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第9章 正方形的定义、性质和判定教学内容正方形的定义、性质和判定教学重难点 熟练掌握正方形的定义、性质和判定教学过程前课回顾一、正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
二、正方形的性质：1、正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等，并且垂直平分；2、正方形具有而矩形不具有的性质是四条边都相等，对角线互相垂直；3、正方形具有而菱形不具有的性质是四个角都是直角，对角线相等 。
三、正方形的判定1、有一组邻边相等的矩形叫做正方形.（定理）2、有一个角是直角的菱形是正方形.（定理）真题演练【课堂练习】知识点1. 正方形的性质例1．如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF⊥DE 交BC 的延长线于点F ．求证：DE=DFA EB CFD 123知识点2.正方形的判定例2．正方形ABCD中，AK=BH=CI=DJ，那么四边形KHIJ是什么样的四边形？为什么？例3．如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB=2BC.分别以AB、BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN，连接FN，EC。
.求证：FN=EC.HGFEDA BC【巩固提高】1. 下列命题中是真命题的是 （ ）A ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．两条对角线相等的平行四边形是矩形D ．两边相等的平行四边形是菱形2．下列说法不正确的是 （ ） A ．一组邻边相等的矩形是正方形 B ．对角线相等的菱形是正方形C ．对角线互相垂直的矩形是正方形D ．有一个角是直角的平行四边形是正方形3．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP =EF ；②AP ⊥EF ；③△APD 一定是等腰三角形；④∠PFE =∠BAP ；⑤PD = 2EC ．其中正确结论的序号是4．如图，四边形ABCD 是正方形，延长AB 到E ，使AE=AC ，则∠BCE 的度数是 °．5．在正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在各边上，且BE=CF=DG=AH ．四边形EFGH 是正方形吗?为什么?（第3题）（第4题）6．在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED （1）求证：△BEC≌△DEC；的度数．（2）延长BE交AD于F，当∠BED＝120°时，求EFD。
《矩形、菱形、正方形》学习要点一、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形首先是平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件．1．矩形的性质(1)具有平行四边形的所有性质．(2) 特有性质：四个角都是直角，对角线相等．矩形是轴对称图形.2. 矩形的判定矩形是有一个角是直角的平行四边形，在判定一个四边形是不是矩形，首先看这个四边形是不是平行四边形，再看它两边的夹角是不是直角，这种用“定义”判定是最重要和最基本的判定方法（这体现了定义作用的双重性、性质和判定）．除此之外，还有其它几种判定矩形的方法．(1)定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．(2)定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．注意：①用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件，即一是有一个角是直角；二是平行四边形，也就是说有一角是直角的四边形，不是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形.②用定理2证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线相等，二是平行四边形．也就说明：两务对角线相等的四边形不是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形.二、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．注意：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．2．菱形的性质(1)具有平行四边形的一切性质.(2)菱形的四条边都相等.(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.(4)菱形是轴对称图形.(5)菱形面积=底×高=对角线乘积的一半.3．菱形的判定(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(2)定理1：四边都相等的四边形是菱形．(3)定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意：对角线互相垂直的四边形不是菱形，必须加上平行四边形这个条件，它才是菱形.三、正方形1. 定义：正方形的定义我们可以分成两部分来理解：（1）有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形．2．正方形性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.(1)边——四边相等，邻边垂直.(2)角——四角都是直角.(3)对角线——①相等②互相垂直平分③每条对角线平分一组对角.(4)是轴对称图形，有4条对称轴.3．正方形的判定方法：(1)判定一个四边形为正方形主要根据定义，途径有两条：①先证它是矩形，再证有一组邻边相等或对角线垂直.②先证它是菱形，再证它有一个角为直角或对角线相等.四、正方形与矩形、菱形、平行四边形的关系：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，其中正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图.五、中点四边形与原四边形的关系：依次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形；依次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；依次连接对角线相等且垂直的四边形各边中点所得四边形是正方形；依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与原四边形的两条对角线的位置关系和数量关系有关．六、利用特殊平行四边形的性质和判定可以解决哪些问题?可解决证明线段相等及倍分、角相等及倍分、直线平行、垂直、证明一个四边形是特殊平行四边形及有关计算等问题．。
