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量⼦⼒学讲义1第⼀章绪论前⾔⼀、量⼦⼒学的研究对象量⼦⼒学是现代物理学的理论基础之⼀，是研究微观粒⼦运动规律的科学。
量⼦⼒学的建⽴使⼈们对物质世界的认识从宏观层次跨进了微观层次。
综观量⼦⼒学发展史可谓是群星璀璨、光彩纷呈。
它不仅极⼤地推动了原⼦物理、原⼦核物理、光学、固体材料、化学等科学理论的发展，还引发了⼈们在哲学意义上的思考。
⼆、量⼦⼒学在物理学中的地位按照研究对象的尺⼨，物理学可分为宏观物理、微观物理和介观物理三⼤领域。
量⼦理论不仅可以正确解释微观、介观领域的物理现象，⽽且也可以正确解释宏观领域的物理现象，因为经典物理是量⼦理论在宏观下的近似。
因此，量⼦理论揭⽰了各种尺度下物理世界的运动规律。
三、量⼦⼒学产⽣的基础旧量⼦论诞⽣于1900年，量⼦⼒学诞⽣于1925年。
1．经典理论⼗九世纪末、⼆⼗世纪初，经典物理学已经发展到了相当完善的阶段，但在⼀些问题上经典物理学遇到了许多克服不了的困难，如⿊体辐射等。
2．旧量⼦论旧量⼦论= 经典理论+ 特殊假设（与经典理论⽭盾）旧量⼦论没有摆脱经典的束缚，⽆法从本质上揭露微观世界的规律，有很⼤局限性。
但旧量⼦论为量⼦⼒学理论的建⽴提供了线索，促进了量⼦⼒学的快速诞⽣。
四、量⼦⼒学的研究内容1．三个重要概念：波函数，算符，薛定格⽅程。
2．五个基本假设：波函数假设，算符假设，展开假定，薛定格⽅程，全同性原理。
五、量⼦⼒学的特征1．抛弃了经典的决定论思想，引⼊了概率波。
⼒学量可以不连续地取值，且不确定。
2．只有改变观念，才能真正认识到量⼦⼒学的本质。
它是⼈们的认识从决定论到概率论的⼀次巨⼤的飞跃。
六、量⼦⼒学的应⽤前景1．深⼊到诸多领域：本世纪的三⼤热门科学（⽣命科学、信息科学和材料科学）的深⼊发展都离不开它。
2．派⽣出了许多新的学科：量⼦场论、量⼦电动⼒学、量⼦电⼦学、量⼦光学、量⼦通信、量⼦化学等。
3．前沿应⽤：研制量⼦计算机已成为科学⼯作者的⽬标之⼀，⼈们期望它可以实现⼤规模的并⾏计算，并具有经典计算机⽆法⽐拟的处理信息的功能。
I.波函数与Schrodinger方程1. 经典波有波函数吗？量子波函数与经典波函数有什么异同？答：波函数就其本义而言不是量子力学特有的概念．任何波都有相应的波图执只是习惯上这一术语通常专用于描述量子态而不常用于经典波．经典波例如沿轴方向传播的平面单色波，波动动量对和的函数——波函数可写为，其复指数形式为，波函数给出了传播方向上时刻在点处的振动状态。
经典波的波函数通常称之为：波的表达式或波运动方程．量子力学中，把德布罗意关系 p ＝k 及 E ＝ω代入上式就得到自由粒子的波函数 ( 自由粒子的波的表达式 ).经典波与概率狡的唯一共性是叠加相干性。
但概率波函数是态函数，而态的叠加与经典波的叠加有着本质的差别．经典波函数描述的是经典波动量对时空变量的函数关系．量子力学中的概率波函数其意义不同于经典物理中的任何物理量．概率波函数虽是态函执但本身不是力学量．态函数给出的也不是物理量间的关系．概率波函数的意义是：由波函效描述微观体系各种力学量的概率分朽．作为一种约定的处理方法，经典波可表为复指数函数形式但只有它的实部才有物理意义．而概率波函数一般应为复函数．非相对论量子力学中，粒子不产生出不泯灭．粒子一定在全空间中出现，导致了概率被函数归一化问题，而经典波则不存征这个问题．概率波函数乘上一常数后，粒子在空间各点出现的相对概率不变．因而，仍描述原来的状态．而经典波中不同的波幅的波表不同的波动状态，振幅为零的态表示静止态．而量子力学中，振幅处处为零的态表示不存在粒子．另外经典波函数与量子被函数满足各自的、特征不同的波方程．2 ．波函数的物理意义——微观粒子的状态完全由其被函数描述，这里“完全'的含义是什么？