八年级数学下册-分式方程及其解法

新北师大版八年级数学下册第5章《分式与分式方程》教案教学目标学习分式及分式的概念、性质和运算法则，并掌握简单分式的变形和分式方程的解法。

教学重难点重点•分式的概念、性质和运算法则•分式的变形•分式方程的解法难点•分式方程的解法教学过程导入（10分钟）1.调查课前练习，询问学生对分式的了解和学习情况。

2.引入分式的概念，让学生举例说明分式的实际应用。

提高课堂参与度（10分钟）1.通过多项式的例子，引入分式。

2.分小组讨论分式与多项式的联系和区别，并展示讨论成果。

理论课（30分钟）1.分式的定义和性质。

2.分式的约分、通分和加减法。

3.分式与整式的加减法。

实践课（50分钟）1.分式的变形：分解、合并及简化。

2.分式方程的概念及解法。

3.通过实例让学生掌握分式方程的解法。

课堂总结（10分钟）1.小结本节课的重点内容。

2.引导学生对本节课的学习成果进行分享。

作业布置1.抄写本节课的重点内容以及实例。

2.完成课后练习。

教学方法1.演示法2.分组讨论3.实践操作4.个别指导教学资源1.教材：新北师大版八年级数学下册2.PPT：分式与分式方程参考文献1.《初中数学》2.《分式与分式方程教育同行》教学反思本节课通过实例和讨论等方式，激发了学生的学习兴趣，真正意义上实现了知识与实践相结合。

在教学过程中，我进一步提高了自己的教学能力，尤其是关注学生的理解进程，帮助学生掌握分式方程的解法，提高其数学素养。

新课标人教版初中数学八年级下册第十六章《16.3分式方程》精品教案教学目标(一)知识与技能目标经历分式方程概念、分式方程的解法过程，会解可化为一元一次方程的分式方程的解法，会检验根的合理性，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用．(二)过程与方法目标经历“实际问题－分式方程方程模型－求解－解释解的合理性”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识．(三)情感与价值目标在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值．教学重点和难点1．教学重点：分式方程的解法及应用．2．教学难点：理解解分式方程时产生增根的原因，分式方程的应用．教学方法启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法与应用．教学过程1、情境导入：有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg和15000kg．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，分别求这两块试验田每公顷的产量．你能找出这一问题中的所有等量关系吗？分组交流若设第一块试验田每公顷的产量为x kg，则第二块试验田每公顷的产量是__________kg．根据题意，可得方程_____________________2、解读探究(1)从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600km的普通公路，另一条是全长480km的高速公路．某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半．求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间．这一问题中有哪些等量关系？如果设客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为x h，那么它由普通公路从甲地到乙地所需的时间为_________h．根据题意，可得方程_________________．学生分组探讨、交流，列出方程等量关系：①客车在高速公路上行驶的平均速度=在普通公路上的平均速度+45②由高速公路从甲地到乙地所需的时间×2=普通公路从甲地到乙地所需的时间方程：=+45(2)王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元；后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元；原定的人数是多少？你能找出这一问题中所有的等量关系吗？如果设原定是x人，那么每人平均分摊________元；人数增加到原定人数的2倍后，每人平均分摊________元；根据题意，可得方程________议一议：上面所得到的方程有什么共同特点？分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分式方程与整式方程有什么区别？做一做：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x 人，那么x满足怎样的方程？3、随堂练习（1）据联合国《２００３年全球投资报告》指出，中国吸收外国投资额达530亿美元，比上一年增加了13%．设我国吸收外国投资额为亿美元，请你写出满足的方程．你能写出几个方程？其中哪一个是分式方程？（2）轮船在顺水中航行20千米与逆水航行10千米所用时间相同，水流速度为2.5千米/小时，求轮船的静水速度．（3）根据分式方程编一道应用题，然后同组交流，看谁编得好4、学习小结本节课你学到了哪些知识？有什么感想？作业：P80习题3.6教学反思：。

八年级下册数学分式方程一、分式方程1、分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

2、解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式(最简公分母)，把分式方程转化为整式方程。

解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为0，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

3、解分式方程的步骤：（1）能化简的先化简;（2）方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程;（3）解整式方程;（4）验根：增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。

