时滞耦合系统非线性动力学的研究进展

时滞耦合系统非线性动力学的研究进展张舒;徐鉴【摘要】随着对自然界客观规律的深入认识,工程系统设计的精细化和复杂性要求也与日剧增.在许多耦合的动态系统设计过程中要考虑由耦合过程的时滞所引发的动力学行为,该时滞来自于与传感系统、作动系统和控制系统耦合的过程.耦合时滞也广泛存在于交通、系统生物学、电子通讯、神经和信息网络等技术中.本文首先从耦合时滞出发,在以时滞为中心的耦合系统复杂动力学机制、时滞镇定耦合系统的实验基础和实现、快慢变时滞耦合系统动力学和时滞神经网络同步和去同步4个方面,对耦合时滞诱发的动力学研究进展进行综述.着重介绍了时滞耦合系统中耦合时滞诱发的高余维分岔奇异性及新的定量分析方法、中立型时滞微分方程的规范型计算、具有耦合时滞的非线性系统中耦合时滞和非线性参数的辨识方法与实验实现、快慢变时滞耦合系统的张弛振荡、耦合时滞诱发的网络系统的同步模式切换等问题的研究进展;然后在应用方面重点介绍了车床磨削加工过程中耦合时滞诱发的颤振及其机理、具有惯性项和耦合时滞的神经网络系统中耦合时滞诱发的高余维分岔和复杂动力学、时滞动力吸振器与隔振装置的设计与实验实现.最后,从耦合时滞系统的一般性理论和工程应用两个方面展望了近期值得关注的一些问题.%With the deep understanding towards the objective laws of nature, requirements on refinement and complex-ity in engineering system design are increasing. Many coupled dynamic system designs need to take into account the dynamics induced by the time delay existing in the coupling process. Such coupling time delay may come from the process of coupling with the sensing system, the actuation system and the control system. Coupling delays also exten-sively exist in the fields such as transportationsystem, system biology, electronic communication, neural and information networks and etc. Firstly, based on the concept of coupling delay, this paper reviews the recent research progresses on dynamics induced by such delay from the following four aspects:(1) the delay-centered mechanism of complex dynamics in coupled systems;(2) experimental foundation and realization of stabilizing coupled systems by utilizing time delay;(3) dynamics of fast-slow coupled system with time delay; and (4) synchronization and desynchronization of delayed neural networks. Some advances in the general theory of systems with coupling delay are highlighted including the coupling-delay-induced bifurcation and singularity with high codimention and the novel quantitative method of analysis, normal form