高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 理

第3讲简单逻辑联结词、全称量词与存在量词1．全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“□01∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“□02∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：□03∀x∈M，p(x)．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：□04∃x0∈M，p(x0)．2．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)□05∃x0∈M，¬p(x0)∃x0∈M，p(x0)□06∀x∈M，¬p(x)1．命题p∧q，p∨q，¬p的真假判定p q p∧q p∨q ¬p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2．确定p∧q，p∨q，¬p真假的记忆口诀如下：p∧q→见假即假，p∨q→见真即真，p 与¬p→真假相反．3．“p∨q”的否定是“(¬p)∧(¬q)”；“p∧q”的否定是“(¬p)∨(¬q)”．4．“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”，所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理．5．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．6．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则¬q”，否命题是“若¬p，则¬q”．1．命题p ：“∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤12”的否定为( )A ．∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>12B ．∀x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>12C ．∃x 0∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12D ．∃x 0∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12答案 D解析 全称命题的否定为特称命题，方法是改量词，否结论，故选D.2．(2022·山西大同摸底)已知命题p ，q ，则“¬p 为假命题”是“p ∧q 为真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 若¬p 为假命题，则p 为真命题，由于不知道q 的真假性，所以推不出p ∧q 是真命题，所以充分性不成立．p ∧q 是真命题，则p ，q 均为真命题，则¬p 为假命题，所以必要性成立．所以“¬p 为假命题”是“p ∧q 为真命题”的必要不充分条件．3．若命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A.[－1，3] B ．(－1，3)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案 D解析 因为命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”等价于“x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3.4．(2021·云南丽江模拟)命题p ：甲的数学成绩不低于100分，命题q ：乙的数学成绩低于100分，则p ∨(¬q )表示( )A ．甲、乙两人数学成绩都低于100分B ．甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分C ．甲、乙两人数学成绩都不低于100分D ．甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分 答案 D解析 因为命题q ：乙的数学成绩低于100分，所以命题¬q 表示乙的数学成绩不低于100分，所以命题p ∨(¬q )表示甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分．故选D.5．设有下面四个命题：p 1：∃n 0∈N ，n 20>2n 0；p 2：x ∈R ，“x >1”是“x >2”的充分不必要条件；p 3：命题“若x －312是有理数，则x 是无理数”的逆否命题；p 4：若“p ∨q ”是真命题，则p 一定是真命题．其中为真命题的是( ) A ．p 1，p 2 B ．p 2，p 3 C ．p 2，p 4 D ．p 1，p 3 答案 D解析 ∵n 0＝3时，32>23，∴∃n 0∈N ，n 20>2n 0，∴p 1为真命题；∵(2，＋∞)(1，＋∞)，∴x >2能推出x >1，x >1不能推出x >2，“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，∴p 2是假命题；根据逆否命题的定义可知p 3为真命题．根据复合命题的真假判断法则可知p 4为假命题．故选D.6．已知命题p ：不等式ax 2＋ax ＋1>0的解集为R ，则实数a ∈(0，4)，命题q ：“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(¬q )C ．(¬p )∧(¬q )D ．(¬p )∧q答案 D解析 命题p ：a ＝0时，可得1>0恒成立；a ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4.综上，可得实数a ∈[0，4)，因此p 是假命题，则¬p 是真命题；命题q ：由x 2－2x －8>0解得x >4或x <－2.因此“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，是真命题，故(¬p )∧q 是真命题．故选D.考向一 含有逻辑联结词命题真假的判断 例1 (2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是 ． ①p 1∧p 4，②p 1∧p 2，③¬p 2∨p 3，④¬p 3∨¬p 4. 答案 ①③④解析 对于命题p 1，可设l 1与l 2相交，这两条直线确定的平面为α，设l 3与l 1，l 2的交点分别为A ，B (如图)，则A ∈α，B ∈α，所以AB ⊂α，即l 3⊂α，命题p 1为真命题；对于命题p 2，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题p 2为假命题； 对于命题p 3，空间中两条直线的位置关系有相交、平行或异面，命题p 3为假命题； 对于命题p 4，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，因为l ⊂平面α，所以m ⊥l ，命题p 4为真命题.综上可知，p 1∧p 4为真命题，p 1∧p 2为假命题，¬p 2∨p 3为真命题，¬p 3∨¬p 4为真命题．判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤(1)定结构：先判断复合命题的结构形式．(2)辨真假：判断构成这个命题的每一个简单命题的真假性．(3)下结论：依据“有真或为真，有假且为假，p 和¬p 真假相反”，作出判断．1.设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是 ．①p 为真；②¬q 为假；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真；⑤(¬p )∧(¬q )为真；⑥¬(p ∨q )为真． 答案 ③⑤⑥解析 p ，q 均为假，故p ∧q 为假，p ∨q 为假，(¬p )∧(¬q )为真，¬(p ∨q )为真．精准设计考向，多角度探究突破 考向二 全称命题、特称命题 角度全称命题、特称命题的否定例2 (1)(2021·安徽合肥质检)设命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则¬p 为( )A.∃x0∈R，x2－x0＋1>0B．∀x∈R，x2－x＋1≤0C．∃x0∈R，x2－x0＋1≤0D．∀x∈R，x2－x＋1<0答案 C解析全称命题的否定是特称命题，同时否定结论．故选C.(2)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数答案 B解析根据特称命题的否定为全称命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．一般地，写含有一个量词的命题的否定，先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论．如果所给命题中省去了量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行否定．2.(2022·西安模拟)命题p：∀a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解，则¬p为( )A．∃a0<0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0有实数解B．∃a0<0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解C．∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解D．∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0有实数解答案 C解析根据全称命题的否定可知，¬p为∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解．故选C.3．命题“奇数的立方是奇数”的否定是．答案存在一个奇数，它的立方不是奇数解析此命题隐含了全称量词“所有”，故否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方不是奇数”．角度全称命题、特称命题真假的判断例3 以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x 0，使x 20≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x 0，使1x 0>2答案 B解析 选项A 中，锐角三角形的所有内角都是锐角，所以A 是假命题；选项B 中，当x 0＝0时，x 20＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；选项C 中，因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；选项D 中，对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 是假命题．故选B.全称命题与特称命题真假性的两种判断方法不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题真 存在一个对象使命题真 否定为假 假所有对象使命题假否定为真4.(2021·江西师大附中模拟)已知定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．∀x ∈R ，f (－x )≠－f (x )C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠－f (x 0) 答案 C解析 设命题p ：∀x ∈R ，f (x )＝f (－x )，∵f (x )不是偶函数，∴p 是假命题，则¬p 是真命题，又¬p ：∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)，故选C.考向三 利用复合命题的真假求参数范围例4 (1)已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x”；命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋4x 0＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．[1，4]B ．[1，e]C ．[e ，4]D ．[4，＋∞) 答案 C解析 若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0，1]，a ≥e x，得a ≥e ；由∃x 0∈R ，使x 20＋4x 0＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4.则实数a 的取值范围为[e ，4].故选C.(2)命题p ：实数a 满足a 2＋a －6≥0；命题q ：函数y ＝ax 2－ax ＋1的定义域为R .若命题p ∧q 为假，p ∨q 为真，则实数a 的取值范围为 ．答案 (－∞，－3]∪[0，2)∪(4，＋∞)解析 当命题p 为真时，即a 2＋a －6≥0，解得a ≥2或a ≤－3；当命题q 为真时，可得ax2－ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立，若a ＝0，则满足题意；若a ≠0，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4，∴0≤a ≤4.∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴“p 真q 假”或“p 假q 真”，①当p 真q假时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－3，a >4或a <0，∴a >4或a ≤－3；②当p 假q真时，则⎩⎪⎨⎪⎧－3<a <2，0≤a ≤4，∴0≤a <2.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[0，2)∪(4，＋∞).根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况，本例(2)中有两种情况).(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围． (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.5.设命题p ：函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1，1]上单调递减；命题q ：函数y ＝ln (x 2＋ax ＋1)的值域是R .如果命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，－2]∪[2，3)C ．(2，3]D ．[3，＋∞)答案 B解析 由函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1，1]上单调递减，得f ′(x )＝3x 2－a ≤0在[－1，1]上恒成立，故a ≥(3x 2)max ＝3，即a ≥3；由函数y ＝ln (x 2＋ax ＋1)的值域是R ，得x2＋ax ＋1能取到全体正数，故Δ＝a 2－4≥0，解得a ≤－2或a ≥2.因为命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假．当p 真q 假时，可得{a |a ≥3}∩{a |－2<a <2}＝∅；当p 假q 真时，可得{a |a <3}∩{a |a ≤－2或a ≥2}＝{a |a ≤－2或2≤a <3}．因此实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，3).故选B.1．(2021·山西阳泉高三阶段考试)设A 是奇数集，B 是偶数集，则命题“∀x ∈A ，2x ∉B ”的否定是( )A．∃x0∈A，2x0∈B B．∃x0∉A，2x0∈BC．∀x∉A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B答案 A解析“∀x∈A，2x∉B”即“所有x∈A，都有2x∉B”，它的否定应该是“存在x0∈A，使2x0∈B”，所以正确选项为A.2．下列命题中的假命题是( )A．∀x∈R，e x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x0∈R，ln x0<1D．