普通高中学生学业水平考试数学模拟试卷(三)

一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分)C1.集合{0,1,2}的所有真子集的个数是( )A.5B.6C.7D.8【解析】真子集个数为23－1=7,故选C.2.函数f(x)=lg(x－1)的定义域是( )BA.(2,+∞)B.(1,+∞)C.[ 1,+∞)D.[2,+∞)【解析】由题意得,x－1>0,x>1,即函数的定义域是(1,+∞),故选B.B3.已知平面向量a=(3,1),b=(x,－3),若a⊥b,则实数x等于( )A.－1B.1C.－9D.9【解析】a·b=3x－3=0,即x=1,故选B.C5.若复数(1+a i)(3－i)(i为虚数单位)的实部和虚部互为相反数,B则实数a=( )【解析】(1+a i)(3－i)=3－i+3a i+a=(a+3)+(3a－1)i,由题意得a+3+3a－1=0,解得a=－ ,故选B.6.某高中有三个年级,其中高一学生900人,高二学生860人,现采用分层抽样的方法调查学生的视力情况,在抽取的样本中有高二学生43人、高三学生39人,则该高中的学生总人数应C为( )A.2600B.2580C.2540D.2500【解析】设高三学生n人,∵抽取的样本中有高二学生43人、高三学生39人,∴⇒n=780;∴该高中的学生总人数应为:780+860+900=2540,故选C.7.要得到函数y=cos(2x+1)的图象,只要将函数y=cos 2x的图象( )C8.下列说法不正确的是( )DA.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B.同一平面的两条垂线一定共面C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直【解析】A.一组对边平行且相等就决定了是平行四边形,故A 正确;B.由线面垂直的性质定理知,同一平面的两条垂线互相平行,因而共面,故B正确;C.由线面垂直的定义知,这些直线都在同一个平面内即直线的垂面,故C正确;D.由实际例子,如把书本打开,且把书脊垂直放在桌上,则由无数个平面满足题意,故D不正确.故选D.BC11.一个装有水的圆柱形玻璃杯的内半径为3 cm,将一个玻璃球完全浸入水中,杯中水上升了0.5 cm,则玻璃球的半径为( )A.1 cmB.1.5 cmC.2 cmD.2.5 cmB 【解析】由设玻璃球的体积为V 1,水上升的体积为V 2,则有V 1=V 2,设玻璃球的半径为r则玻璃球的半径为1.5 cm .故选B.12.已知0<a<b,且a+b=1,则下列不等式中正确的是( )C【解析】由题意知0<a<1,故log2a<0,A错误;由0<a<1,0<b<1,故－1<－b<0.D A.a>b>c B.b>a>cC.c>a>bD.b>c>aC15.小李从甲地到乙地的平均速度为a,从乙地到甲地的平均速D度为b(a>b>0),他往返甲、乙两地的平均速度为v,则( )【解析】设甲地到乙地的距离为s.二、填空题(共4小题,每小题6分,共24分)－3 16.已知向量m=(a,－1),n=(－1,3),若m⊥n,则a= . 【解析】因为向量m=(a,－1),n=(－1,3),且m⊥n,所以m·n=－a－3=0,解得a=－3.故答案为－3.17.将一枚质地均匀的一元硬币抛3次,恰好出现一次正面的概率是 .【解析】试验结果有:(正正正)(正正反)(正反正)(反正正)(反反正)(反正反)(正反反)(反反反)共8种情况,其中出现一次正面情况有3种,即P= .19.锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,若2a sin B=b,则角A等于 .【解析】因为2a sin B=b,由正弦定理有2sin A sin B=sin B.三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分)21.已知四棱锥A-BCDE,其中AB=BC=AC=BE=1,CD=2,CD⊥平面ABC,BE∥CD,F为AD的中点.(1)求证:EF∥平面ABC;(2)求证:平面ADE⊥平面ACD;(3)求四棱锥A-BCDE的体积.【解】(1)证明:如图所示,取AC中点G,连接FG,BG.∵F,G分别是AD,AC的中点,∴FG∥CD,且FG= DC=1.∵BE∥CD,∴FG与BE平行且相等,∴EF∥BG.又∵EF⊄平面ABC,BG⊂平面ABC,∴EF∥平面ABC.(2)证明:由题意知△ABC为等边三角形,∴BG⊥AC.又∵DC⊥平面ABC,BG⊂平面ABC,∴DC⊥BG,∴BG垂直于平面ADC的两条相交直线AC,DC,∴BG⊥平面ADC.∵EF∥BG,∴EF⊥平面ADC.又∵EF⊂平面ADE,∴平面ADE⊥平面ACD.(3)连接EC,该四棱锥分为两个三棱锥E-ABC和E-ADC.22.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如表所示.一次购物量1至5件6至10件11至15件16至20件21件及以上顾客数(人)x3025y5结算时间(分钟/12345人)已知这100位顾客中一次购物量超过10件的顾客占40%.(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过3分钟的概率.(将频率视为概率)【解】(1)由已知得25+y+5=40,x+30=60,解得x=30,y=10.该超市所以顾客一次购物的结算时间可视为一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过3分钟”, A1,A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为4分钟”, “该顾客一次购物的结算时间为5分钟”,将频率视为概率得。

一、单选题二、多选题1. 如图，在直三棱柱中，，点分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．2. 函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．4. 在中，角的对边分别为，的面积为，则（ ）A．B．C．D．5. 已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数的图象重合，则A．B．C．D．6. 已知函数，若，则实数a 的取值范围是（ ）A．B．C．D．7. 不等式“”是“”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 若复数在复平面内对应的点在直线上，则的值等于（ ）A．B．C．D．2023年3月河北省普通高中学业水平合格性考试模拟（三）数学试题(3)2023年3月河北省普通高中学业水平合格性考试模拟（三）数学试题(3)三、填空题四、解答题9.已知都是定义在上的函数，对任意满足，且，则下列说法正确的有（ ）A．B ．函数的图象关于点对称C．D ．若，则10. 已知的展开式中所有项的系数和为3，则下列结论正确的是（ ）A．B ．展开式中的常数项为320C ．展开式中所有项的系数的绝对值的和为2187D ．展开式按的升幂排列时第2项的系数为-19211. 已知a ，b为正数，，则（ ）A．的最大值为B ．的最小值为3C ．的最大值为D．的最小值为12. 已知数列的首项是4，且满足，则（ ）A．为等差数列B．为递增数列C ．的前n项和D ．的前n项和13. 已知在中，角，，的对边分别为，，，若该三角形的面积为，且，则角，的大小分别是__________，__________.14. 已知函数，，若存在实数，，使得成立，则实数___________.15. 2021年第届世界大学生夏季运动会将在成都举行．为营造“爱成都迎大运”全民运动和全民健身活动氛围，某社区组织甲、乙两队进行一场足球比赛，根据以往的经验知，甲队获胜的概率是，两队打平的概率是，则这次比赛乙队不输的概率是_______________________．16. 设抛物线的焦点为F ，准线为l ，，以M 为圆心的圆M 与l 相切于点Q ，Q 的纵坐标为，是圆M 与x 轴的不同于F 的一个交点．(1)求抛物线C 与圆M 的方程；(2)过F 且斜率为的直线n 与C 交于A ，B 两点，求△ABQ 的面积．17. 已知点B （0，1），点C （0，—3），直线PB 、PC都是圆的切线（P 点不在y 轴上）.（I ）求过点P 且焦点在x 轴上抛物线的标准方程；（II ）过点（1，0）作直线与（I ）中的抛物线相交于M 、N 两点，问是否存在定点R ，使为常数？若存在，求出点R 的坐标与常数；若不存在，请说明理由．18.已知正项等比数列中，,且成等差数列.求数列的通项公式；若,求数列的前n项和.19. 为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得如下实验数据：（1）求关于的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，预测时，细菌繁殖个数．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：20. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足．（1）求角；（2）若，的中线，求的面积．21. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面平面ABCD，，点E是线段AD的中点，.(1)证明：//平面BDM；(2)求平面AMB与平面BDM的夹角.。

2023年江苏省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试题（三）一、单选题：本题共28小题，每小题3分，共84分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，则( )A. B. C. D.2.命题“，都有”的否定为( )A. ，使得B. ，使得C. ，都有D. ，使得3.设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的( )A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件4.已知，a，b，c为实数，则下列不等式成立的有( )A. B.C. D.5.已知，，则( )A. B. C. D.6.代数式取得最小值时对应的x值为( )A. 2B.C.D.7.已知函数，若，则a的值为( )A. B. 2 C. 9 D. 或98.已知，则的值是( )A. 7B. 8C. 9D. 109.已知，则( )A. 3B. 5C. 7D. 910.设，则的值是( )A. 1B. 2C. 4D. 911.函数的定义域为( )A. B.C.D.12.设，则大小关系为( )A. B.C.D.13.若函数是偶函数，则可取一个值为( )A. B.C.D.14.函数的最小正周期是( )A. B.C.D.15.已知，则( )A. B.C.D.16.圆心角为且半径长r 为1cm 的扇形的面积为( )A. 15B. 30C.D. 17.函数图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的3倍，则得到的图象对应的解析式为( )A.B.C. D.18.已知复数，则z 的虚部为( )A. 2 B. 2iC. D.19.已知，，若，则实数x 的值为( )A. B. 4C. D. 120.在中，点N 满足，记，，那么( )A.B.C.D.21.已知圆锥的轴截面是斜边为的直角三角形，该圆锥的体积为( )A.B.C.D.22.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为300，200，400，为了了解学生的课业负担情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取18名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取人数分别是( )A. 6，4，8B. 6，6，6C. 5，6，7D. 4，6，823.已知，，如果，那么( )A. B. C. D.24.学校组织班级知识竞赛，某班的8名学生的成绩单位：分分别是：68、63、77、76、82、88、92、93，则这8名学生成绩的分位数是( )A. 88 分B. 89 分C. 90 分D. 92 分25.( )A. B. C. D.26.已知，则的最小值为( )A. 12B. 14C. 16D. 1827.在中，角的对边分别是，若，，则( )A. B. C. D.28.若，则的终边落在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限二、解答题：本题共2小题，共16分。

