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调和函数harmonic function定义：在区域D内存在二阶连续偏导数的实函数U(x,y,z),如果在D内满足拉普拉斯方程Δu=2u/x2+2u/y2+2u/z2=0，则称U(x,y,z)为区域D上的调和函数。
调和函数-----数学物理方程如果二元函数f(x,y)在区域Ω内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程,则称f为区域二元函数Ω中的调和函数.满足拉普拉斯方程在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。
通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。
当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。
例如，n=2时,调和函数u(x,y)在某平面区域内满足方程若所考虑的区域包含一个闭圆域，例如x+y≤R，则有下列关于调和函数的平均值公式：即u(x,y)在圆心的值等于圆周上的积分平均值。
更一般地，圆内任何一点x=rcosφ，y=rsinφ(0≤r<R)处调和函数u＝u(r, φ)的值可以由下列泊松公式给出：拉普拉斯方程1拉普拉斯方程2形如上式右端的积分称作泊松积分。
设u(x,y)为平面区域G中的调和函数,且在G的闭包上连续,则借助于平均值公式可以证明,它不能在G 的内部取其最大值与最小值，除非它恒等于一常数。
这就是调和函数的最大、最小值原理。
由泊松积分出发可解决下列狄利克雷问题：在区域G的边界嬠G上给定一连续函数ƒ(x,y)，要求给出G中的调和函数u(x,y)，使其在嬠G上取ƒ(x,y)的值，即拉普拉斯方程，在G的边界嬠G满足一定的条件下,这个问题的解存在且惟一。
对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在和惟一性定理。
二维调和函数与解析函数论有着密切联系。
在某区域内的调和函数一定是该区域内某解析函数(可能多值)的实部或虚部；反之，某区域内的解析函数其实部与虚部都是该区域内的调和函数，并称其虚部为实部的共轭调和函数。
用复数z=x+iy的记法,将u(x,y)写成u(z),若u(z)在│z│<R内调和，在│z│≤R上连续，则泊松公式就成为(0≤r＜R)。
§4 解析函数与调和函数的关系一、概念与结论1.定义与定理设()y x g ,具有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程：02222=∂∂+∂∂ygx g 则称()y x g ,为调和函数。
若还有调和函数()y x f ,，与()y x g ,满足柯西——黎曼方程，则相互称其为共轭调和函数。
定理 解析函数的实部和虚部皆为调和函数，但反之不然。
证明 设()iv u z f +=解析，∴y v x u ∂∂=∂∂，xv y u ∂∂-=∂∂，且 x x u x u ∂∂=∂∂∂∂22x y v x y v ∂∂∂=∂∂=∂∂2，又()y y yu xv y u ∂-∂=∂∂=∂∂∂∂∂∂22y x v ∂∂∂-=2， 又()z f ' 解析，故二阶偏导连续，从而，02222=∂∂+∂∂y u x u 。
同理可证02222=∂∂+∂∂yvx v 。
反之，如y v x u -==,，易见v u ,满足Laplace 方程，但是，()z yi x z f =-=处处不解析。
例1 若v u ,都是区域D 内的调和函数，且满足柯西黎曼方程：yvx u ∂∂=∂∂，xvy u ∂∂-=∂∂，则()()()y x iv y x u z f ,,+=在区域D 内 A.是解析函数 B.不是解析函数 C.不一定是解析函数 D.不一定是连续函数解 A.正确。
y v x u ∂∂=∂∂，xv y u ∂∂-=∂∂是()iv u z f +=解析的充要条件。
2.主要题型○1调和函数的正问题和反问题； ○2对给定调和函数，求满足R C -条件：y v x u ∂∂=∂∂，xvy u ∂∂-=∂∂的共轭调和函数，构成解析函数()iv u z f +=。
二、应用举例例 2 证明：22y x u -=为调和函数，并求其共轭及其构成的解析函数iv u +。
证明 02,2;2,2=+⇒-=-===yy xx yy y xx x u u u y u u x u ，∴22y x u -=为调和函数；令xv∂∂()y g xy ydx v y y u +==⇒=∂∂-=⎰222，()y g x y v '+=∂∂∴2，又有()()1,02C y g y g x xu y v =='⇒=∂∂=∂∂ 从而，12C xy v +=；()()1222C xy i y x iv u z f ++-=+=()()C z i C yi x i C yi xyi x +=++=+++=121222即为所求。
