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正方形的性质及判定-人教版八年级数学下册教案
一、教学目标
1.了解正方形的定义及性质；
2.判定一个四边形是否为正方形；
3.运用正方形的性质解决实际问题。
二、教学重难点
1.判断四边形是否为正方形的方法；
2.运用正方形的性质解决实际问题。
三、教学内容及步骤
（一）导入（5分钟）
1.通过观察物体，引出正方形的含义；
2.介绍本节课的学习目标。
（二）正片（30分钟）
1. 正方形的定义
1.学生回顾并回答正方形的定义；
2.老师引导学生深入理解正方形的定义，并与长方形、菱形等进行比较。
2. 正方形的性质
1.学生回顾并回答正方形的性质；
2.老师引导学生深入理解正方形的性质，包括等边、等角、对角线互相垂直、对角线相等等。
3. 判定正方形的方法
1.老师通过例题引导学生掌握判定正方形的方法；
2.学生进行练习，巩固判定正方形的方法。
4. 运用正方形的性质解决实际问题
1.通过例题引导学生运用正方形的性质解决实际问题；
2.学生进行练习，巩固运用正方形的性质解决实际问题。
（三）小结（5分钟）
1.回顾本节课所学内容；
2.强调正方形的定义及性质在实际生活中的应用。
（四）作业布置（5分钟）
1.完成课堂练习；
2.完成课后作业。
四、教学反思
本节课通过例题引导学生掌握了正方形的定义及性质，并且通过练习巩固了判定正方形的方法和运用正方形的性质解决实际问题的能力。
同时，课堂中老师与学生的互动也让学生参与性更强，思维更加开放。
八年级数学下册第5章特殊平行四边形5.1矩形（第2课时）作业设计（新版）浙教版1．在四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线且AC＝BD.如果添加一个条件，即可推出四边形ABCD是矩形，那么这个条件可以是（）A. AB＝BCB. AC与BD互相平分C. AC⊥BDD. AB⊥BD2．平行四边形的四个内角平分线相交所构成的四边形一定是（）A. 一般平行四边形B. 一般四边形C. 对角线垂直的四边形D. 矩形3．如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是（）A．一组对边平行而另一组对边不平行B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线互相平分4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，过点B作DF的垂线，垂足为E.若∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（）A. 2 3B. 3C. 4 D．3 35．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOD是等边三角形，AD＝4，则▱ABCD的面积为.6．如图，在四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC⊥BD，顺次连结四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n.则S四边形AnBnCnDn=______.7．如图，在▱ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，且∠BED是直角．求证：▱ABCD是矩形．8．如图，在四边形ABCD中，H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF.(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是_____，并证明．(2)在(1)的条件下，连结CE，BF，则当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？并说明理由．9．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为O，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是矩形．10．如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB＝2，BC＝23，E，F分别是线段AB，AD上的点，连结CE，CF，当∠BCE＝∠ACF，且CE＝CF时，求AE＋AF的值．11．已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D为AB的中点，P为直线AB上一动点，且PE⊥AC于点E，PF ⊥BC于点F.求证：DE＝DF.12．如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.(1)求证：OE＝OF.(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长．(3)连结AE，AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．13．如图，已知∠A＝∠B，AA1，PP1，BB1均垂直于A1B1，AA1＝17，PP1＝16，BB1＝20，A1B1＝12，求AP＋PB 的值．参考答案1-4BDCA 5.16 36.ab2n ＋1． 7.证明：连结OE. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝CO ，BO ＝DO.∵∠AEC ＝∠BED ＝90°，∴AC ＝2OE ，BD ＝2OE ，∴AC ＝BD ，∴▱ABCD 是矩形．8.