2023年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟测试卷(三）(时间90分钟，总分150分)一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A ＝{}1，2，3，4，B ＝{}1，3，5，则A ∩B ＝( )A .{1,3} B.{2,4,5}C .{1,2,3,4,5} D.∅2.cos 210°＝( )A .－32 B.32 C.－12 D.123.在四边形ABCD 中，给出下列四个结论，其中一定正确的是( )A.AB→＋BC →＝CA → B.AB →－AD →＝BD → C.AB→＋AD →＝AC → D.BC →＋CD →＝BD → 4.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π2是( ) A .最小正周期为π的奇函数 B .最小正周期为π的偶函数C .最小正周期为π2的奇函数D .最小正周期为π2的偶函数 5.设函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x ，x ≤0，x 2，x >0，若f (a )＝4，则实数a 的值为( ) A ．±2或±4B ．±2或－4C ．2或4D ．2或－4 6.把红、蓝、白3张纸牌随机地分发给甲、乙、丙三个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．以上都不对 7.设a ，b ，c 都是单位向量，且a ＝b ＋c ，则向量a ，b 的夹角等于( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π28.在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，若EF ，HG 交于一点P ，则( )A .点P 一定在直线BD 上B .点P 一定在直线AC 上C .点P 一定在直线AC 或BD 上 D .点P 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上9.为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后五组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a ，最大频率为0.32，则a 的值为( )A ．64B ．54C ．48D ．2710.已知2x ＋8y ＝1(x ＞0，y ＞0)，则x ＋y 的最小值为( )A .12 B.14C.16D.1811.某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是( )A .85,85,85 B.87,85,86C .87,85,85 D.87,85,9012.将8个半径为1的实心铁球熔成一个大球，则这个大球的半径是( )A .8 B.22C.2D.2413.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc ．若sin B ·sin C ＝sin 2A ，则△ABC 的形状是( )A .钝角三角形 B.直角三角形C .等边三角形 D.等腰直角三角形14.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为35和p ，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920．假设甲、乙两人射击互不影响，则p 等于( ) A.35 B.45 C.34 D.1415.如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝45°，AB ＝5，AD ＝3，点E 由B 沿折线B －C －D 向点D 移动，EM ⊥AB ，垂足为M ，EN ⊥AD ，垂足为N ，设MB ＝x ，矩形AMEN 的面积为y ，那么y 与x 的函数关系图象大致是( )A B C D二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)16.函数y ＝log a (2x －3)＋8的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数f (x )的图象上，则f (3)＝________17.设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为________18.底面边长为1、侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为_______19.甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率是____________，三人中至少有一人达标的概率是____________三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20.(8分)已知a ，b 为两个非零向量，且||a ＝2，||b ＝1，()a ＋b ⊥b ．(1)求a 与b 的夹角；(2)求||3a －2b ．21.(14分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是线段PC 中点，G 为线段EC 中点．(1)求证：FG ∥平面PBD ；(2)求证：BD ⊥FG ．22.(14分)已知二次函数f (x)的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3．(1)求f (x)的解析式；(2)若f (x)在区间[2a，a＋1]上不单调．．．，求实数a的取值范围．参考答案及解析一、选择题1.A 解析：∵集合A ＝{}1，2，3，4，B ＝{}1，3，5，∴A ∩B ＝{}1，3．故选A ．2.A 解析：cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－32． 3.D 解析：根据向量的运算法则可得AB →＋BC →＝AC →，所以A 错误；根据向量的运算法则可得AB →－AD →＝DB →，所以B 错误；因为四边形ABCD 不一定是平行四边形，所以AB →＋AD →＝AC → 错误，所以C 错误；根据三角形法则可得BC →＋CD →＝BD →正确，所以D 正确．故选D ．4.D 解析：函数f (x)＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π2＝cos 4x ，故该函数为偶函数，且它的最小正周期为2π4＝π25.D 解析：当a>0时，f (a)＝a 2＝4，得a ＝2(舍去－2)；当a ≤0时，f (a)＝－a ＝4，得a ＝－4．综上，a ＝2或a ＝－4．故选D ．6.C 解析：事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不可能同时发生，但事件“甲分得红牌”不发生时，事件“乙分得红牌”有可能发生，有可能不发生，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．7.A 解析：由a ＝b ＋c ，可知c ＝a －b ，故c 2＝a 2－2a·b ＋b 2，∴a·b ＝12． 设a ，b 的夹角为θ，即cos θ＝12．又0≤θ≤π，∴θ＝π3． 8.B 解析：如图，∵P ∈HG ，HG ⊂平面ACD ，∴P ∈平面ACD ．同理，P ∈平面BAC ．∵平面BAC ∩平面ACD ＝AC ，∴P ∈AC ．故选B ．9.B 解析：前两组中的频数为100×(0.05＋0.11)＝16．因为后五组频数和为62，所以前三组频数和为38． 所以第三组频数为38－16＝22．又最大频率为0.32，故第四组频数为0.32×100＝32．所以a ＝22＋32＝54．故选B ．10.D 解析：因为2x ＋8y ＝1(x ＞0，y ＞0)，所以x ＋y ＝(x ＋y)·⎝⎛⎭⎫2x ＋8y ＝10＋8x y ＋2y x≥10＋28x y ·2y x ＝18．当且仅当2y x ＝8x y，即x ＝6，y ＝12时取等号，所以x ＋y 的最小值为18． 11.C 解析：∵得85分的人数最多为4人，∴众数为85，中位数为85，平均数为110×(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75)＝87．12.C 解析：8个半径为1的实心铁球的体积为8×43π＝323π， 设熔成的大球半径为R ，则43πR 3＝323π，解得R ＝2．故选C ． 13.C 解析：由b 2＋c 2＝a 2＋bc 及余弦定理知A ＝π3，又由sin B·sin C ＝sin 2A 及正弦定理得bc ＝a 2＝b 2＋c 2－bc ，所以(b －c)2＝0，即b ＝c ，所以△ABC 为一个内角为π3的等腰三角形，即为等边三角形． 14.C 解析：设“甲射击一次，击中目标”为事件A ，“乙射击一次，击中目标”为事件B ，则“甲射击一次，未击中目标”为事件A ，“乙射击一次，未击中目标”为事件B ，则P(A)＝35，P(A )＝1－35＝25，P(B)＝p ，P(B )＝1－p ，依题意得35×(1－p)＋25×p ＝920，解得p ＝34，故选C ． 15.A 解析：∵EM ⊥AB ，∠B ＝45°，∴EM ＝MB ＝x ，AM ＝5－x ．当点E 在BC 上运动时，即当0<x ≤3时，y ＝x(5－x)＝－⎝⎛⎭⎫x －522＋254；当点E 在CD 上运动时，矩形AMEN 即为矩形AMED ，此时3<x<5，y ＝－3x ＋15．所以y 与x 的函数关系为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－()x －522＋254(0<x ≤3)，－3x ＋15(3<x<5)，画出图象如选项A 所示．故选A ．二、填空题16.答案：27 解析：由题意得定点A 为(2,8)，设f (x)＝x α，则2α＝8，α＝3，∴f (x)＝x 3，∴f (3)＝33＝27．17.答案：4－3310 解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝35，∴cos α＝45，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝cos αcos π3－sin αsin π3＝4－3310． 18.答案：4π3 解析：因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r ＝1212＋12＋(2)2＝1，所以V 球＝4π3×13＝4π3． 19.答案：0.24，0.96 解析：由题意可知，三人都达标的概率为P ＝0.8×0.6×0.5＝0.24；三人中至少有一人达标的概率为P′＝1－(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.96．三、解答题20.解：(1)∵()a ＋b ⊥b ，∴()a ＋b ·b ＝0，即a·b ＋b 2＝0，∴||a ||b cos θ＋||b 2＝0，解得cos θ＝－12．∴θ＝2π3． (2) ||3a －2b 2＝()3a －2b 2＝9a 2－12a·b ＋4b 2＝52，∴||3a －2b ＝213．21.证明：(1)连接PE(图略)，∵G ，F 分别为EC 和PC 的中点，∴FG ∥PE ．又FG ⊄平面PBD ，PE ⊂平面PBD ，∴FG ∥平面PBD ．(2)∵菱形ABCD ，∴BD ⊥AC ．又PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA ．∵PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，且PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC ．∵FG ⊂平面PAC ，∴BD ⊥FG ．22.解：(1)由已知f (x)是二次函数，且f (0)＝f (2)得f (x)图象的对称轴为x ＝1．又f (x)的最小值为1，故设f (x)＝a(x －1)2＋1，且a>0．∵f (0)＝3，∴a ＋1＝3，解得a ＝2．∴f (x)＝2(x －1)2＋1＝2x 2－4x ＋3．(2)要使f (x)在区间[2a ，a ＋1]上不单调，则2a<1<a ＋1，∴0<a<12，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12．。