∃x0∈R，tan x0＝2答案 B解析因为当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B为假命题，故选B.3．命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是( )A．∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0B．∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0C．∃x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0D．∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0答案 D解析根据全称命题与特称命题互为否定的关系可得，命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是“∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0”．故选D.4．(2022·江西南昌摸底)下列命题的否定是真命题的是( )A．有些实数的绝对值是正数B．所有平行四边形都不是菱形C．任意两个等边三角形都是相似的D．3是方程x2－9＝0的一个根答案 B解析若命题的否定是真命题，则原命题是假命题，显然A，C，D是真命题，B是假命题．故选B.5．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( )A．∀x∈Q，有x∈PB．∀x∉Q，有x∉PC．∃x0∉Q，使得x0∈PD．∃x0∈P，使得x0∉Q答案 B解析因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以∀x∉Q，有x∉P，故选B.6．(2021·全国乙卷)已知命题p：∃x∈R，sin x<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是( )A．p∧q B．¬p∧qC．p∧¬q D．¬(p∨q)答案 A解析因为命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧q为真命题．故选A.7．关于命题“当m∈[1，2]时，方程x2－2x＋m＝0没有实数解”，下列说法正确的是( ) A．是全称命题，假命题B．是全称命题，真命题C．是特称命题，假命题D．是特称命题，真命题答案 A解析原命题的含义是“对于任意m∈[1，2]，方程x2－2x＋m＝0都没有实数解”，但当m＝1时，方程有实数解x＝1，故命题是全称命题，假命题，所以A正确．8．(2022·四川南充月考)下列命题中，是真命题的全称命题的是( )A．对于实数a，b∈R，有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．梯形两条对角线相等C．有小于1的自然数D．函数y＝kx＋1的图象过定点(0，1)答案 D解析选项A是全称命题，a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故A是假命题；B是假命题；“存在小于1的自然数”，C是特称命题；D项，对于所有k∈R，函数y＝kx ＋1的图象过定点(0，1)，所以正确选项为D.9．(2021·河南济源、平顶山、许昌第二次质检)已知直线m，n和平面α，β.命题p：若m⊂α，n⊂β，α∥β，则直线m与直线n平行或异面；命题q：若m∥α，α∥β，则m∥β；命题s：若α⊥β，α∩β＝m，在平面α内作直线m的垂线n，则n⊥β.则下列为真命题的是( )A．p∨(¬q) B．(¬p)∧sC．q∧(¬s) D．(¬p)∧(¬q)答案 A解析若α∥β，m⊂α，n⊂β，由于平面α与平面β没有交点，所以直线m与直线n 平行或异面，即命题p 是真命题；若m ∥α，α∥β，则m ∥β或m ⊂β，即命题q 是假命题；若α⊥β，α∩β＝m ，在平面α内作直线m 的垂线n ，由面面垂直的性质定理，得n ⊥β，命题s 是真命题．对于A ，p ∨(¬q )是真命题；对于B ，p 是真命题，则¬p 是假命题，s 是真命题，则(¬p )∧s 是假命题；对于C ，s 是真命题，则¬s 是假命题，q 是假命题，则q ∧(¬s )是假命题；对于D ，p 是真命题，则¬p 是假命题，q 是假命题，则¬q 是真命题，则(¬p )∧(¬q )是假命题．故选A.10．命题p ：若向量a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角；命题q ：若cos αcos β＝1，则sin (α＋β)＝0.下列命题为真命题的是( )A ．pB ．¬qC ．p ∧qD ．p ∨q答案 D解析 若a ，b 共线且方向相反时，a ·b <0，但a 与b 夹角为π，故p 是假命题．若cosα·cos β＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝1，cos β＝1或⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝－1，cos β＝－1，∴sin α＝sin β＝0，∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝0，故q 是真命题，∴p ，¬q ，p ∧q 均为假命题，p ∨q 为真命题，故选D.11．短道速滑队进行冬奥会选拔赛(6人决出第一～六名)，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，(¬q )∧r 是真命题，则选拔赛的结果为( )A ．甲第一、乙第二、丙第三B ．甲第二、乙第一、丙第三C ．甲第一、乙第三、丙第二D ．甲第一、乙没得第二名、丙第三 答案 D解析 (¬q )∧r 是真命题意味着¬q 为真，q 为假(乙没得第二名)且r 为真(丙得第三名)；p ∨q 是真命题，由于q 为假，只能p 为真(甲得第一名)，这与p ∧q 是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名．故选D.12．(2022·甘肃兰州模拟)已知f (x )＝ln (x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 答案 A解析 当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.故选A.13．已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＝2－x 0，则下述命题中所有真命题的序号是 ．①p ∧q ；②(¬p )∧q ；③p ∨(¬q )；④(¬p )∨(¬q ). 答案 ②④解析 当x <0时，2x>3x，所以命题p 为假命题．解x 2＝2－x ，得x ＝－2或1，所以命题q 为真命题．所以p ∧q ，p ∨(¬q )为假命题，(¬p )∧q ，(¬p )∨(¬q )为真命题．14．若命题：“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是 ．答案 [－3，3]解析 命题“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，即“∀x ∈R ，3x 2＋2ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.即实数a 的取值范围为[－3，3].15．(2022·四川绵阳中学模拟)已知命题p ：∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，cos 2x ＋cos x －m ＝0为真命题，则实数m 的取值范围是 ．答案 [－1，2]解析 cos 2x ＋cos x －m ＝0可变形为cos 2x ＋cos x ＝m .令f (x )＝cos 2x ＋cos x ，则f (x )＝2cos 2x ＋cos x －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋142－98.由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0，1].于是f (x )∈[－1，2].故实数m 的取值范围是[－1，2].16．(2021·南昌一中模拟)已知命题p ：关于x 的方程x 2－mx －2＝0在[0，1]上有解；命题q ：f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2mx ＋12在[1，＋∞)上单调递增．若“¬p ”为真命题，“p ∨q ”为真命题，则实数m 的取值范围为 ．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，34解析 对于命题p ：令g (x )＝x 2－mx －2，则g (0)＝－2，∴g (1)＝－m －1≥0，解得m ≤－1，故命题p 为真命题时，m ≤－1.∴¬p 为真命题时，m >－1.对于命题q ：⎩⎪⎨⎪⎧m ≤1，1－2m ＋12＞0， 解得m <34.又由题意可得p 假q 真，∴－1<m <34，即实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，34.17．(2022·江西上饶高三摸底)已知m ∈R ，设p ：∀x ∈[－1，1]，x 2－2x －4m 2＋8m －2≥0成立；q ：∃x 0∈[1，2]，log 12(x 20－mx 0＋1)<－1成立．如果“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数m 的取值范围．解 若p 为真，则∀x ∈[－1，1]，4m 2－8m ≤x 2－2x －2恒成立． 设f (x )＝x 2－2x －2，配方得f (x )＝(x －1)2－3，∴f (x )在[－1，1]上的最小值为－3， ∴4m 2－8m ≤－3，解得12≤m ≤32，∴p 为真时，12≤m ≤32.若q 为真，则∃x 0∈[1，2]，x 20－mx 0＋1>2成立，即m <x 20－1x 0成立．设g (x )＝x 2－1x ＝x －1x ，则g (x )在[1，2]上是增函数，∴g (x )的最大值为g (2)＝32，∴m <32，∴q 为真时，m <32.∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 与q 一真一假. 当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧12≤m ≤32，m ≥32，∴m ＝32；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m <12或m >32，m <32，∴m <12.综上所述，实数m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m <12或m ＝32.18．已知函数f (x )＝－(x －2m )(x ＋m ＋3)(其中m <－1)，g (x )＝2x－2.设命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，f (x )<0或g (x )<0；命题q ：∃x 0∈(－1，0)，f (x 0)·g (x 0)<0.若p ∧q 是真命题，求m 的取值范围．解 ∵p ∧q 是真命题，∴p 与q 都是真命题． 当x >1时，g (x )＝2x－2>0， 又p 是真命题，则f (x )<0. ∵m <－1，∴2m <－m －3，∴f (x )<0的解集为{x |x <2m 或x >－m －3}，∴－m－3≤1，解得m≥－4；当－1<x<0时，g(x)＝2x－2<0.∵q是真命题，则∃x0∈(－1，0)，使得f(x0)>0，由f(x0)>0得2m<x0<－m－3，则(2m，－m－3)∩(－1，0)≠∅，又m<－1，∴2m<－2，∴－m－3>－1，解得m<－2. ∴若p∧q是真命题，m的取值范围是－4≤m<－2.。

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词．命题∧，∨，綈的真假判断∧∨綈真真真真假假假真假真假假假．全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等．全称命题和存在性命题名称全称命题存在性命题形式结构对中的任意一个，有()成立存在中的一个，使()成立，∃∈∈∀()简记()，，綈∈∃()∀∈否定()，綈[小题体验]．(·启东中学期末检测)在“綈”，“∧”，“∨”形式的命题中，若“∨”为真，“∧”为假，“綈”为真，则，的真假为，.解析：∵“∨”为真，∴，至少有一个为真．“∧”为假，∴，至少有一个为假，而“綈”为真，∴为假，为真．答案：假真．(·盱眙中学检测)命题“存在实数，使＞”的否定是．答案：对于任意的实数，使得≤．已知命题：对任意∈，总有＞；：“＞”是“＞”的充分不必要条件，则下列命题：①∨；②綈∧綈；③綈∨；④∧綈.其中为真命题的序号是．解析：由题设可知：是真命题，是假命题；所以綈是假命题，綈是真命题；所以∨是真命题，綈∧綈是假命题，綈∨是假命题，∧綈是真命题，故①④正确．答案：①④．注意命题所含的量词，对于量词有隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定．．注意“或”“且”的否定：“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”．[小题纠偏]．命题“若＝，则＝或＝”，其否定为．答案：若＝，则≠且≠．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是．解析：命题是省略量词的全称命题，所以其否定是：存在两个全等三角形的面积不相等．答案：存在两个全等三角形的面积不相等全称命题与存在性命题)[题组练透]．已知命题：∀∈，(＋)≤，则命题的否定是“”．答案：∃∈，(＋)＞．(·淮安期末)若“∃∈，使得－λ＋＜成立”是假命题，则实数λ的取值范围为．解析：若“∃∈，使得－λ＋＜成立”是假命题，即“∃∈，使得λ＞＋成立”是假命题，所以“∀∈，都有λ≤＋成立”是真命题．由∈，得函数＝＋≥ ＝，当且仅当＝时等号成立．所以λ≤，即实数λ的取值范围为(－∞，]．答案：(－∞，]．已知函数()＝＋，()＝＋，若∀∈，∃∈[]，使得()≥()，则实数的取值范围是．解析：由题意知，()≥()(∈[])，因为()＝＋，所以′()＝－，所以()在上单调递减，所以()＝()＝，又因为()在[]上的最小值为()＝＋，所以≥＋，即≤.答案：(－∞，]．(·南通中学调研)已知命题：“∀∈[]，≥”，命题：“∃∈，＋＋＝”，若命题“∧”是真命题，则实数的取值范围是．解析：若命题：“∀∈[]，≥”为真命题，则≥；若命题：“∃∈，＋＋＝”为真命题，则Δ＝－≥，即≤，所以若命题“∧”是真命题，则实数的取值范围是[]．答案：[][谨记通法]．全称命题与存在性命题的否定()改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．()否定结论：对原命题的结论进行否定．[提醒] 说明全称命题为假命题，只需给出一个反例；说明存在性命题为真命题，只需找出一个正例．．由真假求参要转化含量词的命题的真假求参数取值问题，关键是根据量词等价转化相应的命题，一般要将其转化为恒成立或有解问题，进而根据相关知识确定对应条件．含有逻辑联结词的命题的真假判断)[典例引领](·泰州模拟)已知命题：函数＝－－在上为增函数，：函数＝＋－在上为减函数，则在命题①∨；②∧；③(綈)∨；④∧(綈)中，真命题的序号是．解析：因为＝在上为增函数，＝－＝在上为减函数，所以＝－－＝－在上为增函数，所以＝－－在上为增函数，故是真命题．＝＋－在上为减函数是错误的，故是假命题，所以①∨是真命题；②∧是假命题；③(綈)∧是假命题；④∧(綈)是真命题．答案：①④[由题悟法]判断含有逻辑联结词命题真假的个步骤()先判断简单命题，的真假．()再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假．[即时应用]．(·启东期末)命题：∈*，命题：∈，则“或”是命题．(填“真”“假”)解析：命题：∈*，为假命题；命题：∈，为真命题，则命题“或”为真命题．答案：真．已知命题：若＞，则－＜－；命题：若＞，则＞.在命题①∧；②∨；③∧(綈)；④(綈)∨中，是真命题的序号是．解析：由不等式的性质可知，命题是真命题，命题为假命题，故①∧为假命题；②∨为真命题；③綈为真命题，则∧(綈)为真命题；④綈为假命题，则(綈)∨为假命题．答案：②③根据命题的真假求参数的取值范围)[典例引领](·无锡天一中学月考)已知命题：∃∈[－，]，使不等式－＋≥＋成立；命题：＋＋＝有两个负数根，若∨为真，∧为假，求实数的取值范围．