高中数学二项式系数的性质课件北师大版选修2-3

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高中数学二项式系数的性质课件北师大版选修2-3

3求、第已五知项。
x
4
1 x3
n
的展开式中只有第10项系数最大，
解：依题意，n为偶数，且 T5 306x04
n110,n18, 2
练习２
(2)n
1 、 1 3 C 化 n 1 9 C n 2 2 简 C n 3 7 ( 1 ) n 3 n C1)5-5 (2x+1)4+10 (2x+1)3-10 (2x+1)2+5 (2x+1)-1=
… … … … … … … … … Cnr 1 Cnr 1 Cnr
这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨
辉1261 年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表：
这个表称为杨辉三角
一
在欧洲，这个表被认为是法
一一
国数学家帕斯卡(1623年—
一二一
1662年）首先发现的
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
32
x
5
.
3、求(a+b+c)10的展开式经合并同类项后的项数 66

高中数学选修2-3课件1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件

2.在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同的项是 A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项
2.在(a＋b)n展开式中，与第k项二项式系数相同的项是
A. 第n-k项
B. 第n-k-1项
C. 第n-k+1项 C. 第n-k+2项
观察杨辉三角
(a b)1
1.增减性？
(a b)2
C
1 n
x1
C
2 n
x
2
Cnk x k
C
n n
x
n
问题1：此展开式二项式系数之和
_______________________________.
问题2：此展开式系数之和赋值法求 _____________________________系__数. 和
（a+x)n的二项式展开各项的系数和求法：只要令自变量为1即可。
C0n
C1n
C
2 n
Cnn
2n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2n
同时由于C
0 n
1，上式还可以写成：
C1n
C2n
C3n
C
n n
2n
1
这是组合总数公式．
一般地，(a b)n 展开式的二项式系数
Cn0 ,Cn1,Cnn 有如下性质：
（1）
Cnm
C nm n
（2）
左增右减
(a b)3 (a b)4
2.在何处取得最大值？(a b)5
11 12 1 13 3 1 14 6 4 1 1 5 10 10 5 1
性质2：
当n是偶数时，展开式有n+1项（ n+1是奇数），中间项

二项式系数的性质ppt课件

因为 Ckn
n!
nn 1 n 2 n k 1
k! n k !
k 1 !k
Cnk 1 n
k k
1，
所以，当 n
k
1
，即 k 1
k
时， Ckn Cnk 1 .
n 2 1 时，Ckn
Cnk 1 ；当 n
k k
1
1 ，即k
n1 2
三项式的展开式（1）利用多项式的乘法法则及组合数即得三项式的展开式中的每一项的特征及同类项的个数，即得其展开式；
（与 a,b 的值无关，只与 n 的值有关）
C
n n
，这表明在二项
C
n n
2n
②在二项式定理中，令 a=1，b=-1，则有
1 1 n 0n C0n C1n
1 k Cnk
1 n Cnn ，这表明在二项展开式中奇
数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等且都等于 2n 1 ．即
C0n C2n C4n
求项的系数的最大（小）值只需比较两组相邻两项系数的大小，根据二项式通项
列出不等式（组）即可，即设第（ k 1）项的系数最大（或最小），则
Tk
的系数
1
Tk
的系数
1
Tk的系数
Tk
的系数
2
（或
Tk Tk
的系数
1
的系数
1
Tk的系数
Tk
的系数
2
）
3.若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.
4.若 (2x 1)100 a0 a1x a2 x2 a100 x100 ，则 2 a1 a3 a99 3 被 8 整除的余数

