一类虚拟控制系数未知的随机非线性时滞大系统的适应镇定控制

具有输入未建模动态的纯反馈非线性系统自适应控制张天平;葛继伟;夏晓南【摘要】对一类具有状态和输入未建模动态且控制增益符号未知的纯反馈非线性系统,利用非线性变换、改进的动态面控制方法以及Nussbaum函数性质,提出两种自适应动态面控制方案.利用正则化信号来约束输入未建模动态,从而有效地抑制其产生的扰动.通过引入动态信号,有效地处理了由状态未建模动态引起的动态不确定性.通过在总的李雅普诺夫函数中引入非负正则化信号,并利用稳定性分析中引入的紧集,证明了闭环控制系统是半全局一致终结有界的.数值仿真验证了所提方案的有效性.%Based on dynamic surface control(DSC)method and using Nussbaum function property,two adaptive DSC schemes are developed for a class of pure-feedback nonlinear systems with state and input unmodeled dynamics as well as unknown control gain sign in this paper.Normalization signal is designed to restrict the input unmodeled dynamics, and the disturbance produced by it is effectively suppressed.Dynamic signal is introduced to deal with the dynamic uncertainty caused by unmodeled dynamics.By adding the normalization signal to the whole Lyapunov function and using the defined compact set in stability analysis,all the signals in the closed-loop system are proved to be semi-globally uniformly ultimately bounded(SGUUB).Numerical simulation verifies the effectiveness of the proposed approach.【期刊名称】《控制理论与应用》【年(卷),期】2017(034)012【总页数】11页(P1637-1647)【关键词】输入未建模动态;动态面控制;积分型Lyapunov函数;Nussbaum函数【作者】张天平;葛继伟;夏晓南【作者单位】扬州大学信息工程学院自动化专业部,江苏扬州225127;扬州大学信息工程学院自动化专业部,江苏扬州225127;扬州大学信息工程学院自动化专业部,江苏扬州225127【正文语种】中文【中图分类】TP131 引言(Introduction)自从文献[1]提出后推设计以来,它已成为非线性系统控制的主要设计工具.其缺点是在后推的每一步需对虚拟控制反复求导,随着系统阶次的增加,控制器的结构越加复杂,通常称为“微分爆炸”问题.文献[2]通过在后推的每一步引入一个1阶滤波器,用代数运算代替微分运算来消除传统后推设计的不足.文献[3–4]在文献[2]基础上分别对严格反馈及纯反馈两类非线性系统提出两种自适应动态面控制方案.进一步,文献[5]提出一种改进的动面控制策略.近年来,带有输入未建模动态的自适应控制受到了人们广泛的关注,并取得了一些研究成果.文献[6]首次对输入未建模动态展开了研究,并分别对具有线性输入未建模动态的严格反馈非线性系统和输出反馈非线性系统,利用正则化信号、动态非线性阻尼设计和后推技术,设计了相应的控制律.该设计保证了对于传递函数描述下的输入未建模增益,存在一个独立于初始条件的正则化信号,使得系统所有输入与状态收敛于一个区间内.文献[7]利用小增益定理拓展了文献[6]关于输入未建模动态的研究思路.文献[8]在文献[6–7]的基础上得到了进一步的结果,证明了未建模动态子系统为零相对阶的最小相位系统的有界性.文献[9–15]关于输入未建模动态展开了不同的讨论.对于线性输入未建模动态,相应的约束条件是子系统为最小相位系统,而对于非线性输入未建模动态,要求子系统零动态是输入状态稳定的.在该假设条件下,根据输入未建模动态李雅普诺夫函数的指数收敛率,设计正则化信号,提出自适应后推控制律,但系统高频增益符号假设是已知的.众所周知,当系统的控制方向未知时常常给控制器的设计带来较大困难.由于具有广阔的应用背景,控制增益符号未知的非线性系统受到广泛的讨论.文献[16]为控制方向未知的系统提供了一种通用性控制方法,即Nussbaum函数增益技术.文献[17–18]针对存在未知高频增益和时变不确定性的非线性系统,利用Nussbaum函数和后推技术,提出了一种鲁棒控制策略.文献[19]利用Nussbaum函数性质讨论了一类具有时滞不确定性的严格反馈系统的自适应控制问题,同时给出了时变控制增益符号未知的闭环系统稳定的判断定理.文献[20]对一类具有未建模动态的纯反馈非线性系统,在虚拟控制增益已知和未知的两种情形下,分别提出了自适应动态面控制方案,并利用Nussbaum函数解决了虚拟控制增益未知的问题.文献[21]对一类具有未建模动态及动态不确定性的严格反馈非线性系统,利用李雅普诺夫函数刻画状态未建模动态,提出一种新的自适应动态面控制方案.文献[22–23]对一类带有输入未建模动态的输出反馈非线性系统,利用正则化信号约束输入未建模动态,提出两种输出反馈自适应动态面控制策略.文献[24]对一类具有未建模动态和死区的纯反馈非线性系统,在假设控制增益符号已知的条件下,提出一种基于改进动态面控制的自适应神经网络控制方案.本文在文献[5,20,22,24]的基础上,对一类纯反馈非线性系统,提出了两种新的鲁棒自适应动态面控制策略.