解：因为∨为真，∧为假，所以，一真一假．由题设知，对于命题，因为∈[－]，所以＋∈[]，所以不等式－＋≥成立，所以－＋≥，解得≤或≥.对于命题，因为＋＋＝有两个负数根，所以(\\(Δ＝－≥，＋＝－＜，))所以≥.若真假，则≤；若假真，则≤＜，所以实数的取值范围为(－∞，]∪[，)．[由题悟法]根据命题真假求参数范围的步骤()先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；()然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；()最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．[即时应用]．(·江苏百校联盟联考)已知命题：“∃∈[]，使＋＋≥”为真命题，则实数的取值范围是．解析：当∈[]时，＋＝(＋)－是增函数，所以≤＋≤，由题意得＋≥，所以≥－.答案：[－，＋∞)．(·海门中学检测)已知命题：∀∈，＋＞，命题：∀∈，＋＜，且∧为假命题，则实数的取值范围为．解析：由已知可得：命题为真命题，∵∧为假命题，∴为假命题．若为真，则＞＋对∀∈恒成立，∵＋＝且正弦函数＝的值域为[－]，∴＋＝的最大值为，∴＞.∵为假命题，∴≤，∴实数的取值范围为(－∞，]．答案：(－∞，]一抓基础，多练小题做到眼疾手快．(·南通中学高三检测)命题“∃∈(，＋∞)，＝－”的否定是“”．答案：∀∈(，＋∞)，≠－．(·镇江模拟)已知命题：函数＝＋＋(＞且≠)的图象恒过点(－)；命题：已知平面α∥平面β，则直线∥α是直线∥β的充要条件，则有下列命题：①∧；②(綈)∧(綈)；③(綈)∧；④∧(綈)．其中为真命题的序号是．解析：由指数函数恒过点()知，函数＝＋＋是由＝先向左平移个单位，再向上平移个单位得到．所以函数＝＋＋恒过点(－)，故命题为真命题；命题：与β的位置关系也可能是⊆β，故是假命题．所以∧(綈)为真命题．答案：④．若“∈[]或∈(－∞，)∪(，＋∞)”是假命题，则的取值范围是．解析：根据题意得“∉[]且∉(－∞，)∪(，＋∞)”是真命题，所以(\\(＜或＞，≤≤，))解得≤＜，故∈[)．答案：[)．已知函数()＝＋＋，若命题“∃＞，()＜”为真，则的取值范围是．解析：因为函数()＝＋＋的图象过点()，若命题“∃＞，()＜”为真，则函数()＝＋＋的图象的对称轴必在轴的右侧，且与轴有两个不同交点，所以(\\(Δ＝－＞，,－()＞，))解得＜－，所以的取值范围是(－∞，－)．答案：(－∞，－)．(·南京外国语学校模拟)已知命题：∃∈，使＝，命题：－＋＜的解集是{＜＜}，给出下列结论：①命题“∧”是真命题；②命题“∧綈”是假命题；③命题“綈∨”是真命题；④命题“綈∨綈”是假命题．其中正确的是．解析：命题：∃∈，使＝是真命题，命题：－＋＜的解集是{＜＜}也是真命题，所以，①命题“∧”是真命题；②命题“∧綈”是假命题；③命题“綈∨”是真命题；④命题“綈∨綈”是假命题．故①②③④均正确．答案：①②③④．(·海门实验中学检测)命题：∃∈[－]，使得＜成立；命题：∀∈(，＋∞)，不等式＜＋恒成立．若命题∧为真，则实数的取值范围为．解析：由∈[－]可知，当＝－时，取得最小值，若命题：∃∈[－]，使得＜成立为真，则＞.若命题：∀∈(，＋∞)，不等式＜＋恒成立为真，即∀∈(，＋∞)，＜＋恒成立为真，当＝时，＋取最小值，故＜.因为命题∧为真，所以∈.答案：二保高考，全练题型做到高考达标．命题“∀∈*，()∈*且()≤”的否定形式是．解析：全称命题的否定为存在性命题，因此命题“∀∈*，()∈*且()≤”的否定形式是“∃∈*，()∉*或()＞”．答案：∃∈*，()∉*或()＞．(·海安中学测试)若命题“∀∈[]，－＋≤”是真命题，则实数的取值范围是．解析：令()＝－＋，根据题意可得(\\(＝－＋≤，＝－＋≤，))解得≤≤，所以实数的取值范围是.答案：．(·南通大学附中月考)已知命题：“任意∈[]，－≥”，命题：“存在∈，使＋＋－＝”．若命题“∧”是真命题，则实数的取值范围是．解析：由题意知，：≤，：≤－或≥.因为“∧”为真命题，所以，均为真命题，所以≤－或＝.答案：(－∞，－]∪{}．(·沙市区校级期中)函数()＝－＋，()＝－，若对∀∈[－]，∃∈[]，()≥()，则实数的最小值是．解析：由′()＝－，可得()在区间[－]上单调递减，在区间[]上单调递增，∴()＝()＝－，∵()＝－是增函数，∴()＝－，要满足题意，只需()≥()即可，解得≥，故实数的最小值是.答案：．已知：－＜，：(－)(－)＞，若綈是綈的充分不必要条件，则实数的取值范围是．解析：由题意知：－＜＜＋，：＜＜，因为“綈”是“綈”的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件．所以(\\(－≤，＋＞))或(\\(－＜，＋≥，))解得－≤≤.答案：[－]．(·杨大附中月考)给出下列命题：①∀∈，＞；②所有可以被整除的整数，末位数字都是；③∃∈，－＋≤；④存在一个四边形，它的对角线互相垂直．则上述命题的否定中，真命题的序号为．解析：命题与命题的否定一真一假．①当＝或时，不等式不成立，所以①是假命题，①的否定是真命题；②可以被整除的整数，末位数字是或，所以②是假命题，②的否定是真命题；③－＋＝＋＞恒成立，所以③是假命题，③的否定是真命题；④是真命题，所以④的否定为假命题．答案：①②③．命题的否定是“对所有正数，＞＋”，则命题可写为．解析：因为是綈的否定，所以只需将全称命题变为存在性命题，再对结论否定即可．答案：∃∈(，＋∞)，≤＋．若“∀∈，≤ ＋”为真命题，则实数的最大值为．解析：由∈，可得－≤ ≤，所以≤ ＋≤，因为∀∈，≤ ＋，所以≤，所以实数的最大值为.答案：．(·南京期末)已知∈，设命题：∀∈，＋＋＞；命题：函数()＝－＋－只有一个零点，则使“∨”为假命题的实数的取值范围为．解析：若为真，当＝时，符合题意；当≠时，(\\(＞，,Δ＝－＜，))则＜＜，∴命题为真时，≤＜.若为真，由()＝－＋－，得′()＝－，令′()＝，得＝或＝.∴当∈(－∞，)∪(，＋∞)时，′()＞；当∈()时，′()＜，∴()的单调递增区间为(－∞，)，(，＋∞)，单调递减区间为()．∴()的极大值为()＝－，极小值为()＝－.要使函数()＝－＋－只有一个零点，则－＜或－＞，解得＜或＞.∵“∨”为假命题，∴为假，为假，即(\\(＜或≥，≤≤，))解得≤≤，故实数的取值范围为[]．答案：[]．(·南京一中模拟)给出如下命题：①“≤”是“∃∈[]，使－≥成立”的充分不必要条件；②命题“∀∈(，＋∞)，＞”的否定是“∃∈(，＋∞)，≤”；③若“∧”为假命题，则，均为假命题．其中正确的命题是．(填序号)解析：对于①，由∃∈[]，使－≥成立，可得≤，因此为充分不必要条件，①正确；②显然正确；对于③，若“且”为假命题，则，中有一假命题即可，所以③错误．答案：①②．已知命题：函数＝(＋＋)的定义域为；命题：函数()＝－在(－∞，)上单调递减．()若“∧綈”为真命题，求实数的取值范围；()设关于的不等式(－)(－＋)＜的解集为，命题为真命题时，的取值集合为.若∩＝，求实数的取值范围．解：()若为真命题，则＋＋＞的解集为，则＞且－＜，解得＞.若为真命题，则≥，即≥.因为“∧綈”为真命题，所以为真命题且为假命题，所以实数的取值范围是()．()解不等式(－)(－＋)＜，得－＜＜，即＝(－，)．由()知，＝(，＋∞)．因为∩＝，则⊆，所以－≥，即≥.故实数的取值范围为[，＋∞).．设：实数满足－＋＜(其中＞)，：实数满足＜≤.()若＝，且∧为真，求实数的取值范围；()若綈是綈的必要不充分条件，求实数的取值范围．解：()当＝时，－＋＜，解得＜＜，即为真时，实数的取值范围是＜＜.若∧为真，则真且真，所以实数的取值范围是()．()綈是綈的必要不充分条件，即是的必要不充分条件，设＝{()}，＝{()}，则，由－＋＜得(－)(－)＜，因为＞，所以＝()，又＝(]，则≤且＞，解得＜≤.所以实数的取值范围为.．(·启东检测)已知：∃∈(，＋∞)，－≤；：函数＝－＋有两个零点．()若∨为假命题，求实数的取值范围；()若∨为真命题，∧为假命题，求实数的取值范围．解：若为真，令()＝－，问题转化为求函数()的最小值．′()＝－＝，令′()＝，解得＝，函数()＝－在(，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，故()＝()＝，故≥.若为真，则Δ＝－＞，解得＞或＜－.()若∨为假命题，则，均为假命题，即＜且－≤≤，所以实数的取值范围为[－)．()若∨为真命题，∧为假命题，则，一真一假．若真假，则实数满足(\\(≥，,－≤≤，))即≤≤；若假真，则实数满足(\\(＜，＞或＜－，))即＜－.综上所述，实数的取值范围为(－∞，－)∪[]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校．(·姜堰中学检测)设：函数()＝－－在区间[－]上单调递减；：方程＋＝表示焦点在轴上的椭圆．如果∨为真命题，∧为假命题，则实数的取值范围是．解析：若为真，由函数()＝－－在区间[－]上单调递减，得′()＝－≤在区间[－]上恒成立，即≥，当－≤≤时，≤，则≥；若为真，由方程＋＝表示焦点在轴上的椭圆，得(\\(－＞，－＞，－＞－，))解得＜＜.如果∨为真命题，∧为假命题，则，一真一假，若真假，则(\\(≥，≥或≤，))得≥；若假真，则(\\(＜，＜＜，))得＜＜，综上，实数的取值范围是()∪[，＋∞)．答案：()∪[，＋∞)．(·宿迁中学月考)已知命题：∃∈，＋≤，：∀∈，－＋＞，若∨为假命题，则实数的取值范围是．解析：因为∨为假命题，所以，都是假命题．由：∃∈，＋≤为假命题，得綈：∀∈，＋＞为真命题，所以≥.由：∀∈，－＋＞为假命题，得綈：∃∈，－＋≤为真命题，所以Δ＝(－)－≥，解得≤－或≥.综上，可得≥.答案：[，＋∞)命题点一集合及其运算.(·江苏高考)已知集合＝{}，＝{，＋}．若∩＝{}，则实数的值为．解析：因为＋≥，所以由∩＝{}，得＝，即实数的值为.答案：．(·江苏高考)已知集合＝{－}，＝{－＜＜}，则∩＝.解析：在集合中满足集合中条件的元素有－两个，故∩＝{－}．答案：{－}．(·江苏高考)已知集合＝{}，＝{}，则集合∪中元素的个数为．解析：因为＝{}，＝{}，所以∪＝{}，所以∪中元素个数为.答案：．(·浙江高考改编)已知全集＝{}，＝{}，则∁＝.解析：∵＝{}，＝{}，∴∁＝{}．答案：{}．(·北京高考改编)已知集合＝{＜}，＝{－，}，则∩＝.解析：∵＝{＜}＝{－＜＜}，＝{－}，∴∩＝{}．答案：{}．(·全国卷Ⅰ改编)已知集合＝{}，＝{－，－}，则∩＝.解析：∩＝{}∩{－，－}＝{}．答案：{}命题点二充分条件与必要条件．(·浙江高考改编)已知等差数列{}的公差为，前项和为，则“＞”是“＋＞”的条件．解析：因为{}为等差数列，所以＋＝＋＋＋＝＋＝＋，＋－＝，所以＞⇔＋＞.答案：充要．(·天津高考改编)设∈，则“＞”是“＞”的条件．解析：由＞⇒＞⇒＞，反之不成立，故“＞”是“＞”的充分不必要条件．答案：充分不必要．(·天津高考改编)设∈，则“＜”是“＜”的条件．解析：由＜，得＜＜，则＜＜，即“＜”⇒“＜”；由＜，得＜，当≤时，≥，即“＜”“＜”．所以“＜”是“＜”的充分不必要条件．答案：充分不必要．(·上海高考)设∈，则“＞”是“＞”的条件．解析：由＞可得＞，由＞可得＞或＜－.所以“＞”是“＞”的充分不必要条件．答案：充分不必要．(·天津高考改编)设{}是首项为正数的等比数列，公比为，则“＜”是“对任意的正整数，－＋＜”的条件．解析：设数列{}的首项为，则－＋＝－＋－＝－(＋)＜，即＜－，故＜是＜－的必要不充分条件．答案：必要不充分命题点三命题及其真假性．(·全国卷)下面是关于复数＝的四个命题：：＝，：＝，：的共轭复数为＋，：的虚部为－.其中的真命题为．解析：因为复数＝＝－－，所以＝，＝(－－)＝(＋)＝，的共轭复数为－＋，的虚部为－，综上可知，是真命题．答案：，．(·山东高考改编)设∈，命题“若＞，则方程＋－＝有实根”的逆否命题是．解析：根据逆否命题的定义，命题“若＞，则方程＋－＝有实根”的逆否命题是“若方程＋－＝没有实根，则≤”．答案：若方程＋－＝没有实根，则≤命题点四全称量词和存在量词．(·全国卷Ⅰ改编)设命题：∃∈，＞，则綈为．解析：因为“∃∈，()”的否定是“∀∈，綈()”，所以命题“∃∈，＞”的否定是“∀∈，≤”．答案：∀∈，≤．(·浙江高考改编)命题“∀∈，∃∈*，使得≥”的否定形式是．解析：由于存在性命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是存在性命题，所以“∀∈，∃∈*，使得≥”的否定形式为“∃∈，∀∈*，使得＜”．答案：∃∈，∀∈*，使得＜．(·山东高考)若“∀∈，≤”是真命题，则实数的最小值为．解析：由题意，原命题等价于≤在区间上恒成立，即＝在上的最大值小于或等于，又＝在上的最大值为，所以≥，即的最小值为.答案：。

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．(2)命题p∧q、p∨q、﹁p的真假判断(1)全称量词和存在量词导师提醒1．明晰一种关系逻辑联结词与集合的关系：“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．2．巧用一个口诀含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p ∨q →见真即真，p ∧q →见假即假，p 与﹁p →真假相反．3．记准两类否定(1) ﹁(p ∧q )⇔( ﹁p )∨(﹁q )． (2) ﹁(p ∨q )⇔( ﹁p )∧(﹁q )． 4．辨明一组关系判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)命题p ∧q 为假命题，则命题p 、q 都是假命题．( ) (2)命题p 和﹁p 不可能都是真命题．( )(3)若命题p 、q 至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题．( ) (4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( ) (5)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，﹁p (x )的真假性相反．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√已知命题p ：∃x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使得cos x ≤x ，则綈p 为( )A ．∃x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使得cos x ＞xB ．∃x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使得cos x ＜xC ．∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，总有cos x ＞xD ．∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，总有cos x ≤x解析：选C.原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，而“cos x ≤x ”的否定是“cos x ＞x ”．故选C.若命题p ：对任意的x ∈R ，都有x 3－x 2＋1＜0，则綈p 为( ) A ．不存在x ∈R ，使得x 3－x 2＋1＜0 B ．存在x ∈R ，使得x 3－x 2＋1＜0 C ．对任意的x ∈R ，都有x 3－x 2＋1≥0 D ．存在x ∈R ，使得x 3－x 2＋1≥0解析：选D.命题p ：对任意的x ∈R ，都有x 3－x 2＋1＜0的否定﹁p ：存在x ∈R ，使得x 3－x 2＋1≥0.故选D.下列命题中的假命题是( ) A ．∃x ∈R ，log 2x ＝0 B ．∀x ∈R ，x 2＞0 C ．∃x ∈R ，cos x ＝1D ．∀x ∈R ，2x ＞0解析：选B.对于A ，令x ＝1，成立；对于B ，x ＝0时，不成立；对于C ，令x ＝0，成立；对于D ，根据指数函数的性质，成立．故选B.已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ；命题q ：若1x ＞1y ，则x ＜y .在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是________．(填序号)解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③﹁q 为真命题，则p ∧(﹁q )为真命题；④﹁p 为假命题，则(﹁p )∨q 为假命题．答案：②③全称命题与特称命题(多维探究)角度一 全称命题、特称命题的否定(1)(2019·西安模拟)命题“∀x ＞0，xx －1＞0”的否定是( )A ．