调和函数和调和分析的基本理论调和函数是数学领域中的一个重要概念，它与调和分析密切相关。
调和函数在物理学、工程学和数学领域中都具有广泛的应用。
本文将介绍调和函数和调和分析的基本理论，并探讨其在不同领域的应用。
一、什么是调和函数调和函数是指满足拉普拉斯方程的函数。
在二维直角坐标系中，拉普拉斯方程可以写成：∇²u = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0其中，∇²表示拉普拉斯算子，u是待求的函数。
如果一个函数满足上述方程，那么它就是一个调和函数。
调和函数具有许多重要的性质，其中之一就是调和函数的平均值定理。
根据平均值定理，一个调和函数在闭区域内的平均值等于它在边界上的平均值。
这个定理在数学、物理学和工程学中具有广泛的应用。
二、调和分析的基本理论调和分析是研究调和函数的分支学科。
它涉及到傅里叶级数、傅里叶变换以及奇异积分等内容。
1. 傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数是调和分析中的重要概念。
它可以将一个周期函数分解成一系列基本频率的正弦和余弦函数。
傅里叶级数的应用非常广泛，包括信号处理、图像处理和电路分析等领域。
而傅里叶变换则是将一个函数分解成频域上的成分。
它是傅里叶级数的推广，适用于非周期函数。
傅里叶变换在信号处理、通信工程和图像处理中有着重要的应用。
2. 奇异积分与调和空间奇异积分是调和分析中的另一个核心内容。
它将调和函数和奇异积分结合起来，用于研究调和函数在边界上的性质。
奇异积分在领域边界值问题、电磁场分析和流体力学等方面具有广泛的应用。
调和空间是调和分析中的一种常用工具。
它是一个函数空间，其中的函数满足一定的调和性质。
调和空间在调和分析的研究和应用中起到了重要的作用。
三、调和函数和调和分析的应用调和函数和调和分析在不同领域中都有重要的应用。
1. 物理学中的应用调和函数在物理学中的应用非常广泛。
例如，调和函数可以描述声波、电磁场和热传导等现象。
第02章 调和函数的边界值第2.1节 调和函数的基本性质 定义.设n D E ⊂为区域,()2u CD ∈,若210nk k u u =∆=∂=∑,则称u 为调和函数.注.调和函数的平移,旋转,伸缩,偏导数也是调和的. 例.()22,t y i x tu x y eeππ--⋅=在1n E +上调和.例.()()()()12222,||nn y tyP x y c ex x yπ∧+-==+在(){}1,:0n Ex y y ++=>中调和.注意,1n >时,(),P x y 是()1222||1n n c x y n--+-关于y 的偏导数;当1n =时,(),P x y 是()1222ln ||n c x y+关于y 的偏导数,它们均是调和的.例.当2n >时,()2nu x x-=在{}\0n E 中调和;当2n =时,()ln u x x =在{}\0n E 中调和. 例.()201||||nx u x x x -=-在{}0\n E x 中调和.例.()1,sin cosh nk k u x y x ===∏在1n E +上调和.定理1(平均值定理).设u 在D 中调和,若()0,B x r D ⊂,则对任意00r r <<,均有()()()()()1,111,11n x u n n n B x r u x r u x rt dt u t ds r ωω----∑∂''==+=⎰⎰ .证.设{}:x x r εΩ=≤≤,()()2,2ln ,2n xn v x x n --⎧>⎪=⎨=⎪⎩,则0v u u ds v ds n n ∂Ω∂Ω∂∂==∂∂⎰⎰,而()()12n v uds n x uds n --∂Ω∂Ω∂=--∂⎰⎰,故1111r n n uds uds r εε--∑∑=⎰⎰,令0ε→,证毕.注2(格林定理).()()A n ds A dx ∂ΩΩ⋅=∇⋅⎰⎰.特别地,(1)2u ds u nds udx udx n ∂Ω∂ΩΩΩ∂=∇⋅=∇=∆∂⎰⎰⎰⎰; (2)()()vu u v ds u v v u nds u v v u dx n n ∂Ω∂ΩΩ∂∂⎛⎫-=∇-∇⋅=∆-∆ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰.注.()()()1110n n n du x rt dt u x rt t dt r u x rt dt dr ---∑∑Ω'''''+=∇+⋅=∆+=⎰⎰⎰,故 ()()()111lim n n n u x rt dt u x t dt u x εεω---→∑∑''''+=+=⎰⎰.推论.设u 在D 中调和,若()0,B x r D ⊂,则对任意00r r <<,均有()()()111n nnt t ru x u x rt dt u t dt r ≤≤=+=ΩΩ⎰⎰.