中考数学几何辅助线大全及常考题型解析

初中数学辅助线专题初中数学辅助线专题在初中数学中，辅助线是一个常用的解题技巧。

它可以帮助我们简化问题、寻找规律、搭建思维框架，提高解题效率。

下面将介绍几种常见的辅助线及其运用。

1. 垂直辅助线：垂直辅助线是指与已知线段或角度垂直的辅助线。

通过画垂直辅助线，可以将问题中的图形分解为更简单的部分，从而更容易求解。

例如，在解决正方形内接圆问题时，可以通过画一条从正方形的一个顶点到内接圆心的垂直辅助线，将问题转化为求直角三角形的斜边长。

2. 平行辅助线：平行辅助线是指与已知线段或角度平行的辅助线。

通过画平行辅助线，可以将问题中的图形分割为更容易处理的几何图形，为解题提供方便。

例如，在解决平行四边形面积问题时，可以通过画一条平行于底边的辅助线，将问题转化为求两个三角形的面积。

3. 对称辅助线：对称辅助线是指通过已知图形中心的辅助线。

通过画对称辅助线，可以将问题中的图形分割为相等的部分，并且可以利用对称性质解题。

例如，在解决正多边形内角和问题时，可以通过画一条从正多边形中心到顶点的辅助线，将问题转化为求正多边形的内角和与外角和。

4. 中位线：中位线是指连接一个三角形的一个顶点和对边中点的线段。

中位线具有许多特殊性质，例如三角形三条中位线交于一点，该点被称为三角形的重心。

通过画中位线，可以将问题中的三角形分割为更简单的几何图形，进而解决问题。

除了以上介绍的辅助线，还有许多其他类型的辅助线可以应用于解决不同类型的数学问题。

当我们遇到一个复杂的几何问题时，可以尝试使用辅助线来简化问题，找到解题的突破口。

通过熟练掌握辅助线的使用技巧，并灵活运用，我们可以更加高效地解决数学问题。

中考数学10大类辅助线
中考数学中，常见的辅助线有以下10大类：
1.垂直辅助线：通过一个点和另一直线的垂直线，常用于求两条
直线的垂直关系、求直角三角形等问题。

