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2018年北京市普通高中学业水平考试合格性考试第一部分 选择题（每小题3分，共75分） 1.已知集合{}0,1A =，{}1,1,3B =-，那么A B 等于A.{}0B.{}1C.{}0,1D.{}0,13，2.平面向量a,b 满足b =2a ，如果a =(1,2)，那么b 等于 A.(-2,-4) B.(-2,4) C.(2,-4) D.(2,4)3.如果直线y =kx -1与直线y =3x 平行，那么实数k 的值为A.-1B.13-C.13D.34.如图，给出了奇函数()f x 的局部图像，那么(1)f 等于 A.-4B.-2C.2D.45.如果函数()(0,1)x f x a a a =≠且的图像经过点（2,9），那么实数a 等于A. B. C.2 D.36.某中学现有学生1800人，其中初中学生1200人，高中学生600人.为了解学生在“阅读节”活动中的参与情况，决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为180的样本，那么应从高中学生中抽取的人数为 A.60 B.90 C.100 D.1107.已知直线l 经过点O (0,0)，且与直线x - y -3=0垂直，那么直线l 的方程是 A.x +y -3=0 B.x -y +3=0 C.x +y =0 D.x -y =08.如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 中点，那么向量12AB AD +等于 A.AE B.ACC.DCD.BC9.实数131()log 12-+的值等于 A.1B.2C.3D.410.函数2y x =，3y x =，1()2x y =，lg y x =中，在区间(0,)+∞上为减函数的是A.2y x =B.3y x =C.1()2x y =D.lg y x =11.某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖两类奖项.已知中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.1，那么本次活动中，中奖的概率为 A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.712.如果正ABC ∆的边长为1，那么AB AC ⋅等于 A.12-B.12C.1D.213.在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，如果00=1045,30a A B ==，，那么b 等于 A.522B.52C.102D.20214.已知圆C: 2220x y x +-=，那么圆心C 到坐标原点O 的距离是A.12B.22C.1D.215.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，1A A ⊥底面ABCD ，121A A AB ==，，那么该四棱柱的体积为A.1B.2C.4D.816.函数3()5f x x =-的零点所在的区间是 A.（1,2）B.（2,3）C.（3,4）D.（4,5）17.在0sin50，0sin50-，0sin 40，0sin 40-四个数中，与相等的是 A.0sin50B.0sin50-C.0sin 40D.0sin 40-18.把函数sin y x =的图像向右平移4π个单位得到()y g x =的图像，再把()y g x =图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），所得到图像的解析式为 A.2sin()4y x π=- B.2sin(+)4y x π=C.1sin()24y x π=-D.1sin(+)24y x π=19.函数21()1x x f x x x -≤-⎧=⎨-⎩的最小值是 A.-1 B.0 C.1 D.220.在空间中，给出下列四个命题： ①平行于同一个平面的两条直线互相平行； ②垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ③平行于同一条直线的两个平面互相平行； ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行. 其中正确命题的序号是 A.① B.② C.③ D.④21.北京市环境保护监测中心每月向公众公布北京市各区域的空气质量状况.2018年1月份各区域的PM2.5浓度情况如下表：从上述表格随机选择一个区域，其2018年1月份PM2.5的浓度小于36微克/立方米的概率是 A.117B.417C.517D.91722.已知5sin ,(0,)132παα=∈，那么sin()4πα+A. B.23.在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，如果3,2,22a b c ===，那么ABC∆的最大内角的余弦值为A.18B.14C.38D.1224.北京故宫博物院成立于1925年10月10日，是在明、清朝两代皇宫及其宫廷收藏的基础上建立起来的中国综合性博物馆，每年吸引着大批游客参观游览。
北京市2018届高三春季普通高中会考数学试卷第一部分 选择题（每小题3分 共75分）在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{12,3}A =，，{1,2}B =，那么A B =∩等于（ ）A ．{3}B ．{1,2}C ．{1,3}D ．{1,2,3}2. 已知直线l 经过两点(1,2)P ，(4,3)Q ，那么直线l 的斜率为（ ）A ．-3B ．13-C ． 13D ．3 3.对任意，下列不等式恒成立的是A ． 20x fB ．0x f C ． 1()+102x f D ．lg 0x f 4.已知向量(,3)a x =r ，(4,6)b =r ，且a b r r P ，那么x 的值是（ ） A ． 2 B ．3 C. 4 D ．65.给出下列四个函数①1y x =;②y x =; ③lg y x =; ④31y x =+，其中奇函数的序号是 A ． ① B ． ② C ． ③ D ．④6.要得到sin()12y x π=-函数的图像，只需将函数sin y x =的图像 A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向上平移12π个单位 D ．向下平移12π个单位 7.某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出S 的值是A ． 3B ．6C ． 10D ．158.设数列{}n a 的前项和为n S ，如果11a =，12n n a a +=-*()n N ∈那么1S ，2S ，3S ，4S 中最小的是A ．1SB ．2SC ．3SD ．4S9. 222log log 63+等于A ． 1B ． 2C ．5D ．610.如果α为锐角，4sin 5α=，那么sin 2α的值等于 A ． 2425 B ． 1225 C ． 1225- D ．2425- 11.已知0,0a b f f ，且28a b +=，那么ab 的最大值等于A ． 4B ．8C ． 16D ．3212.0000cos12cos18sin12sin18-的值等于 A ． 3- B ．12- C ． 12D ．3 13.共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年龄分布进行了统计，得到的数据如下表所示：年龄12-20岁 20-30岁 30-40岁 40岁及以上 比例 14% 45.5% 34.5% 6%为调查共享单车使用满意率情况，线采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取20-30岁的人数为A ． 12B ． 28C ． 69D ． 9114.某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是A ． 4πB ． 5πC ． 6πD ．24π+15.已知向量,a b r r 满足||1a =r ，||2b =r ，1a b =r r •，那么向量,a b r r 的夹角为A ． 30°B ． 60°C ． 120°D ．150°16.某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，那么某学生随机选择的连续两天至，有一天是星期二的概率为A ． 15B ． 14C ． 13D ．1217.函数()2f x x x =--的零点个数为 A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ．318.已知圆22:2M x y +=与圆22:(1-23N x y -+=）（），那么两圆的位置关系是 A ． 内切 B ． 相交 C ． 外切 D ．外离19.如图，平面区域（阴影部分）对应的不等式组是 A ．2020220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩ B ． 2020220x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≥⎩C ． 2020220x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪-+≥⎩D ．2020220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≤⎩20.在ABC ∆中，22,3,3a c C π==∠=，那么等于sin A A ．36 B ． 33 C ． 13 D ．2321.《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐.齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里，日增一十三里.驽马初日行九十七里，日减半里……”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去.已知长安和齐的距离是3000里.良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里.驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里……”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为A ． 1235B ．1800C ． 2600D ．300022.在正方体1111ABCD A B C D -中，给出下列四个推断：① 111AC AD ⊥ ② 11AC BD ⊥③ 平面11A C B //平面1ACD ④平面11A C B ⊥平面11BB D D其中正确．．的推断有A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ．4个23.如图，在ABC ∆中，090,3,BAC AB D ∠==在斜边BC 上，且2CD DB =，那AB AD ⋅u u u r u u u r 么的值为 A ． 3B ． 5C ． 6D ． 9 24.为了促进经济结构不断优化，2015年中央财经领导小组强调“着力加强供给侧结构性改革”.2017年国家统计局对外发布报告“前三季度全国工业产能利用率达到五年来最高水平”，报告中指出 “在供给侧结构性改革持续作用下，今年以来去产能成效愈加凸显，供求关系稳步改善”.下图为国家统计局发布的2015年以来我国季度工业产能利用率的折线图.说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，；例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较.根据上述信息，下列结论中错误的是A ．2016年第三季度和第四季度环比都有提高B ．2017年第一季度和第二季度环比都有提高C ．2016年第三季度和第四季度同比都有提高D ．2017年第一季度和第二季度同比都有提高25.已知函数2()2f x x x a a =--+在区间[1,3]-上的最大值是3，那么实数a 的取值范围是A ． (,0]-∞B ．(,1]-∞C ． [0,)+∞D ．1[,)2+∞ 第二部分 解答题（共25分）26.已知函数2()12sin f x x =-（1）()6f π= ； （2）求函数()f x 在区间[,]46ππ-上的最大值和最小值. 27.如图，在三棱锥P ABC -中，PB BC ⊥，AC BC ⊥，点,,E F G 分别为,,AB BC PC ，的中点（1）求证：PB //平面EFG ；（2）求证：BC EG ⊥28.已知数列{}n a 是等比数列，且118a =，公比2q =. （1）数列{}n a 的通项公式为n a = ；（2）数列{b }n 满足n b =2log n a *()n N ∈，求数列{b }n 的前n 项和n S 的最小值.29.已知圆22:226+1=0M x y x +-.（1）圆M 的圆心坐标为 ；（2）设直线l 过点(0,2)A 且与x 轴交于点D .与圆M 在第一象限的部分交于两点,B C .若O 为坐标原点，且OAB ∆与OCD ∆的面积相等，求直线l 的斜率.30.同学们，你们是否注意到：在雨后的清晨，沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的观光索道的电缆.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.下面我们来研究一类与悬链线有关的函数，这类函数的表达式为()+x x f x ae be -=（其中,a b 是非零常数，无理数2.71828e =L ）.（1）当1,a =()f x 为偶函数时，b = ；（2）如果()f x 为R 上的单调函数，请写出一组符合条件的的,a b 值；（3）如果()f x 的最小值为2，求a b 的最小值.参考答案选择题：1---25 BCCAA BBDBA BDDCB DBBAB ACCCB26. 12； [0,1]27.略28.42n n a -=；当3n =或4n =时，n S 取得最小值6- 29.圆心坐标3(,0)2；直线斜率为12- 30. 1b =；答案不唯一，只要满足0ab p 均可；最小值为2.。
2018年北京普通高中会考数学真题及答案第一部分 选择题（每小题3分，共75分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的. 1．已知集合A={1，2，3}，B={1，2}，那么A ∩B 等于（ ） A ．{3} B ．{1，2}C ．{1，3}D ．{1，2，3}2．已知直线l 经过两点P （1，2），Q （4，3），那么直线l 的斜率为（ ） A ．﹣3 B ．C ．D ．33．某小学共有学生2000人，其中一至六年级的学生人数分别为400，400，400，300，300，200．为做好小学放学后“快乐30分”活动，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取一年级学生的人数为（ ） A ．120 B ．40 C ．30 D ．204．已知向量，，且，那么x 的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．65．给出下列四个函数①；②y=|x|； ③y=lgx ； ④y=x 3+1，其中奇函数的序号是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④6．要得到函数的图象，只需将函数y=sinx 的图象（ ） A ．向左平移个单位 B ．向右平移个单位 C ．向上平移个单位D ．向下平移个单位7．在△中，，，，那么角等于（ ） ABC 2a =b =3c =B A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π128．给出下列四个函数： ； ； ； . ○11y x =-○22y x =○3ln y x =○43y x =其中偶函数的序号是（ ） A ． ○1B ． ○2C ． ○3D ． ○49．等于（ ）A ．1B ．2C ．5D ．610．如果α为锐角，，那么sin2α的值等于（ ） A ．B ．C ．D ．11．等于22log8log4D岁的人数为（ ）A．12 B ．28 C．69 D．9114．某几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）15．已知向量满足，，，那么向量的夹角为（ ）A．30° B．60° C．120° D．150°16．某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，那么某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为（ ）A． B． C． D．17．函数的零点个数为（ ）A．0 B．1 C．2 D．318．已知圆M：x2+y2=2与圆N：（x﹣1）2+（y﹣2）2=3，那么两圆的位置关系是（ ）A．内切 B．相交 C．外切 D．外离19．已知圆与圆相外切，那么等于（）221x y+=222(3)(0)x y r r-+=>rA．1B．2 C．3D．420．在△ABC中，，那么sinA等于（ ）A．B． C． D．1021．某地区有网购行为的居民约万人. 为了解他们网上购物消费金额占168日常消费总额的比例情况，现从中随机抽取人进行调查，其数据如右表20%所示. 由此估计，该地区网购消费金额占日常消费总额的比例在及以下的人数大约是1.68 3.21 4.41 5.59A．万 B．万 C．万 D．万22．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出下列四个推断：①A1C1⊥AD1 ②A1C1⊥BD ③平面A1C1B∥平面ACD1 ④平面A1C1B⊥平面BB1D1D其中正确的推断有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个23．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，D在斜边BC上，且CD=2DB，那的值为（ ）A．3 B．5 C．6 D．924．从2008年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去几年里快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色. 下图是2009年至2016年高铁运营总里程数的折线图（图中的数据均是每年12月31日的统计结果）.根据上述信息，下列结论中正确的是（）A．截止到2015年12月31日，高铁运营总里程数超过2万公里B．2011年与2012年新增高铁运营里程数之和超过了0.5万公里C．从2010年至2016年，新增高铁运营里程数最多的一年是2014年D．从2010年至2016年，新增高铁运营里程数逐年递增25．一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体是（ ）A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．四棱柱选择题答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25第二部分 解答题（每小题5分，共25分）26．已知函数f （x ）=1﹣2sin 2x （1）= ；（2）求函数f （x ）在区间上的最大值和最小值．27．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，PB ⊥BC ，AC ⊥BC ，点E ，F ，G 分别为AB ，BC ，PC ，的中点（1）求证：PB ∥平面EFG ； （2）求证：BC ⊥EG ．28． 如图，在三棱锥中，，．，分别是，的中点．P ABC -PB PC =AB AC =D E BC PB （Ⅰ）求证：平面； //DE PAC （Ⅱ）求证：平面平面． ABC ⊥PAD29．已知点P（﹣2，2）在圆O：x2+y2=r2（r＞0）上，直线l与圆O交于A，B两点．（1）r= ；（2）如果△PAB为等腰三角形，底边，求直线l的方程．30．已知圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．（1）圆M的圆心坐标为 ；（2）设直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D．与圆M在第一象限的部分交于两点B，C．若O为坐标原点，且△OAB与△OCD的面积相等，求直线l的斜率．参考答案选择题答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B A A B C B9 10 11 12 13 14 15 16 17B A A D D A B D B18 19 20 21 22 23 24 25B B B DC C C A第二部分解答题（每小题5分，共25分）26．已知函数f（x）=1﹣2sin2x（1）= ；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：函数f（x）=1﹣2sin2x=cos2x，（1）=cos（2×）=；故答案为：；（2）x∈[﹣，]，∴2x∈[﹣，]，∴cos2x∈[0，1]，∴当x=﹣时，f（x）取得最小值0，x=0时，f（x）取得最大值1，∴函数f（x）在区间上的最大值为1，最小值为0．27．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点（1）求证：PB∥平面EFG；（2）求证：BC⊥EG．【解答】证明：（1）∵点F，G分别为BC，PC，的中点，∴GF∥PB，∵PB⊄平面EFG，FG⊂平面EFG，∴PB∥平面EFG．（2）∵在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点，∴EF∥AC，GF∥PB，∴EF⊥BC，GF⊥BC，∵EF∩FG=F，∴BC⊥平面EFG，∵EG⊂平面EFG，∴BC⊥EG．28． 如图，在三棱锥中，，．，分别是，的中点．P ABC -PB PC =AB AC =D E BC PB （Ⅰ）求证：平面； //DE PAC （Ⅱ）求证：平面平面．ABC ⊥PAD （Ⅰ）证明：因为 ，分别是，的中点，D E BC PB 所以 ．//DE PC 因为 平面，平面，DE ⊄PAC PC ⊂PAC 所以 平面． ……………………………………2分//DE PAC （Ⅱ）证明：因为 ，，是的中点，PB PC =AB AC =D BC 所以 ，． PD BC ⊥AD BC ⊥因为 ， PD AD D = 所以 平面． BC ⊥PAD 因为 平面，BC ⊂ABC 所以 平面平面． ……………………………………5分ABC ⊥PAD29．已知点P （﹣2，2）在圆O ：x 2+y 2=r 2（r ＞0）上，直线l 与圆O 交于A ，B（1）r= ；（2）如果△PAB 为等腰三角形，底边，求直线l 的方程．【解答】解：（1）∵点P （﹣2，2）在圆O ：x 2+y 2=r 2（r ＞0）上， ∴r=2．…（1分）（2）因为△PAB 为等腰三角形，且点P 在圆O 上， 所以PO ⊥AB ． 因为PO 的斜率， 所以可设直线l 的方程为y=x+m ．由得2x 2+2mx+m 2﹣8=0．△=4m 2﹣8×（m 2﹣8）=64﹣4m 2＞0， 解得﹣4＜m ＜4．设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）， 可得． 所以．解得m=±2． 所以直线l 的方程为x ﹣y+2=0，x ﹣y ﹣2=0．…（5分） 30．已知圆M ：2x 2+2y 2﹣6x+1=0． （1）圆M 的圆心坐标为 ；（2）设直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D．与圆M在第一象限的部分交于两点B，C．若O为坐标原点，且△OAB与△OCD的面积相等，求直线l的斜率．【解答】解：（1）圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．转化为：．则圆M的圆心坐标为：（）．（2）直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D．则：设直线的方程为：y=kx+2．与圆M在第一象限的部分交于两点B，C．且△OAB与△OCD的面积相等，则：AB=CD．即：AM=DM．设点A（x，0）则：，整理得：x2﹣3x﹣4=0，解得：x=4或﹣1（负值舍去）．则：A（4，0）由于点A在直线y=kx+2上，解得：k=﹣故直线的斜率为﹣．故答案为：（，0）；直线的斜率为﹣．。
