人教A版高中数学选修4-5课件基本不等式

1
年销售收入为 150% 32 3- t+1 + 3 + 2t.
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探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
探究三
由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,
由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,
-t2 +98t+35
得年利润 y=
(t≥0).
2(t+1)
-t2 +98t+35
1 2x+y 2
1
(x,y∈R+)中,用的是不等式链中的
其变形去解题,如 xy= ×(2x)y≤
2
2
2
2
1 (2x+y)
1
a+b 2
(x,y∈R+)也可以,这两种解法比较,
.但是 xy= ×(2x)y≤ ×
ab≤
2
2
2
2
可以发现,求得的最值不一样,这说明选择不同的重要不等式的变形形式,求
得的值或范围是不同的,所以我们在选择重要不等式的变形形式时,要使
论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.
(4)作出问题结论:根据③中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问
题的结论.
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ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
1.下列各式中,最小值等于 2 的是(
x
A.
y
y
+
x
B.
1
C.tanθ+θ
2
3
S 随堂练习
1
的最大值,转化为求 (2x)y 的最大值,即

b2 (2)已知:a, b R , 且a 2 1, 求a 1 b 2 的最大值. 2 1 1 (3)设 为锐角,求(sin )(cos )的最小值. sin cos
作业
课本作业；P1０
５、６
的最小值

x y
a b 1， x y
a b ay xb x 解： y ( x y) 1 ( x y)( ) a b x y x y
ay xb 2 ab2 ( a b) x y
ay xb 当且仅当 x y
即
x a 时 y b
变形.
已知
x, y 都是正数，求证：
1 如果积
xy
是定值 P, 那么当 x y 时,和 x y
有最小值 2 P 2 如果和 x y 是定值
S , 那么当 x y 时,积
xy
1 2 S 有最大值 4 证：∵ x, y R ∴ x y xy
x 1当 xy P （定值）时， y P 2
即(ab cd )(ac bd ) 4abcd
练习1
1. 巳知a 0, b 0, 1 1 求证 : ( a b)( ) 4. a b
2. 巳知a, b, c均为正数,求证: (a+b)(b+c)(c+a) 8abc
例2
Байду номын сангаас
求证：（1）在所有周长相同的矩形 中，正方形的面积最大；（2）在所有面 积相同的矩形中，正方形的周长最短。

ab
中的“ = ”号成立．
这句话的含义是:
当 ab 当
ab ab a b 2
ab ab 2

a＋b 如果 a，b 都是正数，我们就称 2 为 a，b 的算术平均，
ab 为 a，b 的几何平均．
4．利用基本不等式求最值 对两个正实数 x，y， (1)如果它们的和 S 是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的 积 P 取得最 大 值； (2)如果它们的积 P 是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的 和 S 取得最 小 值．
行证明．
(2)本题证明过程中多次用到基本不等式，然后利用同 向不等式的可加性或可乘性得出所证的不等式，要注意不 等式性质的使用条件，对“当且仅当……时取等号”这句话 要搞清楚．
[通一类] 1．设a，b，c∈R＋，
求证： a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)．
证明：∵a2＋b2≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2. 又 a，b，c∈R＋， ∴ a2＋b2≥

每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平
均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元． (1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付 的总费用最少？ (2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210 吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此 优惠条件？请说明理由．
2
2 2 |a＋b|＝ (a＋b)． 2 2
2
2 2 2 2 同理： b ＋c ≥ (b＋c)， c ＋a ≥ (a＋c)． 2 2
三式相加， 得 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)．
当且仅当 a＝b＝c 时取等号.
[研一题]
[例 2] 1 9 已知 x＞0，y＞0，且x＋y＝1，
[精讲详析]
本题考查基本不等式在证明不等式中的应
用，解答本题需要分析不等式的特点，先对a＋b，b＋c，c＋ a分别使用基本不等式，再把它们相乘或相加即可．

