高中数学选修4-5全册配套ppt课件.3

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高中数学·选修4-5(人教版)第一讲几何平均不等式及绝对值三角不等式PPT课件

9
3 .
归纳升华
1．利用三个正数的算术—几何平均不等式常处理下
面两个类型的最值： (1)求函数 y＝ax2＋bx的最小值，其中 ax2＞0，bx＞0.
则
y
＝
ax2
＋
b x
＝
ax2
＋
b 2x
＋
b 2x
≥
3
3
ax2·2bx·2bx
＝
3 2
3 2ab2.当且仅当 ax2＝2bx，即 x＝ 3 2ba时，等号成立．
(1)如果 a，b，c∈R，那么a＋3b＋c≥3 abc.(
)
(2)如果 a，b，c∈R＋，那么a＋3b＋c≥3 abc，当且仅
当 a＝b 或 b＝c 时，等号成立．( )
(3)如果 a，b，c∈R＋，那么 abc≤a＋3b＋c3，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．( )
(4)如果 a1，a2，a3，…，an 都是实数．那么 a1＋a2
n
＋…＋an≥n· a1a2…an.( )
解析：(1)根据定理 3，只有在 a，b，c 都是正数才成
立．其他情况不一定成立，如 a＝1，b＝－1，c＝－3，
a＋b＋c
3
3
3 ＝－1， abc＝ 3，故(1)不正确．
(2)由定理 3，知等号成立的条件是 a＝b＝c.故(2)不正
确．
(3)由定理 3 知(3)正确． (4)必须 a1，a2，…，an 都是正数，命题才成立．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
第一讲不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1．1.3 三个正数的算术—
几何平均不等式
[知识提炼·梳理] 1．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果 a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a32＋a3叫做这 3 个正数的算术平均数，3 a1a2a3叫做这三个正数的几何平均数．

2018人教B版数学选修4-5本章整合3精选优质PPT课件

1
+
1 2
+
1 3
+
⋯
+
1 2��-1
<
��(n∈N*,n>1).
证明:(1)当
n=2时,
1
+
1 2
+
1 3
<
2,
不等式成立.
(2)假设当 n=k(k∈N*,且 k≥2)时不等式成立,
11
1
即 1 + 2 + 3 + ⋯ + 2��-1 < ��,
则当
n=k+1
时,
1
1
<
(��+1)(��+2)
�� + 1成立.
即证明 �� + 1 − �� > (��+11)(��+2).
专题
从而转化为证明 1 > 1 ,
��+1+ ��
��2+3��+2
也就是证明 ��2 + 3�� + 2 > �� + 1 + ��.
(ⅰ)当 n=1 时,b1=1,有 a1≤a1,③成立.
(ⅱ)假设当n=k时,③成立,即若a1,a2,…,ak为非负实数,b1,b2,…,bk为
正有理数,
已知 a1,a2,…,ak,ak+1 为非负实数,b1,b2,…,bk,bk+1 为正有理数,
且 b1+b2+…+bk+bk+1=1,此时 0<bk+1<1,即 1-bk+1>0,

【新】人教A版高考数学(文)选修部分4-5.ppt

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热点一含绝对值不等式的解法【例 1】已知函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)当 a＝－3 时，求不等式 f(x)≥3 的解集； (2)若 f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求 a 的取值范围．
－2x＋5，x≤2，解 (1)当 a＝－3 时，f(x)＝1，2<x<3，
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【训练 1】若不等式|x＋1|＋|x－2|<a 无实数解，则 a 的取值范围是________．
解析由绝对值的几何意义知|x＋1|＋|x－2|的最小值为 3，而|x ＋1|＋|x－2|<a 无解，如 a≤3. 答案 (－∞，3]
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2x－5，x≥3.
当 x≤2 时，由 f(x)≥3 得－2x＋5≥3，解得 x≤1；
当 2<x<3 时，f(x)≥3 无解；
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当 x≥3 时，由 f(x)≥3 得 2x－5≥3，解得 x≥4；所以 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1，或 x≥4}． (2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|. 当 x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a| ⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a. 由条件得－2－a≤1 且 2－a≥2，即－3≤a≤0. 故满足条件的 a 的取值范围是[－3,0]．
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规律方法 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤： ①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．