2018年北京市普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题（本大题共25小题，共75.0分）1. 已知集合A={0,1}，B={−1,1，3}，那么A∩B等于()A. {0}B. {1}C. {0,1}D. {0,1，3} 【答案】B【解析】解：∵集合A={0,1}，B={−1,1，3}，∴A∩B={1}．故选：B．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2. 平面向量a，b满足b=2a，如果a=(1,2)，那么b等于()A. (−2,−4)B. (−2,4)C. (2,−4)D. (2,4)【答案】D【解析】解：∵平面向量a，b满足b=2a，a=(1,2)，∴b=2(1,2)=(2,4)．故选：D．利用数乘向量运算法则直接求解．本题考查向量的求法，考查数乘向量运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3. 如果直线y=kx−1与直线y=3x平行，那么实数k的值为()A. −1B. −13C. 13D. 3【答案】D【解析】解：∵直线y=kx−1与直线y=3x平行，∴k=3，经过验证满足两条直线平行．故选：D．利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4. 如图，给出了奇函数f(x)的局部图象，那么f(1)等于()A. −4B. −2C. 2D. 4【答案】B【解析】解：根据题意，由函数的图象可得f(−1)=2，又由函数为奇函数，则f(1)=−f(−1)=−2，故选：B．根据题意，由函数的图象可得f(−1)的值，结合函数的奇偶性可得f(1)的值，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质，关键是掌握函数单调性的性质，属于基础题．5. 如果函数f(x)=a x(a>0，且a≠1)的图象经过点(2,9)，那么实数a等于()A. 2B. 3【答案】B 【解析】解：指数函数f(x)=a x(a>0,a≠1)的图象经过点(2,9)，∴9=a2，解得a=3，故选：B．由题意代入点的坐标，即可求出a的值．本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题．6. 某中学现有学生1800人，其中初中学生1200人，高中学生600人.为了解学生在“阅读节”活动中的参与情况，决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为180的样本，那么应从高中学生中抽取的人数为()A. 60B. 90C. 100D. 110【答案】A【解析】解：根据分层抽样的定义和题意，则高中学生中抽取的人数600×1801800=60(人)．故选：A．根据分层抽样的定义和题意知，抽样比例是1801800，根据样本的人数求出应抽取的人数本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在所求的层中抽取的个体数目．7. 已知直线l经过点O(0,0)，且与直线x−y−3=0垂直，那么直线l的方程是()A. x+y−3=0B. x−y+3=0C. x+y=0D. x−y=0【答案】C【解析】解：∵直线l与直线x−y−3=0垂直，∴直线l的斜率为−1，则y−0=−(x−0)，即x+y=0故选：C．由题意可求出直线l的斜率，由点斜式写出直线方程化简即可．本题考查了直线方程的求法，属于基础题．8. 如图，在矩形ABCD中，E为CD中点，那么向量12AB+AD等于()A. AEB. ACC. DCD. BC【答案】A【解析】解：在矩形ABCD中，E为CD中点，所以：12AB=DE，则：12AB+AD=AD+DE=AE．故选：A．直接利用向量的线性运算求出结果．本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9. 实数(12)−1+log31的值等于()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】解：(12)−1+log31=2+0=2．故选：B．直接利用有理指数幂及对数的运算性质求解即可．本题考查了有理指数幂及对数的运算性质，是基础题．10. 函数y=x2，y=x3，y=(12)x，y=lg x中，在区间(0,+∞)上为减函数的是()A. y=x2B. y=x3C. y=(12)x D. y=lg x【答案】C【解析】解：根据题意，函数y=x2，为二次函数，在区间(0,+∞)为增函数；y=x3，为幂函数，在区间(0,+∞)为增函数；y=(12)x，为指数函数，在区间(0,+∞)上为减函数；y=lg x中，在区间(0,+∞)为增函数；故选：C．根据题意，依次分析4个函数在区间(0,+∞)的单调性，综合即可得答案．本题考查函数单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．11. 某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖两类奖项.已知中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.1，那么本次活动中，中奖的概率为()A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.7【答案】B【解析】解：由于中一等奖，中二等奖，为互斥事件，故中奖的概率为0.1+0.1=0.2，故选：B．根据互斥事件概率加法公式即可得到其发生的概率的大小．此题考查概率加法公式及互斥事件，是一道基础题．12. 如果正△ABC的边长为1，那么AB⋅AC等于()A. −12B. 12C. 1D. 2【答案】B【解析】解：∵正△ABC的边长为1，∴AB⋅AC=|AB|⋅|AC|cos A=1×1×cos60∘=12，故选：B．根据向量的数量积的运算性质计算即可．本题考查了向量的数量积的运算，是一道基础题．13. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a=10，A=45∘，B=30∘，那么b等于()A. 522B. 52C. 102D. 202【答案】B 【解析】解：由正弦定理asin A=bsin B=csin C，得10sin45=bsin30，解得：b=52，故选：B．根据正弦定理直接代入求值即可．本题考查了正弦定理的应用，考查解三角形问题，是一道基础题．14. 已知圆C：x2+y2−2x=0，那么圆心C到坐标原点O的距离是()A. 12B. 22C. 1D. 2【答案】C【解析】解：根据题意，圆C：x2+y2−2x=0，其圆心C为(1,0)，则圆心C到坐标原点O的距离d=(0−1)2+(0−0)2=1；故选：C．根据题意，由圆的一般方程分析可得圆心C的坐标，进而由两点间距离公式，计算可得答案．本题考查圆的一般方程，涉及两点间距离公式，属于基础题．15. 如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，A1A⊥底面ABCD，A1A=2，AB=1，那么该四棱柱的体积为()A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】B【解析】解：∵在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，A1A⊥底面ABCD，A1A=2，AB=1，∴该四棱柱的体积为V=S正方形ABCD×AA1=12×2=2．故选：B．该四棱柱的体积为V=S正方形ABCD×AA1，由此能求出结果．本题考查该四棱柱的体积的求法，考查四棱柱的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16. 函数f(x)=x3−5的零点所在的区间是()A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)【答案】A【解析】解：由函数f(x)=x3−5可得f(1)=1−5=−4<0，f(2)=8−5=3>0，故有f(1)f(2)<0，根据函数零点的判定定理可得，函数f(x)的零点所在区间为(1,2)，故选：A．求得f(1)f(2)<0，根据函数零点的判定定理可得函数f(x)的零点所在的区间．本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基本知识的考查．17. 在sin50∘，−sin50∘，sin40∘，−sin40∘四个数中，与sin130∘相等的是()A. sin50∘B. −sin50∘C. sin40∘D. −sin40∘【答案】A【解析】解：由sin130∘=sin(180∘−50∘)=sin50∘．∴与sin130∘相等的是sin50∘故选：A．利用诱导公式化简可得答案．题主要考察了诱导公式的应用，属于基本知识的考查．18. 把函数y=sin x的图象向右平移π4个单位得到y=g(x)的图象，再把y=g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，所得到图象的解析式为()A. y=2sin(x−π4) B. y=2sin(x+π4) C. y=12sin(x−π4) D. y=12sin(x+π4)【答案】A【解析】解：把函数y=sin x的图象向右平移π4个单位得到y=g(x)=sin(x−π4)的图象，再把y=g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，所得到图象的解析式为y=2sin(x−π4)，故选：A．由题意利用函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．19. 函数f(x)=−x x≤−1x2x>−1的最小值是()A. −1B. 0C. 1D. 2【答案】B【解析】解：当x>−1时，f(x)=x2的最小值为f(0)=0；当x≤−1时，f(x)=−x递减，可得f(x)≥1，综上可得函数f(x)的最小值为0．故选：B．分别讨论两段函数的单调性和最值，即可得到所求最小值．本题考查分段函数的最值求法，注意分析各段的单调性和最值，考查运算能力，属于基础题．20. 在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③平行于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．其中正确命题的序号是()A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】B【解析】解；对于①，平行于同一个平面的两条直线互相平行或相交或异面，故①错误；对于②，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故②正确；对于③，平行于同一条直线的两个平面互相平行或相交，故③错误；对于④，垂直于同一个平面的两个平面互相平行或相交，故④错误．故选：B．由线面平行的性质可判断①；由线面垂直的性质定理可判断②；由两个平面的位置关系可判断③；由面面平行的判定定理可判断④．本题考查空间线线和面面的位置关系的判断，考查平行和垂直的判断和性质定理的运用，属于基础题．21. 北京市环境保护监测中心每月向公众公布北京市各区域的空气质量状况.2018年1月份各区域的PM2.5浓度情况如表：1PM2.5(/)从上述表格随机选择一个区域，其年月份PM2.5的浓度小于微克/立方米的概率是()A. 117B. 417C. 517D. 917【答案】D【解析】解：从上述表格随机选择一个区域，共有17种情况，其中2018年1月份PM2.5的浓度小于36微克/立方米的地区有9个，则2018年1月份PM2.5的浓度小于36微克/立方米的概率是917，故选：D．由表可知从上述表格随机选择一个区域，共有17种情况，其中2018年1月份PM2.5的浓度小于36微克/立方米的地区有9个，根据概率公式计算即可．本题主要考查频率分布表、古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等22. 已知sinα=513,α∈(0,π2)，那么sin(α+π4)=()A. −17226B. −7226C. 7226D. 17226【答案】D【解析】解：知sinα=513,α∈(0,π2)，那么cosα=1−sin2α=1213，则：sin(α+π4)=sinα⋅cosπ4+cosα⋅sinπ4=513⋅22+1213⋅22=17226，故选：D．直接利用同角三角函数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a=3,b=c=2，那么△ABC的最大内角的余弦值为()A. 18B. 14C. 38D. 12【答案】A【解析】解：△ABC中，a=3,b=c=2，∴a>c>b，∴△ABC的最大内角为A，且cos A=b2+c2−a22bc=2×2×22=18．。
2018北京市夏季会考数学试题 Word版含答案7北京市夏季普通高中会考数学试卷1.考生需认真填写考场号和座位序号。
2.本试卷共6页，分为两个部分。
第一部分是选择题，共25个小题（共75分）；第二部分是解答题，共5个小题（共25分）。
3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，试卷上作答无效。
第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。
第一部分选择题每小题3分，共75分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合A={-1.1}，B={1.2}，那么A∩B等于A。
{}B。
{1}C。
{-1.1}D。
{-1.1.2}2.已知某几何体的三视图如图所示，那么该几何体是（）A。
球B。
圆锥C。
圆台D。
圆柱3.某市有超市2000家，其中大型超市140家，中型超市400家，小型超市1460家。
现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取中型超市的数量为A。
7B。
20C。
40D。
734.sin(π+α)等于A。
sinαB。
-sinαC。
cosαD。
-cosα5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC=3.该长方体的表面积为A。
4B。
8C。
12D。
166.在三角形ABC中，∠A=60，∠B=45，BC=3，那么AC 等于A。
6B。
2C。
1D。
$\sqrt{6}$7.如果向量a=(-2,m)，b=(1,2)，且a∥b，那么实数m等于A。
-1B。
1C。
-4D。
48.在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一平面的两条直线平行；③垂直于同一直线的两条直线平行；④垂直于同一平面的两个平面平行。
其中正确命题的序号A。
①B。
②C。
③D。
④9.直线3x-y+1=0的倾斜角的大小是A。
45B。
60C。
120D。
13510.在数列{an}中，a1=1，an×an-1=2，(n=1,2,3,…)，那么a8等于A。
北京市2018届春季普通高中会考数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知集合A={1，2，3}，B={1，2}，那么A∩B等于（）A．{3} B．{1，2} C．{1，3} D．{1，2，3}2．（3分）已知直线l经过两点P（1，2），Q（4，3），那么直线l的斜率为（）A．﹣3 B．C．D．33．（3分）对任意，下列不等式恒成立的是（）A．x2＞0 B．C．D．lg x＞04．（3分）已知向量，，且，那么x的值是（）A．2 B．3 C．4 D．65．（3分）给出下列四个函数①；②y=|x|；③y=lg x；④y=x3+1，其中奇函数的序号是（）A．①B．②C．③D．④6．（3分）要得到函数的图象，只需将函数y=sin x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向上平移个单位D．向下平移个单位7．（3分）某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出S的值是（）A．3 B．6 C．10 D．158．（3分）设数列{a n}的前项和为S n，如果a1=1，a n+1=﹣2a n（n∈N*），那么S1，S2，S3，S4中最小的是（）A．S1B．S2 C．S3V．S49．（3分）等于（）A．1 B．2 C．5 D．610．（3分）如果α为锐角，，那么sin2α的值等于（）A．B．C．D．11．（3分）已知a＞0，b＞0，且a+2b=8，那么ab的最大值等于（）A．4 B．8 C．16 D．3212．（3分）cos12°cos18°﹣sin12°sin18°的值等于（）A．B．C．D．13．（3分）共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年龄分布进行了统计，得到的数据如表所示：年龄12﹣20岁20﹣30岁30﹣40岁40岁及以上比例14% 45.5% 34.5% 6%为调查共享单车使用满意率情况，线采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取20﹣30岁的人数为（）A．12 B．28 C．69 D．9114．（3分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是（）A．4πB．5πC．6πD．2π+415．（3分）已知向量满足，，，那么向量的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°16．（3分）某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，那么某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为（）A．B．C．D．17．（3分）函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．318．（3分）已知圆M：x2+y2=2与圆N：（x﹣1）2+（y﹣2）2=3，那么两圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离19．（3分）如图，平面区域（阴影部分）对应的不等式组是（）A．B．C．D．20．（3分）在△ABC中，，那么sin A等于（）A．B．C．D．21．（3分）《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里…”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去．已知长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里…”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（）A．1235 B．1800 C．2600 D．300022．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出下列四个推断：①A1C1⊥AD1②A1C1⊥BD③平面A1C1B∥平面ACD1④平面A1C1B⊥平面BB1D1D其中正确的推断有（）A．1个B．2个C．3个D．4个23．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，D在斜边BC上，且CD=2DB，那的值为（）A．3 B．5 C．6 D．924．（3分）为了促进经济结构不断优化，2015年中央财经领导小组强调“着力加强供给侧结构性改革”.2017年国家统计局对外发布报告“前三季度全国工业产能利用率达到五年来最高水平”，报告中指出“在供给侧结构性改革持续作用下，今年以来去产能成效愈加凸显，供求关系稳步改善”．如图为国家统计局发布的2015年以来我国季度工业产能利用率的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，；例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较．根据上述信息，下列结论中错误的是（）A．2016年第三季度和第四季度环比都有提高B．2017年第一季度和第二季度环比都有提高C．2016年第三季度和第四季度同比都有提高D．2017年第一季度和第二季度同比都有提高25．