解：(1)答案不唯一，以添加EH ＝FH 为例，证明如下：∵H 是BC 的中点，∴BH ＝CH.在△BEH 和△CFH 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BH ＝CH ，∠BHE ＝∠CHF ，EH ＝FH ，∴△BEH ≌△CFH(SAS)．(2)当BH ＝EH 时，四边形BFCE 是矩形，理由如下：∵BH ＝CH ，EH ＝FH ，∴四边形BFCE 是平行四边形．∵当BH ＝EH 时，BC ＝EF ，∴▱BFCE 为矩形．9.证明：∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴EH 是△ABD 的中位线，∴EH 平行且等于12BD. 同理，FG 平行且等于12BD ， ∴EH 平行且等于FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形．∵AC ⊥BD ，∴AC ⊥EH.∵EF 是△ABC 的中位线，∴EF ∥AC ，∴EF ⊥EH ，∴∠FEH ＝90°，∴四边形EFGH 是矩形．10.解：过点F 作FG ⊥AC 于点G.易证△BCE ≌△GCF(AAS)，∴BE ＝GF ，BC ＝GC.∵在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC ＝4，∴∠ACB ＝30°，∴∠DAC ＝∠ACB ＝30°.∵FG ⊥AC ，∴AF ＝2GF,∴AE ＋AF ＝AE ＋2BE ＝AB ＋BE.设BE ＝x ，则在Rt △AFG 中，GF ＝x ，AF ＝2x ，∴AG ＝3x.∴AC ＝AG ＋CG ＝3x ＋23＝4，解得x ＝433－2.∴AE ＋AF ＝AB ＋BE ＝2＋433－2＝433. 11.证明：分两种情况证明.(1)当P 为线段AB 上的点时(如解图)，连结CD ，则CD ⊥AB ，CD ＝AD ＝BD ，∠ACD ＝45°. ∵PF ⊥BC ，PE ⊥AC ，∠ACB ＝90°，∴四边形PFCE 为矩形．∴CE ＝PF.∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠B ＝45°.∵PF ⊥BC ，∴∠FPB ＝45°，∴PF ＝BF ，∴CE ＝BF.又∵∠ECD ＝∠B ＝45°，CD ＝BD ，∴△CED ≌△BFD(SAS)．∴DE ＝DF.(2)当P 为线段AB 的延长线或反向延长线上的点时，此结论也成立，证法同(1)．12.(1)证明：∵MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ，∴∠ACE ＝∠BCE ，∠ACF ＝∠DCF.∵MN ∥BC ，∴∠OEC ＝∠BCE ，∠OFC ＝∠DCF.∴∠OEC ＝∠ACE ，∠OFC ＝∠ACF.∴OE ＝OC ，OF ＝OC.∴OE ＝OF.(2)解：∵∠ACE ＝∠BCE ，∠ACF ＝∠DCF ，∴∠ACE ＋∠ACF ＝12∠BCD ＝90°， 即∠ECF ＝90°.∵CE ＝12，CF ＝5，∴EF ＝122＋52＝13.∴OC ＝12EF ＝6.5. (3)解：当点O 在边AC 上运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形．理由如下： 当O 为AC 的中点时，OA ＝OC ，又∵OE ＝OF ，∴四边形AECF 是平行四边形．又∵∠ECF ＝90°，∴▱AECF 是矩形．13.解：∵AA 1，PP 1，BB 1均垂直于A 1B 1，∴AA 1∥PP 1∥BB 1.过点P 作PD ⊥AA 1于点D ，延长DP 交BB 1于点F ，延长BP 交AA 1于点C ，过点C 作CG ⊥BB 1于点G ， 则四边形DFB 1A 1，四边形DPP 1A 1，四边形FPP 1B 1，四边形FDCG ，四边形CGB 1A 1都是矩形， ∴DA 1＝PP 1＝FB 1＝16，CG ＝A 1B 1＝12.∵AA 1∥BB 1，∴∠B ＝∠ACB.∵∠A ＝∠B ，∴∠A ＝∠ACB ，∴AP ＝CP.∵PD ⊥AA 1，∴D 是AC 的中点．∵AA 1＝17，∴CD ＝AD ＝17－16＝1，∴FG ＝1，又∵BF ＝20－16＝4，∴BG ＝4＋1＝5，∴AP＋PB＝CP＋PB＝BC＝CG2＋BG2＝122＋52＝13.。
课题 19.2 特殊的平行四边形课时：五课时第一课时 19.2.1 矩形的性质【学习目标】1.掌握矩形的性质定理及推论。
2.能熟练应用矩形的性质进行有关证明和计算。
【重点难点】重点：掌握矩形的性质定理。
难点：利用矩形的性质进行证明和计算。
【导学指导】阅读教材P94-P96相关内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题：1.什么是矩形？2.矩形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质它有没有？平行四边形的边有什么性质？角呢？对角线呢？那么它特殊在什么地方？所以它有什么性质？如何记住它呢？3.矩形的一条对角线把它分成了两个什么三角形？由矩形的性质，你可以得到这个三角形的什么性质？【课堂练习】1.教材P95练习第1，2，3题。
2.Rt△ABC中，两条直角边分别为6和8，则斜边上的中线长为。
【要点归纳】今天你有什么收获？与同伴交流一下。
【拓展训练】1. 将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 对折，再折叠使AD 与对角线BD 重合，得折痕DG ，若AB=8，BC=6，求AG 的长。
2. 在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°，E 是AC 的中点，EF 平分∠BED 交BD 于点F 。
