人教A版高中数学选修4-5课件数学归纳法

－ －2
51－2k 1 ＝5＋ ＝5×2k－1. 1－2 故 n＝k＋1 时公式也成立． 由①②可知，对 n≥2，n∈N＋有 an＝5×22n－2. 所以数列{an}的通项
5， an＝ － 5×2n 2，
n＝1， n≥2.
归纳法是证明有关正整数n的命题的一种方法，应用
广泛．用数学归纳法证明一个命题必须分两个步骤：第一 步论证命题的起始正确性，是归纳的基础；第二步推证命 题正确性的可传递性，是递推的依据．两步缺一不可，证 明步骤与格式的规范是数学归纳法的一个特征．
1 下面用数学归纳法证明当 0＜c≤ 时，xn＜ c对任意 n≥1 成 4 立． 1 (1)当 n＝1 时，x1＝0＜ c≤ ，结论成立． 2 (2)假设当 n＝k(k∈N*)时结论成立，即：xk＜ c.因为函数 f(x) 1 ＝－x2＋x＋c 在区间(－∞， ]内单调递增，所以 xk＋1＝f(xk) 2 ＜f( c)＝ c，这就是说当 n＝k＋1 时，结论也成立． 故 xn＜ c对任意 n≥1 成立． 因此，xn＋1＝xn－x2 ＋c＞xn，即{xn}是递增数列． n 1 由(i)(ii)知，使得数列{xn}单调递增的 c 的范围是(0， ]． 4

b1
b1
b2
综上，对 a1≥0，a2≥0，b1，b2 为正有理数且 b1＋b2＝1，总 有 a 1 a ≤a1b1＋a2b2.
b2 2
b1
②
(3)(2)中命题的推广形式为 设 a1，a2，…，an 为非负实数，b1，b2，…，bn 为正有理数． 若 b1＋b2＋…＋bn＝1， a 1 a … a n ≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn. 则
由(1)、(2)知，对任意n∈N＋原命题成立．
[例 4]

凑结论
由（1）（2）可知，
－1+3－5＋ …＋（－1）n（2n－1）＝（－1）n n
下面的框图表示了数学归纳法的基本过程：
（1）验证：n=n0 （n0∈N+） 时命题成立。
奠基
（2）证明：假设n=k （k≥n0）时命题成立， 则n=k+1时命题也成立。
假设与 递推
对所有的n （n0∈N+， n≥n0）命题成立
则当n k 1时，左边＝ 2 2 3 3 4 ... k (k 1) (k 1)(k 2) 1
利用 假设
1 k (k 1)( k 2) (k 1)( k 2) 3 1 ( k 1)( k 1)( k 2) 从n=k到n=k+1有什么变化 3
分析“n=k+1时”命题是什么，并找出 与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应 增加的项。 注意用上假设， • 要作结论
数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。 主要有两个步骤、一个结论:
（1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确 （2）假设n=k (k∈N＋ ， 且k≥ n0)时结论正确， 证明n=k+1时结论也正确 由（1）、（2）得出结论正确
（1）数学归纳法是一种完全归纳法的证明方法它适用于 与正整数有关的问题。 （2）两个步骤，一个结论缺一不可，否则结论不能成立。 （3）在证明递推步骤时，必须使用归纳假设。
归纳法 可能错误 如何避免？
完全归纳法
穷举法
不完全归纳法
递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉
数学归纳法
数学归纳法的核心思想
数学归纳法主要步骤:
找准起点 奠基要稳