2.平行辅助线：通过一点和一条直线，与已知的另一直线平行，
常用于求两条直线的平行关系、求平行四边形等问题。

3.中垂线：将一个线段的中点与另一点相连的线段，用于求线段
的中点、判断三角形的等腰性质等问题。

4.角平分线：将一个角分成两个相等的角的线段，通常用于求角
的平分线、求角的刻度等问题。

5.对称辅助线：通过一个点，找到与已知点关于某一直线对称的点，用于求对称点的位置、对称图形等问题。

6.高线：将一个顶点到对立边的垂线段，常用于求三角形的高度、找到垂心等问题。

7.过定点画圆：通过一个已知点和一个已知的半径，画出以该点为圆心的圆，常用于求圆的位置关系、圆与线的交点等问题。

8.过三点画圆：通过给定的三个点，画出以这三点为圆上三个点的圆，用于求圆与三角形的关系等问题。

9.共轭辅助线：通过两个点，在给定条件下找到与已知直线共轭的直线，常用于求一对共轭角、共轭点等问题。

10.谁是谁的辅助线：在解题过程中，发现和已知量之间存在特定的几何关系时，可以将某个量作为另一个量的辅助线，通过推导或等式的变形求解。

以上是中考数学中常用的10大类辅助线。

通过合理地运用这些辅助线，可以帮助我们更好地解决各种几何问题，提高解题的效率和准确性。

中考数学10大类辅助线中考数学常见的辅助线方法有很多种，可以根据题目的特点和计算的需要来选择适当的辅助线方法。

以下是常见的十大类辅助线方法：1.垂直线：通过绘制垂直线可以将几何图形划分为各个部分，方便计算和推导。

垂直线常用于求证和求交点等问题。

2.平行线：通过绘制平行线可以将几何图形划分为等价的部分，方便进行比较和推导。

平行线常用于求证和相似三角形等问题。

3.对角线：通过绘制对角线可以将几何图形划分为更简单的部分，方便计算和推导。

对角线常用于求面积和相似多边形等问题。

4.中垂线：通过绘制中垂线可以将线段划分为等分的两部分，方便计算和推导。

中垂线常用于求证和等腰三角形等问题。

5.角平分线：通过绘制角平分线可以将角划分为等角的两部分，方便计算和推导。

角平分线常用于求证和相似三角形等问题。

6.高线：通过绘制高线可以将三角形划分为底边和顶点的垂直线段，方便计算和推导。

高线常用于求证和面积等问题。

7.过中点的连线：通过绘制过中点的连线可以将线段或图形划分为对称的两部分，方便计算和推导。

过中点的连线常用于求证和相似图形等问题。

8.过交点的连线：通过绘制过交点的连线可以将几何图形划分为更简单的部分，方便计算和推导。

过交点的连线常用于求证和相似三角形等问题。

9.辅助圆：通过绘制辅助圆可以将几何图形划分为更简单的部分，方便计算和推导。

辅助圆常用于求证和相似图形等问题。

10.分割线：通过绘制分割线可以将几何图形划分为等价或相似的部分，方便计算和推导。

分割线常用于求证和比例等问题。

以上是中考数学常见的十大类辅助线方法的简介。

使用辅助线可以在解题过程中简化计算，提高解题的效率和准确性。

在实际应用中，需要根据题目的具体要求和解题步骤选择适当的辅助线方法，灵活运用，有助于提高数学解题能力。

中考压轴题全解——辅助线及找规律专题
中考压轴题全解——辅助线及找规律专题：
一、三角形中点几何辅助线
我们都知道：三角形是平面几何的核心，而三角形中的“线”又是三角形的核心，几何难题的辅助线常来源于此单独考查出现在选择，填空压轴题；大题中这些“线”常隐藏于复杂图形之中，对解题起关键作用。

二、找规律
找规律有很多类型，比如累加型、周期型、新定义型，有关于图形的规律、也有关于数字的规律，还有几何与代数结合的坐标系找规律等。

人教版北师大初中数学中考几何如何巧妙做辅助线大全人们从来就就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的,当问题的条件不够时,添加辅助线构成新图形,形成新关系,使分散的条件集中,建立已知与未知的桥梁,把问题转化为自己能解决的问题,这就是解决问题常用的策略。

一.添辅助线有二种情况:1按定义添辅助线:如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2按基本图形添辅助线:每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往就是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循。

举例如下:(1)平行线就是个基本图形:当几何中出现平行线时添辅助线的关键就是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2)等腰三角形就是个简单的基本图形:当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。

出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。

(3)等腰三角形中的重要线段就是个重要的基本图形:出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。

出现线段倍半关系且倍线段就是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线,当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点就是某线段的中点,则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

初中几何辅助线口诀三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

四边形平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形里面作高线，平移一腰试试看。

平行移动对角线，补成三角形常见。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径连。

切线长度的计算，勾股定理最方便。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。

要作等角添个圆，证明题目少困难。

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。

假如图形较分散，对称旋转去实验。

基本作图很关键，平时掌握要熟练。

解题还要多心眼，经常总结方法显。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。

分析综合方法选，困难再多也会减。

虚心勤学加苦练，成绩上升成直线作辅助线的方法一、中点、中位线，延线，平行线。

如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。

二、垂线、分角线，翻转全等连。

如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。

其对称轴往往是垂线或角的平分线。

三、边边若相等，旋转做实验。

三角形中作辅助线的常用方法举例一、延长已知边构造三角形：分析：欲证 AD ＝BC ，先证分别含有AD ，BC 的三角形全等，有几种方案：△ADC 与△BCD ，△AOD 与△BOC ，△ABD 与△BAC ，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。

证明：分别延长DA ，CB ，它们的延长交于E 点， ∵AD ⊥AC BC ⊥BD （已知） ∴∠CAE ＝∠DBE ＝90° （垂直的定义） 在△DBE 与△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠)()()(已知已证公共角AC BD CAE DBE E E∴△DBE ≌△CAE （AAS ）∴ED ＝EC EB ＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED －EA ＝EC －EB 即：AD ＝BC 。

（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。

）二 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。

三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。

分析：要证BD ＝2CE ，想到要构造线段2CE ，同时CE 与∠ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。