二项式系数的性质(说课课件)定稿剖析

根据分类计数原理得：
C0n C1n Cn2 Cnn 2n
C0n C1n Cn2
Cnn 2n
教学过程
【问题拓展】你能求二项式展开式中所有奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和吗？
在展开式
(a b)n C0nan C1nan1b C2nan2b2 Cnnbn
教学
重点：杨辉三角中数字规律的探究。
重
点与难点：二项式系数的性质归纳及简单证明，
赋值法的应用。
难
点难点突破：组合数的性质和二项式定理的应用。
导教法选择与学法指
教法:
为了实现本节课的教学目标，在教法上采用“观察、猜想、归纳、论述、证明、合作交流”的方法。让学生通过对低阶杨辉三角的观察,猜想并归纳出二项式系数的性质。
通过课外学习，了解“杨辉三角”，弘扬我国古代数学文化；探究与发现杨辉三角中数字规律。
感知规律领悟性质
【问题提出】怎样理解 (a b)n展开式的二项式系数
具有递推性和对称性呢？
教
老教材：从整体到局部
学
新教材：从局部到整体
过【反思教材】培养学生观察和归纳能力，减轻论证的难
程
度，降低学习的门槛，提高学习的兴趣，让学生学的简单、自然、快乐。
这样的设计遵循认知的渐进性原则，让学生更好的理解赋值法
交流合作贯彻模式
教学过程
理解结论 C0n C1n Cn2 Cnn 2n
可以看作是 n元集个数；分成n+1类。 C0n C1n Cn2 Cnn 2n
a1, a2 , , an 的所有元素子集
C0n C1n Cn2 Cnn 2n
中，令 a 1,b 1

数学(北师大版选修2-3)课件1.5.1二项式定理

(2)原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2(－1)2 ＋…＋Cnr (x＋1)n－r(－1)r＋…＋Cnn(－1)n＝[ (x＋1)＋(－1)] n＝xn．
二项式系数与项的系数
(1)求二项式2
x－1x6 的展开式中第
6
项的二项式
系数和第 6 项的系数；
(2)求x－1x9 的展开式中 x3 的系数．
第一章计数原理
§ 5 二项式定理
5．1 二项式定理
学习目标
重点难点
1.理解二项式定理是代数乘法公式
的推广．
1.重点是二项式定理、
2．掌握二项式定理，并能利用计数推导及通项公式．
原理证明二项式定理．
2．难点是利用计数原
3．会用二项式定理解决与二项式展理推导出二项展开式.
开式有关的简单问题.
阅读教材：5.1二项式定理的有关内容，完成下列问题． 1．二项式定理一般地，对于任意正整数n，都有(a＋b)n＝ _C_0n_a_n＋__C_1n_a_n_－_1b_＋__…__＋__C__rna_n_－_r_b_r＋__…__＋__C_nn_b_n_____(n∈N＋)．这个公式称为二项式定理．等号右边的多项式称为(a＋b)n 的二项展开式，(a＋b)n的二项展开式共有n＋1项，其中各项的系数_C_nr___(r＝0,1,2，…，n)称为二项式系数．
1．(1)求(x＋2y)4 的展开式；
(2)
化
简：
C0n(x
＋
1)n
－C
1 n
(x＋
1)n
－
1＋
C2n
(x
＋
1)n
－2
－
…
＋(

《1.5.2 二项式系数的性质》课件 1-优质公开课-北师大选修2-3精品

若需展开的式子中有3项，应变形为两项后展开.
【例1】试展开 ( x 1 )4．
2x
【审题指导】展开一个二项式即直接应用二项式定理，但
应注意本题 x 为a，而b是 1 ．
2x
【规范解答】方法一：
(
x

1 2x
)
4

C04 (
x )4 C14 (
x )3
1 2x
C24 (
x)2 ( 1 )2 2x
［x 1 1］n xn.
二项式系数与某项的系数问题二项式系数与某项的系数的区别及求法
(1)二项展开式中某项的二项式系数和该项的系数是两个不同的概念，前者是指组合数 Crn，实际上是同类项的个数，而后者是指该项字母的系数，其值可正、可负． (2)求某项的二项式系数、系数或含xr的系数，通常是先利用通项公式求出相应的项，再根据题目条件确定．
【规范解答】(1)二项展开式的通项为：
Crn (3
x )nr
( 3 )r 3x
n 2r
3 r Crnx 3 ，
∵第６项为常数项，∴当r=5时，
n 2r 0，得n 10． 3
(2)根据通项公式，由题意得
n 0
2r Z 3 r 10
,
r Z
《1.5.2 二项式系数的性质》课件 1
二项式定理的简单应用二项式定理直接应用的策略
二项式定理的简单应用首先体现为正用二项式定理展开二项式或逆用二项式定理化简展开式，熟记二项式(a+b)n的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提，对较复杂的二项式，有时可先化简再展开，往往更简捷．
C34
x
(
2

