∴AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∵OA＝OB，∴OE＝AB＝3，∵AB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∵OB＝3，BD＝6，∴OD＝＝＝3，∵DE≥OD﹣OE，∴DE≥3﹣3，∴DE的最小值为3﹣3，故选：C．强化训练1．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P为矩形内一动点，且满足∠PBC ＝∠PCD，则线段PD的最小值为（）A．5B．1C．2D．3 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE ⊥BE，则线段CE的最小值为．3．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB ＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是平面内的一个动点，且满足∠AEB＝90°，连接CE，则线段CE长的最大值为．5．如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则P A是点P 到⊙O上的点的最短距离．（1）探究一：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．（2）探究二：如图3，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值．（3）探究三，在正方形ABCD中，点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD＝4，试求出线段CP的最小值．1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．辅助圆模型模型讲解一、定点定长1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。
巧作辅助圆解决问题在近几年中考试卷中，常出现这样一类题目，从表面上看是一个三角形或四边形问题，用三角形或四边形的知识来解决非常困难，甚至根本无法解决，但我们可以从已知条件中发现蛛丝马迹，也就是发现图形中的隐含特征，从而通过构造辅助圆，借助圆的知识来解决问题这样的问题一般具有以下特征一、到定点的距离等于定长例1如图1，在正方形ABCD外侧作直线DE，使45°＜∠CDE＜90°，点C关于直线DE的对称点为M，连接CM，AM，其中AM交直线DE 于点N，若MN＝4，AN＝3，则正方形ABCD的边长为( )。
A. B.5C.5D.解析:如图2，连接DM，由于点C、M关于直线DE对称,故直线DE垂直平分线段CM，因而DC＝DM.四边形ABCD是正方形，故DA＝DC＝DM，即点A、C、M到点D的距离相等，根据这一特征，我们可以想到，以点D为圆心，DA的长为半径画圆，则点C、M必在⊙D上.由∠ADC＝90°，可得∠AMC＝45°.连接CN，则CN＝MN＝4，故∠MCN＝∠AMC＝45°，从而∠ANC＝90°，连接AC，我们不难求出AC＝，选D。
点评:随着直线DE位置的变化，点M的位置也在变化，但它一定在以点D为圆心，DA的长为半径的圆上，这就是运动变化中的不变关系，解决这类问题的关键是抓住“A、C、M三点到点D的距离相等”这一特征，但这个特征比较隐蔽，不容易发现，要综合考虑本题中的所有条件，而且要有一定的洞察力和解题经验.事实上，这类问题中的隐含条件往往都不是一眼就能看出来的。
二、张角为直角例2如图3，在等腰R△ABC中，∠BAC=90º，AB=AC，BC=2，点D 是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为（）。
A、2-2B、C、-1D、-1解析：本题中点D在动，直径AD的大小在变，线段BD在动，点E也在动，运动变化中有不变的量吗?有！如图4，连接AE，由于AD为直径，故∠AED的大小保持不变，为直角，从而∠AEB始终为直角，∠AEB的两边经过线段AB的两个端点，我们不妨称∠AEB为线段AB所对的张角。
2022年中考数学考前30天迅速提分复习方案（全国通用）专题2.9辅助圆三种模型与真题训练题型一：定点定长构造辅助圆一．解答题（共3小题）1．（2019•新城区校级三模）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．（1）已知：如图1，OA＝OB＝OC，请利用圆规画出过A、B．C三点的圆．若∠AOB＝70°，则∠ACB＝．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝2．（2）已知，如图2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为点D、E、F，求四边形BDFC的面积和∠BEA的大小．（3）如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满足∠BQA＝45°且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a，若不存在，说明理由．2．（2021•内乡县一模）（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．3．（2021•红谷滩区校级模拟）（1）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A 的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝．（2）问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．（3）问题拓展：抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C，点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．①若含45°角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C重合，直角顶点D在BQ上，另一顶点E在PQ上，求Q的坐标；②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．题型二：定弦定角构造辅助圆一．选择题（共3小题）1．（2022•睢阳区模拟）如图，正方形OABC中，A（8，0），B（8，8），点D坐标为（﹣6，0），连接CD，点P为边OA上一个动点，连接CP，过点D作DE⊥CP于点E，连接AE，当AE取最小值时，点E的纵坐标为（）A．3﹣B．4﹣C．D．2．（2021•永嘉县校级模拟）如图，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为（）A．B．7﹣4C．D．13．（2021•安徽二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，点E在AB上，＝，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝60°，则线段PD的最小值为（）A．2﹣2B．C．4D．2二．填空题（共2小题）4．（2021•郯城县校级模拟）如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为．5．（2020•碑林区校级模拟）如图，等边△ABC中，AB＝6，点D、点E分别在BC和AC上，且BD ＝CE，连接AD、BE交于点F，则CF的最小值为．三．解答题（共3小题）6．（2019•新城区校级三模）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．（1）已知：如图1，OA＝OB＝OC，请利用圆规画出过A、B．C三点的圆．若∠AOB＝70°，则∠ACB＝．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝2．（2）已知，如图2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为点D、E、F，求四边形BDFC的面积和∠BEA的大小．（3）如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满足∠BQA＝45°且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a，若不存在，说明理由．