主要贡献如下:1)对同时具有状态和输入未建模动态的非线性系统,分别讨论了控制增益gn(x)符号已知和未知两种情况,提出了两种不同的自适应控制策略,而文献[22–23]中讨论的系统是一类输出反馈非线性系统.2)通过非线性变换将纯反馈系统转化为更容易分析的严格反馈系统形式,采用改进的动态面控制方法,避免采用中值定理,从而移去了虚拟控制增益符号及其上下界已知的假设条件,并简化了设计.3)在后推设计的前n−1步仅有一个参数需要在线调节,减轻了计算量.4)通过在总的李雅普诺夫函数中加入非负正则化信号,并利用动态面控制证明的特点,有效地处理了控制信号的有界性.2 问题的描述及基本假设(Problem statement and basic assumptions)考虑如下一类具有输入未建模动态的纯反馈非线性系统:式中:i=[x1x2···xi]T∈Ri,i=1,2···,n;x=[x1···xn]∈Rn是状态向量,ω∈R是作用在非线性系统上的不可量测信号,y∈R是系统输出,gn(x),fi(·)(i=1,···,n)是未知光滑函数,z∈ Rn0是不可测量状态,∆i(t,z,x)(i=1,···,n)为未知不确定扰动.输入未建模子系统描述如下:式中:p∈Rn1是由输入u∈R所产生的未建模状态,ω∈ R是n1阶子系统的输出,A∆(·)和b∆是未知向量,c∆(·)是未知函数并且d∆未知常数.控制目标:设计自适应控制律u,使得系统的输出y尽可能好地跟踪一个给定的期望信号yd,并保证闭环系统是半全局一致终结有界的,且跟踪误差收敛到一个小的残差集内.定义1[25]对于系统=q(t,z,x),如果存在K∞类函数1,2和一个Lyapunov函数V0(z)使得以及存在两个常数c＞0,d≥0和一个K∞类函数γ(·)使得式中:c＞0,d≥0是两个已知常数,γ(·)是一个已知K∞类函数,则称未建模动态是指数输入状态实用稳定(exponentially input-state-practically stable,exp-ISpS).假设1[25]未建模动态是指数输入状态实用稳定(exp-ISpS)的.假设2 gn(x)的符号是已知的,且存在常数gi0和gn1,使得不失一般性,假设gn(x)＞0.假设3[3]期望轨迹向量xd=[yddd]T∈Ωd连续可测,其中是一个紧集,B0是一个已知正常数.假设4[25]对未知不确定扰动∆i(t,z,x),i=1,···,n,存在未知非负连续函数ρi1(·),未知非负连续单调递增函数ρi2(·),使得其中‖·‖表示欧氏范数.假设5[13] 对于输入未建模动态子系统(2)–(3),其相对阶数为零,即d∆̸=0,且存在一个常数,使得‖c∆(p)‖≤‖p‖.假设6[13] 对于输入未建模动态子系统(2)–(3),存在一个Lyapunov函数W(p),满足式中:βp1,βp2,βp3是正常数,δ0是已知正常数.引理1[25]若V0(t)是系统=q(t,z,x)的一个exp-ISpS李雅普诺夫函数,即假设1成立,则对于任意常数f∈(0,c),任意初始时间t0＞0,任意初始状态z0=z(t0),v0＞0和任意(|x1|)≥γ(|x1|),存在有限时间对于非负函数D(t0,t),定义动态信号=−fv+(|x1|)+d.当t≥ t0+T0时,存在D(t0,t)=0,使得V0(z)≤v(t)+D(t0,t).不失一般性,取(|x1|)=γ(|x1|).引理2若假设6成立,=−δ0+|u|,则存在常数c1,c2＞0使得其中δ0由式(7)确定.引理2证明参见文献[13].注1 假设1是对未建模动态的要求;假设2是为了保证所讨论的下三角型系统是能控的而对未知系统函数提出的基本要求;假设3是对跟踪信号的要求;假设4是对动态不确定性提出的要求;假设5–6是对输入未建模动态的刻画.假设1–6在现有文献中已被广泛使用.仿真中应该验证状态未建模动态和输入未建模动态满足假设1,4–6.此外,需要构造适当的李雅普诺函数,如来确定设计动态信号、正则化信号用到的设计参数f及δ0.3 控制增益符号已知的控制器设计(Controller design with known gain sign) 本节中,首先讨论系统控制增益gn(x)及d∆符号已知的情形,不妨假设全为正.令Fi(i,xi+1)=fi(i,xi+1)−xi+1,i=1,···,n−1.则系统(1)可改写为如下形式:对于未知连续函数Fi(i,xi+1),1≤i≤n−1,在给定的紧集ΩZi上,本文将采用径向基函数神经网络进行逼近,即式中:Zi=i+1,εi(Zi)是逼近误差,i=1,···,n−1,Fn(Zn)将在最后一步中给出,Zn=[xTsnnv]T.基向量ξi(Zi)=[ξi1(Zi) ···ξili(Zi)]T∈ Rli,基函数定义如下:其中:bik和aik分别为高斯函数的中心和宽度,k=1,···,li,理想权向量定义为控制器设计分为n步,βi是以αi为输入的一阶滤波器的输出,i=2,···,n.最后,控制律u 将在第n步提出.为了叙述方便,定义一些如下形式的Lyapunov函数:式中:s1=x1−β1=y−yd,si=xi−βi,i=2,···,n.第1步由式(10)可知对s1求导得设计虚拟控制律α2如下:式中:a1＞0,k1＞0是设计常数,是λ在t时刻的估计,而设计一阶滤波器如下:式中:τ2为时间常数,α2为系统输入,β2为系统状态.令y2=β2−α2,可得出因此有式中是一个非负连续函数.对Vs1关于时间t求导,得式中=−λ.由假设4和引理1可知存在一个正常数D0,使得D(t0,t)≤ D0,∀t≥ 0,可得式中:表示由Young’s不等式得将式(25)–(26)代入式(24),可得式中:是一个未知的非负连续函数.第i步(2≤i≤n−1) 对si求导得设计虚拟控制律αi+1如下:式中:ai＞0,ki＞0是设计常数.设计一阶滤波器如下:式中:τi+1为时间常数.令yi+1= βi+1− αi+1,可得进一步有类似于第1步的推导,易得式中:是一个未知的非负连续函数.第n步令sn=xn−βn,因此可得令Gn(x)=d∆gn(x),定义一个光滑Lyapunov函数如下:由积分第2中值定理可知其中σ∈(0,1).因此Vsn为正定函数.将Vsn对时间t求导并利用分部积分可得由假设4得同理,与第1步类似,由假设4和引理1可得由Young’s不等式可得由假设4和引理1,可得式中对于未知连续函数Fn(Zn),在给定的紧集ΩZn上采用径向基函数神经网络进行逼近,即将式(33)(36)–(41)代入式(35),可得将式(3)代入式(42),并利用Young’s不等式,可得为了处理上式中项,由假设5–6及引理2可知设H=max{c1(‖p(0)‖+|(0)|),c2},则可得不妨令将其代入上式,可得式中P=(1+|(t)|)2.设计下面的控制律u:式中:an＞0,kn＞0是设计常数,是H在t时刻的估计.将式(46)和式(47)代入式(43),并利用Young’s不等式,可得式中:是一个未知的非负连续函数,设计参数,的自适应调节律如下:式中γ1,γ2,σ1,σ2＞ 0是设计常数.