人教数学选修4-5全册精品课件

不等式的综合应用不等式的应用主要体现在两大方面：一是不等式作为一种重要工具在研究解答数学学科本身有关问题及其他学科有关问题方面的应用；二是解决现实生活、生产及科学技术领域中的实际问题．
不等式应用主要是：利用不等式求函数的定义域、值域；利用不等式求函数最大值、最小值；利用不等式讨论方程根及有关性质；利用不等式解应用题．
1 则 f(x)＝ (1－t2)， 2 1 2 ∴y＝f(x)＋ 1－2fx＝ (1－t )＋t 2 1 1 1 ≤ t ≤ ＝－ (t－1)2＋1 . 2 2 3 1 1 ∵在 t∈ ，上函数 y 是增函数， 2 3 1 7 ∴当 t＝时，y 有最小值为， 3 9 1 7 当 t＝时，y 有最大值为 . 2 8
例4
【思路点拨】首先应根据函数单调性去掉函数符号，转化为关于 sinx的不等式恒成立问题．【解】 ∵f(x)在(－∞，1]上是减函数，
∴k－sinx≤k2－sin2x≤1.
假设存在实数k符合题设．
∵k2－sin2x≤1即k2－1≤sin2x对一切x∈R恒成立，且sin2x≥0， ∴k2－1≤0，－1≤k≤1.①
本讲优化总结
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知识体系网络
专题探究精讲
讲末综合检测
知识体系网络
专题探究精讲
柯西不等式证法一构造二次函数(ai≠0，i＝1,2，„，n) 2 2 2 f(x ) ＝ (a 1 ＋a2 ＋„＋an )x2 － 2(a1b1 ＋ a2b2 ＋ „ ＋ 2 2 anbn)x＋(b2 ＋ b ＋„＋ b 1 2 n)． ∵ f(x)＝ (a1x－b1)2＋ (a2x－ b2)2＋„＋ (anx－ bn)2≥0， 2 2 ∴ Δ ＝ 4(a1b1 ＋ a2b2 ＋„＋ anbn)2 － 4(a 1 ＋a2 ＋„＋ 2 2 2 2 an )· (b1 ＋b2 ＋„＋bn )≤0. 2 2 2 ∴ (a1b1＋ a2b2＋„＋ anbn)2≤(a2 ＋ a ＋„＋ a )( b 1 2 n 1＋ 2 2 b2＋„＋bn)．

人教版高中数学选修4-5-不等式选讲(绝对值不等式)ppt课件

x 3、解不等式|x＋3|－|2x－1|＜＋1. 2
x 解 ①当 x＜－3 时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)＜＋1，解得 x＜10， 2 ∴x＜－3. 1 x 2 ②当－3≤x＜时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)＜＋1，解得 x＜－， 2 2 5 2 ∴－3≤x＜－ . 5 1 x ③当 x≥ 时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)＜＋1，解得 x＞2，∴x＞2. 2 2 2 综上可知，原不等式的解集为xx＜－5，或x＞2 .
第三节
绝对值不等式
[最新考纲] 1．理解绝对值的几何意义；理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，并了解其等号成立的条件；能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式． 2．掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法．
1．绝对值三角不等式 (1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤ |a|＋|b| ，当且仅当时，等号成立； ab≥0 (2)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤ ， |a－b|＋|b－c| 当且仅当时，等号成立． (a－ b)(b－c)≥0 (3)性质： ________≤| a±b|≤________；
∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
法三：(数形结合法)将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.
－2x－6，x≤－2，令 f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则 f(x)＝－2，－2＜x＜1， 2x－4，x≥1.
作出函数的图像，如图所示．
由图像可知，当 x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
|a|－|b| |a|＋|b|

高中数学理配套PPT课件选修4—5

bi=0(i=1,2,„,n)或存在一个数 k,使得 ai=kbi(i=1,2,„,n)时,等号成立.
(3)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α||β|≥|α· β|,当且仅当β是零向量或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.
选修4
知识梳理双基自测
选修4—5
不等式选讲
知识梳理核心考点
关闭
由柯西不等式可知(a2+b2)(m2+n2)≥(ma+nb)2, 即 5(m2+n2)≥25,当且仅当 an=bm 时,等号成立,故 ��2 + ��2 ≥ 5 关闭
5
解析答案
选修4
知识梳理双基自测
选修4—5
不等式选讲
知识梳理核心考点
-11-
1
2
3
4
5
5.已知x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,则x+y的取值范围为 .
2ab
,当且仅当 a=b 时,等号成
��,当且仅当 a=b 时,等号成立. ≥
3
��,当且仅当 a=b=c 时,等
��1 +��2 +„+��
定理 4:若 a1,a2,„,an 为 n 个正数,则当且仅当 a1=a2=„=an 时,等号成立.
选修4
知识梳理双基自测
选修4—5
不等式选讲
知识梳理核心考点
-3-
1
2
3
4
5
2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a(a>0)的解法 ①|x|<a⇔-a<x<a; ②|x|>a⇔x>a或x<-a. (2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c⇔ -c≤ax+b≤c ; ②|ax+b|≥c⇔ ax+b≥c或ax+b≤-c . (3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; ③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程及数形结合的思想.