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苏教版八年级下册数学知识点归纳第7章数据的收集、整理与描述知识点一、数据处理一般包括收集数据、整理数据、描述数据和分析数据等过程.1、通过调查收集数据的一般步骤：①明确调查问题②确定调查对象③选择调查方法④展开调查⑤记录结果⑥得出结论2、收集数据常用的方法：①民意调查:如投票选举②实地调查：如现场进行观察、收集、统计数据③媒体调查：报纸、电视、电话、网络等调查都是媒体调查.二、数据的表示方法：（1)统计表：直观地反映数据的分布规律。
（2)折线图：反映数据的变化趋势。
（3）条形图：反映每个项目的具体数据。
（4）扇形图：反映各部分在总体中所占的百分比。
（5）频数分布直方图：直观形象地反映频数分布情况。
6）频数分布折线图：在频数分布直方图的基础上，取每一个长方形上边的中点，和左右频数为零与直方图相距半个组距的两个点。
三、统计调查1、全面调查(普查）：考察全体对象的调查，就是全面调查.例如我国进行的第六次人口普查.2、抽样调查:采用调查部分对象的方式来收集数据, 根据部分来估计整体的情况,叫做抽样调查.统计中常用样本特性来估计总体特性.需要注意的是，在抽样调查中，如果抽取样本的方法得当，一半样本能客观的反映总体的情况,抽样调查的结果会比较接近总体的情况，否则抽样调查的结果往往会偏离总体的情况，所以，在抽样调查要求抽取的样本要具有代表性。
苏教版八年级数学下册知识点总结归纳(苏科版)知识点总结第七章：数据的整理、收集、描述知识概念抽样与样本1.全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。
2.抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。
3.总体：要考察的全体对象称为总体。
4.个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。
5.样本：被抽取的所有个体组成一个样本。
6.样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。
频率分布1、频率分布的意义在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布。
2、研究频率分布的一般步骤及有关概念（1）研究样本的频率分布的一般步骤是：①计算极差（最大值与最小值的差）②决定组距与组数③决定分点④列频率分布表⑤画频率分布直方图（2）频率分布的有关概念①极差：最大值与最小值的差②频数：落在各个小组内的数据的个数③频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率。
第八章：认识概率确定事件和随机事件1、确定事件必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。
不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。
2、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。
随机事件发生的可能性一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。
要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。
所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。
概率的意义与表示方法1、概率的意义一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。
的定义：频数与总数的比为频率。
通过长方形的高代表对应组的频数与组距的比（因为组距是一个常数，为了画图和看图方
所连成的线段都被对称中心
，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图中心对称图形
、平行四边形的定义：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
（定义）
17、
四个角相等.
、定义：一般地A,B表示两个整式
分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为
通分：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分。
取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母
分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
分式方程是方程中的一种，且分母里含有未知数的方程叫做分式方程
上同为减函数；
5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
积的算数平方根的性质
二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平。
苏教版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习正方形（基础）【学习目标】1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．【要点梳理】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：【典型例题】类型一、正方形的性质1、（2015•扬州校级一模）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4【思路点拨】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．【答案】C．【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF，∴CE=CF，∴①说法正确；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②说法正确；如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥E F，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③说法错误；∵EF=2，∴CE=CF=，设正方形的边长为a ，在Rt△ADF 中，a 2+（a ﹣）2=4，解得a=， 则a 2=2+，∴S 正方形ABCD =2+，④说法正确，∴正确的有①②④．故选C ．