一、单选题二、多选题1. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为（ ）A．B．C．D ．22. 如图，已知，分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆C 上一点，以点P 为圆心，为半径的圆交y 轴于A ，B两点．若的最大值为，则C 的离心率为（）．A．B．C．D．3. 在全球新冠肺炎疫情仍在流行的背景下，我国新冠病毒疫苗研发取得可喜进展，已有多款疫苗获批使用.目前我国正在按照“应接尽接、梯次推进、突出重点、保障安全”的原则，积极组织实施疫苗接种，稳步提高疫苗接种人群覆盖率.小王想从甲、乙、丙、丁四位好友中，随机邀请两位一起接种新冠病毒疫苗，则甲和乙中至少有一人被邀请的概率是（ ）A．B．C．D．4. 在复平面内，复数所对应的点关于虚轴对称，若，则复数（ ）A．B．C．D．5. 已知正方体中，E ，G 分别为，的中点，则直线，CE 所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．6.已知函数，则下列说法正确的是（ ）①函数是最小正周期为的奇函数；②函数在的最大值为；③函数在单调递增；④函数关于对称．A ．①②B ．③④C ．②③D ．②③④7. 复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8. 点P 是函数f （x ）＝cos ωx （ω＞0）的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离最小值是π，则函数f （x ）的最小正周期是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π9. 如图拋物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为6．和交于、两点，分别过、作直线与两准线垂直，垂足分别为M 、N 、S 、T，过的直线与封闭曲线交于、两点，则（ ）2023年3月河北省普通高中学业水平合格性考试模拟（三）数学试题三、填空题四、解答题A．B ．四边形的面积为100C．D ．的取值范围为10. 如图，棱长为的正方体的内切球为球分别是棱和棱的中点，在棱上移动，则下列结论成立的有（）A ．存在点使垂直于平面B．对于任意点平面C ．直线的被球截得的弦长为D．过直线的平面截球所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为11. 已知，，，则（ ）A．B．C．D．12. 已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ）A．B ．的图象关于点对称C．的图象关于对称D ．在上的最大值是113.等比数列满足，则的最大值为__________.14.在等比数列中，，则______.15. 二项式的展开式中的系数等于__________.16. 已知椭圆的左右顶点距离为，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设过点，斜率存在且不为0的直线与椭圆交于，两点，求弦垂直平分线的纵截距的取值范围.17. 已知函数．(1)若，求的取值范围；(2)当时，记函数的两个零点为，求证：．18. 在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知，．(1)求c；(2)求的取值范围．19. 在中，角的对边分别为.(1)已知，求的值；(2)已知，求的值.20. 已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若存在最小值m，且，求a的取值范围.21. 已知函数（e为自然对数的底数）．(1)令，若不等式恒成立，求实数a的取值范围；(2)令，若函数有两不同零点．①求实数m的取值范围；②证明：．。

2024年广东省普通高中学业水平合格性考试模拟（三）数学试题✽一、单选题：本题共12小题，每小题6分，共72分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，，则( )A. B. C. D.2.下列函数中，是幂函数的是( )A. B. C. D.3.若均为正数，且，则的最小值等于( )A. B. C. D. 54.不等式的解集为( )A. B. 或C. D.5.已知向量，，则( )A. B. C. D.6.已知角的始边在x轴的非负半轴上，终边经过点，则( )A. B. C. D.7.已知，，则( )A. B. C. D.8.若将一颗质地均匀的骰子一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具，先后抛掷两次，则出现向上的点数之和小于10的概率是( )A. B. C. D.9.设为两个不同的平面，为两条不同的直线，且，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.为了得到函数的图象，只要把函数的图象( )A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度11.已知函数则( )A. 2B.C. 1D.12.已知表面积为的圆锥的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为( )A. 3B.C. 6D.二、填空题：本题共6小题，每小题6分，共36分。

13.已知向量，，若，则__________.14.若复数为虚数单位为纯虚数，则实数__________.15.已知为奇函数，当时，；则当，的解析式为__________.16.函数的定义域为__________.17.已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为__________.18.幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数．某机构从某社区随机调查了10人，得到他们的幸福指数满分：10分分别是，，，，，9，，，，，则这组数据的中位数是__________三、解答题：本题共4小题，共42分。

一、单选题二、多选题1. 保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲．某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（ ）参考数据：．A．B．C．D．2.如图，在正方体中，M ，N 分别为AD ，AB 的中点，则异面直线D 1M 与DN 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是A．B．C．D．4. 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分用如图所示的茎叶图表示，茎叶图中甲运动员每场比赛得分的中位数为18.5，若甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的平均数分别用，表示，标准差分别用，表示，则（）A ．，B ．，C ．，D ．，5. 已知两个等差数列和的前n 项和分别为S n 和T n ，且=，则的值为（ ）A．B．C．D．6. 已知双曲线的右焦点为F ，过F 的直线与双曲线的右支、渐近线分别交于点A ，B ，且（为坐标原点），，则双曲线的离心率（ ）A．B．C．D ．47. 已知直线经过点，则的最小值为A．B．C ．4D．8.设正实数满足,则当取得最大值时，的最大值为A．B．C．D．9. 已知函数，则（ ）A ．当时，在有最小值1B ．当时，图象关于点中心对称2022年辽宁省大连市普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷（三）2022年辽宁省大连市普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷（三）三、填空题四、解答题C ．当时，对任意恒成立D．至少有一个零点的充要条件是10. 正方体棱长为4，动点、分别满足，其中，且，；在上，点在平面内，则（ ）A ．对于任意的，且，都有平面平面B．当时，三棱锥的体积不为定值C ．若直线到平面的距离为，则直线与直线所成角正弦值最小为．D．的取值范围为11.已知，则下列不等式正确的是（ ）A．B．C．D．12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）A ．f （x ）的最大值为2B ．f （x ）在上单调递增C ．f （x ）在上有4个零点D ．把f （x ）的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称13. 在三棱锥中，，，若该三棱锥的体积为，则其外接球表面积的最小值为_________．14.在等差数列中，若公差，且，则______.15.已知圆经过直线与圆的交点，且圆的圆心在直线上，则圆的标准方程为___________.16. 如图椭圆C ：的离心率为，点在椭圆C 上．过椭圆的左焦点F 的直线l 与椭圆C 交于C ，D 两点，并与y 轴交于点M ，A ，B 分别为椭圆的上、下顶点，直线AD 与直线BC 交于点N．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知O 为坐标原点，当点M 异于A ，B两点时，求证：为定值．17.设函数.(1)若在上存在单调递减区间，求的取值范围；(2)若是函数的极值点，求函数在上的最小值.18. 如图所示，正方体中，棱长为2，且分别为的中点.（1）求证：∥平面；（2）求四面体的体积.19. （1）已知的展开式中所有项的系数和为243，求展开式中含的项的系数.（2）甲、乙、丙、丁四位毕业生被安排去北京，上海，广州三个地方实习，每人只能去一个城市，北京一定要有人去，则不同的实习安排方案有多少种?20. 2022年卡塔尔世界杯（英语：FIFA World Gup Qatar 2022）是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行，第二次世界大战后首次由从未进过世界杯的国家举办的世界杯足球赛．为了解某校学生对足球运动的兴趣，随机从该校学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对足球运动没兴趣的占女生人数的，男生有5人表示对足球运动没有兴趣．(1)完成列联表，并回答能否有的把握认为“该校学生对足球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男60女合计(2)从样本中对足球没有兴趣的学生按性别分层抽样的方法抽取出6名学生，若从这6人中随机抽取4人，求抽取到3女1男的概率．，21. 某厂家制造一件产品的成本为元，如果一件产品的定价为元时，可卖出个；如果定价每提高元售出的个数会减少个，试将利润表示成单价的函数，并求出利润的最大值.。

