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【即时小测】 1.函数y=ln|x|的图象为 ( )
【解析】选D.函数y=ln|x|是偶函数,图象关于y轴对称, 又y=lnx在(0,+∞)上为增函数,故选D.
2.曲线C经过伸缩变换
x
1 x, 2
后,对应曲线的方程
为:x2+y2=1,则曲线C的方y程 为3y ( )
A. x2 9y2 1 4
2
2
化简得(x+3a)2+y2=4m2. 由于点C在直线AB上时,不能构成三角形,故去掉曲线与 x轴的两个交点,从而所求的轨迹方程是(x+3a)2+y2 =4m2(y≠0).(建系不同,轨迹方程不同)
【方法技巧】 1.建立平面直角坐标系的技巧 (1)如果平面几何图形有对称中心,可以选对称中心为 坐标原点. (2)如果平面几何图形有对称轴,可以选择对称轴为坐 标轴.
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
目 录/contents
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
x 5x， y 4y.
【方法技巧】与伸缩变换相关问题的处理方法 (1)已知变换前的曲线方程及伸缩变换,求变换后的曲 线方程的方法:利用伸缩变换用(x′,y′)表示出(x,y), 代入变换前的曲线方程.
(2)已知变换后的曲线方程及伸缩变换,求变换前的曲 线方程:利用伸缩变换用(x,y)表示(x′,y′),代入变 换后的曲线方程. (3)已知变换前后的曲线方程求伸缩变换,将变换前后 的方程变形,确定出(x′,y′)与(x,y)的关系即为所求 的伸缩变换,也可用待定系数法.
所以PA2+PC2=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2, PB2+PD2=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2. 故PA2+PC2=PB2+PD2.
类型二 伸缩变换公式与应用
【典例】求曲线x2+y2=1经过φ: x 3x, 变换后得到的
新曲线的方程.
y 4y
【解题探究】如何求变换后的新曲线的方程? 提示:将x,y表示出来,代入到原方程即可得到新曲线的 方程.
【解析】曲线x2+y2=1经过φ:x 3x变, 换后,
即 x 代x3，入到圆的方程,可得 即所y求 新y4，曲线的方程为
y 4y
x2 y2 1， 9 16
x2 y2 1．
9 16
【延伸探究】
1.若曲线C经过
x
1 2
x，变换后得到圆x2+y2=1,求曲线
C的方程.
y
1 3
y
【解析】将 x 代12 x入，到方程x′2+y′2=1,
【补偿训练】1.(2016·蚌埠高二检测)在同一平面直
角坐标系中,经过伸缩变换 x＝4x，后,曲线C变为曲线
x′2+y′2=1,则曲线C的方程y为＝3y(
)
A．9x2＋16y2＝1 C．x2 y2 1
16 9
B．16x2＋9y2＝1 D．x2 y2 1
9 16
【解析】选B.设曲线C上任意一点的坐标为P(x,y),按 φ: x＝4x，变换后的对应的坐标为P′(x′,y′),代入 x′2+yy＝′32y=1,得16x2+9y2=1.
两点间的距离公式 |P1P2|=__(_x_1－__x_2 )_2__(_y_1－__y_2)_2_
中点P的坐标公式 __(_x_1 __x_2 ，_y_1__y_2_）__
22
2.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ:_xy_____yx_，，((____00)_)，的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′, y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称 伸缩变换.
2.伸缩变换的类型与特点 伸缩变换包括点的伸缩变换,以及曲线的伸缩变换,曲 线经过伸缩变换对应的曲线方程就会变化,通过伸缩变 换可以领会曲线与方程之间的数形转化与联系. 特别提醒:实数与数轴上的点是一一对应的,所以一个 实数就能确定数轴上一个点的位置.
类型一 坐标法求轨迹方程 【典例】已知△ABC的边AB长为2a,若BC的中线为定长m, 求顶点C的轨迹方程.
y
1
y
3
得
即曲线C的方程.
x2 y2 1，
49
2.若圆x2+y2=1经过变换φ′后得到曲线 C：x2 y2 1,
25 16
求变换φ′的坐标变换公式.