(验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。

)4、分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解;否则，这个解不是原分式方程的解。

例题详解1、甲、乙两人准备整理一批资料，甲单独整理需要40分完工；若甲、乙共同整理20分钟后，乙需要再单独整理20分才能完工。

问：乙单独整理需多少分钟完工?解：由题知：工作量=工作时间×工作效率设甲的工作效率为x 甲，乙的工作效率为x 乙，则x 甲=401，根据题意可得如下方程：1/40*20+x 乙*40=1，x 乙=1/80则乙单独整理需80分钟。

2、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900千克和1500千克，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300千克，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克?解：设第一块试验田每亩收获蔬菜x 千克，则第二块试验田每亩收获蔬菜（x+300）千克。

通过总产量=每亩产量*面积，由于量试验田面积相同，则3001500900+=x x ,解得x=450 既第一块试验田每亩收获蔬菜450千克.3、甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地。

八年级分式方程数学知识点一、基本概念分式方程是指未知量中包含分数表达式的方程，可用一组数值解求出未知量的值。

如：\frac{x+1}{2}=3，其中x为未知量。

二、分式方程的解法1. 化简分式，使其成为整式方程。

如：\frac{x+1}{2}=3化简为x+1=6。

2. 通分，消去分母。

如：\frac{3}{x-2}=\frac{1}{x+1}通分后为3(x+1)=x-2。

3. 变形化简后求解。

如：\frac{2}{2x+3}-\frac{3}{x-1}=\frac{4}{x^2-x-3}变形化简后得到x=-1或x=\frac{5}{2}。

三、分式方程的注意事项1. 化简前应检查分母是否有值为0的情况。

如：\frac{x}{x^2-4x+4}=1化简前需考虑x^2-4x+4=0的情况，即x=2。

2. 通分时应注意分母因式分解。

如：\frac{x}{2x-4}-\frac{2}{x+1}=\frac{3x}{x^2-3x+2}通分前需分解(x-1)(x-2)。

3. 将解代回原分式方程检验。

如：\frac{4}{x+3}-\frac{5}{x-1}=\frac{1}{x-2}解得x=5/2，代入原式验证是否成立。

四、分式方程的应用例题1. 甲、乙两地的距离为480km，两地之间有一辆车和一辆自行车相向而行，行至中途时，车停下了，自行车继续前进，最后到达乙地时，车和自行车的距离为40km。

已知车行驶的速度比自行车快20km/h，求车和自行车的速度各是多少。

设自行车的速度为x km/h，车的速度为x+20 km/h，时间为t，车行驶的距离为(x+20)×t，自行车行驶的距离为x×(t+2)。

由题意可得(x+20)t+x(t+2)=480及(x+20)t-x(t+2)=40，解得x=20，车速为40km/h，自行车速度为20km/h。

2. 一条河流的宽度为200m，在河岸的A、B两处浅滩的位置分别离河口12km、18km处。

明老师初中数学课堂八年级下册分式方程本文主要针对八年级下册分式方程这个数学知识点进行讲解。

介绍分式方程的定义、解法和注意事项。

希望通过本文的讲解，能为初中八年级学生更好地掌握这一知识点提供帮助。

一、分式方程是什么？分式方程是指方程中含有未知数在分式中或分式的分母中，通常表示为$\frac{a}{x}+b=c$或$\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}=c$等形式。

其中$\frac{a}{x}$和$\frac{b}{x^2}$为分式项，$c$为常数项，$x$为未知数。

二、分式方程的解法解分式方程的方法和解一元一次方程类似，主要分为以下步骤：步骤一：去分母。

将方程两端的分式化为通分式，使方程转化为一元一次方程。

步骤二：移项。

将常数项移到等式的右边，将含有未知数的项移到等式的左边。

步骤三：化简。

对于复杂的式子，可以利用乘法分配律、化简平方等方法将式子化简为更简单的形式。

步骤四：求解。

使用解一元一次方程的方法求解未知数的值。

步骤五：检验。

将求得的解代入原方程中，检验方程是否成立。

例如，对于方程$\frac{2}{x-3}=4$，我们可以首先将其化简为$2=4(x-3)$，然后移项得$2=4x-12$，进一步化简为$x=\frac{2+12}{4}=3$。