7．（2019•新城区校级一模）问题提出：如图1：在△ABC中，BC＝10且∠BAC＝45°，点O为△ABC的外心，则△ABC的外接圆半径是．问题探究：如图2，正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD两边上点且∠EAF＝45°，请问线段BE、DF、EF有怎样的数量关系？并说明理由．问题解决：如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠B＝45°，∠D＝135°，点E、F分别是射线CB、CD上的动点，并且∠EAF＝∠C＝60°，试问△AEF的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值．若不存在，请说明理由．8．（2019•碑林区校级一模）（1）如图1，已知△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝AC＝1，则S△ABC＝．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴上运动，点B在x轴上运动，且AB＝4，求△AOB面积的最大值．（3）如图3，⊙O的半径为2，弦AB＝2，点C为优弧上一动点，AM⊥AC交射线CB于点M，请问，△ABM的周长存在最大值还是最小值？若存在，求出相应的最值；若不存在，说明理由．题型三：对角互补构造辅助圆一．解答题（共5小题）1．（2020•碑林区校级模拟）问题提出：（1）如图①，半圆O的直径AB＝10，点P是半圆O上的一个动点，则△PAB的面积最大值是．问题探究：（2）如图②，在边长为10的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E、F分别是AD和CD边上的点，请探究并求出四边形BEFG的周长的最小值．问题解决：（3）如图③，四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，四边形ABCD 的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．2．（2018•大荔县一模）（1）如图①，点A、点B在线段l的同侧，请你在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小（不需要说明理由）．（2）如图②，菱形ABCD的边长为6，对角线AC＝6，点E，F在AC上，且EF＝2，求DE+BF的最小值．（3）如图③，四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，四边形ABCD 的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．3．（2021•内乡县一模）（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．4．（2021•红谷滩区校级模拟）（1）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A 的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝．（2）问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．（3）问题拓展：抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C，点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ．①若含45°角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C重合，直角顶点D在BQ上，另一顶点E在PQ上，求Q的坐标；②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标．5．（2020•梁园区一模）如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．（1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为°，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为；（2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；（3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长．【真题训练】一．选择题（共1小题）1．（2021•攀枝花）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（）A．2B．C．3D．二．解答题（共2小题）2．（2015•汕尾）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝4，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）如图1，当α＝90°时，线段BD1的长等于，线段CE1的长等于；（直接填写结果）（2）如图2，当α＝135°时，求证：BD1＝CE1，且BD1⊥CE1；（3）求点P到AB所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）3．（2014•淄博）如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．（1）使∠APB＝30°的点P有个；（2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB 最大的理由；若没有，也请说明理由．。
2020年中考数学总复习最值系列：辅助圆最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值．在将军饮马问题中，折点P 就是那个必须存在的动点．并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称即可．当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P 点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题——辅助圆．在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题．若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A 为圆外一点，在圆上找一点P 使得P A 最小．A当然，也存在耿直的题目直接告诉动点轨迹是个圆的，比如：【2017四川德阳】如图，已知圆C 的半径为3，圆外一定点O 满足OC =5，点P 为圆C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A 、B ，且OA =OB ，∠APB =90°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为________．l【分析】连接OP ，根据△APB 为直角三角形且O 是斜边AB 中点，可得OP 是AB 的一半，若AB 最小，则OP 最小即可． ll连接OC ，与圆C 交点即为所求点P ，此时OP 最小，AB 也取到最小值．一、从圆的定义构造圆圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．【2014成都中考】如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，连接A ’C ，则A ’C 长度的最小值是__________．A'N MA B CD【分析】考虑△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，可得MA ’=MA =1，所以A ’轨迹是以M 点为圆心，MA 为半径的圆弧．A'N MA BCD连接CM ，与圆的交点即为所求的A ’，此时A ’C 的值最小．DCB A M N A'构造直角△MHC ，勾股定理求CM ，再减去A ’M 即可．HA'N M A BCD。