只要证 ( 1 x1 1 x2 )2 ≥ ( 1 x1 x2 1)2
即证： 2 x1 x2 2 1 x1 x2 x1x2 ≥ 2 x1 x2 2 1 x1 x2
只要证： x1 x2 ≥ 0
x1 x2 ≥ 0 成立，故原不等式也成立。
课堂练习:
1 1 x y 1.已知 a, b, x, y R 且 , x y ,求证: . a b xa yb 2.(课本第 23 页习题 2.1 第 4 题)已知 a, b, c 是正数,

求证: a 2a b2b c 2c ≥ a b c ba c c a b 3.(课本第 22 页例 2)已知 a , b, m 都是正数,并且 a b ,
∴a b a b
a b
b a
= (a b)(lg a lg b) ∵ a b 与 lg a lg b 同号，∴ (a b)(lg a lg b) >0
(a lg a b lg b) (b lg a a lg b) 0 a lg a b lg b b lg a a lg b,
思考一：已知 a , b 是正数，且 a b ，求证：a 3 b3 a 2b ab2
尝试 1：作差比较，作差——变形——定符号
根据 a－b>0 a>b，欲证 a>b 只需证 a－b>0.
证明： (a 3 b3 ) (a 2b ab2 ) = a 2 (a b) b2 (a b) ∵ = (a2 b2 )(a b) = (a b)(a b)2
课外练习: 1.若实数 x 1 ，求证： 3(1 x 2 x4 ) (1 x x 2 )2 . 2.非负实数 x1、x2，且 x1+x2≤1， 求证： 1 x1 1 x2 ≥ 1 x1 x2 1 3.已知 a , b 是不相等正数,且 a3 b3 a2 b2 ,

[通一类] x 1 2 2 1．x∈R，比较(x＋1)(x ＋ ＋1)与(x＋ )· ＋x＋1)的大小． (x 2 2 x x 2 2 解：因为(x＋1)(x ＋ ＋1)＝(x＋1)· ＋x＋1－ )＝(x＋ (x 2 2
x 1)(x ＋x＋1)－ (x＋1)， 2
2
1 2 1 2 (x＋ )(x ＋x＋1)＝(x＋1－ )(x ＋x＋1) 2 2 1 2 ＝(x＋1)(x ＋x＋1)－ (x ＋x＋1)． 2
f1＝a＋b， ∴ f－1＝a－b.
1 a＝2[f1＋f－1]， ∴ b＝1[f1－f－1]. 2 ∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)． ∵1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4. ∴6≤f(－2)≤10.
法二：设 f(x)＝ax2＋bx， 则 f(1)＝a＋b，f(－1)＝a－b. 令 m(a＋b)＋n(a－b)＝f(－2)＝4a－2b，
[精讲详析] 本题考查对不等式的性质的理解， 解答本题 需要利用不等式的性质或利用特殊值逐项判断． (1)错误．因为当取 a＝4，b＝2，c＝6 时，有 a＞b，c＞ b 成立，但 a＞c 不成立． a (2)错误．因为 a、b 符号不确定，所以无法确定b＞1 是 a 否成立，从而无法确定 lgb＞0 是否成立．
[例 3] 已知 60＜x＜84,28＜y＜33.求 (1)x－y 的取值范围； x (2)y 的取值范围． [精讲详析] 本题考查不等式性质的灵活应用． 解答问
题(1)需要先求出－y 的取值范围，然后利用不等式的同向 1 可加性解决； 解答问题(2)需要先求出y 的取值范围， 然后利 用不等式的有关性质求解．
2
1 1 2 ∴作差，得(x＋1)(x ＋ x＋1)－(x＋ )(x ＋x＋1) 2 2