∃x ＜0，xx －1≤0B ．∃x ＞0，0≤x ≤1C ．∀x ＞0，xx －1≤0D ．∀x ＜0，0≤x ≤1(2)已知命题p ：∃m ∈R ，f (x )＝2x －mx 是增函数，则綈p 为 ( ) A ．∃m ∈R ，f (x )＝2x －mx 是减函数 B ．∀m ∈R ，f (x )＝2x －mx 是减函数 C ．∃m ∈R ，f (x )＝2x －mx 不是增函数 D ．∀m ∈R ，f (x )＝2x －mx 不是增函数 【解析】 (1)因为x x －1＞0，所以x ＜0或x ＞1，所以x x －1＞0的否定是0≤x ≤1，所以命题的否定是∃x ＞0，0≤x ≤1，故选B.(2)由特称命题的否定可得﹁p 为“∀m ∈R ，f (x )＝2x －mx 不是增函数”． 【答案】 (1)B (2)D角度二 全称命题、特称命题的真假判断(1)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，x 2≥0 B ．∀x ∈R ，2x －1＞0C ．∃x 0∈R ，lg x 0＜1D ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 (2)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，e x ＞0 B ．∀x ∈N ，x 2＞0 C ．∃x 0∈R ，ln x 0＜1D ．∃x 0∈N *，sinπ2x 0＝1 【解析】 (1)A 显然正确；由指数函数的性质知2x －1＞0恒成立，所以B 正确；当0＜x ＜10时，lg x ＜1，所以C 正确；因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以－2≤sin x ＋cosx ≤2，所以D 错误．(2)对于B.当x ＝0时，x 2＝0，因此B 中命题是假命题． 【答案】 (1)D (2)B(1)对全称命题与特称命题进行否定的方法①改变量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改变；②否定结论：对原命题的结论进行否定． (2)全称命题与特称命题的真假判断方法①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p (x )成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p (x 0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)；②要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则，这一特称命题就是假命题．[提醒] 因为命题p 与﹁p 的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．1．命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )＞n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)＞n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)＞n 0解析：选D.“f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定为“f (n )∉N *或f (n )＞n ”，全称命题的否定为特称命题，故选D.2．下列命题是假命题的是( )A ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋cos βB ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃x 0∈R ，使x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且为常数)D ．∀a ＞0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点解析：选B.取α＝π2，β＝－π4，cos(α＋β)＝cos α＋cos β，A 正确；取φ＝π2，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 是偶函数，B 错误；对于三次函数y ＝f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，当x →－∞时，y →－∞，当x →＋∞时，y →＋∞，又f (x )在R 上为连续函数，故∃x 0∈R ，使x 30＋ax 2＋bx 0＋c ＝0，C 正确；当f (x )＝0时，ln 2x ＋ln x －a ＝0，则有a ＝ln 2x ＋ln x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋122－14≥－14，所以∀a ＞0，函数f (x )＝ln 2 x ＋ln x －a 有零点，D 正确，综上可知，选B.含有逻辑联结词的命题的真假判断(师生共研)(1)(2019·石家庄模拟)命题p ：若sin x ＞sin y ，则x ＞y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．qD ．﹁p(2)给定下列命题：p 1：函数y ＝a x ＋x (a ＞0，且a ≠1)在R 上为增函数； p 2：∃a ，b ∈R ，a 2－ab ＋b 2＜0；p 3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2k π＋β(k ∈Z )． 则下列命题中的真命题为( ) A ．p 1∨p 2 B ．p 2∧p 3 C ．p 1∨(﹁p 3)D ．(﹁p 2)∧p 3 【解析】 (1)取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 不正确；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q正确，故﹁p 为真命题，p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题．(2)对于p 1：令y ＝f (x )，当a ＝12时，f (0)＝⎝⎛⎭⎫120＋0＝1，f (－1)＝⎝⎛⎭⎫12－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2：a 2－ab ＋b 2＝⎝⎛⎭⎫a －12b 2＋34b 2≥0，所以p 2为假命题；对于p 3：由cos α＝cos β，可得α＝2k π±β(k ∈Z )，所以p 3是真命题，所以(綈p 2)∧p 3为真命题．【答案】 (1)B(2)D（1）判断含有逻辑联结词命题真假的关键及步骤①判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义；②判断命题真假的步骤：确定命题的构成形式―→判断其中简单命题的真假―→判断复合命题的真假(2)含逻辑联结词命题真假的等价关系①p ∨q 真⇔p ，q 至少一个真⇔(﹁p )∧(﹁q )假； ②p ∨q 假⇔p ，q 均假⇔(﹁p )∧(﹁q )真； ③p ∧q 真⇔p ，q 均真⇔(﹁p )∨(﹁q )假； ④p ∧q 假⇔p ，q 至少一个假⇔(﹁p )∨(﹁q )真； ⑤綈p 真⇔p 假；﹁p 假⇔p 真．1．命题p ：函数y ＝log 2(x －2)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝13x ＋1的值域为(0，1)．下列命题是真命题的为( )A ．p ∧qB ．p ∨qC ．p ∧(﹁q )D ．﹁q解析：选B.由于y ＝log 2(x －2)在(2，＋∞)上是增函数， 所以命题p 是假命题．由3x ＞0，得3x ＋1＞1，所以0＜13x ＋1＜1，所以函数y ＝13x ＋1的值域为(0，1)，故命题q 为真命题．所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，p ∧(﹁q )为假命题，﹁q 为假命题． 2．已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(﹁q )”是假命题；③命题“(﹁p )∨q ”是真命题；④命题“(﹁p )∨(﹁q )”是假命题，其中正确的是________(把所有正确结论的序号都填上)．解析：因为对任意实数x ，|sin x |≤1，而sin x 0＝52>1，所以p 为假；因为x 2＋x ＋1＝0的判别式Δ<0，所以q 为真．故②③正确． 答案：②③由命题的真假确定参数的取值范围(典例迁移)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围．【解】 依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4＜0，－2＜m ＜2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)．[迁移探究1] (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为真，求实数m 的取值范围． 解：依题意知p ，q 均为真命题，当p 是真命题时，有m ＜0； 当q 是真命题时，有－2＜m ＜2，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－2＜m ＜2，可得－2＜m ＜0. [迁移探究2] (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数m 的取值范围． 解：若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则p ，q 一真一假．当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2＜m ＜2，所以0≤m ＜2.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)．根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题转化为存在性问题． (2)含逻辑联结词问题：①求出每个命题是真命题时参数的取值范围； ②根据题意确定每个命题的真假；③由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解．1．(2019·福建三校联考)若命题“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1＜0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：命题“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1＜0”是假命题，即“∀x ∈R ，3x 2＋2ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.答案：[－3，3]2．已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a ＜－12；若p 假q 真，则－4＜a ＜4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．答案：(－∞，－12)∪(－4，4)与逻辑联结词有关的参数求解问题中的核心素养已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝log c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，求实数c 的取值范围． 【解】 因为函数y ＝log c x 在R 上单调递减，所以0＜c ＜1，即p ：0＜c ＜1. 因为c ＞0且c ≠1，所以綈p ：c ＞1.又因为f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，所以c ≤12.即q ：0＜c ≤12，因为c ＞0且c ≠1，所以綈q ：c ＞12且c ≠1.又因为“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，所以p 与q 一真一假．①当p 真，q 假时，{c |0＜c ＜1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c ＞12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12＜c ＜1.②当p 假，q 真时，{c |c ＞1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0＜c ≤12＝∅.综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12＜c ＜1.解决本题的关键是将题目条件“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真转化为命题p 和q 一真一假，充分体现了“逻辑推理”的核心素养．当a ＞0时，设命题P ：函数f (x )＝x ＋ax 在区间(1，2)上单调递增；命题Q ：不等式x 2＋ax ＋1＞0对任意x ∈R 都成立．若“P 且Q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．0＜a ≤1B ．1≤a ＜2C ．0≤a ≤2D ．0＜a ＜1或a ≥2解析：选A.因为函数f (x )＝x ＋ax 在区间(1，2)上单调递增，所以f ′(x )≥0在区间(1，2)上恒成立， 所以1－ax 2≥0在区间(1，2)上恒成立，即a ≤x 2在区间(1，2)上恒成立， 所以a ≤1.且a ＞0，①又不等式x 2＋ax ＋1＞0对任意x ∈R 都成立， 所以Δ＝a 2－4＜0， 所以－2＜a ＜2，② 若“P 且Q ”是真命题， 则P 与Q 都是真命题， 故由①②的交集得：0＜a ≤1， 则实数a 的取值范围是0＜a ≤1. 故选A.[基础题组练]1．已知命题p ：所有的指数函数都是单调函数，则綈p 为( ) A ．所有的指数函数都不是单调函数 B ．所有的单调函数都不是指数函数 C ．存在一个指数函数，它不是单调函数 D ．存在一个单调函数，它不是指数函数解析：选C.命题p ：所有的指数函数都是单调函数，则綈p ：存在一个指数函数，它不是单调函数．2．已知命题p ：∃x 0∈R ，log 2(3x 0＋1)≤0，则( ) A ．p 是假命题；﹁p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 B ．p 是假命题；﹁p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)＞0 C ．p 是真命题；﹁p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；﹁p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)＞0解析：选B.因为3x ＞0，所以3x ＋1＞1，则log 2(3x ＋1)＞0，所以p 是假命题，﹁p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)＞0.故应选B.3．(2019·玉溪模拟)有四个关于三角函数的命题： P 1：∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2； P 2：∃x ∈R ，sin 2x ＝sin x ； P 3：∀x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，1＋cos 2x2＝cos x ； P 4：∀x ∈(0，π)，sin x ＞cos x . 其中真命题是( ) A ．P 1，P 4 B ．P 2，P 3 C ．P 3，P 4D ．P 2，P 4解析：选B.因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以sin x ＋cos x 的最大值为2，可得不存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2成立，得命题P 1是假命题；因为存在x ＝k π(k ∈Z )，使sin 2x ＝sin x 成立，故命题P 2是真命题； 因为1＋cos 2x 2＝cos 2x ，所以1＋cos 2x 2＝|cos x |，结合x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2得cos x ≥0，由此可得1＋cos 2x2＝cos x ，得命题P 3是真命题； 因为当x ＝π4时，sin x ＝cos x ＝22，不满足sin x ＞cos x ，所以存在x ∈(0，π)，使sin x ＞cos x 不成立，故命题P 4是假命题． 