人教A版高中数学选修4-5全册课件

∴2x＋y 的取值范围为[－2,0]．
•实数大小的比较
【例 3】
已知
a，b
为正整数，试比较
a＋ b
b与 a
a＋
b的
大小．
• 【解题探究】利用作差法比较其大小．
【解析】由题知
a＋ b
ba－(
a＋
Hale Waihona Puke b)＝a－ b
b＋
b－ a
a＝a－bb＋b－aa
＝a－b a－ ab
b＝
【解析】把已知式子配方可得2x＋122＋y＋122＝12.
设2x＋12＝ 22cos θ，
y＋12＝
2 2 sin
θ，
x＝则
42cos
θ－14，
y＝
2 2 sin
θ－12.
∴2x＋y＝2×
2 4 cos
θ－14＋
22sin
θ－12＝
22cos
θ＋
22sin
θ－1＝sinθ＋π4－1.
∵－1≤sinθ＋π4≤1，∴－2≤sinθ＋π4－1≤0，
• 推论2：a＞b，c＞d⇒___a_＞___c_－__b__(不等式的加法法则)；
a＋c＞b＋d
• •
性乘推质性论ac4)：；：＜aa＞b＞bcb＞，0c，＞c0＞⇒d_＞__0_⇒_______；__a_＞_a_(bc不，＞等c＜b式c0的⇒_乘__法__法__则_()可；
• 性质5：a＞b＞0⇒________(n∈N，anc≥＞2)(b乘d方法则)；
• 2．设f(x)＝(x＋1)(x＋2)，g(x)＝(x－3)(x＋6)，则有( ) • A．f(x)＞g(x) B．f(x)＝g(x) • C．f(x)＜g(x) D．以上都有可能 • 【答案】A • 【解析】f(x)－g(x)＝20＞0.

人教A版高中数学选修4-5同步ppt课件：3-3

所以 a1a2<a2a3<a3a1. a1a3 a1a2 a3a2 设乱序和 S＝＋＋＝a1＋a2＋a3＝1， a3 a1 a2 a1a2 a2a3 a3a1 顺序和 S′＝ a ＋ a ＋ a . 3 1 2
a1a2 a2a3 a3a1 由排序不等式得 a ＋ a ＋ a ≥a1＋a2＋a3＝1. 3 1 2 a1a2 a2a3 a3a1 所以 a ＋ a ＋ a 的最小值为 1. 3 1 2
2．排序不等式(或排序原理) 定理：设 a1≤a2≤„≤an，b1≤b2≤„≤bn 为两组数，c1， c2，„，cn 是 b1，b2，„，bn 的任一排列，则 a1bn ＋ a2bn
－
1
＋ „ ＋ anb1≤a1c1 ＋ a2c2 ＋ „ ＋
ancn≤________________________________. 当且仅当 a1＝a2＝„＝an 或__________________时，反序和等于顺序和.
4．利用排序不等式求最值的方法利用排序不等式求最值时，先要对待证不等式及已知条件仔细分析，观察不等式的结构，明确两个数组的大小顺序，分清顺序和、乱序和反序和，由于乱序和是不确定的，根据需要写出其中的一个即可．一般最值是顺序和或反序和．
5．排序不等式证明不等式的策略 (1)利用排序不等式证明不等式时，若已知条件中已给出两组量的大小关系，则需要分析清楚顺序和、乱序和及反序和．利用排序不等式证明即可． (2)若在解答数学问题时，涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序．那么在解答问题时，我们可以利用排序原理将它们按一定顺序排列起来，继而用不等式关系来解题.
规律技巧
利用排序原理解答相关问题，必须构造出相应

人教版高中数学选修4-5课件：专题总结3 (共40张PPT)

