有理函数之积分(部分分式法)

§6.3 有理函数的积分法（1）【导语】 【正文】一、有理函数的积分设()n P x 与()m Q x 分别是n 次和m 次多项式，则称()()m n Q x P x 为有理函数； 当m n <时，()()m n Q x P x 称为真分式；当m n ≥时，()()m n Q x P x 称为假分式． A ax b +，()k A ax b +，2Bx C px qx r +++，2()kBx Cpx qx r +++称为最简分式（部分分式）． 定理6（多项式除法定理）任意一个假分式都可以表示成一个多项式与一个真分式之和．当m n ≥时，设()()()()()m n n Q x R x S x P x P x =+，则 ()()d ()d d ()()m nn Q x R x x S x x x P x P x =+∫∫∫． Remark 有理函数的积分问题转化为真分式的积分问题！（一）分母为一次重因式的真分式的积分法例1 求积分2353d (2)x x x ++∫．解 令 232353(2)2(2)(2)x A B Cx x x x +=++++++． 将右端通分得22323353(2)(2)(2)2(2)(2)(2)x A B C A x B x Cx x x x x +++++=++=+++++． 比较两端分子对应项的系数得5,40,42 3.A A B A B C =+=++=解得 5,20,23.A B C ==− =所以23235352023(2)2(2)(2)x x x x x +=−+++++， 于是2353d (2)x x x ++∫2352023d d d 2(2)(2)x x x x x x =−++++∫∫∫ 220235ln 222(2)x C x x =++−+++． （二）分母为不同一次因式乘积的真分式的积分法对于d ()()cx dx x a x b +−−∫，可令()()cx d A Bx a x b x a x b+=+−−−−， 等式右端通分得()()()()()()cx d A B A x b B x a x a x b x a x b x a x b +−+−=+=−−−−−−．比较两端分子对应项的系数得待定系数A 和B 满足的一次方程组，求出,A B 的值．于是d d d ln ||ln ||()()cx dA Bx x x A x a B x b C x a x b x a x b +=+=−+−+−−−−∫∫∫． 例2 求积分2d (3)(5)x x x x −−−∫．解 令2(3)(5)35x A Bx x x x −=+−−−−． 等式右端通分得2()(53)(3)(5)35(3)(5)x A B A B x A B x x x x x x −+−+=+=−−−−−−． 比较两端分子对应项的系数得1,53 2.A B A B +=+=解得12A =−，32B =．所以13222(3)(5)35x x x x x −−=+−−−−． 于是2d (3)(5)x x x x −−−∫113113d(3)d(5)ln 3ln 5232522x x x x C x x =−−+−=−−+−+−−∫∫．（三）分母为二次多项式(没有实根)的真分式的积分法1．积分21d x x px q++∫假设240p q −<，则22211d d 4()24x x p q p x px q x =−++++∫∫．记2pu x =+，A21d x x px q ++∫221d u u A =+∫1arctan uA A=C ．2．积分2d (0)ax bx a x px q+≠++∫假设240p q −<，则2222(2)()d d d 2bb x x p p ax b a a a x a x x x px q x px q x px q+++−+==++++++∫∫∫ 222d()21()d 22a x px q a bp x x px q a x px q +++−++++∫∫ 2221ln()d 22a a bx px q p x ax px q+++− ++ ∫． （四）分母为二次重因式的真分式的积分法例3 求积分322221d (1)x x x x x −+++∫．解 令3211222222221(1)1(1)A x B A x B x x x x x x x x ++−+=+++++++． 等式右端通分得32321122111121122222222()()21(1)1(1)(1)A x B A x B A x A B x A A B x B B x x x x x x x x x x +++++++++−+=+=++++++++．比较两端分子对应项的系数得111121121,2,0,1.A A B A A B B B = +=− ++= += 解得11221,3,2,4.A B A B ==− = = 所以 32222222132(2)(1)1(1)x x x x x x x x x x −+−+=+++++++． 对于积分23d 1x x x x −++∫，有2231(21)7d d 121x x x x x x x x −+−=++++∫∫221d(1)7212x x x x ++−++∫217ln(1)22x x C ++−．对于积分222(2)d (1)x x x x +++∫，有2222222222(2)(21)3d(1)1d d 3d (1)(1)(1)(1)x x x x xx x x x x x x x x x +++++==+++++++++∫∫∫∫222113d 13(1)[()]24x x x x =−+++++∫，其中22212d 133[()]3()244x x C x x =++++∫． （Remark 对于22d ()n nxI a x =+∫，有122222122()n nn n x I I na na a x +−=++） 于是32222222132(2)d d d (1)1(1)x x x x x x x x x x x x x −+−+=+++++++∫∫∫222112ln(1)32(1)4x x x C x x x ++−+++++．（五）分母为一次因式与二次因式乘积的真分式的积分法 对于积分22d ()()bx cx d xx a x px q ++−++∫2(40)p q −<，令 222()()bx cx d A Bx Cx a x px q x a x px q+++=+−++−++． 等式右端通分后，根据分子相等得恒等式22()()()bx cx d A x px q Bx C x a ++≡++++−．比较两端对应项的系数得待定系数,,A B C 满足的一次方程组，求出,,A B C 的值． 于是22d ()()bx cx dxx a x px q ++−++∫22d d ln ||d A Bx C Bx C x x A x a x x a x px q x px q +++=−+−++++∫∫∫．Remark1 在上述积分问题中牵扯到的简单积是： （1）d Ax ax b+∫ln Aax b C a++； （2）()d kAxax b +∫11(1)()k A C a k ax b −+−+；(0,1)k k >≠ （3）22d (40)Bx Cx q pr px qx r+−<++∫“2211211d d 2211x x x x x x x x x ++=+++++∫∫”（4）22d (40,0,1)()kBx Cx q pr k k px qx r +−<>≠++∫“2211211d d 22(1)(1)k k x x x x x x x x x ++=+++++∫∫．Remark2A ax b +，()k A ax b +，2Bx C px qx r +++，2()kBx Cpx qx r +++称为最简分式． 定理7 设()()Q x P x 是一真分式，则其可表示成最简分式之和，且表示形式唯一． 设 221122111222()()()()()k l P x a x b a x b p x q x r p x q x r =++++++ ，则12211222222()()()()k k A A A Q x AP x a x b a x b a x b a x b =++++ ++++112222222111222222222()()l l l B x C B x C B x C Bx Cp x q x r p x q x r p x q x r p x q x r +++++++++ +++++++++ ．【本讲总结与下讲预告】。