波函数归一化的含义又是什么 ?答：按照波函数的统计解释波函数统计地描述了体系的量子态．如已知单粒子 ( 不考虑自旋 ) 波函数为，则不仅可确定粒子的位置概率分布，而且如动员等粒子其他力学且的概率分布也均可通过而完全确定．出于量子理论与经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果．而只要已知体系波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息．从这个意义上着，有关体系的全部信息显然都已包含在波函数中，所以我们此微现粒子的状态完全由其波函数描述，并把波函数称为态函数．非相对论量子力学中粒子不产生、不泯灭．根据波函数的统计解释，在任何时刻，粒子一定在空间出现，所以，在整个空间中发现粒子是必然事件．概率论中认为必然事件的概率等于 1 ．因而，粒子在整个空间中出现的概率即概率密度对整个空间积分应等于1 ．式中积分号下的无限大符号表示对整个空间积分．这个条件称为归一化条件．满足归一化条件的波函数称为归一化波函数．显然，平方可积波函数才可以归一化．3 .证明从单粒子薛定谔方程得出的粒子速度场是非旋的，即求证，其中，为几率密度，为几率流密度。
第三章 量子体系的力学量本章讨论在量子力学中如何描述力学量的问题。
它是量子力学的重点之一，对初学者而言，开始显得比较抽象，因此，应注意习题训练。
3．1 力学量的平均值公式 力学量用算符表示~算符进入量子力学一、坐标的平均值⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==>=<r d r r d r r d t r w r r 3*323),(ψψψ分量： ⎰∞∞->=<r d t r x t r x n n3*),(),(ψψ问题：能否用),(t rψ导出其他力学量的平均值？二、动量的平均值⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==>=<p d t p C p t p C p d t p C p p d t p w p p3*323),(),(),(),(我们希望直接用),(t r ψ写出><p（注意r d t r p p 32),(⎰>≠<ψ~2),(t r ψ不是p的几率）。
以x 分量为例：⎰∞∞->=<p d t p C p t p C p x x3*),(),(将 r d e t r t p C r p i⎰∞∞-⋅-=323),()2(1),(ψπ 代入，有⎰⎰⎰∞∞-⋅-∞∞-⋅>=<pd r de t r p r d e t r p r p i x r p i x3/3/233*23]}),()2(1[]),()2(1[{/ψπψπ ⎰⎰⎰-⋅=])2(1)[,(),(3)(3//3*3/p d ep t r r d t r r d r r p i xπψψ计算[…]有)()()2(1[...]/33)(3/r r x i p d e x i r r p i-∂∂-=∂∂-=⎰∞∞--⋅δπ 于是 ⎰⎰∞∞-∞∞--∂∂->=<)(),())(,(/3//3*3r r t r r d x i t r r d p x δψψ),())(,(*3t r xi t r r d ψψ⎰∞∞-∂∂-=。
V. 定态微扰论1．证明：非简并定态微扰中，基态的能量二级修正永为负。
答：已知，微扰论中，对能量为的态，能量二级修正如态为基态，最低，在上式的取和中，的任一项均有，故永为负。
For personal use only in study and research; not for commercial use2.证明：定态微扰论中，能量的一级近似是总哈密顿算符对零级波因数的平均值．答：设满足的正交归一化零级波函数以表出。