定义紧集式中:γ3＞0是一个设计常数,J为任给的正常数,pn=2n+3.令连续函数κi在紧集Ωn×Ωd上的最大值为M1i(i=1,···,n),ηi在紧集Ωn×Ωd上的最大值为M2i(i=2,···,n),|u|在紧集Ωn×Ωd上的最大值为M3.定理1 考虑由系统(1)、控制律(47)、自适应律(49)–(50)组成的闭环系统,若假设(1)–(6)成立,对于任意有界初始条件及V(0)≤J,存在常数ki,τi,γ1,γ2,σ1,σ2使得闭环系统半全局一致终结有界,其中ki,1/τi,α0满足如下条件:证选取如下Lyapunov函数:将V对时间t求导,可得所以当V≤J时,易得将式(52)代入式(55),可得当V≤J,可得有界.因为x1=s1+yd,xi=si+yi+ αi,利用式(20)–(30),依次可得x1,α2,x2,···,αn,xn是有界的.由∈L∞,可得P是有界的.根据式(47)及,,P∈L∞,可得u∈L∞.因为Q(n−1,v)是一个非负连续函数,n−1,v有界,所以Q(n−1,v)有界.可设Q(n−1,v)≤µ0,µ0是正常数.由上式可得如果V=J且α0≥(µ0+µ1)/J,那么≤0.进一步,如果V(0)≤ J,那么V(t)≤ J,∀t＞ 0.式(57)两边同乘以eα0t可得对式(58)积分,可得因此,闭环系统的所有信号和是一致终结有界的.进一步有xi,yi+1和αi,u一致终结有界.4 控制增益符号未知的控制器设计(Controller design with unknown gain sign) 本节中,将放宽假设条件,研究含有Nussbaum函数的自适应动态面控制器来处理控制增益符号未知且具有输入未建模动态情形的控制问题.假设7 gn(x)的符号是未知的,且存在常数gi0和gn1,使得其中Nussbaum函数性质如下:常用的Nussbaum函数包括:和本文选取引理 3 已知V(·),ζ(·)都是[0,tf)上的光滑函数,且V(t)≥ 0,∀t∈ [0,tf),N(·)是一个Nussbaum函数,如果下列不等式成立其中:c为非负常数,g(x(τ))是一个在闭区间[l−,l+]取值的时变参数,α是一个正常数.可得V(t),ζ(t)和一定在[0,tf)上有界.第i步(0≤i≤n−1) 与第3节讨论相同,在此不再赘述.第n步令sn=xn−βn,因此可得由假设7,定义一个光滑Lyapunov函数如下:由积分第2中值定理可知,Vsn可改写为其中σ∈(0,1).对Vsn在时间t上求导,可得类似于第3节的推导,易得设计控制律如下:令类似于式(44)–(45)的推导,可得将式(68)–(70)代入式(68),并利用Young’s不等式得定义总的Lyapunov函数如下:式中γ3＞0是设计常数.定义紧集式中:J为任给的正常数,pn=2n+2.令连续函数κi在紧集Ωn×Ωd上的最大值为M1i,i=1,···,n,ηi在紧集Ωn×Ωd上的最大值为M2i,i=2,···,n.定理2 考虑一类由系统(1)、控制律(68)–(69)、自适应律(48)组成的闭环系统,若假设1,3–7成立,则对于任意有界初始条件及V(0)≤J,存在常数ki,τi,γ1,γ2,σ1,σ2使得闭环系统半全局一致终结有界,其中ki,1/τi,α0满足如下条件:证总的Lyapunov函数V由式(72)确定.当V≤J时,对Lyapunov函数V求导并利用式(68)–(69)可得将式(74)代入式(75),可得若V≤J,则有有界,类似于定理1的分析可得n,αi有界.根据∈L∞,可知P有界.因为Q(n−1,v)是一个非负连续函数,n−1,v有界,所以Q(n−1,v)有界.可设Q(n−1,v)≤µ0,µ0是一个未知正常数.由式(78)得类似于第2节的讨论,可得由引理3可知,V(t)和ζ(t)在[0,tf)上有界.由于tf是任意正常数,因此,和ζ(t)在[0,∞)上有界.进一步由式(69)可知,式(77)右边第4项是有界的,即存在正常数µ2使得N(ζn)+1]n|≤ µ2.由式(77)可得如果V=J且α0≥(µ0+µ1+µ2)/J,那么≤0.进一步,如果V(0)≤ J,那么V(t)≤J,∀t≥0.因此,闭环系统的所有信号si,yi,,v,和是一致终结有界的.进一步,可得xi,yi+1和αi,u一致终结有界.注2 本文利用Nussbaum函数,设计了控制律(68)和Nussbaum参数自适应律(69).进一步,在总的李雅普诺夫函数中加入了正则化信号,从而证明了闭环系统的稳定性.5 仿真结果(Simulation results)例1考虑如下具有未建模动态的倒立摆系统[23]:式中:q(t,z,y)= −2z+y sin t+0.5,∆1=0.5z,∆2=x1z,g=9.8 m/s2重力加速度,mc=1kg 是小车的质量,ml=0.1kg是半个杆的质量,l=0.5m是半个杆的长度.期望的轨迹为yd=(π/30)sin t.仿真中,=−δ0+|u|,=−v+2.5y2+0.6;设计参数取为k1=5,k2=10,γ1=γ2=4,σ1= σ2=0.01,δ0=1.5,τ2=0.05;初值为x(0)=[0.05 −0.1]T,z(0)=0,p(0)=[00]T,(0)=1.5,(0)=0.15,(0)=0.2,v(0)=1.5.基向量为仿真结果如图1–3所示.从图1,2可知,本文所设计的自适应控制能够保证闭环系统具有良好的跟踪性能.例2考虑如下一类具有输入和状态未建模动态的纯反馈非线性系统:期望的跟踪轨迹yd(t)=0.5sint+0.25sin(0.5t).图1 增益符号已知的倒立摆系统输出y和期望轨迹ydFig.1 Output y and desired trajectory ydfor inverted pendulum system with known gain sign图2 跟踪误差s1Fig.2 Tracking error s1图3 控制信号uFig.3 Control signal u对于控制方案1(增益符号已知):仿真中动态信号为设计参数取为初值取为神经网络的设计参数为仿真结果如图4–6所示.图4 增益符号已知的纯反馈系统输出y和期望轨迹ydFig.4 Output y and desired trajectory ydfor pure-feedback system with known gain sign 图5 跟踪误差s1Fig.5 Tracking error s1图6 控制信号uFig.6 Control signal u对于控制方案2(增益符号未知):仿真中动态信号为设计参数取为初值取为神经网络的设计参数为仿真结果如图7–9所示.