【总结升华】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．举一反三：【变式1】已知：如图，E 为正方形ABCD 的边BC 延长线上的点，F 是CD 边上一点，且CE＝CF ，连接DE ，BF ．求证：DE ＝BF ．【答案】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC＝DC ，∠BCD＝90°∵E 为BC 延长线上的点，∴∠DCE＝90°，∴∠BCD＝∠DCE．在△BCF 和△DCE 中，BC DC BCF DCE CF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCF≌△DCE（SAS ），∴BF＝DE ．【变式2】（2015•咸宁模拟）如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A．75° B．60° C．55° D．45°【答案】B；提示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD，∠BAF=45°，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE=60°，AD=AE，∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣150°）=15°，∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°；故选：B．2、（2016•贵阳）如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF．（1）求证：△ABF≌△CBE；（2）判断△CEF的形状，并说明理由．【思路点拨】（1）由四边形ABCD是正方形可得出AB=CB，∠ABC=90°，再由△EBF是等腰直角三角形可得出BE=BF，通过角的计算可得出∠ABF=∠CBE，利用全等三角形的判定定理SAS 即可证出△ABF≌△CBE；（2）根据△EBF是等腰直角三角形可得出∠BFE=∠FEB，通过角的计算可得出∠AFB=135°，再根据全等三角形的性质可得出∠CEB=∠AFB=135°，通过角的计算即可得出∠CEF=90°，从而得出△CEF是直角三角形．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，∴BE=BF，∴∠ABC﹣∠CBF=∠EBF﹣∠CBF，∴∠ABF=∠CBE．在△ABF和△CBE中，有，∴△ABF≌△CBE（SAS）．（2）解：△CEF是直角三角形．理由如下：∵△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE=∠FEB=45°，∴∠AFB=180°﹣∠BFE=135°，又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB=∠AFB=135°，∴∠CEF=∠CEB﹣∠FEB=135°﹣45°=90°，∴△CEF是直角三角形．【总结升华】本题考查了正方形的性质．全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质以及角的计算，解题的关键是：（1）根据判定定理SAS证明△ABF≌△CBE；（2）通过角的计算得出∠CEF=90°．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过正方形和等腰三角形的性质找出相等的边，再通过角的计算找出相等的角，以此来证明两三角形全等是关键．举一反三：【变式】如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB＝2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF 和正方形BCMN连接FN，EC．求证：FN＝EC．【答案】证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，AB＝BE＝EF，BC＝BN，∠FEN＝∠EBC＝90°，∵AB＝2BC，即BC＝BN＝12 AB∴BN＝12BE，即N为BE的中点，∴EN＝NB＝BC，∴△FNE≌△ECB，∴FN＝EC．类型二、正方形的判定3、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE ⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由．【答案与解析】解：是正方形，理由如下：作DG⊥AB于点G．∵ AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，∴ DF＝DG．同理可得：DG＝DE．∴ DF＝DE．∵ DF⊥AC，DE⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CEDF是矩形．∵ DF＝DE．∴四边形CEDF是正方形．【总结升华】(1)本题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形”来判定正方形．(2)证明正方形的方法还可以直接通过证四条边相等加一个直角或四个角都是直角来证明正方形．举一反三：【变式】如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．（1）求证：四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．【答案】（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），∴∠AOC＝2∠COD，∠CO B＝2∠COF，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴2∠COD＋2∠COF＝180°，∴∠COD＋∠COF＝90°，∴∠DOF＝90°；∵OA＝OC，OD平分∠AOC（已知），∴OD⊥AC，AD＝DC（等腰三角形的“三合一”的性质），∴∠CDO＝90°，∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°∴四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；理由如下：∵∠AOC＝90°，AD＝DC，∴OD＝DC；又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形；因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．类型三、正方形综合应用4、如图，在平面直角坐标系xoy中，边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O)，顶点C、D都在第一象限．(1)当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；(2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB 的平分线上；【答案与解析】解：(1)当∠BAO＝45°时，∠PAO＝90°，在Rt△AOB中，OA＝22AB＝22a，在Rt△APB中，PA＝22AB＝22a．∴点P的坐标为22,22a a⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．(2)如图过点P分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为M、N，则有∠PMA＝∠PNB＝∠NPM＝∠BPA＝90°，∵∠BPN＋∠BPM＝∠APM＋∠BPM＝90°∴∠APM＝∠BPN，又PA＝PB，∴△PAM≌△PBN，∴ PM＝PN，又∵ PN⊥ON，PM⊥OM于是，点P在∠AOB的平分线上.【总结升华】根据题意作出辅助线，构造全等的直角三角形是解题关键.。