最后，将$x=3$代入原方程中检验可知这个解是正确的。

三、分式方程的注意事项1.分母不能为0。

在消去分母的过程中，需要确保分母不为0，否则方程无解。

2.化简时要注意符号。

由于分数中含有分子和分母，因此在化简过程中需要特别注意符号的变化，防止出现错误。

3.求解时要考虑特殊情况。

有时候方程解可能存在特殊情况，如等式两边可能同时为0，或者含有根号时可能会出现正负号的问题，需要在求解时特别注意。

四、分式方程的实际应用分式方程在实际生活中有着广泛的应用，如在化学中用于计算物质的比例、计算机网络中用于计算带宽利用率等等。

此外，分式方程还可以用于求解有关人口、财富、能源等方面的实际问题，具有很重要的意义。

八年级数学下册分式方程疑难分析1．一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验，将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．2．分式方程的应用主要就是列方程解应用题，它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法是一样的，不同的是，表示关系式的代数式是分式而已．一般地，列分式方程解应用题的步骤：（1）审题，理解题意；（2）设未知数；（3）找出相等关系；（4）解这个分式方程；（5）检验，看方程的解是否满足方程和符合题意；（6）写出答案．例题选讲例1 解下列方程：（1）2233x xx x++=+-；（2）5102552xx x+-=--.解：（1）原方程可变为：（x+2）(x-3)=(x+2)(x+3)x2-x-6=x2+5x+66x=-12∴x=-2检验：当x=-2时，公分母（x+3）(x-3)=-5≠0.∴原方程的解为x=-2.（2）原方程可变为：5102525xx x--=--，方程两边同乘以2x-5得：x-5-(2x-5)=0解这个整式方程得：x=0检验：把x=0代入最简公分母：2x-5=-5 ≠0. ∴x=0是原方程的根.评注：检验是解分式方程不可缺少的一步，在检验时，只需把整式方程的解代入最简公分母判定它是否为零．例2 A、B两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购贷方式不同，其中，采购员A每购买1000千克，购贷员B每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购贷方式合算？解：设两次购买的饲料单价分别为每1千克m元和n元（m>0,n>0,m≠n），购货员A两次购买饲料的平均单价为10001000100010002m n m n++=+（元／千克）．购货员B两次购买饲料的平均单价为8008002800800mnm nm n+=++（元／千克）．而222()2()mn mn m nm n m n m n--=+++＞0.∴22m n mnm n+=+．也就是说，购货员A所购饲料的平均单价高于购货员B所购饲料的平均单价，所以选用购货员B的购买方式合算．评注：此例告诉我们，学会应用数学知识去处理日常生活中的经济问题，可以帮助我们获得较好的经济收益．例3：一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出12升水，第2次倒出水量是12升的13，第3次倒出水量是13升的14，第4次倒出水量是14升的15……第n次倒出水量是1n升的11n+……按照这种倒水的方法，这1升水经多少次可以倒完？解：倒n次水的总倒水量为111111 2233445(1)(1)n n n n++++++⨯⨯⨯-+①根据分式的减法法则：11111(1)(1)(1)n nn n n n n n n n+-=-=++++反过来有111(1)1n n n n=-++②利用②可以把①改写成111111111 ()()()() 2233411n n n n+-+-+-+--+③合并③中的相反数，得111n-+，即倒n次水的总倒水量为：111n-+=1nn+（升）评注：你可能会想到通过实验探寻问题的答案，但是实验中要精确地测量倒出水量，当倒出水量很小时测量的难度非常大，我们能否用数学方法替代实验解决这个问题呢？可以发现，按这种方法倒水，随着倒水次数n 的不断增加，总倒水量1nn +也不断增加，然而，不论倒水次数n 有多大，总倒水量1nn +总小于1，因此容器中的1升水是倒不完的，这样，我们就用数学方法分析解决了上面的问题．基础训练一、选一选（请将唯一正确答案的代号填入题后的括号内）1．甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a 小时相遇，若同向而行，则b 小时甲追上乙，那么甲的速度是乙的速度的（ ）.（A ）a b b + (B)b a b + (C)b a b a +- (D)b ab a-+ 2．要把分式方程3124x x=-化成整式方程，方程两边需要同时乘以（ ）. （A ）2x-4 (B) x (C)2(x-2) (D)2x(x-2) 3．方程21111x x =--的解是（ ）. （A ）1 （B ）-1 （C ）±1 （D ）0 4．把分式方程11122xx x--=--的两边同时乘以（x-2），约去分母得（ ）. （A ）1-（1-x ）=1 （B ）1+(1-x)=1 （C ）1-（1-x ）=x-2 （D ）1+(1-x)=x-25．某林场原计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷，结果提前5天完成任务，设原计划每天固沙造林x 公顷，根据题意列方程正确的是（ ）.（A ）24024054x x +=+ （B ）24024054x x -=+（C ）24024054xx +=- （D ）24024054x x -=-二、填一填6．