图7 增益符号未知的纯反馈系统输出y和期望轨迹ydFig.7 Output y and desired trajectory ydfor pure-feedback system with unknown gain sign 图8 跟踪误差s1Fig.8 Tracking error s1图9 控制信号uFig.9 Control signal u6 结论(Conclusions)本文对一类具有状态和输入未建模动态的纯反馈非线性系统,利用非线性变换将纯反馈非线性系统转换为形式上的严格反馈非线性系统,进一步,利用动态面控制方法,对控制增益符号已知和未知情况,提出两种自适应控制方案.通过引入一阶滤波器,降低了控制器设计的复杂性.利用径向基函数神经网络逼近系统中的未知光滑非线性函数.利用积分型李雅普诺夫函数放宽了控制增益的要求.利用Young’s不等式,对推导过程中的不确定项进行放缩,从而减少神经网络在线调节参数的数目.利用Nussbaum函数的性质,处理虚拟控制增益符号未知问题.在未来的研究工作中进一步将其结果推广到具有输出和状态约束的非线性系统.参考文献(References):【相关文献】[1]KANELLAKOPOULOS I,KOKOTOVIC P V,MORSE A S.Systematic design of adaptive controllers for feedback linearizable systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control,1991,36(11):1241–1253.[2]SWAROOP D,HEDRICK J K,YIP P P,et al.Dynamic surface control for a class of nonlinear systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control,2000,45(10):1893–1899.[3]WANG D,HUANG J.Neural network-based adaptive dynamic surface control for a class of uncertain nonlinear systems in strictfeedback form[J].IEEE Transactions on Neural Networks,2005,16(1):195–202.[4]ZHANG T P,GE S S.Adaptive dynamic surface control of nonlinear systems with unknown dead zone in pure 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时变时滞随机非线性系统的自适应神经网络跟踪控制余昭旭;杜红彬【摘要】This paper focuses on the adaptive neural control for a class of uncertain stochastic nonlinear strict-feedback systems with time-varying delay. Based on the Razumikhin function approach, a novel adaptive neural controller is de- veloped by using the backstepping technique. The proposed adaptive controller guarantees that all the error variables are 4-moment semi-globally uniformly ultimately bounded in a compact set while the tracking error remains in a neighborhood of the origin. The effectiveness of the proposed design is validated by simulation results.%针对一类具有时变时滞的不确定随机非线性严格反馈系统的自适应跟踪问题,利用Razumikhin引理和backstepping方法,提出一种新的自适应神经网络跟踪控制器.该控制器可保证闭环系统的所有误差变量皆四阶矩半全局一致最终有界,并且跟踪误差可以稳定在原点附近的邻域内.仿真例子表明所提出控制方案的有效性.【期刊名称】《控制理论与应用》【年(卷),期】2011(028)012【总页数】5页(P1808-1812)【关键词】自适应跟踪控制;神经网络（NNs）;Razumikhin引理;随机系统;时变时滞【作者】余昭旭;杜红彬【作者单位】华东理工大学自动化系,上海200237;华东理工大学自动化系,上海200237【正文语种】中文【中图分类】TP2731 引言(Introduction)随机干扰广泛地存在于各类实际系统中,因此随机非线性系统的稳定性分析及控制器设计受到越来越多的关注[1～6].特别地,对于严格反馈型随机非线性系统,采用backstepping方法提出了许多控制策略[3～6].然而这些控制策略往往要求系统函数已知或满足匹配条件.如果不能获得系统函数的这些先验知识,那么这些方法显然不适用.由于神经网络和模糊系统对未知非线性函数具有良好的逼近性能,采用自适应神经网络控制和自适应模糊控制能较好地避免前面的限制.然而对具有未知系统函数的随机系统的神经网络控制问题和模糊控制问题的研究结果还比较少[6～10]. 时滞现象大量存在于如计算机网络、核反应器等实际系统中,并且往往会导致系统的不稳定,因此时滞系统一直是研究的热点问题[11].Lyapunov-Krasovskii方法和Lyapunov-Razumikhin方法也广泛地应用于时滞随机非线性系统的稳定性分析和控制器设计.文献[12,13]已将Lyapunov-Razumikhin方法应用到时滞不确定随机非线性系统的稳定性分析.对时滞随机非线性系统的镇定与跟踪问题,大多采用Lyapunov-Krasovskii方法[9,14～16]. 相比Lyapunov-Razumikhin方法,Lyapunov-Krasovskii函数则不易构造,且Lyapunov-Krasovskii函数的复杂性使得稳定性分析与控制器设计也更为复杂.