苏教版八年级数学下册知识点(详细精华版)数据处理包括收集、整理、描述和分析数据等过程。
收集数据的一般步骤为明确调查问题、确定调查对象、选择调查方法、展开调查、记录结果和得出结论。
常用的收集数据方法有民意调查、实地调查和媒体调查。
数据的表示方法有统计表、折线图、条形图、扇形图、频数分布直方图和频数分布折线图。
统计调查包括全面调查和抽样调查，其中抽样调查常用简单随机抽样方法。
在选择调查方法时，需要考虑投入的人力、物力和时间，以及调查结果的精确度和误差。
合理的抽样调查可以是一种很好的选择。
当调查对象数量较少且容易进行时，我们通常采用全面调查的方式。
但如果调查结果对调查对象有破坏性或可能产生危害，我们则会采用抽样调查的方式。
当调查对象数量较多且难以进行时，我们也常常采用抽样调查的方式。
但在特殊情况下，如国家人口普查，我们仍需要采用全面调查的方式。
统计图有三种类型：条形统计图、扇形统计图和折线统计图。
统计表是表现数字资料整理结果的最常用的一种表格，由纵横交叉线条所绘制的表格来表现统计资料的一种形式。
扇形统计图用整个圆表示总数，圆内的各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数。
通过扇形统计图，可以清晰地表示各部分数量与总数之间的关系。
制作扇形图的步骤为：先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，最后在圆内量出各个扇形的圆心角的度数，写上名称和百分数，并用不同的标记区分各扇形。
条形统计图用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序排列起来。
从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较。
制作条形图的步骤为：在图纸上画出两条互相垂直的射线，确定直条的宽度和间隔，根据数据大小确定单位长度表示多少，并画出长短不同的直条并注明数量。
折线统计图用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来。
以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化。
折线图不仅可以表示出数量的多少，还能清楚地表示出数量的增减变化情况。
第九章《正方形》提优复习【知识图解】1．2．平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系图：【技法透析】1．正方形是轴对称图形，有四条对称轴正方形是中心对称图形，两对角线的交点是对称中心．2．正方形对角线的特殊性质一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．3．正方形的判定方法(1)先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等；(2)先证明它是菱形，再证明它有一个角为直角．考点1利用正方形的性质解题例1 如图所示，正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN ⊥DM，且交∠CBE的平分线于N．(1)求证：MD＝MN．(2)若将上述条件的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，如图(2)，则结论“MD＝MN”还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．【切题技巧】(1)证MD＝MN，可证它们所在的三角形全等，易知MN在钝角△MBN 中，而MD在直角△AMD中，显然需添加辅助线构造全等三角形，由△MBN的特征想到可在AD上取中点F，构造△DFM≌△MBN；(2)可类比图(1)中的方法【规范解答】(1)证明：取AD的中点F，连接MF．(2)结论MD＝MN仍成立．证明：在AD上取点F，使AF＝AM，连接MF．由(1)中结论可得：DF＝BM，∠DFM＝∠MBN，∠FDM＝∠BMN，∴△DFM≌△MBA，∴MD＝NM．【借题发挥】证明两条线段相等的一般思路是，先找到或根据条件构造，使这两条线段分别处在两个“相关”的三角形中，然后再证明这两个三角形全等即可，在探索(2)中结论时，可类比(1)问的分析思路进行．【同类拓展】1．已知在锐角△ABC和锐角△AFH的外面作正方形ABEF和ACGH，AD是△ABC的高，如图所示．求证：DA的延长线平分FH．考点2正方形中规律探究问题例2 如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；…，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是( )A．669 B．670 C．671 D．672【切题技巧】第一次操作，得到4个小正方形；第二次操作得到7个小正方形，即7＝4＋3；第三次操作得到10个小正方形，即10＝4＋3＋3；由此推断第n次操作可得到4＋3（n－1）个小正方形，由4＋3（n－1）＝2011得n＝670，故选B．【规范解答】 B【借题发挥】对于规律问题，要仔细观察、归纳、合理推理，找到变化的特征，从而得出结论．2．如图(1)，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形边长A1B1C1D1按原法延长一倍后得到正方形A2B2C2D2（如图2）；以此类推…，则正方形A4B4C4D4的面积为_______．考点3正方形的判定例3 如图，已知△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，与∠BCA相邻的外角∠ACD的平分线交于点F．(1)求证：OE＝OF；(2)当点O运动到何处时四边形AECF是矩形？说明你的理由；(3)若能使四边形AECF为正方形，则原△ABC的形状如何？并证明你的猜想．