（3分）已知函数f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a在区间[﹣1，3]上的最大值是3，那么实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，﹣1] C．[0，+∞）D．二、解答题26．（5分）已知函数f（x）=1﹣2sin2x（1）=；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．27．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点.（1）求证：PB∥平面EFG；（2）求证：BC⊥EG．28．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且，公比q=2．（1）数列{a n}的通项公式为a n=；（2）数列{b n}满足b n=log2a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n的最小值．29．（5分）已知圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．（1）圆M的圆心坐标为；（2）设直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D．与圆M在第一象限的部分交于两点B，C．若O为坐标原点，且△OAB与△OCD的面积相等，求直线l的斜率．30．（5分）同学们，你们是否注意到：在雨后的清晨，沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的观光索道的电缆．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．下面我们来研究一类与悬链线有关的函数，这类函数的表达式为f（x）=a e x+b e﹣x（其中a，b是非零常数，无理数e=2.71828…）．（1）当a=1，f（x）为偶函数时，b=；（2）如果f（x）为R上的单调函数，请写出一组符合条件的a，b值；（3）如果f（x）的最小值为2，求a+b的最小值．【参考答案】一、选择题1．B【解析】∵集合A={1，2，3}，B={1，2}，∴A∩B={1，2}．故选：B．2．C【解析】直线l的斜率k==，故选：C．3．C【解析】A．x2≥0，因此不正确；B.≥0，因此不正确；C．∵＞0，∴+1＞1＞0，恒成立，正确；D.0＜x≤1时，lg x≤0，因此不正确．故选：C．4．A【解析】向量，，且，则6x﹣3×4=0，解得x=2．故选：A．5．A【解析】①满足f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数；②y=|x|满足f（﹣x）=f（x），为偶函数；③y=lg x为对数函数，为非奇非偶函数；④y=x3+1不满足f（﹣x）=﹣f（x），不为奇函数．故选A．6．B【解析】将函数y=sin x的图象向右平移个单位，可得到函数的图象，故选：B．7．B【解析】模拟程序的运行，可得i=1，S=0满足条件i＜4，执行循环体，S=1，i=2满足条件i＜4，执行循环体，S=3，i=3满足条件i＜4，执行循环体，S=6，i=4不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为6．故选：B．8．D【解析】{a n}的前n项和为S n，如果a1=1，a n+1=﹣2a n（n∈N*），则数列{a n}为首项为1，公比为﹣2的等比数列，则S1=a1=1；S2=1﹣2=﹣1；S3=1﹣2+4=3；S4=1﹣2+4﹣8=﹣5．则其中最小值为S4．故选：D．9．B【解析】原式===2．故选：B．10．A【解析】∵α为锐角，，∴cosα==，∴sin2α=2sinαcosα=2×=．故选：A．11．B【解析】a＞0，b＞0，且a+2b=8，则ab=a•2b≤（）2=×16=8，当且仅当a=2b=4，取得等号．则ab的最大值为8．故选：B．12．D【解析】cos12°cos18°﹣sin12°sin18°=cos（12°+18°）=cos30°=，故选：D．13．D【解析】由分层抽样的定义得应抽取20﹣30岁的人数为200×45.5%=91人，故选：D14．C【解析】由几何体的三视图得该几何体是底面半径为r=1，高为2的圆柱，∴这个几何体的表面积：S=2×πr2+2πr×2=2π+4π=6π．故选：C．15．B【解析】根据题意，设向量的夹角为θ，又由，，，则cosθ==，又由0°≤θ≤180°，则θ=60°；故选：B．16．D【解析】某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，基本事件有4个，分别为：（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四），（星期四，星期五），有一天是星期二包含的基本事件有2个，分别为：（星期一，星期二），（星期二，星期三），∴某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为p=．故选：D．17．B【解析】根据题意，对于函数，其对应的方程为x﹣﹣2=0，令t=，有t≥0，则有t2﹣t﹣2=0，解可得t=2或t=﹣1（舍），若t==2，则x=4，即方程x﹣﹣2=0有一个根4，则函数有1个零点；故选：B．18．B【解析】圆M：x2+y2=2的圆心为M（0，0），半径为r1=；圆N：（x﹣1）2+（y﹣2）2=3的圆心为N（1，2），半径为r2=；|MN|==，且﹣＜＜+，∴两圆的位置关系是相交．故选：B．19．A【解析】经过（2，0），（0，2）点的直线方程为+=1，即x+y﹣2=0，经过（2，0），（0，﹣2）点的直线方程为﹣=1，即x﹣y﹣2=0，经过（﹣1，0），（0，2）点的直线方程为﹣x+=1，即2x﹣y+2=0，则阴影部分在x+y﹣2=0的下方，即对应不等式为x+y﹣2≤0阴影部分在2x﹣y+2=0，的下方，即对应不等式为2x﹣y+2≥0阴影部分在x﹣y﹣2=0的上方，即对应不等式为x﹣y﹣2≤0，即对应不等式组为，故选：A20．B【解析】在△ABC中，，则：，解得：．故选：B．21．A【解析】∵长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里，∴前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为：S4=（4×193+）+[4×]=1235．故选：A．22．C【解析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，在①中，A1C1与AD1成60°角，故①错误；在②中，∵A1C1∥AC，AC⊥BD，∴A1C1⊥BD，故②正确；在③中，∵A1C1∥AC，AD1∥BC1，A1C1∩BC1=C1，AC∩AD1=A，A1C1、BC1⊂平面A1C1B，AC、AD1⊂平面ACD1，∴平面A1C1B∥平面ACD1，故③正确；在④中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1=B1，∴平面A1C1B⊥平面BB1D1D，故④正确．故选：C．23．C【解析】∵=﹣，∠BAC=90°，AB=3，CD=2DB∴•=•（+）=•（+）=•（+﹣）=•（+）=2+•=×9+0=6，故选：C24．C【解析】由折线图知：在A中，2016年第三季度和第四季度环比都有提高，故A正确；在B中，2017年第一季度和第二季度环比都有提高，故B正确；在C中，2016年第三季度和第四季度同比都下降，故C错误；在D中，2017年第一季度和第二季度同比都有提高，故D正确．故选：C．25．B【解析】f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a=|（x﹣1）2﹣1﹣a|，∵x∈[﹣1，3]，∴x2﹣2x∈[﹣1，3]，当a＞3时，x2﹣2x﹣a＜0，∴f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a=﹣x2+2x+a+a=﹣x2+2x+2a=﹣（x﹣1）2+1﹣2a，当x=1时，取的最大值，即1﹣2a=3，解得a=﹣1，与题意不符；当a≤﹣1时，x2﹣2x﹣a≥0，∴f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a=x2﹣2x﹣a+a=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，当x=﹣1或3时，取的最大值，（3﹣1）2﹣1=3，综上所述a的取值范围为（﹣∞，﹣1]故选：B．二、解答题26．解：函数f（x）=1﹣2sin2x=cos2x，（1）=cos（2×）=；故答案为：；（2）x∈[﹣，]，∴2x∈[﹣，]，∴cos2x∈[0，1]，∴当x=﹣时，f（x）取得最小值0，x=0时，f（x）取得最大值1，∴函数f（x）在区间上的最大值为1，最小值为0．27．证明：（1）∵点F，G分别为BC，PC，的中点，∴GF∥PB，∵PB⊄平面EFG，FG⊂平面EFG，∴PB∥平面EFG．（2）∵在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点，∴EF∥AC，GF∥PB，∴EF⊥BC，GF⊥BC，∵EF∩FG=F，∴BC⊥平面EFG，∵EG⊂平面EFG，∴BC⊥EG．28．解：（1）数列{a n}是等比数列，且，公比q=2，可得a n=•2n﹣1=2n﹣4；故答案为：2n﹣4；（2）b n=log2a n=log22n﹣4=n﹣4，S n=n（﹣3+n﹣4）=（n2﹣7n）=[（n﹣）2﹣]，可得n=3或4时，S n取得最小值，且为﹣6．29．解：（1）圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．转化为：．则圆M的圆心坐标为：（）．（2）直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D．则：设直线的方程为：y=kx+2．与圆M在第一象限的部分交于两点B，C．且△OAB与△OCD的面积相等，则：AB=CD．即：AM=DM．设点A（x，0）则：，整理得：x2﹣3x﹣4=0，解得：x=4或﹣1（负值舍去）．则：A（4，0）由于点A在直线y=kx+2上，解得：k=﹣故直线的斜率为﹣．故答案为：（，0）；直线的斜率为﹣．30．解：（1）当a=1时，f（x）=e x+b e﹣x，∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即e﹣x+b e x=e x+b e﹣x，则b=1．（2）当a=1时，b=﹣1时，f（x）=e x﹣e﹣x，为增函数．（3）当ab≤0时，f（x）为单调函数，此时函数没有最小值，若f（x）有最小值为2，则必有a＞0，b＞0，此时f（x）=a e x+b e﹣x≥2=2=2，即=1，即ab=1，则a+b≥2=2，即a+b的最小值为2．故答案为：1.。
2018年北京市春季普通高中会考数学试卷一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={1，2，3}，B={1，2}，那么A∩B等于（）A．{3}B．{1，2}C．{1，3}D．{1，2，3}2．（3分）已知直线l经过两点P（1，2），Q（4，3），那么直线l的斜率为（）A．﹣3 B．C．D．33．（3分）对任意，下列不等式恒成立的是（）A．x2＞0 B．C． D．lgx＞04．（3分）已知向量，，且，那么x的值是（）A．2 B．3 C．4 D．65．（3分）给出下列四个函数①；②y=|x|；③y=lgx；④y=x3+1，其中奇函数的序号是（）A．①B．②C．③D．④6．（3分）要得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向上平移个单位D．向下平移个单位7．（3分）某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出S的值是（）A．3 B．6 C．10 D．158．（3分）设数列{a n}的前项和为S n，如果a1=1，a n+1=﹣2a n（n∈N*），那么S1，S2，S3，S4中最小的是（）A．S1B．S2C．S3D．S49．（3分）等于（）A．1 B．2 C．5 D．610．（3分）如果α为锐角，，那么sin2α的值等于（）A．B．C．D．11．（3分）已知a＞0，b＞0，且a+2b=8，那么ab的最大值等于（）A．4 B．8 C．16 D．3212．（3分）cos12°cos18°﹣sin12°sin18°的值等于（）A．B．C．D．13．（3分）共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年龄分布进行了统计，得到的数据如表所示：为调查共享单车使用满意率情况，线采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取20﹣30岁的人数为（）A．12 B．28 C．69 D．9114．（3分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是（）A．4πB．5πC．6πD．2π+415．（3分）已知向量满足，，，那么向量的夹角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°16．（3分）某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，那么某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为（）A．B．C．D．17．（3分）函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．318．（3分）已知圆M：x2+y2=2与圆N：（x﹣1）2+（y﹣2）2=3，那么两圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离19．（3分）如图，平面区域（阴影部分）对应的不等式组是（）A． B．C． D．20．（3分）在△ABC中，，那么sinA等于（）A．B．C．D．21．（3分）《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里…”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去．已知长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里…”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（）A．1235 B．1800 C．2600 D．300022．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出下列四个推断：①A1C1⊥AD1②A1C1⊥BD③平面A1C1B∥平面ACD1④平面A1C1B⊥平面BB1D1D其中正确的推断有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个23．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，D在斜边BC上，且CD=2DB，那的值为（）A．3 B．5 C．6 D．924．（3分）为了促进经济结构不断优化，2015年中央财经领导小组强调“着力加强供给侧结构性改革”.2017年国家统计局对外发布报告“前三季度全国工业产能利用率达到五年来最高水平”，报告中指出“在供给侧结构性改革持续作用下，今年以来去产能成效愈加凸显，供求关系稳步改善”．如图为国家统计局发布的2015年以来我国季度工业产能利用率的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，；例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较．根据上述信息，下列结论中错误的是（）A．2016年第三季度和第四季度环比都有提高B．2017年第一季度和第二季度环比都有提高C．2016年第三季度和第四季度同比都有提高D．2017年第一季度和第二季度同比都有提高25．（3分）已知函数f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a在区间[﹣1，3]上的最大值是3，那么实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，﹣1]C．[0，+∞）D．二、解答题（共5小题，满分25分）26．（5分）已知函数f（x）=1﹣2sin2x（1）=；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．27．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点（1）求证：PB∥平面EFG；（2）求证：BC⊥EG．28．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且，公比q=2．（1）数列{a n}的通项公式为a n=；（2）数列{b n}满足b n=log2a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n的最小值．29．（5分）已知圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．（1）圆M的圆心坐标为；（2）设直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D．与圆M在第一象限的部分交于两点B，C．若O为坐标原点，且△OAB与△OCD的面积相等，求直线l的斜率．30．（5分）同学们，你们是否注意到：在雨后的清晨，沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的观光索道的电缆．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．下面我们来研究一类与悬链线有关的函数，这类函数的表达式为f（x）=ae x+be﹣x（其中a，b是非零常数，无理数e=2.71828…）．（1）当a=1，f（x）为偶函数时，b=；（2）如果f（x）为R上的单调函数，请写出一组符合条件的a，b值；（3）如果f（x）的最小值为2，求a+b的最小值．2018年北京市春季普通高中会考数学试卷参考答案与试题解析一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知集合A={1，2，3}，B={1，2}，那么A∩B等于（）A．{3}B．{1，2}C．{1，3}D．{1，2，3}【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={1，2}，∴A∩B={1，2}．故选：B．2．（3分）已知直线l经过两点P（1，2），Q（4，3），那么直线l的斜率为（）A．﹣3 B．C．D．3【解答】解：直线l的斜率k==，故选：C．3．（3分）对任意，下列不等式恒成立的是（）A．x2＞0 B．C． D．lgx＞0【解答】解：A．x2≥0，因此不正确；B.≥0，因此不正确；C．∵＞0，∴+1＞1＞0，恒成立，正确；D.0＜x≤1时，lgx≤0，因此不正确．故选：C．4．（3分）已知向量，，且，那么x的值是（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：向量，，且，则6x﹣3×4=0，解得x=2．故选：A．5．（3分）给出下列四个函数①；②y=|x|；③y=lgx；④y=x3+1，其中奇函数的序号是（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：①满足f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数；②y=|x|满足f（﹣x）=f （x），为偶函数；③y=lgx为对数函数，为非奇非偶函数；④y=x3+1不满足f（﹣x）=﹣f（x），不为奇函数．故选A．6．（3分）要得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向上平移个单位D．向下平移个单位【解答】解：将函数y=sinx的图象向右平移个单位，可得到函数的图象，故选：B．7．（3分）某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出S的值是（）A．3 B．6 C．10 D．15【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，S=0满足条件i＜4，执行循环体，S=1，i=2满足条件i＜4，执行循环体，S=3，i=3满足条件i＜4，执行循环体，S=6，i=4不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为6．故选：B．8．（3分）设数列{a n}的前项和为S n，如果a1=1，a n+1=﹣2a n（n∈N*），那么S1，S2，S3，S4中最小的是（）A．S1B．S2C．S3D．S4【解答】解：{a n}的前n项和为S n，如果a1=1，a n+1=﹣2a n（n∈N*），则数列{a n}为首项为1，公比为﹣2的等比数列，则S1=a1=1；S2=1﹣2=﹣1；S3=1﹣2+4=3；S4=1﹣2+4﹣8=﹣5．则其中最小值为S4．故选：D．9．（3分）等于（）A．1 B．2 C．5 D．6【解答】解：原式===2．故选：B．10．（3分）如果α为锐角，，那么sin2α的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵α为锐角，，∴cosα==，∴sin2α=2sinαcosα=2×=．故选：A．11．（3分）已知a＞0，b＞0，且a+2b=8，那么ab的最大值等于（）A．4 B．8 C．16 D．32【解答】解：a＞0，b＞0，且a+2b=8，则ab=a•2b≤（）2=×16=8，当且仅当a=2b=4，取得等号．则ab的最大值为8．故选：B．12．（3分）cos12°cos18°﹣sin12°sin18°的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：cos12°cos18°﹣sin12°sin18°=cos（12°+18°）=cos30°=，故选：D．13．（3分）共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年龄分布进行了统计，得到的数据如表所示：为调查共享单车使用满意率情况，线采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取20﹣30岁的人数为（）A．