2021年普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷（03）第一部分 选择题（每小题3分，共81分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1. 集合{}22A x x =∈-<<Z 的子集个数为（ ） A. 4 B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】解：∵{}{}221,0,1A x x =∈-<<=-Z ，∴集合A 的子集个数为328=个， 故选：D.2. 函数()11f x x =-的定义域是（ ） A. ()(),11,-∞+∞B. [)2,-+∞C. [)()2,11,-⋃+∞D. ()1+∞， 【答案】C【解析】要使函数有意义，则2010x x +≥⎧⎨-≠⎩，即21x x ≥-⎧⎨≠⎩，即x ≥﹣2且x ≠1，即函数的定义域为[﹣2，1）∪（1，+∞）， 故选C ．3. cos24cos36sin 24cos54︒︒-︒︒的值等于( )A. 0B.12C.D. －12【答案】B【解析】原式1cos 24cos36sin 24sin 36cos602︒︒-︒︒=︒==． 故选：B.4. 已知()1,0a =，()2,1b =，向量ka b -与3a b +平行，则实数k 的值为（ ）A.117B. 117-C. 13-D.13【答案】C【解析】()()()1,02,12,1ka b k k -=-=--，即()()2,17,3k λ--=，∴1273,1313k k λλλ⎧=-⎪-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⎩⎪=-⎪⎩. 故选：C.5. 在△ABC 中，2AB =，6C π=，则AC +的最大值为（ ）A.B.C.D. 【答案】D【解析】在△ABC 中，2AB =，6C π=，则4sin sin sin ===AB BC ACC A B， 所以4sin =BC A ，4sin =AC B .则54sin 4sin 6π⎛⎫+=+=-+ ⎪⎝⎭AC B A A A()2cos ϕ=+=+A A A ，（其中tan 9ϕ=） 因为506π<<A ， 所以当()sin 1A ϕ+=时，AC +取得最大值故答案为：6. 已知点(2,1)A -和点B 关于直线:10l x y +-=对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C ，若△ABC 的面积为2，则k 的值为( ) A. 3或13B. 0C.13D. 3【答案】B【解析】设点(,)B x y ，则11,22110,22y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+-=⎪⎩解得：0,3x y ==，则(0,3)B ，设直线m 的方程为：1(2)y k x -=+与方程:10l x y +-=联立，解得：231,11k k x y k k +=-=++，则231(,)11k k C k k +-++， 因为直线AB 的方程为：3yx，且||AB =点C 到直线AB的距离231|3|k k d +--+==所以12|1||1|02k k k ⋅=⇒-=+⇒=.故选：B.7. 设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A. 22(3)2x y -+=B. 22(3)8x y -+=C. 22(3)2x y ++=D. 22(3)8x y ++=【答案】A【解析】AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为22ABr ===， 圆方程为22(3)2x y -+=. 故选：A .8. 下列关于棱柱的说法中，错误的是（ ） A. 三棱柱的底面为三角形 B. 一个棱柱至少有五个面C. 五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形D. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等 【答案】D【解析】三棱柱的底面为三角形，所以A 正确； 因为三棱柱有五个面，所以棱柱至少有五个面，B 正确；五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形，所以C 正确；若棱柱的底面边长相等，它的各个侧面为平行四边形，即边长对应相等，但夹角不一定相等，所以D 错误； 故选：D9. 圆心为(1,－1)且过原点的圆的一般方程是 A. 222210x y x y ++-+=B. 222210x y x y +-++=C. 22220x y x y ++-=D. 22220x y x y +-+=【答案】D【解析】根据题意，要求圆的圆心为(1,1)-，且过原点，且其半径r ==，则其标准方程为22(1)(1)2x y -++=，变形可得其一般方程是22220x y x y +-+=， 故选D ．10. 与直线3450x y -+=关于坐标原点对称的直线方程为（ ）A. 3450x y +-=B. 3450x y ++=C. 3450x y -+=D. 3450x y --=【答案】D【解析】设所求对称直线上任意一点的坐标为(),x y ，则关于原点对称点的坐标为(),x y --，该点在已知的直线上，则3450x y -++=，即3450x y --=.故选：D.11. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，3122OA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，若OA 绕点O 逆时针旋转60°得到向量OB ，则OB =（ ） A. (0,1)B. (1,0)C. ,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D. 1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】3122OA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭OA ∴与x 轴夹角为30 OB ∴与x 轴夹角为90又1OB OA == ()0,1OB ∴= 故选：A12. 已知直线l 过点（1，2），且在横坐标与纵坐标上的截距的绝对值相等的直线方程不可以是下列（ ）选项. A. 2x -y =0 B. x +y =3C. x -2y =0D. x -y +1=0【答案】C【解析】解：由题意设所求直线的横截距为a ，（1）当0a =时，由题意可设直线的方程为y kx =，将()1,2代入可得2k =，∴直线的方程为20x y -=；（2）当0a ≠时，由截距式方程可得直线的方程为1x ya a +=（截距相等）或1x y a a+=-（截距相反），将()1,2代入可得3a =或1a =-，∴直线的方程为3x y +=或10x y -+=；故选：C ．13. 已知倾斜角为α的直线l 过定点(0,2)-，且与圆22(1)1y x +-=相切，则1cos 2cos 2απα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A. 3-B.C. 23-D.3或3-【答案】A【解析】由题意知0180α︒<︒且90α≠︒,则直线斜率tan k α=, 直线l 方程为2y kx +=,即20kx y --=,圆心坐标(0,1),则圆心到直线l的距离1d ===,即291k =+,解得28k =,即2tan 8α=,由sin 0α>,可得sin α=, 所以()2112sin 1cos 22sin sin 3cos 2αααπαα---==-=--⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 故选:A .14. 函数f （x ）=（x 2+2x ）e 2x 的图象大致是( )A. B.C. D.【解析】由于()()'22231x fx x x e =++⋅，而231y x x =++的判别式9450∆=-=>，所以231y x x =++开口向上且有两个根12,x x ，不妨设12x x <，所以()f x 在()()12,,,x x -∞+∞上递增，在()12,x x 上递减.所以C ,D 选项不正确.当2x <-时，()0f x >，所以B 选项不正确.由此得出A 选项正确. 故选：A15. 在平面直角坐标系xOy 中，将点(2,1)A 绕原点O 逆时针旋转90°到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则sin α等于（ ）A.B. 5-C.D.【答案】D【解析】将点(2,1)A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点()1,2B -，根据三角函数的定义可知sin 5α===.故选：D16. 下列函数中是偶函数，且在(0,+∞)上是增函数的是（ ） A. ln 1y x =+ B. ln y x =C. 2y x x =-D. 3y x =【答案】A【解析】A 选项是偶函数且在(0,)+∞为增；B 选项不是偶函数； C 选项是偶函数，但是在(0,)+∞不恒为增函数； D 选项不是偶函数，17. 已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足(2)()f x f x +=，当[)0,1x ∈时，()41=-xf x ，则( 5.5)-f 的值为（ ）A. 2B. －1C. 12-D. 1【答案】D【解析】】(2)()2f x f x T +=∴=故选：D18. 已知1cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2sin 3α⎛⎫⎝π-⎪⎭=（ ） A.49B.13C.59D. 59-【答案】B【解析】令6πθα=-，则6παθ=-，∴21sin sin cos 323ππαθθ⎛⎫⎛⎫-=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：B.19. 在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若222sin sin sin sin sin A B C B C -=-，a =△ABC 的外接圆面积为（ ）A. πB. 2πC. 4πD. 8π【答案】A 【解析】222sin sin sin sin sin A B C B C -=-，由正弦定理得222a b c bc-=-，222b c a bc ∴+-=，由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==， ()0,A π∈，3A π∴=，设△ABC 的外接圆半径为r，则22sin a r A===，1r ∴=， 因此，△ABC 的外接圆面积为2S r ππ==. 故选：A.20. 已知△ABC 中，满足02,60b B == 的三角形有两解，则边长a 的取值范围是（ ）A2a << B.122a <<C. 23a <<D. 2a <<【答案】C【解析】由三角形有两解，则满足sin a B b a b <⎧⎨>⎩，即 sin 6022o a a ⎧<⎨>⎩，解得：2＜a＜，所以边长a 的取值范围（2）， 故选C ．21. 已知向量(,3)a m =，(3,)b n =-，若2(7,1)a b +=，则mn =（ ） A. －1 B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】因为()27,1a b +=，所以67321m n +=⎧⎨-=⎩，得1m n ==，所以1mn =.故选C22. 已知直线l ，m 与平面α，β，l ⊂α，m ⊂β，则下列命题中正确的是（ ） A. 若l ∥m ，则必有α∥β B. 若l ⊥m ，则必有α⊥β C. 若l ⊥β，则必有α⊥β D. 若α⊥β，则必有m ⊥α【答案】C【解析】解：对于选项A ，平面α和平面β还有可能相交，所以选项A 错误； 对于选项B ，平面α和平面β还有可能相交或平行，所以选项B 错误；对于选项C ，因为l ⊂α，l ⊥β，符合面面垂直的判定定理，所以α⊥β，所以选项C 正确； 对于选项D ，直线m 可能和平面α不垂直，所以选项D 错误． 故选：C ．23. 设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A. 若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则m n ⊥B. 若,m n αβ⊥⊥且m n ⊥，则αβ⊥C. 若,//m n αβ⊥且n β⊥，则//m αD. 若,m n αβ⊂⊂且//m n ，则//αβ 【答案】B【解析】A 中直线m,n 可能平行，可能相交，可能异面；B 中由平面法向量的知识可知结论正确；C 中直线a 可能与面平行，可能在平面内；D 中两平面可能平行可能相交 故选：B24. 《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿.欲以爵次分之，问各得几何.”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组（一组2人，一组3人），派去两地执行公务，则大夫、不更恰好在同一组的概率为（ ） A.15B.25C.35D.110【答案】B【解析】皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组(一组2人，一组3人)，派去两地执行公务， 基本事件总数23253220n C C A ==，大夫、不更恰好在同一组包含的基本事件个数23221222322322 8m C C A C C C A =+=，所以大夫、不更恰好在同一组的概率为82 205m p n ===． 故选：B ．25. 如图是某校高三某班甲､乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩，若甲、乙两人的平均成绩分别是1x 、2x ，则下列判断正确的是（ ） A. 12x x >，甲比乙成绩稳定 B. 12x x <，乙比甲成绩稳定 C. 12x x =，甲比乙成绩稳定 D. 12x x =，乙比甲成绩稳定 【答案】A【解析】由茎叶图知： 所以12x x =由茎叶图知甲的数据较分散，乙的数据较集中所以乙比甲成绩稳定 故选：D26.在△ABC 中，90A ∠=，()2,2AB k →=-，()2,3AC →=，则k 的值是（ ） A. 5 B. 5- C.32 D. 32-【答案】A 【解析】90A ∠=，即AB AC ⊥，4260AB AC k →→∴⋅=-+=，解得：5k =.故选：A .27. 在一组样本数据中，1，4，m ，n m n +=（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】A【解析】由题意得样本平均值为10.140.10.40.4 2.55m n m n ⨯+⨯+⨯+⨯=∴+= 故选：A第二部分 解答题（共19分）28.（本小题满分5分）设常数R a ∈，函数2()asin2x 2cos x f x =+． （1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若π14f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求方程()1f x =[]ππ-，上的解． 【答案】(1)0a =;(2)5π24x =-或19π24x =或13π11π2424x x 或==-.【解析】（1）∵()2sin22cos f x a x x =+，∴()2sin22cos f x a x x -=-+，∵()f x 为偶函数， ∴()()f x f x -=，∴22sin22cos sin22cos a x x a x x -+=+， ∴2sin20a x =， ∴0a =；（2）∵π14f ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴2ππsin2cos 1124a a ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，∴a =∴()2π2cos cos212sin 216f x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，∵()1f x =∴π2sin 2116x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭∴πsin 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴ππ22π64x k +=-+，或π52π2πZ 64x k k +=+∈，，∴5ππ24x k =-+，或13ππZ 24x k k =+∈，， ∵[]ππx ∈-，， ∴5π24x =-或19π24x =或13π11π2424x x 或==-29.（本小题满分5分）在三棱锥A ﹣BCD 中，E ，F 分别为,AD DC 的中点，且BA BD =，平面ABD ⊥平面ADC . （1）证明：//EF 平面ABC ； （2）证明：CD BE ⊥.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】证明：（1）在ADC 中，,E F 分别为,AD DC 的中点， ∴//EF AC ，∵EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以//EF 平面ABC .（2）在ABD △中，BA BD =，E 为AD 的中点， ∴BE AD ⊥，又因为平面ABD ⊥平面ADC ，BE ⊂平面ABD ，平面ABD ⋂平面ADC AD =，∴BE ⊥平面ADC ，因为DC ⊂平面ADC ，所以BE DC ⊥，即CD BE ⊥. 30.（本小题满分5分）已知直线l 过定点()2,1A -，圆C ：2286210x y x y +--+=．（1）若l 与圆C 相切，求l 的方程；（2）若l 与圆C 交于M ，N 两点，求CMN ∆面积的最大值，并求此时l 的直线方程． 【答案】（1）2x =或34100x y --=；（2）2，30x y --=或7150x y --=.【解析】（1）由题，得圆C 的标准方程为22(4)(3)4x y -+-=，则圆心坐标为(4,3)，半径2r．①当直线l 的斜率不存在时，直线2x =，符合题意；②当直线l 的斜率存在时，设直线l ：()12y k x +=-，即210kx y k ---=． 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心(4,3)到直线l 的距离等于半径22=，解得34k =，所以直线的方程为331042x y ---=，化为一般式为34100x y --=． 综上，l 的方程为2x =或34100x y --=；（2）由第1问知直线与圆交于两点，则斜率必定存在，则直线l 的方程为210kx y k ---=，所以圆心到直线l的距离d =所以ΔCMN面积1··2S d ===所以当d =S 取得最大值2，由d ==解得1k =或7k =，所以直线l 的方程为30x y --=或7150x y --=． 31.（本小题满分4分）设函数()3x f x =，且(2)18f a +=，函数()34()ax xg x x R =-∈．（1）求()g x 的解析式；（2）若方程()g x －b=0在 [－2，2]上有两个不同的解，求实数b 的取值范围．【答案】（（1）()24x xg x =-，（2）31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 【解析】解：（1）∵()3xf x =，且(2)18f a +=∴⇒∵∴（2）法一：方程为令，则144t ≤≤- 且方程为在有两个不同的解．设2211()24y t t t =-=--+，y b =两函数图象在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个交点 由图知31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，方程有两不同解． 法二： 方程，令，则144t ≤≤ ∴方程在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解．设21(),,44f t t t b t ⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦解得31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭。