已知。
则正是能量一级近似.3. 能级简并没有解除的解是否必定是近似解？反之，近似解是否必定是能级简并的？For personal use only in study and research; not for commercial use答：能级简并与波方程的近似解这两个概念的意义是不同的，没有什么直接的关联．我们知道，能级简并主要是由于体系哈密顿量具有某种对称性．只要保持这种对称以那么即使是精确解，其能级也是简并的．如氢原子．如果对称性受到彻底破坏或部分破坏，那么—般说来，简并应当消除或部分消除．应用微扰法求解定态问题时，得到的解一般均是近似解．非简并态微扰的近似解，能级当然是非简并的．简并态微扰法中由于微扰的作用．不管能级简并是否能解除，或解除多少，得到的解一般也是近似解．4.一维谐振子，其能量算符为 (1)设此谐振子受到微扰作用(2)试求各能级的微扰修正（三级近似），并和精确解比较。
解：的本征函数、本征值记为。
如众所周知（3）在表象（以为基矢）中，的矩阵元中不等于0的类型为（4）因此，不等于0的微扰矩阵元有下列类型：（5）（6）按照非简并态能级三级微扰修正公式，能级的各级微扰修正为：（7）（8）（9）本题显然可以精确求解，因为令可以写成（10）和式（1）比较，差别在于，因此的本征值为（11）因为，将作二项式展开，即得：（12）和微扰论结果完全一致。
5. 氢原子处于基态．沿z方向加一个均匀弱电场，视电场为微扰，求电场作用后的基态波函数(一级近似)．能级(二级近似)，平均电矩和电极化系数．(不考虑自旋．)解：加电场前，基态波函数为，（波尔半径）（1）满足能量方程（2）其中视外电场为微扰，微扰作势为（3）由于为偶宇称，为奇宇称，所以一级能量修正为0，(4)波函数的一级微扰修正满足方程（5）除了一个常系数外，即球谐函数，考虑到和都是球对称的，易知必可表示成(6)代入（5）式，并计及其中由式（5）可得满足的方程（7）为边界条件为处，。
第10章 微扰论到现在为止，我们利用薛定谔方程求出了六大体系的本征值和本征函数 1、一维自由粒子体系：2ˆˆ2x p H m=， x p ip x x ex ⋅=πψ21)(， 22xp E m= )(∞<<-∞x p ， 1=f2、一维无限深势阱222,0ˆ200a x x d H m dx x a ⎧∞<>⎪=-+⎨≤≤⎪⎩ ， x an a n πψsin 2=，22222n n E ma π= ,3,2,1=n ，1=f3、一维线性谐振子体系：2222021ˆ,22d H m x dx ωμ=-+ ，)()(2221x H e N x n x n n αψα-=，α=ω )21(+=n E n ， ,3,2,1,0=n ，1=f4、平面刚性转子2ˆˆ2z l H I=， ϕπϕim m e21)(=Φ， Im E m 222 =，,2,1,0±±=m ，5、空间刚性转子2ˆˆ2l H I=， ϕθϕθim n l lm lm e P N Y )(cos ),(=， I l l E l 2)1(2 +=，,2,1,0=l ， l m ±±±=,,2,1,0 ，12+=l f6、氢原子与类氢原子222ˆ2ze H r μ=-∇-， ),()(),,(ϕθϕθψlm nl nlm Y r R r =， 242222222n z e z e E n a μμ=-=- ， ,3,2,1=n ，1,,2,1,0-=n l ，l m ±±±=,,2,1,0 ，2n f =微扰论是从简单问题的精确解出发来求较复杂问题的近似解。
一般分为两大类：一类是体系的哈密顿算符是时间的显函数的情况),ˆ,ˆ(ˆˆt p r H H=，这叫含时微扰，可以用来解释有关跃迁的问题；另一类是体系的哈密顿算符不是时间的显函数，)ˆ,ˆ(ˆˆp r H H=，这叫定态微扰，用来决定体系的定态能级和相应的波函数至所需要的精确度。