证明：分别延长BA ，CE 交于点F 。

∵BE ⊥CF （已知）∴∠BEF ＝∠BEC ＝90° （垂直的定义）在△BEF 与△BEC 中，19-图DCBAEF 12ABCDE17-图O∵ ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)()()(21已证公共边已知BEC BEF BE BE ∴△BEF ≌△BEC （ASA ）∴CE=FE=21CF （全等三角形对应边相等） ∵∠BAC=90° BE ⊥CF （已知）∴∠BAC ＝∠CAF ＝90° ∠1＋∠BDA ＝90°∠1＋∠BFC ＝90° ∴∠BDA ＝∠BFC在△ABD 与△ACF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠∠=∠)()()(已知＝已证已证AC AB BFC BDA CAF BAC∴△ABD ≌△ACF （AAS ）∴BD ＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD ＝2CE四、取线段中点构造全等三有形。

初中数学】几何题,辅助线的添加方法和典型例题初中数学：几何题型，辅助线的画法和典型例题1.倍长中线法已知在△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF，需要判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明结论。

思路点拨：利用倍长中线法，倍长过中点的线段DF使DG＝DF，再证明△XXX≌△EDF，△FDC≌△GDB，将BE、CF与EF线段转化到△BEG中，利用两边之和大于第三边证明。

解析：连接BG、EG，因为D是BC中点，所以BD＝CD。

又因为DE⊥DF，在△XXX和△EDF中，ED＝ED，∠XXX∠EDF，DG＝DF，因此△XXX≌△EDF（SAS），所以EG＝EF。

在△XXX与△GDB中，CD＝BD，∠1＝∠2，DF＝DG，因此△FDC≌△GDB（SAS），所以CF＝BG。

因为BG＋BE＞EG，所以BE＋CF＞EF。

结论得证。

总结升华：有中点的时候作辅助线可以考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）。

变式：已知CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC，需要证明CD＝2CE。

解析：连接BF，延长CE至F使EF＝CE。

因为EC为中线，所以AE＝BE。

在△AEC与△BEF中，AE＝BE，∠AEC ＝∠BEF，CE＝EF，因此△AEC≌△BEF（SAS）。

所以AC ＝BF，∠A＝∠FBE。

又因为∠ACB＝∠ABC，∠XXX∠ACB＋∠A，∠XXX∠ABC＋∠A，所以AC＝AB，∠XXX∠XXX。

因此AB＝BF，BC为△ADC的中线，所以AB＝BD，即BF＝BD。

在△FCB与△DCB中，∠XXX∠DBC，BC＝BC，因此△FCB≌△DCB（SAS），所以CF＝CD。

结论得证。

2.以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，需要证明XXX。

解析：在AB上截取AE＝AC，连接CE，作角ACE的平分线交AB于D，连接CD。

因为∠C＝2∠B，所以∠ACE＝∠XXX∠B，∠XXX∠A＝∠1＝∠2，所以△AED≌△ACD （SAS），因此ED＝CD。

中考几何常见辅助线总结三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，倍长中线得全等。

四边形平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形问题巧转换，变为三角或平四。

平移腰，移对角，两腰延长作出高。

如果出现腰中点，细心连上中位线。

上述方法不奏效，过腰中点全等造。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

圆形半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径联。

切线长度的计算，勾股定理最方便。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆。

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。

要作等角添个圆，证明题目少困难。

由角平分线想到的辅助线一、截取构全等如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。

分析：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。

这里面用到了角平分线来构造全等三角形。

另外一个全等自已证明。

此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。

自已试一试。

二、角分线上点向两边作垂线构全等如图，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。

求证：∠ADC+∠B=180分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。

近而证∠ADC与∠B之和为平角。

三、三线合一构造等腰三角形如图，AB=AC，∠BAC=90 ，BD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。

初中数学辅助线大全 详细例题付答案[引出问题] 在几何证明或计算问题中，经常需要添加必要的辅助线，它的目的可以归纳为以下三点：一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。