一、单选题二、多选题1.展开式中的系数为（ ）A ．270B ．240C ．210D ．1802. 已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为20，若短轴长为6，则椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．3.中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是A．B．C．D．4. 10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12．设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有（ ）A．B．C．D．5. 在直角坐标系中，角的始边为轴的正半轴，顶点为坐标原点，已知角的终边与单位圆交于点，将绕原点逆时针旋转与单位圆交于点，若，则（ ）A ．0.6B ．0.8C ．-0.6D ．-0.86.已知直线与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，动点P 在以点A 为圆心，2为半径的圆上，当 最大时，△APB 的面积为（ ）A．B ．1C ．2D．7. 已知函数，则下列判断中是真命题的有（ ）．①，；②是偶函数；③对于任意一个非零有理数，，；④存在三个点，，，使得为等边三角形．A ．①②③B ．①②③④C ．①③④D ．②③④8.已知集合，，则（ ）A．B．C．D．9. 下表是某电器销售公司2019年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表空调类冰箱类小家电类其他类营业收入占比90.10%4.98%3.82%1.10%净利润占比95.80%-0.48%3.82%0.86%则下列判断正确的是（ ）A ．该公司2019年度冰箱类电器销售亏损广东省2022年普通高中学业水平考试模拟卷数学试题（三）广东省2022年普通高中学业水平考试模拟卷数学试题（三）三、填空题四、解答题B ．该公司2019年度小家电类电器营业收入和净利润相同C ．该公司2019年度净利润主要由空调类电器销售提供D ．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2019年度空调类电器销售净利润占比将会降低10.已知的展开式中的所有项的二项式系数之和为64，记展开式中的第项的系数为，二项式系数为，，则下列结论正确的是（ ）A ．数列是等比数列B ．数列的所有项之和为729C ．数列是等差数列D ．数列的最大项为2011.如图，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，弦的中点为，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（）A ．以为直径的圆与相切B．C．D ．的最小值为412. 已知向量，，，则下列结论正确的有（ ）A．B．若，则C ．的最大值为2D ．的最大值为313. 函数且的图象恒过定点_______．14.若双曲线的一条渐近线方程为，则_________.15. 过点作直线与抛物线相交于，两点，且，则点到该抛物线焦点的距离为__________．16. 某校为了解高三年级1200名学生对成语的掌握情况，举行了一次“成语测试”比赛．从中随机抽取120名学生，统计结果如下：获奖人数与不获奖人数之比为，其中获奖人数中，女生占，不获奖人数中，女生占．(1)现从这120名学生中随机抽取1名学生，求恰好是女生的概率；(2)对获奖学生采用按性别分层随机抽样的方法选取8人，参加赛后经验交流活动．若从这8人中随机选取2人．①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到1名男生和1名女生的概率；②记为入选的2人中的女生人数，求随机变量的分布列及数学期望．17.在直角梯形 (如图1)，，，AD ＝8，AB ＝BC ＝4，M 为线段AD 中点．将△ABC 沿AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到几何体B －ACD (如图2)．(1)求证：CD⊥平面ABC；(2)求AB与平面BCM所成角的正弦值．18. “海水稻”就是耐盐碱水稻，是一种介于野生稻和栽培稻之间的普遍生长在海边滩涂地区，具有耐盐碱的水稻，它比其它普通的水稻均有更强的生存竞争能力，具有抗涝，抗病虫害，抗倒伏等特点，还具有预防和治疗多种疾病的功效，防癌效果尤为显著.海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度(‰)对亩产量(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量与海水浓度之间的相关关系，用最小二乘法计算得与之间的线性回归方程为.海水浓度(‰)34567亩产量(吨)0.620.580.490.40.31残差（1）请你估计：当浇灌海水浓度为8‰时，该品种的亩产量.（2）①完成上述残差表：②统计学中，常用相关指数来刻画回归效果，越大，模型拟合效果越好，并用它来说明预报变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据，利用统计学的相关知识，说明浇灌海水浓度对亩产量的贡献率？（计算中数据精确到）(附：残差公式，相关指数)19.已知函数（1）若函数图像上各点切线斜率的最大值为2，求函数的极值点；（2）若不等式有解，求a的取值范围．20. 如图, 是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论．21.在中，，，分别是内角，，的对边，且(1)求；(2)若，，求的周长.。