∵a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，
∴(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ac)，∴a＋b＋c≥ 3.
∴S≥3－（a＋9 b＋c）≥3－9
3＝3（3＋2
3） .
2．P 是△ABC 内一点，x，y，z 是 P 到三边 a，b，c 的距离，
R 是△ABC 外接圆半径，证明：
x＋
y＋
z≤
a2＋b2＋c2 2R .
1＋ a
b×
1＋ b
c× 1 )2]2 c
＝13(1＋9)2＝1030.
∴原不等式成立．
1．若 a，b，c∈(0，1)且满足条件 ab＋bc＋ac＝1，则1－1 a＋
1－1 b＋1－1 c的最小值是(
)
3（3＋ 3） A. 2
3（3－ 3） B. 2
3（ 3－3） C. 2
D．3
答案 A
解析设 S＝1－1 a＋1－1 b＋1－1 c，则 S≥1－a＋1－32b＋1－c＝3－（a＋9 b＋c）.
ab＋bc＋ca≤
a2＋b2＋c2 .
2R
∴原不等式得证．
3．若 n 是不小于 2 的正整数，试证： 1－12＋13－14＋…＋2n－1 1－21n>47.
证明 1－12＋13－14＋…＋2n－1 1－21n ＝(1＋12＋13＋…＋21n)－2(12＋14＋…＋21n) ＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n，所以求证式等价于 n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n>47.
证明 (a＋1a)2＋(b＋1b)2＋(c＋1c)2
＝13(12＋12＋12)[(a＋1a)2＋(b＋1b)2＋(c＋1c)2]
≥13×[1×(a＋1a)＋1×(b＋1b)＋1×(c＋1c)]2

人教版高三数学选修4-5(B版)电子课本课件【全册】

第一章不等式的基本性质和证明的基本方法 1.1 不等
式的基本性质和一元二次不等人教版高三式数学的选解修法4－5(B版)电子
课本课件【全册】
ห้องสมุดไป่ตู้
人教版高三数学选修4－5(B版)电子课本课件【全册】目录
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第一章不等式的基本性质和证明的基本方法 1.1 1.3 绝对值不等式的解法 1.5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用 2.1 柯 2.3 平均值不等式（选学）本章小结第三章数学归纳法与贝努利不等式 3.1 数学归纳本章小结数学归纳法简史

人教a版高中数学选修4-5全册配套ppt课件

【证明】设m=( a x, b y),n=( a , b ),
则|ax+by|=|m·n|≤|m||n|
= ( ax)2 ( by)2
( a )2 ( b)2
= ax2 by2 a b ax2 by2 .
所以(ax+by)2≤ax2+by2.
【方法技巧】应用二维形式柯西不等式向量形式求最值及证明不等式的技巧在应用二维形式柯西不等式向量形式求式子的最值或证明不等式时要根据式子的结构特征构造两个向量,通常我们使构造的向量满足积为待求式子或待证不等式一侧的形式,再利用柯西不等式的向量形式求解或证明.
即 1 1 4 ,当且仅当a-b=b-c即a+c=2b时,
ab bc ac
等号成立.故kmax=4.
答案:4
2.求函数y= 2sin x 3cos x 4 的最大值及最小值.
cos x 2
【解析】由原函数式得2sinx+(3-y)cosx=4-2y,
设a=(2,3-y),b=(sinx,cosx),
【归纳总结】 1.柯西不等式三种形式的关系根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯西不等式及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐标表示.
2.理解并记忆三种形式取“=”的条件 (1)代数形式中当且仅当ad=bc时取等号. (2)向量形式中当 α =k β 或 β =0时取等号. (3)三角形式中当P1(x1,y1),P2(x2,y2),O(0,0)三点共线且P1,P2在原点O两旁时取等号.
所以
(x12