computation for neutral delay differential equations, identification of time delay and nonlinear parameters in nonlinear systems with coupling delay and the relevant experiment, relaxation oscillation in the fast-slow system with coupling delay, and transition of modes of synchronization induced by coupling delay in network systems. Secondly, as for the application, some new results are presented in details such as the coupling-delay-induced chatter in grinding pro-cess and its mechanism, bifurcation with high codimension and complex dynamics induced by coupling delay in neural networks with inertial terms, and design and experiments of vibration absorber and isolator using coupling delay. Finally, some problems which are worthy of attention in near future are highlighted from perspectives of the general theory of systems with coupling delay and the potential applications.【期刊名称】《力学学报》【年(卷),期】2017(049)003【总页数】23页(P565-587)【关键词】时滞耦合系统;非线性动力学;时滞微分方程;快慢变系统;神经网络【作者】张舒;徐鉴【作者单位】同济大学航空航天与力学学院,上海200092;同济大学航空航天与力学学院,上海200092【正文语种】中文【中图分类】O313;TP183由于时滞在实际耦合系统中普遍存在，其已成为数学、力学、高精度机械制造工程、生物等众多领域科学家关心的重要课题.以非线性动力学领域的国际知名期刊《Nonlinear Dynamics》为例，其刊发的标题中包含“coupling delay”的论文，2002—2006年仅1篇，2007—2011年有7篇，2012—2016年多达52篇.说明这一课题的研究在国内外已经呈现上升趋势.首先，当力学系统承受长期的外激励作用时，由于采用所有形式的时滞反馈(位置、速度、状态)控制都无法完全消除系统的振动,因此必须采用动态时滞控制器(基于微分方程建模)吸收系统所承受的外部激励能量，从而实现抑制振动的目的.且采用动态的非线性时滞控制器可以在更宽的频带范围内吸收系统所承受的能量.动态控制器对系统的作用与时滞反馈控制明显不同.从作用效果看，时滞反馈控制器是单向作用，时滞效应也是单向的，而动态时滞控制是双向作用，时滞效应也是双向的；从模型上看：对于一个简单的位置或者速度反馈时滞系统，状态维数只与目标系统状态有关，且常常较低.而时滞耦合系统的状态维数与子系统的状态维数有关，因此时滞耦合系统的状态维数常常是高维的，耦合的子系统越多，状态维数越高.这些都给研究工作提出了新的挑战：第一，以此方式建立的振动控制系统将是高维的时滞和非线性耦合系统，在考虑设计参数时，至少需要涉及时滞量和控制器与系统的耦合强度两个参数，这就需要分析系统更高余维数的奇异性，特别要分析时滞和耦合强度这两个参数与系统发生强共振之间的关系，迄今为止该问题在国内外学术界没有得到解决；第二，在力学系统特别是机械系统中，如何实现控制器与系统之间的非线性和时滞耦合；第三，如果采用分段线性来模拟非线性，存在的问题就是很难用理论方法分析时滞非光滑耦合系统，只有通过实验解决；另外，变时滞和变参数系统动力学的研究手段有限，也只有通过实验总结各种变时滞对耦合系统的影响规律；第四，如果控制器的质量与系统的质量的比值是小量，将形成快慢变时滞耦合非线性系统，目前仅得知张弛振荡是无时滞快慢变耦合系统明显的特征之一，在生命系统中表现的形式是所谓的spiking动力学行为，但是对快慢变时滞耦合非线性系统动力学行为的了解甚少；第五，以此方式建立的振动控制系统是通过共振的方式进行能量交换的，从网络系统的观点出发，这种能量传递成功与否就是网络的同步与去同步问题，目前，从网络系统观点出发研究振动控制的工作也甚少.