高中数学第1章计数原理1.5.2二项式系数的性质课件北师大版选修2-3

图 1-5-2
“杨辉三角”问题解决的一般方法观察—分析；试验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．如表所示：
求展开式的系数和设(1－2x)2 017＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 017·x2 017(x∈R)． (1)求 a0＋a1＋a2＋…＋a2 017 的值； (2)求 a1＋a3＋a5＋…＋a2 017 的值； (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 017|的值．【精彩点拨】先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解．
2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．
1．(1＋x)2n＋1 的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是( )
A．n，n＋1
B．n－1，n
C．n＋1，n＋2
D．n＋2，n＋3
【解析】该展开式共 2n＋2 项，中间两项为第 n＋1 项与第 n＋2 项，所
二项式系数性质的应用探究 1 根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个 1 等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？【提示】对称性，因为 Cnm＝Cnn－m，也可以从 f(r)＝Crn的图象中得到．
1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
1．已知(a＋b)n 展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则 n 等于( )
A．11
B．10
C．9
D．8
【解析】 ∵只有第 5 项的二项式系数最大，

2015高中数学北师大版选修2-3课件：《二项式系数的应用》

令 6-2r=0,得 r=3,∴T4= =20.
n
2
n
6-r
-r
6-2r
,
n
设(1+x) =a0+a1x+…+anx ,若 a1+a2+…+an=63,则展开
式中系数最大的项是( B ).
2
3
3
3
A.15x
B.20x C.21x D.35x
第七页，编辑于星期五：十二点十二分。
...
导学固思
导学固思
4
若等式
5
2
3
4
5
x =a0+a1(1+x)+a2(1+x) +a3(1+x) +a4(1+x) +a5(1+x)
对一切 x∈R 都成立,其中 a0,a1,a2,…,a5 为实常数,
求 a4 的值.
【解析】x =[(1+x)-1] = (1+x) (-1) + (1+x) (1
3
5
10-r
10-r=5,即 r=5.所以,常数项为

[(+ ) ]
()

=
(+ )
()

,
( ) ,要得到常数项需
r
·( )

=

.
第十二页，编辑于星期五：十二点十二分。
...
导学固思
与二项式定理中展开式系数有关的综合题
n
已知(1+2x) 的展开式中第 6 项与第 7 项的系数
5
则有
即

2018年高中数学北师大版选修2-3课件：二项式定理

3 0 3 3 1 2 3 2 3 2
3 3 3
探究2
仿照上述过程,推导
的展开式.
( a b)
2
a 2 ab
2
b
2
( a b)
3
a
3
a b
2
ab2
a b
2 2
b
3
3
4
( a b)
4
a
4
a b
3
ab
b
(a b) ?
n
探究3：
请分析
n
的展开过程
问题1: 的展开式是什么？ (a1 a2 )( b1 b2 )
展开式有几项？每一项是怎样构成的？
问题2:
(a1 a2 )(b1 b2 )(c1 c2 )
展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？
规律: 每个括号内任取一个字母相乘构成了展开式中的每一项.
探究1 推导
3
的展开式.
③二项式系数:
④二项展开式的通项:
课堂练习
例：求
1 6 (2 x ) x
的展开式．
分析：对照二项展开式的通项n、a、b分别是什么，然后逐项写出。
1 6 例：求 (2 x ) 的展开式． x
解: 直接展开
1 6 1 0 6 1 5 (2 x ) C6 (2 x ) C6 (2 x ) ( ) x x 1 2 1 3 2 4 3 3 C6 (2 x ) ( ) C6 (2 x ) ( ) 2 x 2 x
1 4 1 5 1 6 5 6 C (2 x ) ( ) C6 (2 x )( ) C6 ( ) x x x 60 12 1 3 2 64x 192x 240x 160 2 3 x x x