故选B.4．“p ∨q 为真”是“﹁p 为假”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为﹁p 为假，所以p 为真，所以“p ∨q 为真”，反之不成立，可能q 为真，p 为假，﹁p 为真．所以“p ∨q 为真”是“﹁p 为假”的必要不充分条件．故选B.5．已知命题p ：若a ＞|b |，则a 2＞b 2；命题q ：若x 2＝4，则x ＝2.下列说法正确的是( ) A ．“p ∨q ”为真命题 B ．“p ∧q ”为真命题 C ．“﹁p ”为真命题D ．“﹁q ”为假命题解析：选A.由a ＞|b |≥0，得a 2＞b 2，所以命题p 为真命题．因为x 2＝4⇔x ＝±2，所以命题q 为假命题．所以“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，“﹁p ”为假命题，“﹁q ”为真命题．综上所述，可知选A.6．(2019·安徽芜湖、马鞍山联考)已知命题p ：∃x ∈R ，x －2＞lg x ，命题q ：∀x ∈R ，e x＞x ，则( )A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(﹁q )是真命题D ．命题p ∨(﹁q )是假命题解析：选B.显然，当x ＝10时，x －2＞lg x 成立，所以命题p 为真命题．设f (x )＝e x －x ，则f ′(x )＝e x －1，当x ＞0时，f ′(x )＞0，当x ＜0时，f ′(x )＜0，所以f (x )≥f (0)＝1＞0，所以∀x ∈R ，e x ＞x ，所以命题q 为真命题．故命题p ∧q 是真命题，故选B.7．(2019·惠州第一次调研)设命题p ：若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )．命题q ：f (x )＝x |x |在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．则下列判断错误的是( )A ．p 为假命题B ．﹁q 为真命题C ．p ∨q 为真命题D ．p ∧q 为假命题解析：选C.函数f (x )不是偶函数，仍然可∃x ，使得f (－x )＝f (x )，p 为假命题；f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2（x ≥0），－x 2（x ＜0）在R 上是增函数，q 为假命题．所以p ∨q 为假命题，故选C.8．(2019·辽宁五校协作体联考)已知命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[0，4]C ．[4，＋∞)D ．(0，4)解析：选D.因为命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，所以其否定“∀x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14＞0”是真命题，则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4，故选D.9．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x ＜3x ；q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件．下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧(綈q )C ．(﹁p )∧qD ．p ∧(﹁q )解析：选B.由20＝30知，p 为假命题；命题q ：“x ＞1”不能推出“x ＞2”，但是“x ＞2”能推出“x ＞1”，所以“x ＞1”是“x ＞2”的必要不充分条件，故q 为假命题．所以(﹁p )∧(﹁q )为真命题．故选B.10．(2019·湖北荆州调研)已知命题p ：方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根；命题q ：函数f (x )＝x ＋4x 的最小值为4.给出下列命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(﹁q )；④(﹁p )∨(﹁q )，则其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.由于Δ＝4a 2＋4＞0，所以方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根，即命题p 是真命题；当x ＜0时，f (x )＝x ＋4x 的值为负值，故命题q 为假命题．所以p ∨q ，p ∧(﹁q )，(﹁p )∨(﹁q )是真命题，故选C.11．(2019·沈阳期中)有下列四个命题： (1)命题p ：∀x ∈R ，x 2＞0为真命题； (2)设p ：xx ＋2＞0，q ：x 2＋x －2＞0，则p 是q 的充分不必要条件； (3)命题：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，其否命题是假命题； (4)非零向量a 与b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为30°. 其中真命题有( ) A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：选C.对于(1)，∀x ∈R ，x 2≥0，故(1)为假命题；对于(2)，设p ：xx ＋2＞0，q ：x 2＋x －2＞0，可得p ∶x ＞0或x ＜－2；q ：x ＞1或x ＜－2.由p 推不到q ，但由q 推得p ，则p 是q 的必要不充分条件，故(2)为假命题；对于(3)，命题：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，其否命题为：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0， 其否命题是真命题，故(3)为假命题；对于(4)，非零向量a 与b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，可设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b ，可得△OAB 为等边三角形，四边形OACB 为菱形，OC 平分∠AOB ，可得a 与a ＋b 的夹角为30°，故(4)为真命题．故选C.12．(2019·保定模拟)有下面四个命题： p 1：若x ＞1，则0.3x ＞0.3； p 2：若x ＝log 23，则⎝⎛⎭⎫12x ＋1＝16； p 3：若sin x ＞33，则cos 2x ＜13； p 4：若f (x )＝tanπx3，则f (x )＝f (x ＋3)． 其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C.对于p 1，由y ＝0.3x 在R 上递减，且x ＞1，可得0.3x ＜0.3，故p 1是假命题； 对于p 2，若x ＝log 23，可得2x＝3，⎝⎛⎭⎫12x ＋1＝12×13＝16，故p 2是真命题； 对于p 3，若sin x ＞33，可得cos 2x ＝1－2sin 2x ＜1－2×13＝13，故p 3是真命题； 对于p 4，若f (x )＝tan πx3，可得f (x )的最小正周期为3，即有f (x ＋3)＝f (x )，故p 4是真命题．则其中真命题的个数为3.故选C.[综合题组练]1．(创新型)在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p 是“第一次射击击中目标”，命题q 是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是( )A ．(﹁p )∨(﹁q )为真命题B ．p ∨(﹁q )为真命题C ．(﹁p )∧(﹁q )为真命题D ．p ∨q 为真命题解析：选A.命题p 是“第一次射击击中目标”，命题q 是“第二次射击击中目标”，则命题﹁p 是“第一次射击没击中目标”，命题﹁q 是“第二次射击没击中目标”，故命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是(﹁p )∨(﹁q )为真命题，故选A.2．(2019·河北武邑中学模拟)给出下列四个命题： ①若x ∈A ∩B ，则x ∈A 或x ∈B ； ②∀x ∈(2，＋∞)，x 2＞2x ；③若a ，b 是实数，则“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的充分不必要条件；④“∃x 0∈R ，x 20＋2＞3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2≤3x ”．其中真命题的序号是________．解析：①若x ∈A ∩B ，则x ∈A 且x ∈B .所以①为假命题； ②当x ＝4时，x 2＝2x ，所以②为假命题；③取a ＝0，b ＝－1，则a ＞b ，但a 2＜b 2；取a ＝－2，b ＝－1，则a 2＞b 2，但a ＜b ，故若a ，b 是实数，则“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的既不充分也不必要条件，所以③为假命题；④“∃x 0∈R ，x 20＋2＞3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2≤3x ”，所以④为真命题．答案：④3．(应用型)若∃x 0∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1＜0成立是假命题，则实数λ的取值范围是________．解析：因为∃x 0∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1＜0成立是假命题，所以∀x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得2x 2－λx ＋1≥0恒成立是真命题，即∀x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得λ≤2x ＋1x 恒成立是真命题，令f (x )＝2x ＋1x ，则f ′(x )＝2－1x 2，当x ∈⎣⎡⎭⎫12，22时，f ′(x )＜0，当x ∈⎝⎛⎦⎤22，2时，f ′(x )＞0，所以f (x )≥f ⎝⎛⎭⎫22＝22，则λ≤2 2.答案：(－∞，22]4．(应用型)已知命题p ：∀x ∈R ，不等式ax 2＋22x ＋1＜0的解集为空集；命题q ：f (x )＝(2a －5)x 在R 上满足f ′(x )＜0，若命题p ∧(綈q )是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：因为∀x ∈R ，不等式ax 2＋22x ＋1＜0的解集为空集，所以当a ＝0时，不满足题意；当a ≠0时，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝（22）2－4a ≤0，解得a ≥2.由f (x )＝(2a －5)x 在R 上满足f ′(x )＜0，可得函数f (x )在R 上单调递减，则0＜2a －5＜1，解得52＜a ＜3.若命题p ∧(綈q )是真命题，则p 为真命题，q 为假命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a ≤52或a ≥3，解得2≤a ≤52或a ≥3，则实数a的取值范围是⎣⎡⎦⎤2，52∪[3，＋∞)． 答案：⎣⎡⎦⎤2，52∪[3，＋∞)。

第三讲逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理·双基自测知识点一简单的逻辑联结词(1)用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，(2)用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，(3)对一个命题p的否定记作¬ p，(4)命题p∧q，p∨q，¬ p的真假判断真值表知识点二全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)．2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．3．含有一个量词的命题的否定(1)(2)p∨q的否定是(¬p)∧(¬ q)；p∧q的否定是(¬p)∨(¬ q)．重要结论1．逻辑联结词与集合的关系．(1)“或”与集合的“并”密切相关，集合的并集是用“或”来定义的，命题“p∨q”为真有三个含义：只有p成立，只有q成立，p、q同时成立；(2)“且”与集合的“交”密切相关，集合的交集是用“且”来定义的，命题p∧q为真表示p、q同时成立；(3)“非”与集合中的补集相类似．2．常用短语的否定词题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“2023≥2022”是真命题．( √)(2)命题p和¬ p不可能都是真命题．( √)(3)“全等三角形的面积相等”是特称命题．( ×)(4)命题¬(p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题．( √)题组二走进教材2．(选修2－1P23T2改编)下列命题中的假命题是( C )A．∃x0∈R，lg x0＝1 B．∃x0∈R，sin x0＝0C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，2x>0[解析]对于C，任意x∈R，x3∈R，故选C．3．(选修2－1P18A1(3)，改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题¬p，¬q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( B )A．1 B．2C．3 D．4[解析]命题p是真命题，q是真命题，因此命题¬p，¬q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题，故选B．题组三走向高考4．(2020·课标Ⅱ，5分)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是①③④．①p1∧p4②p1∧p2③(¬ p 2)∨p 3 ④(¬ p 3)∨(¬ p 4)[解析] 对于命题p 1，两两相交且不过同一点的三条直线的交点记为A 、B 、C ，易知A 、B 、C 三点不共线，所以可确定一个平面，记为α，由A ∈α，B∈α，可得直线AB ⊂α，同理，另外两条直线也在平面α内，所以p 1是真命题；对于命题p 2，当三点共线时，过这三点有无数个平面，所以p 2是假命题，从而¬ p 2是真命题； 对于命题p 3，空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3是假命题，从而¬ p 3是真命题；对于命题p 4，由直线与平面垂直的性质定理可知，是真命题，从而¬ p 4是假命题．综上所述，p 1∧p 4是真命题，p 1∧p 2是假命题，(¬ p 2)∨p 3是真命题，(¬ p 3)∨(¬ p 4)是真命题，所以答案为①③④.5．(2016·浙江，5分)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n≥x 2”的否定形式是( D ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n<x 2B ．∀x ∈R ，∀x ∈N *，使得n<x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n<x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n<x 2[解析] 根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D ．6．(2015·山东，5分)若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为1．[解析] 由已知可得m≥tan x (x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4)恒成立．