返回
1 1 4．已知a，b，x，y都是正数，且a>b，x>y， x y 求证： > . x＋a y＋b 证明：因为a，b，x，y都是正数，
1 1 x y 且a>b.x>y，所以a>b， a b 所以x<y. a b 故x＋1<y＋1， x＋a y＋b x y 即 x < y .所以 > . x＋a y＋b
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2．不等式的基本性质
由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些 基本性质： (1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即 a＞
b⇔b＜a . (2)如果a＞b，b＞c，那么 a＞c .即a＞b，b＞c⇒ a＞c .
(3)如果a＞b，那么a＋c> b＋c . (4)如果a＞b，c>0，那么ac > bc；如果a>b，c<0，那么 ac < bc.
n n
n
a>
n
b (n＝2k＋
返回
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[例 1]
1 1 4 已知 x，y 均为正数，设 m＝ ＋ ，n＝ ，试比 x y x＋y
较 m 和 n 的大小．
[思路点拨]
变形 转化为因式 与0比较 两式作差 ――→ ―――→ 乘积形式
判断正负，得出大小
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[解]
x＋y 1 1 4 4 m－n＝ x ＋ y － ＝ xy － ＝ x＋y x＋y
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(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相 加，但不可以 相减 ；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两 个不等式同向且两边为 正值 时，可以相乘，但不可以 相除 ． (3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为 正值 ， 并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽 条件，a>b⇒a >b (n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒ 1，k∈N＋)．

= (a b)(lg a lg b) ∵ a b 与 lg a lg b 同号，∴ (a b)(lg a lg b) >0
(a lg a b lg b) (b lg a a lg b) 0 a lg a b lg b b lg a a lg b,
2．非负实数 x1、x2，且 x1+x2≤1， 求证： 1 x1 1 x2 ≥ 1 x1 x2 1
证明： x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1 x2 ≤1, 1 x1 ≥ 0,1 x2 ≥ 0,1 x1 x2 ≥ 0 要证 1 x1 1 x2 ≥ 1 x1 x2 1，
只要证 a 2 ab b2 ab ,只要证 a 2 2ab b2 0 . ∵ a b 0 ,∴ (a b)2 0 即 a 2 2ab b2 0 得证.
注：分析法的思维特点是：执果索因.对于思路不 明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径. 另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这 样或那样的变形,分析时贵在变形,不通思变,变则通! （如课本第 24 页例 3）
∵ a , b 是正数，且 a b ,∴ a b 0 , (a b)2 >0
∴ (a3 b3 ) (a2b ab2 ) >0,∴ a 3 b3 a 2b ab2
注：比较法是证明不等式的基本方法，也是 最重要的方法,另外， 有时还可作商比较(如课本 第 22 页例 3).
am a . 求证: bm b 4.(课本第 24 页例 2)已知 a1 , a2 ,, an R ,且 a1a2 an 1 ,
求证: (1 a1 )(1 a2 )(1 an ) ≥ 2n 5.(课本第 26 页习题 2.2 第 9 题)已知 a 1 , b 1 , 求证: 1 ab a b

第二讲证明不等式的基本方法(一)
引入
思考一
方法综合
课堂练习
作业:课本 P 习题 2.2 第 1、2、3 题. 26
第二讲证明不等式的基本方法(一)
前面已经学习了一些证明不等式的方法，我们知 道，关于数的大小的基本事实、不等式的基本性质、 基本不等式以及绝对值不等式 x ≤ a 和 x ≥ a 的解 集的规律等，都可以作为证明不等式的依据.下面， 我们来进一步学习体会证明不等式的基本方法. 思考一： 已知 a , b 是正数，且 a b ，求证： a 3 b3 a 2b ab2
∴a b a b
a b
b a
课外练习: 1.若实数 x 1 ，求证： 3(1 x 2 x4 ) (1 x x 2 )2 . 2.非负实数 x1、x2，且 x1+x2≤1， 求证： 1 x1 1 x2 ≥ 1 x1 x2 1 3.已知 a , b 是不相等正数,且 a3 b3 a2 b2 ,
4 求证: 1 a b . 3
4. 比较 loga (1 x) 与 loga (1 x)
的大小（ a 0且a 1,0 x 1）.
作业:课本 P 习题 2.2 第 1、2、3 题. 26
1．若实数 x 1 ，求证： 3(1 x 2 x4 ) (1 x x 2 )2 . 证明：采用差值比较法： 2 4 2 2 3(1 x x ) (1 x x ) = 3 3 x2 3 x4 1 x2 x4 2 x 2 x2 2 x3 = 2( x 4 x 3 x 1) = 2( x 1)2 ( x 2 x 1) 1 2 3 2 = 2( x 1) [( x ) ]. 2 4 1 2 3 2 x 1, ( x 1) 0, 且( x ) 0, 2 4 12 3 2 ∴ 2( x 1) [( x ) ] 0, ∴ 3(1 x 2 x4 ) (1 x x 2 )2 . 2 4

