第5章微分方程模型

微分方程模型的建立与求解微分方程是自然界中许多现象的数学描述，通过建立微分方程模型可以更好地理解和预测各种现象。

本文将介绍微分方程模型的建立与求解方法。

一、微分方程模型的建立微分方程通常用来描述系统内部的变化规律，要建立微分方程模型，首先需要根据具体问题分析系统的特点，确定影响系统变化的因素，并建立相关的数学表达式。

以一个简单的弹簧振子系统为例，假设弹簧的位移为x(t)，弹簧的弹性系数为k，质量为m，外力为f(t)，则可以建立微分方程模型：$$ m\\frac{{d^2x}}{{dt^2}} + kx = f(t) $$二、微分方程模型的求解1. 解析解法对于一些简单的微分方程，可以通过解析的方法求解。

例如，对于一阶线性微分方程：$$ \\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x) $$可以通过积分因子的方法求解。

2. 数值解法对于复杂的微分方程或无法求得解析解的情况，可以借助数值方法进行求解。

常用的数值解法包括欧拉方法、龙格-库塔法等，通过逐步迭代逼近真实解。

3. 计算机模拟借助计算机编程，可以通过数值方法对微分方程进行求解，这在实际工程和科学研究中非常常见。

利用计算机程序，可以模拟出系统的运行状态，观察系统的响应特性。

三、实例分析以简单的振动系统为例，通过建立微分方程模型并利用数值方法进行求解，可以分析系统的振动特性。

通过调节参数值，可以观察到系统振动的变化规律，为系统设计和控制提供重要参考。

结论微分方程模型的建立与求解是数学建模中的重要一环，通过适当的模型建立和求解方法，可以更好地了解和预测系统的行为。

在实际应用中，需要综合运用解析方法、数值方法和计算机模拟，以全面分析和解决问题。

以上是关于微分方程模型的建立与求解的介绍，希望对读者有所帮助。

微分方程模型介绍在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。

微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。

求解微分方程有三种方法：1）求解析解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。

建立微分方程模型的方法：1）利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。

2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。

下面我们以生态学模型为例介绍微分方程模型的建立过程： 一. 单种群模型1. 马尔萨斯(Malthus)模型假定只有一个种群，()N t 表示t 时刻生物总数，r 表示出生率，0t 表示初始时刻，则生物总数增长的数学模型为()()()00d ,d (1)t t N t rN t t N t N =⎧=⎪⎨⎪=⎩不难得到其解为()0()0r t t N t N e-=.2. 密度制约模型由马尔萨斯模型知，种群总数将以几何级数增长，显然与实际不符，因为种群密度增大时，由于食物有限，生物将产生竞争，或因为传染病不再按照增长率r 增长，因而有必要修改，在(1)式右端增加一项竞争项。

()()()d (1)(2)d N t N t rN t tK=-其中K 为最大容纳量，可以看出当()N t K =时，种群的规模不再增大。

这个模型就是著名的Logistic 模型，可以给出如下解释：由于资源最多仅能维持K 个个体，故每个个体平均需要的资源为总资源的1K，在t 时刻个体共消耗了总资源的()N t K此时资源剩余()1N t K-，因此Logistic 模型表明：种群规模的相对增长率与当时所剩余的资源份量成正比，这种种群密度对种群规模增长的抑制作用。