部分分式展开法公式部分分式展开法公式是高等数学中常用的一种技巧，用于将一个分式拆分成多个分式之和的形式。

这种技巧在微积分、复变函数、常微分方程等领域都有广泛的应用。

一、部分分式展开法的基本思想部分分式展开法的基本思想是将一个分式表示成若干个分式之和的形式，其中每个分式的分母是不可约的一次多项式。

具体而言，对于一个有理函数 $frac{P(x)}{Q(x)}$，如果 $Q(x)$ 可以分解成若干个不可约的一次多项式的乘积，即 $Q(x) = (x - a_1)^{k_1} cdots (x - a_m)^{k_m}$，则我们可以将 $frac{P(x)}{Q(x)}$ 表示成如下形式的分式之和：$$frac{P(x)}{Q(x)} = frac{A_{1,1}}{x - a_1} + cdots +frac{A_{1,k_1}}{(x - a_1)^{k_1}} + cdots + frac{A_{m,1}}{x - a_m} + cdots + frac{A_{m,k_m}}{(x - a_m)^{k_m}}$$其中 $A_{i,j}$ 是待定系数，可以通过比较系数的方法求得。

这样，我们就成功地将一个分式展开成了若干个分式之和的形式，每个分式的分母都是不可约的一次多项式。

二、部分分式展开法的具体步骤部分分式展开法的具体步骤如下：1. 对于一个有理函数 $frac{P(x)}{Q(x)}$，首先将 $Q(x)$ 分解成不可约的一次多项式的乘积形式，即 $Q(x) = (x - a_1)^{k_1} cdots (x - a_m)^{k_m}$。

2. 对于每个不可约的一次多项式 $(x - a_i)^{k_i}$，分别列出如下形式的分式：$$frac{A_{i,1}}{x - a_i} + cdots + frac{A_{i,k_i}}{(x -a_i)^{k_i}}$$其中 $A_{i,j}$ 是待定系数。

求有理函数的不定积分中如何对分母因式分解就是在实数范围内分解因式，下面看如何做部分分式：R(x)=\frac{2x^4-x^3+4x^2+9x-10}{x^5+x^4-5x^3-2x^2+4x-8}=\frac{P(x)}{Q(x)}而分母可分解为 Q(x)=(x-2)(x+2)^2(x^2-x+1)预先求出 P(2)=48,P(-2)=28,P'(-2)=-83 是有好处的。