05
练习与思考
练习题一
总结词
理解数学归纳法的原理
详细描述
通过解答练习题一，学生可以加深对数学归纳法原理的理解，掌握归纳法的应用步骤，并能够运用归 纳法证明一些简单的数学问题。
练习题二
总结词
应用数学归纳法证明
详细描述
练习题二要求学生运用数学归纳法证 明一个复杂的数学问题。通过解答这 道题，学生可以巩固数学归纳法的应 用技巧，提高数学证明能力。
利用数学归纳法证明不等式时，同样需要验证基础步骤和递推关系，同时需要 注意不等式的性质和变换技巧。
详细描述
在证明不等式时，首先验证n=1时不等式是否成立。然后假设n=k时不等式成 立，再证明n=k+1时不等式也成立。在证明递推关系的过程中，需要注意不等 式的性质和变换技巧，如放缩法、比较法等。
解决数列问题
总结词
数学归纳法在解决数列问题时，主要应用于证明数列的性质和求数列的通项公式。
详细描述
利用数学归纳法可以证明数列的性质，如单调性、有界性等。在求数列的通项公式时，也可以利用数学归纳法来 推导。首先验证n=1时公式是否成立，然后假设n=k时公式成立，再推导n=k+1时公式的形式，最终得到数列的 通项公式。
举例：在证明一个组合数的性质时， 需要验证从第k项到第k+1项的递推关 系是否成立，以确保整个性质的正确 性。
避免循环论证
循环论证是一种常见的逻辑错误，在数学归纳法中要特别注意避免。在证明过程中，不要将待证明的结论或假设作为递推基 础或递推关系的依据，否则会导致逻辑上的循环。
举例：在证明一个不等式时，不能将待证明的不等式作为递推基础或递推关系的依据，而应该从已知的事实或公理出发进行 推导。

1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 k ( k 1) k ( k 1)2
2.当 n≥ 2 时,求证: 1
1 2

1
1 3

1 n
n
2 . 证明： （1） 当n 2时，左式 1 1 17 2 右式 2 2 当n 2时，不等式成立
练习：用数学归纳法证明不等式 sin n ≤ n sin
练习：用数学归纳法证明不等式 sin n ≤ n sin
证明:⑴当 n 1 时,上式左边 sin 右边,不等式成立.
⑵设当 n k(k ≥1) 时,不等式成立,即有 sin k ≤ k sin . 那么,当 n k 1 时, sin(k 1) =
（2）假设当n k( 2) 时，不等式成立，即 1 则当n k 1时， 左式 1

k 1 k 1
1 2

1 3

k
k 1
k

k (k 1) 1 k 1

kk 1 k 1

k 1 k 1
k 1 右式
证明贝努利不等式你有第二种方法吗？
答案
例4、已知x> 1，且x0，nN*，n≥2．
求证：(1+x)n>1+nx.
证明:(1)当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2
∵ x0，∴ 1+2x+x2>1+2x=右,∴n=2时不等式成立 （2）假设n=k(k≥2)时，不等式成立，即 (1+x)k>1+kx
答案接上见课本(或见板书)
1 1 1 1 1.求证: 1 2 2 2 2 ( n N , n ≥ 2). 2 3 n n

10b1＝16，故等式成立； (2)假设当n＝k时等式成立，即Tk＋12＝－2ak＋10bk，则 当n＝k＋1时有： Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1 ＝ak＋1b1＋q(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk) ＝ak＋1b1＋qTk
＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12) ＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24 ＝－2ak＋1＋10bk＋1－12. 即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1. 因此n＝k＋1时等式也成立．
[读教材· 填要点] 1．数学归纳法的概念 当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数 n都成立时，可以用以下两个步骤： (1)证明当 n＝n0 时命题成立； (2)假设当 n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，证明 n＝k ＋1 时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0 的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
线，命题成立． (2)假设 n＝k 时命题成立， 1 即凸 k 边形的对角线的条数 f(k)＝ k(k－3)(k≥4)． 2 当 n＝k＋1 时， k＋1 边形是在 k 边形基础上增加了一边， 凸 增加了一个顶点 Ak＋1，增加的对角线条数是顶点 Ak＋1 与不
相邻顶点连线再加上原 k 边形的一边 A1Ak， 共增加的对角线条 数为(k＋1－3)＋1＝k－1. 1 1 2 f(k＋1)＝ k(k－3)＋k－1＝ (k －k－2) 2 2 1 1 ＝ (k＋1)(k－2)＝ (k＋1)[(k＋1)－3]． 2 2 故 n＝k＋1 时由(1)、(2)可知，对于 n≥4，n∈N*公式成立．
[通一类] 2．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除． 证明：(1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36，能被9整 除，命题成立． (2)假设n＝k时，命题成立，即 k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除． 当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3 ＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2· 3＋3k·2＋33 3 ＝k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3＋9(k2＋3k＋3)． 由归纳假设，上式中k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，又 9(k2＋3k＋3)也能被9整除． 故n＝k＋1时命题也成立． 由(1)(2)可知，对任意n∈N*命题成立.