数学建模微分方程模型在数学建模的旅程中，微分方程模型扮演了至关重要的角色。

它们在描述和解决各种实际问题中，从物理学到社会科学，都起到了关键的作用。

在本章中，我们将探讨微分方程模型的基本概念、类型和应用。

微分方程是一种方程，它包含未知函数的导数。

这种方程在描述变化率时非常有用，例如，描述物体的速度或加速度。

在形式上，微分方程可以表示为 y'(x) = f(x, y)，其中 y'表示 y的导数，f是一个给定的函数。

根据方程的特点，微分方程可以划分为多种类型，如线性微分方程、非线性微分方程、常微分方程、偏微分方程等。

每种类型的方程都有其特定的求解方法和应用领域。

微分方程在众多领域中都有应用，如物理学、工程学、经济学等。

例如，牛顿第二定律就是一个微分方程，它描述了物体的加速度如何由作用力决定。

人口增长模型、传染病模型等也都依赖于微分方程。

建立微分方程模型通常需要以下步骤：确定模型的目标和变量；然后，根据问题背景和物理规律建立数学模型；通过数值计算或解析解法得出结果。

求解微分方程的方法主要有两种：数值方法和解析方法。

数值方法是通过计算机程序或软件进行数值计算得到近似解，而解析方法是通过求解方程得到精确解。

对于某些类型的微分方程，可能需要结合使用这两种方法。

建立微分方程模型后，我们需要对模型进行评估和检验，以确保其有效性和准确性。

这通常包括对模型的假设进行检验、对模型的预测结果进行验证以及对模型的参数进行估计和调整等。

随着科学技术的发展，微分方程模型的应用前景越来越广阔。

例如，在生物学中，微分方程被用来描述疾病的传播动态；在经济学中，微分方程被用来分析市场供需关系的变化；在工程学中，微分方程被用来模拟复杂系统的行为等。

未来，随着大数据和人工智能等技术的发展，微分方程模型将在更多领域得到应用和发展。

微分方程模型是数学建模中一个极其重要的部分。

通过学习和掌握微分方程的基本概念、类型、应用以及求解方法等，我们可以更好地理解和解决现实生活中的各种问题。

微分方程模型的基本原理微分方程是数学中描述变化的一种重要工具，它能够描述系统中随时间、空间或者其他变量而发生的变化规律。

微分方程模型是一种基于微分方程的数学模型，用于描述各种实际问题的变化过程。

1.变量与变化率的关系：微分方程模型描述了系统中变量随时间的变化率，即变量的导数。

它指出了变量如何随时间而变化，从而提供了数量化的描述。

2.初始条件和边界条件：微分方程模型需要给定初始条件和边界条件，以确定具体的解。

初始条件是在系统起始时给定的变量值，边界条件是在系统边界上给定的限制条件。

这些条件可以是实际问题中必须满足的条件。

3.多变量之间的关系：微分方程模型可以涉及多个变量之间的相互作用。

这些变量可以表示不同的物理量或者变化过程，它们之间的关系可以是线性的、非线性的、常系数的或者变系数的。

这些关系可以通过微分方程进行描述。

4.具体问题的建模过程：微分方程模型的建立需要针对具体问题进行分析和建模过程。

这个过程中需要确定问题中涉及的变量、关系以及边界条件，并将其转化为合适的微分方程模型。

这个过程可以涉及到数学推理、物理实验、统计分析等多个方面。

微分方程模型的应用非常广泛，几乎涉及到各个学科领域。

例如，在物理学中，微分方程模型可以用于描述粒子的运动、电磁场的分布、热传导等问题；在经济学中，微分方程模型可以用于描述市场供需关系、经济增长等问题；在生物学中，微分方程模型可以用于描述生物种群的演化、药物动力学等问题。

微分方程模型的求解方法也非常丰富多样，可以通过数值方法、解析方法、近似方法等进行求解。

数值方法通过将微分方程转化为差分方程，然后采用逼近的方式进行求解。

解析方法通过数学推导和变量分离的方式求得方程的解析解。

近似方法通过针对特定问题的特殊性质，利用适当的近似方法得到问题的近似解。

总之，微分方程模型是一种重要的数学工具，广泛用于各个学科领域中的问题描述和解决。

它通过描述变量与变化率的关系，建立初始条件和边界条件，描述多变量之间的关系等方面，为实际问题提供了准确的数学描述和求解方法。

第五章部分习题1. 对于5.1节传染病的SIR 模型，证明：（1）若σ/10>s ，则()t i 先增加，在σ/1=s 处最大，然后减少并趋于零；()t s 单调减少至∞s 。

（2）若σ/10>s ，则()t i 单调减少并趋于零，()t s 单调减少至∞s 。

9. 在5.6节人口的预测和控制模型中，总和生育率()t β和生育模式()t r h ,是两种控制人口增长的手段，试说明我国目前的人口政策，如提倡一对夫妇只生一个孩子、晚婚晚育，及生育第2胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。

*16. 建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球初速度为v ，出手高度为h 出手角度为∂（与地面夹角），建立投掷距离与∂,,h v 的关系式，并在h v ,一定的条件下求最佳出手角度。

参考答案1. SIR 模型（14）式可写作().,1si dt di s i dt di λσμ-=-=由后一方程知()t s dtds ,0<单调减少。

1) 若σ10>s ，当01s s <<σ时，()t i dt di ,0>增加；当σ1=s 时，()t i dt di ,0=达到最大值m i ；当σ1<s 时，()t i dt di ,0<减少且()()式180=∞i 2) 若σ10<s ，()t i dt di ,0<单调减少至零 9. 一对夫妻只生一个孩子，即总和生育率()1=t β；晚婚晚育相当于生育模式()r h 中（5。