量子力学讲义引言量子力学是描述微观世界的一种物理理论，它在20世纪初由一系列科学家发展而来，其中最著名的是德国物理学家温伯格（Max Born）。
量子力学革命性地改变了我们对自然界的认识，揭示了微观粒子行为的奇异性质。
本讲义将介绍量子力学的基本原理、数学描述和一些重要的应用。
1. 量子力学的基本原理量子力学的基本原理可以归结为以下几点：1.1 波粒二象性量子力学揭示了微观粒子既具有粒子性又具有波动性的特性。
根据德布罗意（Louis de Broglie）提出的波粒二象性理论，任何物质粒子都具有波动性，其波长与动量相关。
这意味着微观粒子不仅可以被看作是粒子，还可以被看作是波动。
1.2 玻尔原子模型玻尔（Niels Bohr）提出了一种描述原子结构的模型，即玻尔原子模型。
根据这个模型，原子由一个中心的原子核和围绕核旋转的电子组成。
电子只能在特定的能级轨道上运动，而且只能在能级之间跃迁，放出或吸收特定能量的光子。
1.3 不确定性原理海森堡（Werner Heisenberg）提出了著名的不确定性原理，它指出在测量微观粒子的位置和动量时，无法同时精确确定它们的值。
这是由于测量过程中的干扰和微观粒子的波粒二象性导致的。
不确定性原理限制了我们对微观世界的观测和测量。
2. 量子力学的数学描述量子力学使用数学语言来描述微观粒子的行为。
其中最基本的数学工具是波函数（wave function）和算符（operator）。
2.1 波函数波函数是量子力学中描述微观粒子状态的数学函数。
它是时间和空间的函数，可以用来计算粒子的概率分布。
波函数的平方模的积分表示了在特定位置找到粒子的概率。
2.2 算符算符是量子力学中表示物理量的数学对象。
它们作用于波函数上，可以得到物理量的期望值。
例如，位置算符可以得到粒子的位置期望值，动量算符可以得到粒子的动量期望值。
2.3 薛定谔方程薛定谔方程是描述量子系统演化的基本方程。
它是一个偏微分方程，描述了波函数随时间变化的规律。
量子力学讲义量子力学的通俗讲座一、粒子和波动我们对粒子和波动的概念来自直接的经验。
和粒子有关的经验对象：小到石子大到天上的星星等；和波动有关的经验对象：最常见的例子是水波，还有拨动的琴弦等。
但这些还不是物理中所说的模型，物理中所谓粒子和波动是理想化的模型，是我们头脑中抽象的对象。
1.1 粒子的图像在经典物理中，粒子的概念可进一步抽象为：大小可忽略不计的具有质量的对象，即所谓质点。
质量在这里是新概念，我们可将其定义为包含物质量的多少，一个西瓜，比西瓜仔的质量大，因为西瓜里包含的物质的量更大。
为叙述的简介，我们现在可把粒子等同于质点。
要描述一个质点的运动状态，我们需要知道其位置和质量（x,m ），这是一个抽象的数学表达。
但我们漏掉了时间，时间也是一个直观的概念，这里我们可把时间描述为一个时钟，我们会发现当指针指到不同位置时，质点的位置可能不同，于是指针的位置就定义了时刻t 。
有了时刻t ，我们对质点的描述就变成了（x,t,m ），由此可定义速度v ，现在我们对质点运动状态的描述是（x,v,t,m ）。
在日常经验中我们还有相互作用或所谓力的概念，我们在地球上拎起不同质量物体时肌肉的紧张程度是不同的，或者说弹簧秤拎起不同质量物体时弹簧的拉伸程度是不同的。
以上我们对质量、时间、力等的定义都是直观的，是可以操作的。
按照以上思路进行研究，最终诞生了牛顿的经典力学。
这里我们可简单地用两个公式：F=ma （牛顿第二定律）和2GMmF x（万有引力公式）来代表牛顿力学。
前者是质点的运动方程，用数学的语言说是一个关于位置x 的二阶微分方程，所以只需要知道初始时刻t=0时的位置x 和速度v 即可求出以后任意时刻t 质点所处的位置，即x(t)，我们称之为轨迹。