数学归纳法
1.了解数学归纳法的原理及其使用 范围． 课标解读 2．会利用数学归纳法证明一些简 单问题.
数学归纳法的概念 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所 有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤： (1)证明当 n＝n0 时命题成立； (2)假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明 n＝k＋1 时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0 的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
1 1 【答案】 － 2k＋1 2k＋2
用数学归纳法证明等式
用数学归纳法证明： 1 1 1 1 1 1 1 1 1－ ＋ － ＋„＋ － ＝ ＋ ＋„＋ . 2 3 4 2 n 2n 2n－1 n＋1 n＋2
【思路探究】 要证等式的左边共2n项，右边共n项，
f(k)与f(k＋1)相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两 边的首项不同．因此，由“n＝k”到“n＝k＋1”时要注意 项的合并．
【思路探究】 先验证n＝1时命题成立，然后再利用归 纳假设证明，关键是找清f(k＋1)与f(k)的关系并设法配凑． 【自主解答】 (1)当n＝1时，原式＝(3×1＋1)×7－1 ＝27，能被9整除，命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，(3k＋1)· 7k－1能被9整 除，则当n＝k＋1时， [ 3(k＋1)＋1]· 7k＋1－1 ＝[21(k＋1)＋7]· 7k－1 ＝[(3k＋1)＋(18k＋27)]· 7k－1 ＝[(3k＋1)· 7k－1]＋9(2k＋3)· 7k.
1 1 1 1 1 ＝k＋1＋k＋2＋„＋2k＋ － 2 k ＋ 1 2k＋2 1 1 1 1 1 ＝k＋2＋„＋2k＋2k＋1＋k＋1－2k＋2

第四讲 用数学归纳法证明不等式
一 数学归纳法
第四讲 用数学归纳法证明不等式
1.了解数学归纳法的原理． 2.了解数学归纳法的使 用范围． 3.会用数学归纳法证明一些简单问题．
第四讲 用数学归纳法证明不等式
1．数学归纳法的定义 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0 的所有正 整数 n 都成立时，可以用以下两个步骤： (1)证明当__n_＝__n__0 ___时命题成立． (2)假设当_n_＝__k_(_k_∈__N_＋_且___k_≥__n_0_) 时命题成立，证明当_n_＝__k_＋__1__ 时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n0 的所 有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
1.用数学归纳法证明：n∈N＋时，1×1 3＋3×1 5＋… ＋（2n－1）1（2n＋1）＝2nn＋1.
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第四讲 用数学归纳法证明不等式
证明：①当 n＝1 时，左边＝1×1 3，右边＝2×11＋1＝13，左边 ＝右边，所以等式成立． ②假设 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即有1×1 3＋3×1 5＋… ＋（2k－1）1（2k＋1）＝2kk＋1，则当 n＝k＋1 时， 1×1 3＋3×1 5＋…＋（2k－1）1（2k＋1）＋
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第四讲 用数学归纳法证明不等式
利用数学归纳法证明恒等式的注意点 利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表 达 n＝n0 时命题的形式，二是要准确把握由 n＝k 到 n＝k＋1 时，命题结构的变化特点，并且一定要记住：在证明 n＝k＋1 成立时，必须使用归纳假设．
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第四讲 用数学归纳法证明不等式
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第四讲 用数学归纳法证明不等式