设f(x)＝tan x (x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4)，显然该函数为增函数，故f(x)的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tan π4＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即实数m 的最小值为1.考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点一 含逻辑联结词的命题及其真假判断——自主练透例1 (1)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( A )A ．(¬ p)∨(¬ q)B ．p ∧(¬ q)C ．(¬ p)∧(¬ q)D ．p ∨q(2)(多选)命题p ：若sin x>sin y ，则x>y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy.下列命题为真命题的是( ACD ) A ．p 或q B ．p 且q C ．qD ．¬ p(3)已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：①p ∧q 为真；②p∨q 为假；③p∨q 为真；④(¬ p)∨(¬ q)为假． 其中，正确的是②．(填序号)[解析] (1)命题p 是“甲降落在指定范围”，则¬ p 是“甲没降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则¬ q 是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(¬ p)∨(¬ q)．(2)取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y)2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故¬ p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题． (3)命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．考点二 含有一个量词的命题——多维探究 角度1 全称命题、特称命题的真假例2 (多选题)( 2021·山东济宁期末)下列命题中真命题是( ACD ) A ．∀x ∈R ，2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x<1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2[解析] 根据指数函数的值域知A 是真命题；取x ＝1，计算知(x －1)2＝0，故B 是假命题；取x ＝1，计算知lg x ＝0<1，故C 是真命题；由y ＝tan x 的值域为R.知D 是真命题．故选ACD ．角度2 含一个量词的命题的否定例3 (1)已知命题p ：“∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1≤0”，则¬ p 为( C ) A ．∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1≥0 B ．∃x 0∈R ，ex 0－x 0－1>0 C ．∀x ∈R ，e x－x －1>0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0(2)(2021·陕西部分学校摸底)命题“∀x ∈R ，xx －1≥0”的否定是( D )A ．∃x ∈R ，x 0x 0－1<0B ．∃x ∈R ，0<x 0<1C ．∀x ∈R ，xx －1≤0D ．∃x ∈R ，0<x 0≤1[解析] (1)根据全称命题与特称命题的否定关系，可得¬ p 为“∀x ∈R ，e x－x －1>0”，故选C ． (2)∀x ∈R ，x x －1≥0的否定是∃x 0∈R ，使xx －1不大于等于0，包括小于零和无意义，即∃x 0∈R ，0<x 0<1或x 0＝1，故选D ．名师点拨 MING SHI DIAN BO 全(特)称命题真假的判断方法全称命题特称命题真假 真假真假法一 证明所有对象使命题为真存在一个对象使命题为假存在一个对象使命题为真证明所有对象使命题为假法二否定为假否定为真否定为假否定为真注：当判断原命题的真假有困难时，可通过判断它的逆否命题的真假来实现． 角度3 含参命题中参数的取值范围例 4 已知f(x)＝ln(x 2＋1)，g(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若对于∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数m 的取值范围是( A )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋ ∞B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ D ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13 [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)min ＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min ＝g(2)＝14－m ，由f(x)min ≥g(x)min 得0≥14－m ，所以m≥14.[引申1]把本例中“∃x 2∈[1，2]”改为：“∀x 2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是m≥12． [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)min ＝f(0)＝0， 当x∈[1，2]时，g(x)max ＝g(1)＝12－m ，由f(x)min ≥g(x)max 得0≥12－m ，所以m≥12.[引申2]把本例中，∀x 1∈[0，3]改为∃x 1∈[0，3]其他条件不变，则实数m 的取值范围是m≥14－ln_10．[解析] 当x∈[0，3]时，f(x)max ＝f(3)＝ln 10， 当x∈[1，2]时，g(x)min ＝g(2)＝14－m ，由f(x)max ≥g(x)min 得ln 10≥14－m ，所以m≥14－ln 10.答案：m≥14－ln 10[引申3]把本例中，∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]改为∃x 1∈[0，3]，∀x 2∈[1，2]，其他条件不变，则实数m 的取值范围是m ≥12－ln 10． [解析] 当x∈[0，3]时，f(x)max ＝f(3)＝ln 10， 当x∈[1，2]时，g(x)max ＝g(1)＝12－m ，由f(x)max ≥g(x)max ，得ln 10≥12－m ，所以m≥12－ln 10.答案：m≥12－ln 10名师点拨 MING SHI DIAN BO根据复合命题的真假求参数范围的步骤(1)先求出每个简单命题为真命题时参数的取值范围．(2)再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况(有时不一定只有一种情况)． (3)最后由(2)的结论求出满足条件的参数取值范围． 〔变式训练1〕(1)(角度1)(多选题)(2020·吉林长春外国语学校高三上期中改编)下列命题中，假命题是( ABD ) A ．∃x 0∈R ，sin 2 x 02＋cos 2 x 02＝12B ．∀x ∈(0，π)，sin x>cos xC ．∀x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>x D ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1(2)(角度2)已知命题p ：∃x 0∈R ，log 2(3x 0＋1)≤0，则( B ) A ．p 是假命题；¬ p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0 B ．p 是假命题；¬ p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 C ．p 是真命题；¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0(3)(角度3)已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(¬ p)∧q”是真命题，则实数a 的取值范围是( C )A ．(－∞，－2)∪{1}B ．(－∞，－2]∪[1，2]C ．(1，＋∞)D ．[－2，1](4)(角度3)已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋a 和g(x)＝2x ＋x ＋1，对∀x 1∈[－1，＋∞)，∃x 2∈R 使g(x 1)＝f(x 2)成立，则实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．[解析] (1)对于A ，由同角三角函数的平方关系，我们知道∀x ∈R ，sin 2 x 2＋cos 2 x2＝1，所以A 为假命题；对于B ，取特殊值，当x ＝π4时，sin x ＝cos x ＝22，所以B 为假命题；对于C ，一元二次方程根的判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以原方程没有实数根，所以C 为真命题；对于D ，判别式Δ＝1－4＝－3<0，所以D 错误．故选A 、B 、D ．(2)∵3x>0，∴3x＋1>1，则log 2(3x＋1)>0，∴p 是假命题，¬ p：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0.故选B ． (3)命题p 为真命题时a≤1；命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”为真命题，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，故Δ＝4a 2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.又(¬ p)∧q 为真命题，即¬ p 真且q 真，所以a>1，即a 的取值范围为(1，＋∞)．故选C ．(4)因为f(x)＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1， 所以f(x)∈[a－1，＋∞)．因为g(x)＝2x ＋x ＋1在[－1，＋∞)上单调递增， 所以g(x)∈[－2，＋∞)．由题意得a －1≤－2， 所以a≤－1，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG简易逻辑的综合应用例5 (2019·全国卷Ⅱ，5分)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( A ) A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙[解析] 依题意，若甲预测正确，则乙、丙均预测错误，此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，此时丙预测也正确，这与题意相矛盾；若丙预测正确，则甲预测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾．综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙，选A ．名师点拨 MING SHI DIAN BO在一些逻辑问题中，当字面上并未出现“或”“且”“非”字样时，应从语句的陈述中搞清含义，并根据题目进行逻辑分析，找出各个命题之间的内在联系，从而解决问题．〔变式训练2〕(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( D )A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩[解析]由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D．。

2023年高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”考试要求 1.了解逻辑联结词、“且”、“或”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1.简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫作逻辑联结词.(2)命题p且q，p或q，非p的真假判断p q p且q p或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.3.全称命题和特称命题名称全称命题特称命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记任意x∈M，p(x)存在x0∈M，p(x0)否定存在x0∈M，非p(x0)任意x∈M，非p(x)1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p或q→见真即真，p且q→见假即假，p 与非p→真假相反.2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.3.“p或q”的否定是“(非p)且(非q)”，“p且q”的否定是“(非p)或(非q)”.4.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)命题“5>6或5>2”是假命题.()(2)命题非(p且q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题.()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(4)存在x0∈M，p(x0)与任意x∈M，非p(x)的真假性相反.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)错误.命题p或q中，p，q有一真则真.(2)错误.p且q是真命题，则p，q都是真命题.(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.2.(2021·全国乙卷)已知命题p：存在x∈R，sin x<1；命题q：任意x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是()A.p且qB.(非p)且qC.p且(非q)D.非(p或q)答案A解析由正弦函数的图象及性质可知，存在x∈R，使得sin x<1，所以命题p为真命题.对任意的x∈R，均有e|x|≥e0＝1成立，故命题q为真命题，所以命题p 且q为真命题，故选A.3.(2017·山东卷)已知命题p：任意x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是()A.p且qB.p且(非q)C.(非p)且qD.(非p)且(非q)答案B解析由已知得p真，q假，故非q真，所以p且(非q)真，故选B.4.(易错题)命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则非p是________.答案所有三角形都不是等腰三角形5.(易错题)命题“任意x∈R，ax2－ax＋1>0”为真命题，则实数a的取值范围为________.答案[0，4)解析①当a＝0时，1>0恒成立；②当a≠0a>0，Δ＝a2－4a<0，∴0<a<4.综上0≤a<4.6.(2021·合肥调研)能说明命题“任意x∈R且x≠0，x＋1x≥2”是假命题的x的值可以是________(写出一个即可).答案－1(任意负数)解析当x>0时，x＋1x≥2，当且仅当x＝1时取等号，当x<0时，x＋1x≤－2，当且仅当x＝－1时取等号，∴x的取值为负数即可，例如x＝－1.考点一含有逻辑联结词的命题1.(2021·成都调研)已知命题p：函数y＝2sin x＋sin x，x∈(0，π)的最小值为22；命题q：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0.下列命题为真命题的是()A.(非p)且qB.p或qC.p且(非q)D.