需要强调的是一旦我们知道t=0时x 和v 的精确值（没任何误差），x(t)的取值也是精确的，即我们得到是对质点未来演化的精确预测，并且这个求解对t<0也精确成立，这意味着我们还可精确地反演质点的历史。
高等量子力学田光善讲义1. 量子力学简介量子力学是描述微观粒子行为的理论，也是现代物理学的基石之一。
它通过波函数描述粒子的状态，并通过算符描述物理量的测量。
量子力学的发展为我们认识微观世界提供了全新的视角。
2. 量子力学的基本原理2.1 波粒二象性根据量子力学的波粒二象性，微观粒子既可以表现为粒子，也可以表现为波动。
这种双重性质使得我们无法准确地确定粒子的位置和动量，而只能得到一定的概率分布。
2.2 波函数和波函数演化波函数是量子力学中描述粒子状态的数学工具，它可以通过薛定谔方程来演化。
波函数的模的平方给出了测量粒子处于某个状态的概率。
2.3 算符和物理量测量算符是量子力学中描述物理量的数学工具，它对波函数进行操作，得到物理量的期望值。
物理量的测量结果是随机的，符合一定的概率分布。
2.4 不确定性原理不确定性原理是量子力学的重要基本原理之一，它指出了我们无法同时准确测量粒子的位置和动量，或者能量和时间。
不确定性原理限制了我们对微观世界的认识。
3. 量子力学的数学形式3.1 希尔伯特空间希尔伯特空间是量子力学中描述波函数的数学空间，它是一个完备的内积空间。
在希尔伯特空间中，我们可以定义态矢量、算符和内积等概念。
3.2 算符和本征值问题算符在希尔伯特空间中是线性算符，它可以对态矢量进行操作。
本征值问题是求解算符的特征值和特征向量，它可以得到物理量的本征值和本征态。
3.3 规范化和正交归一化波函数的规范化是保证概率守恒的重要条件，它要求波函数的模的平方在整个空间上积分为1。
正交归一化是希尔伯特空间中的一组正交基的要求，它使得不同态矢量之间的内积为0或1。
4. 量子力学的应用4.1 原子物理学量子力学在原子物理学中有着广泛的应用，可以解释原子的能级结构、光谱现象等。
通过量子力学的计算，我们可以预测和解释实验结果。
4.2 分子物理学量子力学在分子物理学中的应用也非常丰富。
它可以描述分子的振动、转动和电子结构等性质，为化学反应的理解和控制提供了重要的理论基础。
第3章 量子力学中的力学量§1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。
ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v ， Â就是这种变换的算符。
为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。
但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。
二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。
例如：动量算符ˆpi =-∇ ， 单位算符I 是线性算符。
2、算符相等若两个算符Â、ˆB 对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB相等记为ˆˆA B =。
3、算符之和若两个算符Â、ˆB 对体系的任何波函数ψ有：ˆˆˆˆˆ()AB A BC ψψψψ+=+=，则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。
ˆˆˆˆAB B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= ψ是任意波函数。
一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。
