第三章随机过程作业

第三章随机过程作业1. 设A 、B 是独立同分布N(0,σ2)的随机变量，求随机过程{X t =At +B,t ∈R 1}的均值函数、自相关函数和协方差函数。

2. 设{X t ,t ≥a}是独立增量过程，且X a =0，方差函数为σX t 2。

记随机过程Y t =kX t +c ，k 、c 为常数，c≠0。

（1） 证明Y t 是独立增量随机过程；（2） 求Y t 的方差函数和协方差函数。

3. 设随机过程X t =X +Y ⋅t +Z ⋅t 2，其中X,Y,Z 是相互独立的随机变量且均值为0、方差为1，求{X t }的协方差函数。

4. 设U 是随机变量，随机过程X t =U,−∞ <t <∞ .(1) X t 是严平稳过程吗？为什么？(2) 如果E(U)=μ ,Var(U)=σ2，证明：X t 的自相关函数是常数。

5. 设随机过程X t =U cos t +V sin t,−∞ <t <∞ ,其中U 与V 独立同分布N(0,1)。

(1) X t 是平稳过程吗？为什么？(2) X t 是严平稳过程吗？为什么？6. 设随机变量X 的分布密度为f X ( x), 令 Y( t) = e − X t ( t > 0 ,X > 0), 试求Y( t)的一维概率分布密度及E(Y ( t ))、R X (s,t)。

7. 若从t = 0开始每隔1/2分钟查阅某手机所接收的短信息 , 令X (t )={cos πt ,如t 时手机接收到短信息，2t ，如t 时手机未接收到短信息，试求：X (t )的一维分布函数 F [12;x],F[1;x]8. 设随机过程Y n =∑X k n k=1,Y 0=0, 其中X k ( 1 ≤ k ≤ n) 是相互独立的随机变量 ,且P( X k = 1 ) = p ,P( X k = 0 ) = 1 − p = q , 试求{ Y n } 的均值与协方差函数 .9. 设X( t) = A sin (ωt +Z) ,其中A 、ω为常数 , 随机变量Z ～ U( −π ,π) , 令Y ( t) = X 2 ( t ) , 试求 :EY ( t ) 和R Y ( t,t +τ)。

若a(t1) = 0或a(t2)＝0，则B(t1, t2) = R(t1, t2)

互相关函数 R (t1 , t 2 ) E[ (t1 )(t 2 )]
式中 (t) 和 (t) 分别表示两个随机过程。 R(t1, t2)又称为自相关函数。
10
3.2 平稳随机过程 3.2.1 平稳随机过程的定义
12

数字特征：
E (t ) x1 f1 ( x1 )dx1 a

R( t1 , t 2 ) E[ ( t1 ) ( t1 )]



x1 x2 f 2 ( x1 , x2 ; )dx1dx2 R( )
可见，（1）其均值与t 无关，为常数a ； （2）自相关函数只与时间间隔 有关。
P ( f ) 0
P ( f ) P ( f )

这与R()的实偶性相对应。
23
例题

[例3-2] 求随机相位余弦波(t) = Acos(ct + )的功率谱密度。 [解] 在[例3-1]中，我们已经考察随机相位余弦波是一个平稳 过程，并且求出其相关函数为
1 (t ) 2 (t )

n (t )
0
t
3
角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。

在一个固定时刻t1上，不同样本的取值{i (t1), i = 1, 2, …, n} 是一个随机变量，记为 (t1)。

样本空间
随机过程是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
S1 x1(t)
t

T /2
T / 2
x( t ) x( t )dt
aa R( ) R( )

