§4.解析函数与调和函数解读

解析函数与调和函数的定义与性质函数在数学中扮演着重要的角色，不同类型的函数具有不同的性质和定义。

解析函数与调和函数就是其中两种重要的函数类型。

本文将对解析函数和调和函数的定义与性质进行详细解析。

一、解析函数的定义与性质解析函数是复变函数中的一种特殊类型，其定义如下：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是定义在D上的复变函数，其中u(x,y)和v(x,y)是实变函数，如果f(z)在D内是可导的，且f'(z)在D内处处存在，则称f(z)在D内是解析的。

解析函数具有以下几个重要性质：1. 解析函数的实部和虚部均是调和函数。

即u(x,y)和v(x,y)都满足拉普拉斯方程，即∇^2u=∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0，以及∇^2v=∂^2v/∂x^2+∂^2v/∂y^2=0。

2. 解析函数的复共轭也是解析函数。

即若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，则其复共轭f*(z)=u(x,y)-iv(x,y)也是解析函数。

3. 解析函数满足柯西-黎曼方程。

即若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，则其满足柯西-黎曼方程∂u/∂x=∂v/∂y和∂u/∂y=-∂v/∂x。

二、调和函数的定义与性质调和函数是实变函数中的一种特殊类型，其定义如下：设u(x,y)是定义在二维欧氏空间R^2上的二次连续可微函数，如果u(x,y)满足拉普拉斯方程∇^2u=∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0，则称u(x,y)为调和函数。

调和函数具有以下几个重要性质：1. 调和函数的高阶导数也是调和函数。

即如果u(x,y)是调和函数，则其高阶偏导数∂^nu/∂x^n和∂^nu/∂y^n也是调和函数。

2. 调和函数的积分在闭合曲线上的值为0。

即对于调和函数u(x,y)和任意的闭合曲线C有∮C[∂u/∂s(ds/dt)dt]=0，其中∮C表示对曲线C 上点P到点P绕行一周的积分，s为曲线C上的弧长参数，t为弧长参数t与x轴正向的夹角。

§4. 解析函数与调和函数一、教学目标或要求：掌握解析函数与调和函数的关系熟练计算二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：解析函数与调和函数的关系例题重点：解析函数与调和函数的关系难点: 例题三、教学手段与方法：讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习：16、17、18§4. 解析函数与调和函数在前一节，我们已经证明了，在区域D内解析的函数具有任何阶的导数。

因此，在区域D内它的实部与虚部都有二阶连续偏导数。

现在我们来研究应该如何选择才能使函数在区域D内解析。

设在区域D上解析，则C--R条件成立，.下一章将证明，某个区域上的解析函数在该区域上必有任意阶的导数，因此可对上式求偏导数,两式相加可得同理可得定义3.5若二元实函数在区域内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程，则称为区域内的调和函数。

记，则为运算符号，称为拉普拉斯算子。

定义3.6 在区域D 内满足C.— R.条件y v x u ∂∂=∂∂， xv y u ∂∂-=∂∂ 的两个调和函数中),(y x u ,),(y x v 中， ),(y x v 称为),(y x u 的轭调和函数. 共轭调和函数的几何意义设是区域D 上的解析函数，则，两式相乘得即所以就是说，梯度跟梯度正交. 我们知道，和分别是曲线族“”和“”的法向矢量，因而上式表示“”与“”两族曲线相互正交. 这就解析函数实部),(y x u 与虚部),(y x v 的几何意义。

定理3.18 若),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析，则在区域D 内),(y x v 必为),(y x u 的轭调和函数.证 由在内解析知，，从而。

又解析函数具有的无穷可微性保证，在内均连续，故必相等，于是在内。

同理，即，满足拉普拉斯方程。

定理3.19 设若),(y x u 是在单连通区域D 内的调和函数，则存在由（3.22）式所确定的函数),(y x v ，使),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析. 解析函数的又一等价定理),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析当且仅当在区域D 内),(y x v 是),(y x u 的共轭调和函数。