5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。
若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。
若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。
例如：算符x , ˆx pi x ∂=-∂ 不对易 证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂ i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂ i i x x ψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -= ，ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
量子力学的通俗讲座一、粒子和波动我们对粒子和波动的概念来自直接的经验。
和粒子有关的经验对象：小到石子大到天上的星星等；和波动有关的经验对象：最常见的例子是水波，还有拨动的琴弦等。
但这些还不是物理中所说的模型，物理中所谓粒子和波动是理想化的模型，是我们头脑中抽象的对象。
1.1 粒子的图像在经典物理中，粒子的概念可进一步抽象为：大小可忽略不计的具有质量的对象，即所谓质点。
质量在这里是新概念，我们可将其定义为包含物质量的多少，一个西瓜，比西瓜仔的质量大，因为西瓜里包含的物质的量更大。
为叙述的简介，我们现在可把粒子等同于质点。
要描述一个质点的运动状态，我们需要知道其位置和质量（x,m ），这是一个抽象的数学表达。
但我们漏掉了时间，时间也是一个直观的概念，这里我们可把时间描述为一个时钟，我们会发现当指针指到不同位置时，质点的位置可能不同，于是指针的位置就定 义了时刻t 。
有了时刻 t ，我们对质点的描述就变成了（x,t,m ），由此可定义速度v ，现在我们对质点运动状态的描述是（x,v,t,m ）。
在日常经验中我们还有相互作用或所谓力的概念，我们在地球上拎起不同质量物体时肌肉的紧张程度是不同的，或者说弹簧秤拎起不同质量物体时弹簧的拉伸程度是不同的。
以上我们对质量、时间、力等的定义都是直观的，是可以操作的。
按照以上思路进行研究，最终诞生了牛顿的经典力学。
这里我们可简单地用两个公式：F=ma （牛顿第二定律） 和 2GMm F x（万有引力公式） 来代表牛顿力学。
前者是质点的运动方程，用数学的语言说是一个关于位置x 的二阶微分方程，所以只需要知道初始时刻t=0时的位置x 和速度v 即可求出以后任意时刻t 质点所处的位置，即x(t)，我们称之为轨迹。
需要强调的是一旦我们知道t=0时x 和v 的精确值（没任何误差），x(t)的取值也是精确的，即我们得到是对质点未来演化的精确预测，并且这个求 解对t<0也精确成立，这意味着我们还可精确地反演质点的历史。
这些结论都是由数学理论严格保证的，即轨迹是一根理想的线。
经典的多粒子系统现在我们就有了一个关于世界的整体图像：宇宙是由很多质点构成的复杂系统，它们两两之间相互作用由2GMm F x =决定，对每一个质点我们又可列出ΣF=ma 这样的运动方程，ΣF 表示每个质点所受的合力，与其他质点的位置有关，因此这是一个联立的二阶微分方程组。
还是根据数学的理论，如果我们知道了初始时刻t=0时每个质点的位置和速度，我们即可无限精确地知道系统内每个粒子的轨迹。
这在哲学上被引申为所谓的决定论，我们会倾向于相信：世界只不过是个巨大的钟表，人生的命运是确定的，事物的演化也是确定的等等。
当然要想在某一时刻同时测量出全世界所有粒子的位置和速度是不可能的，但这种操作上的不可能性是否意味着--“某一时刻全世界所有粒子具有确定的位置和速度”--本身就不存在呢？有些人可能会持怀疑的态度，这个可称为怀疑主义的态度，由此引申怀疑主义者会怀疑整个世界的实在性，怀疑人类是否有能力认识世 界。