【切题技巧】(1)由“角平分线＋平行线 等腰三角形”的思路可证OE＝OC＝OF；(2)由矩形的对角线互相平分可知O为AC的中点；(3)在(2)的前提下，可知∠ACE＝45°，即∠ACB＝90°时，四边形AECF为正方形．【规范解答】∴四边形AECF是矩形，∴当点O运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形．(3)解：若能使四边形AECF为正方形，则原△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，O为AC边的中点，理由如下：由(2)可知：若OA－OC，则四边形AECF为矩形．若∠ACB＝90°，则∠ECO＝∠FCO＝45°，即OC平分∠ECF．∵OE＝OF，即OC为△ECF的中线，∴CE＝CF．∵四边形AECF为矩形．∴四边形AECF为正方形．【借题发挥】特殊四边形是指平行四边形、矩形、正方形、梯形，其性质可从边、角、对角线、对称性等方面进行比较（见下表）并记忆掌握，使之在推理中灵活地应用．【同类拓展】3．如图(1)所示，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF＝DE；②AF⊥DE．（不需要证明）．(1)如图(2)，若点E、F，不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE＝DF，则上面的结论①、②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”）(2)如图(3)，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE ＝DF，此时上面的结论①②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．(3)如图(4)，在(2)的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种？并写出证明过程．考点4正方形中面积问题例4 如图，正方形ABCD中，AB点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE＝30°，∠DAF＝15°，求△AEF的面积．【切题技巧】由30°＋15°＝45°，联想到∠BAE＋∠DAF＝∠EAF，结合条件AB ＝AD，∠B＝∠D＝90°，联想到将△ADF绕点A顺时针旋转90°到△ABG的位置．【规范解答】【借题发挥】(1)将某个图形绕一点旋转90°，拼成一个新的图形，以便集中条件，这是解决几何问题常用的方法之一．(2)利用图形的旋转不变性探索图形在旋转过程中的有关规律，从中体验图形变换的理念与思想．4．如图所示，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上，已知△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半，求∠MAN的度数．考点5正方形中猜想证明题例5如图所示，把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG>BC)，取线段AE的中点M．探究线段MD、MF的关系，并加以证明．【切题技巧】由中点这一条件，想到“倍长法”，再证三角形全等．【规范解答】MD和MF的关系是：MD＝MF，MD⊥MF．【借题发挥】探索是学习的生命线，深入探究，学会探索是时代提出的新要求，数学解题中的探索活动可以从以下几个方面进行：(1)在题设条件不变情况下，挖掘出更多的结论；(2)通过强化或弱化来改变条件，考查结论是否改变或寻求新的结论；(3)构造逆命题5．如图所示，在DABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE．(1)如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；(2)如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是_______；(3)如图③，在(2)的条件下，若AC＝BD，四边形EGFH的形状是_______；(4)如图④，在(3)的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．参考答案1．略 2. 125 3．(1)成立(2)成立(3)正方形4．45°．5．(1)四边形EGFH是平行四边形．(2) )菱形(3)菱形．(4)四边形EGFH是正方形。
苏教版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习正方形（基础）【学习目标】1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．【要点梳理】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：【典型例题】类型一、正方形的性质1、（2015•扬州校级一模）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4【思路点拨】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．【答案】C．【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF，∴CE=CF，∴①说法正确；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②说法正确；如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥E F，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③说法错误；∵EF=2，∴CE=CF=，设正方形的边长为a ，在Rt△ADF 中，a 2+（a ﹣）2=4，解得a=， 则a 2=2+，∴S 正方形ABCD =2+，④说法正确，∴正确的有①②④．故选C ．【总结升华】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．举一反三：【变式1】已知：如图，E 为正方形ABCD 的边BC 延长线上的点，F 是CD 边上一点，且CE＝CF ，连接DE ，BF ．求证：DE ＝BF ．【答案】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC＝DC ，∠BCD＝90°∵E 为BC 延长线上的点，∴∠DCE＝90°，∴∠BCD＝∠DCE．在△BCF 和△DCE 中，BC DC BCF DCE CF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCF≌△DCE（SAS ），∴BF＝DE ．【变式2】（2015•咸宁模拟）如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A．75° B．60° C．