八年级数学上册几何添辅助线专题

八上数学辅助线的添加浅谈一、添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们，相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。

举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键，是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：出现一点发出的二条相等线段时，往往要连结已知点补完整等腰三角形;（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点，添底边上的中线；（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点，往往添斜边上的中线。

出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边，要添直角三角形斜边上的中线。

（５）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等。

如果出现两条相等线段或两个相等角关于某一直线成轴对称，就可以添加辅助线构造轴对称形全等三角形；或添对称轴，对应点连线的中垂线即为对称轴。

当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加辅助线构造中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线（６）特殊角直角三角形当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明二、基本图形的辅助线的画法1.三角形问题添加辅助线方法方法1：倍长中线法。

有关三角形中线的题目，常将中线倍长构造全等三角形。

方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质定理和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。

八年级上册数学辅助线技巧
1.等腰三角形“三线合一”法：在遇到等腰三角形时，可以作底边上的高，利用
“三线合一”的性质进行解题。

2.倍长中线：通过倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角
形。

3.角平分线：在角平分线上添线，构造全等三角形。

4.垂直平分线：通过连接线段两端，构造全等三角形。

5.“截长法”或“补短法”：当遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长时，可
以用这种方法来辅助解题。

6.图形补全法：如果有一个角为60度或120度，可以通过添线后构成等边三
角形。

这些辅助线技巧可以在解题时帮助你构造全等三角形，从而更容易地解答数学问题。

在做题时，你需要根据具体的问题和已知条件选择合适的辅助线技巧。

数学（上）专题复习一——全等三角形常见辅助线作法在初中数学学习中，如何添加辅助线是同学们经常感到头疼的问题，许多同学常常因辅助线的添加方法不当，造成解题困难。

考试时也常因辅助线的添法不当而导致既得不到本题的分数，又白白浪费了考试时间。

为了解决这个问题我根据多年初中几何教学经验，把全等三角形的几种常见辅助线作法编成一个“顺口溜”，现将该歌诀写出来奉献给同学们，但愿能给大家的学习、复习带来一些帮助。

人人都说几何难，难就难在辅助线。

辅助线，如何添？构造全等很关键。

图中有角平分线，可向两边作垂线。

三角形中有中线，延长中线造全等。

角平分线加平行，构造等腰三角形。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

下面举出一些具体的例子说明如下：一、当证明题中有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到相等元素。

例1.已知：如图1所示， AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4。

求证：BE+CF>EF。

证明：二、当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。

例2.已知：如图2所示，AD为△ABC的中线，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE+CF>EF。