证.()()()11111110n n n n t u x rt dt dt u x r t d d u x r t dt ρρρρρρ----≤∑∑''''+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰()()()11110n n n n u x d u x u x nωωρρ---==Ω⎰,证毕.定理3(最大值原理).设实值函数u 在D 中调和,若()sup x DA u x ∈=<∞,则u 为常数,或者在D 中u A <.证.若()u x A =,则在(),B x δ内u A =,故(){}:x D u x A ∈=是开集,又由连续性,(){}:x D u x A ∈=是闭集,而D 连通,故(){}:x D u x A D ∈==,证毕.注.若()inf x DB u x ∈=>-∞,则u 为常数,或者在D 中u B >.推论.设实值函数u 在D 中调和,在D 上连续,若u 不是常数,则其最大值最小值 均只能在D ∂上达到.推论4.设实值函数12,u u 在D 中调和,在D 上连续,若在D ∂上12u u =,则在D 上12u u =.定理5(Liouville 定理).设u 在n E 上调和,若u 有界,则u 为常数. 证.()()()()()()()()121212,,11,,B x r B x r u x u x u x dx u x dx B x r B x r -=-=⎰⎰()()()12,,1n nB x r B x r u x dx r ∆Ω⎰,若()u x M ≤,故当12r d x x >=-时,有 ()()()()()()121222,\,0,\0,n nn nM Mu x u x B x r B x r B r B r d r r -≤≤-=ΩΩ ()20nn n M r r d r⎡⎤--→⎣⎦,令r →∞,得()()12u x u x =,证毕.引理6.设()2u C D ∈,若()()(),,x u B x r D u x r ⊂⇒= ,则u 在D 中调和. 证.()()()1111100ii jn n n n nt it t i ji i u x rt dt C u x rt t dt u x rt t t dt ---==∑∑∑''''''''''''+=⇒+=⇒+=∑∑⎰⎰⎰,故()()111110i j i i n nnt t i j n t t i i u x t t dt u x n ω--==∑'''''''==∑∑⎰,证毕. 定理7.设()u C D ∈,若()()(),,x u B x r D u x r ⊂⇒= ,则u C ∞∈,故在D 中调和. 证.设()0,B x r D ⊂,不妨设在()0,B x r 之外0u =;取径向函数()0n C E ϕ∞∈,满足()supp 0,1B ϕ⊂,且()1nE t dt ϕ=⎰,则()0,x B x r ∀∈,当ε充分小时,()()()()()()11nn n E u x u x t t dt dt u x rt r rdr εεεεϕϕϕ--∑''*=-=-=⎰⎰⎰()()()()()11110n n n n r r dru x rt dt u x r r dr u x εεεεϕωϕ----∑''-==⎰⎰⎰,即()()()u x u x εϕ=*,而C u C εϕ∞∞∈⇒∈,证毕 注.设()1loc u L D ∈,若()()()11,nt B x r D u x u x rt dt ≤⊂⇒=+Ω⎰ ,则u 在D 上调和.推论8.设{}k u 为D 中调和函数序列,若在D 的紧子集上{}k u 均一致收敛于u ,则u 在D 中调和.Dirichlet 问题.设D 为有界区域,若()f C D ∈∂,问:是否存在D 中的调和函数, 使得在D 上连续,在D ∂上等于f .定义.记()()22221111||11,||12cos n n n n x r p s x x s r r ωωγ----==--+,其中cos x sr γ⋅=,1s =, 称为单位球内的Poisson 核.定理9.(1)当1x <时,(),0p s x ≥;(2)当1x <时,()1,1n p s x ds -∑=⎰;(3)当1r →时,对x '一致地有(),0s x p s rx ds δ'->'→⎰.证.(2)()()11,,01n n p s rx dx p s ω--∑''==⎰,而2211||||n nr r rx s x rs --=⇒''--()(),,p s rx p x rs ''=,即得,证毕.定理10.设f 在1n -∑上连续,令()()()()1,,1,1n f s p s x ds x u x f x x -∑⎧<⎪=⎨⎪=⎩⎰,则u 在1x <内调和,在1x ≤上连续. 证.