55° D．45°【答案】B；提示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD，∠BAF=45°，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE=60°，AD=AE，∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣150°）=15°，∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°；故选：B．2、（2016•贵阳）如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF．（1）求证：△ABF≌△CBE；（2）判断△CEF的形状，并说明理由．【思路点拨】（1）由四边形ABCD是正方形可得出AB=CB，∠ABC=90°，再由△EBF是等腰直角三角形可得出BE=BF，通过角的计算可得出∠ABF=∠CBE，利用全等三角形的判定定理SAS 即可证出△ABF≌△CBE；（2）根据△EBF是等腰直角三角形可得出∠BFE=∠FEB，通过角的计算可得出∠AFB=135°，再根据全等三角形的性质可得出∠CEB=∠AFB=135°，通过角的计算即可得出∠CEF=90°，从而得出△CEF是直角三角形．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，∴BE=BF，∴∠ABC﹣∠CBF=∠EBF﹣∠CBF，∴∠ABF=∠CBE．在△ABF和△CBE中，有，∴△ABF≌△CBE（SAS）．（2）解：△CEF是直角三角形．理由如下：∵△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE=∠FEB=45°，∴∠AFB=180°﹣∠BFE=135°，又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB=∠AFB=135°，∴∠CEF=∠CEB﹣∠FEB=135°﹣45°=90°，∴△CEF是直角三角形．【总结升华】本题考查了正方形的性质．全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质以及角的计算，解题的关键是：（1）根据判定定理SAS证明△ABF≌△CBE；（2）通过角的计算得出∠CEF=90°．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过正方形和等腰三角形的性质找出相等的边，再通过角的计算找出相等的角，以此来证明两三角形全等是关键．举一反三：【变式】如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB＝2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF 和正方形BCMN连接FN，EC．求证：FN＝EC．【答案】证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，AB＝BE＝EF，BC＝BN，∠FEN＝∠EBC＝90°，∵AB＝2BC，即BC＝BN＝12 AB∴BN＝12BE，即N为BE的中点，∴EN＝NB＝BC，∴△FNE≌△ECB，∴FN＝EC．类型二、正方形的判定3、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE ⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗?请说明理由．【答案与解析】解：是正方形，理由如下：作DG⊥AB于点G．∵ AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，∴ DF＝DG．同理可得：DG＝DE．∴ DF＝DE．∵ DF⊥AC，DE⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CEDF是矩形．∵ DF＝DE．∴四边形CEDF是正方形．【总结升华】(1)本题运用了“有一组邻边相等的矩形是正方形”来判定正方形．(2)证明正方形的方法还可以直接通过证四条边相等加一个直角或四个角都是直角来证明正方形．举一反三：【变式】如图，点O是线段AB上的一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．（1）求证：四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．【答案】（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），∴∠AOC＝2∠COD，∠CO B＝2∠COF，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴2∠COD＋2∠COF＝180°，∴∠COD＋∠COF＝90°，∴∠DOF＝90°；∵OA＝OC，OD平分∠AOC（已知），∴OD⊥AC，AD＝DC（等腰三角形的“三合一”的性质），∴∠CDO＝90°，∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°∴四边形CDOF是矩形；（2）当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；理由如下：∵∠AOC＝90°，AD＝DC，∴OD＝DC；又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形；因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．类型三、正方形综合应用4、如图，在平面直角坐标系xoy中，边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O)，顶点C、D都在第一象限．(1)当∠BAO＝45°时，求点P的坐标；(2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB 的平分线上；【答案与解析】解：(1)当∠BAO＝45°时，∠PAO＝90°，在Rt△AOB中，OA＝22AB＝22a，在Rt△APB中，PA＝22AB＝22a．∴点P的坐标为22,22a a⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．(2)如图过点P分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为M、N，则有∠PMA＝∠PNB＝∠NPM＝∠BPA＝90°，∵∠BPN＋∠BPM＝∠APM＋∠BPM＝90°∴∠APM＝∠BPN，又PA＝PB，∴△PAM≌△PBN，∴ PM＝PN，又∵ PN⊥ON，PM⊥OM于是，点P在∠AOB的平分线上.【总结升华】根据题意作出辅助线，构造全等的直角三角形是解题关键.。