一、单选题二、多选题1.已知函数的定义域为，则函数的定义域为A．B．C．D．2. 设复数满足，在复平面内对应的点为，则（ ）A．B．C．D．3. 已知抛物线E ：（）的焦点为F ，点A 是抛物线E 的准线与坐标轴的交点，点P 在抛物线E 上，若，则（ ）A．B．C．D．4. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的渐近线方程是（ ）A．B．C．D．5. 已知为上的奇函数，为偶函数，若当，，则（ ）A．B．C ．1D ．26. 已知集合，，，则（ ）A．B．C．D．7. 已知整数a ，b ，c ，t 满足：2a ＋2b ＝2c ，t ＝，则log 2t 的最大值是A ．0B ．log 23C ．2D ．38. 设集合M ={0,3}，N ={1,2,3}，则M ∪N =A ．{3}B ．{0,1,2}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2,3}9. 下列说法不正确的是（ ）A ．若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是B．若，，不共线，且，则，，、四点共面C．对同一平面内给定的三个向量，，，一定存在唯一的一对实数，，使得.D ．中，若，则一定是钝角三角形.10. 已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值可以为（ ）A ．1B．C．D ．211. 在棱长为1的正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则（ ）A ．点的轨迹是一条线段B ．直线与可能相交C ．直线与不可能平行D ．三棱锥的体积为定值12. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知广东省2022年普通高中学业水平考试模拟卷数学试题（三）(3)广东省2022年普通高中学业水平考试模拟卷数学试题（三）(3)三、填空题四、解答题甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法正确的是（ ）A．甲得钱是戊得钱的倍B．乙得钱比丁得钱多钱C．甲、丙得钱的和是乙得钱的倍D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱13. 已知函数，若存在实数，使得，则的取值范围是______.14. 已知实数，则的最小值为______.15.已知函数的最小正周期为，将其图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则___________；当时的值域是___________.16. 设的导数满足，其中常数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，求函数的极值.17.设等差数列的前项和为，已知.(1)求数列的通项公式;(2)若，求数列的前项和.18.如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，，，平面平面.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.19. 一个盒子中装有形状、大小完全相同的6个小球，其中4个白球，2个黑球．（Ⅰ）如果每次从盒子中取出1个小球，记录小球颜色后放回盒子中，再取1个小球，求连续两次取出的小球都是白球的概率；（Ⅱ）如果—次从盒子中取出2个小球，求2个小球颜色不相同的概率．20. 设等比数列的首项为，公比且，前项和为.（Ⅰ）当时，三数成等差数列，求数列的通项公式；（Ⅱ）对任意正整数，命题甲：三数构成等差数列．命题乙：三数构成等差数列．求证：对于同一个正整数，命题甲与命题乙不能同时为真命题．21. 已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与的交点为，且.（1）求的方程；（2）设，动点在曲线上，曲线在点处的切线为.问：是否存在定点，使得与都相交，交点分别为，且与的面积之比是常数？若存在，求的值；若不存在，说明理由.。

一、单选题二、多选题1. 定义在R 上的偶函数满足，且当时单调递增，则A．B．C．D．2.已知，则的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．4.复数的虚部是（ ）A．B．C．D．5. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．6. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）A．B．C．D．7.将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，再将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线，则的解析式为（ ）A．B．C．D．8. 已知函数，下列说法正确的是（ ）A ．既不是奇函数也不是偶函数B ．的图象与有无数个交点C．的图象与只有一个交点D．9. 已知，，若，则（ ）A ．1B．C．D．10. 设全集，集合，，则（ ）A．B．C．D．11.如图，在正方体中，点E ，F 分别为，BC 的中点，设过点E ，F，的平面为，则下列说法正确的是（ ）广东省2022年普通高中学业水平考试模拟卷数学试题（三）三、填空题四、填空题五、解答题A．为等边三角形；B ．平面交正方体的截面为五边形；C．在正方体中，存在棱与平面平行；D．在正方体中，不存在棱与平面垂直；12. 设是定义在上的函数，对，有，且，则（）A．B．C．D．13. 下列说法正确的是（ ）A ．若函数，则B．若函数，则C ．若，，则D ．若，则14. 已知事件满足，，则下列结论正确的是（ ）A ．如果，那么B ．如果，那么，C ．如果与互斥，那么D ．如果与相互独立，那么15. 已知向量的夹角为，，，则______．16. 设x ，，向量，，，且，，则______．17. 已知全集，集合，则__________.18.在数列中，，，，对，恒成立，则的通项公式为________；若，则数列的前n项和________．19. 在实数集中定义一种运算，满足下列性质：①对任意的，；②对任意的，，；③对任意的，，，；则______，函数的最小值为______．六、解答题七、解答题八、解答题20. 化简：．21.设，化简：．22. 已知函数，．(1)在给出的坐标系中画出函数的图像；(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．23. 中国共产党十六届五中全会提出要按照“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的要求，扎实推进社会主义新农村建设，2018年4月习近平近日作出重要指示强调，要结合实施农村人居环境整治三年行动计划和乡村振兴战略，建设好生态宜居的美丽乡村.为推进新农村建设某自然村计划在村边一块废弃的五边形荒地上设置一个绿化区，如图所示，边界以及对角线均为绿化区小路（不考虑宽度），，,.（1）求四边形的面积；（2）求绿化区所有小路长度之和的最大值.24.已知数列的前n项和为，且，.（1）求证：是等差数列；（2）求；（3）若，求.25. 某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.九、解答题(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位:瓶)的分布列.(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位:瓶)为多少时,Y 的数学期望达到最大值?26.已知数列的前项和．（1）求数列的通项公式；（2）设，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．。

一、单选题二、多选题1. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为A．B．C．D．2.已知且，函数，若，则（ ）A ．2B．C．D．3. 若对于任意的，都有，则a 的最大值为（ ）A．B ．C ．1D．4. 数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出，不是质数．现设，数列的前项和为，则使不等式成立的正整数的最大值为（ ）A ．11B ．10C ．9D ．85. 若复数，，则下列结论错误的是（ ）A．是实数B ．是纯虚数C．D．6.已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D ．37. 如图所示，复数，在复平面中所对应的点分别为A ，B ，网格中的每个小正方形的边长都为1，则A．B ．2C．D．8.已知点在第二象限，则的一个变化区间是A．B．C．D．9. 已知函数，则（ ）A ．函数无最小值B．函数有两个零点C ．直线与函数的图象最多有3个公共点D ．经过点可作图象的1条切线10.如图，在长方体中，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ）广东省2022年普通高中学业水平考试模拟卷数学试题（三）广东省2022年普通高中学业水平考试模拟卷数学试题（三）三、填空题四、解答题A ．直线平面B ．三棱锥的体积为C．三棱锥的外接球的表面积为D ．直线与平面所成角的正弦值的最大值为11. 依据我国《地表水环境质量标准》，水质由高到低可以分为I 、II 、III 、IV 、V 、劣V 类六个类别，其中I 、II 类水质适用于饮用水源地一级保护区，劣V 类水质除调节局部气候外，几乎无使用功能.环境监测部门某一年对全国范围内各大水域的水质情况进行监测，统计了各水域不同水质所占的比例，得到了下面的统计图.从统计图中能够得到的合理推断是（）A ．浙闽片河流、西北诸河、西南诸河水质情况整体高于其他流域水质情况B ．辽河流域I~III 类水质占比小于60%C ．黄河流域的水质比长江流域的水质要好D ．IV 、V 类水质所占的比例最高的是淮河流域12. 一种新冠病毒变种在多个国家和地区蔓延扩散，令全球再度人心惶惶．据悉，新冠病毒变种被世界卫生组织定义为“关切变异株”，被命名为奥密克戎（Omicron ）．根据初步研究发现，奥密克戎变异株比贝塔（Beta ）变异株和德尔塔（Delta ）变异株具有更多突变，下图是某地区奥密克戎等病毒致病比例（新增病例占比）随时间变化的对比图，则下列说法正确的有（）A．奥密克戎变异株感染的病例不到天占据新增病例的多B．德尔塔变异株用了天占据该地区约的新增病例C ．贝塔变异株的传染性比德尔塔变异株的传染性强D ．德尔塔变异株感染的病例占新增病例用了约天13. 已知函数，若，则______．14.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过点P作，交准线l 于点A .若，则的长为_________.15. 已知函数，则函数的极大值为 ___________．16. 已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围．17. ，，分别为锐角内角A，，的对边.已知.（1）求；（2）若，试问的值是否可能为5?若可能，求的周长；若不可能，请说明理由.18. 为激活国内消费布场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策，某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，界定3至8月份购买商品在5000元以上人群属“购买力强人群”，购买商品在5000元以下人群属“购买力弱人群”.现从电商平台消费人群中随机选出200人，发现这200人中属购买力强的人数占80%，并将这200人按年龄分组，记第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图，如图所示.（1）求出频率分布直方图中的a值和这200人的平均年龄；（2）从第2，3，5组中用分层抽样的方法抽取12人，并再从这12人中随机抽取3人进行电话回访，求这三人恰好属于不同组别的概率；（3）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中“购买力弱人群”的中老年人有20人，问是否有99%的把握认为是否“购买力强人群”与年龄有关？附：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828，19. 如图，在四棱锥中，已知，．(1)求证：；(2)若平面平面，，且，，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．20. 已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，若，则正整数n的最小值．21. 已知函数．（1）若曲线在点处的切线与曲线相切，求的值；（2）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围．。