对于不等式恒成立求参数范围问题，常见类型及其解法
如下：
(1)分离参数法：
运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立
中的参数范围问题．
(2)更换主元法：
不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常 困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，
常可得到简捷的解法．
5 ②当－ ≤x≤2 时， 2 3 原不等式变形为 2－x－2x－5>2x，解得 x<－ . 5 5 3 ∴解集为{x|－ ≤x<－ }． 2 5 ③当 x>2 时，原不等式变形为 x－2－2x－5>2x， 7 解得 x<－ ，∴原不等式无解． 3 3 综上可得，原不等式的解集为{x|x<－ }. 5
2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
答案：5
3．(2011· 陕西高考)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R 恒成立，则a的取值范围是________．
解析：令 f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝ －2x＋1x≤－1， 3－1<x<2， 2x－1x≥2， ∴f(x)≥3. ∵|x＋1|＋|x－2|≥a 对任意 x∈R 恒成立，∴a≤3.
[解析]
x＋3z 由 x－2y＋3z＝0 得 y＝ ， 2
2 2 y2 x ＋9z ＋6xz 6xz＋6xz 则xz＝ ≥ ＝3， 4xz 4xz
当且仅当 x＝3z 时取“＝”．
[答案]
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1 1 [例 3] 设 a， c 为正实数， b， 求证：3＋ 3＋ 3＋abc≥2 3. a b c 1 [证明]因为 a，b，c 为正实数，由平均不等式可得 3＋ a

12 3 3 ∵x －x＋1＝(x－ ) ＋ ≥ ＞0， 2 4 4
2
∴当 x＞1 时，(x－1)(x2－x＋1)＞0. 即 x3－1＞2x2－2x； 当 x＝1 时，(x－1)(x2－x＋1)＝0， 即 x3－1＝2x2－2x； 当 x＜1 时，(x－1)(x2－x＋1)＜0， 即 x3－1＜2x2－2x.
[悟一法]
运用不等式的性质时要注意条件，如倒数法则要求两数 同号；两边同乘一个数，不等号方向是否改变要视此数的正 负而定；同向不等式可以相加，异向不等式可以相减．
[通一类]
1 2．(2011· 广州二模)设 a，b 为正实数，则“a<b”是“a－a 1 <b－b成立的” A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分又不必要条件 ( )
a 3 b 2 又∵ y＝ ＝－1，x＝ ＝－1， －3 －2 a b ∴y ＝x，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推出②④恒成立． 即恒成立的不等式有②④.
c d 2．已知三个不等式：ab＞0，bc－ad＞0，a－b＞0(其中 a，b， c，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个 不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题有几个？
(3)错误．此命题当 a、b、c、d 均为正数时才正确． (4)正确．因为 a＞b，且 a、b 同号， 1 1 1 所以 ab＞0，两边同乘以ab，得a＜b. (5)错误．只有当 cd＞0 时，结论才成立． (6)正确．因为 c＞d，所以－d＞－c，又 a＞b， 所以 a－d＞b－c.综上可知(4)(6)正确．
[例 3] 已知 60＜x＜84,28＜y＜33.求 (1)x－y 的取值范围； x (2)y 的取值范围． [精讲详析] 本题考查不等式性质的灵活应用． 解答问