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分式递推数列一般式推导
分式递推数列一般式推导是指通过对分式递推序列进行递归求解，得到其通项公式的过程。
其推导基于以下两个假设：
1.分式递推数列具有递推性质，即每一项都可以通过前面的若干
项和固定的常数项组合而成。
2.分式递推数列满足某种特定的数学规律，可通过这种规律来推
导其通项公式。
具体的推导步骤如下：
1.确定初始项和递推公式
对于一个分式递推数列来说，我们需要先确定它的初始项，即第
一项的值，和递推公式，即每一项与前面一定项的关系式。
2.写出前几项的数值
利用递推公式，我们可以递归地计算出前几项的数值，用于验证
后续的通项公式。
3.推导通项公式
通过数学归纳法证明分式递推序列的通项公式，推导出其通项公式。
4.验证通项公式的正确性
利用通项公式，我们可以验证分式递推数列中任意一项的值是否符合计算公式。
在推导分式递推数列一般式时，我们需要充分利用数学知识，运用常用的数学方法和技巧，以求得正确的结果。
递推公式和通项公式递推公式和通项公式是数学中常用的两种表示数列的方式。
数列是按照一定规律排列的一系列数值，比如斐波那契数列、等差数列等都是数学中常见的数列。
递推公式是通过前面的项得出后面的项，而通项公式则是通过数列中任意一项的下标得到这一项的数值。
下面将详细介绍递推公式和通项公式的概念、计算方法以及应用。
一、递推公式递推公式是通过前面的项推导出后面的项的公式，通常用于描述数列的规律。
递推公式的形式可以是直接递推公式和间接递推公式。
1.直接递推公式直接递推公式是根据数列中前面的若干项直接计算出后面其中一项的公式。
以斐波那契数列为例，斐波那契数列的递推公式为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F表示数列中的项数，n表示项数的下标，n-1表示前一项的下标，n-2表示前两项的下标。
根据这个递推公式，可以依次计算出数列中后续的项。
2.间接递推公式间接递推公式是通过数列中前面的项与后面的项的关系间接推导出后面其中一项的公式。
以等差数列为例，等差数列的递推公式为：an = a1+ (n-1)d，其中a表示数列中的项数，n表示项数的下标，a1表示首项，d表示公差。
根据这个递推公式，可以通过首项和公差来计算出数列中后续的项。
二、通项公式通项公式又称为数列的通项公式、一般项公式或通项公式，是通过数列中任意一项的下标得到这一项的数值的公式。
通项公式可以直接计算出数列中任意一项的数值，而不需要通过前面的项来逐步推导。
通项公式的形式可以是显式通项公式和递推通项公式。
1.显式通项公式显式通项公式是通过数列中任意项的位置直接计算该项的数值的公式。
以等差数列为例，等差数列的显式通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列中第n项的数值，a1表示首项，d表示公差。
根据这个公式，可以直接计算出数列中任意一项的数值。
2.递推通项公式递推通项公式是通过数列中前面的若干项推导出后面其中一项的数值的公式。
递推通项公式通常是基于递推公式得到的。
好的，我将为您介绍有理真分式的不定积分。
首先，什么是有理真分式？有理真分式是指分子和分母都是多项式的分式。
例如，$\frac{x^2 + 1}{x+2}$ 就是一个有理真分式。
对于有理真分式的不定积分，我们可以分为两种情况来讨论：分母因式分解后含有线性因式和二次因式的情况。
一、分母因式分解后含有线性因式的情况设有理真分式的分母为 $ax+b$，其中 $a$，$b$ 均为实数且$a\neq0$。
这时我们可以将分母进行因式分解，得到：$$\frac{px+q}{ax+b}$$其中 $p$ 和 $q$ 为实数常量。
接下来，我们需要考虑如何对这个式子进行积分。
我们可以通过一些代换或分离因式的方法将其变形为较为简单的形式，再进行积分。
这里介绍一种常用的方法——部分分式分解法。
部分分式分解法是将有理真分式分解为若干个分式相加的形式，从而使每个分式都可以通过基本的积分公式进行积分。
它的具体步骤如下：1. 对于分母含有 $(ax+b)$ 这样的一次因式的有理真分式，我们可以将其表示为$$\frac{p}{ax+b}=\frac{A}{ax+b}$$其中$A$ 是一个待定的常数。
将这个等式两边同乘$(ax+b)$，得到$$p = A(ax+b)+R$$其中 $R$ 是一个不含 $(ax+b)$ 的多项式。
将 $x$ 分别取不同的值，可以得到一系列关于$A$ 和$R$ 的方程，从而求出$A$ 和$R$。
2. 对于分母含有 $(ax^2+bx+c)$ 这样的二次因式的有理真分式，我们可以将其表示为$$\frac{p}{ax^2+bx+c}=\frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}$$其中$A$ 和$B$ 是待定常数。
将这个等式两边同乘$(ax^2+bx+c)$，得到$$p = (Ax+B)(ax^2+bx+c)+R$$其中 $R$ 是一个不含 $(ax^2+bx+c)$ 的多项式。