李明计划在一定日期内读完200页的一本书，读了5天后改变了计划，每天多读5页，结果提前一天读完，求他原计划平均每天读几页书．解题方案设李明原计划平均每天读书x 页，用含x 的代数式表示： （1）李明原计划读完这本书需用天； （2）改变计划时，已读了页，还剩页；（3）读了5天后，每天多读5页，读完剩余部分还需天；（4）根据问题中的相等关系，列出相应方程．7．一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u，像距v和凸透镜的焦距f满足关系式：111u v f+=.若f=6厘米v=8厘米，则物距u=厘米．8．已知22334422,33,44,112233⨯=+⨯=+⨯=+若1010a ab b⨯=+（a、b都是整数），则a+b的最小值是．9．已知14xx+=，则2421xx x=++．10．已知113x y-=，则分式2322x xy yx xy y+---的值为．11．某商店经销一种商品，由于进货价降低了6．4%，使得利润提高了8%，那么原来经销这种商品的利润率是%．三、做一做12．解方程（1）31144xx x--=--；（2）311(1)(2)xx x x-=--+.13．观察图示的图形（每个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：①1112⨯=-②22 2233⨯=-③33 3344⨯=-④44 4455⨯=-……（1）写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；（2）猜想并写出与第n个图形相对应的等式．14．阅读下面对话：小红妈：“售货员，请帮我买些梨．”售货员：“小红妈，您上次买的那种梨都卖完了，我们还没来得及进货，我建议这次您买些新进的苹果，价格比梨贵一点，不过苹果的营养价值更高．”小红妈：“好，你们很讲信用，这次我照上次一样，也花30元钱．”对照前后两次的电脑小票，小红妈发现：每千克苹果的价是梨的1.5倍，苹果的重量比梨轻．试根据上面对话和小红妈的发现，分别求出梨和苹果的单价．四、试一试15．甲工人与乙工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产8个,现在要求甲生产出168个这种零件,要求乙生产出144个这种零件,他们两人谁能先完成任务呢?16．3 分式方程二、6.(1)200x；(2)5x ,200-5x；(3)20055xx-+；(4)200520015xx x-+=+7.24 8.19 9.11510.35三、12.(1)3；(2)无解 13.(1)555566⨯=-；(2)11n nn nn n⨯=-++14.梨的单价为4元/千克,苹果的单价为6元/千克.四、当乙每小时生产的零件多余48个,则乙先完成任务,如果乙每小时恰好生产48个零件,则两人同时完成任务;如果乙每小时生产的零件少于48个,则甲先完成任务.16.3 分式方程（1）一、教学目标1．使学生理解分式方程的意义．2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．3．了解解分式方程解的检验方法．4．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧．5．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．二、教学重点和难点1．教学重点：(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法．(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．2．教学难点：检验分式方程解的原因3．疑点及分析和解决办法：解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根．让学生在学习中讨论从而理解、掌握．三、教学方法启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法．四、教学手段演示法和同学练习相结合，以练习为主．五、教学过程(一)复习及引入新课1．提问：什么叫方程？什么叫方程的解？答：含有未知数的等式叫做方程．使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解．解：(1)当x=0时，右边=0，∴左边=右边，这个方程和我们以前所见过的方程不同，它的主要特点是：分母中含有未知数，这种方程就是我们今天要研究的分式方程．(二)新课板书课题：板书：分式方程的定义．分母里含有未知数的方程叫分式方程．以前学过的方程都是整式方程．练习：判断下列各式哪个是分式方程．在学生回答的基础上指出(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)是分式方程．先由同学讨论如何解这个方程．在同学讨论的基础上分析：由于我们比较熟悉整式方程的解法，所以要把分式方程转化为整式方程，其关键是去掉含有未知数的分母．解：两边同乘以最简公分母2(x+5)得2(x+1)=5+x2x+2=5+xx=3．如果我们想检验一下这种方法，就需要检验一下所求出的数是不是方程的解．检验：把x=3代入原方程左边=右边∴x=3是原方程的解．（三）应用一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v千米/时，则轮船顺流航行的速度为（20＋v ）千米/时，逆流航行的速度为（20－v ）千米/时，顺流航行100千米所用的时间为v 20100＋小时，逆流航行60千米所用的时间为v2060－小时。