另一些人会倾向于相信，当然这种相信并无充分的证据，相信的好处是我们可建立起一个关于世界的整体图像，整个世界变得有秩序了，可以理解了。
不管我们是否相信决定论，牛顿力学本身获得了巨大成功，解释了大到行星运动，小到苹果落地等广泛的现象，因此主流物理学家在100多年前相信牛顿力学提供了描述整个世界的基础。
1.2 波动的图像粒子和波到目前为止我们还没有讲波动，实际上在有了粒子的图像后，我们很容易把波动还原为很多粒子的集体运动。
比如最简单的波动，抖动绳子可产生一维波。
要解释这样的波动现象，最简单的模型就是假想把绳子分成很多很多份，每部分很小以至我们可将其视为质点，质点间的力用弹性力表示。
看起来这就是一根弹簧， 上面放了很多等质量的小球，如果你横向摇晃第一个小球，这种运动就会渐次地传递给其他小球，即所谓横波；如果你纵向压缩拉伸第一个小球，这种纵向的振动也会渐次地传递给其他小球，即所谓纵波。
由此可见波动是一种集体运动，是由很多粒子参与步调统一的运动。
最简单的波动是单色平面波，即体现为正弦或余弦函数：()sin A kx t ω-。
波动的特点是会传播出去，因此你很难说波的位置在什么地方，对单色平面波来说，波动更是充满整个世界，位置概念是没有意义的。
但我们可以发现相邻波峰间距离总是相同的，于是可定义波长：λ，我们还可发现每个质点振动一个周期的时间也是相同的，因此可定义频率：ν。
很多质点的集体运动--“波动”--和“粒子”是很不同的，描述粒子的运动，使用位置和速度（有了分析力学之后，物理学家更习惯使用动量p=mv 来代替速度），描述波动使用波长和频率。
粒子的特点是分立的，每个粒子会集中地携带能量（22mv），而波动的特点则是弥散的，能量会均匀地分布在介质（中的每个质点）上，波动的能量正比于波幅的平方。
从这个意义上我们说粒子的图像和波动的图像是排斥的，即我们无法想象一个对象既是粒子又是波动。
1.3 电磁波尽管粒子的图像和波动的图像是互相排斥的，我们仍会认为粒子的图像更本质，波动的图像可还原为粒子的语言，因此是从属的。
但物理学家很快又发现了一种新的波--电磁波。
电磁现象是不同于机械力学（即上面讨论的质点或质点系的运动）的新现象。
麦克斯韦是电磁学中的牛顿，他提出的麦克斯韦方程组是解释电磁现象的基础。
利用麦克斯韦方程组最重要的预言是光波就是电磁波。
所谓电磁波就是电场（E）和磁场（B）在空间中的传播，和机械波中质点振动会在空间中传播一样，它们都满足类似的波动方程，只是波动传播的速度不同而已。
物理学家自然提出一个任务，即能否把电磁波还原为纯粹的机械运动？追求统一的物理是物理学家永恒的追求，牛顿使天上的物理（行星运动）和地上的物理（苹果落地）统一，麦克斯韦使光学和电磁学统一，那么经典力学和经典电磁学也应该是统一的。
但实际上把电磁波还原为机械运动的努力是徒劳的，爱因斯坦另辟蹊径建立狭义相对论完成了这一任务。
如果考虑到光波或电磁波无法还原为机械运动，我们现在可说粒子的图像和波动的图像在概念上是同样重要的，粒子的图像和波动的图像是排斥的。
二、波粒二象性在1900年前后物理学家已经建立起来由经典力学，经典电磁学和经典统计力学组成的经典物理学体系，有很多物理学家乐观地认为将来的工作仅仅是再往小数点后面再加几位。
但一系列新现象却最终颠覆了经典物理学，今天我们说科学的基础，一般指的是相对论和量子力学。
根据一般的观点，量子力学诞生于原子物理学，即关于原子尺寸物理现象的研究。
今天我们知道原子大约是0.1纳米，而人类肉眼可分辨（假设可借助光学显微镜）的尺寸大约是可见光波长的数量级--几百纳米，即我们研究的对象小了至少几万倍。
从这个意义上说量子现象是超越于我们日常经验之外的。