同样地，将$x$ 分别取不同的值，可以得到一系列关于 $A$、$B$ 和 $R$ 的方程，从而求出 $A$、$B$ 和 $R$。
第十讲:分式递推分式递推数列特指数列{a n }:a 1=t,a n+1=.其通项求解有如下四种类型.1.基本类型(Ⅰ)例1:(2008年陕西高考试题)(理)己知数列{a n }的首项a 1=53,a n+1=123+n na a ,n=1,2,…. (Ⅰ)求{a n }的通项公式; (Ⅱ)证明:对任意的x>0,a n ≥)32()1(1112x x x n -+-+,n=1,2,…; (Ⅲ)证明:a 1+a 2+…+a n >12+n n . 解析:(Ⅰ)由a n+1=123+n n a a ⇒3213111+⋅=+n n a a ⇒)11(31111-=-+n n a a ⇒n a 1-1=2(31)n ⇒a n =233+n n ; (Ⅱ)令f(x)=)32()1(1112x x x n -+-+⇒f '(x)=-2422)1()32(2)1()1(2)32()1()1(1x x x x x x x n n +-=++⋅--+--+⇒f(x)的最大值=f(n 32)=a n ; (Ⅲ)令{b n }的前n 项和为12+n n ,则b n =)1(1)1(+-+n n n n =1-)1(1+n n ,因a n =233+n n =1-232+n ,所以,a n >b n ⇔)1(1+n n >232+n⇔3n+2>2n(n+1),令g(x)=3x+2-2(x 2+x)(x ≥3)⇒g '(x)=3xln3-2(2x+1)⇒g ''(x)=3xln 23-4>0⇒g '(x)≥g '(3)>0⇒g(x)≥g(3)>0⇒当n ≥3时,a n >b n 且g(1)+g(2)>0⇒a 1+a 2>b 1+b 2,所以,a 1+a 2+…+a n >12+n n . [思想方法]:数列{a n }:a 1=x,a n+1=c ba aa n n +的通项,可由a n+1=c ba aa n n +两边取倒数得:11+n a =c n a 1+ab,通过换元x n =n a 1得:x n+2=cx n +a b ,由此求解.一般地,如果x n =n a 1,则x n+2=px n +f(n)⇔a n+1=pa n f a n n+)(.类题:1.(2008年陕西高考试题)(文)己知数列{a n }的首项a 1=32,a n+1=12+n n a a ,n=1,2,….(Ⅰ)证明:数列{n a 1-1}是等比数列; (Ⅱ)求数列{na n}的前n 项和S n . 2.(2006年江西高考试题)己知数列{a n }满足:a 1=23,且a n =12311-+--n a na n n (n ≥2,n ∈N*).(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)证明:对一切正整数n,不等式a 1a 2…a n <2×n！恒成立.2.基本类型(Ⅱ)例2:(原创题)己知数列{a n }:a 1=2,a n+1=1223--n n a a .(Ⅰ)求{a n }的通项公式; (Ⅱ)证明:a 1a 2…a n >12+n .解析:(Ⅰ)因数列{a n }的特征方程x=1223--x x 只有一根x=1.故由a n+1=1223--n n a a ⇒111-+n a =112231---n n a a ⇒111-+n a =112--n n a a⇒111-+n a =11-n a +2.令b n =11-n a ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-=++111111111n n a b a b ⇒b n+1=b n +2⇒{b n }是以b 1=1为首项公差为2的等差数列⇒b n = 2n-1⇒11-n a =2n-1⇒a n =1+121-n ;(Ⅱ)令数列{x n }的前n 项的积为12+n ⇒x 1=3,x n+1=1232++n n ⇒x n =1212-+n n .而a n >x n ⇔1+121-n >1212-+n n ⇔122-n n>1212-+n n ⇔122-n n >12+n ⇔2n>1)2(2-n ,这是显然成立的,故a n >x n >0⇒a 1a 2…a n >x 1x 2…x n =12+n .[思想方法]:若数列{a n }:a 1=x,a n+1=c ba aa n n+的特征方程=x 只有一根α,则数列{}是以α-t 1为首项,公差为的等差数列,特别地,当α=1时,a n =1+ban +1. 类题:1.(原创题)数列{a n }满足:a 1=2,a n+1=2334--n n a a .(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)求证:a 1a 2…a n >313+n . 2.(2008年佛山第一次质检试题)数列{a n }满足:a 1=21,a n+1=n a -21.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)设数列{a n }的前n 项和为S n ,证明:S n <n-ln(22+n ). 3.