(非p)且(非q)答案D解析命题p：函数y＝2sin x＋sin x，x∈(0，π)，由基本不等式成立的条件可知，y>22sin x·sin x＝22，等号取不到，所以命题p是假命题.命题q：取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，所以命题q是假命题.所以非p为真，非q为真.因此，只有(非p)且(非q)为真命题.2.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A.(非p)或(非q)B.p且(非q)C.(非p)且(非q)D.p或q答案A解析命题p是“甲降落在指定范围”，则非p是“甲没降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则非q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”.所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(非p)或(非q).3.(2022·洛阳质检)设a，b，c均为非零向量，已知命题p：a＝b是a·c＝b·c的必要不充分条件，命题q：x>1是|x|>1的充分不必要条件.则下列命题中为真命题的是()A.p且qB.p或qC.(非p)且(非q)D.p或(非q)答案B解析由a＝b⇒a·c＝b·c，但a·c＝b·c⇒/a＝b，故p为假命题.命题q：∵|x|>1，∴x>1或x<－1，∴由x>1⇒|x|>1，但|x|>1⇒/x>1，故q为真命题.故选B.4.(2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题的序号是________.①p1且p4②p1且p2③(非p2)或p3④(非p3)或(非p4)答案①③④解析p1是真命题，两两相交不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知p1为真命题；p2是假命题，因为空间三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；p3是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；p4是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线.由以上结论知非p2，非p3，非p4依次为真命题、真命题、假命题，从而①③④中命题为真命题，②中命题为假命题.感悟提升 1.“p或q”，“p且q”，“非p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p或q”“p且q”“非p”形式命题的真假.2.p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p与p的真假性相反.考点二全称量词与存在量词例1(1)(2021·江南十校联考)已知f(x)＝sin x－tan x，命题p：存在x0∈0，π2f(x0)<0，则()A.p是假命题，非p：任意x 0π2，f(x)≥0B.p是假命题，非p：存在x0∈0，π2f(x0)≥0C.p是真命题，非p：任意x 0，π2，f(x)≥0D.p是真命题，非p：存在x0∈0，π2f(x0)≥0(2)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是()A.任意x∈R，f(－x)≠f(x)B.任意x∈R，f(－x)≠－f(x)C.存在x0∈R，f(－x0)≠f(x0)D.存在x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)答案(1)C(2)C解析(1)当x π4，π2sin x<1，tan x>1.此时sin x－tan x<0，故命题p为真命题.由于命题p为特称命题，所以命题p 的否定为全称命题，则非p 为：任意x f (x )≥0.(2)∵定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，∴任意x ∈R ，f (－x )＝f (x )为假命题，∴存在x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)为真命题.感悟提升1.全称命题与特称命题的否定与一般命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.判定全称命题“任意x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可.训练1(1)设命题p ：所有正方形都是平行四边形，则非p 为()A.所有正方形都不是平行四边形B.有的平行四边形不是正方形C.有的正方形不是平行四边形D.不是正方形的四边形不是平行四边形(2)下列四个命题：p 1：存在x 0∈(0，＋∞)00；p 2：存在x 0∈(0，π)，sin x 0<cos x 0；p 3：任意x ∈R ，e x >x ＋1；p 4：任意x <log 13x .其中真命题是()A.p 1，p 3B.p 1，p 4C.p 2，p 3D.p 2，p 4答案(1)C(2)D解析(1)“所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即非p 为有的正方形不是平行四边形.(2)对于p 1，当x 0∈(0，＋∞)00成立，故p 1是假命题；对于p 2，当x0＝π6时，sin x0<cos x0，故p2为真命题；对于p3，当x＝0时，e x＝x＋1，故p3为假命题；对于p4，结合指数函数y＝12与对数函数y＝log13x0，13上的图象(图略)可以判断p4为真命题.考点三由命题的真假求参数例2(1)已知命题p：任意x∈[1，2]，x2－a≥0；q：存在x0∈R，x20＋2ax0＋2－a ＝0，若(非p)且q是真命题，则实数a的取值范围是________________.(2)(经典母题)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)12－m，若对任意x1∈[0，3]，存在x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________.答案(1)(1，＋∞)(2)14，＋∞解析(1)∵(非p)且q是真命题，∴p假q真.p：任意x∈[1，2]，x2－a≥0为假命题，∴存在x∈[1，2]，x2－a<0为真命题，即a>x2成立，∴a>1.q：存在x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0为真命题，所以Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，∴a≥1或a≤－2.综上，a>1.(2)当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝14－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥14－m，所以m≥14.迁移本例(2)中，若将“存在x2∈[1，2]”改为“任意x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________.答案12，＋∞解析当x∈[1，2]时，g(x)max＝g(1)＝12－m，对任意x1∈[0，3]，任意x2∈[1，2]使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)max，得0≥1 2－m，∴m≥1 2 .感悟提升 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.2.全称命题可转化为恒成立问题.3.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.训练2(2022·许昌质检)已知p：关于x的方程e x－a＝0在(－∞，0)上有解；q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是________.答案，12∪[1，＋∞)解析p真：a＝e x在(－∞，0)上有解，∴0<a<1.q真：ax2－x＋a>0在R上恒成立，当a＝0时，显然不成立；当a≠0>0，＝（－1）2－4a2<0，∴a>12.又p或q为真，p且q为假，∴p真q假或p假q真.当p真qa<1，≤12，∴0<a≤12，当p假q≤0或a≥1，>12，∴a≥1.∴0<a≤12或a≥1.1.(2021·成都诊断)已知命题p：对任意的x∈R，2x－x2≥1，则非p为()A.对任意的x∉R，2x－x2<1B.存在x∉R，2x－x2<1C.对任意的x∈R，2x－x2<1D.存在x∈R，2x－x2<1答案D解析p：任意x∈R，2x－x2≥1，∴非p：存在x∈R，2x－x2<1.2.“p且q是真命题”是“p或q是真命题”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A3.下列命题的否定是真命题的是()A.有些实数的绝对值是正数B.所有平行四边形都不是菱形C.任意两个等边三角形都是相似的D.3是方程x2－9＝0的一个根答案B4.命题“任意x∈R，f(x)·g(x)≠0”的否定是()A.任意x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0B.任意x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0C.存在x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0D.存在x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0答案D解析根据全称命题与特称命题的互为否定的关系可得：命题“任意x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是“存在x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0”.故选D.5.命题p：甲的数学成绩不低于100分，命题q：乙的数学成绩低于100分，则p 或(非q)表示()A.甲、乙两人的数学成绩都低于100分B.甲、乙两人至少有一人的数学成绩低于100分C.甲、乙两人的数学成绩都不低于100分D.甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分答案D解析由于命题q：乙的数学成绩低于100分，因此非q：乙的数学成绩不低于100分，所以p或(非q)表示甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分. 6.已知命题“存在x∈R，4x2＋(a－2)x＋14≤0”是假命题，则实数a的取值范围为()A.(－∞，0)B.[0，4]C.[4，＋∞)D.(0，4)答案D解析因为命题“存在x∈R，4x2＋(a－2)x＋14≤0”是假命题，所以其否定为“任意x∈R，4x2＋(a－2)x＋14>0”是真命题.则Δ＝(a－2)2－4×4×14＝a2－4a<0，解得0<a<4.7.(2021·衡水检测)命题p：若向量a·b<0，则a与b的夹角为钝角；命题q：若cosα·cosβ＝1，则sin(α＋β)＝0.下列命题为真命题的是()A.pB.非qC.p且qD.p或q答案D解析当a，b方向相反时，a·b<0，但夹角是180°，不是钝角，命题p是假命题；若cosαcosβ＝1，则cosα＝cosβ＝1或cosα＝cosβ＝－1，所以sinα＝sinβ＝0，从而sin(α＋β)＝0，命题q是真命题，所以p或q是真命题.8.已知命题p：“任意x∈[0，1]，a≥e x”；命题q：“存在x0∈R，使得x20＋4x0＋a＝0”.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为()A.[e，4]B.(－∞，e]C.[e，4)D.[4，＋∞)答案A解析若命题“p且q”是真命题，那么命题p，q都是真命题.由任意x∈[0，1]，a≥e x，得a≥e；由存在x0∈R，使x20＋4x0＋a＝0，得Δ＝16－4a≥0，则a≤4，因此e≤a≤4.9.命题：存在x0∈R，1<f(x0)<2的否定是________________________.答案任意x∈R，f(x)≤1或f(x)≥210.若“任意x∈0，π4，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________.答案1解析∵函数y＝tan x在0，π4上是增函数，∴y max＝tan π4＝1，依题意，m≥y max，即m≥1.∴m的最小值为1.11.下列命题为真命题的是________(填序号).①存在x0∈R，x20＋x0＋1≤0；②任意a∈R，f(x)＝log(a2＋2)x在定义域内是增函数；③若f(x)＝2x－2－x，则任意x∈R，f(－x)＝－f(x)；④若f(x)＝x＋1x，则∃x0∈(0，＋∞)，f(x0)＝1.答案②③解析x20＋x0＋10＋34>0，故①错误；∵a2＋2≥2>1，∴f(x)＝log(a2＋2)x在(0，＋∞)上是增函数，故②正确；f(x)为奇函数，所以任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，故③正确；x0∈(0，＋∞)时，f(x0)＝x0＋1x0≥2，当且仅当x0＝1时取“＝”，故④错误.综上有②③正确.12.(2022·周口调研)已知p：函数f(x)＝x2－(2a＋4)x＋6在(1，＋∞)上是增函数，q：任意x∈R，x2＋ax＋2a－3>0，若p且(非q)是真命题，则实数a的取值范围为________.答案(－∞，－1]解析依题意，p为真命题，非q为真命题.若p为真命题，则2a＋42≤1，解得a≤－1.①若非q为真命题，则存在x0∈R，x20＋ax0＋2a－3≤0成立.∴a2－4(2a－3)≥0，解之得a≥6或a≤2.②结合①②，知a≤－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1].13.已知命题p：任意x>0，e x>x＋1，命题q：存在x∈(0，＋∞)，ln x≥x，则下列命题为真命题的是()A.p且qB.(非p)且qC.p且(非q)D.(非p)且(非q)答案C解析令f(x)＝e x－x－1，则f′(x)＝e x－1，当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)>f(0)＝0，即e x>x＋1，则命题p真；令g(x)＝ln x－x，x>0，则g′(x)＝1x－1＝1－xx，当x∈(0，1)时，g′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，即当x＝1时，g(x)取得极大值，也是最大值，所以g(x)max＝g(1)＝－1<0，∴g(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，则命题q假，因此非q为真，故p且(非q)为真.14.(2019·全国Ⅲ卷)＋y≥6，x－y≥0表示的平面区域为D.命题p：存在(x，y)∈D，2x＋y≥9；命题q：任意(x，y)∈D，2x＋y≤12.下面给出了四个命题①p或q；②(非p)或q；③p且(非q)；④(非p)且(非q).这四个命题中，所有真命题的编号是()A.①③B.①②C.②③D.③④答案A 解析由不等式组画出平面区域D ，如图阴影部分所示，在图中画出直线2x ＋y ＝9，可知p 为真命题，非p 为假命题，作出直线2x ＋y ＝12，2x ＋y ≤12表示直线及其下方区域，易知命题q 为假命题；命题非q 为真命题；∴p 或q 为真，(非p )或q 为假，p 且(非q )为真，(非p )且(非q )为假.故真命题的编号为①③.15.已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“存在x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________.答案0解析“存在x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”的否定是任意x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0，依题意：命题任意x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0为真命题，故函数y ＝f (x )，x ∈(a ，b )为奇函数，∴a ＋b ＝0，∴f (a ＋b )＝f (0)＝0.16.若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，任意x 1∈[－1，2]，存在x 0∈[－1，2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________.答案，12解析设f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)在[－1，2]上的值域分别为A ，B ，则A ＝[－1，3]，B ＝[－a ＋2，2a ＋2]，a ＋2≥－1，a ＋2≤3，∴a ≤12，又∵a >0，∴0<a ≤12.。