∫
g(t) = f (x, tx)|x|dx
3
第三章 更新过程
第三章 更新过程
其中 f (t, tx) 是 Xi 与 TiXi 的联合密度函数, 当 Xi 与 TiXi 独立时，有
∫ g(t) = λ exp{−λtx}f (x)|x|dx
所以这样的 Ti 是存在的.
3.6 如果 p = P (X = ∞) > 0, 则称 X 是广义的随机变量. 设 X 是广
是 3 分钟. 假设每台电话独立工作, 一共有 6 部电话, 估算上午 10:30 时恰
有 5 部电话占线的概率.
解:
由题可知每台电话占线的概率为
p
=
3 23
,
又各电话是否占线独立，
所以 10:30 有 5 部电话占线的概率为：
P = C65p5(1 − p)
3.11 眨眼使泪水均匀地涂在角膜和结膜的表面，以保持眼球润湿而不
∑ ∑k
∑
P ( Xi = j, Xk+1 > t − j) = (kλ)jexp(−kλ)P (X1 > t − j)/j!
0≤j≤t i=1
0≤j≤t
3.9 设更新过程 N (t) 的更新间隔是 Xn, i1, i2, . . . , in 是 1, 2, . . . , n 的一
个全排列. 对于 n ≥ 2, 证明
= 1/p − 1
3.7 对于泊松过程验证定理 1.2（2）成立.
证明: 对于泊松过程 N (t) 有 m(t) = E(N (t)) = λ·t, 而 λ·(t) 是连续的且 在 t≥0 时是严格增加的，当然是单调不减的, 也即定理 1.2(2) 对于泊松过 程是成立的。
3.8 设更新过程N(t)的更新间隔是来自总体 X 的随机变量。

义随机过程 Z (t) X (t) Y (t), t 0 ，且令： pn (t) P{Z (t) n}。
（1）试求随机过程{Z (t); t 0}的均值函数 E{Z (t)}和二阶矩 E{Z 2 (t)} ；

（2）试证明： pn (t)u n exp{(1 2 )t } exp{1ut 2u 1t }。 n
P{X (s) i}
P{N (s) 2(i 1)}
P{N (s) 2(i 1)}P{N (t s) 2( j i)} [(t s)]2( ji) e(ts) ; ( j i, t s)
P{N (s) 2(i 1)}
[2( j i)]!

lim
h0
Pt
2

h 2

S2

t2

h 2 ,t5 h2

h 2

S5

t5

h
2


5 2
t2 (t5
t2 )2 et5
,
0 t2 t5
（2）由于{N (t) 1} {S1 t} ，由泊松过程与指数分布的关系可知，在{S1 t} 条件 下， S1 的分布密度函数为
（3）由于{N (t) 1} {S1 t S2} ，令： 0 t1 t t2 ，取充分小的 h1, h2 0 ，
使得： t1 h1 t1 t t2 h2 t2 ，由
t1 h1 S1 t1, t2 h2 S2 t2 N t1 h1 0, N t1 N t1 h1 1,
3、 设{N1 (t); t 0}和{N 2 (t); t 0} 是相互独立的 Poisson过程,其参数分别为 1 和 2 ．若 N0 (t) N1 (t) N 2 (t) ，问: （1） {N0 (t); t 0} 是否为 Poisson 过程，请说明理由； （2） {N0 (t); t 0} 是否为平稳过程，请说明理由。 解：（1）由于 N 0 (t) 的状态空间为 S {,1, 0,1,} ，因此 N 0 (t) 不是计数过程，更

第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===。

求X 的特征函数，EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是已知参数。

解()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。

解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4） 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。

k =0 ∞ ∞
Yk-1 ]] ≤ b ⋅ ∑ E[I{T ≥ k} ]
k =0
= b ⋅ ∑ P(T ≥ k) = b(1 + E[T]) < ∞，即E[W] < ∞
10证明：利用停时定理2 由已知P(T<∞)=1,得条件1已满足。
2 2 又∀n ≥ 1，E[X T ∧ n ]=E[|X T ∧ n | ] ≤ c；
利用柯西-施瓦茨不等式(E[XY])2 ≤ E[X 2 ]E[Y 2 ]： 令Y=1，(E[|X T ∧ n |])2 ≤ E[|X T ∧ n |2 ]E[12 ] ≤ c ∴ E[|X T ∧ n |] ≤ c，进而有E[ sup|X T ∧ n |] ≤ c < ∞，
第三章习题解答
3-(1) ∵{ X n , n ≥ 0}是鞅， ∴ E[X 0 ] = E[X n ] = 0，且有 E[Yk ]=E[X k -X k-1 ]=0；Var(Yk )=E[Yk2 ]；Var(X n )=E[X 2 n ]；
2 E[Yk2 ]=E[(X k -X k-1 )2 ]=E[X k +X 2 k-1 -2X k X k-1 ] 2 =E[X k ]+E[X 2 其中 k-1 ]-2E[X k X k-1 ]，
9 (一)常规证明： 右侧不等号： E[X T ∧ n ]=E[X T ∧ n ⋅ I{T ≥ n} ]+E[X T ∧ n ⋅ I{T<n} ]=E[X n ⋅ I{T ≥ n} ]+E[X T ⋅ I{T<n} ] =E[X n ⋅ I{T ≥ n} ]+E[∑ X k ⋅ I{T=k} ]
k =0 n-1
E[X k X k-1 ]=E[E[X k X k-1|X 0 X1 =E[X k-1E[X k |X 0 X1