其次，除了受控力学系统中控制环节存在时滞外，许多耦合系统在耦合过程中，子系统之间的耦合因素(力、电位信号等)也存在着作用或者传递过程中的时间滞后.例如，在砂轮磨床这样简单的系统中，通过砂轮与工件接触点的作用与反作用力实现耦合，反作用力产生于工件再生和砂轮再生过程，可以表示为工件和砂轮位置的函数，其中工件和砂轮再生过程存在一定程度的时滞，它们与工件和砂轮的转速有关，现代精密高效加工技术要求设计出适当的转速使系统不出现再生颤振，从而提高工艺质量.因此砂带磨削过程中的磨削参数的测量和优化非常重要，时滞成为重要的设计参数.类似的工艺要求也会出现在高精度钻孔、打磨和切削等设备中.除了力学系统之外，近年来，医学工程中人机耦合交互系统的有效性、激光阵列耦合系统的协同性、耦合人工神经网络系统的同步和去同步性、网络拥塞和交通工程中车流堵塞的规律性等也受到了特别关注，主要原因是认识和了解这些力学或者物理系统耦合过程中时滞诱发的动力学性质，可为这些系统的设计提供更加准确的依据.例如，即使最简单的单向车流跟随模型也是一个时滞耦合系统.事实上，在单向车辆跟随过程中，当前的车辆速度与其前面若干车辆过去一段时间的速度有着密切的关联，此处的“过去一段时间”就是时滞.显然，该时滞是一个综合因素，取决于行驶方向道路的质量、车辆的性能和司机的反应能力.从直观上可以看出,这种时滞会影响整个车流行驶的平均速度，从而成为车流是否堵塞的一个重要因素，按照这个观点构造的车流模型是一个多时滞耦合的系统，特别应该注意到，如果车流中车辆的性能差异较大，即部分车辆对环境(包括其他车辆)变化十分敏感，而另一部分车辆则比较迟钝，体现在模型上便表现为不同的车辆模型右端的尺度不同甚至差异很大，此模型就是快慢变时滞耦合系统.最后，受控时滞系统的复杂运动具有特殊性，由于控制策略总是对某个特定的动力学行为(例如平衡态或者周期运动)进行控制，因此，在一定条件下，受控时滞系统中的时滞不会诱发 Zero-Zero和Zero-Pair等分岔行为.然而，研究结果表明，对于耦合时滞系统，存在上述分岔行为，这就意味着时滞耦合系统可以通过这样的机制产生同宿或者异宿轨道分岔，使其动力学行为较受控时滞系统更加复杂.可能存在的同宿和异宿轨道表明，时滞耦合系统中的时滞可以导致孤子解.从理论上看，时滞耦合系统的问题涉及高维时滞微分系统，这对研究提出了更大的挑战.因此，对时滞耦合系统的研究也符合从简单走向复杂、从特殊走向一般、从低维到高维的基本认识规律.综上所述，本文将对 4个方面的科学问题进行综述，即以时滞为中心的耦合系统复杂动力学机制、时滞镇定耦合系统的实验基础和实现、快慢变时滞耦合系统动力学和时滞神经网络同步和去同步，其核心科学问题就是时滞耦合系统的非线性动力学理论与应用研究.该研究不但可以深刻认识耦合系统中客观存在的时滞对系统各种动态性质的影响，而且可以为此类系统的设计或者识别客观存在的时滞提供理论依据和参考，因此具有重要的科学意义.由于时滞耦合动力系统的初值空间是无限维的，从而解空间也是无限维的，因此，时滞耦合系统动力学的研究也是极具挑战性的研究课题[13].近年来，以时滞为中心的耦合动力系统成为越来越重要的研究对象，主要原因在于精密加工等高技术需求、解决交通堵塞等社会需求和系统生物学发展的科学需求等使得系统耦合过程中的时滞不能被忽略.为了更好地理解时滞对耦合系统的影响，需要从理论上研究时滞与各种动力学甚至复杂动力学行为的关系，以便更加深入地认识自然界客观存在现象的原因和机制或者对耦合系统进行优化设计.因此，以时滞反馈为中心的耦合系统动力学行为分类研究成为重要的课题.目前的研究主要关注稳定性分析、分岔分析、复杂动力学或者奇异性分析等，且大部分的工作还停留在稳定性分析方面，对于分岔分析和复杂动力学机制的研究还不多，存在一定的难度.