6节（13）式）使1r 和c r 增大；生育第2胎一些规定可相当于()t β略高于1，且()r h 曲线（5。

6节图19）扁平一些（规定生2胎要间隔多少年）*16. 在图中坐标下铅球运动方程为()()()().sin 0,cos 0,0,00,,0ααv y v x h y x g yx ====-== 解出()t x ，()t y 后，可以求得铅球掷远为,cos 2sin cos sin 2/12222ααααv g h g v g v R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=这个关系还可表为()ααtan cos 2222R h v g R +=由此计算0*=ααd dR，得最佳出手角度()gh v v +=-21*2sin α，和最佳成绩gh v g v R 22*+=设m h 5.1=，s m v /10=，则0*4.41≈α，m R 4.11*=。

微分方程模型的建立与求解微分方程是描述自然界各种变化规律的一种数学工具。

其具有广泛的应用背景，尤其在物理、化学和工程等学科领域。

很多实际问题正是因为缺乏有效的数学工具，使其难以进行深入的研究。

因此，微分方程成为科学研究中重要的数学工具。

一、微分方程的建立微分方程是对一组连续物理量之间的关系进行描述的方程，其本身并不具有明显的物理意义。

在实际问题中，我们经常需要根据实际情况建立微分方程模型，以便对问题进行数学分析和求解。

对于一些简单的实际问题，我们可以通过观察实验数据或者计算获取一些变化规律，以此来形成微分方程模型。

例如，当我们掷出一枚硬币时，硬币的旋转角速度会随着时间的推移而逐渐减小。

此时，我们可以根据旋转角速度随时间变化的条件建立微分方程模型。

在实际情况中，很多问题可能存在多种不同的影响因素，因此会涉及到多组变量之间的变化关系。

对于这类问题，我们需要建立高阶微分方程模型。

例如，在考虑空气阻力、重力等因素时，对于自由落体的运动问题，我们需要建立二阶微分方程模型。

二、微分方程的求解为了求解微分方程，我们需要先了解微分方程的类型和特点。

微分方程按照阶数和类型可以分为很多种类，包括常微分方程、偏微分方程、线性微分方程、非线性微分方程等。

对于一些简单的微分方程，我们可以通过手工计算或者使用微积分公式求解。

例如，对于一阶线性微分方程：$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$我们可以通过变形后使用求解公式：$$y=e^{-\int{p(x)dx}}(\int{q(x)e^{\int{p(x)dx}}dx+C})$$来得到其通解。

对于复杂的微分方程，我们则需要使用更加精确的数值求解方法。

这些方法主要有欧拉法、龙格-库塔法等。

这些方法可以使用计算机程序求解微分方程模型，并得到问题的数值解。

三、微分方程模型在实际应用中的意义微分方程模型在实际应用中具有广泛的意义。

例如，在物理学领域中，我们可以通过建立微分方程模型来描述一些基本规律，如经典力学、电磁理论等。

第五章 微分方程模型5.1、 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化？ 解：设此人的体重为w ，则根据题意有，每天获取的热量，减去新陈代谢，减去运动消耗的热量，剩余的按利用率100% 转化为脂肪，即有下列等式成立：1046750386941868wdw dt --=经化简有：232313956139565429()41868t t w et e c -=-⋅+假设此人现在的体重为0w ，则此人的体重随时间的变化如下：2323139561395605429()41868t t w et e w -=-⋅+5.2、 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus 增长模型)(003.0)(t p dtt dp = 其中t 以分钟计。

在0=t 时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。

鲨鱼捕杀鲑鱼的速率是)(001.02t p ，其中)(t p 是t 时刻鲑鱼总数。

此外，由于在它们周围出现意外情况，平均每分钟有0.002条鲑鱼离开此水域。

（1）考虑到两种因素，试修正Malthus 模型。

（2）假设在0=t 是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数)(t p ，并问∞→t 时会发生什么情况？解： （1），由题可知， 在考虑两种因素后，修正后的Malthus 模型如下：2()0.003()0.001()0.002dp t p t p t dt=--（2），假设在0t = 时，存在100万条鲑鱼，即(0)1000000p = ，解下列初值问题2()0.003()0.001()0.002(0)1000000dp t p t p t dtp ⎧=--⎪⎨⎪=⎩ 解得0.0010.0012999998()11000001t tae p t a ae --+==-其中当t→∞ 时，2p →。