证明：延长ED至M，使DM=DE，连接 CM，MF。

三、在三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。

例3.已知：如图3所示，AD为△ABC的中线，求证：AB+AC>2AD。

证明：四、连接四边形的对角线，可把四边形的问题转化成为三角形来解决。

ABCDE F1-图12342-图ABCDE FM1234例4.已知：如图4所示，AB ∥CD ，AD ∥BC 。

求证：AB=CD 。

证明：五、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。

例5.已知：如图5所示，在Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE ⊥BD 的延长于E 。

八年级上册数学几何加辅助线一、三角形中线三角形中线是连接-个顶点和相对边的中点的线段。

在三角形中，共有三条中线。

中线可以将三角形分为两个面积相等的部分。

在解决几何问题时，添加三角形中线是一种常见的辅助线方法。

二、三角形的高三角形的高是从一个顶点垂直于相对边的线段。

在直角三角形中,高也称为直角边。

在解决几何问题时，通过添加或构造高来找到新的线段或证明某些性质是非常有用的。

三、三角形的角平分线三角形的角平分线是将一-个角平分为两个相等的小角的线段。

角平分线与相对边相交于-点, 这个点称为角的平分线点。

通过角平分线可以找到-些等长的线段或等大的角，这对于解决几何问题非常有帮助。

四、直角三角形斜边中线角三角形斜边中线是连接直角顶点与斜边中点的线段。

在直角三角形中,斜边中线等于斜边的一半。

通过添加斜边中线，可以证明一些性质或找到一些等长的线段。

五、平行线与截线平行线和截线是解决几何问题时常用的辅助线。

通过添加平行线和截线，可以证明一些性质或找到-些相等的角或线段。

在某些情况下，也可以使用平行线和截线来构诰新的三角形或平行四边形。

六、构造等腰三角形等腰三角形是两边相等的三角形。

在解决几何问题时，通过添加或构造等腰三角形,可以找到一等长的线段或等大的角。

在某些情况下，也可以使用等腰三角形的性质来证明一些结论。

七、三角形内外角三角形内外角是指三角形内部或外部的一些角。

通过研究三角形的内外角，可以找到一些等大的角或相等的角和。

在解决几何问题时，利用三角形内外角性质可以证明一些结论或找到一些有用的信息。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案) 总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边殊直角三角形，然等的二条边或二个8.计算数值法：角三角形，或40这样可以得到在数造边、角之间的相常见辅助线的作法之间的相等，二个1)遇到等腰三角维模式是全等2)遇到三角形的三角形，利用3)遇到角平分线向角的两边作所考知识点线上的一点形。

（3）可二点，然后角形。

4)过图形上某一全等变换中的D CBAED F CB AC5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．6)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.解：延长AD至E使AE＝2AD，连BE，由三角形性质知AB-BE <2AD<AB+BE 故AD的取值范围是1<AD<4例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD至G使FG＝2EF，连BG，EG,显然BG＝FC，在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三线合一知EG＝EF在△BEG中，由三角形性质知EG<BG+BE 故：EF<BE+FC例3、如图，△A 解：延长AE至G 显然DG＝AC，由于DC=AC，故在△ADB与△ADG BD＝AC=DG，AD＝∠ADB=∠ADC+∠A 故△ADB≌△ADG，二、截长补短1、如图，ABC解：（截长法）在△ADB是等腰三角DF⊥AB，故∠AFD△ADF≌△ADC（S ∠ACD＝∠AFD＝9 2、如图，AD∥BC，ADCBAPQCBA∠ADE+∠BCE ＝180° ∠AFE+∠BFE ＝180°故∠ECB ＝∠EFB△FBE ≌△CBE （AAS ） 故有BF ＝BC 从而;AB ＝AD+BC3、如图，已知在△ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

八年级几何常见辅助线作法及例题（几何画板精确作图）1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线：（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

4.垂直平分线联结线段两端：在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形.7.角度数为30度、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8. 面积方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、等腰三角形“三线合一”法1.如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BD于E，求证：2CE=BD.中考连接：（2014•扬州，第7题，3分）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）A．3B．4C．5D．6二、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.ABC ∆例2、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.例3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.中考连接：（09崇文）以的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt 和等腰Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ，线段AM 与DE 的数量关系是 ；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．三、借助角平分线造全等1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD2、如图，已知点C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于E，B、D分别在AM、AN 上，且2AE=（AD+AB）.问：∠1和∠2有何关系？中考连接：(2012年北京)如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

DCB A全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

DCB A常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

八年级数学上册几何添辅助线专题SANY 标准化小组#QS8Q HH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等, 构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2. 倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3. 角平分线在三种添辅助线4. 垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直 角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条 边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

&计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以 得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间 的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间 的相等，二个角之间的相等。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)图中有角平分线, 角平分线平行线, 线段垂直平分线,可向两边作垂线。