值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。

下面我们分别举例加以说明。

[例题解析]一、倍角问题 例1：如图1，在△ABC 中，AB=AC,BD ⊥AC 于D 。

求证：∠DBC=12∠BAC.分析：∠DBC 、∠BAC 所在的两个三角形有公共角∠C ，可利用三角形内角和来沟通∠DBC 、∠BAC 和∠C 的关系。

证法一：∵在△ABC 中，AB=AC ， ∴∠ABC=∠C=12（180°-∠BAC ）=90°-12∠BAC 。

∵BD ⊥AC 于D ∴∠BDC=90°∴∠DBC=90°-∠C=90°-(90°-12∠BAC)= 12∠BAC 即∠DBC=12∠BAC 分析二：∠DBC 、∠BAC 分别在直角三角形和等腰三角形中，由所证的结论“∠DBC= ½∠BAC ”中含有角的倍、半关系，因此，可以做∠A 的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，把½∠A 放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC 沿BD 翻折构造2∠DBC 求解。

证法二：如图2，作AE ⊥BC 于E ，则∠EAC+∠C=90°∵AB=AC ∴∠EAG=12∠BAC ∵BD ⊥AC 于D∴∠DBC+∠C=90°∴∠EAC=∠DBC （同角的余角相等）即∠DBC=12∠BAC 。

证法三：如图3，在AD 上取一点E ，使DE=CD 连接BE ∵BD ⊥AC∴BD 是线段CE 的垂直平分线 ∴BC=BE ∴∠BEC=∠C∴∠EBC=2∠DBC=180°-2∠C ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C∴∠BAC=180°-2∠C ∴∠EBC=∠BAC ∴∠DBC=12∠BAC 说明：例1也可以取BC 中点为E ，连接DE ，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰例2、如图4，在△ABC 中，∠A=2∠B求证：BC 2=AC 2+AC •AB分析：由BC 2=AC 2+AC •AB= AC （AC+AB ），启发我们构建两个相似的三角形，且含有边BC 、AC 、AC+AB.又由已知∠A=2∠B 知， 构建以AB 为腰的等腰三角形。

中考数学24题辅助线大全
1. 连接中点
题目给出一条线段的中点，可以考虑连接中点。

这种方法常用于构造中位线，利用中位线的性质来解题。

2. 延长线段
有时候题目给出的条件不够，可以考虑延长线段。

这种方法常用于构造相似三角形或全等三角形，利用相似或全等的性质来解题。

3. 作垂线
在直角三角形中，作垂线是一种常见的辅助线方法。

通过作垂线，可以构造出直角三角形，利用勾股定理或三角函数来解题。

4. 作平行线
通过作平行线，可以构造出平行四边形或相似三角形，利用平行四边形或相似三角形的性质来解题。

5. 作高
在三角形中，作高是一种常见的辅助线方法。

通过作高，可以构造出直角三角形，利用三角函数的性质来解题。

6. 构造中心对称图形
有时候题目给出的图形比较复杂，可以考虑构造中心对称图形。

通过构造中心对称图形，可以将复杂图形简化，利用中心对称的性质来解题。

7. 补全图形
有时候题目给出的图形不完整，可以考虑补全图形。

通过补全图形，可以将不完整图形变为完整图形，利用完整图形的性质来解题。

8. 连接两点
有时候题目给出两个点的位置关系，可以考虑连接两点。

通过连接两点，可以构造出新的图形或线段，利用新图形的性质来解题。

初中几何辅助线—克胜秘籍宇文皓月等腰三角形1.作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法；2.作一腰上的高；3.过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。

梯形1. 垂直于平行边2. 垂直于下底，延长上底作一腰的平行线3. 平行于两条斜边4. 作两条垂直于下底的垂线5. 延长两条斜边做成一个三角形菱形1. 连接两对角2. 做高平行四边形1. 垂直于平行边2. 作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形3. 做高——形内形外都要注意矩形1. 对角线2. 作垂线很简单。

无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比方AB=AC+BD....这类的就是想法子作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。

还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等。

三角形图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

解几何题时如何画辅助线?①见中点引中位线，见中线延长一倍在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。

②在比例线段证明中，常作平行线。

作平行线时往往是保存结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。

③对于梯形问题，经常使用的添加辅助线的方法有1、过上底的两端点向下底作垂线2、过上底的一个端点作一腰的平行线3、过上底的一个端点作一对角线的平行线4、过一腰的中点作另一腰的平行线5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交6、作梯形的中位线7、延长两腰使之相交四边形平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形里面作高线，平移一腰试试看。

