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有理函数积分待定系数法有理分式的积分可以使用待定系数法进行求解，具体步骤如下：1. 将有理分式进行部分分式分解。
例如，对于形如$$\frac{N(x)}{D(x)} = \frac{N_1(x)}{D_1(x)} + \frac{N_2(x)}{D_2(x)} + \cdots + \frac{N_k(x)}{D_k(x)}$$的有理分式，其中$N(x)$和$D(x)$分别为分子和分母多项式，$N_1(x)$和$D_1(x)$等为部分分式形式。
2. 根据部分分式的形式进行计算。
对于每一项$\frac{N_i(x)}{D_i(x)}$，可以使用待定系数法进行计算。
若$D_i(x)$的次数大于$N_i(x)$的次数，则可设$\frac{N_i(x)}{D_i(x)} = \frac{A_{i1}}{D_{i1}(x)} + \frac{A_{i2}}{D_{i2}(x)} + \cdots + \frac{A_{im_i}}{D_{im_i}(x)}$，其中$D_{ij}(x)$的次数小于$D_i(x)$的次数。
若$D_i(x)$的次数等于$N_i(x)$的次数，则可设$\frac{N_i(x)}{D_i(x)} = \frac{A_{i1}x + B_{i1}}{D_{i1}(x)} + \frac{A_{i2}x + B_{i2}}{D_{i2}(x)} + \cdots + \frac{A_{im_i}x + B_{im_i}}{D_{im_i}(x)}$。
3. 将部分分式进行通分，整理等式。
4. 将所得等式两边同时积分。
例如，对于每一个部分分式$\frac{A_{ij}x + B_{ij}}{D_{ij}(x)}$，可以通过先对其分子进行展开得到$\frac{A_{ij}x}{D_{ij}(x)} + \frac{B_{ij}}{D_{ij}(x)}$。
然后，可通过分别使用常数乘法法则和有理函数法则进行积分，最终得到对应的积分结果。
第21讲 理函数的不定积分一、有理函数的不定积分有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为mm mn n n xxx x x Q x P x R βββααα++++++==-- 110110)()()(， (1)其中，m 为n 非负整数，n ααα,,,10 与m βββ ,,10都是常数，且00≠α，00≠β． 若n m >，则称它为真分式；若n m ≤，则称它为假分式．由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和．由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分，故设(1)为一有理真分式． 根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解)．因而问题归结为求那些部分分式的不定积分．为此，先把怎样分解部分分式的步骤简述如下(可与例1对照着做)： 第一步 对分母()x Q 在实系数内作标准分解： ()()()()()tt t s q p x q x p xa x a x x Q μμλλ++++--=21121121， （2）其中()t iji ,,2,1,1,0 ==μλβ均为自然数，而且.,,2,1,04;2211t j q p m j j si tj ji =-=+∑∑==μλ第二步 根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如()ka x -的因式，它所对应的部分分式是 ()();221kka x A a x A ax A -++-+-对每个形如()kq px x ++2的因式，它所对应的部分分式是()().22222211kkk q px xC x B q px xC x B qpx x C x B ++++++++++++把所有部分分式加起来，使之等于()x R ．(至此，部分分式中的常数系数i i i C B A ,,尚为待定的.)第三步 确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母()x Q ，而其分子亦应与原分子()x P 恒等．于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数．例1 对()8425109422345234-+--+-++-=x x x x x x x x x x R 作部分分式分解解 按上述步骤依次执行如下：()=x Q 84252345-+--+x x x x x ()()().12222+-+-=x x x x部分分式分解的待定形式为()().122222210+-++++++-=x x C Bx x A x A x A x R （3）用()x Q 乘上式两边，得一恒等式()()1210942220234+-+≡-++-x x x A x x x x +()()()()()121222221+--++-+-x x x A x x x x A+()()()222+-+x x C Bx （4）然后使等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=--+=+----=+++-=++常数项的系数，的系数，的系数，的系数 .1082449483442433123,22102122103210410C A A A x C B A A x C B A A A x C B A A A x B A A 求出它的解：1,1,1,2,1210=-=-===C B A A A ，并代人(3)式，这便完成了)(x R 的部分分式分解：.11)2(12221)(22+---+-++-=x x x x x x x R上述待定系数法有时可用较简便的方法去替代．