（1） 猜想：EF 与BD 具有怎样的关系？（2） 试证明你的猜想。
ABD第二课时矩形的判定【学习目标】1.理解并掌握矩形的判定方法。
2.能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力。
【重点难点】重点：矩形的判定定理及推论。
难点：定理的证明方法及运用。
【导学指导】复习旧知：1.什么是平行四边形？什么是矩形？2.矩形有哪些性质？你能猜想如何判定矩形吗？学习新知：阅读教材P95-P96相关内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题:1.利用矩形的定义可以判定一个平行四边形是矩形，由此你发现什么？2.还有哪些方法可以证明一个四边形是矩形？如何证明？试一试。
【课堂练习】1.教材P96练习第1，2题。
北师大版数学八年级下册第五章章末复习说课稿一. 教材分析北师大版数学八年级下册第五章主要包括了平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质和正方形的性质。
这一章是对平面几何图形性质的深入研究，通过学习本章内容，学生能够掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经掌握了平面几何的基本概念和性质，具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。
但是，对于一些特殊的性质和定理，学生可能还存在着理解上的困难，需要通过教师的引导和讲解来加深理解。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、验证等方法，培养学生的空间想象能力和推理能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与数学学习，培养对数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质。
2.教学难点：对于一些特殊的性质和定理的理解和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、引导发现法等教学方法，激发学生的学习兴趣，培养学生的思维能力和解决问题的能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、学具、黑板等教学手段，直观地展示图形的性质和定理，帮助学生理解和记忆。
六. 说教学过程1.引入新课：通过展示一些实际问题，引发学生对平行四边形、矩形、菱形和正方形性质的思考，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究：学生通过观察、操作、猜想、验证等方法，自主探索平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质。
3.引导讲解：教师引导学生总结和归纳平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质，讲解相关的定理和证明过程。
4.巩固练习：学生通过解决一些实际问题，巩固所学的性质和定理。
5.总结与反思：学生总结本节课的学习内容，反思自己的学习方法和策略，为今后的学习做好准备。
特殊平行四边形第1讲（矩形与菱形）命题点一：利用性质解决相关问题例1如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为(2,3)，则BD＝13.例2如图，在菱形ABCD中，AB＝8，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝AF，过点E作EG∥AD 交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O.当四边形AEOF与四边形CGOH 的周长之差为12时，AE的值为( C )A．6.5 B．6 C．5.5 D．5命题点二：根据相应的判定方法解题例3下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是( C )A．AB∥CD，AB＝CD，AC＝BD B．∠A＝∠B＝∠D＝90°C．AB＝BC，AD＝CD，且∠C＝90° D．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°例4四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( B ) A．BA＝BC B．AC，BD互相平分 C．AC＝BD D．AB∥CD例5如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，E是AD的中点，M是边AB上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连结MD，AN.(1)求证：四边形AMDN是平行四边形．(2)填空：①当AM 的值为 1 时，四边形AMDN 是矩形； ②当AM 的值为 2 时，四边形AMDN 是菱形. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴ND ∥AM .∴∠NDE ＝∠MAE ，∠DNE ＝∠AME . ∵E 是AD 的中点，∴DE ＝AE .在△NDE 和△MAE 中，∵⎩⎨⎧∠NDE ＝∠MAE ，∠DNE ＝∠AME ，DE ＝AE ，∴△NDE ≌△MAE (AAS )．∴ND ＝M A ． ∴四边形AMDN 是平行四边形．命题点三：利用图形的轴对称性解题例6如图，四边形ABCD 是菱形，△AEF 是正三角形，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，且AB ＝AE ，则∠B 的大小为( B )A ．