基本类型(Ⅲ)例3:(2007年全国I 高考试题)己知数列{a n }中,a 1=2,a n+1=(2-1)(a n +2),n=1,2,3,….(Ⅰ)求{a n }的通项公式; (Ⅱ)若数列{b n }中,b 1=2,b n+1=3243++n nb b,n=1,2,3,….证明:2<b n ≤a 4n-3,n=1,2,3,….解析:(Ⅰ)a n+1=(2-1)(a n +2)⇒a n+1-2=(2-1)(a n -2),所以,数列{a n -2}是以a 1-2=2-2=2(2-1)为首项,以2-1为公比的等比数列⇒a n -2=2(2-1)(2-1)n-1=2(2-1)n ⇒a n =2(2-1)n+2;(Ⅱ)令f(x)=3243++x x ,由f(x)=x 得x=±2,所以22223223)234()223()234()223(23243232432211+-⋅+-=+++-+-=+++-++=+-++n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b =(2-1)422+-⋅n n b b , 所以,数列{22+-n n b b }是以为(2-1)2首项,公比为(2-1)4的等比数列⇒22+-n n b b =(2-1)4n-2⇒b n =22424)12(1)12(1-----+n n . 首先,2<b n ⇔2<22424)12(1)12(1-----+n n ⇔1-(2-1)4n-2<1+(2-1)4n-2⇔2(2-1)4n-2>0;其次,b n ≤a 4n-3⇔22424)12(1)12(1-----+n n≤2(2-1)4n-3+2⇔2424)12(1)12(1-----+n n ≤(2-1)4n-3+1(令(2-1)4n-2=t,则t ∈(0,1))⇔tt-+11≤(2+1)t+1⇔0≤t ≤ (2-1)2.[思想方法]:数列{a n }满足:a 1=t,a n+1=,若特征方程=x 有两根α,β,则数列{}是以βα--t t 为首项,公比为βαb t b t --的等比数列. 类题:1.(2005年重庆高考试题)数列{a n }满足:a 1=1,且8a n+1a n -16a n+1+2a n +5=0(n ≥1).记b n =211-n a (n ≥1).(Ⅰ)求b 1,b 2,b 3,b 4的值; (Ⅱ)求数列{b n }的通项公式及数列{a n b n }的前n 项和S n . 2.(2006年江西高考试题)己知各项均为正数的数列{a n }满足:a 1=3,且1122++--n n nn a a a a =a n a n+1,n ∈N*.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,T n =211a +221a +…+21n a ,求S n +T n ,并确定最小正整数n,使S n +T n 为整数.4.基本类型(Ⅳ)例4:(2010年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设复数列{x n }满足x n ≠a-1,0,且x n+1=1+n nx ax .若对任意n ∈N +都有x n+3=x n , 则a 的值是 .解析:由x n+1=1+n n x ax ⇒x n+3=122+++n n x ax =1)1(112++++n n x a x a =1)1(23+++n n x a a x a =x n 恒成立,即a 3=(a 2+a+1)x n +1⇒因为x n ≠a-1,或0,故a 2+a+1=0⇒a=231i ±-.[思想方法]:数列{a n }满足:a 1=t,a n+1=,若特征方程=x 无实根,则数列{a n }是周期数列. 类题:1.①(2011年第22届希望杯全国数学邀请赛高一试题)已知数列{a n }满足a 1=2,a n+1=-11+n a ,则a 2010的值为______. ②(2005年全国高中数学联赛河南初赛试题)数列{a n }中,a 1=2,a n+1=nna a -+11,则a 2005的值为____________. ③(2004年第15届希望杯全国数学邀请赛高二试题)数列{a n }中,a 1=1,a n+1=313+-n n a a (其中n ∈N*),a 2004= .2.(2009年全国高中数学联赛四川初赛试题)设数列{a n }满足:a 1=2,a n+1=1-na 1.记数列{a n }的前n 项之积为P n ,则P 2009的值为 .5.换元技巧例5:(2005年重庆高考试题)数列{a n }满足:a 1=1,且8a n+1a n -16a n+1+2a n +5=0(n ≥1).记b n =211-n a (n ≥1).(Ⅰ)求b 1,b 2,b 3,b 4的值;(Ⅱ)求数列{b n }的通项公式及数列{a n b n }的前n 项和S n .解析:(Ⅰ)由8a n+1a n -16a n+1+2a n +5=0⇒a n+1=16852+-+n n a a ,令16852+-+x x =x 得x=21,45.