12 B．28 C．69 D．91【解答】解：由分层抽样的定义得应抽取20﹣30岁的人数为200×45.5%=91人，故选：D14．（3分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是（）A．4πB．5πC．6πD．2π+4【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是底面半径为r=1，高为2的圆柱，∴这个几何体的表面积：S=2×πr2+2πr×2=2π+4π=6π．故选：C．15．（3分）已知向量满足，，，那么向量的夹角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：根据题意，设向量的夹角为θ，又由，，，则cosθ==，又由0°≤θ≤180°，则θ=60°；故选：B．16．（3分）某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，那么某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，基本事件有4个，分别为：（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四），（星期四，星期五），有一天是星期二包含的基本事件有2个，分别为：（星期一，星期二），（星期二，星期三），∴某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为p=．故选：D．17．（3分）函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：根据题意，对于函数，其对应的方程为x﹣﹣2=0，令t=，有t≥0，则有t2﹣t﹣2=0，解可得t=2或t=﹣1（舍），若t==2，则x=4，即方程x﹣﹣2=0有一个根4，则函数有1个零点；故选：B．18．（3分）已知圆M：x2+y2=2与圆N：（x﹣1）2+（y﹣2）2=3，那么两圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离【解答】解：圆M：x2+y2=2的圆心为M（0，0），半径为r1=；圆N：（x﹣1）2+（y﹣2）2=3的圆心为N（1，2），半径为r2=；|MN|==，且﹣＜＜+，∴两圆的位置关系是相交．故选：B．19．（3分）如图，平面区域（阴影部分）对应的不等式组是（）A． B．C． D．【解答】解：经过（2，0），（0，2）点的直线方程为+=1，即x+y﹣2=0，经过（2，0），（0，﹣2）点的直线方程为﹣=1，即x﹣y﹣2=0，经过（﹣1，0），（0，2）点的直线方程为﹣x+=1，即2x﹣y+2=0，则阴影部分在x+y﹣2=0的下方，即对应不等式为x+y﹣2≤0阴影部分在2x﹣y+2=0，的下方，即对应不等式为2x﹣y+2≥0阴影部分在x﹣y﹣2=0的上方，即对应不等式为x﹣y﹣2≤0，即对应不等式组为，故选：A20．（3分）在△ABC中，，那么sinA等于（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，，则：，解得：．故选：B．21．（3分）《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里…”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去．已知长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里…”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（）A．1235 B．1800 C．2600 D．3000【解答】解：∵长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里，∴前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为：S4=（4×193+）+[4×]=1235．故选：A．22．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出下列四个推断：①A1C1⊥AD1②A1C1⊥BD③平面A1C1B∥平面ACD1④平面A1C1B⊥平面BB1D1D其中正确的推断有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，在①中，A1C1与AD1成60°角，故①错误；在②中，∵A1C1∥AC，AC⊥BD，∴A1C1⊥BD，故②正确；在③中，∵A1C1∥AC，AD1∥BC1，A1C1∩BC1=C1，AC∩AD1=A，A1C1、BC1⊂平面A1C1B，AC、AD1⊂平面ACD1，∴平面A1C1B∥平面ACD1，故③正确；在④中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1=B1，∴平面A1C1B⊥平面BB1D1D，故④正确．故选：C．23．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，D在斜边BC上，且CD=2DB，那的值为（）A．3 B．5 C．6 D．9【解答】解：∵=﹣，∠BAC=90°，AB=3，CD=2DB∴•=•（+）=•（+）=•（+﹣）=•（+）=2+•=×9+0=6，故选：C24．（3分）为了促进经济结构不断优化，2015年中央财经领导小组强调“着力加强供给侧结构性改革”.2017年国家统计局对外发布报告“前三季度全国工业产能利用率达到五年来最高水平”，报告中指出“在供给侧结构性改革持续作用下，今年以来去产能成效愈加凸显，供求关系稳步改善”．如图为国家统计局发布的2015年以来我国季度工业产能利用率的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，；例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较．根据上述信息，下列结论中错误的是（）A．2016年第三季度和第四季度环比都有提高B．2017年第一季度和第二季度环比都有提高C．2016年第三季度和第四季度同比都有提高D．2017年第一季度和第二季度同比都有提高【解答】解：由折线图知：在A中，2016年第三季度和第四季度环比都有提高，故A正确；在B中，2017年第一季度和第二季度环比都有提高，故B正确；在C中，2016年第三季度和第四季度同比都下降，故C错误；在D中，2017年第一季度和第二季度同比都有提高，故D正确．故选：C．25．（3分）已知函数f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a在区间[﹣1，3]上的最大值是3，那么实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，﹣1]C．[0，+∞）D．【解答】解：f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a=|（x﹣1）2﹣1﹣a|，∵x∈[﹣1，3]，∴x2﹣2x∈[﹣1，3]，当a＞3时，x2﹣2x﹣a＜0，∴f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a=﹣x2+2x+a+a=﹣x2+2x+2a=﹣（x﹣1）2+1﹣2a，当x=1时，取的最大值，即1﹣2a=3，解得a=﹣1，与题意不符；当a≤﹣1时，x2﹣2x﹣a≥0，∴f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a=x2﹣2x﹣a+a=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，当x=﹣1或3时，取的最大值，（3﹣1）2﹣1=3，综上所述a的取值范围为（﹣∞，﹣1]故选：B．二、解答题（共5小题，满分25分）26．（5分）已知函数f（x）=1﹣2sin2x（1）=；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：函数f（x）=1﹣2sin2x=cos2x，（1）=cos（2×）=；故答案为：；（2）x∈[﹣，]，∴2x∈[﹣，]，∴cos2x∈[0，1]，∴当x=﹣时，f（x）取得最小值0，x=0时，f（x）取得最大值1，∴函数f（x）在区间上的最大值为1，最小值为0．27．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点（1）求证：PB∥平面EFG；（2）求证：BC⊥EG．【解答】证明：（1）∵点F，G分别为BC，PC，的中点，∴GF∥PB，∵PB⊄平面EFG，FG⊂平面EFG，∴PB∥平面EFG．（2）∵在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点，∴EF∥AC，GF∥PB，∴EF⊥BC，GF⊥BC，∵EF∩FG=F，∴BC⊥平面EFG，∵EG⊂平面EFG，∴BC⊥EG．28．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且，公比q=2．（1）数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣4；（2）数列{b n}满足b n=log2a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n的最小值．【解答】解：（1）数列{a n}是等比数列，且，公比q=2，可得a n=•2n﹣1=2n﹣4；故答案为：2n﹣4；（2）b n=log2a n=log22n﹣4=n﹣4，S n=n（﹣3+n﹣4）=（n2﹣7n）=[（n﹣）2﹣]，可得n=3或4时，S n取得最小值，且为﹣6．29．（5分）已知圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．（1）圆M的圆心坐标为（，0）；（2）设直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D．与圆M在第一象限的部分交于两点B，C．若O为坐标原点，且△OAB与△OCD的面积相等，求直线l的斜率．【解答】解：（1）圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．转化为：．则圆M的圆心坐标为：（）．（2）直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D．则：设直线的方程为：y=kx+2．与圆M在第一象限的部分交于两点B，C．且△OAB与△OCD的面积相等，则：AB=CD．即：AM=DM．设点A（x，0）则：，整理得：x2﹣3x﹣4=0，解得：x=4或﹣1（负值舍去）．则：A（4，0）由于点A在直线y=kx+2上，解得：k=﹣故直线的斜率为﹣．故答案为：（，0）；直线的斜率为﹣．30．（5分）同学们，你们是否注意到：在雨后的清晨，沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的观光索道的电缆．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．下面我们来研究一类与悬链线有关的函数，这类函数的表达式为f（x）=ae x+be﹣x（其中a，b是非零常数，无理数e=2.71828…）．（1）当a=1，f（x）为偶函数时，b=1；（2）如果f（x）为R上的单调函数，请写出一组符合条件的a，b值；（3）如果f（x）的最小值为2，求a+b的最小值．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=e x+be﹣x，∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即e﹣x+be x=e x+be﹣x，则b=1．（2）当a=1时，b=﹣1时，f（x）=e x﹣e﹣x，为增函数．（3）当ab≤0时，f（x）为单调函数，此时函数没有最小值，若f（x）有最小值为2，则必有a＞0，b＞0，此时f（x）=ae x+be﹣x≥2=2=2，即=1，即ab=1，则a+b≥2=2，即a+b的最小值为2．故答案为：1。
2018年北京市普通高中学业水平考试合格性考试数 学 试 卷考生须知1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．本试卷共6页，分为两个部分，第一部分为选择题，25个小题(共75分)；第二部分为解答题，4个小题（共25分）。
3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。
参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．第一部分 选择题（每小题3分，共75分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的． 1．已知集合{0,1}A =，{1,1,3}B =-，那么AB 等于A ．{0}B ．{1}C ．{0,1}D ．{0,1,3} 2．平面向量a ，b 满足2=b a ，如果=(1,2)a ，那么b 等于A ．(2,4)--B ．(2,4)-C ．(2,4)-D ．(2,4) 3．如果直线1y kx =-与直线3y x =平行，那么实数k 的值为A ．1-B ．13-C ．13D ．3 4．如图，给出了奇函数()f x 的局部图像，那么(1)f 等于A ．4-B ．2-C ．2D ．45．如果函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）的图像经过点（2，9），那么实数a 等于A ．13 B ．12C ．2D ．3 6．某中学现有学生1800人，其中初中学生1200人，高中学生600人．为了解学生在“阅读节”活动中的参与情况，决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为180的样本，那么应从高中学生中抽取的人数为 A ．60 B ．90 C ．100 D ．1107．已知直线l 经过点O (0，0)，且与直线30x y --=垂直，那么直线l 的方程是A ．30x y +-=B ．30x y -+=C ．0x y +=D ．0x y -= 8．如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 中点，那么向量12AB AD +等于 A ．AE B ．AC C ．DC D ．BC9．实数131()log 12-+的值等于A ．1B ．2C ．3D ．410．函数2y x =，3y x =，1()2x y =，lg y x =中，在区间(0,)+∞上为减函数的是A ．2y x = B ．3y x = C ．1()2x y = D ．lg y x =11．某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖两类奖项．已知中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.2，那么本次抽奖活动中，中奖的概率为A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.7 12．如果正ABC ∆的边长为1，那么AB AC ⋅等于A ．12-B ．12C ．1D ．2 13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，如果=10a ，45A =︒，30B =︒，那么b 等于A ．522B ．52C ．102D ．202 14．已知圆C ：2220x y x +-=，那么圆心C 到坐标原点O 的距离是A ．12 B ．22C ．1D ．2 15．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，1A A ⊥底面ABCD ，12A A =，1AB =，那么该四棱柱的体积为A ．1B ．2C ．4D ．816．函数3()5f x x =-的零点所在的区间是A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（4，5）17．在sin 50︒，sin50-︒，sin 40︒，sin 40-︒四个数中，与sin130︒相等的是A ．sin 50︒B ．sin50-︒C ．sin 40︒D ．sin 40-︒ 18．把函数sin y x =的图像向右平移4π个单位得到()y g x =的图像，再把()y g x =图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），所得到图像的解析式为A ．2sin()4y x π=-B ．2sin(+)4y x π=C ．1sin()24y x π=-D ．1sin(+)24y x π=19．函数2,1(),1x x f x x x -≤-⎧=⎨>-⎩的最小值是A ．1-B ．0C ．1D ．2 20．在空间中，给出下列四个命题：① 平行于同一个平面的两条直线互相平行； ② 垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ③ 平行于同一条直线的两个平面互相平行； ④ 垂直于同一个平面的两个平面互相平行． 其中正确命题的序号是A ．①B ．②C ．③D ．④21．北京市环境保护监测中心每月向公众公布北京市各区域的空气质量状况．2018年1月份各区域的PM2.5浓度情况如下表：从上述表格随机选择一个区域，其2018年1月份PM2.5的浓度小于36微克立方米的概率是A ．117 B ．417 C ．517 D ．91722．已知5sin 13α=，(0,)2πα∈，那么sin()4πα+A ．26-B ．26-C ．26D ．2623．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，如果3a =，b =，c =那么ABC ∆的最大内角的余弦值为 A ．18 B ．14 C ．38 D ．1224．北京故宫博物院成立于1925年10月10日，是在明朝、清朝两代皇宫及其宫廷收藏的基础上建立起来的中国综合性博物馆，每年吸引着大批游客参观游览．下图是从2012年到2017年每年参观总人次的折线图．根据图中信息，下列结论中正确的是A．2013年以来，每年参观总人次逐年递增B．2014年比2013年增加的参观人次不超过．．．50万C．2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多D．2012年到2017年这六年间，平均每年参观总人次超过1600万25．阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写的正确结论是-中，平面P AC⊥平面ABC，BC⊥AC．如图，在三棱锥P ABC求证：BC⊥P A．证明：因为平面P AC⊥平面ABC，平面PAC平面ABC=AC，BC⊥AC，BC⊂平面ABC，所以．因为P A⊂平面P AC，所以BC⊥P A．A．AB⊥底面P AC B．AC⊥底面PBCC．BC⊥底面P AC D．AB⊥底面PBC第二部分 解答题（共25分）26．（本小题满分7分）已知函数()sin()6f x A x π=+，(0)1f =．（Ⅰ）A = ；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅱ）函数()f x 的最小正周期T = ；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅲ）求函数()f x 的最小值及相应的x 的值．27．（本小题满分7分）如图，在三棱锥P ABC -中，P A ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D ，E ，分别为PB ，PC 的中点．（Ⅰ）求证：BC // 平面ADE ； （Ⅱ）求证：BC ⊥平面P AB ．28．（本小题满分6分）已知圆O ：222x y r +=（0r >）经过点A (0，5)，与x 轴正半轴交于点B ．（Ⅰ）r = ；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅱ）圆O 上是否存在点P ，使得PAB ∆的面积为15 ? 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．29．（本小题满分5分）种植于道路两侧、为车辆和行人遮阴并构成街景的乔木称为行道树．为确保行人、车辆和临近道路附属设施安全，树木与原有电力线之间的距离不能超出安全距离．按照北京市《行道树修剪规范》要求，当树木与原有电力线发生矛盾时，应及时修剪树枝．《行道树修剪规范》中规定，树木与原有电力线的安全距离如下表所示：现有某棵行道树已经自然生长2年，高度为2m．据研究，这种行道树自然生长的时间x（年）与它的高度y（m）满足关系式30128rxye-=+（0r>）．（Ⅰ）r=；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上）（Ⅱ）如果这棵行道树的正上方有35KV的电力线，该电力线距地面20m．那么这棵行道树自然生长多少年必须修剪?（Ⅲ）假如这棵行道树的正上方有500KV的电力线，这棵行道树一直自然生长，始终不会影响电力线段安全，那么该电力线距离地面至少多少m ?2018年北京市普通高中学业水平考试合格性考试数学试卷答案及评分参考说明1．第一部分选择题，机读阅卷．2．第二部分解答题．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．第一部分选择题(共75分)第二部分解答题(共25分)。