60°B ．80°C ．100°D ．120°例7如图，四边形ABCD 与四边形AECF 都是菱形，点E ，F 在BD 上，已知∠BAD ＝120°，∠EAF ＝30°，则ABAE ＝6＋22. 命题点四：利用图形的中心对称性解题例8如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝110°，E ，F 分别是AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC 的大小为( D )A．35° B．45° C．50° D．55°例9如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C，A运动，其速度为1 cm/s，运动时间为t(s)．当AC＝16 cm，BD＝12 cm，且以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形时，t＝ 2或14 .命题点五：用旋转的方法解决问题例10如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A(－6,0)，C(0,23)，将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为(－23，6) .例11如图，在边长为2的菱形ABCD中，BD＝2，E，F分别是AD，CD上的动点(包含端点)，且AE＋CF＝2，则线段EF的长的取值范围是3≤EF≤2 .命题点六：巧用公式解决面积有关的问题例12如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC＝24 cm，则四边形ABCD 的周长为( A )A．52 cm B．40 cm C．39 cm D．26 cm例13如图，在矩形ABCD中，M为边BC上一点，连结AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E，若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为255.命题点七：在矩形、菱形中的拼接问题例14如图，四张大小不一样的正方形纸片分别放置于矩形的四个角落，其中，①和②纸片既不重叠也无空隙，在矩形的周长已知的情况下，知道下列哪个正方形的边长，就可以求得涂色部分的周长( B)A．① B．② C．③ D．④例15如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无空隙，其中两张等腰三角形纸片的面积都为S1，且AE＝AH，CF＝CG，另外两张三角形纸片的面积都为S2，中间一张菱形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为( A )A．4S1 B．4S2 C．4S2＋S3 D．3S1＋4S3课后练习1．如图，矩形ABCD的周长是16，DE＝2，△EFC是等腰直角三角形，∠FEC＝90°，则AE的长是( A )A ．3B ．4C ．5D ．62．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，连结BM ，DN .若四边形MBND 是菱形，则AMMD等于( C )A ．38B ．23C ．35D ．453．如图，在菱形ABCD 中，边BC 的长为5，高DE 的长为3(垂足E 落在BC 边上)，则AC 的长为( A )A ．310B ．4 5C ．8D ．104．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝3，DF ＝1，∠DAB ＝60°，∠EFG ＝15°，FG ⊥BC ，则AE 等于( D )A ．1＋ 2B ． 6C ．23－1D ．1＋ 35．如图，大矩形分割成五个小矩形，④号、⑤号均为正方形，其中⑤号正方形边长为1.若②号矩形的长与宽的差为2，则知道哪个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积( A )A．①或③ B．② C．④ D．以上选项都可以6．如图，在矩形中ABCD中，AD＝2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连结BH并延长交CD于点F，连结DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH ＝HF；④BC－CF＝2HE；⑤AB＝HF.其中正确的有( C )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7．如图，在长方形ABCD中，M是AD边的中点，N是DC边的中点，AN与MC交于点P.若∠MCB ＝∠NBC＋33°，则∠MPA的度数为 33°.8．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，P为BC上一点，PF⊥AC，PE⊥BD，则PF＋PE 的值为 4.8 .9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝53，∠C＝30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒 (t>0)，过点D作DF⊥BC于点F，连结EF，当四边形AEFD为菱形时，t的值为103.10．如图，点D，F把线段BH分成三条线段BD，DF，FH，分别以这三条线段为一条对角线作菱形ABCD，菱形DEFG，菱形FMHN，连结CE，EM，MG，GC组成四边形CEMG.