此外Lyapunov-Krasovskii对时滞常常不仅要求有界,而且须满足(t)＜ς＜1(ς为常数),而Lyapunov-Razumikhin方法仅要求时滞有界.因此针对时变时滞随机非线性系统的跟踪控制问题,采用Lyapunov-Razumikhin方法提出一种新的自适应神经网络控制器设计方法具有重要意义.本文利用Razumikhin引理和backstepping方法,针对一类具有时变时滞的不确定随机非线性严格反馈系统,提出一种新的自适应神经网络跟踪控制策略.所提出的控制器可保证跟踪误差四阶矩半全局一致最终有界.同时由于神经网络参数化[10]的应用,使得自适应控制器中所估计的参数大量减少.2 问题描述及准备(Problem formulation and preliminary results)2.1 预备知识(Preliminary results)考虑以下随机非线性系统:其中:x∈Rn为状态,ω为定义完备概率空间(Ω,F,P)上的r维的标准布朗运动,其中:Ω为采样空间,F为σ域以及P为概率测度;f和h为合适维数的向量值函数或矩阵值函数.针对C2函数V(t,x)定义如下算子L:其中tr(A)为A的迹.Razumikhin引理:考虑时滞随机泛函微分方程(retarded stochastic functional differential equation,RSFDE):dx=f(t,xτ)dt+h(t,xτ)dω,令p ＞ 1,如果存在函数V(t,x)∈ C1,2([−τ,∞]× Rn)和常数ci＞0(i=1,2),q＞1,满足以下不等式:对所有的t≥0,满足那么RSFDE的具有初值ξ的解x(t,ξ)概率意义下一致最终有界,并且满足其中:|ξ(s)|p,γ=µ1∧.由文献[17]中定理4.1.4取κ =0,ψ(t)=e−t,µ = µ1和ζ(t)= µ2可容易得到以上Razumikhin引理,证明略.本文中考虑p=4.引理1 对于ε＞0和任意实数η∈R,存在不等式[18]其中k为常数且满足k=e−(k+1),即k=0.2785.引理2 考虑不等式其中λ为正常数,如果初始条件(0)≥0成立,则对所有t≥0有(t)≥0.本文中,高斯径向基函数(RBF)神经网络用来逼近任意的连续函数g(·):Rn→R,也即=TΦ(Z),其中输入向量Z∈ΩNN⊂Rn,权向量=(w1,···,wl)T ∈ Rl以及核向量Φ(Z)=(s1(Z),s2(Z),···,sl(Z))T;激励函数si(Z)采用高斯函数,即其中:µi=(µi1,···,µin)T为接受域的中心,νi为高斯函数的宽度.通过选择足够多的节点,神经网络在紧集ΩNN⊂Rn上可以逼近任意的连续函数,即“理想”的权向量W∗是为了分析而设想的量,定义为W∗:=arg|g(Z)−Z)|}.假设1 ∀Z∈ΩNN,存在“理想”的常数权向量W∗,使得‖W∗‖∞ ≤ wmax和|δ|≤ δmax,其中上界wmax,δmax ＞ 0.由式(7)容易得到其中:β(Z)==max{δmax,wmax}.2.2 问题描述(Problem formulation)考虑由以下方程描述的时滞随机非线性系统:其中:xi∈R(i=1,···,n)为系统的状态,定义i=[x1···xi]T,x=n;u∈R为控制输入;y∈R为系统的输出;Borel可测函数τ(t):R+→ [0,τ]表示未知的时变时滞;ω与系统(1)定义相同;f(·),g(·),q(·):Rn→ R和h(·):Rn→ Rr皆为未知的非线性光滑函数.本文的主要目的是设计一种自适应状态反馈控制率u(x,θ),=Φ(x,),使得对于某紧集内的初始条件x(0),(0),闭环系统的所有误差变量皆四阶矩半全局一致最终有界,且跟踪误差可以稳定在原点附近的邻域内.假设2 未知非线性函数g(x)的符号已知,且存在正常数bm和bM,满足0＜bm≤|g(x)|≤bM＜∞,∀x∈Rn.不失一般性,可进一步假设0＜bm≤g(x)≤bM＜∞.假设3 存在未知k∞类函数Q(·)满足以下不等式:|q(x(t− τ(t)))|≤ Q(‖x(t− τ(t))‖).假设 4 未知非线性函数h(x,x(t−τ(t)))满足以下不等式:‖h(x,x(t− τ(t)))‖2 ≤H1(‖x‖)+H2(‖x(t− τ(t))‖),其中:H1(·)为未知非负光滑函数,H2(·)为未知k∞类函数.(t)皆为连续且有界的.进一步,假定存在常数d,假设 5 参考信号yd(t)及其微分(t),···,使得‖[yd···]T‖ ≤ d.3 控制器设计及稳定性分析(Controller design and stability analysis)这一节,针对系统(9),利用backstepping方法及Razumikhin引理设计一种新的自适应神经网络跟踪控制器.首先,需引入以下误差变量:其中:为待定的虚拟控制函数,.对于1≤i≤n−1,选取Lyapunov函数选取虚拟控制函数为其中:Lαi−1=,ki为待定设计常数.则容易得到以下关系式:其中:p1=k1−3/4＞0,pi=ki−1＞0(2≤i≤n−1).将式(11)可改写为如下形式:系数di,j为常数.另外,α0(yd)=yd.基于以上的介绍,容易得到下面引理3.引理3 存在正常数ρ,υ,使得其中:Z=[z1···zn:=−θ/bm,表示未知常数θ/bm的估计.下面继续控制器的设计.当i=n时,由Itˆo公式可得其中Lαn−1:=.定义Lyapunov函数由式(2)可得由假设3可得由于Q(·)为k∞类函数,利用引理3及Razumikhin引理可得由引理1,||Fn,其中Fn=Q(2ρq‖Z(t)‖)+Q(2υ),可通过以下不等式进行处理: 由假设4,可得以下不等式:其中:Gn=H2(2ρq‖Z‖)+H2(2υ),ϑ1和ϑ2为任意的正常数.定义一个新的函数在紧集ΩZ中可通过RBF神经网络逼近:其中:Zn=[x[n]]∈ ΩZ,W∗TS(Zn)表示的“理想”神经网络近似,而δ(Zn)表示逼近误差.利用神经网络参数化式(8),可得其中: β(·)==max{δmax,wmax}.构造实际控制器及参数调整算法如下:其中kn,σ与λ为待定的正设计参数.利用不等式θ≥,在控制器(20)(21)的作用下,由式(14)～(19)可得其中pn:=knbm−＞0.