【解析】设φ′: x x，
y y，
代入到C′中得 2x2 2y2 1， 与圆的方程比较得25 λ=516,μ=4. 故φ′的变换公式为
sinx′, 1
即y= sinx,所以y= sinx与直线x=0,x=π,y=20围成图
1
1
2
2
形的面积为S=
0
答案:1
1 2
sin
xdx
1 2cosx|01 2(cos
cos
0)
1．
自我纠错 伸缩变换公式的应用
【典例】将曲线 变换为曲线
y
3sin(2x
求3) 按曲照线φy=:cosxy4x在yx，，φ（（变 换00））后，
x＝2 016x， 2与.直将线曲x线=0y,=xs=iπn(,2y0=106围x)成按图φ形: 的y＝面12积y 为__变__换__后__的.曲线
【解析】设曲线y=sin(2016x)上任意一点的坐标为 P(x,y),按φ变换后的对应点的坐标为P′(x′,y′),
由代入φy: =xys＝＝in212(0y2106x1，6得x),xy得＝＝222yy01，′1=6 xsi，nx′,所以y′=
y sin（x ），
的曲线的最小正周期与3最大值.
【失误案例】
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:出错的根本原因是弄错了变换顺序,错误代入方 程.正确解答过程如下:
【解析】由φ:
x y
x，（ y，（
0）， 0），
得φ:
x
1
x，（
0），
y
1
y，（
0），
将曲线 按照φ:
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常 宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者 复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
特别提醒:建系时尽量使平面几何图形上的特殊点在坐 标轴上.
2.运用解析法解决实际问题的步骤 (1)建系——建立平面直角坐标系.建系原则是利于运 用已知条件,使表达式简明,运算简便.因此,要充分利 用已知点和已知直线作为原点和坐标轴. (2)建模——选取一组基本量,用字母表示出题目涉及 的点的坐标和曲线的方程.
第一讲 坐 标 系 一 平面直角坐标系
【自主预习】 1.直角坐标系 (1)数轴. ①定义:规定了原点、正方向和_________的直线. ②对应关系:数轴上的点与_____单之位间长一度一对应.
实数
(2)直角坐标系. ①定义:在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条 数轴构成平面直角坐标系,简称直角坐标系. ②相关概念: 数轴的正方向:水平放置的数轴_____的方向、竖直放 置的数轴_____的方向分别是数轴向的右正方向.
(3)运算——通过运算,得到所需要的结果. (4)回归——回归到实际问题作答.
【变式训练】1.已知点(5-m,3-2m)不在第四象限,求实 数m的取值范围.
【解析】若点(5-m,3-2m)在第四象限,
则5-m>0,且3-2m<0,解3得 <m<5, 故点(5-m,3-2m)不在第四2 象限时,
C. x2 y2 1 49
B.4x2 y2 1 9
D.4x2 9y2 1
【解析】选A.曲线C经过伸缩变换
x
12①x,后,对应
曲线的方程为x′2+y′2=1②,
y 3y
把①代入②得到: x+2 9y2=1. 4
【知识探究】 探究点 平面直角坐标系中点的位置 1.平面直角坐标系中点的坐标的符号有什么特点? 提示:平面直角坐标系内的点,第一象限符号全正,第二 象限横坐标为负,纵坐标为正,第三象限全负,第四象限 横坐标为正,纵坐标为负,即一三同号,二四异号.
y 3sin（2x ） 变换为曲线的方程为3
x x，（ 0）， y y，（ 0）
y 3sin（ 2 x ）， 3
由题意,得3μ=1, 2 1，
故λ=2, 1. 则曲线y=co3s4x在φ变换后的曲线的方程为
所y以 13变co换s 2后x，的曲线的最小正周期为π,最大值为 1. 3
实数m的取值范围是m≤ 或m≥5. 3 2
2.四边形ABCD为矩形,P为矩形ABCD所在平面内的任意 一点,求证:PA2+PC2=PB2+PD2.
【证明】如图所示, 以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在 直线为y轴,建立平面直角坐标系,设 A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),P(x,y), 则PA2=x2+y2,PB2=(x-a)2+y2, PC2=(x-a)2+(y-b)2,PD2=x2+(y-b)2.