若菱形ABCD的边长为7，菱形DEFG的边长为13，菱形FMHN的边长为6，BH＝40，DF＝24，则四边形CEMG的面积为 160 .11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E，F分别在BC，CD上，若AE＝5，∠EAF＝45°，则AF的长为4103.12．将矩形ABCD绕点A按顺时针旋转α(0°<α<360°)，得到矩形AEFG.(1)如图，当点E在BD上时，求证：FD＝C D．(2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．13．(2018·江西)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形APE.点E的位置随着点P位置的变化而变化．(1)如图①，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连结CE，BP与CE的数量关系是BP＝CE，CE与AD的位置关系是CE⊥AD.(2)当点E在菱形ABCD外部时，题(1)中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由 (选择图②，图③中的一种情况予以证明或说理)．(3)如图④，当点P在线段BD的延长线上时，连结BE，若AB＝23，BE＝219.求四边形ADPE的面积．解：(2)仍然成立．选图②，证明如下：连结AC交BD于点O.设CE交AD于点H.在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∵BA＝BC，∴△ABC为等边三角形．∴BA＝C A．∵△APE为等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝∠BAC＝60°.∴∠BAP＝∠CAE.∴△BAP≌△CAE(SAS)．∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABP＝30°.∵AC和BD为菱形的对角线，∴∠CAD＝60°.∴∠AHC＝90°，即CE⊥A D．选图③，证明如下：连结AC交BD于点O.设CE交AD于点H.同理可得△BAP≌△CAE(SAS)，BP＝CE，CE⊥A D．(3)连结AC交BD于点O，连结CE交AD于点H.由题(2)可知，BP＝CE，CE⊥A D．在菱形ABCD中，AD∥BC，∴EC⊥B C．∵BC＝AB＝23，BE＝219，∴在Rt△BCE中，CE＝2192－232＝8. ∴BP＝CE＝8.∵AC与BD是菱形的对角线，∴∠ABD＝12∠ABC＝30°，AC⊥BD，BD＝2BO＝2AB·32＝6.∴OA＝12AB＝3，DP＝BP－BD＝2. ∴OP＝5，AP＝AO2＋OP2＝27.S四边形ADPE ＝S△ADP＋S△AEP＝12×2×3＋12×27×27×32＝3＋73＝8 3.14．(自主招生模拟题)如图，AB＝CD，BC＝2AD，∠ABC＝90°，∠BCD＝ 30°.则∠BAD的大小为( B )A．25° B．30° C．35° D．45°15．(自主招生模拟题)如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O(0,0)，点A(5,0)，点B(0,3)．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC得到矩形ADEF，O，B，C的对应点分别为D，E，F.记K为矩形AOBC对角线的交点，则△KDE的最大面积为30＋3344.16．一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图①，在矩形ABCD中，若AB＝2，BC＝6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．(1)判断与操作如图②，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．(2)探究与计算已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a(a<20)，且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值．(3)归纳与拓展已知矩形ABCD两邻边的长分别为b，c(b<c)，且它是4阶奇异矩形，求b∶c(直接写出结果)．解：(1)矩形ABCD是3阶奇异矩形，裁剪线的示意图如下．(2)裁剪线的示意图如下．(3)b∶c的值为15，45，27，37，47，57，38，58.。
八年级数学下册第5章特殊平行四边形5.3正方形作业设计（新版）浙教版八年级数学下册第5章特殊平行四边形5.3正方形作业设计（新版）浙教版5.3正方形（1)一、选择题1、下列说法不正确的是( )A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形2、如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为( )A．90° B．60° C．45° D．30°3、如图，边长为(m＋3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是( )A．2m＋3 B．2m＋6 C．m＋3 D．m＋64、如图，AC、BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题5、如图，已知正方形ABCD，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连结DE，CE，则∠DEC=_______.EBD6、如图，已知矩形ABCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C′，若∠ADC′＝20°，则∠BDC的度数为________．