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第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、选择题1. 已知命题p:存在n∈N，2n>1 000，则非p为( )A．任意n∈N，2n≤1 000 B．任意n∈N,2n>1 000C．存在n∈N，2n≤1 000 D．存在n∈N,2n<1 000解析特称命题的否定是全称命题，即p：存在x∈M，p（x），则非p：任意x∈M,非p（x）．答案 A2． ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是（）．A．0＜a≤1 B．a＜1C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0解析（筛选法)当a＝0时，原方程有一个负的实根，可以排除A、D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根,可以排除B，故选C。

答案C3．下列命题中的真命题是（)．A．∃x∈R，使得sin x＋cos x＝错误!B．∀x∈（0,＋∞），ex〉x＋1C．∃x∈(－∞，0)，2x<3xD．∀x∈(0，π)，sin x〉cos x解析因为sin x＋cos x＝错误!sin错误!≤错误!〈错误!,故A错误；当x<0时，y＝2x的图象在y＝3x的图象上方，故C错误；因为x∈错误!时有sin x<cos x，故D错误．所以选B.答案B4．已知命题p:∃a0∈R,曲线x2＋错误!＝1为双曲线;命题q：x2－7x＋12＜0的解集是{x｜3＜x＜4}．给出下列结论:①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．其中正确的是________．A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④解析因为命题p和命题q都是真命题,所以命题“p∧q"是真命题,命题“p∧綈q”是假命题，命题“綈p∨q”是真命题,命题“綈p∨綈q”是假命题．答案D5．已知命题p：∃x0∈R,mx20＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0。

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．(2)命题p∧q、p∨q、﹁p的真假判断p q p∧q p∨q ﹁p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.(1)全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)特称命题存在M中的元素x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，﹁p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，﹁p(x)常用结论(1)含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与﹁p→真假相反．(2)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．(3)“p ∨q ”的否定是“(﹁p )∧(﹁q )”，“p ∧q ”的否定是“(﹁p )∨(﹁q )”． (4)逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题p ∧q 为假命题，则命题p 、q 都是假命题．( ) (2)命题p 和﹁p 不可能都是真命题．( )(3)若命题p 、q 至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题． ( ) (4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( ) (5)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，﹁p (x )的真假性相反． ( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)全称命题或特称命题的否定出错； (2)不会利用真值表判断命题的真假； (3)判断命题真假时忽视对参数的讨论． 1．命题“正方形都是矩形”的否定是________． 答案：存在一个正方形，这个正方形不是矩形2．已知命题p ：若x ＞y ，则－x ＜－y ；命题q ：若1x ＞1y，则x ＜y .在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(﹁q )；④(﹁p )∨q 中，真命题是________．(填序号)解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③﹁q 为真命题，则p ∧(﹁q )为真命题；④﹁p 为假命题，则(﹁p )∨q 为假命题．答案：②③3．若p ：∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋1>0是假命题，则实数a 的取值范围为________． 答案：(－∞，4]含有逻辑联结词的命题的真假判断(自主练透)1．命题p ：若sin x ＞sin y ，则x ＞y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．qD ．﹁p解析：选B ．取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故﹁p 为真命题，p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题．2．(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题①p ∨q ②﹁p ∨q ③p ∧﹁q ④﹁p ∧﹁q 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③D ．③④解析：选A ．通解：作出不等式组表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，直线2x ＋y ＝9和直线2x ＋y ＝12均穿过了平面区域D ，不等式2x ＋y ≥9表示的区域为直线2x ＋y ＝9及其右上方的区域，所以命题p 正确；不等式2x ＋y ≤12表示的区域为直线2x ＋y ＝12及其左下方的区域，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧﹁q 正确．故选A ．优解：在不等式组表示的平面区域D 内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式2x ＋y ≥9，所以命题p 正确；点(7，0)不满足不等式2x ＋y ≤12，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧﹁q 正确．故选A ．3．(2020·高考全国卷Ⅱ)设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题是________．(填序号) ①p 1∧p 4 ②p 1∧p 2 ③﹁p 2∨p 3④﹁p 3∨﹁p 4解析：方法一：对于p 1，由题意设直线l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ，则由l 1∩l 2＝A ，知l 1，l 2共面，设此平面为α，由B ∈l 2，l 2⊂α，知B ∈α，由C ∈l 1，l 1⊂α，知C ∈α，所以l 3⊂α，所以l 1，l 2，l 3共面于α，所以p 1是真命题．对于p 2，当A ，B ，C 三点不共线时，过A ，B ，C 三点有且仅有一个平面；当A ，B ，C 三点共线时，过A ，B ，C 的平面有无数个，所以p 2是假命题，﹁p 2是真命题．对于p 3，若空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p 3是假命题，﹁p 3是真命题．对于p 4，若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ，所以p 4是真命题，﹁p 4是假命题．故p 1∧p 4为真命题，p 1∧p 2为假命题，﹁p 2∨p 3为真命题，﹁p 3∨﹁p 4为真命题．综上可知，真命题的序号是①③④.方法二：对于p 1，由题意设直线l 1∩l 2＝A ，l 2∩l 3＝B ，l 1∩l 3＝C ，则A ，B ，C 三点不共线，所以此三点确定一个平面α，则A ∈α，B ∈α，C ∈α，所以AB ⊂α，BC ⊂α，CA ⊂α，即l 1⊂α，l 2⊂α，l 3⊂α，所以p 1是真命题．以下同方法一．答案：①③④判断含有逻辑联结词命题真假的步骤全称命题与特称命题(多维探究) 角度一 全称命题、特称命题的否定(1)(2021·成都市诊断性检测)已知命题p ：∀x ∈R ，2x －x 2≥1，则﹁p 为( )A ．∀x ∉R ，2x －x 2＜1 B ．∃x 0∉R ，2x 0－x 20＜1 C ．∀x ∈R ，2x－x 2＜1 D ．∃x 0∈R ，2x 0－x 20＜1(2)(2021·沈阳市教学质量监测(一))命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，x 13≠x 15，则﹁p 为( ) A ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 130＝x 150 B ．∀x ∈(0，＋∞)，x 13＝x 15 C ．∃x 0∈(－∞，0)，x 130＝x 150 D ．∀x ∈(－∞，0)，x 13＝x 15【解析】 (1)全称命题的否定是特称命题，所以﹁p ：∃x 0∈R ，2x 0－x 20＜1. (2)由全称命题的否定为特称命题知，﹁p 为∃x 0∈(0，＋∞)，x 130＝x 150，故选A ．【答案】 (1)D (2)A全称命题与特称命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；(2)否定结论：对原命题的结论进行否定． 角度二 全称命题、特称命题的真假判断(1)下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R ，x 2≥0 B ．∀x ∈R ，2x －1＞0C ．∃x 0∈R ，lg x 0＜1D ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 (2)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，e x＞0 B ．∀x ∈N ，x 2＞0 C ．∃x 0∈R ，ln x 0＜1D ．∃x 0∈N *，sin π2x 0＝1【解析】 (1)A 显然正确；由指数函数的性质知2x －1＞0恒成立，所以B 正确；当0＜x ＜10时，lg x ＜1，所以C 正确；因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以－2≤sin x＋cos x ≤2，所以D 错误．(2)对于B ．当x ＝0时，x 2＝0，因此B 中命题是假命题． 【答案】 (1)D (2)B全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题真 所有对象使命题为真 否定为假 假 存在一个对象使命题为假 否定为真 特称命题真 存在一个对象使命题为真 否定为假 假所有对象使命题为假否定为真[提醒] 因为命题p 与﹁p 的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．1．下列命题正确的是( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0B ．x >1是x 2>1的充分不必要条件 C ．∀x ∈N ，x 3>x 2D ．若a >b ，则a 2>b 2解析：选B ．对于x 2＋2x ＋3＝0，Δ＝－8<0，故方程无实根，即∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0错误，即A 错误；x 2>1⇔x <－1或x >1，故x >1是x 2>1的充分不必要条件，故B 正确；当x ≤1时，x 3≤x 2，故∀x ∈N ，x 3>x 2错误，即C 错误； 若a ＝1，b ＝－1，则a >b ，但a 2＝b 2，故D 错误．故选B ．2．已知f (x )＝sin x －x ，命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，﹁p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0C ．p 是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0D ．p 是真命题，﹁p ：∃x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 解析：选C ．易知f ′(x )＝cos x －1<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，因为f (0)＝0，所以f (x )<0，所以命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0，故选C ．由命题的真假确定参数的取值范围(典例迁移)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围．【解】 依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4＜0，－2＜m ＜2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)．【迁移探究1】 (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为真，求实数m 的取值范围． 解：依题意知p ，q 均为真命题，当p 是真命题时，有m ＜0； 当q 是真命题时，有－2＜m ＜2，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－2＜m ＜2，可得－2＜m ＜0. 【迁移探究2】 (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数m 的取值范围．解：若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则p ，q 一真一假． 当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2＜m ＜2，所以0≤m ＜2.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)．根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题转化为存在性问题． (2)含逻辑联结词问题：①求出每个命题是真命题时参数的取值范围； ②根据题意确定每个命题的真假；③由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解．1．若命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值范围是______． 解析：因为命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”为假命题，所以命题“∀t ∈R ，t 2－2t －a ≥0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a )＝4a ＋4≤0，即a ≤－1.答案：(－∞，－1]2．已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a ＜－12；若p 假q 真，则－4＜a ＜4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．答案：(－∞，－12)∪(－4，4)。