数学试卷答案及评分参考第1页 （共4页）2018年北京市春季普通高中会考数学试卷答案及评分参考[说明]1. 第一部分选择题，机读阅卷.2. 第二部分解答题. 为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可. 若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.第一部分 选择题 (每小题3分，共75分)第二部分 解答题 (每小题5分，共25分)26.（本小题满分5分）已知函数2()12sin f x x =-．（Ⅰ）()f π=6；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]46ππ-上的最大值和最小值. （Ⅰ）解：()f π=612． …………………2分 （Ⅱ）解：由题意得 ()cos 2f x x =. 因为[,]46x ππ∈-，所以2[,]23x ππ∈-.于是当22x π=-，即x π=-4时，()f x 取得最小值0；当20x =，即0x =时，()f x 取得最大值1. …………………5分数学试卷答案及评分参考第2页 （共4页）27.（本小题满分5分）如图，在三棱锥P ABC -中，PB BC ⊥，AC BC ⊥， 点E ，F ，G 分别为AB ，BC ，PC 的中点． （Ⅰ）求证：PB ∥平面EFG ； （Ⅱ）求证：BC EG ⊥．（Ⅰ）证明：因为点F ，G 分别是BC ，PC 的中点， 所以GF PB ∥． 因为PB ⊄平面EFG ，GF ⊂平面EFG ，所以PB ∥平面EFG ． …………………2分 （Ⅱ）证明：因为点E ，F 分别是AB ，BC 的中点， 所以EF AC ∥. 因为AC BC ⊥，所以EF BC ⊥． 由（Ⅰ）知GF PB ∥， 因为PB BC ⊥，所以BC GF ⊥． 又因为EFGF F =,所以BC ⊥平面EFG .所以BC EG ⊥． …………………5分 28.（本小题满分5分）已知数列{}n a 是等比数列，且118a =，公比2q =. （Ⅰ）数列{}n a 的通项公式为n a = ；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅱ）数列{}n b 满足2log n n b a =*()n ∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S 的最小值． （Ⅰ）解：42n n a -=． …………………2分 （Ⅱ）解：因为422log log 24n n n b a n -===-， 所以数列{}n b 是以3-为首项，1为公差的等差数列． 所以22(1)117493(7)()22228n n n S n n n n -=-+=-=--． 又因为*n ∈N ，所以当3n =或4n =时，n S 的最小值为6-． …………………5分数学试卷答案及评分参考第3页 （共4页）29.（本小题满分5分）已知圆M ：2222610x y x +-+=.（Ⅰ）圆M 的圆心坐标为 ；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅱ）设直线l 过点(0,2)A 且与x 轴交于点D ，与圆M 在第一象限的部分交于两点B ，C .若O 为坐标原点，△OAB 与△OCD 的面积相等，求直线l 的斜率.（Ⅰ）解：圆M 的圆心坐标为3(,0)2. …………………1分 （Ⅱ）解：设11(,)B x y ，22(,)C x y ，直线l 的方程为2y kx =+.由222,22610y kx x y x =+⎧⎨+-+=⎩ 得22(22)(86)90k x k x ++-+=. 所以122341kx x k -+=+. 由已知可得，“△OAB 与△OCD 的面积相等”与“AB CD =”等价. 此时，线段AD 与线段BC 的中点重合. 线段BC 中点的横坐标为12234222x x kk +-=+， 因为点D 为直线2y kx =+与x 轴的交点，可得点D 的横坐标为2k-， 所以线段AD 中点的横坐标为1k-. 所以234122k k k-=-+，即22320k k --=， 解得2k =，或12k =-.经检验12k =-符合题意.所以直线l 的斜率为12-. …………………5分30.（本小题满分5分）同学们，你们是否注意到: 在雨后的清晨，沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的观光索道的电缆. 这些现象中都有相似的曲线形态. 事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线. 悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.下面我们来研究一类与悬链线有关的函数，这类函数的数学试卷答案及评分参考第4页 （共4页）表达式为()e e x x f x a b -=+（其中,a b 是非零常数，无理数e 2.71828=⋅⋅⋅）. （Ⅰ）当1a =，()f x 为偶函数时，b = ；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅱ）如果()f x 为R 上的单调函数，请写出一组符合条件的,a b 的值 ；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅲ）如果()f x 的最小值为2，求a b +的最小值.（Ⅰ）解：1b = ． …………………1分 （Ⅱ）解：此答案不唯一，只要满足 0ab <即可． …………………3分 （Ⅲ）解：因为()e e x x f x a b -=+的最小值为2， 令 e x t =，则有(0)by at t t=+>的最小值为2， 所以2b at t+≥对0t >恒成立，且等号可以取到. 即220at t b -+≥对0t >恒成立，且等号可以取到.由二次函数性质，得到0,440.a ab >⎧⎨∆=-=⎩所以1ab =.根据均值定理，2a b +=≥，当且仅当1a b ==时等号成立，所以a b +的最小值为2. …………………5分。
2018年北京市春季普通高中会考数学试卷一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的.1 •已知集合A={1, 2, 3} , B={1, 2}，那么AH B等于（）A. {3} B . {1 , 2} C. {1 , 3} D. {1 , 2, 3}2. （3分）已知直线I经过两点P（ 1, 2）, Q（4, 3）,那么直线I的斜率为（）A. - 3 B .二 C .丄D. 33. （3分）对任意，下列不等式恒成立的是（）A. x2> 0B.：・" IC. 一I " + I - ID. Igx > 04. （3分）已知向量a=（s, 3）, b = 6）,且a # b ,那么x的值是（）A. 2B. 3C. 4D. 65. （3分）给出下列四个函数① 产丄；②y=|x| ；③y=lgx ;④y=x3+1，其中奇函数的序号是（）A.①B.②C.③D.④6. （3分）要得到）函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A.向左平移个单位B.向右平移'个单位12 12C.向上平移一个单位D.向下平移丄个单位12 127. （3分）某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出S的值是（）A. 3B. 6C. 10D. 158. （3分）设数列｛a n｝的前项和为S，如果a i=1, a n+i= - 2a n （n€ N）,那么S,S2, S, S4中最小的是（）A. S iB. S2C. S3D. S9. （3分）1□吕疔+1□耳尹等于（）A. 1B. 2C. 5D. 610. （3分）如果a为锐角，录门a二壬，那么sin2 a的值等于（）: B r：C ' D -AA . -BC D.11 . （3分）已知a>0, b>0,且a+2b=8,那么ab的最大值等于（）A . 4B . 8 C. 16 D. 32 12 . （3分）cos12° cos18°- sin12 ° sin 18 ° 的值等于（13 . （3分）共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年龄分布进行了统计，得到的数据如表所示：年龄12 -20岁20 - 30岁30- 40岁40岁及以上比例14% 45.5% 34.5% 6%为调查共享单车使用满意率情况，线采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取20 - 30岁的人数为（）A . 12B . 28 C. 69 D. 9114 . （3分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是（）A. 4 n B . 5 n C . 6 n D . 2 n +415-（3分）已知向量'b满足冷|二1，|二2, ib二i，那么向量'b的夹角为（）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150° 16. （3分）某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，那么某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为（A . 0B . 1 C. 2 D. 318. （3分）已知圆M x2+y2=2与圆N: （x - 1）2+ （y- 2）2=3,那么两圆的位置关系是（）A.内切B•相交C•外切 D.外离19. （3分）如图，平面区域（阴影部分）对应的不等式组是（）\+y-2^0A.x-y-2^0B.b2x-y+2^0C. D.b 2x-y+2^0017. （3分）函数■-「-二的零点个数为（20. （3分）在厶ABC中，1■：. 1 ..A 「B. ■'21. （3分）《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐.齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里，日增一十三里.驽马初日行九十七里，日减半里…”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去•已知长安和齐的距离是3000里•良马第一天行193里，之后每天比前天多行13里.驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里…”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（jlA. 1235B. 1800C. 2600D. 300022. （3分）在正方体ABC B ABCD中，给出下列四个推断:① AC丄AD② AC丄BD③平面ACB//平面ACD④平面ACB丄平面BBDDA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个，那么sinA等于（其中正确的推断有（23. （3 分）如图，在△ ABC 中，/ BAC=90 , AB=3, D 在斜边 BC 上，且 CD=2DB 那- I 的值为（）24. （ 3分）为了促进经济结构不断优化，2015年中央财经领导小组强调“着力 加强供给侧结构性改革” .2017年国家统计局对外发布报告“前三季度全国工 业产能利用率达到五年来最高水平”，报告中指出“在供给侧结构性改革持续作 用下，今年以来去产能成效愈加凸显，供求关系稳步改善”.如图为国家统计局 发布的2015年以来我国季度工业产能利用率的折线图.1LU 求我 >.'匸产恭 i JU i-I-17J L\工出亠"~4.D. 9二、解答题(共5小题，满分25分) 26. ( 5 分)已知函数 f (x ) =1 — 2sin 2x (1) f 時尸 -------- ; (2)求函数f (x )在区间 上的最大值和最小值.匕627. (5分)如图，在三棱锥P — ABC 中, PB 丄BC , ACL BC ,点E, F , G 分别为AB,BC, PC ,的中点(1) 求证：PB//平面EFG28. (5分)已知数列｛a n ｝是等比数列，且，公比q=2. g(1) _____________________________ 数列｛a n ｝的通项公式为a n = ； (2) 数列｛b n ｝满足b n =log 2a n (n € N *),求数列｛b n ｝的前n 项和S 的最小值.2 229. (5分)已知圆 M 2x+2y - 6x+1=0.(1) ______________________ 圆M 的圆心坐标为 ;(2) 设直线I 过点A( 0, 2)且与x 轴交于点D.与圆M 在第一象限的部分交于 两点B , C •若O 为坐标原点，且△OCD 勺面积相等，求直线I 的斜率.30. (5分)同学们，你们是否注意到：在雨后的清晨，沾满露珠自然下垂的蜘 蛛丝；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的观光索道 的电缆.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.下面我 们来研究一类与悬链线有关的函数，这类函数的表达式为f (x ) =ae x +be —x (其A. ( — X, 0]B. ( — X,— 1]C. [0 , +X )中a, b是非零常数，无理数e=2.71828…).(1) 当a=1, f (x)为偶函数时，b= _________ ;(2) 如果f (x)为R上的单调函数，请写出一组符合条件的a, b值;(3) 如果f (x)的最小值为2,求a+b的最小值.2018年北京市春季普通高中会考数学试卷参考答案与试题解析一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的.1. （3 分）已知集合A={1, 2, 3} , B={1, 2}，那么A H B 等于（）A. {3} B . {1 , 2} C. {1 , 3} D. {1 , 2, 3}【解答】解：•••集合A={1, 2, 3} , B={1, 2},••• A H B={1, 2}.故选：B.2. （3分）已知直线I经过两点P（ 1, 2）, Q（4, 3）,那么直线I的斜率为（）A.—3 B .一C .丄D. 3【解答】解：直线I的斜率亠,4-1 3故选：C.3. （3分）对任意，下列不等式恒成立的是（）A. x2> 0B. ：• -H C —厂 + 1 - I D. Igx > 0【解答】解：A. x2>0,因此不正确；B. 一 > 0,因此不正确；C. t （*严>0,二（寺］赛+1> 1>0,恒成立，正确;D. 0v x< 1时，Igx <0,因此不正确.故选：C.4. （3分）已知向量邑二氐3）,沪也6），且//b，那么x的值是（）A. 2B. 3C. 4D. 6【解答】解：向量a=f K（ 3），庐⑷6），且a P b，贝U 6x- 3X 4=0, 解得x=2.故选：A.5. （3分）给出下列四个函数①产:丄；②y=|x| ；③y=lgx ；④y=x3+1,其中奇y函数的序号是（）A.①B.②C.③D.④【解答】解：①尸丄满足f （- x）=-f （x）,为奇函数；②y=|x|满足f （- x）=f （x）,为偶函数；③y=lgx为对数函数，为非奇非偶函数；④y=x3+1不满足f （-x）=- f （x）, 不为奇函数.故选A.6.（3分）要得到产就口）函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A.向左平移个单位B.向右平移'个单位12 12C.向上平移个单位D.向下平移'个单位12 12【解答】解：将函数y=sinx的图象向右平移器个单位，可得到Usin（7-^-）函数的图象，故选：B.7. （3分）某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出S的值是（）A. 3B. 6C. 10D. 15【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，S=0满足条件i v4,执行循环体，S=1, i=2满足条件i v4,执行循环体，S=3, i=3满足条件i v4，执行循环体，S=6, i=4不满足条件i v4,退出循环，输出S的值为6. 故选：B.8. (3分)设数列｛a n｝的前项和为S，如果a i=1,知=—2a n (n€ N),那么S,S2, S, S4中最小的是( )A. S iB. S2C. S3D. S4【解答】解：｛a n｝的前n项和为S,如果a i=1, a n+i=- 2a n (n€ N), 则数列｛a n｝为首项为1,公比为-2的等比数列，则S i=a i=1;S=1 —2=- 1；S3=1 - 2+4=3;S=1 - 2+4- 8=- 5.则其中最小值为S.故选：D.9. （3分）1 口吕2言+ 1□吕2$等于（）A. 1B. 2C. 5D. 6【解答】解：原式=1□呂？% 6）=1龍三护二2.故选：B.10. （3分）如果a为锐角，氐门a二半，那么sin2 a的值等于（）A.里B.里C.单D.旦25 25 25 25【解答】解：Ta为锐角，.十厂寸二丄，二COS"%-“ 岸 d 壬，4 3 94sin2 a =2sin a cos a =2X .5 5 25故选：A.11. （3分）已知a>0, b>0,且a+2b=8,那么ab的最大值等于（）A. 4B. 8C. 16D. 32【解答】解：a>0, b>0,且a+2b=8,则ab丄a? 2b<丄（也A）2丄X 16=8,2 2 2 2当且仅当a=2b=4,取得等号.则ab的最大值为8 .故选：B .12 . （3分）cos12° cos18°- sin12 ° sin 18 ° 的值等于（）A•誓£C.寺D乎【解答】解：cos12° cos18°- sin12 ° sin 18 ° =cos （12° +18°）=cos30°=—2故选：D.13. （3分）共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年龄分布进行了统计，得到的数据如表所示：年龄12 -20岁20 - 30岁30- 40岁40岁及以上比例14% 45.5% 34.5% 6%为调查共享单车使用满意率情况，线采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取20 - 30岁的人数为（）A. 12B. 28C. 69D. 91【解答】解：由分层抽样的定义得应抽取20- 30岁的人数为200X45.5%=91人，故选：D14. （3分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是（）A. 4 n B . 5 n C . 6 n D . 2 n +4【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是底面半径为r=1，高为2的圆柱，•••这个几何体的表面积：2S=2Xnr +2n r X 2=2 n +4 n =6 n.故选：C.15. （3分）已知向量’ b满足| a |二1，| b |二2，i b二i，那么向量'b的夹角为（）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【解答】解：根据题意，设向量咼，b的夹角为°,又由| 3 |=1，| b |=2，担甲 b =1，则cos ° 二 d 丄，111 lb I 2又由0°<9< 180°，则° =60°;故选：B.16. （3分）某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，那么某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为（）吩B肖C 3 D•寺【解答】解：某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，基本事件有4个，分别为：（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四），（星期四，星期五），有一天是星期二包含的基本事件有2个，分别为：（星期一，星期二），（星期二，星期三），•••某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为p专# .故选：D.17. （3分）函数■「：•：:.:的零点个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【解答】解：根据题意，对于函数-'■<' :■■- :■---，其对应的方程为X - < -r - 2=0,令t=汀二有t > 0，则有t2- t - 2=0，解可得t=2或t= - 1 (舍)若t= ' .=2,则x=4,即方程x-五-2=0有一个根4,则函数一―•宀有1个零点；故选：B.18. (3分)已知圆M x2+y2=2与圆N: (x - 1) 2+ (y- 2) 2=3,那么两圆的位置关系是( )A.内切B•相交C•外切 D.外离【解答】解：圆M x2+y2=2的圆心为M( 0, 0),半径为r“;圆N: (x- 1) 2+ (y- 2) 2=3 的圆心为N( 1, 2),半径为「2=怎;|MN|= •:.宀！・，且「- ： <■<■:,•••两圆的位置关系是相交.故选：B.19. (3分)如图，平面区域(阴影部分)对应的不等式组是( )A.yL-y-2^0B.2x-y+2^0C.D.b 2x-y+2^0 十 2^ 0【解答】解：经过（2, 0）, （0, 2）点的直线方程为昱空=1，即x+y -2=0, 2 2经过（2, 0）, （0,- 2）点的直线方程为昱-工=1,即x -y -2=0, 2 2经过（-1, 0）, （0, 2）点的直线方程为-x 』=1，即2x - y+2=0, 2则阴影部分在x+y - 2=0的下方，即对应不等式为x+y - 2<0阴影部分在2x - y+2=0,的下方，即对应不等式为 2x - y+2> 0阴影部分在x - y - 2=0的上方，即对应不等式为x - y - 2< 0,l+y 亠2虬0即对应不等式组为，工,2x-y+2>0故选：A20. （3分）在厶ABC 中，r \1 ■:-—，那么sinA 等于 A.亟 B .亘 C . - D.2 63 3 3【解答】解：在△ ABC 中,故选：B.21. （3分）《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发 长安，至齐.齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里，日增一十三里.驽马 初日行九十七里，日减半里…”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发 到齐去•已知长安和齐的距离是 3000里•良马第一天行193里，之后每天比前 一天多行13里.驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里…”试问前 4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（ ）则:si nA ginCA. 1235B. 1800C. 2600D. 3000【解答】解：•••长安和齐的距离是3000里.良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里.驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里，.••前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为：S= （4X 193+°：爼x 13）+[4 X g孑+ "；''汽〈占）]=1235 . 