所以,452111--++n n a a =45168522116852-+-+-+-+a a a a n n = ⋅214521--nn a a ⇒4521--n n a a =-2(21)n-1⇒a n =1)21(221)21(51++-n n =n n 24251++-⇒b n =211-n a =32(2n-1+2)⇒b 1=2,b 2=38,b 3=4,b 4=320; (Ⅱ)由b n =211-n a ⇒b n (a n -21)=1⇒a n b n =21b n +1=31×2n-1+35⇒S n =31(2n -1)+35n. 另解:由b n =211-n a ⇒b 1=2,且a n =n b 1+21⇒a n+1=11+n b +21,代入8a n+1a n -16a n+1+2a n +5=0得:8(11+n b +21)(n b 1+21)-16(11+n b +21)+2(n b 1+21)+5=0⇒4+3b n+1=6b n ⇒b n+1-34=2(b n -34)⇒数列{b n -34}是以32为首项,公比为2的等比数列⇒b n -34=32×2n-1⇒b n =32(2n-1+2)⇒b 1=2,b 2=38,b 3=4,b 4=320.[思想方法]:数列{a n }满足:a 1=t,a n+1=,若特征方程=x 有两个实根α,β⇒α+β=cd a -,αβ=-cb .40 第十讲:分式递推令b n =α-n a 1⇒b n+1=α-+11n a ⇒11+n b +α=d b c b b a nn ++++)1()1(αα⇒(c α-a)b n+1+(c α+d)b n +c=0,从而转化为线性递推数列. 类题:1.(原创题)己知数列{a n }满足:a 1=1,a n+1=122++n n a a .记b n =11+n a . (Ⅰ)求数列{b n }的通项公式b n ; (Ⅱ)求数列{nb n }的前n 项和S n .2.(2009年全国高中数学联赛陕西初赛试题)数列{a n }满足:a 1=4,a n+1a n +6a n+1-4a n -8=0,记b n =26-n a ,n ∈N *.(Ⅰ)求数列{b n }的通项公式; (Ⅱ)求数列{a n b n }的前n 项和S n .6.通项不等式例6:(2005年辽宁高考试题)己知函数f(x)=13++x x (x ≠-1).设数列{a n }满足:a 1=1,a n+1=f(a n ),数列{b n }满足:b n =|a n - 3|,S n =b 1+b 2+…+b n (n ∈N*).(Ⅰ)证明:b n ≤12)13(--n n; (Ⅱ)证明:S n <332. 解析:(Ⅰ)令f(x)=x ⇒x=3±,由3331313133133)(3)(3311+-⋅+-=+++-++=+-=+-++n n n n n n n n n n a a a a a a a f a f a a =-(2-3)33+-n n a a ⇒33+-n n a a =(3-2)n⇒a n =3nn )23(1)23(1---+⇒b n =|a n -3|=3|nn )23(1)23(2---|,所以,b n ≤12)13(--n n⇔3|nn )23(1)23(2---|≤12)13(--n n⇔3×2n (2-3)n≤(3-1)n|1-(3-2)n|⇔3(3-1)2n≤(3-1)n|1-(3-2)n|⇔3(3-1)n≤|1-(3-2)n|⇔3(3-1)n≤1-(2-3)n(n 为偶数)⇔3(3-1)n+(2-3)n≤1⇔3(3-1)2+(2-3)2≤1;(Ⅱ)由(I)知b n ≤12)13(--n n=21n )213(-⇒S n <21[213-+(213-)2+…+(213-)n ]=21[2131)213(1213-----n]<332. 另解:由a n+1=f(a n )＝13++n n a a ⇒a n+1=1+12+n a ≥1,b n+1=|a n+1-3|=|13++n n a a -3|=113+-n a |a n -3|≤213-b n ⇒b n ≤ 213-b n-1≤(213-)2b n-2≤…≤(213-)n-1b 1=12)13(--n n. [思想方法]:数列{a n }满足:a 1=t,a n+1=,特征方程=x.若特征方程有两个实根α,β⇒α+β=c d a -,αβ=-cb.令b n =|a n -α|⇒b n+1=|a n+1-α|=|-α|=||||d ca d c n ++β|a n -α|=||||d ca d c n ++βb n .若||||d ca d c n ++β≤M,则b n ≤M n-1b 1.类题:1.(原创题)己知数列{a n }满足:a 1=2,a n+1=3243++n n a a ,数列{b n }满足:b n =|a n -2|,S n =b 1+b 2+…+b n (n ∈N*).(Ⅰ)证明:b n ≤2(2-1)4n-3; (Ⅱ)证明:S n <412+. 2.(原创题)己知数列{a n }满足:a 1=2,a n+1=124+-n n a a ,数列{b n }满足:b n =|a n -1|,S n =b 1+b 2+…+b n (n ∈N*). (Ⅰ)证明:b n ≤3n-1(2-1)n; (Ⅱ)证明:S n ≤22×3n ×(2-1)n-1.。