4题图215题图学业水平考试模拟考试（三）数学试题第I 卷（选择题 共45分）一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．|–4|的值是A ．4B ．–4C ．2D ．–2 2．下列运算正确的是A ．236a a a ⋅=B ．33a a a ÷=C ．235()a a =D ．224(3)9a a =3．我市大约有34万中小学生参加了“廉政文化进校园”教育活动，将数据34万用科学记数法表示，正确的是A. 3.4×105B.0.34×105C. 34×105D. 340×1054．如图所示的几何体的左视图是5．如图，直线l 1//l 2，∠1=55°，则∠2的度数是 A ．65° B ．60° C ．55° D ． 50° 6．若分式2aba b+中的a 、b 的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值A.是原来的20倍B.是原来的10倍C.是原来的0.1倍D.不变7的结果估计在 A ．6至7之间 B ．7至8之间 C ．8至9之间 D ．9至10之间8．在某次体育测试中，九年级三班6位同学的立定跳远成绩（单位：m ）分别为：1.71，1.85，1.85，1.96，2.10，2.31．则这组数据的众数和极差分别是A. 1.85和0.21B. 2.11和0.46C. 1.85和0.60D. 2.31和0.609．矩形ABCD 中的顶点A 、B 、C 、D 按顺时针方向排列,若在平面直角坐标系内, B 、D 两点对应的坐标分别是（2, 0）、(0, 0)，且 A 、C 两点关于x 轴对称，则C 点对应的坐标是A ．（1，1）B ．（1, －1）C ．（1, －2）D ．）10．△ABC 与平行四边形DEFG 如图放置，点D ，G 分别在边AB ，AC 上，点E ，F 在边BC 上．已知BE =DE ，CF =FG ，则∠A 的度数是A ．86°B ．90°C ．96°D ．条件不足，无法判断11．某风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图所示的风筝，点E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 各边的中点.其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均 不计余料）.若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料A ．15匹B ．30匹C ．60匹D ．30匹A B C D15题图12．设点()11,A x y 和()22,B x y 是反比例函数ky x=图象上的两个点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2，则一次函数y =－2x +k 的图象不经过的象限是A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限13．如图，矩形ABCD 是由三个矩形拼接成的．如果AB =8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为A ．7B ．6C ．5D ．414．如图，AB =10，C 是线段AB 上一点，分别以AC 、CB 为边在AB 的同侧作等边△ACP 和等边△CBQ ，连结PQ ，则PQ 的最小值是A ．5B ．6C ．3D ．4 15．如图，直线l 与反比例函数2y x=的图象在第一象限内交于A 、B 两点，交x 轴的正半轴于C 点，若AB :BC ＝(m －1):1(m >1)，则△OAB 的面积(用m 表示)为A ．212m m-B ．21m m -C ．23(1)m -D ．23(1)m -第Ⅱ卷（非选择题 共75分）二、填空题(本大题共6个小题.每小题3分，共18分.把答案填在答题卡对应位置的横线上.) 16．20150 =__________．17．在-1，0，13，1__________.18．如图，将平行四边形ABCD 的一边BC 延长至E ，若∠A =110°，则∠1=________．19．不等式360x -<的解集是____________.20．一元二次方程2450x x --=的解是： ．21．如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠C =90°，AB =6，⊙OO 从点A 出发，沿着线段AB 滑动，⊙O 随着点O 的运动而移动，当⊙O 与BC 相切时，⊙O 沿AB 平移的距离 ． ．13题图14题图P Q 第18题图EABCD EO第23(2)题图三、解答题(本大题共7个小题.共57分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 22．本题满分7分(1)解方程组：24,2 5.x y x y +=⎧⎨+=⎩(2)先化简：22144(1)1a a a a a-+-÷--，然后从1、2、–1中选出一个作a 的值，求出代数式的值．23．(1)（本题满分3分）如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E ，F 分别在AB ，AD 上，且AE =AF ． 求证：CE =CF ．23(2) (本小题满分4分)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ,垂足为E ，∠CDB ＝30°，CD＝，求图中阴影部分的面积.24. (本小题满分8分)小明和小丽用形状大小相同、面值不同的5张邮票设计了一个游戏，将面值1元、2元、3元的邮票各一张装入一个信封，面值4元、5元的邮票各一张装入另一个信封．游戏规定：分别从两个信封中各抽取1张邮票，若它们的面值和是偶数，则小明赢；若它们的面值和是奇数，则小丽赢. 请你判断这个游戏是否公平，并说明理由．25. (本小题满分8分)AB C DE F 第23(2)题图我市为治理污水，某地需要铺设一段全长为300 m的污水排放管道．铺设120 m后，为了尽量减少施工对我市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度．26. (本小题满分9分)如图，已知A1(4)2-，），B（﹣1，2）是一次函数y kx b=+与反比例函数(m0)myx=<图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．27. (本小题满分9分)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A 、B 的坐标分别为（12，0）、（12，6），直线12y kx =+与y 轴交于点P ，与边OA 交于点D ，与边BC 交于点E ．（1）若3tan 2PDO ∠=，求k 的值； （2）在（1）的条件下，当直线12y kx =+绕点P 顺时针旋转时，与直线BC 和x 轴分别交于点N 、M ，问：是否存在NO 平分∠CNM 的情况？若存在，求线段DM 的长；若不存在，请说明理由；（3）在（1）的条件下，将矩形OABC 沿DE 折叠，若点O 落在边BC 上，求出该点坐标；若不在边BC 上，求将（1）中的直线沿y 轴怎样平移，使矩形OABC 沿平移后的直线折叠，点O 恰好落在边BC 上．28. (本小题满分9分)如图，对称轴为直线x ＝72的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）． (1)求抛物线的解析式及抛物线与x 轴的另一交点C 的坐标；(2)D 为坐标平面上一点，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，写出点D 的坐标；(3)如图2，点E （x ，y ）是抛物线上位于第四象限的一点，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．①当□OEAF 的面积为24时，请判断□OEAF 是矩形吗？是菱形吗？②是否存在点E ，使□OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．数学试题参考答案与评分标准二、填空题 16. 1 17.1318. 70° 19. 2x < 20. 125,1x x ==- 21．4三、解答题22．本题满分7分(1)解：②×2–①，得36y =3, 解得2y = ····························································· 2分 代人①，得1x =∴方程组的解是1,2.x y =⎧⎨=⎩. ······························································· 3分(2)解：2221442(1)(1)11(2)a a a a a a a a a a -+---÷=∙---- ····················································· 1分 =2a a - ·············································································································· 3分 当1a =-，原式=13································································································· 4分23．本题满分7分 (1) 证明：∵ 四边形ABCD 是菱形∴EAC FAC ∠=∠……………………………………………………1分 又∵AE =AF ，AC 为公共边 ∴△ACE ≌ △ACF ……………………………………………………2分 ∴CE =CF ………………………………………………………………3分（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，弦C D ⊥AB ，∴CE∵ ∠CDB ＝30°， ∴∠COE ＝60° ······································································································ 1分在Rt △OEC 中，OC =OE /sin 60＝2 ···················································· 2分 ∵CE =DE ，∠COE ＝∠DBE ＝ 60° ∴Rt △COE ≌Rt △DBE ···························································································· 3分∴21124663OBC S S OC πππ⨯⨯阴影扇形＝＝＝＝ 4分24. 解：游戏是公平的………………………………………………………………………1分抽取的面值之和列表（或树状图）为：4分总共有6种可能，面值和是偶数和奇数各3种可能1(2P =小明赢)，1(2P =小丽赢)．…………………………………………………….6分 ∴游戏对双方是公平的 ···························································································· 8分 25. 解：设原计划每天铺设m x 管道，那么根据题意，可得 ······························· 1分 120300-120301.2x x += ································································································ 4分 解得9x = ················································································································ 6分 经检验9x =是原方程的根 ······················································································ 7分 答：原计划每天铺设9m 管道 ················································································· 8分26. 解：（1）由图象得一次函数图象在上的部分，41x -<<-， 当41x -<<-时，一次函数大于反比例函数的值； ·············································· 2分 （2）设一次函数的解析式为y kx b =+， 图象过点（﹣4，12），（﹣1，2），则 1422k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩， ········································································································ 4分 解得1252k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ·············································································································· 5分一次函数的解析式为1522y x =+， 反比例函数my x=图象过点（﹣1，2）， 122m =-⨯=- ········································································································ 6分（3）连接PC 、PD ，如图，设115(,)222P x x + ····································································································· 7分由△PCA 和△PDB 面积相等得11115(4)1(2)22222x x ⨯⨯+=⨯-⨯--······································································ 8分 52x =-，155224y x =+=∴P 点坐标是55(,)24-． ·························································································· 9分27. 解：（1）∵直线12y kx =+经过点(0,12)且3tan 2PDO ∠=， 32PO DO ∴= ················································································································ 1分 8OD ∴= 即32k =- ················································································································· 2分（2）如图1假设存在ON 平分∠CNM 的情况 ①当直线PM 与边BC 和边OA 相交时，过O 作OH ⊥PM 于H ∵ON 平分∠CNM ，OC ⊥BC ， ∴OH =OC =6由（1）知OP =12，∴∠OPM =30°∴OM =OP •tan 30°=8OD =8DM ∴=-； ·································································································· 4分②当直线PM 与直线BC 和x 轴相交时同上可得8DM ∴=+（或由OM =MN 解得）； ··············································· 6分（3）如图2假设沿DE 将矩形OABC 折叠，点O 落在边BC 上O ′处连接PO ′、OO ′，则有PO ′=OP 由（1）得BC 垂直平分OP ，∴PO ′=OO ′ ∴△OPO ′为等边三角形，∴∠OPD =30° 而由（2）知∠OPD ＞30°所以沿DE 将矩形OABC 折叠，点O 不可能落在边BC 上 ·································· 7分如图3设沿直线32y x a =-+将矩形OABC 折叠，点O 恰好落在边BC 上O ′处连接P ′O ′、OO ′，则有P ′O ′=OP ′=a 由题意得：CP ′=a ﹣6，∠OPD =∠AO ′O 在Rt △OPD 中，tan ODOPD OP ∠= 在Rt △OAO ′中，tan 'O 'OAAO AO ∠='OD OA OP AO ∴=即86'912'AO AO ∴==，在Rt △AP ′O ′中，由勾股定理得：222(6)9a a -+=解得399,1244a a =-= 所以将直线3122y x =-+沿y 轴向下平移94个单位得直线33924y x =-+，将矩形OABC 沿直线33924y x =-+折叠，点O 恰好落在边BC 上． ············································································ 9分28. 解：（1）由抛物线的对称轴是72x =，可设解析式为27()2y a x k =-+． · 1分把A 、B 两点坐标代入上式，得227(6)0,27(0) 4.2a k a k ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ ································································································· 1分 解之，得225,.36a k ==-故抛物线解析式为2214633y x x =-+ (或22725()326y x =--． ··························· 2分 当0y =时，126,1x x ==, ∴C (1，0) ································································· 3分 （2）123(5,4)D (7,4)D (5,4)D -- ··········································································· 4分 （3）①根据题意，当S = 24时，即27425242x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭．化简，得271().24x -= 解之，得123, 4.x x ==故所求的点E 有两个，分别为()()123,44,4E E --． ············································· 5分 因为OE 不垂直于AE ，所以□OEAF 不可能是矩形. ············································ 6分 因为点()13,4E -满足OE = AE ，所以□OEAF 是菱形； ······································· 7分因为点()24,4E -不满足OE = AE ，所以□OEAF 不是菱形 ·································· 8分当OA ⊥EF ，且OA = EF 时，□OEAF 是正方形，此时点E 的坐标只能是（3，－3）．而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E 使□OEAF 为正方形． ······················································· 9分图2。