(ii) 分解 对于参数为λ 对于参数为λ的Poisson过程， 过程，假设发生的每一个事件 独立的以概率做了记录， 独立的以概率做了记录，未做记录的概率为1-p。令 N1(t)是到t为止做了记录的事件数， 为止做了记录的事件数，而N2(t)是未做记录 的事件数， 的事件数，则{N1(t)；t ≥0}和 {N2(t)；t ≥0}分别是具 有参数pλ 和(1-p)λ的独立Poisson过程。 过程。
相互独立。 相互独立。而且
P ( N (t ) = k ) = ∑ P ( N 1 (t ) = j, N 2 (t ) = k − j ) = ∑ P ( N 1 (t ) = j )P ( N 2 (t ) = k − j )
j=0 j=0 j k− j k k
(λ t ) (λ t ) = ∑ 1 e − λ1 t 2 e −λ2t j! ( k − j )! j=0
[
]
( )
( )
(
)
ρ=
(
)(
)
一维概率密度函数
一维特征函数 二维概率函数 f (s , t , x , y ) = −
[X − m (t )]2 t ∈ T 1 exp − 2 D (t ) 2 λ D (t ) x∈ R t∈T ϕ (t , u ) = exp im (t )u − 1 D (t )u 2 2 x∈ R f (t , x ) =
i i i =1
n
X (t )为正态分布 m X (t ) = E [X (t )] = E [ξ t + W (t )] = E (t )E (ξ ) + E [W (t )] = 0
(t > s ) E [X 2 (t )] = E [ξ 2 t 2 + W (t )W (s ) + W (t )ξ s + W (s )ξ t ] = ts + s σ 2 D (t ) = t 2 + t 2σ 2 D (s ) = s 2 + s 2 σ 2 C (s , t ) = C (t , s ) = R (t , s ) = ts + s σ 2

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第三章习题
(2)在宽平稳的基础上讨论各态历经性 时间均值:
1 T 1 X (t ) = lim ∫T X (t )dt = Tlim 2T T →∞ 2T →∞ 1 T 1 +T = ∫ s (t + )dt = ∫ s (θ )dθ T 0 T = E[ X (t )]
∫
T
T
s (t + )dt
X(t)的均值具有各态历经性
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第三章习题
时间相关性:
1 T X (t ) X (t + τ ) = lim X (t ) X (t + τ )dt T → ∞ 2T ∫T 1 T = lim s (t + ) s (t + τ + )dt T →∞ 2T ∫T 1 T = ∫ s (t + ) s (t + τ + )dt T 0 1 +T = ∫ s (θ ) s (θ + τ )dθ = RX (t ) T
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第二章习题
R X (t1 , t 2 ) = E[ X (t1 ) X (t 2 )] = E{[ A cos(ω 0 t1 ) + B sin(ω 0 t1 )][ A cos(ω 0 t 2 ) + B sin(ω 0 t 2 )]} = E[ A 2 cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + B 2 sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 )] = E[ A 2 ] cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + E[ B 2 ] sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 ) = σ 2 [cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 )] = σ 2 cos[ω 0 (t1 t 2 )]