式(22)可改写为其中: µ :=min{4p1,4p2,···,4pn−1,4pn,λ},ν :=θ2+k(θσ + ε)+由式(23)及Razumikhin引理可知,闭环系统的解四阶矩半全局一致最终有界,且对于足够小的ς＞0,存在时间T:=,其中:E|Z(s)|4,γ=µ∧,c1 ≤min{},使得∀t≥T,有E|(y(t)−yd)4|≤ (1+ς)基于以上分析,主要结论可由以下定理描述:定理1 对于满足假设(2)～假设(5)的时变时滞不确定随机非线性系统(9),在控制器(20)和参数自适应率(21)作用下,闭环系统的所有误差信号四阶矩半全局一致最终有界,且跟踪误差稳定在以下集合Ω所定义的区域内:注 1 定义如下紧集:初始值集合Ω0、有界紧集ΩZ、稳态紧集Ωs和神经网络逼近的有效集合ΩNN.在控制器设计过程中为了∀t≥0神经网络逼近皆有效,需保证ΩZ⊆ΩNN.为了阐述方便,由式(23)及Razumikhin引理,可将有界紧集ΩZ和稳态紧集Ωs定义如下:这些集合之间的关系如图1所示.在控制器设计的初始阶段首先定义ΩNN,并且ΩNN与控制器的参数和初始集合Ω0均无关.由式(24)(25)可知:i)初始集合Ω0通过‖ξ‖0影响ΩZ,但与Ωs和ΩNN无关;ii)可通过调整参数ki,λ,σ,ε,ϑ1和ϑ2,使得ΩZ和Ωs足够小.图1 各紧集之间的关系Fig.1 The relationship among compact sets由集合ΩZ和Ωs的界可知,对于给定足够大的ΩNN,存在合适的‖ξ‖0,γ和ν使得ΩZ ⊆ ΩNN和Ωs ⊆ ΩNN. 而由γ和ν的定义可知,γ和ν的值依赖于控制参数ki,λ,σ,ε,ϑ1和ϑ2的选择.因此对于给定足够大的ΩNN和‖ξ‖0=ξmax＞0,存在合适的控制参数使得ΩZ⊆ΩNN.定义xi(0),zi(0)和(0)的初始值集合Ω0使得‖ξ‖0＜ξmax.这时对于属于Ω0的所有xi(0),zi(0)和(0),∀t＞0均有ΩZ⊆ΩNN.4 仿真研究(Simulation example)考虑以下时变时滞不确定随机非线性系统:其中:τ(t)=1+sint,初始条件为x1(0)=0.2和x2(0)=0.1,参考输入信号yd=0.5(sint+sin 0.5t).仿真过程中,采用RBF神经网络来逼近未知函数,W∗TS(Z2)包含729个节点,中心分布在[−5,5]×[− 5,5]×[− 5,5]×[− 5,5]×[− 5,5]×[0,5],宽度为1;其他仿真参数给出如下:k1=4.74,k2=15,λ=5,σ=1.采用定理1中的控制器(20)和参数自适应率(21),其中z1=x1−yd,z2=x2− α1,β = β(Z2).仿真结果由图2～4给出,图2表明所提出的自适应跟踪控制器具有良好的跟踪性能,输出响应y能比较快地跟踪参考输入yd;控制输入如图3所示;图4描述了自适应参数曲线.图2 输出响应y(t)和参考输入yd(t)Fig 2 Output responsey(t)and reference inputyd(t)图3 控制输入u(t)Fig 3 Control inputu(t)图4 自适应参数Fig 4 Adaptive parameter5 结论(Conclusion)本文针对一类具有未知时变时滞的不确定随机非线性严格反馈系统,利用Razumikhin引理和backstepping方法,提出了一种新的神经网络自适应控制器,可以保证跟踪误差四阶矩半全局一致最终有界.所给出的控制器结构简单,易于实现.将该方法推广到更一般的严格反馈型随机非线性系统是下一步工作的方向.参考文献(References):【相关文献】[1]FLORCHINGER P.Lyapunov-like techniques for stochastic stability[J].SIAM Journal on Control and Optimization,1995,33(4):1151–1169.[2]FLORCHINGER P.Feedback stabilization of affine in the control stochastic differential systems by the control Lyapunov function method[J].SIAM Journal on Control and Optimization,1997,35(2):500–511.[3]PAN Z G,BASAR T.Adaptive controller design for tracking and disturbance attenuation in parameter-feedback nonlinear systems[J].IEEE Transactions on AutomaticControl,1998,43(8):1066–1083.[4]DENG H,KRISTIC M.Stochastic nonlinear stabilization:part 1:a 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未知控制方向非线性时滞系统部分状态反馈鲁棒自适应控制刘涛;李俊民【摘要】A robust partial-state feedback asymptotic regulating control scheme is developed for a class of time-varying nonlinear systems with unknown control coefficients and unknown time delays. The partial-state feedback asymptotic regulating control scheme has been introduced to deal with the uncertainties of the system. By constructing appropriate Lyapunov-Krasovskii functionals, the unknown time-delay terms are compensated in the controller design procedure. Nussbaum-type functions are used to solve the problem of the unknown control direction. The designed control scheme can ensure that all the signals of the closed-loop system are bounded. Especially, all the system states converge to zero asymptotically. Finally, the design procedure is illustrated through an example and the simulation results show that the proposed controller is feasible and effective.