10b1＝16，故等式成立； (2)假设当n＝k时等式成立，即Tk＋12＝－2ak＋10bk，则 当n＝k＋1时有： Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1 ＝ak＋1b1＋q(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk) ＝ak＋1b1＋qTk
＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12) ＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24 ＝－2ak＋1＋10bk＋1－12. 即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1. 因此n＝k＋1时等式也成立．
本课时考点常与数列问题相结合考查数学归纳法的 应用，2012年天津高考将数列、数学归纳法相结合，以解 答题的形式进行了考查，是高考模拟命题的一个新亮点．
[考题印证] (2012· 天津高考)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn， {bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
2．数学归纳法的基本过程
[小问题· 大思维] 1．在数学归纳法中，n0一定等于1吗？ 提示：不一定．n0是适合命题的正整数中的最小值，有 时是n0＝1或n0＝2，有时n0值也比较大，而不一定是从1 开始取值．
2．数学归纳法的适用范围是什么？
提示：数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数 学命题的证明．
[悟一法] 对于几何问题的证明，可以从有限情形中归纳出一个变 化的过程，或者说体会出是怎么变化的，然后再去证明，也
可以采用递推的办法，利用数学归纳法证明几何问题时，关
键是正确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律．
[通一类]
1 3．证明：凸 n 边形的对角线的条数 f(n)＝ n· (n－3)(n≥4)． 2 1 证明：(1)n＝4 时，f(4)＝ · (4－3)＝2，四边形有两条对角 4· 2

n
图形
交点个数 n 图 形 交点个数
2
•
f(2)=1 3
• ••
f(3)=3 =1+2 =f(2)+2
4
• •• •• •
f(4)=6
=3+3 5
=f(3)+3
••••••••• •
f(5)=10 =6+4 =f(4)+4
从k条到k+1条交点增加了k点，应证f(k+1)=f(k)+k
例 题 选 讲
=k2+2k+1+k22k3 =(k2+2k+1)+(k+1)(k3) (因k3，则k30,k+1>0） k2+2k+1=(k+1)2． 所以2k+1+2>(k+1)2． 故当n=k+1时，原不等式也成立． 根据1和2，原不等式对于任何 nN*都成立
例3、求证：当n2,nN时， n
1
1
n
1
2
1 3n
证明：（1）当n=1时，x 2 –y 2 = (x+y)(x-y), x2 - y 2 能被x+y整除。 (2)假设n k时，（k N )时，x2k y2k能被x y整除，那么
x2(k 1) y 2(k 1) x2 • x2k y 2 • y 2k
x2 • x2k x2 • y2k x2 • y2k y2 • y2k
思考2：例4与例5在由n=k到N=k+1时的证明
选 有什么不同之处？ 不同之处是例4 拆项后可以直接分成两个 都能被14整除的数的和，而例5拆项后则需要 增减项后才能分成两个都能被x＋y整除的数的

1
b1
b1
b2
综上，对 a1≥0，a2≥0，b1，b2 为正有理数且 b1＋b2＝1，总 有 a 1 a ≤a1b1＋a2b2.
b2 2
b1
②
(3)(2)中命题的推广形式为 设 a1，a2，…，an 为非负实数，b1，b2，…，bn 为正有理数． 若 b1＋b2＋…＋bn＝1， a 1 a … a n ≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn. 则
由(1)、(2)知，对任意n∈N＋原命题成立．
[例 4]
1 设 0<a<1，定义 a1＝1＋a，an＋1＝a ＋a，求证： n
1 对一切正整数 n∈N＋，有 1<an< . 1－a
[证明] 命题成立．
1 (1)当 n＝1 时，a1>1，又 a1＝1＋a< ， 1－a
(2)假设 n＝k(k∈N＋)时，命题成立， 1 即 1<ak< . 1－a ∴当 n＝k＋1 时，由递推公式，知 1 ak＋1＝a ＋a>(1－a)＋a＝1. k
1－a2 1 1 同时，ak＋1＝a ＋a<1＋a＝ < ， 1－a 1－a k 1 ∴当 n＝k＋1 时，命题也成立，即 1<ak＋1< . 1－a 1 综合(1)、 (2)可知， 对一切正整数 n， 1<an< 有 . 1－a
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[例 2]
求证 tan α· 2α＋tan 2α· 3α＋…＋tan(n－ tan tan
tan nα 1)α· nα＝ tan －n(n≥2，n∈N＋)． tan α
证明：(1)当 n＝2 时，左边＝tan α· 2α， tan tan 2α 2tan α 1 右边＝ －2＝ · －2 tan α 1－tan2α tan α 2 ＝ 2 －2 1－tan α 2tan2α tan α· 2tan α ＝ ＝ 1－tan2α 1－tan2α ＝tan α· 2α，等式成立． tan