平行移动对角线，补成三角形罕见。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

一、角平分线半垂直，补全垂直试试看，角平分线加垂线，三线合一试试看1、已知，△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AD延长线于点E，EF∥AC交AB于点F.求证：AF =FB2、已知，如图△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD于D.求证：∠BAD=∠CAD +∠C3、已知，如图Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，CD⊥BE交BE延长线于点D.求证：BE=2CD4、已知，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AD，∠EAD=∠BAD.求证：AB=AE+CE5、已知，如图△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 平分∠BAC ，BE ⊥AD 于E . 求证：)(21AB AC BE -=6、(2011•大连25)已知，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ,点D 在线段BC 上，∠C=2∠EDB ，BE ⊥DE ，垂足为点E ，DE 与AB 相交于点F . (1)求∠EBF .(2)探究BE 与FD 的数量关系，并证明.二、证明线段和差倍，截长补短试试看1、如图，在△ABC 中，81BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+.求ABC ∠的度数.2、已知△ABC 中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．3、如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，试判断DM 与MN 有怎样的数量关系，并证明.4、如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？并证明你的结论.5、已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE . 求证：BE +DF =AE .6、如图所示，△ABC 是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上. 求AMN ∆的周长．7、五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°. 求证：AD 平分∠CDE .8、已知：如图，ABCD 是正方形，∠EAF=45°，且∠EAF 两边交BC 、CD 分别于E 、F 两点.求证：BE +DF =EF .9、如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=BC=8，点E 为BC 边上一点，且BE=2，∠EAD=45°. 求DE 的长.10、如图，在△OAB 和△O ′CD 中(O ′ 在线段OA 上)，∠A ＜90°，OB=O ′D ，∠AOB=∠CO ′D ，∠OAB 与∠O ′CD 互补，试探索线段AB 与CD 的数量关系，并证明你的结论.11、已知：∠BAC=90°，AB=AC ，AD=DC ，AE ⊥BD . 求证：∠ADB=∠CDE12、(2006•大连模拟26)如图，Rt △ABC 中，AB=AC ，点D 、E 是线段AC 上两动点，且AD=EC ，AM ⊥BD ，垂足为M ，AM 的延长线交BC 于点N ，直线BD 与直线NE 相交于点F .试判断△DEF 的形状，并加以证明.13、如图1-1，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 、E 在边BC 上，且BD=CE ，连结AD ，当∠BAD=13∠BAC ， CF ⊥AD ，交AB 于点F ，点G 为垂足，直线EF 交直线AD 、AC 分别于点H 、M . (1)在图1-1中，∠BAD= °，∠DAC= °. (2)如图1-1，猜想△HDE 的形状，并证明你的结论.(3)若点D 、E 在直线BC 上，如图1-2，其它条件不变，试判断△HAM 与(2)中△HDE 的形状是否相同，若不相同，说明理由；若相同，请证明.14、(2012•大连25)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=2∠BCD=2a ，点E在AD 上，点F 在DC 上，且∠BEF=∠A .（1）∠BEF=_____(用含a 的代数式表示)；（2）当AB=AD 时，猜想线段EB 、EF 的数量关系，并证明你的猜想；（图1-2）七、要想证明是切线，半径垂线仔细添1、已知：如图，⊙O 的直径AB=8cm ，P 是AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ． (1) 若∠ACP=120°，求阴影部分的面积； (2)若点P 在AB 的延长线上运动，∠CP A 的平分线交AC 于点M ，∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP 的度数．2、已知：如图，点A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于点B ，OC=BC ，OB AC 21． (1)求证：AB 是⊙O 的切线； (2)若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD 的长． (3)在(2)的条件下，求图中的阴影面积.3、如图，以等腰△ABC 中的腰AB 为直径作⊙O ，交底边BC 于点D ，交AC 边于点E ．过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F ． (1)求证：DF 为⊙O 的切线； (2)若∠A=60°，AB=8，求DF 的长. (3)在(2)的条件下，求图中的阴影面积.4、如图，点A 、B 、F 在⊙O 上，∠AFB=30°，OB 的延长线交直线AD 于点D ，过点B 作BC ⊥AD 于C ，∠CBD=60°，连接AB . (1)求证：AD 是⊙O 的切线； (2)若BC=3，求⊙O 的直径.5、如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B . (1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长.6、已知：如图，在△ABC 中，AB = AC ，点D 是边BC 的中点．