x22 )(y12

y
2 2
)
≥x1y1+x2y2,

人教A版高中数学选修4-5同步ppt课件：2-3

1 1 1 ∴1 ＋＋＋„＋ <1 ＋2( 2－ 1)＋2( 3－ 2)＋„ ＋ 2 3 n 2( n－ n－1)＝2 n. 综上分析可知，原不等式成立．
规律技巧
放缩法证明不等式主要是依据不等式的传递性
进行变换，即欲证 a>b，可变换证 a>c 且 c>b，欲证 a<b，可变换证 a<c 且 c<b.一般放缩要恰当，不能放缩过头，同时要使放缩后便于求和．
【变式训练 1】
若假设 a，b，c，d 都是小于 1 的正数，
求证：4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于 1.
证明
假设 4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)都大
1 1 1 1 于 1，则 a(1－b)> ，b(1－c)> ，c(1－d)> ，d(1－a)> . 4 4 4 4 1 1 1 1 ∴ a1－b> ， b1－c> ， c1－d> ， d1－a> . 2 2 2 2
典例剖析
【例 1】【分析】
若 a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2. 本题若直接证明，难度较大．而本题结论的反
面更简单，所以宜用反证法．
证法一假设 a＋b>2，则 a>2－b，
∴2＝a3＋b3>(2－b)3＋b3，即 2>8－12b＋6b2，即(b－1)2<0，这是不可能的． ∴a＋b≤2.
【证明】
对 k∈N＋，1≤k≤n，有
1 2 > ＝2( k＋1－ k)． k k＋ k＋1 1 1 1 ∴ 1 ＋＋＋ „ ＋ >2( 2 － 1) ＋ 2( 3 － 2) ＋ „ ＋ 2 3 n 2( n＋1－ n)＝2( n＋1－1)． 1 2 又∵ < ＝2( k－ k－1)(2≤k≤n)， k k＋ k－1