研究表明，当考虑耦合系统耦合过程中的时滞时，系统平衡态的稳定性常常依赖于耦合时滞.针对双向再生圆柱形磨削加工系统，Liu和Payre[4]提出了一种分析耦合时滞系统平衡态稳定性的计算方法，该方法可以计算出位于复平面虚轴上的特征值，并据此判断系统平衡态是否可能失去稳定性而出现再生颤振.利用特征值与系统参数的关系，可以得到避开再生颤振的设计参数.对于交通堵塞问题，已有简单的单向车流跟随时滞系统模型[5]，并且对于离散时滞和连续分布时滞模型进行了初步的稳定性分析，得到了这种单向车流稳定的依赖时滞的参数区域.同济大学和南京航空航天大学的项目组，从控制系统稳定性的观点出发，也对受控时滞系统的稳定性特别是相关理论在实际问题中的应用做了大量的研究，关于这方面的工作可以参考相关的综述[6-7].近年来，由于分岔软件DDE-BIFTOOL的发布，该软件被一些学者应用于从数值角度分析时滞诱发的复杂现象.Erzgraber等[8]研究了内部具有滤波的半导体激光器的动力学和分岔.光谱通过内部过滤器后重新进入激光输入，而在对光谱滤波时会出现时滞，于是其变成一个耦合时滞系统的动力学与分岔问题.由于此类激光器输出是一些特定光谱的激光，要求精度较高，涉及到滤波时的时滞对输出的影响.在设计过滤器时，由于时滞难以避免，然而强度往往可以调节，因此，为了方便设计需要考虑时滞和强度参数对动力学的影响，这是一个典型的时滞诱发的余维2奇异性及其导致的动力学行为的分类问题.通过软件DDE-BIFTOOL,作者给出了SN-Hopf和BT分岔及其分类，尽管没有严格的理论证明，但该结果展示了余维2分岔分类重要的科学和工程意义.同样的研究思路也被Green[9]用于一般的光学反射激光发生器中.综上所述，由于时滞诱发的高余维奇异性具有重要的应用背景，引起了许多从事理论研究学者的兴趣.由于高余维奇异性的理论分析具有很大难度，因此从事这方面研究工作的学者不多.加拿大数学家Campbell领导的课题组是长期从事这方面研究的团队之一，该团队主要采用中心流形约化，研究的对象都是低维的时滞系统[10].近期有研究发现，随着状态空间维数的增加，时滞诱发的高余维分岔问题若采用中心流形约化将会变得非常复杂，而且还存在数学的开折参数与物理参数无法建立对应关系的缺陷.为了解决上述问题，学者们提出了一些新的方法，例如摄动--增量方法，该方法不但可以用于研究状态变量是高维的耦合系统的Hopf分岔[11]，也能对低维耦合时滞系统的Hopf-Hopf分岔的奇异性及其动力学行为进行分类[1213].另外，Hamilton是力学中的一类非常重要的系统，已取得了丰硕的研究成果.当前值得关注的是拟Hamilton系统，即Hamilton系统的小扰动系统.研究这类系统的直接动机来自这样的事实：许多复杂系统可以看作是某些较简单系统的小扰动，并且一般扰动系统所产生的无扰系统不具有的动力学性质常常对应分岔解附近的情况.另外，在适当的坐标系下，在Hopf分岔、Hopf-Hopf分岔等分岔点附近的系统即可看作拟Hamilton系统.即使扰动项非常小，也可能引起动力学性质产生本质性的巨大变化.研究时滞对Hamilton系统的影响既有重要的理论价值，又是极具挑战性的研究问题,这方面的工作,朱位秋研究小组的成果处于国际领先地位[14]. 目前对于时滞耦合系统的研究主要停留在稳定性分析方面，对于时滞诱发的时滞耦合系统的高余维奇异性及其分岔分类还需要理论分析和方法的创新.具体有以下几个问题需要解决：研究和发展时滞耦合系统新的约化方法，重点研究在强时滞耦合和多时滞耦合条件下局部动力学特征表现的定量化方法，从而发展时滞耦合系统动力学行为描述的计算方法；研究针对时滞耦合系统的时滞和耦合强度诱发的弱共振和强共振动力学特性的一般性方法，在此基础上研究时滞诱发的耦合系统动力学行为的奇异性及其动力学行为分类；研究时滞耦合系统中时滞和耦合强度诱发的各种其他高余维分岔及其相应的动力学定性分类，包括BT,Bautin,SN-Hopf,PFHopf,Fold-Hopf和PF-Hopf-Hopf分岔等；研究时滞耦合系统可能出现的新的复杂动力学及其形成的机制.下面对已取得的研究进展进行具体介绍.