由此设部分分式 R(x)=\frac{A_0}{x-2}+\frac{A_1}{x+2}+\frac{A_2}{(x+2)^2}+\frac{Bx+C}{x^2 -x+1} (※)要求出 A_0 ,两端同乘 x-2 :(x-2)R(x)=\frac{P(x)}{(x+2)^2(x^2-x+1)}=A_0+(x-2)\Big[\frac{A_1}{x+2}+...\Big]令 x=2 可得： A_0=\frac{P(2)}{(2+2)^2(2^2-2+1)}=\frac{48}{48}=1为了求 A_1 , A_2 两端同乘 (x+2)^2 :\frac{P(x)}{(x-2)(x^2-x+1)}=A_1(x+2)+A_2+(x+2)^2\Big[\frac{1}{x-2}+...\Big](*)令 x=-2 直接得到： A_2=-1 ,而要求 A_1 ,必须对 (*) 式求一下导，然后再令 x=-2最右边一堆可以不管了，因为得0，就剩下了： A_1=\lim_{x \rightarrow -2}\Big[\frac{P(x)}{(x-2)(x^2-x+1)}\Big]’=\lim_{x \rightarrow -2}\Big[\frac{P(x)}{(x-2)(x^2-x+1)}\Big]\Big[\frac{P'(x)}{P(x)}-\frac{1}{x-2}-\frac{2x-1}{x^2-x+1}\Big]=\Big[\frac{28}{-28}\Big]\Big[-\frac{83}{28}+\frac14+\frac57\Big]=\Big[-1\Big]\Big[-\frac{83}{28}+\frac{27}{28}\Big]=\frac{56}{28}=2为了求 Bx+C ,在(※)式两端同乘 (x^2-x+1) :\frac{P(x)}{(x-2)(x+2)^2}=Bx+C+(x^2-x+1)\Big[\frac1{x-2}+...\Big]令 x^2-x+1=0 可得： Bx+C=\frac{2x^4-x^3+4x^2+9x-10}{(x-2)(x^2+4x+4)}|_{x^2-x+1=0}分子可以用长除法得出：2x^4-x^3+4x^2+9x-10=(2x^2+x+3)(x^2-x+1)+11x-13Bx+C=\frac{11x-13}{(x-2)(5x+3)}=\frac{11x-13}{5x^2-7x-6}=\frac{11x-13}{5(x-1)-7x-6}=\frac{11x-13}{-2x-11}\frac{2x-13}{2x-13}=\frac{22x^2-169x+169}{-4x^2+4x+143}=\frac{22(x-1)-169x+169}{-4(x-1)+4x+143}=\frac{-147x+147}{147}=-x+1所以： R(x)=\frac{2x^4-x^3+4x^2+9x-10}{(x-2)(x+2)^2(x^2-x+1)}=\frac1{x-2}+\frac2{x+2}-\frac1{(x+2)^2}+\frac{1-x}{x^2-x+1}可见求Bx+C 相当麻烦，其实用特殊值法就行，在A_0,A_1,A_2 已经求出的条件下,令 x=0 ,可得方程：\frac54=-\frac12+1-\frac14+C,C=1 ,求 B 可以用x=\infty ,在两端乘以 x ,再令 x\rightarrow\infty 可得方程： 2=1+2+B,B=-1。

1.有理函数的积分有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，一般形式为其中都是常数，为非负整数。

我们只需考虑真分式的积分，先来考虑两种特殊类型：（Ⅰ）这种类型是容易积出来的，（Ⅱ）作适当换元（令）,可化为上式右端第一个不定积分可用凑微分法积出来为：对第二个不定积分，记用分部积分法可导出递推公式：整理得重复使用递推公式，最终归结为计算而可积出来为这样就可完成对不定积分（Ⅱ）的计算。

对任一个有理函数而言，均可写成一个多项式与一个有理真分式的和，而多项式的积分问题已经解决，下面主要考虑有理真分式(不妨设)的积分问题。

为叙述简便，不妨设．其方法是将化成许多简单分式（即类型（Ⅰ）、（Ⅱ））的代数和然后逐项积分。

由于类型（Ⅰ）、（Ⅱ）总是可“积出来”的，从面有理函数总是可以“积出来”。

下面简述分解有理真分式（）的步骤：第一步按代数学的结论，将分母分解成实系数的一次因式与二次因式的乘幂之积。

其中均为自然数。

第二步根据因式分解结构，写出的部分分式的待定形式：对于每个形如的因式，所对应的部分分式为对于每个形如的因式，所对应的部分分式为把各个因式所对应的部分分式加起来，就完成了对的部分分式分解。

第三步确定待定系数：通分后比较分子上的多次式的系数，得待定系数的线性方程组，由此解得待定系数的值。

例8.13 求2.三角函数有理式和积分由及常数经过有限次四则运算所得的函数称为关于的有理式（或三角函数有理式）。

用表示对于这种函数的不定积分我们总可通过代换，化为以为变量的有理函数的积分。

理由是，，，又，故从而上面的讨论说明：三角函数有理式也总是可以“积出来”的，但对具体问题而言，用上述方法往往计算量太大，因此，有时要考虑用其它简便方法。

（1）如果是的奇函数时，即则设即可。

例如求（1）；（2）．（2）如果是的奇函数时，即则设即可。

例如求．（3）如果是关于与的偶函数时，即则设即可。

例如求（1）；（2）．（4）请研究被积函数为（为自然数）时的情况。