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则 | a0 | | a1 | | a2 | | a8 | 3 8
5、( x 1 1)5 展开式中的含x项是 45 x x
（1）求(x+2y)7展开式中系数最大的项
（2）求(x-2y)7展开式中系数最大的项
（2）展开式中共有8项，系数最大必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得，又因(x-2y)7括号内两项中后项系数绝对值大于前项系数的绝对值，
大C值nn21．和
n1
C2 n
相等，且同时取得最
1 5 10 10 5 1
性质3：各二项式系数的和 1 6 15 20 15 6 1
C
0 n
C
2 n
C
4 n
C
1 n
C
3 n
C
5 n
2n1
1.( 1﹣x ) 13 的展开式中系数最小的项是（ C ）
(A)第六项 (B)第七项（C）第八项 (D)第九项
辉1261 年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表：
这个表称为杨辉三角
一
在欧洲，这个表被认为是法
一一
国数学家帕斯卡(1623年—
一二一
1662年）首先发现的
一三三一
杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数
一四六四一一五十十五一
故系数最大必在中间或偏右，
故只需要比较T5和 T7两项系数大小即可．
T5系数 T7系数
C74 C76
(2)4 (2)6
C73
C
1 7
4
1
所以系数最大的项是第五项
T5
C
4 7
(2
y
)4
x3
560x3 y4
性质1：对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
性质2：增减性与最大值先增后减
,
C160
,
C170
,
C180
,
C190
,
C10 10
（a+b)n展开式的二项式系数Cnr，当n依次取1，2，
3，…时，如下所示：
C C m
( a + b )1 … … … … … … … … …1 n 1
nm n
( a + b )2 … … … … … … … 1 2 1
( a + b )3 … … … … … … 1 3 3 1
n 1 10, n 18, 2
(2)n
1、化简1
3C
1 n
9C
2 n
27
C
3 n
(1)n
3n
C
n n
2、化简
(2x+1)5-5 (2x+1)4+10 (2x+1)3-10 (2x+1)2+5 (2x+1)-1=
32x
5
.
3、求(a+b+c)10的展开式经合并同类项后的项数 66
4.若(1 2 x)8 a0 a1 x a2 x2 a8 x8 ,
2.若(2 x 3 )4 a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 a4 x4 ,
则(a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2的值为( A ）
A. 1 B. 1 C . 0 D. 2
3求、第已五知项。
x
4
1 x3
n
的展开式中只有第10项系数最大，
解：依题意，n为偶数，且 T5 3060x4
1、二项式定理：
(a b)n Cn0an Cn1an 1b
2、通项公式：
Cnr an rbr
Cnnbn
Tr 1 Cnr an rbr , (r 0,1, 2, n)
其中 Cnr 叫作二项式系数
3、说出(a+b)10的展开式中各项的二项式系数：
C100
,
C110
,
C120
,
C130
,
C140
,
C150
学的成就是非常值得一六十五二十十五六一
中华民族自豪的．
性质1：对称性
C C m
nm
n
n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
11
性质2：增减性与最大值先增后减 121
当n是偶数时，中间的一项二项式系数
n
C2 n
取得最大值；
当n是奇数时，中间的两项二项式系数
1 33 1 1 4641

当n是偶数时，中间的一项二项式系数 Cnn2取得最大值；
n1
n1
当n是奇数时，中间的两项二项式系数
C2 n
和
C2 n
相等，且同时取得最大值．
性质3：各二项式系数的和
C
0 n
C
2 n
C
4 n
C
1 n
C
3 n
C
5 n
2n1
( a + b )4 … … … … … 1 4 6 4 1 ( a + b )5 … … … … … 1 5 10 10 5 1 ( a + b )6 … … … … 1 6 15 20 15 6 1
… … … … … … … … … Cnr 1 Cnr 1 Cnr
这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨

人教A版高中数学选修4-1 第二讲四弦切角的性质课件(共25张PPT)

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高中数学二项式系数的性质课件北师大版选修2-3

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