时滞耦合系统的子系统之间出现内共振是通过各个子系统的固有频率进行能量交换，使得系统表现出特殊的动力学现象，其理论问题的本质是对时滞诱发的Hopf-Hopf分岔问题的研究，相应的现象是满足内共振关系的线性系统和不存在内共振关系的非线性系统所没有的，因此，研究内共振引起的动力学行为与系统中具有重要作用的参数之间的关系不仅具有重要的理论意义，还具有很大的应用价值.由于研究这样的时滞耦合效应还没有成熟的研究方法，首先需要对一个一般性的时滞耦合系统提出构造性方法.设一般性的时滞耦合系统为其中，x ∈ C([-τ,0],Rn)，µ =(µ1,µ2,τ)∈ R3是参数向量，xτ=x(t-τ)是时滞项，表示τ时刻以前的状态变量.为了更好地理解模型(1)，考虑具有时滞耦合的FitzHugh-Nagumo(FHN)模型[15]其中，u1和u3是膜电位，u2和u4是回复量，τ＞0是传输时滞，c为耦合强度,a,b和r为正常数.研究表明,参数耦合强度和时滞可以诱发Fold-Hopf分岔，可能导致系统出现周期运动、概周期运动、甚至混沌，如图1所示.这表明耦合系统可以通过改变时滞而表现出完全不同的动力学行为，其现象十分丰富，例如上述系统可以产生10种不同拓扑结构的动力学行为.当式 (1)在平衡点的两个特征值满足Reλ1=Reλ2=0和Imλ1：Imλ2(ω1：ω2)=k1：k2时，如果k1：k2是无理数，则式(1)可能出现非共振的奇异性;如果k1：k2是有理数，则式(1)可能出现共振的奇异性，分别对应非共振的双Hopf分岔和共振的双Hopf分岔.时滞多尺度方法在于将时滞τ也分解成多个时间尺度，即 x=x(T0-τ0,T1-τ1,T2-τ2,···)，其中Tk= εkt,τk= εkτ (k=0,1,2,···)，于是式 (1)解的形式为其中，A是复数，c.c表示前面项的共轭.通过消除长期项得到可解性条件，可以分别得到非共振和共振情况下复数形式的振幅--频率方程.Wang等[16]应用该方法研究了两个具有时滞耦合的Van der Pol振子.通过选择适当的参数，发现系统会发生1：3共振双Hopf分岔，并且对其在共振点附近的动力学行为进行研究，得到了振幅随参数变化的分岔图.结果表明,在两个具有时滞耦合的Van der Pol振子的1：3共振点附近存在丰富的动力学行为，如振幅死区、周期解、概周期解和周期三现象等.根据一般性的双 Hopf分岔理论，1：3共振属于共振双 Hopf分岔中的低阶共振问题，而对于其他共振问题，Wang等[17]得到了高阶共振是弱共振的结论，这是由于高阶共振的共振项出现在高阶项(高于三阶)，因此，模态之间的耦合较弱.然而这并不意味着低阶共振就是强共振，事实上如果一个低阶共振的所有低阶共振项的系数都为零，则该共振就是弱共振.在强共振情形，共振项首先出现在低阶项中，因此即使截断规范型方程到低阶项，发生内共振的两个模态之间的相互作用仍然比较强，这种相互作用使系统能量在两个模态之间相互传递.他们进一步得到了1：1，1：2和1：3三种低阶共振发生强共振和弱共振的条件.例如对于形如式(1)的时滞系统，得到时滞诱发的1：3内共振具有如下形式其中，C¯1¯12A2和C111A是共振项.Wang等[17]从理论上证明了如下结论：如果复振幅方程(4)中共振项的系数C111和/或C¯1¯12不等于零，则该1：3共振双Hopf分岔是强共振双Hopf分岔，其规范型方程是一个三维的系统；如果复振幅方程(4)中共振项的系数C111和C¯1¯12同时等于零，则该1：3共振双Hopf分岔是弱共振双Hopf分岔，其规范型方程是一个二维的系统.本文作者也讨论了1：1和1：2内共振强和弱的条件.为了区分强弱内共振的不同，考虑具有时滞反馈的极限环系统其中，Z(t)=x1+ix2是复数，ω0是振子的固有频率，a是实数，τ≥0是反馈时滞，k1和k2分别是线性和非线性反馈的强度.利用得到的强和弱共振的充分条件得知k2=0和k2≠0时，系统平凡平衡态发生1：2弱共振和强共振，系统(5)的幅频响应分别可以表示为和这里可以看出前者对应的分岔是余维3的，而后者是余维2的.从上述分析结果可以看出，强共振和弱共振的动力学行为在本质上是不同的，并且不可互相替代，强共振双Hopf分岔具有余维3奇异性，而其他情形的共振双Hopf分岔具有余维2奇异性.该结论对双Hopf分岔点附近的动力学行为分类具有重要的指导意义，可以对如振幅死区、倍周期运动、周期三和概周期运动的机理提供合理的解释.