2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(湖北卷)理

2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)

数学(理工类)

本试题卷共6页,22题,其中第15、16题为选考题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(2014湖北,理1)i为虚数单位,(1-i1+i)2=( ).

A.-1 B.1 C.-i

D.i

答案:A

解析:(1-i1+i)2=(1-i)2(1+i)2=-2i2i=-1,故选A.

2.(2014湖北,理2)若二项式(2𝑥+𝑎𝑥)7的展开式中1𝑥3的系数是84,则实数a=( ).

A.2 B.√45 C.1 D.√24

答案:C

解析:二项式通项Tr+1=C7𝑟(2x)7-r(ax-1)r=27-rarC7𝑟x7-2r.

由题意知7-2r=-3,则r=5.

令22a5C75=84,解得a=1.

3.(2014湖北,理3)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=⌀”的( ).

A.充分而不必要的条件

B.必要而不充分的条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要的条件

答案:C

解析:如图可知,存在集合C,使A⊆C,B⊆∁UC,则有A∩B=⌀.若A∩B=⌀,显然存在集合C.满足A⊆C,B⊆∁UC.故选C.

4.(2014湖北,理4)根据如下样本数据:

x 3 4 5 6 7 8

y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0

得到的回归方程为𝑦^=bx+a,则( ).

A.a>0,b>0 B.a>0,b<0

C.a<0,b>0 D.a<0,b<0

答案:B

解析:由样本数据可知y值总体上是随x值的增大而减少的.故b<0,又回归直线过第一象限,故纵截距a>0.故选B.

5.(2014湖北,理5)在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( ).

A.①和② B.③和①

C.④和③ D.④和②

答案:D 解析:如图所示A(0,0,2),B(2,2,0),C(1,2,1),D(2,2,2),B,C,D点在面yOz上的射影分别为B1,C1,D1,它们在一条线上,且C1为B1D1的中点.从前往后看时,看不到棱AC,正视图中AC1应为虚线.故正视图应为图④.点A,D,C在面xOy内的射影分别为O,B,C2,俯视图为△OC2B,故选图②.综上选D.

6.(2014湖北,理6)若函数f(x),g(x)满足∫ 1-1f(x)g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:

①f(x)=sin 12x,g(x)=cos 12x;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2.

其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( ).

A.0 B.1 C.2 D.3

答案:C

解析:对于①,∫ 1-1sin 12x·cos 12xdx=∫ 1-112sin xdx=12∫ 1-1sin xdx

=12(-cos x)|-11=12{-cos 1-[-cos(-1)]}

=12(-cos 1+cos 1)

=0.

故①为一组正交函数;

对于②,∫ 1-1(x+1)(x-1)dx=∫ 1-1(x2-1)dx

=(13𝑥3-x)|-11=13-1-(-13+1)

=23-2=-43≠0,

故②不是一组正交函数;

对于③,∫ 1-1x·x2dx=∫ 1-1x3dx=(14𝑥4)|-11=0.

故③为一组正交函数,故选C.

7.(2014湖北,理7)由不等式组{𝑥≤0,𝑦≥0,𝑦-𝑥-2≤0确定的平面区域记为Ω1,不等式组{𝑥+𝑦≤1,𝑥+𝑦≥-2确定的平面区域记为Ω2,在Ω1中随机取一点,则该点恰好在Ω2内的概率为( ).

A.18 B.14 C.34 D.78

答案:D

解析:如图,由题意知平面区域Ω1的面积𝑆𝛺1=S△AOM=12×2×2=2.

Ω1与Ω2的公共区域为阴影部分,面积S阴=𝑆𝛺1-S△ABC=2-12×1×12=74.

由几何概型得该点恰好落在Ω2内的概率P=𝑆阴𝑆𝛺1=742=78.故选D.

8.(2014湖北,理8)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈275L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ).

A.227 B.258 C.15750 D.355113

答案:B 解析:由题意可知:L=2πr,即r=𝐿2π,圆锥体积V=13Sh=13πr2h=13π·(𝐿2π)2h=112πL2h≈275L2h,故112π≈275,π≈258,故选B.

9.(2014湖北,理9)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=π3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ).

A.4√33 B.2√33 C.3 D.2

答案:A

解析:设椭圆长半轴为a1,双曲线实半轴长为a2,|F1F2|=2c.