7．如图，E是正方形ABCD内一点，如果△ABE是等边三角形，那么∠DCE＝________，如果DE的延长线交BC于G，则∠BEG＝_______________.三、解答题8、在平面内正方形ABCD和正方形CEFH如图放置，连接DE，BH两线交于点M.求证：(1)BH＝DE；(2)BH⊥DE.9、在△ABC 中,AB=AC,D 是BC 的中点,DE ⊥AB, DF ⊥AC,垂足分别是E,F. ⑴试说明:DE=DF.⑵只添加一个条件,使四边形EDFA 是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线,无需证明)10、如图，四边形ABCD 是正方形，G 是BC 上任意一点(点G 与B 、C 不重合)，AE ⊥DG 于E ，CF ∥AE 交DG 于F ．求证：AE=FC+EF ．11、已知：如图，矩形ABCD 的外角平分线围成四边形EFGH ．求证：四边形EFGH 是正方形．12.AC 为正方形ABCD 的对角线，E 为AC 上一点，且AB=AE,EF 垂直AC 交BC 于F,求证:EC=EF=FB.BACQE D PN M H GF13、如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.参考答案一、选择题1、D2、C3、A4、D【解析】根据矩形的性质，△CDA、△BAD、△DCB与△ABC 全等，因为DE∥AC，所以∠CDE＝∠DCA，因为CD＝DC，∠ADC＝∠ECD，所以△ADC≌△ECD，所以与△ABC全等的三角形有4个，故选择D.二、填空题5、30°【解析】△ABE为等边三角形∠BAE=60°，∠DAE=150°，△ABE为等腰三角形，∠AED=15°同理∠BEC=15°所以∠DEC=30°.6、55°【解析】本题考查矩形的性质和折叠全等的问题，设∠BDC＝x°，则∠ADB＝(90－x)°，∴x＝90－x＋20，∴x＝55°.7、∠EDC=150 ∠BEG＝450 【解析】∵△ABE是等边三角形，∴∠ABE=∠AEB=60°，BE=AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，∴BE=BC，∠CBE=90-60°=30°，∴∠BCE=∠BEC=（180°-30°）=75°，∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=90°-75°=15°；由对称性可得∠AED=∠BEC=75°，∴∠BEG=180°-∠AED-∠AEB=180°-75°-60°=45°．三、解答题8、证明：(1)在正方形ABCD与正方形CEFH中，BC＝CD，CE＝CH，∠BCD＝∠ECH＝90°，∴∠BC D＋∠DCH＝∠ECH＋∠DCH，即∠BCH＝∠DCE，∴△BCH≌△DCE，∴BH＝DE(2)由(1)得，∠CBH＝∠CDE，∴∠DMB＝∠BCD＝90°，∴BH⊥DE9、证明：⑴连结AD，∵AB＝AC，D为BC的中点∴AD为∠BAC的平分线.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.⑵∠BAC＝90°，DE⊥DF.10、解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°，又∵AE⊥DG，CF∥AE，∴∠AED=∠DFC=90°，∴∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90°，∴∠EAD=∠FDC，∴△AED≌△DFC(AAS)，∴AE=DF，ED=FC，∵DF=DE+EF，∴AE=FC+EF．11、解：由△EAB与△GCD、△FBC与△HAD是两对全等的等腰直角三角形，推得EA+?AH=EB+BF=GC+FC=GD+DH，即EH=EF=GF=GH．∴四边形EFGH是菱形．又∵∠E=90°，?∴四边形EFGH是正方形．12、证明：在Rt△AEF和Rt△ABF中，AE＝AB,AF＝AF，∴Rt△AEF≌Rt△ABF（HL），∴FE=FB．∵正方形ABCD，∴∠ACB=45°，在Rt△CEF中，∵∠ACB=45°，∴∠CFE=45°，∴∠ACB=∠CFE，∴EC=EF，∴FB=EC．13、解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：（1）∵四边形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE=90°（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°∴∠BCE=∠DCF又∵CE=CF∴△BCE≌△DCF∴BE=DF.(2)延长BE交DE于点M.∵△BCE≌△DCF,∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°,∴∠CDF+∠F=90°,∴∠CBE+∠F=90°,∴∠BMF=90°,∴BE⊥DF.5.3 正方形（2）A 组基础训练1．如图，菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为（） A ．14 B ．15 C ．16 D ．172．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A ．对角线相等B ．对角线互相平分 C ．对角线平分一组对角 D ．对角线互相垂直3．已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为BC 和CD 边上的中点，则△AEF 的面积为（） A ． 