等腰三角形来添。

常向两端把线连。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1) 遇到等腰三模式是全华2) 遇到三角刃角形，利戶3) 遇到角平夕角的两边/ 知识点常乍 点作该角円 在该角的卩 点再向角円4) 过图形上多等变换中tl5) 截长法与木等，或是水关性质加P 目.6) 已知某线电个端点作卫 特殊方法：点的线段连接葩一、倍长中线t 例1、( “希望 值范围是 ___________解：延长AD 至 AB-BE <2AD<AB- 例2、如图，△ BE+CF与 EF 的 7 解：(倍长中线, EG,显然BG=FC,故：EF<BE+FC例3、如图，ZXABC中，BD二DC二AC, E是DC的中点，求证：AD平分ZBAE.解：延长AE至G使AG=2AE,连BG, DG,显然DG=AC, ZGDC=ZACD由于DC二AC,故ZADC=ZDAC在AADB与AADG中，BD=AC二DG, AD=AD,Z ADB= Z ADC+ Z ACD= Z ADC+ Z GDC = ZADG故厶ADBΔADG,故有ZBAD=ZDAG,即AD 平分ZBAE二、截长补短1、如图，ΔA3C中，AB二2AC, AD 平分ZBAC,且AD二BD,求证：CD丄AC 解：（截长法）在AB上取中点F,连FD△ADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知DF丄AB,故ZAFD = 90°ZACD=ZAFD = 90°即：CD丄AC2、如图，AD/7BC, EA, EB 分别平分ZDAB, ZCBA, CD 过点E,求证;ABA r--------------- D=AD÷BC YV \解：(截长法)在AB上取点F,使AF=AD,连FE ∖E△ ADE幻Z∖AFE (SAS) ∖ZADE=Z AFE, \ /ZADE+ZBCE = 180oPB-PC = PF-PC < CF=AF-AC=AB-AC 应用： 分析：此题连接力G 把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已 知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们他问甄 证明：取BC 中,解：^BC = AD+ AE 连接过疋作£F 〃Bc 并M 于尸点 则可证为等边三角形 ^AE = EF , ZAEF = ZAra = 60。

全等三角形中辅助线的添加一.教学内容：全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用。

二．知识要点：1、添加辅助线的方法和语言表述（1）作线段：连接……；（2）作平行线：过点……作……∥……；（3）作垂线（作高）：过点……作……⊥……，垂足为……；（4）作中线：取……中点……，连接……；（5）延长并截取线段：延长……使……等于……；（6）截取等长线段：在……上截取……，使……等于……；（7）作角平分线：作……平分……；作角……等于已知角……；（8）作一个角等于已知角：作角……等于……。

2、全等三角形中的基本图形的构造与运用常用的辅助线的添加方法：（1）倍长中线（或类中线）法：若遇到三角形的中线或类中线（与中点有关的线段），通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形。

（2）截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。

①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；②补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。

（3）一线三等角问题（“K”字图、弦图、三垂图）：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。

（4）角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形。

（5）角含半角、等腰三角形的（绕顶点、绕斜边中点）旋转重合法：用旋转构造三角形全等。

（6）构造特殊三角形：主要是30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造)和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形。

三、基本模型：（1）D AB C △ABC中AD是BC边中线E DAB C方式1： 延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BEFE DCBA方式2：间接倍长，作CF ⊥AD 于F ，作BE ⊥AD 的延长线于E ，连接BENDCBAM方式3： 延长MD 到N，使DN=MD ，连接CD（2）由△ABE ≌△BCD 导出 由△ABE ≌△BCD 导出 由△ABE ≌△BCD 导出 BC=BE+ED=AB+CD ED=AE-CD EC=AB-CD （3）角分线，分两边，对称全等要记全角分线+垂线，等腰三角形必呈现（三线合一）（4） ①旋转：方法：延长其中一个补角的线段（延长CD 到E ，使ED=BM ，连AE 或延长CB 到F ，使FB=DN ，连AF ） 结论：①MN=BM+DN ②ABC CMN 2=∆ ③AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM②翻折：思路:分别将△ABM 和△ADN 以AM 和AN 为对称轴翻折，但一定要证明 M 、P 、N 三点共线.（∠B+∠D =0180且AB=AD ） （5）手拉手模型①△ABE 和△ACF 均为等边三角形DCB A结论：（1）△ABF ≌△AEC ；（2）∠B0E=∠BAE=60°（“八字型”模型证明）；（3）OA 平分∠EOF 拓展：条件：△ABC 和△CDE 均为等边三角形 结论：（1）、AD=BE （2）、∠ACB=∠AOB （3）、△PCQ 为等边三角形 （4）、PQ ∥AE （5）、AP=BQ （6）、CO 平分∠AOE （7）、OA=OB+OC （8）、OE=OC+OD （（7），（8）需构造等边三角形证明）②△ABD 和△ACE 均为等腰直角三角形结论：（1）、BE =CD （2）BE ⊥CD 四、典型例题：考点一：倍长中线（或类中线）法：核心母题 已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.练习：1、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.ED F CBA2、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.ED CBA3、如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC，求证：CD=2CE。