0
1
0
平稳分布,且证明其唯一性.
第三章 平稳随机过程 第五次作业
9
学号
专业
姓名
作业号
3.2
设 U 是 随机变量 , 随机过程 X (t= ) U , −∞ < t < ∞ .(1) X (t ) 是严平稳过程吗 ? 为什么 ?(2) 如果
3.4
设 随 机 过 程 X (t )=U cos ωt + V sin ωt , −∞ < t < ∞ , 其 中 , U 与 V 相 互 独 立 , 且 都 服 从 正 态 分 布
1.20
设 { X n , n ≥ 1} 是参数为 p 的贝努利过程.试求协方差 Cov( X 2 − X 1 , X 3 − X 2 ) ,并由此证明 X n 不是独
立增量过程.
2 2 2 1.16 设复随机过程 Z = (t ) X (t ) + iY (t ) .试证 σ = σX (t ) + σ Y (t ) , RZ (t1 , t2 ) = [ RX (t1 , t2 ) + RY (t1 , t2 )] −i [ RXY (t1 , t2 ) − Z (t )
= EU µ = , DU σ 2 , 试证 X (t ) 的相关函数是常数.
N (0,1) .(1) X (t ) 是平稳过程吗?为什么?(2) X (t ) 是严平稳过程吗?为什么?
1.2
通过丢一颗骰子定义一个随机过程 { X (t ), −∞ < t < ∞} ,其中 X (t ) =
U Pr
1 2 3 1/3 1/3 1/3
t , 出现点数六 ; 试求随机过 2 否则 . t ,

作业1（随机过程的基本概念）1、对于给定的随机过程{(),}X t t T ∈及实数x ，定义随机过程1,()()0,()X t xY t X t x≤⎧=⎨>⎩，t T ∈ 请将{(),}Y t t T ∈的均值函数和相关函数用{(),}X t t T ∈的一维和二维分布函数表示。

2、设(),Z t X Yt t R =+∀∈，其中随机变量X ，Y 相互独立且都服从2(0,)N σ，证明{(),}Z t t R ∀∈是正态过程，并求其相关函数。

3、设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的Wiener 过程，求下列过程的协方差函数： （1）{(),0}W t At t +≥，其中A 为常数；（2）{(),0}W t Xt t +≥，其中(0,1)X N ，且与{(),0}W t t ≥相互独立；（3）2{(),0}taW t a ≥，其中a 为正常数； （4）1{(),0}tW t t≥作业2（泊松过程）1、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，令()()()Y t N t L N t =+-，其中L>0为常数，求{(),0}Y t t ≥的一维分布，均值函数和相关函数。

2、设{(),0}N t t ≥是强度为λ的Poisson 过程，证明对于任意的0s t ≤<，(()|())()(1),0,1,,k kn k n s s P N s k N t n C k n t t-===-=作业3 （更新过程）1 设{(t),0}N t ≥是更新过程，更新间距,1,2,i X i = 服从参数为λ的指数分布，则(t),0N t ≥是服从参数为λ的Poisson 分布。

2 某收音机使用一节电池供电，当电池失效时，立即换一节同型号新电池。

如果电池的寿命服从30小时到60小时的均匀分布，问长时间工作情况下该收音机更换电池的速率是多少？ 若没有备用电池，当收音机失效时，立即在市场上采购同型号电池，获得新电池的时间服从0小时到1小时的均匀分布，求在长时间工作的情况下，更换电池的速率。

第 3 章补充作业
1. 设 {N (t ), t 0} 是速率为 的泊松过程，请计算其均值函数、自相关函数与
协方差函数。
N (t ) E ( N (t )) t ，
RN (s, t ) E ( N (s) N (t )) E{N (s)(( N (t ) N (s)) N (s)]} ,(s t )
F( X1 , X 2 , X 3 ) (t1 , t2 , t3 ) P{ X1 t1 , X 2 t2 , X 3 t3} i 1(1 e ti )
3
( X1 , X 2 , X 3 ) 的联合密度为：
f ( X1 , X 2 , X 3 ) (t1 , t2 , t3 ) 3e (t1 t2 t3 )
et?0t??rfs1tdt??ss?wfs1tdtw?r?1?e?r?1?det??s2?w?r?1??edsdet当w1r时?0平均到家时间是s的增函数所以1的ds期望时间在s0时最小
随机过程_第 3 章泊松过程习题简答
教材 P16 习题 2，4,5,10,11,13,15,17,21
4. 计算泊松过程前三个事件到达时刻 S1,S2,S3 的联合分布。 解：设事件到达的时间间隔为 { X n , n 0} ，则有 X n 独立同分布于参数为λ的 指数分布，进而， ( X1 , X 2 , X 3 ) 的联合分布函数为：
（1） P{ X (3) 5} e 3
(3 )5 ； 5!
P{ X (2) 5, X (3) X (2) 0} P{ X (3) 5} e2 (2 )5 e 2 5! ( )5 ； 5 (3 ) 3 e3 5!
（ 3 ） P{ X (2) 5 | X (3) 5}