4 分式方程第2课时分式方程的解法【教学目标】【知识与技能】1.理解分式方程的概念;2.会通过设适当的未知数并根据等量关系列出分式方程；3.学生掌握解分式方程的基本方法和步骤.【过程与方法】通过列出的方程归纳出它们的共同特点，得出分式方程的概念.了解分式的概念，明确分式和整式的区别；经历和体会解分式方程的必要步骤；使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想.【情感态度】在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力.【教学重点】1、掌握分式方程的解法、解，分式方程要验根.2、在进一步理解分式方程意义的基础上，掌握分式方程的一般解法；【教学难点】1、掌握分式方程的解法、解，分式方程要验根.2、了解解分式方程可能会产生增根，掌握解分式方程一定要验根及验根方法．【教学过程】一、情境导入问题1：填空：(1)分母中不含未知数的方程叫做整式方程；(2)分母中含有未知数的方程叫做分式方程．问题2：判断下列说法是否正确： ①2x ＋32＝5是分式方程； ②34－4x ＝4x ＋3是分式方程； ③x 2x ＝1是分式方程； ④1x ＋1＝1y －1是分式方程． 解：①不是分式方程，因为分母中不含有未知数．②是分式方程．因为分母中含有未知数．③是分式方程．因为分母中含有未知数．④是分式方程．因为分母中含有未知数．问题3：方程5x －2＝3x与以前学习的方程有什么不同？怎样解这样的方程？ 二、合作探究探究点一：分式方程的解法【类型一】 解分式方程解方程：(1)5x ＝7x －2；(2)1x －2＝1－x 2－x－3. 解析：分式方程两边同乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，注意验根．解：(1)方程两边同乘x (x －2)，得5(x －2)＝7x ，5x －10＝7x ，2x ＝－10，解得x ＝－5，检验：把x ＝－5代入最简公分母，得x (x －2)≠0，∴x ＝－5是原方程的解；(2)方程两边同乘最简公分母(x －2)，得1＝x －1－3(x －2)，解得x ＝2，检验：把x ＝2代入最简公分母，得x －2＝0，∴原方程无解．方法总结：解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分母检验．【类型二】由分式方程的解确定字母的取值范围关于x的方程2x＋ax－1＝1的解是正数，则a的取值范围是____________．解析：去分母得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1，∵关于x的方程2x＋ax－1＝1的解是正数，∴x＞0且x≠1，∴－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2，∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2.方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.探究点二：分式方程的增根【类型一】求分式方程的增根若方程3x－2＝ax＋4x（x－2）有增根，则增根为( )A．0 B．2 C．0或2 D．1解析：∵最简公分母是x(x－2)，方程有增根，则x(x－2)＝0，∴x＝0或x＝2.去分母得3x＝a(x －2)＋4，当x＝0时，2a＝4，a＝2；当x＝2时，6＝4不成立，∴增根只能为x＝0，故选A.方法总结：增根是使分式方程的分母为0的根，所以判断增根只需让分式方程的最简公分母为0，注意应舍去不合题意的解．【类型二】分式方程有增根，求字母的值如果关于x的分式方程2x－3＝1－mx－3有增根，则m的值为( )A．－3 B．－2C．－1 D．3解析：方程两边同乘以x－3，得2＝x－3－m①.∵原方程有增根，∴x－3＝0，即x＝3.把x＝3代入①，得m＝－2.故选B.方法总结：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【类型三】分式方程无解，求字母的值若关于x的分式方程2x－2＋mxx2－4＝3x＋2无解，求m的值．解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根．解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即(m－1)x＝－10.①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；②方程有增根，则x＝2或x＝－2，当x＝2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×2＝－10，m＝－4；当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6，∴m的值是1，－4或6.方法总结：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．三、板书设计1．分式方程的解法方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程求解，再检验．2．分式方程的增根(1)解分式方程为什么会产生增根；(2)分式方程检验的方法．四、教学反思这节课主要是通过对比有分数系数的整式方程的解法来学习分式方程的解法，从而归纳出分式方程的基本解题步骤．在教学过程中要着重讲解分式方程为什么要检验，要让学生理解增根的由来，从而牢记分式方程在解题后要进行检验，避免解题出错．在完成解题步骤归纳之后，通过例题与练习让学生在出错中找到正确的解法，让学生自己归纳理解解题时容易出错的地方，防止犯错.。