例如可将x 的某些特定值(如0)(=x Q 的根)代人(4)式，以便得到一组较简单的方程，或直接求得某几个待定系数的值．对于上例，若分别用2=x 和2-=x 代人(4)式，立即求得1120-==A A 和，于是（4）式简化成为)1)(2)(2(161232134+-+-=-+-x x x x A x x x .)2)(2)((2+-++x x C Bx为继续求得C B A ,,1，还可用x 的三个简单值代人上式，如令1,1,0-=x ，相应得到⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+.83,233,42111C B A C B A C A 由此易得1,1,21=-==C B A ．这就同样确定了所有待定系数． 一旦完成了部分分式分解，最后求各个部分分式的不定积分．由以上讨论知道，任何有理真分式的不定积分都将归为求以下两种形式的不定积分：⎰-I ka x dx)()(；()⎰<-+++I I )04()(22q p dx q px x M Lx k．对于()I ，已知()()⎪⎩⎪⎨⎧>+--=+-=--⎰.1,11,1,ln )(1k C a x k k C a x a x dx k k对于()II ，只要作适当换元(令2p x t +=)，便化为()⎰⎰++=+++dt rtNLt dx q px xMLx kk222)(⎰⎰+++=,)()(2222kkr t dt N dt r t t L （5）其中.2,422L p M N pq r-=-=．当1=k 时，（5）式右边两个不定积分分别为⎰++=+C r t dt rtt)ln(212222，.a r c t a n 122C rtr rtdt+=+⎰ （6） 当2≥k 时，（5）式右边第一个不定积分为C r t k dt r t tk k++-=+⎰-12222))(1(21)(.对于第二个不定积分，记 ,)(122⎰-+=k k r tdtI 可用分部积分法导出递推公式如下：dt r t t r t rI kk ⎰+-+=)()(1222222⎰+-=-dt r ttrI rkk )(11222212⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=--122212)(1)1(211k k r t td k r I r.)()1(2111122212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=---k k k I r t tk r I r 经整理得到.)1(232))(1(2121222----++-=k k k I k r k r t k r tI （7）重复使用递推公式(7)，最终归为计算1I ，这已由(6)式给出. 把所有这些局部结果代回(5)式，并令2p x t +=，就II ）的计算．例2 求.)22(1222dx x xx ⎰+-+解：在本题中，由于被积函数的分母只有单一因式，因此，部分分式分解能被简化为222222)22()12()22()22(1+--++-=+-+x x x x x x x x .)22(12221222+--++-=x x x x x现分别计算部分分式的不定积分如下：.)1arctan(1)1()1(22122C x x x d x x dx +-=+--=+-⎰⎰dx x xx dx x xx ⎰⎰+-+-=+--2222)22(1)22()22(12++-+-=⎰222)22()22(x xx x d []⎰+--221)1()1(x x d.)1(221222⎰+++--=tdtx x由递推公式（7）,求得其中⎰⎰+++=+121)1(2)1(2222tdtt t t dt .)1arctan(21)22(2122C x x x x +-++--=于是得到.)1a r c t a n (23)22(23)22(12222C x x x x dx x xx +-++--=+-+⎰二、三角函数有理式的不定积分⎰dx x x R )cos ,(sin 是三角函数有理式的不定积分。