学业水平考试模拟试卷(三)(时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．若纯虚数z 满足(1－i)z ＝1＋ai ，则实数a 等于( ) A ．0 B ．－1或1 C ．－1 D ．1解析：(1－i)z ＝1＋ai ⇒z ＝1＋ai 1－i ＝12(1－a)＋12(a ＋1)i ，∵z 为纯虚数，∴有1－a ＝0且a＋1≠0，则a ＝1且a≠－1，故本题的正确选项为D.答案：D2．已知集合A ＝{1，2}，集合B 满足A ∪B ＝{1，2，3}，则集合B 有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：∵A ∪B ＝{1，2，3}，A ＝{1，2}，∴集合B 中应含有元素3，故集合B 可以为{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，故选D.答案：D3．函数f(x)＝ln(x 2－x)的定义域为( ) A ．(0，1)B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：要使函数有意义，需满足x 2－x>0，解得x<0或x>1，故选C. 答案：C4．已知x ，y 的可行域如图阴影所示，z ＝mx ＋y(m>0)在该区域内取得最小值的最优解有无数个，则实数m 的值为( )A ．－74 B.47 C.12D ．2解析：由题意知y ＝－mx ＋z(m>0)，欲使目标函数在可行域内取得最小值的最优解有无数个，则需要－m ＝k AC ＝1－32－1＝－2，∴m ＝2，因此选D.答案：D5．设α，β是两个平面，l ，m 是两条直线，下列命题中，可判断α∥β的是( ) A ．l ⊂α，m ⊂α且l ∥β，m ∥β B ．l ⊂α，m ⊂β且m ∥α C ．l ∥α，m ∥β且l ∥m D ．l ⊥α，m ⊥β且l ∥m解析：选项A ，只有当l 与m 相交时，才有α∥β；选项B ，当m ∥α时，α与β还可能相交；选项C ，α与β也可能相交；选项D ，结合线面垂直的性质及面面平行的判定可知正确．答案：D6．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M>N B ．M ＝N C ．M<N D ．与x 有关 解析：M －N ＝x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0，∴M>N. 答案：A7．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )A. 2 B ．3－2 2 C ．3＋2 2 D. 3解析：a 1，12a 3，2a 2成等差数列，∴a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，解得q ＝1＋2，a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2.答案：C8．若f(x)是偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f(x)＝x －1，则f(x －1)＜0的解集是( ) A ．(－1，0) B ．(－∞，0)∪(1，2) C ．(1，2)D ．(0，2)解析：根据函数的性质作出函数f(x)的图象如图，把函数f(x)的图象向右平移1个单位，得到函数f(x －1)的图象，如图，则不等式f(x －1)＜0的解集为(0，2)．答案：D9．如果cos (π＋A)＝－12，那么sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A ＝( ) A ．－12 B.12 C ．－32 D.22解析：∵cos (α＋A)＝－cos A ＝－12，∴cos A ＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎫α2＋A ＝cos A ＝12. 答案：B10．过抛物线y ＝2x 2的焦点的直线与抛物线交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1x 2＝( ) A ．－2 B ．－12 C ．－4 D ．－116解析：由y ＝2x 2得x 2＝12y ，其焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫0，18，取直线y ＝18，则其与y ＝2x 2交于A ⎝⎛⎭⎫－14，18，B ⎝⎛⎭⎫14，18，∴x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫－14×⎝⎛⎭⎫14＝－116. 答案：D11．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( ) A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心解析：∵x 2＋y 2＝2的圆心(0，0)到直线y ＝kx ＋1的距离d ＝|0－0＋1|1＋k 2＝11＋k 2≤1，又∵r ＝2，∴0<d<r ，∴直线与圆相交但直线不过圆心． 答案：C12．“对x ∈R ，关于x 的不等式f(x)>0有解”等价于( ) A ．存在x ∈R ，使得f(x)>0成立 B ．存在x ∈R ，使得f(x)≤0成立 C ．任意x ∈R ，f(x)>0成立 D ．任意x ∈R ，f (x)≤0成立解析：“对x ∈R ，关于x 的不等式f(x)>0有解”的意思就是存在x ∈R ，使得f(x)>0成立，故选A.答案：A13．设F 为抛物线C ∶y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k>0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2 解析：F(1，0)，又∵曲线y ＝k x (k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，∴k1＝2，∴k ＝2.答案：D14．函数f(x)＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：∵f(x)＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112，而sin x ∈[－1，1]，∴当sin x ＝1时，取最大值5，选B.答案：B15．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧9a 1＋36d ＝27，a 1＋9d ＝8，所以a 1＝－1，d ＝1，a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99＝98，故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 16．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．解析：∵cos A ＝45，cos C ＝513，且A ，C 为三角形内角，∴sin A ＝35，sin C ＝1213.sin B ＝sin(A ＋C)＝sin Acos C ＋cos Asin C ＝6365，又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝asin B sin A ＝2113.答案：211317．已知函数f(x)＝4x ＋ax (x>0，a>0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．解析：由题f(x)＝4x ＋a x (x>0，a>0)，根据基本不等式4x ＋a x ≥4a ，当且仅当4x ＝ax 时取等号，而由题知当x ＝3时取得最小值，即a ＝36.答案：3618．要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，则电视塔的高度为__________m.解析：设电视塔AB 高为xm ，则在Rt △ABC 中，由∠ACB ＝45°，得BC ＝x.在Rt △ADB 中，∠ADB ＝30°，所以BD ＝3x.在△BDC 中，由余弦定理，得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC·CD·cos 120°，即(3x)2＝x 2＋402－2·x·40·cos 120°，解得x ＝40，所以电视塔高为40 m. 答案：4019．在[－1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．解析：直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交，需要满足圆心到直线的距离小于半径，d ＝|5k|1＋k 2＜3，解得－34＜k ＜34，而k ∈[－1，1]，所以发生的概率322＝34.答案：34三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)20．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝5，cos B ＝35.(1)求b 的值； (2)求sin C 的值．解：(1)∵b 2＝a 2＋c 2－2accos B ＝4＋25－2×2×5×35＝17，∴b ＝17. (2)∵cos B ＝35，∴sin B ＝45，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得1745＝5sin C，∴sin C ＝41717.21.(12分)在三棱锥V-ABC 中，平面V AB ⊥平面ABC ，△V AB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，V A 的中点．(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面V AB ； (3)求三棱锥V-ABC 的体积．(1)证明：∵O ，M 分别为AB ，V A 的中点， ∴OM ∥VB.又∵VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ， ∴VB ∥平面MOC.(2)证明：∵AC ＝BC ，O 为AB 的中点， ∴OC ⊥AB.又∵平面V AB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ， ∴OC ⊥平面V AB. 又OC ⊂平面MOC ， ∴平面MOC ⊥平面V AB.(3)解：在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2， ∴AB ＝2， OC ＝1.∴等边三角形V AB 的面积S △V AB ＝ 3. 又∵OC ⊥平面V AB ，∴三棱锥C-V AB 的体积等于13OC ·S △V AB ＝33.又∵三棱锥V-ABC 的体积与三棱锥C-VAB 的体积相等， ∴三棱锥V-ABC 的体积为33.。