八年级数学上册几何添辅助线专题2345EDF CBA例2、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小. 解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长FD 至G 使FG ＝2EF ，连BG ，EG, 显然BG ＝FC ， 在△EFG 中，注意到DE ⊥DF ，由等腰三角形的三线合一知 EG ＝EF 在△BEG 中，由三角形性质知EG<BG+BE 故：EF<BE+FC例3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.E D CBA解：延长AE 至G 使AG ＝2AE ，连BG ，DG, 显然DG ＝AC ， ∠GDC=∠ACD由于DC=AC ，故 ∠ADC=∠DAC 在△ADB 与△ADG 中， BD ＝AC=DG ，AD ＝AD ，∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC ＝∠ADG 故△ADB ≌△ADG ，故有∠BAD=∠DAG ，即AD 平分∠BAE 二、截长补短1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC解：（截长法）在AB 上取中点F ，连FD △ADB 是等腰三角形，F 是底AB 中点，由三线合一知DF ⊥AB ，故∠AFD ＝90°△ADF ≌△ADC （SAS ）∠ACD ＝∠AFD ＝90°即：CD ⊥AC6EDCBADCBAPQCBA2、如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC 解：（截长法）在AB 上取点F ，使AF＝AD ，连FE△ADE ≌△AFE （SAS ） ∠ADE ＝∠AFE ， ∠ADE+∠BCE ＝180°∠AFE+∠BFE ＝180°故∠ECB ＝∠EFB △FBE ≌△CBE （AAS ） 故有BF ＝BC 从而;AB ＝AD+BC3、如图，已知在△ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC∠的角平分线。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明DCBA全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法（有答案）条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之 间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

三角形中两中点，连接则成中位线。

1.等腰三角形“三线合一”法： 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线 合一”的性质解题 2•倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3. 角平分线在三种添辅助线4. 垂直平分线联结线段两端5. 用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6. 图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7. 角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三 角形创造边、角之间的相等条件。

8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形，常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二 常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个 角之间的相等。

1） 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法 构造全等三角形•2） 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形•3） 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交， 形成一对全等三角形。

初二上几何常添辅助线专题训练1、如图，△ABC中，AC=BC，∠C=90°，点D为AB的中点，点E在边AC上，连接DE，过点D 作DG⊥DE交BC于点G，∠EDG平分线DF交BC于F，连EF．求证：∠FED=∠AED．2、已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．3、已知ABC D 中，0,40,AB AC BAC =Ð=点D 是AB 边上的一点，且020,ACD Ð=AE CD ^交CD 延长线于点,E （1）如图1，过点B 作BF CD ^于点F ,求证：1;2EF AB =（2）如图2，求AE BC 的值。

如图1如图24．如图所示，△ABC 中，AC ＝BC ，点D 是AB 上一点，DE ⊥BC 于点E ，过点E 作EF ⊥AC 于点F ．（1）若∠ADE ＝160°，求∠DEF 的度数；（2）若点D 是AB 的中点，求证：∠BDE ＝∠ACB ．5、在等腰三角形ABC 中，AB=AC,BD 是AC 边的中线，过点C 作CE BC ⊥交BD 的延长线于点E ，连AE.（1）如图1，若060.4,ABC BE ∠==求AE 的长；（2）如图2，求证：2.BE AE =图1图26．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 在线段AC 上，D 在AB 的延长线，连DE 交BC 于F ，过点E 作EG ⊥BC 于G ．（1）若∠A ＝50°，∠D ＝30°，求∠GEF 的度数；（2）若BD ＝CE ，求证：FG ＝BF +CG ．FE DCB A7、已知：如图：△ABC 中，AB=AC,在AB 上取一点D,在AC 延长线上取一点E,连结DE 交BC 于点F，若F 是DE 中点，求证：BD=CE8、如图，在等腰Rt ABC ∆中，090ACB ∠=，P 是线段BC 上一动点（与点B ，C 不重合）连接AP ，延长BC 至点Q ，使CQ CP =，过点Q 作QH AP ⊥于点H ，交AB 于点M ．（1）APC α∠=，求AMQ ∠的大小（用含α的式子表示）；（2）在（1）的条件下，过点M 作ME QB ⊥于点E ，试证明PC 与ME之间的数量关系，并证明．。

DCB A常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。