数学建模实验答案_微分⽅程模型实验07 微分⽅程模型（2学时）（第5章微分⽅程模型）1.（验证）传染病模型2（SI 模型）p136~138传染病模型2（SI 模型）：0(1),(0)dik i i i i dt=-= 其中，i (t )是第t 天病⼈在总⼈数中所占的⽐例。

k 是每个病⼈每天有效接触的平均⼈数（⽇接触率）。

i 0是初始时刻（t =0）病⼈的⽐例。

1.1 画~dii dt曲线图p136~138取k =0.1，画出i dt di ~的曲线图，求i 为何值时dtdi达到最⼤值，并在曲线图上标注。

提⽰：fplot, fminbnd, plot, text, title, xlabel 1）画曲线图⽤fplot 函数，调⽤格式如下： fplot(fun,lims)fun 必须为⼀个M ⽂件的函数名或对变量x 的可执⾏字符串。

若lims取[xmin xmax]，则x轴被限制在此区间上。

若lims取[xmin xmax ymin ymax]，则y轴也被限制。

本题可⽤fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]);2）求最⼤值⽤求解边界约束条件下的⾮线性最⼩化函数fminbnd，调⽤格式如下：x=fminbnd('fun',x1,x2)fun必须为⼀个M⽂件的函数名或对变量x的可执⾏字符串。

返回⾃变量x在区间x1本题可⽤x=fminbnd('-0.1*x*(1-x)',0,1)y=0.1*x*(1-x)3）指⽰最⼤值坐标⽤线性绘图函数plot，调⽤格式如下：plot(x1,y1, '颜⾊线型数据点图标', x2,y2, '颜⾊线型数据点图标',…)本题可⽤hold on; %在上⾯的同⼀张图上画线（同坐标系）plot([0,x],[y,y],':',[x,x],[0,y],':');4）图形的标注使⽤⽂本标注函数text，调⽤格式如下：格式1text(x,y,⽂本标识内容, 'HorizontalAlignment', '字符串1')x,y给定标注⽂本在图中添加的位置。

微分方程模型的基本原理微分方程是数学中重要的分支之一，广泛应用于自然科学、工程科学和社会科学等领域。

微分方程模型可以描述许多实际问题，并通过数学方法求解，为问题的解决提供了重要的工具。

本文将介绍微分方程模型的基本原理，以及其在实际问题中的应用。

微分方程模型的基本原理可以归结为以下几个方面：1. 定义：微分方程是包含未知函数及其导数的方程。

一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，f是已知函数。

微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类，分别涉及到一元函数和多元函数。

2. 初始条件和边界条件：为了求解微分方程，还需要给出相应的初始条件和边界条件。

初始条件是在特定点上未知函数及其导数的已知值，而边界条件是在特定区域上未知函数的已知值或导数的已知值。

3. 解的存在唯一性：微分方程的解并不是任意的函数，而是满足特定条件的函数。

对于一阶常微分方程，根据皮卡-林德洛夫定理，如果已知函数f在某个区域内连续，则微分方程存在唯一的解。

4. 解的求解方法：求解微分方程的方法有很多，常见的方法包括分离变量法、变量代换法、常数变易法、特征方程法等。

对于一些特殊的微分方程，还可以采用级数解法、变换法、拉普拉斯变换等高级方法。

微分方程模型的应用广泛。

以下是一些常见的应用领域：1. 物理学：微分方程模型在物理学中有着广泛的应用。

例如，牛顿第二定律可以用微分方程形式表示，描述物体的运动。

电路中的电流、电压变化也可以用微分方程模型来描述。

2. 经济学：经济学中的许多问题也可以用微分方程模型进行描述。

例如，经济增长模型、人口增长模型等都可以用微分方程来分析。

3. 生物学：生物学中的许多现象和过程也可以用微分方程模型来描述。

例如，生物种群的增长、化学反应速率等都可以通过微分方程进行建模。

4. 工程学：工程学中的控制系统、信号处理等问题也可以用微分方程模型来分析和解决。

5. 计算机科学：微分方程模型在计算机图形学、机器学习等领域也有一定的应用。