当1x <时,取δ充分小,则()()()()()11,,n n t x t x t x u t dt dt f s p s t ds f s ds p s t dt δδδ---≤-≤∑∑-≤===⎰⎰⎰⎰⎰()()()11111,n n n n n f s p s x ds u x ωδωδ-----∑=⎰,故u 在1x <内调和;x '∀∈∑,()()()()()1,n s x s x u rx u x f s f x p s rx ds δδ-''∑-≤->''''-≤-=+⎰⎰⎰,第一项当δ充分小时可任意小,而对固定的δ,第二项当1r -充分小时也可任意小,故 当1x <,x x '→时,()()()()()()u x u x u x u rx u rx u x '''-≤-+-可任意小,因此,()u x 在1n -∑上连续,证毕. 注11.令()()()()1220021001,,n nnn a x x f xas ds x x a au x x x asf x x x aω---∑⎧--+-<⎪⎪=--⎨⎪-=⎪⎩⎰,则u 在0x x a -<内调和,在0x x a -≤上连续,只要f 在0x x a -=上连续.定理12.设{}m u 为D 中调和函数序列,若在D 的有界子域S 上{}k u 一致有界,且S D ⊂,则存在子列{}k m u 一致收敛于S 上的调和函数.证.只要验证存在子列在S 上一致收敛,故只需验证{}m u 在S 上等度连续,因此 只需验证{}k m u ∂在S 内的每个闭球上一致有界,而0x S ∀∈,当a 充分小时,有()()()12202101n m mnnn a x x u x u xas ds a x x asω---∑--=+--⎰,得()()()()10001sup n k m m k k m m y Sn nnu x u x as s ds u x u y a a ω-∈-∑∂=+⇒∂≤⎰,证毕. 定理13(反射原理).设1n D E +⊂关于(){},:0n E x y y ==对称,u 在D 中连续,且 关于y 为奇函数,若u 在D +中调和,则u 在D 中调和.证.u 在D +与D -内显然调和,故只需验证u 在{}0D y ⋂=上调和;()0,0x D ∀∈,设(){}2220x x y a D -+≤⊂,记(){}2220U x x y a =-+<,令()()()2220011101,,,nn nn a x x y w x y u xas at d a x x as y at σω+--∑---=+---⎰,则w 在U 内调和,在U ∂上w u =,而在0y =上,由对称性,(),00w x =,故w u =,即在U +∂与U -∂上u w =,由于在U +与U -中两者均调和,故在整个U 中u w =, 证毕.推论15.设u 在1n E ++中调和,在1n E ++上连续,若在(){},:0n E x y y ==上0u =,且 在1n E ++中有界,则在1n E ++中0u =.注.没有有界性条件,结论不成立,例如(),u x y y =.这个例子也说明在无界区域1n E ++中,Dirichlet 问题的解不唯一:u y =,0w =均 在1n E ++中调和,且在1n E ++∂上0u w ==. 除非要求该问题的解必须是有界的.。
调和分析调和分析是一种数学方法，用于解决多变量问题。
它于20世纪早期由法国数学家亨利·勒贝格（Henri Léon Lebesgue）提出，并且在过去的几十年中得到广泛应用。
调和分析的核心思想是将一个给定的函数分解为调和函数的线性组合，这样可以更好地理解和研究原函数的性质。
调和函数是指满足拉普拉斯方程的函数，即在某个区域内的二阶偏微分方程。
调和函数在物理学、工程学和其他科学领域中有广泛的应用。
调和分析的目标是研究和理解调和函数的性质，进而将这些性质应用于解决实际问题。
调和分析的一个重要应用是对泛函方程进行研究。
泛函方程是指包含未知函数及其导数的方程，常见于数学、物理学和工程学中的建模问题。
通过将泛函方程转化为调和函数的线性组合，可以更好地理解和分析方程的解，并得到更准确的结果。
在实际问题中，调和分析也经常用于信号处理和图像处理。
通过分析信号的频谱特性和图像的调和分量，可以有效地提取和分离信号或图像中的特定信息。
这对于音频、视频和图像的压缩、去噪和增强等任务非常有用。
除了应用领域外，调和分析在纯数学中也有重要的地位。
它与其他数学分支如复分析和偏微分方程紧密相关，并且在这些领域中起到了关键作用。
例如，通过调和函数的线性组合，可以将复变函数表示为实变函数的形式，从而简化复变函数的研究。
总之，调和分析是一种重要的数学方法，对于解决多变量问题、研究泛函方程和处理信号与图像等具有重要的应用。
它通过将一个给定的函数分解为调和函数的线性组合，从而提供了更完整、更准确的分析结果。
调和分析在学术研究和实际应用中都有广泛的应用前景，对于推动数学和相关科学领域的发展具有重要意义。