%针对一类带有未知控制方向的时变非线性系统的部分状态渐近鲁棒调节问题,文中采用部分状态反馈渐进调节的控制算法来处理系统中的不确定性,利用Lyapunov-Krasovskii泛函来处理系统中的时滞项,通过Nussbaum型函数来处理系统中的未知控制方向问题.我们基于反推技术给出了部分状态反馈控制器的设计步骤,所设计的控制器使得闭环系统的所有信号都是有界的,而且使系统的状态渐进收敛于零.仿真实例说明了控制器的有效性和可行性.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2011(028)006【总页数】7页(P756-762)【关键词】未知控制方向;非线性系统;部分状态反馈;鲁棒控制【作者】刘涛;李俊民【作者单位】西安电子科技大学理学院,西安710071;西安电子科技大学理学院,西安710071【正文语种】中文【中图分类】TP2731 引言在具有未知控制方向的自适应控制中，设计控制器时Nussbaum型函数常被用来处理系统的未知控制方向[1-5]．在现实中，时滞项经常存在于系统中，它会导致控制性能的降低从而使得系统的稳定问题变得更加的困难．基于Nussbaum型函数和Lyapunov-Krasovskii泛函，文献[6,7]实现了对含有未知控制方向和时滞的非线性系统的自适应控制．然而，上述文章很少研究具有时滞的级联非线性时变系统的渐进调节问题，本文将控制方向未知问题的控制理论推广到一类时滞非线性时变系统．利用部分状态调节控制器来保证闭环系统的所有信号是有界的，并且能够保证系统的状态渐近收敛于零．最后，我们用一个仿真实例来说明控制器的有效性和可行性．部分状态反馈的方法在具有执行器动态和传感器动态的系统中具有重要的应用．2 问题描述和预备知识考虑如下的非线性系统其中ζ∈R m表示系统的不可测状态，x=[x1,x2,···,xn]T∈R n表示系统的可测状态，其初始值分别为ζ(t0)=ζ0,x(t0)=x0;u∈R和y∈R 分别是系统的输入和输出；ω∈R s是扰动且是有界的，即存在未知正常数θ，使得∥ω∥≤θ；函数f 0:[t0,+∞]×R m×R→R m和h0:[t0,+∞]×R m×R→ R m×s关于变量是连续函数，且当t∈[t0,+∞],f 0(t,0,0)=0；函数ψi,f i:[t0,+∞]×R m×R n×R → R,i=1,2,···,n,h i:[t0,+∞]×R m×R n×R →R s,i=1,2,···,n，关于t是连续函数，关于其它变量是局部Lipschitz的，τi,i=1,2,···,n，为未知有限常时滞，当t∈ [t0,+∞]时，f i(t,0,0)=0,h i(t,0,0)=0,ψi(t,0)=0,i=1,2,···,n．对于系统(1)，我们假设以下条件成立：假设1 存在连续可微的Lyapunov函数U0(t,ζ),K∞类函数κ1,κ2，以及正常数c0i,i=1,2，使得其中ρ(y)>0是已知的光滑函数．假设2存在未知常数c i1>0和已知光滑函数φi(¯x i)>0，使得假设3存在未知常数c i2>0和已知光滑函数ϕi(¯x i)>0，使得假设4 存在未知常数c>0和已知光滑函数σi(y(t−τi))>0，使得假设5 时变参数g i(t)在未知闭区间I i=[,]内取值，且0∈/I i,i=1,2,···,n,g i(t)的符号是未知的，即控制方向未知．注1假设2和假设3是对系统中的非三角结构项给出的条件，当假设2中φi(x¯ i)=1，且系统(1)中不存在时滞项和干扰项，而且为未知常数时，文献[8,9]解决了系统(1)的输出反馈调节问题．假设4是为了处理系统中的延时项而给出的，比文献[10]中的假设更具有一般性．假设5表明文中的控制方向未知，我们将引用Nussbaum函数来处理．如果N(η)是Nussbaum函数，则它具有下列性质在文中，取Nussbaum函数为N(η)=exp(η2)cos(πη/2).3 控制器设计和主要结果本节将给出系统的渐进调节控制器的设计和系统稳定性的分析，设计过程包括n 步，在文中给出如下的虚拟控制器和更新率其中=[η1,η2,···,ηi],z i=x i− αi−1,i=1,2,···,n，并且α0=0，在设计过程的最后一步，控制器u将被设计出来，设计过程将以递推的方式给出．第1步取Lyapunov函数为则由假设1、假设2及假设3，可得其中Θ1=max{∆2/c01,c02,1,c2}≥ 1,∆ =max{c i1,c i2θ,i=1,2,···,n}为未知常数．取其中是光滑的函数．定义变量z2=x2−α1，则由(3),(4)两式可得其中b i=max(|,),i=1,2,···,n，是未知常数．第k步取Lyapunov函数则函数关于时间的导数满足由(2)式可以找到一个光滑函数Φk,Ψk满足如下不等式则将(7)和(8)式代入(6)式，可得其中为未知常数．取其中βk(,−1)为光滑函数，把(10),(11)两式代入(9)式，则可得第n步当k=n时，选择如下的u,ηn和Lyapunov函数V n：其中z n=x n−αn−1,βn,−1)≥1，从而可得对于以上的分析，我们可概括为如下定理．定理1 如果假设1至假设5都满足，并将以上的设计步骤应用到系统(1)，并且满足初始条件，则闭环系统的所有信号在[t0,∞)上都是有界的，并且对状态渐进调节是能达到的，即ζ(t)=x(t)=0．证明由于设计的控制器是光滑的，所以闭环系统解在最大的时间区间[t0,t f)．从上面的设计过程可得其中对上式进行积分得以下的证明过程和文献[12]类似，由(16)式可得V k,ηk,1≤k≤n，在区间[t0,t f)是有界的．由V k可得ζ,z k,1≤k≤n，在区间[t0,t f)是有界的；由(2)式可得xk,1≤k≤n，是有界的．因此，闭环系统的所有信号在[t0,t f)都是有界的，综上可得闭环系统所有信号有界，没有发生逃逸现象，因而t f=∞．由x k(t)和ηk(t),1≤k≤n，的有界性，可得u(t)和|x˙(t)|是有界的；而由x k(t)和zk(t)的有界性可知αk(t),η˙k(t),1≤k≤n，也是有界的．