故选：A.22. （3分）在正方体ABCD- ABCD中，给出下列四个推断:①AC丄AD②AC丄BD③平面ACB//平面ACD④平面ACB丄平面BBDD其中正确的推断有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解答】解：在正方体ABC- ABCD中,在①中，AC 与AD 成60°角，故①错误；在②中AC // AQ ACL BD,二AQ 丄BD ,故②正确;在③中，••• AQ // AC , AD// BG ,AQ G BG=G , AG A AD=A ,AQ 、BG?平面 AGB , AG AD?平面 ACD,•••平面AGB//平面ACD,故③正确；在④中，••• AG L B i D l , A 1G L BB , BD A BB=B ,•••平面AGB 丄平面BBDD,故④正确.故选：C.23. （3 分）如图，在△ ABC 中，/ BAC=90 , AB=3, D 在斜边 BC 上，且 CD=2DB那「•-的值为（ ）【解答】 解：•••衣尿-AB ,Z BAC=90 , AB=3 CD=2DB故选：C24. （3分）为了促进经济结构不断优化，2015年中央财经领导小组强调“着力 加强供给侧结构性改革” .2017年国家统计局对外发布报告“前三季度全国工业产能D. 9—丄i = x 9+0=6,利用率达到五年来最高水平”，报告中指出“在供给侧结构性改革持续作用下，今年以来去产能成效愈加凸显，供求关系稳步改善”.如图为国家统计局发布的2015年以来我国季度工业产能利用率的折线图.厝4 |・\ ■?.&/7J ”一二I _Jt 1 1 1I—*-- " ----- —由］N .101$徉I 30】剧T I 20］' 1"说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，；例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较.根据上述信息，下列结论中错误的是（）A. 2016年第三季度和第四季度环比都有提高B. 2017年第一季度和第二季度环比都有提高C. 2016年第三季度和第四季度同比都有提高D. 2017年第一季度和第二季度同比都有提高【解答】解：由折线图知：在A中，2016年第三季度和第四季度环比都有提高，故A正确；在B中，2017年第一季度和第二季度环比都有提高，故B正确；在C中，2016年第三季度和第四季度同比都下降，故C错误；在D中，2017年第一季度和第二季度同比都有提高，故D正确.故选：C.25. （3分）已知函数f （x）=|x2-2x - a|+a在区间［-1，3］上的最大值是3, 那么实数a的取值范围是（）A. (-X, 0]B. (-X,— 1]C. [0 , +x )D.[寺 +co)【解答】解：f (x ) =|x 2- 2x - a|+a=| (x - 1) 2 - 1 - a| ,•- x € [ - 1, 3],••• x 2- 2x € [ - 1, 3], 当 a >3 时，x 2- 2x - a v 0,2 2 2 2••• f (x ) =|x - 2x - a|+a= - x +2x+a+a=- x +2x+2a=-( x - 1) +1 - 2a , 当x=1时，取的最大值，即1 - 2a=3,解得a=- 1,与题意不符；2当 a <- 1 时，x - 2x - a > 0,2 2 2 2• f (x ) =|x - 2x - a|+a=x - 2x - a+a=x - 2x= (x - 1)- 1,当x=- 1或3时，取的最大值，(3- 1) 2-仁3,综上所述a 的取值范围为(-X,- 1]故选：B. 二、解答题(共5小题，满分25分)26. (5 分)已知函数 f (x ) =1 - 2sin 2x(1) f(*)=(2) 求函数f (x )在区间 上的最大值和最小值. 46 【解答】解：函数f (x ) =1 - 2sin 2x=cos2x , 兀故答案为:x=0时，f (x )取得最大值1 , •函数f (X )在区间-一一上的最大值为1,最小值为0.* cos2x € [0 , 1],•••当 x=-(X )取得最小值0, TT ⑴ )=cos (2X*)令；(2) x € [IT T • 2x € [-兀 ~2 T V T27. (5分)如图，在三棱锥P- ABC中, PB丄BQ AC1 BQ点E, F, G分别为AB, BC, PQ的中点(1)求证：PB//平面EFG【解答】证明：(1)v点F, G分别为BC, PC,的中点,••• GF// PB,••• PB?平面EFG FG?平面EFG••• PB// 平面EFG(2)v在三棱锥P- ABC中,PB丄BC ACL BC,点E , F , G分别为AB BC, PC,的中点，••• EF// AC, GF// PB••• EF L BC, GF L BC,••• EF G FG=F 二BC L平面EFG••• EC?平面EFG 二BC L EG28. (5分)已知数列｛a n｝是等比数列,且,公比q=2.S(1)数列｛a n｝的通项公式为a n= 2n-4；(2)数列｛b n｝满足b n=log 2a n (n€ N*),求数列｛b n｝的前n项和S的最小值. 【解答】解：(1)数列｛a n｝是等比数列,且引电,公比q=2 , 可得a n= ? 2n- 1=2n-4;8故答案为：2n-4;n —4(2) b n=log 2a n=log 22 =n — 4 , 22S==n (- 3+n- 4) = (n - 7n)冷［（n冷）可得n=3或4时，S取得最小值，且为-6.29. （5分）已知圆M 2x2+2y2—6x+1=0.（1）圆M的圆心坐标为（―，0）;2（2）设直线I过点A（ 0, 2）且与x轴交于点D.与圆M在第一象限的部分交于两点B, C•若O为坐标原点，且△OCD勺面积相等，求直线I的斜率. 【解答】解：（1）圆M 2x2+2y2- 6x+1=0.转化为：念一）？ + /二上.则圆M的圆心坐标为：（号，a）.（2）直线I过点A （0, 2）且与x轴交于点D.则：设直线的方程为：y=kx+2.与圆M在第一象限的部分交于两点B,。
2018年北京市普通高中学业水平考试合格性考试第一部分 选择题（每小题3分，共75分） 1.已知集合{}0,1A =，{}1,1,3B =-，那么A B 等于A.{}0B.{}1C.{}0,1D.{}0,13， 2.平面向量a,b 满足b =2a ，如果a =(1,2)，那么b 等于A.(-2,-4)B.(-2,4)C.(2,-4)D.(2,4)3.如果直线y =kx -1与直线y =3x 平行，那么实数k 的值为A.-1B.13-C.13D.34.如图，给出了奇函数()f x 的局部图像，那么(1)f 等于A.-4B.-2C.2D.45.如果函数()(0,1)xf x a a a =≠且的图像经过点（2,9），那么实数a 等于A. B. C.2 D.36.某中学现有学生1800人，其中初中学生1200人，高中学生600人.为了解学生在“阅读节”活动中的参与情况，决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为180的样本，那么应从高中学生中抽取的人数为 A.60 B.90 C.100 D.1107.已知直线l 经过点O (0,0)，且与直线x - y -3=0垂直，那么直线l 的方程是 A.x +y -3=0 B.x -y +3=0 C.x +y =0 D.x -y =08.如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 中点，那么向量12AB AD +等于 A.AE B.AC C.DCD.BC9.实数131()log 12-+的值等于A.1B.2C.3D.410.函数2y x =，3y x =，1()2xy =，lg y x =中，在区间(0,)+∞上为减函数的是A.2y x =B.3y x =C.1()2xy =D.lg y x =11.某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖两类奖项.已知中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.1，那么本次活动中，中奖的概率为 A.0.1 B.0.2C.0.3D.0.712.如果正ABC ∆的边长为1，那么AB AC ⋅等于A.12-B.12C.1D.213.在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，如果0=1045,30a A B ==，，那么b 等于A.522B.52C.102D.20214.已知圆C: 2220x y x +-=，那么圆心C 到坐标原点O 的距离是A.12B.22C.1D.215.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，1A A ⊥底面ABCD ，121A A AB ==，，那么该四棱柱的体积为A.1B.2C.4D.816.函数3()5f x x =-的零点所在的区间是A.（1,2）B.（2,3）C.（3,4）D.（4,5）17.在0sin50，0sin50-，0sin 40，0sin 40-四个数中，与相等的是 A.0sin50 B.0sin50- C.0sin 40 D.0sin 40- 18.把函数sin y x =的图像向右平移4π个单位得到()y g x =的图像，再把()y g x =图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），所得到图像的解析式为A.2sin()4y x π=-B.2sin(+)4y x π=C.1sin()24y x π=-D.1sin(+)24y x π=19.函数21()1x x f x x x -≤-⎧=⎨-⎩的最小值是 A.-1 B.0 C.1D.220.在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行； ②垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ③平行于同一条直线的两个平面互相平行； ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行. 其中正确命题的序号是 A.① B.② C.③ D.④21.北京市环境保护监测中心每月向公众公布北京市各区域的空气质量状况.2018年1月份各区域的PM2.5浓度情况如下表：从上述表格随机选择一个区域，其2018年1月份PM2.5的浓度小于36微克/立方米的概率是A.117B.417C.517D.91722.已知5sin ,(0,)132παα=∈，那么sin()4πα+A.26-B.26-C.26D.2623.在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，如果3,a b c ===，那么ABC ∆的最大内角的余弦值为A.18B.14C.38D.1224.北京故宫博物院成立于1925年10月10日，是在明、清朝两代皇宫及其宫廷收藏的基础上建立起来的中国综合性博物馆，每年吸引着大批游客参观游览。
2018年北京普通高中会考数学真题及答案第一部分 选择题（每小题3分，共75分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的. 1．已知集合A={1，2，3}，B={1，2}，那么A ∩B 等于（ ） A ．{3} B ．{1，2}C ．{1，3}D ．{1，2，3}2．已知直线l 经过两点P （1，2），Q （4，3），那么直线l 的斜率为（ ） A ．﹣3 B ．C ．D ．33．某小学共有学生2000人，其中一至六年级的学生人数分别为400，400，400，300，300，200．为做好小学放学后“快乐30分”活动，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取一年级学生的人数为（ ） A ．120 B ．40 C ．30 D ．204．已知向量，，且，那么x 的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．65．给出下列四个函数①；②y=|x|； ③y=lgx ； ④y=x 3+1，其中奇函数的序号是（ ） A ．① B ．② C ．③D ．④6．要得到函数的图象，只需将函数y=sinx 的图象（ ） A ．向左平移个单位 B ．向右平移个单位 C ．向上平移个单位D ．向下平移个单位7．在△ABC 中，2a =，7b =，3c =，那么角B 等于（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π128．给出下列四个函数： ○11y x =-； ○22y x =； ○3ln y x =； ○43y x =.其中偶函数的序号是（ ） A ．○1 B ．○2 C ．○3D ．○49．等于（ ）A ．1B ．2C ．5D ．610．如果α为锐角，，那么sin2α的值等于（ ）A ．B ．C ．D ．11．22log 8log 4 等于 A ．1B ．2C ．5D ．612．cos12°cos18°﹣sin12°sin18°的值等于（ ） A ．B ．C ．D ．13．共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年龄分布进行了统计，得到的数据如表所示：年龄 12﹣20岁 20﹣30岁 30﹣40岁 40岁及以上比例14%45.5%34.5%6%为调查共享单车使用满意率情况，线采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取20﹣30岁的人数为（ ）A ．12B ．28C ．69D ．91 14．某几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ）A. 2π3B. 5π3C. 8π3D. 2π15．已知向量满足，，，那么向量的夹角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°16．某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，那么某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．17．函数的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．318．已知圆M ：x 2+y 2=2与圆N ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=3，那么两圆的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离19．已知圆221x y 与圆222(3)(0)x y r r 相外切，那么r 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．420．在△ABC中，，那么sinA等于（）A．B． C． D．21．某地区有网购行为的居民约10万人. 为了解他们网上购物消费金额占日常消费总额的比例情况，现从中随机抽取168人进行调查，其数据如右表所示. 由此估计，该地区网购消费金额占日常消费总额的比例在20%及以下的人数大约是A．1.68万 B．3.21万 C．4.41万 D．5.59万22．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出下列四个推断：①A1C1⊥AD1 ②A1C1⊥BD ③平面A1C1B∥平面ACD1 ④平面A1C1B⊥平面BB1D1D其中正确的推断有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个23．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，D在斜边BC上，且CD=2DB，那的值为（）A．3 B．5 C．6 D．924．从2008年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去几年里快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色. 下图是2009年至2016年高铁运营总里程．．．数的折线图（图中的数据均是每年12月31日的统计结果）.根据上述信息，下列结论中正确的是（）A．截止到2015年12月31日，高铁运营总里程数超过2万公里B．2011年与2012年新增．．高铁运营里程数之和超过了0.5万公里C．从2010年至2016年，新增．．高铁运营里程数最多的一年是2014年D．从2010年至2016年，新增．．高铁运营里程数逐年递增25．一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体是（）A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．四棱柱选择题答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25第二部分 解答题（每小题5分，共25分）26．已知函数f （x ）=1﹣2sin 2x （1）= ；（2）求函数f （x ）在区间上的最大值和最小值．27．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，PB ⊥BC ，AC ⊥BC ，点E ，F ，G 分别为AB ，BC ，PC ，的中点 （1）求证：PB ∥平面EFG ； （2）求证：BC ⊥EG ．28． 如图，在三棱锥P ABC -中，PB PC =，AB AC =．D ，E 分别是BC ，PB 的中点．（Ⅰ）求证：//DE 平面PAC ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面PAD ．29．已知点P（﹣2，2）在圆O：x2+y2=r2（r＞0）上，直线l与圆O交于A，B两点．（1）r= ；（2）如果△PAB为等腰三角形，底边，求直线l的方程．30．已知圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．（1）圆M的圆心坐标为；（2）设直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D．与圆M在第一象限的部分交于两点B，C．若O为坐标原点，且△OAB与△OCD的面积相等，求直线l的斜率．参考答案选择题答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B A A B C B9 10 11 12 13 14 15 16 17B A A D D A B D B18 19 20 21 22 23 24 25B B B DC C C A第二部分解答题（每小题5分，共25分）26．已知函数f（x）=1﹣2sin2x（1）= ；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：函数f（x）=1﹣2sin2x=cos2x，（1）=cos（2×）=；故答案为：；（2）x∈[﹣，]，∴2x∈[﹣，]，∴cos2x∈[0，1]，∴当x=﹣时，f（x）取得最小值0，x=0时，f（x）取得最大值1，∴函数f（x）在区间上的最大值为1，最小值为0．27．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点（1）求证：PB∥平面EFG；（2）求证：BC⊥EG．【解答】证明：（1）∵点F，G分别为BC，PC，的中点，∴GF∥PB，∵PB⊄平面EFG，FG⊂平面EFG，∴PB∥平面EFG．（2）∵在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点，∴EF∥AC，GF∥PB，∴EF⊥BC，GF⊥BC，∵EF∩FG=F，∴BC⊥平面EFG，∵EG⊂平面EFG，∴BC⊥EG．28． 如图，在三棱锥P ABC -中，PB PC =，AB AC =．D ，E 分别是BC ，PB 的中点．（Ⅰ）求证：//DE 平面PAC ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面PAD ．（Ⅰ）证明：因为 D ，E 分别是BC ，PB 的中点，所以 //DE PC ．因为 DE ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以 //DE 平面PAC ． ……………………………………2分（Ⅱ）证明：因为 PB PC =，AB AC =，D 是BC 的中点，所以 PD BC ⊥，AD BC ⊥． 因为 PDAD D =，所以 BC ⊥平面PAD ． 因为 BC ⊂平面ABC ，所以 平面ABC ⊥平面PAD ． ……………………………………5分29．已知点P （﹣2，2）在圆O ：x 2+y 2=r 2（r ＞0）上，直线l 与圆O 交于A ，B 两点． （1）r= ；（2）如果△PAB 为等腰三角形，底边，求直线l 的方程．【解答】解：（1）∵点P （﹣2，2）在圆O ：x 2+y 2=r 2（r ＞0）上， ∴r=2．…（1分）（2）因为△PAB 为等腰三角形，且点P 在圆O 上， 所以PO ⊥AB ． 因为PO 的斜率， 所以可设直线l 的方程为y=x+m ．由得2x 2+2mx+m 2﹣8=0．△=4m 2﹣8×（m 2﹣8）=64﹣4m 2＞0， 解得﹣4＜m ＜4．设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）， 可得． 所以．解得m=±2． 所以直线l 的方程为x ﹣y+2=0，x ﹣y ﹣2=0．…（5分） 30．已知圆M ：2x 2+2y 2﹣6x+1=0． （1）圆M 的圆心坐标为 ；（2）设直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D．与圆M在第一象限的部分交于两点B，C．若O为坐标原点，且△OAB与△OCD的面积相等，求直线l的斜率．【解答】解：（1）圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．转化为：．则圆M的圆心坐标为：（）．（2）直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D．则：设直线的方程为：y=kx+2．与圆M在第一象限的部分交于两点B，C．且△OAB与△OCD的面积相等，则：AB=CD．即：AM=DM．设点A（x，0）则：，整理得：x2﹣3x﹣4=0，解得：x=4或﹣1（负值舍去）．则：A（4，0）由于点A在直线y=kx+2上，解得：k=﹣故直线的斜率为﹣．故答案为：（，0）；直线的斜率为﹣．。