复变函数中的解析函数与调和函数复变函数是数学中的一门重要分支，它研究的是具有两个独立变量的函数，其中一个变量是实部，另一个变量是虚部。

复变函数的研究非常有意义，它在物理、工程、经济等领域都有广泛的应用。

在复变函数中，有两个重要的概念，即解析函数和调和函数。

一、解析函数复变函数中的解析函数是指在某个区域内处处可微的函数。

具体来说，如果复变函数在某个区域内的每一点都有导数，那么这个函数就是解析函数。

解析函数具有很多重要的性质，如导数的存在性和唯一性。

根据解析函数的性质，我们可以通过求导来研究其它的解析函数性质，这是解析函数研究中的一种重要方法。

解析函数具有的性质还包括保角映射和调和性。

保角映射指的是解析函数在某个区域内保持角度关系不变，这在几何学中有广泛的应用。

调和性是解析函数的另一个性质，它表示解析函数的实部和虚部都是调和函数。

调和函数是指满足拉普拉斯方程的函数，它在物理学中有着重要的应用，如电势场和热传导等领域。

二、调和函数调和函数是解析函数的实部和虚部，它是复变函数中的一个重要概念。

调和函数具有很多重要的性质，如最大值原理和平均值性质。

最大值原理是指调和函数在区域内取得最大值或最小值时，必定位于边界上，这是调和函数研究中的一个重要结论。

平均值性质是指调和函数在区域内每一点的函数值等于其边界上某一点的函数值的平均值，这也是调和函数的一个特性。

调和函数在实际问题中有广泛的应用，如波动方程和扩散方程的求解，都涉及到调和函数的研究。

此外，在物理学中，调和函数也被广泛应用于电势场和热传导等领域。

通过研究调和函数，我们可以更好地理解和解决实际问题。

三、实例下面我们通过一个实例来说明解析函数和调和函数的应用。

假设有一个矩形区域，边界上施加有电势，我们需要求解这个矩形区域内的电势分布。

首先，我们可以将电势分布表示为复变函数的实部或虚部，即调和函数。

然后，我们可以利用调和函数的性质和边界条件来求解问题。

在实际计算中，我们可以使用数值方法，如有限差分法或有限元法，来求解调和函数的近似解。

§4 解析函数与调和函数的关系一、概念与结论1.定义与定理设()y x g ,具有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程：02222=∂∂+∂∂ygx g 则称()y x g ,为调和函数。

若还有调和函数()y x f ,，与()y x g ,满足柯西——黎曼方程，则相互称其为共轭调和函数。

定理 解析函数的实部和虚部皆为调和函数，但反之不然。

证明 设()iv u z f +=解析，∴y v x u ∂∂=∂∂，xv y u ∂∂-=∂∂，且 x x u x u ∂∂=∂∂∂∂22x y v x y v ∂∂∂=∂∂=∂∂2，又()y y yu xv y u ∂-∂=∂∂=∂∂∂∂∂∂22y x v ∂∂∂-=2， 又()z f ' 解析，故二阶偏导连续，从而，02222=∂∂+∂∂y u x u 。

同理可证02222=∂∂+∂∂yvx v 。

反之，如y v x u -==,，易见v u ,满足Laplace 方程，但是，()z yi x z f =-=处处不解析。

例1 若v u ,都是区域D 内的调和函数，且满足柯西黎曼方程：yvx u ∂∂=∂∂，xvy u ∂∂-=∂∂，则()()()y x iv y x u z f ,,+=在区域D 内 A.是解析函数 B.不是解析函数 C.不一定是解析函数 D.不一定是连续函数解 A.正确。

y v x u ∂∂=∂∂，xv y u ∂∂-=∂∂是()iv u z f +=解析的充要条件。

2.主要题型○1调和函数的正问题和反问题； ○2对给定调和函数，求满足R C -条件：y v x u ∂∂=∂∂，xvy u ∂∂-=∂∂的共轭调和函数，构成解析函数()iv u z f +=。

二、应用举例例 2 证明：22y x u -=为调和函数，并求其共轭及其构成的解析函数iv u +。

证明 02,2;2,2=+⇒-=-===yy xx yy y xx x u u u y u u x u ，∴22y x u -=为调和函数；令xv∂∂()y g xy ydx v y y u +==⇒=∂∂-=⎰222，()y g x y v '+=∂∂∴2，又有()()1,02C y g y g x xu y v =='⇒=∂∂=∂∂ 从而，12C xy v +=；()()1222C xy i y x iv u z f ++-=+=()()C z i C yi x i C yi xyi x +=++=+++=121222即为所求。