由十个例题掌握有理分式定积解法【摘要】 当被积函数为两多项式的商P(x)的有理函数时，解法各种各样、不易掌握，Q( x)在此由易到难将其解法进行整理、总结【关键词】有理分式 真分式 假分式 多项式除法 拆项法 凑微分法 定积分两个多项式的商P xP x称为有理函数，又称为有理分式，我们总假定分子多项式Q x与分母多项式 Q x 之间无公因式，当分子多项式P x 的次数小与分母多项式Q x ，称有理式为真分式，否则称为假分式.1. 对于假分式的积分： 利用多项式除法， 总可将其化为一个多项式与一个真分式之和的形式 .例3x 4 2x 21.1x 2 1dx解 原式3x 2 x21 x 2x21dx3x2dx x 2 dxx 2 13 x2dx 1 x 2 1 dx1 3 x2dx dx1 dxx 3 x21x arctanx C2x 4x 2 3 例 1.221 dxx2x 2 x 2 13 x2 dx解 原式x212 x 2dx 31 1 dx x2 dxx 2x 2 12 x 34arctan x x C31总结：解被积函数为假分式的有理函数时， 用多项式出发将其化简为多项式和真分式之和的形式，然后进行积分 . 对于一些常见函数积分进行记忆，有助于提高解题速度，例如：x 2 dx1 1dxx 2 1 x 2 1P x 对于真分式，若分母可分解为两个多项式乘积Q x = Q 1 x Q 2 x ，且 Q 1x ，Q xP x P xP xQ 2 x 无公因式，则可拆分成两个真分式之和：12，上述过程称为Q xQ 1 x Q 2x把真分式化为两个部分分式之和. 若 Qx 或 Q x 再分解为两个没有公因式的多项式乘12积，则最后有理函数分解式中出现多项式、P 1 xk、P 2 x 等三类函数，则多项xx 2px la q式的积分容易求的2. 先举例，有类型一、类型二、类型三，以此为基础求解较复杂的真分式积分2.1类型一(ax b) mdxcxkx31dx例 2.1.1x2解 原式 =x 33x23x1dxx 2= xdx3 dx 31dx 1dxx x 2= 1x 2 3x 3In x 1 C 2x总结：当被积函数多项式与单项式相乘的形式，将其进行化简，使被积函数为简单幂函数，然后利用常见积分公式进行运算2.2类型二cx kax m dxbx 2例 2.2.13 dxx2解 令 x+2=t , 则 xt 2 ， 有 dx dt2t 2原式 = 2dxt 3= t24t4dtt 3= 14 11 dt t2 dt43 dttt=Int+ 4 - 2+Ct t 2=I n x 242Cx 2x 2 2总结：当被积函数形如时cxkm dx ，将其用换元法转换为ax b解法求解2.3 类型三P x l dxax 2bx c例 2.3.1x 32dxx 22x2原式 =x 32 dtx 1 21设=tant,x=tant+1,dx=set2x-1tdt3上式 =1+tantset 2tdtset 2t= tan 3 t 3tan 2 t 3tan t 1dtset 2t = sin 3 t cos 1 t 3sin t cost 3sin 2 t cos 2 t dtm(axb)dx ，再按照后者cx k=- 1 cos 2t costd cost +3sin 2tdt dt cos2tdt4=-Incost + 1cos 2t+2t+2sintcost2 1x 1Q tant=x-1, cost=2,sint= 2x 1 1x1 1上式122x 22 x 214 2arctan x 1 x 2 2x 2C= 2 In x4x 2x 23例2.3.2x 1 dxx 2 2x132x22=2dx22x 3x=1x 21 3 d x 22x 3 -212 dx 2 2 xx 1 2= 1In x22x 3 - 2arttanx 1+C22总结：当被积函数分母含有 ax 2 +bx+c 时，可以用凑微分法进行积分 ；对于形如 ax 2 lbx+c 时，可将其变形为 T 2 x +1或者是1-T 2 x ,然后利用三角函数恒等变形 sin 2x+cos 2x=1和1+tan 2x=set 2x 将T 2 x 降次，便于计算 .3. 以前面的几种简单类型为基础，现在来讨论较为复杂的有理真分式的积分例 3.1 2x+3dx2 3x 10x解法 12x+3 dx2 3x 10x =x 21d x 2 3x 103x 10=In x 23x 10 +C解法 22x+3dxx 23x102x+3 10 = 2x+3 = A + B 2 x 2 3x x+5 x 2 x 5 x =A B x 5B 2A1 1x 5 x 2x 5 x 2原式 =11dxx5 x 2=In x 23x 10 +C总结： 假分式分母可以因式分解， 将被积函数化为部分分式之和的形式， 然后用基本积分公4式进行运算 .x2 dx例 3.22x 1x 2 x 1原式 =2xdx2x 1 x 2 x111 2x 1 1=d 2x 1 - 2x 2 x 2dx 2x 11=1 d 2x 11x21 d x 2x 1112dx 2x 12 x121 3x24=In2x 1 - 1In x2x 1+ 1arctan x1+C232总结：遇到被积函数是复杂的有理函数，用拆分法将其分解为自己熟悉的函数，灵活变换.x 3dx 例 3.3x 2x 1 1=x 3dxx 2x11x 2 1 dxx 2 2x 1 x11 2x 2112 dxx 22xdx1 x11 x2 1 d x22x 11 2 dx1dx 2 2x 1x 1x1Inx1 x 1 Cx 11总结： 此题能够得出一个重要结论， 分母因式分解要求为各个因式之间无公约数，以此为标 准进行因式分解，拆项除此之外， 常见的还有， 可化为有理函数的积分 . 例如利用三角函数的万能公式，将被积函数中含有三角函数的分式函数，例：1+sin xdx . 例如被积函数中含有cos xsin x 1nax b 或 nax b时用换元法将根号去掉，例：x 1 xdx ， 1dx . 虽然形式cxd1 x3x15各种各样 , 但只要熟练掌握以上各种类型的积分，那么在被积函数为有理分式函数时应对起来应当是信手拈来，甚是轻松6。