2018年北京市春季普通高中会考数学试卷一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A={1, 2, 3}，B={1, 2}，那么A∩B等于（）A.{3}B.{1, 2}C.{1, 3}D.{1, 2, 3}2. 已知直线l经过两点P(1, 2)，Q(4, 3)，那么直线l的斜率为( )A.−3B.−13C.13D.33. 对任意，下列不等式恒成立的是（）A.x2>0B.√x>0C.(12)x+1>0 D.lgx>04. 已知向量a→=(x,3)，b→=(4,6)，且a→ // b→，那么x的值是（）A.2B.3C.4D.65. 给出下列四个函数①y=1x；②y=|x|；③y=lgx；④y=x3+1，其中奇函数的序号是（）A.①B.②C.③D.④6. 要得到y=sin(x−π12)函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A.向左平移π12个单位B.向右平移π12个单位C.向上平移π12个单位D.向下平移π12个单位7. 某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出S的值是（）A.3B.6C.10D.158. 设数列{a n}的前项和为S n，如果a1=1，a n+1=−2a n(n∈N∗)，那么S1，S2，S3，S4中最小的是（）A.S1B.S2C.S3D.S49. log223+log26等于（）A.1B.2C.5D.610. 如果α为锐角，sinα=45，那么sin2α的值等于（）A.24 25B.1225C.−1225D.−242511. 已知a>0，b>0，且a+2b=8，那么ab的最大值等于（）A.4B.8C.16D.3212. cos12∘cos18∘−sin12∘sin18∘的值等于（）A.−√32B.−12C.12D.√3213.共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年龄分布进行了统计，得到的数据如表所示：行调查，那么应抽取20−30岁的人数为（）A.12B.28C.69D.9114. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是（）A.4πB.5πC.6πD.2π+415. 已知向量a→,b→满足|a→|=1，|b→|=2，a→∗b→=1，那么向量a→,b→的夹角为（）A.30∘B.60∘C.120∘D.150∘16. 某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，那么某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为（ ） A.15B.14C.13D.1217. 函数f(x)=x −√x −2的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.318. 已知圆M:x 2+y 2=2与圆N ：(x −1)2+(y −2)2=3，那么两圆的位置关系是（ ） A.内切 B.相交 C.外切 D.外离19. 如图，平面区域（阴影部分）对应的不等式组是（ ）A.{x +y −2≤0x −y −2≤02x −y +2≥0B.{x +y −2≤0x −y −2≥02x −y +2≥0C.{x +y −2≥0x −y −2≥02x −y +2≥0D.{x +y −2≤0x −y −2≤02x −y +2≤020. 在△ABC 中，a =2,c =3,∠C =2π3，那么sinA 等于（ ）A.√36B.√33C.13D.2321. 《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里…”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去．已知长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里…”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为( )A.1235B.1800C.2600D.300022. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，给出下列四个推断： ①A 1C 1⊥AD 1 ②A 1C 1⊥BD③平面A 1C 1B // 平面ACD 1 ④平面A 1C 1B ⊥平面BB 1D 1D 其中正确的推断有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个23. 如图，在△ABC 中，∠BAC =90∘，AB =3，D 在斜边BC 上，且CD =2DB ，那AB →∗AD →的值为（ ）A.3B.5C.6D.924. 为了促进经济结构不断优化，2015年中央财经领导小组强调“着力加强供给侧结构性改革”.2017年国家统计局对外发布报告“前三季度全国工业产能利用率达到五年来最高水平”，报告中指出“在供给侧结构性改革持续作用下，今年以来去产能成效愈加凸显，供求关系稳步改善”．如图为国家统计局发布的2015年以来我国季度工业产能利用率的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，；例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较．根据上述信息，下列结论中错误的是（）A.2016年第三季度和第四季度环比都有提高B.2017年第一季度和第二季度环比都有提高C.2016年第三季度和第四季度同比都有提高D.2017年第一季度和第二季度同比都有提高25. 已知函数f(x)=|x2−2x−a|+a在区间[−1, 3]上的最大值是3，那么实数a的取值范围是（）A.(−∞, 0]B.(−∞, 1]C.[0, +∞)D.[12,+∞)二、解答题（共5小题，满分25分）已知函数f(x)=1−2sin2x（1）f(π6)=________；（2）求函数f(x)在区间[−π4,π6brack上的最大值和最小值．如图，在三棱锥P−ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点（1）求证：PB // 平面EFG；（2）求证：BC⊥EG．已知数列{a n}是等比数列，且a1=18，公比q=2．（1）数列{a n}的通项公式为a n=________；（2）数列{b n}满足b n=log2a n(n∈N∗)，求数列{b n}的前n项和S n的最小值．已知圆M:2x2+2y2−6x+1=0．（1）圆M的圆心坐标为________；（2）设直线l过点A(0, 2)且与x轴交于点D．与圆M在第一象限的部分交于两点B，C．若O为坐标原点，且△OAB与△OCD的面积相等，求直线l的斜率．同学们，你们是否注意到：在雨后的清晨，沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的观光索道的电缆．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．下面我们来研究一类与悬链线有关的函数，这类函数的表达式为f(x)=ae x+be−x（其中a，b是非零常数，无理数e=2.71828…）．（1）当a=1，f(x)为偶函数时，b=________；（2）如果f(x)为R上的单调函数，请写出一组符合条件的a，b值；（3）如果f(x)的最小值为2，求a+b的最小值．参考答案与试题解析2018年北京市春季普通高中会考数学试卷一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】 B【考点】 交集及其运算 【解析】利用交集定义直接求解． 【解答】∵ 集合A ={1, 2, 3}，B ={1, 2}， ∴ A ∩B ={1, 2}． 2.【答案】 C【考点】 直线的斜率 【解析】利用斜率计算公式即可得出． 【解答】解：直线l 的斜率k =3−24−1=13， 故选C . 3.【答案】 C【考点】不等式的基本性质 【解析】利用不等式与函数的性质即可判断出结论． 【解答】A ．x 2≥0，因此不正确； B.√x ≥0，因此不正确；C ．∵ (12)x >0，∴ (12)x +1>1>0，恒成立，正确； D.0<x ≤1时，lgx ≤0，因此不正确． 4.【答案】 A【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】根据平行向量的坐标表示，列方程求出x 的值．向量a →=(x,3)，b →=(4,6)，且a → // b →， 则6x −3×4=0， 解得x =2． 5.【答案】 A【考点】函数奇偶性的性质 【解析】运用奇函数的定义，即可得到所求结论． 【解答】①y =1x 满足f(−x)=−f(x)，为奇函数；②y =|x|满足f(−x)=f(x)，为偶函数； ③y =lgx 为对数函数，为非奇非偶函数； ④y =x 3+1不满足f(−x)=−f(x)，不为奇函数． 6.【答案】 B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】由题意利用y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 【解答】将函数y =sinx 的图象向右平移π12个单位，可得到y =sin(x −π12)函数的图象， 7.【答案】 B【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】模拟程序的运行，可得 i =1，S =0满足条件i <4，执行循环体，S =1，i =2 满足条件i <4，执行循环体，S =3，i =3 满足条件i <4，执行循环体，S =6，i =4 不满足条件i <4，退出循环，输出S 的值为6． 8.【答案】 D【考点】等比数列的前n 项和由题意可得数列{a n}为首项为1，公比为−2的等比数列，分别计算S1，S2，S3，S4，即可得到所求最小值．【解答】{a n}的前n项和为S n，如果a1=1，a n+1=−2a n(n∈N∗)，则数列{a n}为首项为1，公比为−2的等比数列，则S1=a1=1；S2=1−2=−1；S3=1−2+4=3；S4=1−2+4−8=−5．则其中最小值为S4．9.【答案】B【考点】对数的运算性质【解析】利用对数运算性质即可得出．【解答】原式=log2(23×6)=log222=2．10.【答案】A【考点】二倍角的三角函数【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而利用二倍角的正弦函数公式可求sin2α的值．【解答】∵α为锐角，sinα=45，∴cosα=√1−sin2α=35，∴sin2α=2sinαcosα=2×45×35=2425．11.【答案】B【考点】基本不等式【解析】运用基本不等式的变形，化简整理即可得到所求最大值．【解答】a>0，b>0，且a+2b=8，则ab=12a⋅2b≤12(a+2b2)2=12×16=8，当且仅当a =2b =4，取得等号． 则ab 的最大值为8． 12.【答案】 D【考点】两角和与差的三角函数 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：cos 12∘cos 18∘−sin 12∘sin 18∘ =cos(12∘+18∘) =cos 30∘=√32． 故选D ． 13.【答案】 D【考点】 分层抽样方法 【解析】根据表格数据，利用比例关系进行求解即可． 【解答】解：由分层抽样的定义得应抽取20−30岁的人数为200×45.5%=91人， 故选D . 14.【答案】 C【考点】由三视图求体积 【解析】由几何体的三视图得该几何体是底面半径为r =1，高为2的圆柱，由此能求出这个几何体的表面积． 【解答】由几何体的三视图得该几何体是底面半径为r =1，高为2的圆柱， ∴ 这个几何体的表面积： S =2×πr 2+2πr ×2 =2π+4π=6π． 15.【答案】 B【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】根据题意，设向量a →,b →的夹角为θ，由数量积的计算公式可得cosθ=a →∗b→|a →||b →|=12，结合θ的范围，即可得答案．【解答】根据题意，设向量a →,b →的夹角为θ，又由|a →|=1，|b →|=2，a →∗b →=1，则cosθ=a →∗b →|a →||b →|=12， 又由0∘≤θ≤180∘，则θ=60∘；16.【答案】D【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】利用列举法求出基本事件有4个，有一天是星期二包含的基本事件有2个，由此能求出某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率．【解答】某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动， 要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，基本事件有4个，分别为：（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四），（星期四，星期五）， 有一天是星期二包含的基本事件有2个，分别为：（星期一，星期二），（星期二，星期三），∴ 某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为p =24=12．17.【答案】B【考点】函数零点的判定定理【解析】根据题意，分析函数对应的方程为x −√x −2=0，令t =√x ，可得t 2−t −2=0，解可得t 的值，即可得方程x −√x −2=0的根的个数，由函数零点的定义，即可得答案．【解答】根据题意，对于函数f(x)=x −√x −2，其对应的方程为x −√x −2=0，令t =√x ，有t ≥0，则有t 2−t −2=0，解可得t =2或t =−1（舍），若t =√x =2，则x =4，即方程x −√x −2=0有一个根4，则函数f(x)=x −√x −2有1个零点；18.【答案】圆与圆的位置关系及其判定【解析】根据两圆的圆心距与半径的关系，判断两圆的位置关系．【解答】圆M:x2+y2=2的圆心为M(0, 0)，半径为r1=√2；圆N：(x−1)2+(y−2)2=3的圆心为N(1, 2)，半径为r2=√3；|MN|=√12+22=√5，且√3−√2<√5<√2+√3，∴两圆的位置关系是相交．19.【答案】A【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【解析】根据二元一次不等式组表示平面区域进行求解即可．【解答】经过(2, 0)，(0, 2)点的直线方程为x2+y2=1，即x+y−2=0，经过(2, 0)，(0, −2)点的直线方程为x2−y2=1，即x−y−2=0，经过(−1, 0)，(0, 2)点的直线方程为−x+y2=1，即2x−y+2=0，则阴影部分在x+y−2=0的下方，即对应不等式为x+y−2≤0阴影部分在2x−y+2=0，的下方，即对应不等式为2x−y+2≥0阴影部分在x−y−2=0的上方，即对应不等式为x−y−2≤0，即对应不等式组为{x+y−2≤0x−y−2≤02x−y+2≥0，20.【答案】B【考点】三角形求面积【解析】直接利用正弦定理求出结果．【解答】在△ABC中，a=2,c=3,∠C=2π3，则：asinA =csinC，解得：sinA=√33．21.【答案】等差数列的前n 项和【解析】利用等差数列前n 项和公式直接求解．【解答】解：∵ 良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里，∴ 根据等差数列前n 项和公式，前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为： S 4=(4×193+4×32×13)+ [4×97+4×32×(−12)]=1235． 故选A .22.【答案】C【考点】棱柱的结构特征【解析】在①中，A 1C 1与AD 1成60∘角；在②中，由A 1C 1 // AC ，AC ⊥BD ，得A 1C 1⊥BD ；在③中，由A 1C 1 // AC ，AD 1 // BC 1，得平面A 1C 1B // 平面ACD 1；在④中，由A 1C 1⊥B 1D 1，A 1C 1⊥BB 1，得平面A 1C 1B ⊥平面BB 1D 1D ．【解答】在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，在①中，A 1C 1与AD 1成60∘角，故①错误；在②中，∵ A 1C 1 // AC ，AC ⊥BD ，∴ A 1C 1⊥BD ，故②正确； 在③中，∵ A 1C 1 // AC ，AD 1 // BC 1，A 1C 1∩BC 1=C 1，AC ∩AD 1=A ，A 1C 1、BC 1⊂平面A 1C 1B ，AC 、AD 1⊂平面ACD 1，∴ 平面A 1C 1B // 平面ACD 1，故③正确；在④中，∵ A 1C 1⊥B 1D 1，A 1C 1⊥BB 1，B 1D 1∩BB 1=B 1，∴ 平面A 1C 1B ⊥平面BB 1D 1D ，故④正确．23.【答案】C【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】根据加减的几何意义和向量的数量积即可求出．【解答】∵ BC →=AC →−AB →，∠BAC =90∘，AB =3，CD =2DB∴ AB →⋅AD →=AB →⋅(AB →+BD →)=AB →⋅(AB →+13BC →)=AB →⋅(AB →+13AC →−13AB →) =AB →⋅(23AB →+13AC →)=23AB →2+13AB →⋅AC →=23×9+0=6，C【考点】频率分布折线图、密度曲线【解析】2016年第三季度和第四季度同比都下降．【解答】由折线图知：在A中，2016年第三季度和第四季度环比都有提高，故A正确；在B中，2017年第一季度和第二季度环比都有提高，故B正确；在C中，2016年第三季度和第四季度同比都下降，故C错误；在D中，2017年第一季度和第二季度同比都有提高，故D正确．25.【答案】B【考点】函数的最值及其几何意义【解析】先求出x2−2x的范围，再去绝对值，分类讨论，根据二次函数的性质即可求出a的范围．【解答】f(x)=|x2−2x−a|+a=|(x−1)2−1−a|+a，其对称轴为x=1，f(−1)=f(3)=|3−a|+a，当a>0时，f(1)=|1+a|+a=1+2a≤3，解得a≤1，此时|3−a|+a=3−a+a=3，满足题意，当a≤0时，f(1)=|1+a|+a=1+2a≤3，解得a≤1，此时|3−a|+a=3−a+a=3，满足题意，综上所述a的取值范围为(−∞, 1]故选：B．二、解答题（共5小题，满分25分）【答案】12x∈[−π4, π6 ]，∴2x∈[−π2, π3 ]，∴cos2x∈[0, 1]，∴当x=−π4时，f(x)取得最小值0，x=0时，f(x)取得最大值1，∴函数f(x)在区间[−π4,π6brack上的最大值为1，最小值为0．【考点】三角函数中的恒等变换应用【解析】f(π6)=cos(2×π6)=12；故答案为：12；x∈[−π4, π6 ]，∴2x∈[−π2, π3 ]，∴cos2x∈[0, 1]，∴当x=−π4时，f(x)取得最小值0，x=0时，f(x)取得最大值1，∴函数f(x)在区间[−π4,π6brack上的最大值为1，最小值为0．【答案】∵点F，G分别为BC，PC，的中点，∴GF // PB，∵PB平面EFG，FG⊂平面EFG，∴PB // 平面EFG．∵在三棱锥P−ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点，∴EF // AC，GF // PB，∴EF⊥BC，GF⊥BC，∵EF∩FG=F，∴BC⊥平面EFG，∵EG⊂平面EFG，∴BC⊥EG．【考点】直线与平面平行【解析】（1）推导出GF // PB，由此能证明PB // 平面EFG．（2）推导出EF⊥BC，GF⊥BC，从而BC⊥平面EFG，由此能证明BC⊥EG．【解答】∵点F，G分别为BC，PC，的中点，∴GF // PB，∵PB平面EFG，FG⊂平面EFG，∴PB // 平面EFG．∵在三棱锥P−ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点，∴EF // AC，GF // PB，∴EF⊥BC，GF⊥BC，∵EF∩FG=F，∴BC⊥平面EFG，∵EG⊂平面EFG，∴BC⊥EG．【答案】2n−4b n=log2a n=log22n−4=n−4，11=12[(n −72)2−494]，可得n =3或4时，S n 取得最小值，且为−6．【考点】数列递推式数列的求和【解析】（1）运用等比数列的通项公式，计算即可得到所求通项；（2）求得b n =log 2a n =log 22n−4=n −4，运用等差数列的求和公式和二次函数的最值求法，即可得到所求最小值．【解答】数列{a n }是等比数列，且a 1=18，公比q =2，可得a n =18⋅2n−1=2n−4；故答案为：2n−4；b n =log 2a n =log 22n−4=n −4，S n =12n(−3+n −4)=12(n 2−7n) =12[(n −72)2−494]，可得n =3或4时，S n 取得最小值，且为−6．【答案】(32, 0) 直线l 过点A(0, 2)且与x 轴交于点D ．则：设直线的方程为：y =kx +2．与圆M 在第一象限的部分交于两点B ，C ．且△OAB 与△OCD 的面积相等， 则：AB =CD ．即：AM =DM ．设点D(x, 0)则：√(32)2+22=|x −32|， 整理得：x 2−3x −4=0，解得：x =4或−1（负值舍去）．则：A(4, 0)由于点A 在直线y =kx +2上，解得：k =−12故直线的斜率为−12．故答案为：(32, 0)；直线的斜率为−12．【考点】直线与圆的位置关系【解析】（1）直接把圆的一般式转化为标准式．（2）利用直线和圆的位置关系求出结果．【解答】圆M:2x 2+2y 2−6x +1=0．转化为：(x −32)2+y 2=74．则圆M 的圆心坐标为：(32,0)．直线l 过点A(0, 2)且与x 轴交于点D ．则：设直线的方程为：y =kx +2．与圆M 在第一象限的部分交于两点B ，C ．且△OAB 与△OCD 的面积相等， 则：AB =CD ．即：AM =DM ．设点D(x, 0)则：√(32)2+22=|x −32|， 整理得：x 2−3x −4=0，解得：x =4或−1（负值舍去）．则：A(4, 0)由于点A 在直线y =kx +2上，解得：k =−12故直线的斜率为−12．故答案为：(32, 0)；直线的斜率为−12．【答案】1当a =1时，b =−1时，f(x)=e x −e −x ，为增函数．当ab ≤0时，f(x)为单调函数，此时函数没有最小值，此时f(x)=ae x+be−x≥2√ae x∗be−x=2√ab=2，即√ab=1，即ab=1，则a+b≥2√ab=2，即a+b的最小值为2．故答案为：1【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）当a=1时，结合函数是偶函数，利用偶函数的定义进行求解即可．（2）根据指数函数的单调性进行求解即可．（3）利用函数的最值，结合基本不等式进行求解即可．【解答】当a=1时，f(x)=e x+be−x，∵f(x)是偶函数，∴f(−x)=f(x)，即e−x+be x=e x+be−x，则b=1．当a=1时，b=−1时，f(x)=e x−e−x，为增函数．当ab≤0时，f(x)为单调函数，此时函数没有最小值，若f(x)有最小值为2，则必有a>0，b>0，此时f(x)=ae x+be−x≥2√ae x∗be−x=2√ab=2，即√ab=1，即ab=1，则a+b≥2√ab=2，即a+b的最小值为2．故答案为：1。