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三排序不等式
【自主预习】 1.顺序和、乱序和、反序和的概念设有两个有序实数组:a1≤a2≤…≤an;b1≤b2≤…≤bn, c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任意一个排列.
(1)顺序和:_a_1_b_1+_a_2_b_2_+_…__+_a_nb_n_. (2)乱序和:_a_1_c_1+_a_2_c_2_+_…__+_a_nc_n_. (3)反序和:_a_1_b_n+_a_2_b_n_-1_+_…__+_a_nb_1_.
3
【补偿训练】已知a,b,c为正数,用排序不等式证明: 2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).
【证明】取两组数a,b,c;a2,b2,c2.不管a,b,c的大小如何,a3+b3+c3都是顺序和,而a2b+b2c+c2a及a2c+b2a+c2b都是乱序和,因此, a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a, a3+b3+c3≥a2c+b2a+c2b. 所以2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b).
2.排序不等式(排序原理)
设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2, …,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则_a_1_b_n+_a_2_b_n_-1_+_…__+_a_n_b_1 ≤a1c1+a2c2+…+ancn≤_a_1_b_1_+_a_2b_2_+_…__+_a_n_b_n ,当且仅当 a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,反序和等于顺序和.
+x2· 1
x2
+…+xn·
1 xn
=n,
当且仅当x1=x2=…=xn时取等号,所以 ≥n,即 a1 a2 ...an ≥Gn.即An≥Gn.
n
a1 a2 ... an
Gn Gn
Gn
板块三信息文明时代的世界和中国
专题11 20世纪世界经济体制的创新与调整
考纲要求 1.苏联社会主义建设与改革：(1)战时共产主义政策和新经济政策；(2)“斯大林模式”；(3)从赫鲁晓夫改革到戈尔巴乔夫改革。 2.罗斯福新政和当代资本主义的新变化：(1)1929至1933年资本主义世界经济危机；(2)罗斯福新政；(3)第二次世界大战后美国等国资本主义的新变化。
3.排序不等式取等号的条件等号成立的条件是其中一序列为常数序列,即 a1=a2=…=an或b1=b2=b3=…=bn.
4.排序原理的思想在解答数学问题时,常常涉及一些可以比较大小的量, 它们之间并没有预先规定大小顺序,那么在解答问题时, 我们可以利用排序原理的思想方法,将它们按一定顺序排列起来,继而利用不等关系来解题.因此,对于排序原
2.若a<b<c,x<y<z,则下列各式中值最大的一个是( )
A.ax+cy+bz
B.bx+ay+cz
C.bx+cy+az
D.ax+by+cz
【解析】选D.因为a<b<c,x<y<z,
由排序不等式:反序和≤乱序和≤顺序和,
得:顺序和ax+by+cz最大.
3.已知a,b,c≥0,且a2+b2+c2=3,则 a b＋b c＋c a 的最大值是_________. 【解析】因为a,b,c≥0, 不妨设a≤b≤c,则a2≤b2≤c2, a b c, 则 a b b c c a a a b b c c，
自我纠错判断两数的大小
【典例】一般地,对于n个正数a1,a2,…,an.几何平均数
Gn=
n a1a2...an
,算术平均数An=
a1 a2 ... an n
,利用排序
不等式判断Gn,An的大小关系.
【失误案例】
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:错误的根本原因是忽视了等号成立的条件.实际上本题当且仅当x1=x2=…=xn时取等号.正确解答过程如下:
③商品流通——取消一切商品贸易，由国家集中分配；时代
④社
时期
核心考点
(4)评价：①积极——在战时特殊情况下，最大限度地集中
全国人
与1的大小关系为 ( )
A.P=1
B.P<1
C.P≥1
D.P≤1
【解析】选C.由x,y,z∈R+且x+y+z=1,
不妨设x≥y≥z,则x2≥y2≥z2, 1 1 1 .
xyz
由排序不等式 x2 y2 z2 x2 y2 z2
y zx x yz
=x+y+z=1.
当且仅当x=y=z= 1 时等号成立,所以P≥1.
ab c
b3c3 c3a3 a3b3
a3b3c3
【延伸探究】本例中若将要证明的不等式改为 b2c2 c2a2 a2b2 abc, 如何证明呢?
abc
【证明】不妨设a≥b≥c,则 1 1 1 ,bc≤ca≤ab.
abc
由排序原理,得 bc ac ab bc ac ab ,
【解析】不妨设a≥b≥c,则a+b≥a+c≥b+c, 1 ≥
bc
1 ≥ 1 ,由排序不等式得,
ca ab
a + b +c ≥b +c +a
bc ca ab bc ca ab
a +b+c ≥ c+ a+ b
bc ca ab bc ca ab
上述两式相加得:
2 ( a + b + c )≥3,即 a + b + c ≥ 3 .
理,我们要记住的是处理问题的这种思想及方法,同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题.
类型一利用排序不等式求最值
【典例】设a,b,c为任意正数,求 a b c
bc ca ab
的最小值.
【解题探究】本例中要利用排序原理求解最小值,关键是什么? 提示:关键是找出两组有序数组,然后根据反序和≤乱序和≤顺序和求解最小值.
【变式训练】1.已知两组数1,2,3和4,5,6,若c1,c2,c3 是4,5,6的一个排列,则1c1+2c2+3c3的最大值是 _________,最小值是_________. 【解析】由反序和≤乱序和≤顺序和知,顺序和最大, 反序和最小,故最大值为32;最小值为28. 答案:32 28
2.设0<a≤b≤c且abc=1.
2.已知两组数1,2,3和4,5,6,试检验它们的顺序和是否最大?反序和是否最小? 提示:反序和S1=1×6+2×5+3×4=28, 乱序和S=1×4+2×6+3×5=31, S=1×5+2×4+3×6=31, S=1×5+2×6+3×4=29,
S=1×6+2×4+3×5=29, 顺序和S2=1×4+2×5+3×6=32. 由以上计算知S1<S<S2, 所以顺序和最大,反序和最小.
【即时小测】
1.已知a,b,c∈R+,则a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小关系是( )
A.a3+b3+c3>a2b+b2c+c2a
B.a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a
C.a3+b3+c3<a2b+b2c+c2a
D.a3+b3+c3≤a2b+b2c+c2a
【解析】选B.因为a,b,c∈R+,不妨设a≤b≤c,则 a2≤b2≤c2,由排序不等式得a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a.
(2)在排序不等式的条件中,需要限定各数值的大小关系,如果对于它们之间并没有预先规定大小顺序,那么在解答问题时,我们要根据各字母在不等式中的地位的对称性将它们按一定顺序排列起来,进而用不等关系来解题.
【变式训练】设x,y,z∈R+,且x+y+z=1,则P= x2 y2 z2
yzx
a2 a3

b2 b3

c2 c3
的形式.
【证明】由于a,b,c的对称性,不妨设a≥b≥c>0,
则 1 ≥ 1 ≥ 1 .因而
cb a
1 b3c3

1 c3a3

1. a3b3
又a5≥b5≥c5.
由排序不等式,得
a5 b3c3

b5 c3a3

c5 a3b3
≥ a5 b5 c5
c3a3 a3b3 b3c3
bc ca ab
bc ca ab 2
当且仅当a=b=c时, a + b + c 取最小值 3 .
bc ca ab
2
【方法技巧】利用排序原理求最值的方法技巧求最小(大)值,往往所给式子是顺(反)序和式.然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理适当构造出一个或二个乱序和从而求出其最小(大)值.
【典例】已知a,b,c都是正数,求证:
a8 b8 c8 a3b3c3 .
111 abc
【解题探究】本例不等式的两端如何分别构造、变形?