4分式方程第2课时分式方程的解法教学目标【知识与技能】1.知道解分式方程的步骤;2.明确分式方程产生增根的原因及分式方程检验的方法；【过程与方法】经历和体会解分式方程的必要步骤；使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想.【情感态度】在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力.【教学重点】掌握分式方程的解法【教学难点】掌握分式方程的解法、解分式方程要验根.教学过程一.问题导引，初步认知我们已经学过一元一次方程，你还记得一元一次方程的解法吗？你能想象一下，如何得到分式方程的解吗？二.思考探究，获取新知探究：分式方程的解法1.解下列分式方程：【教学说明】通过观察，使学生发现可以将分式方程通过去分母转化成一元一次方程来求解.通过教师对例题讲解，让学生明确解分式方程的一般步骤.【归纳结论】1.解分式方程的一般步骤：（1）去分母（即在方程的两边都乘以最简公分母），把原分式方程化为_____；（2）解这个整式方程；（3）检验2.下列哪种解法准确？解分式方程解法一：将原方程变形为方程两边都乘以x-2,得：1-x=-1-2解这个方程，得：x=4.解法二：将原方程变形为方程两边都乘以x-2 ,得：1-x=-1-2(x-2)解这个方程，得：x=2你认为x=2是原方程的根？与同伴交流.【归纳结论】增根概念：将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根；认识增根：①增根是去分母后所得的根；②增根使最简公分母的值为0；③增根不是原方程的根.三.运用新知，深化理解A．2个 B.3个 C.4个 D.5个答案：B.（）是分式方程,（）是整式方程.答案：B;A、C3.王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元.后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，原定的人数是多少？如果设原定是x人，那么x满足怎样的分式方程?解：方程两边都乘以y（y-1），得2y2+y（y-1）=（y-1）（3y-1），2y2+y2-y=3y2-4y+1，3y=1，解得y=1/3.检验：当y=1/3时，y（y-1）=1/3×1/3-1=-2/9≠0，∴y=1/3是原方程的解，∴原方程的解为y=1/3.解：两边同时乘以（x+1）（x-2），得x（x-2）-（x+1）（x-2）=3．解这个方程，得x=-1．检验：x=-1时（x+1）（x-2）=0，x=-1不是原分式方程的解，∴原分式方程无解．（3）解：方程的两边同乘（x-1）（x+1），得3x+3-x-3=0，解得x=0．检验：把x=0代入（x-1）（x+1）=-1≠0．∴原方程的解为：x=0.（4）解：方程的两边同乘（x+2）（x-2），得2-（x-2）=0，解得x=4．检验：把x=4代入（x+2）（x-2）=12≠0．∴原方程的解为：x=4.再两边同乘以3x-1，得3（3x-1）-1=2，3x-1=1，x=2/3.检验：把x=2/3代入（3x-1）：（3x-1）≠0，∴x=2/3是原方程的根．∴原方程的解为x=2/3．（6）解：方程两边同乘以2（3x-1），得：-2+3x-1=3，解得：x=2，检验：x=2时，2（3x-1）≠0．所以x=2是原方程的解.【教学说明】通过学生的反馈练习，考察学生对分式方程概念的理解；以及解分式方程.使教师能全面了解学生对解分式方程是否清楚，以便教师能及时地进行查缺补漏.四.师生互动,课堂小结1.什么样的方程是分式方程？2.解分式方程的一般步骤：（1）去分母（即在方程的两边都乘以最简公分母），把原分式方程化为_____；（2）解这个整式方程；（3）检验：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母的值不等于零的根是原分式方程的_____，使最简公分母的值等于零的根是原方程的_____.五．作业布置作业:教材“习题5.8”中第1、2、3、4题；作业本本节习题。