因此|z˙(t)|是有界的并且|z(t)|2是一致连续的，从而z(t)|=0．利用z k(t)的定义和ηk(t),1≤ k≤ n，的有界性，可以得到|x(t)|=0；因此|x k(t)|=0,1≤k≤n．因为|ζ˙(t)|是有界的，因此|ζ(t)|2是一致连续的，利用假设1和Barbalat引理可以证得|ζ(t)|=0．从而定理1得证．4 仿真实例下面给出一个例子来说明控制算法的有效性．考虑有未知控制方向的系统其中ω(t)是有界的，g1(t)和g2(t)是未知的时变参数，g i(t)在未知的闭区间I i内取值且0/∈I i,i=1,2，g i(t)的符号是未知的．假设状态(x1,x2)是可测的，状态ζ是不可测的．在实际应用中，ζ子系统往往看做实际系统的执行器动态，x子系统是被控对象，在具有执行器动态的系统中，往往通过被控系统的状态来实现对整个系统的控制．问题的目标是设计一个部分状态控制率来解决系统(17)的渐近调节问题．可以证得系统(17)满足定理1的假设，取U0(t,ζ)= κ1(∥ζ∥)= κ2(∥ζ∥)= ζ2/2，根据设计步骤构造以下光滑的渐近调节控制器仿真中选择初始条件为ζ(0)=0.2,x2(0)=0.2,(η1(0),η2(0))=(1,1)，当−2 ≤ t≤ 0时，y(t)=0.2．图1和图2是仿真的结果，由图2可以看出，该系统的所有状态都调节为零，由图2可以看出系统其它所有信号都是有界的，说明控制算法是有效的．图1: 控制曲线u图2: 状态ζ,x 1,x 2的轨迹5 结论本文研究了一类具有未知控制方向的时滞非线性时变系统的鲁棒渐近调节问题．文中利用Lyapunov-Krasovskii函数来处理系统中的时滞项，利用部分状态控制器来保证闭环系统的所有信号都是有界的，并且保证系统状态是渐近调节的．仿真实例说明了所设计部分状态反馈渐近调节控制算法的有效性．参考文献：【相关文献】[1]Ye X D,Jiang J P.Adaptive nonlinear design without a priori knowledge of control directions[J].IEEE Transactions on Automatic Control,1998,43(11):1617-1621[2]Ding Z.Adaptive control of nonlinear systems with unknown virtual control coeffi cients[J].International Journal of 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一类转移概率部分未知的Markov跳跃系统的输入输出量化反馈控制孙维阳;刘雨【摘要】The stability and stabilization problems for a class of discrete‐time M arkov jump systems (M JSs) are concerned .A general scenario is taken into consideration :the elements of transition probability matrix are partly unknow n and signal quantization exists in both control input channel and measurement output channel . T he quantized signals in the above‐mentioned channels are quantized via tw o different logarithmic quantizers .By virtue of sw itched Lyapuno v function approach , a system‐mode‐dependent and quantization‐error‐dependent Lyapunov function is constructed to solve the issues of stability analysis and controller design .A set of mode‐de‐pendent controllers is designed ,w hich is effective in tackling the quantization errors in tw o channels ,and under the circumstance of insufficient information of transition probabilities ,the resulting closed‐loop M JSs are sto‐chastically stable .Finally ,a numerical example is utilized to demonstrate the effecti veness of the proposed con‐trol strategy .%对一类离散时间马尔可夫跳跃系统(Markov jump systems ,M JSs)的稳定性问题进行研究,考虑M JSs转移概率矩阵中的元素部分未知,且系统的控制输入通道和测量输出通道都存在信号量化的情况,其中控制器输入通道和系统输入通道的信号分别被两个不同的对数量化器量化.利用切换李雅普诺夫函数的方法,通过构造系统模态依赖且双通道量化误差依赖的李雅普诺夫函数,完成对闭环系统的稳定性分析和控制器设计.得到一组模态依赖的控制器,能够在系统的转移概率部分未知和存在双通道量化误差的条件下,保证闭环 M JSs的随机稳定性.最后通过仿真实验验证了理论的有效性.【期刊名称】《系统工程与电子技术》【年(卷),期】2019(041)008【总页数】7页(P1858-1864)【关键词】信号量化;对数量化器;输入输出量化反馈控制;马尔可夫跳跃系统;转移概率部分未知;切换李雅普诺夫函数法【作者】孙维阳;刘雨【作者单位】哈尔滨工业大学控制科学与工程系,黑龙江哈尔滨150001;哈尔滨工业大学控制科学与工程系,黑龙江哈尔滨150001【正文语种】中文【中图分类】TP2730 引言马尔可夫跳跃系统(Markov jump systems, MJSs)是一类具有多个模态的随机切换系统,系统在各个模态间的跳变是随机的且服从一定的概率分布,可以由一个马尔可夫链描述。