普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(湖北卷,含)
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2020年一般高等学校招生全国一致考试数学理试题(湖北卷,含答案)
2020 年一般高等学校招生全国一致考试数学理试题（湖北卷，含答
案）
本 卷共 4 ，三大 21 小 。全卷 分 150 分。考 用 120 分 。
★祝考 利★
注意事 ：
1 答 前，考生 势必自己的姓名、准考 号填写在 卷和答 卡上．并将准考 号条形 粘 在答 卡上的指定地点，用 2B 笔将答 卡上 卷 型 B 后的方框涂黑。
2 的作答： 每小 出答案后， 用 2B 笔把答 卡上 目的答案 号涂黑。如需改 ，用橡皮擦干
后，再 涂其余答案 号。咎在 卷、稿本 上无效。
3 填空 和解答 用 0.5 毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答 卡上 的答 地域内。答在
卷、稿本 上无效。 4 考生必 保持答 卡的整 。考 束后， 将本 卷和答 卡一并上交。
一、 ：本大 共 l0 小 ．每小 5 分，共 50 分在每小 出的四个 中，只有一 是 足 目要求的 .
1. 若 i 虚数 位， 中复平面内点 z 表示复数 z， 表
示复数 z 的点是
1 i
x2 y2
2. 会集 A={( x, y) | 1} ，
4 16
B={( x, y) | y 3x } , A∩ B 的子集的个数是
3. 在△ ABC中， a=15， b=10, ∠ A=600 ， cosB
2 2 2 2 6 6 A.
3 B.
3 C. D.
3 3
4 投 一枚均匀硬 和一枚均匀骰子各一次， “硬 正面向上” 事件 A，“骰于向上 的点数是 3” 事件 B， 事件 A， B 中最少有一件 生的概率是 5 1 C. 7 3 A. B. D.
4
12 2 12
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
5 已知 V ABC 和点 M 足 MA MB MC 0 . 若存在 数 m 使得 AB AC mAM
成立， m =
A． 2 B. 3 C. 4 D. 5
6 将参加夏令 的 600 名学生 号 ： 001， 002，⋯ ， 600. 采纳系 抽 法抽取一个
容量 50 的 本，且随机抽得的号 003. 600 名学生分住在三个 区，从 001
到 300 在第 1 区，从 301 到 495 在第Ⅱ 区，从 496 到 600 在第Ⅲ 区 . 三个 区被 2020年一般高等学校招生全国一致考试数学理试题(湖北卷,含答案)
抽中的人数挨次
A ． 26,16,8 B. 25,17,8 C. 25,16,9 D. 24,17, 9
7 如 ，在半径 r 的 内作内接正六 形，再作正六 形的内切 ，
又在此内切 内作内接正六 形，这样无穷 下去 . Sn 前 n 个
的面 之和， lim Sn
x
A ． 2 r 2 B. 8 r 2
3
C. 4 r 2 D. 6 r 2
8 安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服 活 ，每人从事翻 、
游、礼 、司机四 工作之一，每 工作最少有一人参加 . 甲、乙不会开 但能从事
其余三 工作，丙、丁、戊都能 四 工作， 不一样安排方案的种数是
A ． 152 B. 126 C. 90 D. 54
9 若直 y x b 与曲 y 3 4x x2 有公共点， b 的取 范 是
A ． 1,1 2 2 B. 1 2 2,1 2 2
C. 1 2 2,3 D. 1 2,3
10． 数 x1 ，x2 ，⋯， xn 中的最大数 max x1, x2 ,⋯ , xn ，最小数 min x1, x2 ,⋯ , xn .