5.4分式方程第1课时分式方程及其解法教学目标【知识与技能】1.理解并能够说出分式方程的意义;2.理解并掌握分式方程的解法步骤,掌握验根的方法.【过程与方法】经历探索分式方程的解法的过程,经历解分式方程产生增根和将分式方程转化为整式方程的过程,体会数学中的化归思想.【情感、态度与价值观】在建立分式方程的数学模型的过程中培养克服困难的勇气,并从中获得成就感,提高解决问题的能力.教学重难点【教学重点】理解并掌握分式方程的解法.【教学难点】解分式方程产生增根的原因.教学过程一、情境导入在这一章的第一节《分式》中,我们曾研究过一个“固沙造林,绿化家园”的问题.当时,我们设原计划每月固沙造林x公顷,那么原计划完成一期工程需要2400x 个月,实际完成一期工程用了2400x+30个月.根据题意,可得方程2400 x −2400x+30=4.像2400x,2400x+30这种分母中含有字母的代数式是分式.而像2400x−2400x+30=4这样的方程我们是第一次遇到,它和我们学过的一元一次方程一样能刻画现实世界中的数量关系,是一种反映现实世界的数学模型.二、合作探究探究点1分式方程的意义典例1下列方程是分式方程的是()A.12−x3=0 B.4x=-2C.x2-1=3D.2x+1=3x[解析]观察知B项符合题意.[答案]B【技巧点拨】分母中含有未知数的方程叫做分式方程,可见,判断一个方程是否为分式方程,关键看分母里是否有未知数.下列方程:①x−35=1;②3x+1=2;③1+x5+x =12;④x 2+2x 2+1=5;⑤x π+x 2π=4.其中是分式方程的有 ( )A.①②B.②③C.③④D.②③④[答案] D探究点2 分式方程的解法典例2 解下列分式方程:(1)xx−1−2x−1x 2−1=1; (2)2+x 2−x +16x 2−4=-1.[解析] (1)去分母,得x (x +1)-(2x -1)=x 2-1,解得x =2.检验:当x =2时,x 2-1≠0,故分式方程的解为x =2.(2)去分母,得-(x +2)2+16=4-x 2,解得x =2.检验:当x =2时,2-x =0,故分式方程无解.探究点3 分式方程的增根典例3若分式方程3x−a x 2−2x +1x−2=2x 有增根,则实数a 的取值是 ( )A.0或2B.4C.8D.4或8[解析] 去分母,得3x -a +x =2(x -2),由题意得,分式方程的增根为0或2.当x =0时,-a =-4,解得a =4;当x =2时,8-a =0,解得a =8,故a 的值为4或8.[答案] D在将分式方程化为整式方程的过程中,若整式方程的根使分式方程的分母为零,那么这个根叫做分式方程的增根.产生增根的原因是在方程两边同乘了一个使分母为0的整式,因为解分式方程可能产生增根,所以解分式方程必须检验.检验的方法是检验所得的根是否使分式方程中分母的值等于0.若关于x 的分式方程m x 2−4−1x+2=0无解,则m = .[答案] 0或-4三、板书设计分式方程及其解法分式方程及其解法{ 分式方程的意义分式方程的解法步骤{ 转化解整检验结论增根及其产生的原因教学反思本节课中,让学生自己通过观察、类比的方法找到分式方程的解法,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验.。

八年级数学分式方程一、分式方程的概念。

1. 定义。

- 分式方程是方程中的一种，是指分母里含有未知数（字母）的方程。

例如：(1)/(x)+1 = 2，(x)/(x - 1)-(1)/(x)=1等都是分式方程。

2. 与整式方程的区别。

- 整式方程的分母中不含有未知数，如2x+3 = 5是整式方程。

而分式方程的分母含有未知数，这是两者最本质的区别。

二、分式方程的解法。

1. 基本思想。

- 分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程来求解。

这一转化过程通常是通过去分母来实现的。

2. 去分母的方法。

- 给分式方程两边同时乘以各分母的最简公分母。

例如，对于方程(2)/(x)+(x)/(x - 1)=1，分母x和x - 1的最简公分母是x(x - 1)，方程两边同时乘以x(x - 1)得到：2(x - 1)+x· x=x(x - 1)。

- 找最简公分母的方法：- 取各分母系数的最小公倍数。

- 凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式。

- 同底数幂取次数最高的。

例如，对于分式(1)/(3x)，(1)/(2x^2)，最简公分母是6x^2。

3. 求解整式方程。

- 按照整式方程的解法求解去分母后的整式方程。

如上面得到的整式方程2(x - 1)+x^2=x(x - 1)，展开式子得2x-2 + x^2=x^2-x，移项合并同类项得2x+x = 2，解得x=(2)/(3)。

4. 检验。

- 分式方程可能会产生增根，所以必须检验。

把求得的整式方程的解代入原分式方程的最简公分母中，如果最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解；如果最简公分母等于0，则这个解是增根，原分式方程无解。

例如，对于上面解得的x = (2)/(3)，代入最简公分母x(x - 1)=(2)/(3)×((2)/(3)-1)=(2)/(3)×(-(1)/(3))=-(2)/(9)≠0，所以x=(2)/(3)是原分式方程的解。