相关系数为： ρ = E {UV } = E { X 2 − Y 2 } = E { X 2 } − E { X 2 } = 0 由此得到，U 和V 的联合概率密度为：
1 − e fU ,V (u, v ) = 4π
u 2 +v 2 4
② 有①的结论，容易得到：
fU (u ) =
fV (v ) =
1 4π
2⎪ ⎫
⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
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《随机过程》作业标准答案·第 1 章
所以： 又：
dX (t ) = A。 dt
2⎪ ⎧ ⎫ ⎪ A A 2 ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ (t + τ ) + B(t + τ ) − t − Bt ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ 2 lim E ⎨ − (At + B ) ⎬ ⎪ τ →∞ ⎪ τ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 2⎪ ⎧ ⎫ ⎪ A ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ τ + At τ + B τ − (At + B )τ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ = lim E ⎨ ⎬ ⎪ τ →∞ ⎪ τ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 2 ⎧ ⎫ τ 1 ⎪ ⎪ 2 2 E { A2 } = 0 = lim E ⎪ ⎨ Aτ ⎪ ⎬ = lim ⎪ τ →∞ ⎪ ⎪4 ⎪ τ →∞ 4 ⎩ ⎭
所以：
⎧ X1 = Y1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ X2 = − Y1 + Y2 ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ " ⎪ ⎪ ⎪ X =− Yn −1 + Yn ⎪ ⎪ ⎩ n
系数矩阵为下三角矩阵，容易求得 Jocobi 行列式为： J = 1 。所以： fY Y "Y (y1, y2 , ", yn ) = J fX X "X (y1, y2 − y1, ", yn − yn −1 ) 1 2 n 1 2 n = fX (y1 )fX (y2 − y1 )" fX (yn − yn −1 )

0, 定义一个关联的更新过程： X n 若X n <
n
n=0,1,2,,且在这些时刻的更新次数是独立的几何随机变量-1（例 如在 t=0 点，当 X1<时 X1 0 ，第一个事件在 t=0 发生，当 X2< 时 X 2 0， 第二个事件在 t=0 发生， ， 直到某个 k 有 Xk时 X k , 第 k 个事件在 t=发生,因此在 t=0 发生的事件个数服从参数为 1 P{Xn} 的 几 何 分 布 -1 ） 其 均 值 为 -1 ， 于 是
t
t [ ]
m(t ) E[ N (t )] E[ N (t )] m(t ) 结论得证。
0

2
3

t {[ ] 1}

三、若干极限定理(some limit theorems) 1.平均更新速率（the average renewal rate) （1） N () lim N (t)
第三章 更新理论（Renewal Theory) 一、 更新过程（a renewal process)概念 1．定义 定义 设 X1,X2, 是非负独立同分布的（independent and identically distributed） iidF， F(0)=P{Xn=0}<1。 令 S0=0,,Sn= X1+X2+ + Xn, n =1,2, 。 N(t)=sup{n:Snt}， (3.1.1) ， 计数过程{N(t),t0}称为更新过程 （a renewal process)。 若将 Xn 解释为第 n-1 个事件与第 n 个事件之间的间隔时间，则第 n 个 事件在时刻 Sn 发生。由于间隔 iid，所以在各个事件发生时刻此过程在概率 意义上重新开始，事件发生时刻即系统更新时刻，事件即更新。N(t)就是系 统在[0,t]中更新次数 SN(t)就是系统在[0,t]中最后一次更新的时刻。 SN(t) t< SN(t)+1