已知 V ABC 的三 a, b, c(a b c) ，定 它的 斜度
l max a b c ?min a b c
, ,
a b , ,
b c c a
“ l 1 V ABC
等 三角形”
”是“
A. 必需而不充分的条件 B. 充分而不用要的条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不用要的条件
二、填空 ：本大 共 5 小 ，每小 5 分，共 25 分 . 将答案填在答 卡 号的位
置上，一 两空的 ，其答案按先后次序填写 . 答 地点， 写不清，含糊其词均不得分
11. 在 ( x 4 3y)20 睁开式中，系数 有理数的 共有 .
y x,
12 己知 z 2x y ，式中 量 x, y 足 束条件 x y 1, z 的最大
x 2,
13． 柱形容器内部盛有高度 8 cm 的水，若放入三个同样的球（球的
半径与 柱的底面半径同样）后，水恰好淹没最上边的球（如 所示 ) ， 2020年一般高等学校招生全国一致考试数学理试题(湖北卷,含答案)
球的半径是 cm ．
14．某射手射击所得环数 的分布列以下：
已知 的希望 E 8.9 ，则 y 的值为 ．
15．设 a＞0，b＞0 ，称
2ab
为 a，b 的调停均匀数．如图， C为 a b
线殴 AB上的点，且 AC=a，CB=b，O为 AB中点，以 AB为直径作半
圆．过点 C作 OD的垂线，垂足为 E．连结 OD， AD，BD．过点 C作
OD的垂线，垂足为 E．则图中线段 OD的长度是 a， b 的算术均匀
数，线段 的长度是 ， 的几何均匀数，线段 的长度是
a ，
b 的调停均匀数．
a b
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 16 ．（ 本
小题满分 12 分）
已知函数 f x cos x cos x ， g x 1 sin 2x 1 ．
3 3 2 4
（Ⅰ）求函数 f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数 h x f x g x 的最大值，并求使 h x 获得最大值的 x 的会集．
17．（本小题满分 12 分）
为了在夏天降平和冬天供暖时减少能源消耗， 房屋的屋顶和外墙需要建筑隔热层． 某幢建筑
物要建筑可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建筑成本为 6 万元．该建筑物每年的能
源耗费花费 C（单位：万元）与隔热层厚度 x （单位： cm）满足关系：
C x k 0 x 10 ，若不建隔热层， 每年能源耗费花费为 8 万元． 设 f x 为隔热
53x
层建筑花费与 20 年的能源耗费花费之和．
（Ⅰ）求 k 的值及 f x 的表达式；
（Ⅱ）隔热层修建多厚对，总花费 f x 达到最小，并求最小值．
18. ( 本小题满分 12 分 ) 2020年一般高等学校招生全国一致考试数学理试题(湖北卷,含答案)
如图 , 在四周体 ABOC中， OC⊥ OA, OC⊥ OB,∠ AOB=120°，且 OA=OB=OC=1.
( Ⅰ ) 设 P为 AC的中点 . 证明：在 AB 上存在一点 Q,使 PQ⊥ OA,并计算 = AB 的值；
AQ
( Ⅱ ) 求二面角 O-AC-B 的平面角的余弦值 .
19. ( 本小题满分 12 分 )
已知一条曲线 C 在 y 轴右侧，
( Ⅰ ) 求曲线 C 的方程；
C上没一点到点
F(1,0)
的距离减去它到
y 轴距离的差是
1.
uuur uuur
( Ⅱ ) 能否存在正数 m，对于过点 M(m,0) 且与曲线
C有连个交点 A,B 的任向来线， 都有 FA ? FB
﹤0 ? 若存在，求出 m的取值范围；若不存在，请说明原由 .
20. ( 本小题满分 13 分 )
已知数列
an 满足 :
a1 1 , 3 1 an 1 2 1 an ,
anan 1p 0 n 1 ；数列
bn 满
2 1 an 1 an 1
足： bn = an 12 - an2 （ n≥1） .
( Ⅰ ) 求数列 an ， bn 的通项公式 ;
( Ⅱ ) 证明 : 数列 bn 中的任意三项不行能成等差数列.
21. ( 本小题满分 14 分 )
b +c(a ＞ 0) 的图象在点（ 1,f(1) ）处的切线方程为 y=x-1. 已知函数 f(x)=ax+
x
( Ⅰ ) 用 a 表示出 b,c;
( Ⅱ ) 若 f(x) ＞㏑ x 在 [1, ∞ ] 上恒成立，求 a 的取值范围； 2020年一般高等学校招生全国一致考试数学理试题(湖北卷,含答案)
( Ⅲ ) 明： 1+ 1 + 1 +⋯ + 1 ＞㏑ (n+1)+ n )(n ≥ 1).
2 3 n 2 n 1