初二数学下册知识点归纳初二数学下册知识点归纳篇1第一章分式1、分式及其基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）一个不等于零的整式，分式的只不变2、分式的运算（1）分式的乘除乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

（2）分式的加减加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减3、整数指数幂的加减乘除法4、分式方程及其解法第二章反比例函数1、反比例函数的表达式、图像、性质图像：双曲线表达式：y=k/x（k不为0）性质：两支的增减性相同；2、反比例函数在实际问题中的应用第三章勾股定理1、勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方2、勾股定理的逆定理：如果一个三角形中，有两个边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形第四章四边形1、平行四边形性质：对边相等；对角相等；对角线互相平分。

判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形。

推论：三角形的中位线平行第三边，并且等于第三边的一半。

2、特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形（1）矩形性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形具有平行四边形的所有性质判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；推论:直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

（2）菱形性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形具有平行四边形的一切性质判断:一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；有四条等边的四边形是菱形。

(3)正方形:它既是一个特殊的长方形，又是一个特殊的菱形，所以它具有长方形和菱形的所有性质。

分式方程是初中数学中的重要内容之一，主要涉及到分式的乘除、加减和方程的解等知识点。

在八年级下册的数学课堂上，明老师应该重点讲解以下几个方面的内容。

首先，明老师可以对分式的乘除法进行复习和扩展。

分式的乘法是指两个分式相乘的运算，其结果仍是一个分式。

例如，计算2/3乘以3/4，我们可以先将分子相乘（2×3=6），再将分母相乘（3×4=12），最后将结果化简得到1/2、明老师可以通过具体的示例讲解乘法的过程，并提供一些练习题让学生们巩固练习。

分式的除法是指两个分式相除的运算，其结果同样仍是一个分式。

例如，计算2/3除以3/4，我们可以先将除号变为乘号，即2/3×4/3，然后按照乘法的方法进行计算，最后将结果化简得到8/9、明老师可以通过生活实例，如准备食物的比例、长度和时间的比例等，来讲解分式的除法的应用，并让学生们进行类似的练习。

其次，明老师可以介绍分式方程的概念和解法。

分式方程是指含有一个或多个未知数的方程，其中未知数出现在分式中。

例如，如下所示的分式方程：1/(x+2)+3/x=2明老师可以先讲解分式方程的解的意义，即使得方程两边相等的未知数的取值。

接着，明老师可以分步骤地讲解解分式方程的方法。

首先，将分式的分母通分，并把等式两边同乘以通分后的分母，消去分母后得到方程的形式。

然后，进行方程的变形和化简，最终得到未知数的值。

明老师可以通过实际解题过程的讲解来帮助学生们更好地理解和掌握解分式方程的方法。

最后，明老师可以提供一些综合练习来巩固学生们的分式方程解题能力。

这些练习可以包括简单的一元一次分式方程、含有分式的二元一次方程和含有两个未知数的分式方程等。

通过这些练习，学生们可以更全面地巩固和应用所学的分式方程的知识。

以上是关于明老师在初中数学课堂上针对八年级下册分式方程的教学内容的总结。

明老师可以结合具体教学实际，灵活运用各种教学方法和教学资源，帮助学生们更好地理解和掌握分式方程的知识，提高他们的数学解题能力。

第五章分式与分式方程复习总结第一课时知识点梳理肇州三中黄国庆教学目标1•将本章知识点形成知识脉络。

2. 培养学生如何建立完整的知识体系的能力。

教学重点1. 分式的概念及其基本性质。

2. 分式的运算法则。

3. 分式方程的概念、解法。

教学难点分式的运算及分式方程的解法.教学过程一、知识点梳理：1. 分式的定义：如果A B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A叫做分式。

B1）分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母2）分式有意义的条件：分母不为零，即坟墓中的代数式的值不能为零。

3）分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

用式子表示A^C I A-C其中A B、C为整式（C 0）B BC B B C注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。

（2）应用基本性质时，要注意C M0,以及隐含的B M0。

（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。

3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式1）分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。

2）最简分式：分子与分母没有公因式的分式3）分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。

4）最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幕的积做公分母，它叫做最简公分母4. 分式的运算:1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母 的积作为分母。

2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置 后，与被除式相乘a c ac a c ad ad■b d bd b d be be3）分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减a b a b a c ad be ad be c c c ，b d bd bd bd5. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程 分式方程。