以BD 为直径作⊙O ，交边AB 于点P ，联结PC ，交AD 于点E ． (1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)若PC 是⊙O 的切线，BC = 8，求DE 的长．7、已知：如图，△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，交BC 于点E ，EF ⊥AC 于F 交AB 的延长线于G . (1)求证：FG 是⊙O 的切线； (2)求AD 的长.8、如图，△ABC 中，AB =AE ，以AB 为直径作⊙O 交BE 于C ，过C 作CD ⊥AE 于D ， DC 的延长线与AB 的延长线交于点P . (1)求证：PD 是⊙O 的切线； (2)若AE =5，BE =6，求DC 的长.9、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，AE ⊥CD 于E ，DA 平分∠BDE . (1)求证：AE 是⊙O 的切线； (2)若∠DBC=30°，DE=1cm ，求BD 的长.10、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9，CA=12，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，⊙O是△BDE的外接圆，交BC于点F.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)联结EF，求BDAC的值.11、如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC，E是垂足.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)如果AB=5，12DECE，求CE的长.12、已知：在⊙O中，AB是直径，AC是弦，OE⊥AC于点E，过点C作直线FC，使∠FCA=∠AOE，交AB的延长线于点D.(1)求证：FD是⊙O的切线；(2)设OC与BE相交于点G，若OG=2，求⊙O半径的长；(3)在（2）的条件下，当OE=3时，求图中阴影部分的面积.与相似有关13、已知：如图，AB 为⊙O 的弦，过点O 作AB 的平行线，交⊙O 于点C ，直线OC 上一点D 满足∠D =∠ACB .(1)判断直线BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； (2)若⊙O 的半径等于5，AB=8，求CD 的长.14、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，DE ⊥DB 交AB 于点E ，过B 、D 、E 三点作⊙O ． (1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)设⊙O 交BC 于点F ，连结EF ，若BC =9，CA =12.求EFAC的值.15、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，E 是AB 延长线上的一点，D 是⊙O 上的一点，且AD 平分∠F AE ，ED ⊥AF 交AF 的延长线于点C ．(1)判断直线CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； (2)若AF ∶FC =5∶3，AE =16，求⊙O 的直径AB 的长．16、如图，点D是⊙O直径CA的延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO．(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)若点E是劣弧BC上一点，弦AE与BC相交于点F，且CF=9，BF：AF=32，求EF的长．17、(2012•大连23) 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F.(1)猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；(2)若AB=6，AD=5，求AF的长.八、有k倍，比线段，截图相似平行线1、如图，点E是BC上一点，BE=k•EC，∠BAE=∠CDE.猜想AB、CD的数量关系，加以证明.2、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB= k •AC ，CD ∥BA ，点P 是BC 上一点，连结AP ，过点P 做PE ⊥AP 交CD 于E .探究PE 与P A 的数量关系，并加以证明.3、如图，在△ABC 中， AB= k •AC ，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，且BD=CE ，DE 交BC 于点P .探究PE 与PD 的数量关系，并加以证明.4、如图，在△ABC 中，∠DBC +∠ECB=∠A ，BD 、CE 交于点P ，P B= k •PC . 探究BE 与CD 的数量关系，并加以证明.5、如图，BD 平分∠EBC ，D ′是BD 上一点，且BD= k •BD ′，连结D ′C 、DE ，并延长DE 至点A ，使得EA=ED ，且∠ABE=∠C .探究AB 与CD ′的数量关系，并加以证明.6、如图，CB=CD ，∠ABC +∠CDE=180°，AB= k •DE . 探究AF 与EF 的数量关系，并加以证明.7、如图，在△ABC 中，AC=BC ，P 为AB 上一点，且AP= k •PB ，∠EPF +∠C=180°. 探究PE 与PF 的数量关系，并加以证明.8、如图，AD是△ABC的中线，AB= k•AC，点E是AC延长线上一点，且∠AEF=∠BAD，EF交BA延长线于点F.探究AE与AF的数量关系，并加以证明.9、(2012•大连25)如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2a，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF=∠A.（1）∠BEF=_____(用含a的代数式表示)；（2）当AB=AD时，猜想线段EB、EF的数量关系，并证明你的猜想；（3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB=mDE，AD=nDE”，其他条件不变（如图2），求EBEF的值（用含m、n的代数式表示）。