由余弦定理4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos π3.

而|PF1|+|PF2|=2a1,

||PF1|-|PF2||=2a2可得𝑎12+3𝑎22=4c2.

令a1=2ccos θ,a2=2𝑐√3sin θ,

即𝑎1𝑐+𝑎2𝑐=2cos θ+2√3sin θ

=2(cos𝜃+1√3sin𝜃)

=4√33(√32cos𝜃+12sin𝜃)

=4√33sin(𝜃+π3).

故最大值为4√33,故选A.

10.(2014湖北,理10)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=12(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若∀x∈R,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为( ).

A.[-16,16] B.[-√66,√66]

C.[-13,13] D.[-√33,√33]

答案:B

解析:由题意得,若a=0,f(x)=x,显然成立;

若a≠0,当x≥0时,f(x)={𝑥-3𝑎2,x>2𝑎2,-𝑎2,𝑎2

而f(x-1)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位得到的,要满足对任意实数x,都有f(x-1)≤f(x),至少应向右平移6a2个单位,所以6a2≤1,解得-√66≤a≤√66,且a≠0.

综上,实数a的取值范围是[-√66,√66].

二、填空题:本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.

(一)必考题(11—14题)

11.(2014湖北,理11)设向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),则实数λ= .

答案:±3

解析:由题意得(a+λb)·(a-λb)=0,即a2-λ2b2=0,则a2=λ2b2.

∴λ2=𝑎2𝑏2=(√32+32)2(√12+(-1)2)2=182=9.∴λ=±3.

12.(2014湖北,理12)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2= .

答案:2

解析:由题意,得圆心(0,0)到两条直线的距离相等,且每段弧的长度都是圆周的14,即|𝑎|√2=|𝑏|√2,|𝑎|√2=cos 45°=√22,所以a2=b2=1,故a2+b2=2. 13.(2014湖北,理13)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数,将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a),按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a=815,则I(a)=158,D(a)=851).阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,任意输入一个a,输出的结果b= .

答案:495

解析:不妨取a=815,则I(a)=158,D(a)=851,b=693;

则取a=693,则I(a)=369,D(a)=963,b=594;

则取a=594,则I(a)=459,D(a)=954,b=495;

则取a=495,则I(a)=459,D(a)=954,b=495.

故输出结果b=495.

14.(2014湖北,理14)设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0.对任意a>0,b>0,若经过点(a,f(a)),(b,-f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为Mf(a,b).例如,当f(x)=1(x>0)时,可得Mf(a,b)=c=𝑎+𝑏2,即Mf(a,b)为a,b的算术平均数.

(1)当f(x)= (x>0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数;

(2)当f(x)= (x>0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数2𝑎𝑏𝑎+𝑏.

(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)

答案:(1)√𝑥 (2)x(或填(1)k1√𝑥,(2)k2x,其中k1,k2为正常数均可)

解析:经过点(a,f(a)),(b,-f(b))的直线方程为y+f(b)=𝑓(𝑎)+𝑓(𝑏)𝑎-𝑏(x-b).

令x=c,y=0得c=𝑎𝑓(𝑏)+𝑏𝑓(𝑎)𝑓(𝑎)+𝑓(𝑏);

(1)令c=√𝑎𝑏,则得√𝑎f(b)=√𝑏f(a),

可令f(x)=√𝑥.

前面等式成立.

(2)令c=2𝑎𝑏𝑎+𝑏,则得af(b)=bf(a),可令f(x)=x,前面等式成立.

(二)选考题(请考生在第15,16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.)

15.(2014湖北,理15)(选修4—1:几何证明选讲)

如图,P为☉O外一点,过P点作☉O的两条切线,切点分别为A,B.过PA的中点Q作割线交☉O于C,D两点.若QC=1,CD=3,则PB= .

答案:4

解析:由题意知PA=PB.

PA切☉O于点A,由切割线定理可得QA2=QC·QD=1×(1+3)=4.

∴QA=2,∴PA=2×2=4=PB.

16.(2014湖北,理16)(选修4—4:坐标系与参数方程)

已知曲线C1的参数方程是{𝑥=√𝑡,𝑦=√3𝑡3(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,则C1与C2交点的直角坐标为 .

答案:(√3,1)