2.5 B ． 1.5 C ． 2 D ．5354.如图，正方形ABCD 中，∠DAF=25°，AF 交对角线BD 于点E ，那么∠BEC 等于（） A ．45°B ．60°C ．70°D ．75°5.如图，正方形ABCD 的边长为8，点M 在DC 上且DM=2，N 是AC 上一动点，则DN+MN 的最小值为（） A. 8B. 82C. 217D. 106. 边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB ′C ′D ′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图中阴影部分），则这个风筝的面积是（） A. 2-33 B. 332 C. 2-43D. 27.已知：如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED=_________．8．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G 在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F. 若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为________ m.9. 如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过此正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F、DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF 的长为_________.10．如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF 中正确的有_________ . （填序号）11.如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是AB、AD上的一点，且BF⊥C E，垂足为G，求证：AF=BE．12．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，∠ADE＝∠CDF.（1）求证：AE＝CF.（2）连结DB交EF于点O，延长OB至点G，使OG＝OD，连结EG，GF，判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由.B组自主提高13.如图，将正方形对折后展开（图4是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形（阴影部分），且它的一条直角边等于斜边的一半．这样的图形有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个14．如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F，连结DF. （1）在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；（2）连结AE，试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论；（3）延长DF交BC于点M，试判断BM与MC的数量关系（直接写出结论）.参考答案1—5. CBBCD 6. A 7. 45° 8. 4600 9. 13 10. ①②④11. 证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠A=∠CBE=90°，∵BF ⊥CE ，∴∠BCE+∠CBG=90°.∵∠ABF+∠CBG=90°，∴∠BCE=∠ABF ，在△BCE 和△ABF 中，∠BCE=∠ABF ，BC=AB ，∠CBE= ∠A ，∴△BCE ≌△ABF （ASA ），∴BE=AF ．12.（1）证明：在正方形ABCD 中，AD=CD ，∠A=∠C=90°，在△ADE 和△CDF 中，∠ADE=∠CDF ，AD=CD ，∠A=∠C=90°，∴△ADE ≌△CDF （ASA ），∴AE=CF. （2）解：四边形DEGF 是菱形.理由如下：在正方形ABCD 中，AB=BC ，∵AE=CF ，∴A B-AE=BC-CF ，即BE=BF ，∵△ADE ≌△CDF ，∴DE=DF ，∴BD 垂直平分EF ，又∵OG=OD ，∴四边形DEGF 是菱形. 13. C14. 解：（1）△ADF ≌△ABF ，△ADC ≌△ABC ，△CDF ≌△CBF. （2）AE ⊥DF. 设AE 与DF 相交于点H.∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∠DAF=∠BAF.又∵AF=AF ，∴△ADF ≌△ABF. ∴∠1=∠2. 又∵AD=BC ，∠ADE=∠BCE=90°，DE=CE ，∴△ADE ≌△BCE. ∴∠3=∠4. ∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴∠AHD=90°. ∴AE ⊥DF.（3）∵∠ADE=90°，AE ⊥DF. ∴∠1+∠5=90°，∠3+∠1=90°. ∴∠3=∠5，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5. ∵DC=BC ，∠DCM=∠BCE=90°，∴△DCM ≌△BCE. ∴CE=CM ，又∵E 为CD 中点，且CD=CB ，∴CE= 21CD=21BC ，∴CM=21CB ，即M 为BC 中点，∴BM=MC.。