初中几何辅助线——四边形辅助线大全题型1.平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半.例1已知,□ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多8cm，求这个四边形各边长.解：∵四边形ABCD为平行四边形∴AB = CD，AD = CB，AO = CO∵AB＋CD＋DA＋CB = 60AO＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC) = 8∴AB＋BC = 30，AB－BC =8∴AB = CD = 19，BC = AD = 11答：这个四边形各边长分别为19cm、11cm、19cm、11cm.题型 2.平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差.（例题如上）题型3.有平行线时常作平行线构造平行四边形.例2已知，如图，Rt△ABC，∠ACB = 90o，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，过F 作FH∥AB交BC于H求证：CE = BH证明：过F作FP∥BC交AB于P，则四边形FPBH 为平行四边形∴∠B =∠FP A，BH = FP∵∠ACB = 90o，CD⊥AB∴∠5＋∠CAB = 45o，∠B＋∠CAB = 90o∴∠5 =∠B∴∠5 =∠FP A又∵∠1 =∠2，AF = AF∴△CAF≌△P AF∴CF = FP∵∠4 =∠1＋∠5，∠3 =∠2＋∠B∴∠3 =∠4∴CF = CE∴CE = BH练习：已知，如图，AB∥EF∥GH，BE = GC求证：AB = EF＋GH54321PHFEDCB AGHFEB AC题型4.有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段.例3已知，如图，在□ABCD中，AB = 2BC，M为AB中点求证：CM⊥DM证明：延长DM、CB交于N∵四边形ABCD为平行四边形∴AD = BC，AD∥BC∴∠A = ∠NBA∠ADN=∠N又∵AM = BM∴△AMD≌△BMN∴AD = BN∴BN = BC∵AB = 2BC，AM = BM∴BM = BC = BN∴∠1 =∠2，∠3 =∠N∵∠1＋∠2＋∠3＋∠N = 180o，∴∠1＋∠3 = 90o∴CM⊥DM题型5.平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等.例4如图：OE=OF题型 6.平行四边形一边（或这边所在的直线）上的任意一点与对边的两个端点的连线所构成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半.例5如图：S△BEC= 12S□ABCD题型7.平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中，不相邻的两个三角形的面积之和等于平行四边形面积的一半.例6如图：S△AOB＋S△DOC= S△BOC＋S△AOD = 12S□ABCDEDCBAODCBA321NM BAD CFEODCBA题型8.任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中，不相邻的两条线段的平方和相等. 例7如图：AO 2＋OC 2 = BO 2 ＋DO 2题型9.平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形.例8如图：四边形GHMN 是矩形（题型5～题型9请自己证明）题型10.有垂直时可作垂线构造矩形或平行线.例9已知，如图，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，且BE = ED ，P 为对角线BD 上一点，PF ⊥BE 于F ，PG ⊥AD 于G 求证：PF ＋PG = AB证明：证法一：过P 作PH ⊥AB 于H ，则四边形AHPG 为矩形∴AH = GP PH ∥AD ∴∠ADB =∠HPB∵BE = DE ∴∠EBD = ∠ADB ∴∠HPB =∠EBD 又∵∠PFB =∠BHP = 90o∴△PFB ≌△BHP∴HB = FP∴AH ＋HB = PG ＋PF 即AB = PG ＋PF证法二：延长GP 交BC 于N ，则四边形ABNG 为矩形，（证明略）NP H G FE D C B AN M HG DCBAA DC B OO B CD A题型11.直角三角形常用辅助线方法⑴作斜边上的高例10已知，如图,若从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线与∠BAD的平分线交于点E 求证：AC = CE证明：过A作AF⊥BD，垂足为F，则AF∥EG∴∠F AE = ∠AEG∵四边形ABCD为矩形∴∠BAD = 90o OA = OD∴∠BDA =∠CAD∵AF⊥BD∴∠ABD＋∠ADB= ∠ABD＋∠BAF= 90o∴∠BAF =∠ADB =∠CAD∵AE为∠BAD的平分线∴∠BAE =∠DAE∴∠BAE－∠BAF =∠DAE－∠DAC即∠F AE =∠CAE∴∠CAE =∠AEG∴AC = EC⑵作斜边中线，当有下列情况时常作斜边中线①有斜边中点时例11已知，如图，AD、BE是△ABC的高，F是DE的中点，G是AB的中点求证：GF⊥DE证明：连结GE、GD∵AD、BE是△ABC的高，G是AB的中点∴GE = 12AB，GD =12AB∴GE = GD∵F是DE的中点∴GF⊥DE②有和斜边倍分关系的线段时例12已知，如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，且DA⊥BA于A，AC = 12 BD求证：∠ACB = 2∠B证明：取BD中点E，连结AE，则AE = BE = 12 BD∴∠1 =∠BGOFEDCBAFEDCBA∵AC =12BD ∴AC = AE∴∠ACB =∠2 ∵∠2 =∠1＋∠B ∴∠2 = 2∠B ∴∠ACB = 2∠B题型12.正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等.例13已知，如图，过正方形ABCD 对角线BD 上一点P ，作PE ⊥BC 于E ，作PF ⊥CD 于F 求证：AP = EF证明:连结AC 、PC∵四边形ABCD 为正方形∴BD 垂直平分AC ，∠BCD = 90o∴AP = CP∵PE ⊥BC ，PF ⊥CD ，∠BCD = 90o ∴四边形PECF 为矩形 ∴PC = EF ∴AP = EF 题型13.有正方形一边中点时常取另一边中点.例14已知,如图，正方形ABCD 中，M 为AB 的中点，MN ⊥MD ，BN 平分∠CBE 并交MN 于N求证：MD = MN证明：取AD 的中点P ，连结PM ，则DP = P A =12AD ∵四边形ABCD 为正方形 ∴AD = AB , ∠A =∠ABC = 90o∴∠1＋∠AMD = 90o ，又DM ⊥MN ∴∠2＋∠AMD = 90o ∴∠1 =∠2 ∵M 为AB 中点∴AM = MB = 12AB∴DP = MB AP = AM ∴∠APM =∠AMP = 45o ∴∠DPM =135o ∵BN 平分∠CBE ∴∠CBN = 45o∴∠MBN =∠MBC ＋∠CBN = 90o ＋45o = 135o 即∠DPM =∠MBN ∴△DPM ≌△MBN21EDCBAP F ED CB A21P NEDCA∴DM = MN注意：把M 改为AB 上任一点，其它条件不变，结论仍然成立。