作为一个直接的应用，Song等[1819]分别对多时滞神经网络和具有分布时滞的神经网络的双Hopf分岔进行了研究，解决了这3类网络动力学行为的分类问题.多自由度时滞振动系统的一般形式为其中xi∈ R，i=1,2,···,N，φi关于时间变量 t满足2π 周期性.定义连续算子 xit：xit(θ)=xi(t+θ),∀θ∈[-τ,0]，则xit∈ C([-τ,0],R),i=1,2,···,N，其中C([-τ,0],R)表示从 [-τ,0]到 R的连续函数的全体所构成的空间.方程(6)从严格数学意义上讲为C空间上的泛函微分方程组，其形式为能够证明上述方程的解可以通过下面的迭代程序得到[20]为了验证上述积分迭代解的精度和有效性，分别研究如下的单自由度和双自由度的时滞振动系统其中，ω1=ω2+σ1,Ω=ω2+σ2，并分别得到得到积分迭代法(integral iteration method，IIM)、多尺度方法(method of multiple scales，MMS)与数值解(numerical simulation)的幅频关系，如图2和图3所示.通过与数值结果比较，发现积分迭代法得到的结果与数值结果吻合得非常好，并且在很多情况下积分迭代法的精度比多尺度方法高.因此，积分迭代法是一种有效处理时滞振动问题的方法.时滞的出现可能使得稳定性分析、响应计算、非线性分析都变得很困难.当时滞较小时，可将时滞项按Taylor公式展开，但这种方法不可靠.当时滞较大时，这种展开对动力学分析通常是无效的.Li等[21]研究了周期激励下具有较大时滞的时滞振动系统主共振解和亚谐共振解的稳定性，利用一种特殊函数(Lambert W)给出了一种计算最大Floquet乘子的直接方法，易于理解且计算精度高，由Floquet乘子实部的符号即可确定共振周期解的稳定性.另外，在时滞系统稳定性分析与Hopf分岔存在条件的讨论中都需要确定处于临界状态的特征根分支曲线随参数变化跨越虚轴的方向，尽管数值计算可以得到各具体临界点处的性态，但无法得到不同临界点处的普遍性结论.针对参数依赖时滞的一类系统，Wang[22]提出了一个简洁的计算公式，由临界稳定条件确定两个易于得到的辅助函数，计算其雅可比行列式即可.Hopf分岔是时滞系统中导致平衡点失稳的一种典型的非线性动力学现象，其分析通常都是非常繁琐而复杂的.为了克服这一困难，在Maple软件环境下，Zhang 等[23]实现了计算滞后型泛函微分方程在Hopf分岔附近的规范型的Maple算法和计算程序的开发，只要提供时滞微分方程的基本信息，即可得到规范型，应用非常方便.该算法的优点是可以同时对系统进行中心流形约化和规范型计算.中立型时滞系统与滞后型时滞系统相比，不仅动力学行为更复杂，理论分析也更困难.国际著名学者Nayfeh在2008年一篇论文中曾猜测：应用多尺度法和规范型理论对NDDE进行规范型分析时，所求得的规范型是相同的.Zhang等[24]同时提出了一套基于规范型理论的符号算法，用于中立型时滞微分方程的Hopf分岔的规范型计算，并应用该算法对受时滞位移反馈控制的起重机动力学进行了分析，研究结果验证了Nayfeh的猜测.作为时滞耦合系统中时滞诱发复杂性的一个应用，Yan等[25]研究了磨削过程中的颤振机理.系统的力学模型被视为两端简支的欧拉--伯努利梁和阻尼弹簧质量系统的耦合系统,磨削系统的时滞来源于工件与砂轮接触一周的时间，他们首先分析了时滞诱发的失稳区间，重要的发现是存在着两个临界时滞分别对应着超临界和亚临界Hopf分岔，于是证明了Bautin分岔点(余维2)的存在.通过对Bautin奇异性的分析和动力学行为的分析，在理论上给出了静平衡态和颤振共存的判据，并且得到了响应的时滞区间，这意味着在静平衡态和颤振之间有一个转速的过渡区，这个过渡区依赖于系统的初始状态，也是可控的区间.研究结果有助于理解磨削加工中再生颤振的产生机理，且有助于抑制磨削过程中砂轮和工件颤振的转速设计.在此工作的基础上，Yan等[26]进一步讨论了往复式磨削中的颤振运动.相比于切入式磨削过程，往复式磨削中的砂轮会沿着工件轴向来回移动，从而保证工件的表面能够被完整地磨削.因此，其动力学控制方程中代表砂轮位置的参数不再是一个常数，而是转化为一个随时间变化的量.然而，考虑到砂轮作往复式运动的速度非常小，。