湖南大学本科课程《随机过程》习题集主讲教师：何松华 教授第一章：概述及概率论复习设一批产品共50个，其中45个合格，5个为次品，从这一批产品中任意抽取3个，求其中有次品的概率。

设一批零件共100个，次品率为10%，每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放回，求第3次才取得合格品的概率。

设一袋中有N 个球，其中有M 个红球，甲、乙两人先后各从袋中取出一个球，求乙取得红球的概率(甲取出的球不放回)。

设一批产品有N 个，其中有M 个次品，每次从其中任取一个来检查，取出后再放回，求连续n 次取得合格品的概率。

设随机变量X 的概率分布函数为连续的，且0()00xA Be x F x x λ-⎧+≥=⎨<⎩其中0为常数，求常数A 、B 的值。

设随机变量X 的分布函数为 ()() (-<<)F x A Barctg x x =+∞∞(1) 求系数A 、B ；(2)求随机变量落在(-1,1)内的概率；(3)求其概率密度函数。

已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度分布函数为6(2)0,1(,)0XY xy x y x y f x y elsewhere --≤≤⎧=⎨⎩(1)求条件概率密度函数|(|)X Y f x y 、|(|)Y X f y x ；(2)问X 、Y 是否相互独立已知随机变量X 的概率密度分布函数为22()()]2X X X x m f x σ-=- 随机变量Y 与X 的关系为 Y=cX+b ，其中c ，b 为常数。

求Y 的概率密度分布函数。

设X 、Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分布函数分别为101()0X x f x elsewhere ≤≤⎧=⎨⎩，0()0y Y e y f y elsewhere-⎧<=⎨⎩ 求随机变量Z=X+Y 的概率密度分布函数。

设随机变量Y 与X 的关系为对数关系，Y=ln(X)，随机变量Y 服从均值为m Y 、标准差为Y的正态分布，求X 的概率密度分布。

随机过程作业和答案第三章第三章马尔科夫过程1、将⼀颗筛⼦扔多次。

记X n 为第n 次扔正⾯出现的点数，问{X(n) , n=1,2,3,···}是马尔科夫链吗？如果是，试写出⼀步转移概率矩阵。

⼜记Y n 为前n 次扔出正⾯出现点数的总和，问{Y(n) , n=1,2,3,···}是马尔科夫链吗？如果是，试写出⼀步转移概率矩阵。

解：1)由已知可得，每次扔筛⼦正⾯出现的点数与以前的状态⽆关。

故X(n)是马尔科夫链。

E={1,2,3,4,5,6} ,其⼀步转移概率为:P ij = P ij =P{X(n+1)=j ∣X(n)=i }=1/6 (i=1,2,…,6,j=1,2,…,6) ∴转移矩阵为2)由已知可得，每前n 次扔正⾯出现点数的总和是相互独⽴的。

即每次n 次扔正⾯出现点数的总和与以前状态⽆关，故Y(n)为马尔科夫链。

其⼀步转移概率为其中2、⼀个质点在直线上做随机游动，⼀步向右的概率为p , (0解：由已知可得, 其⼀步转移概率如下：故⼀步转移概率为3、做⼀系列独⽴的贝努⾥试验，其中每⼀次出现“成功”的概率为p ( 0解：由已知得：故为马尔科夫链，其⼀步转移概率为616161616161616161616161616161616161P6,,2,1,6/1,,8,7,,0)1,( i i i j i j i i i j ij n n P 或)1(6,,2,1;6,,2,1, n n n j n n n n i ,,2,1,0 E )(0,1;)0(0,1)1,1(0,,1,,2,1101,1, j P P j P P i i j P q P P P x j j ij i i i i ⽽时，当 1000000 0000000001Pp q p q p qm m m m m m i n X l n X i n X i n X i n X l n X P )(0)()(,,)(,)(0)(2211mm m m m m in X k l n X i n X i n X i n X k l n X P )()()(,,)(,)()(22114、在⼀个罐⼦中放⼊50个红球和50个蓝球。