当我们提到粒子和波动的时候，即便没有系统地学习过物理学，我们也可借助日常经验知道粒子大致指的是什么现象，波动指的是什么现象。
但当我们提到原子或电子的运动时，我们就没有这样的直观了。
2.1 双缝实验所以必须得有一个机会供我们直观地体验一下量子现象。
费曼曾提出著名的双缝实验[1]，通过这个实验我们可建立量子力学的最基本概念--波粒二象性。
经典波动的双缝干涉首先在光学中也有双缝实验，即当光通过双缝后，会呈现明暗相间的条纹状分布，这个称为干涉。
干涉现象可以很容易地用波动图像解释。
光是电磁波，当波照射到双缝上时，每个缝相当于是新的波源，每个波源都会发出一系列波峰和波谷，当两个波峰相遇时则加强呈现出明亮的条纹，当一个波峰和一个波谷相遇时则抵消呈现出暗条纹。
经典粒子通过双缝现在我们假设以一束电子入射到双缝上，看看会发生什么现象。
电子是量子力学对象，但现在我们先猜测它就是经典的粒子，这种情形下电子穿过双缝--呈上、下两个条状分布。
那么实验的结果是什么呢？是明、暗相间的条纹状分布，就好像是光学中的双缝实验结果一样。
这是否意味着电子是一种波动呢？就好像迄今为止我们都理所当然地认为光就是一种波动。
波粒二象性我们可以再做一个实验，让电子一个、一个地通过双缝，看看是否会有干涉现象。
实验结果是电子将随机地出现在任意位置，我们根本无法预测电子下一次出现在何位置。
但我们也注意到电子并未弥散开来，每次都只出现在一个位置，这说明电子是粒子，具有唯一的位置。
另外一个特点是当我们进行很多次这样的单电子双缝干涉实验后，电子的总体分布会趋于明暗相间的干涉条纹。
有趣的是，对于我们一直认为是波动的“光”，我们也可完成类似的实验，即当我们降低光的强度，最终我们发现光竟然也是由一个一个的粒子--“光子”组成的。
当光强极弱时，我们可完成所谓单光子干涉实验，每个光子对应一个随机的位置，很多单光子事件累积起来呈现干涉条纹。
实际上人眼就是理想的“单光子”探测器，生理实验证明只需要5个光子就可使视杆细胞兴奋[2]。
因此，把电子（或光子）简单地设想为经典的粒子或经典的波动都是不可能的，现在我们说电子（或光子）首先是粒子，但它不是经典的，不能用位置和动量描述，而需要用波函数来描述电子的运动状态。
这就是所谓波粒二象性，这与日常经验中的粒子是两回事，但物理学家们一般还称呼它们是粒子。
2.2 波函数根据量子力学，粒子的运动状态是由波函数来描述的，其实经典的波动也是由波函数来描述的。
量子力学中的波函数和经典波动波函数的区别在于：经典波动波函数有确切的物理含义，比如电磁波波函数表示的是变化的电场或磁场；量子力学中波函数不对应确切的物理含义，它一般是复函数，而物理量（如位置、动量）的取值是实数，但物理系统中所有信息却又都包含在波函数中，即根据波函数我们可求出物理量的取值。
从数学形式上看波函数很类似经典波动的波函数，因为经典波动为计算方便也常常表示为复函数的形式；而量子力学中波函数在某些特定情况下也可表示为实函数的形式。
这给思考量子力学问题带来很多直观上的好处，因为想象一个经典波动总是很容易的。
最简单的波函数是单色平面波：()i kx t Ae ω-，它所描述粒子的动量是：p k =，能量是：E ω=（前者是德布罗意的贡献，后者是普朗克等的贡献）。
动量的表达式很有用，稍作变形：h pλ=，这个公式代表了波动语言（左边）和粒子语言（右边）的对应关系。
如前所述，波函数本身没有物理意义，但其绝对值的平方代表发现粒子的几率密度，这叫做波函数的统计解释（或玻恩解释）。
因此粒子的平均位置：2x x dx ψ=⎰。
用波函数的统计解释，可以很容易地理解费曼双缝实验，单电子通过双缝，可用波函数12ψψψ=+表示，这里的1和2并不是表示1、2两个电子，单电子意味着只有一个电子，1ψ和2ψ都是这个电子波函数的一部分，1 对应的是上缝，2对应的是下缝。