初三数学几何辅助线解题技巧
初三数学中，几何是一个比较重要的章节，而在几何中使用辅助线解题技巧是十分必要的。

辅助线可以帮助我们找到几何图形中的对称点、平分线、垂线等，从而解决难题。

以下是一些常见的几何问题和辅助线解题技巧：
1. 求正方形对角线的长度
解法：通过连接正方形的对角线，我们可以构成两个全等的直角三角形，如图所示。

因此，我们可以使用勾股定理求出正方形对角线的长度。

2. 求等腰三角形中，底角的大小
解法：连接等腰三角形的底边中点和顶点，如图所示。

这条线段会将等腰三角形分成两个全等的直角三角形。

因此，我们可以使用三角形内角和公式求得底角的大小。

3. 求平行四边形中对角线的交点
解法：连接平行四边形的相邻顶点，如图所示。

这条线段可以将平行四边形分成两个全等的三角形，并且交点即为两条对角线的交点。

4. 求正弦函数的值
解法：在三角形中，我们可以使用正弦函数求解一个角的正弦值。

如图所示，我们可以通过连接角的顶点和对边中点，构成一个直角三角形，从而使用正弦函数求解。

以上是几种常见的辅助线解题技巧，希望能够帮助同学们更好地应对几何问题。

同时，在解题过程中，我们要注意辅助线的选择和使用，避免增加难度或者引入冗余信息，从而导致解题失败。