2018年北京市普通高中学业水平考试数学试卷（解析版）一、单选题1．已知集合，1，，那么等于A．B．C．D．1，【答案】B【解析】【分析】利用交集定义直接求解．【详解】集合，1，，．故选：B．【点睛】本题考查交集的概念与运算，属于基础题.2．平面向量，满足，如果，那么等于A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】利用数乘向量运算法则直接求解．【详解】平面向量，满足，，．故选：D．【点睛】本题考查向量的求法，考查数乘向量运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．如果直线与直线平行，那么实数k的值为A．B．C．D．3【答案】D【解析】【分析】利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．【详解】直线与直线平行，，经过验证满足两条直线平行．故选：D．【点睛】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．如图，给出了奇函数的局部图象，那么等于A．B．C．2 D．4【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数的图象可得f（﹣1）的值，结合函数的奇偶性可得f（1）的值，即可得答案．【详解】根据题意，由函数的图象可得，又由函数为奇函数，则，故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质，关键是掌握函数奇偶性的性质，属于基础题．5．如果函数，且的图象经过点，那么实数a等于A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】由题意代入点的坐标，即可求出a的值．【详解】指数函数的图象经过点，，解得，故选：B．【点睛】本题考查了指数函数的定义，考查计算能力，属于基础题．6．某中学现有学生1800人，其中初中学生1200人，高中学生600人为了解学生在“阅读节”活动中的参与情况，决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为180的样本，那么应从高中学生中抽取的人数为A．60 B．90 C．100 D．110【答案】A【解析】【分析】根据分层抽样的定义和题意知，抽样比例是，根据样本的人数求出应抽取的人数【详解】根据分层抽样的定义和题意，则高中学生中抽取的人数人．故选：A．【点睛】本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在所求的层中抽取的个体数目．7．已知直线l经过点，且与直线垂直，那么直线l的方程是A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】由题意可求出直线l的斜率，由点斜式写出直线方程化简即可．【详解】直线l与直线垂直，直线l的斜率为，则，即故选：C．【点睛】本题考查了直线方程的求法，考查两直线垂直的等价条件，属于基础题．8．如图，在矩形ABCD中，E为CD中点，那么向量等于A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．【详解】在矩形ABCD中，E为CD中点，所以：，则：．故选：A．【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9．实数的值等于A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】直接利用有理指数幂及对数的运算性质求解即可．【详解】．故选：B．【点睛】本题考查了有理指数幂及对数的运算性质，是基础题．10．函数，，，中，在区间上为减函数的是A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据题意，依次分析四个函数在区间（0，+∞）的单调性，即可得答案．【详解】根据题意，函数，为二次函数，在区间为增函数；，为幂函数，在区间为增函数；，为指数函数，在区间上为减函数；中，在区间为增函数；故选：C．【点睛】本题考查函数单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．11．某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖两类奖项已知中一等奖的概率为，中二等奖的概率为，那么本次活动中，中奖的概率为A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据互斥事件概率加法公式即可得到其发生的概率的大小．【详解】由于中一等奖，中二等奖，为互斥事件，故中奖的概率为，故选：B．【点睛】本题考查概率加法公式及互斥事件，是一道基础题．12．如果正的边长为1，那么等于A．B．C．1 D．2【答案】B【解析】【分析】根据向量的数量积的运算性质计算即可．【详解】正的边长为1，，故选：B．【点睛】本题考查了向量的数量积的运算，是一道基础题．13．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，，，那么b等于A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理直接代入求值即可．【详解】由正弦定理，得，解得：，故选：B．【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查解三角形问题，是一道基础题．14．已知圆C：x2+y2–2x=0，则圆心C到坐标原点O的距离是A．B．C．1 D．【答案】C【解析】【分析】通过配方把一般式化为标准式即可得出圆心和半径，根据两点间距离公式即可得解.【详解】根据题意，圆C：x2+y2–2x=0，其圆心C为（1，0），则圆心C到坐标原点O的距离d==1．故选C．【点睛】本题考查了圆的方程，通过配方把一般式化为标准式即可得出圆的圆心和半径，记住两点间的距离公式是关键.15．如图，在四棱柱中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，，那么该四棱柱的体积为A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【解析】【分析】该四棱柱的体积为V=S正方形ABCD×AA1，由此能求出结果．【详解】在四棱柱中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，，该四棱柱的体积为．故选：B．【点睛】题考查该四棱柱的体积的求法，考查四棱柱的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．函数的零点所在的区间是A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】求得 f（1）f（2）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间．【详解】由函数可得，，故有，根据函数零点的判定定理可得，函数的零点所在区间为，故选：A．【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基本知识的考查．17．在，，，四个数中，与相等的是A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式化简可得答案．【详解】由．与相等的是故选：A．【点睛】本题主要考查了诱导公式的应用，属于基本知识的考查．18．把函数的图象向右平移个单位得到的图象，再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变，所得到图象的解析式为A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【详解】把函数的图象向右平移个单位得到的图象，再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变，所得到图象的解析式为，故选：A．【点睛】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．19．函数的最小值是A．B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】【分析】分别讨论两段函数的单调性和最值，即可得到所求最小值．【详解】当时，的最小值为；当时，递减，可得，综上可得函数的最小值为0．故选：B．【点睛】本题考查分段函数的最值求法，注意分析各段的单调性和最值，考查运算能力，属于基础题．20．在空间中，给出下列四个命题：平行于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两条直线互相平行；平行于同一条直线的两个平面互相平行；垂直于同一个平面的两个平面互相平行．其中正确命题的序号是A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由线面平行的性质可判断①；由线面垂直的性质定理可判断②；由两个平面的位置关系可判断③；由面面平行的判定定理可判断④．【详解】对于，平行于同一个平面的两条直线互相平行或相交或异面，故错误；对于，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故正确；对于，平行于同一条直线的两个平面互相平行或相交，故错误；对于，垂直于同一个平面的两个平面互相平行或相交，故错误．故选：B．【点睛】本题考查空间线线和面面的位置关系的判断，考查平行和垂直的判断和性质定理的运用，属于基础题．21．北京市环境保护监测中心每月向公众公布北京市各区域的空气质量状况年1月份各区域的浓度情况如表：各区域1月份浓度单位：微克立方米表区域浓度区域浓度区域浓度怀柔27海淀34平谷40密云31延庆35丰台42门头沟32西城35大兴46顺义32东城36开发区46昌平32石景山37房山47朝阳34通州39从上述表格随机选择一个区域，其2018年1月份的浓度小于36微克立方米的概率是A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】由表可知从上述表格随机选择一个区域，共有17种情况，其中2018年1月份PM2.5的浓度小于36微克/立方米的地区有9个，根据概率公式计算即可．【详解】从上述表格随机选择一个区域，共有17种情况，其中2018年1月份的浓度小于36微克立方米的地区有9个，则2018年1月份的浓度小于36微克立方米的概率是，故选：D．【点睛】本题主要考查频率分布表、古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等22．已知，那么A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】直接利用同角三角函数关系式的应用求出结果．【详解】知，那么，则：，故选：D．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，那么的最大内角的余弦值为A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】先判断△ABC的最大内角为A，再利用余弦定理计算cosA的值．【详解】中，，，的最大内角为A，且．故选：A．【点睛】本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题．24．北京故宫博物院成立于1925年10月10日，是在明、清朝两代皇宫及其宫廷收藏的基础上建立起来的中国综合性博物馆，每年吸引着大批游客参观游览下图是从2012年到2017年每年参观人数的折线图根据图中信息，下列结论中正确的是A．2013年以来，每年参观总人次逐年递增B．2014年比2013年增加的参观人次不超过50万C．2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多D．2012年到2017年这六年间，平均每年参观总人次超过160万【答案】C【解析】【分析】由从2012年到2017年每年参观人数的折线图，得2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多．【详解】由从2012年到2017年每年参观人数的折线图，得：在A中，2013年以来，2015年参观总人次比2014年参观人次少，故A错误；在B中，2014年比2013年增加的参观人次超过50万，故B错误；在C中，2012年到2017年这六年间，2017年参观总人次最多，故C正确；在D中，2012年到2017年这六年间，平均每年参观总人次不超过160万，故D 错误．故选：C．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图的应用，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．25．阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写的正确结论是如图，在三棱锥中，平面平面ABC，求证：证明：因为平面平面ABC平面平面，平面ABC所以______．因为平面PAC．所以如图，在三棱锥中，平面平面ABC，求证：证明：因为平面平面ABC平面平面，平面ABC所以______．因为平面PAC．所以A．底面PAC B．底面PBC C．底面PAC D．底面PBC【答案】C【解析】【分析】根据面面垂直的性质定理判断即可．【详解】根据面面垂直的性质定理判定得：BC⊥底面PAC，故选：C．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、解答题26．已知函数Ⅰ______；将结果直接填写在答题卡的相应位置上Ⅱ函数的最小正周期______将结果直接填写在答题卡的相应位置上Ⅲ求函数的最小值及相应的x的值．【答案】（1）2（2）（3）-2，，【解析】【分析】（Ⅰ）由f（0）=1求得A的值；（Ⅱ）由正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期；（Ⅲ）由正弦函数的图象与性质求得f（x）的最小值以及对应x的值．【详解】Ⅰ函数由，解得；Ⅱ函数，的最小正周期为；Ⅲ令，；，；此时函数取得最小值为．【点睛】函数的性质(1) .(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间.27．如图，在三棱锥中，底面ABC，，D，E，分别为PB，PC的中点．Ⅰ求证：平面ADE；Ⅱ求证：平面PAB．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由D、E分别为PB、PC的中点，得DE∥BC，由此能证明BC∥平面ADE；（Ⅱ）推导出PA⊥BC，AB⊥BC，由此能证明BC⊥平面PAB．【详解】证明：Ⅰ在中，、E分别为PB、PC的中点，，平面ADE，平面ADE，平面ADE．Ⅱ平面ABC，平面ABC，，，，平面PAB．【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．28．已知圆O：经过点，与x轴正半轴交于点B．Ⅰ______；将结果直接填写在答题卡的相应位置上Ⅱ圆O上是否存在点P，使得的面积为15？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）5（2）存在点或满足题意．【解析】【分析】（Ⅰ）直接由已知条件可得r；（Ⅱ）存在．由（Ⅰ）可得圆O的方程为：x2+y2=25，依题意，A（0，5），B（5，0），求出|AB|=，直线AB的方程为x+y﹣5=0，又由△PAB的面积，可得点P 到直线AB的距离为，设点P（x0，y0），解得x0+y0=﹣1或x0+y0=11（显然此时点P不在圆上，故舍去），联立方程组，求解即可得答案．【详解】Ⅰ；Ⅱ存在．，圆O的方程为：．依题意，，，，直线AB的方程为，又的面积为15，点P到直线AB的距离为，设点，，解得或显然此时点P不在圆上，故舍去，联立方程组，解得或．存在点或满足题意．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，是中档题．29．种植于道路两侧、为车辆和行人遮阴并构成街景的乔木称为行道树为确保行人、车辆和临近道路附属设施安全，树木与原有电力线之间的距离不能超出安全距离按照北京市行道树修剪规范要求，当树木与原有电力线发生矛盾时，应及时修剪树枝行道树修剪规范中规定，树木与原有电力线的安全距离如表所示：树木与电力线的安全距离表安全距离单位：电力线水平距离垂直距离330KV500KV现有某棵行道树已经自然生长2年，高度为据研究，这种行道树自然生长的时间年与它的高度满足关系式Ⅰ______；将结果直接填写在答题卡的相应位置上Ⅱ如果这棵行道树的正上方有35kV的电力线，该电力线距地面那么这棵行道树自然生长多少年必须修剪？Ⅲ假如这棵行道树的正上方有500kV的电力线，这棵行道树一直自然生长，始终不会影响电力线段安全，那么该电力线距离地面至少多少m？【答案】（1）（2）这棵行道树自然生长10年必须修剪；（3）该电力线距离地面至少37米，这这棵行道树一直自然生长，始终不会影响电力线段安全．【解析】【分析】（Ⅰ）将x=2，y=2代入计算即可，（Ⅱ）函数解析式为y=，令y=20﹣4=16，解得x=10，问题得以解决，（Ⅲ）根据指数函数的性质可得y=＜30，问题得以解决【详解】Ⅰ，故答案为：Ⅱ根据题意，该树木的高度为16米时需要及时修剪这颗行道数，函数解析式为，令，解得，故这棵行道树自然生长10年必须修剪；Ⅲ因为，所以，所以，所以该电力线距离地面至少37米，这这棵行道树一直自然生长，始终不会影响电力线段安全．【点睛】本题考查了函数在实际生活中的应用，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题．。
2018年北京市夏季普通高中会考数 学 试 卷第一部分 选择题（每小题3分，共75分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1．已知集合{1,0,1}A =-，{1,3}B =,那么集合A B 等于A ．{1}-B ．{1}C ．{1,1}-D ．{1,0,1,3}-2．不等式220x x +-<的解集为 A ．{|21}x x -<< B ．{|12}x x -<<C ．{|2x x <-或1}x >D ．{|1x x <-或2}x >3．已知向量(1,2)=-a ,(2,)y =b ,且∥a b ,那么y 等于A ．4-B ．1-C ．1D ．44．给出下列四个函数：①21y x =-+； ②y =③2log y x =； ④3x y =。
其中在区间(0,)+∞上是减函数的为A ．①B ．②C ．③D ．④5．把函数cos y x =的图象向右平移6π个单位长度，所得图象的函数关系式为 A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=-C ．cos()6y x π=+D ．cos()6y x π=-6。
123log 94+等于A ．52B ．72C ．4D ．57．某校高中三个年级共有学生1500人，其中高一年级有学生550人,高二年级有学生450 人．为了解学生参加读书活动的情况，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为300的样本进行调查，那么应抽取高三年级学生的人数为A ．90B ．100C ．110D ．1208．已知数列{}n a 满足12n n a a --=(2),n n *∈N ≥,且11a =，那么3a 等于A ．3-B ．1-C ．3D ．59．已知5sin 13=α,那么sin(π)-α等于A ．1213- B ．513-C ．513D ．121310。
某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出的SA ．12B ．19C ．22D ．3211．已知0a >,那么4a a+的最小值是A ．1B ．2C ．4D ．512．已知4sin 5=α，那么cos2α等于A ．2425-B ．725-C ．725D ．242513. 当实数x ,y 满足条件10,2+20,0x y x y y --⎧⎪+⎨⎪⎩≤≥≤ 时,z x y =+的最大值为A ．2-B ．1-C ．1D ．214。
2018年合格考练习题（二）数学试卷参考答案第一部分 选择题 (每小题3分，共75分)第二部分 解答题 (共25分)26．（本小题满分6分）已知函数()2cos2,f x x x x +∈R .（Ⅰ）()4f π= ；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及在[0,]2x π∈的最大值和最小值.（Ⅰ）解：()=4f π……………………2分（Ⅱ）解：因为()2cos2f x x x =+= 12cos 2)2x x + =2(sin 2cos cos2sin )66x x ππ+ =2sin(2)6x π+.所以函数()f x 的最小正周期22||2T ωππ===π. 由[0,]2x π∈，可得72[,]666x πππ+∈，所以1sin(2)126x π-≤+≤.所以12sin(2)26x π-≤+≤，所以当7266x ππ+=，即2x π=时，函数()f x 的最小值为1-；当262x ππ+=，即6x π=时，函数()f x 的最大值为2. ……………………6分27．（本小题满分6分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，AB AC =，D 是BC 的中点 . （Ⅰ）求证：BC ⊥平面1A AD ；（Ⅱ）若90BAC ∠=,14BC A D ==,求三棱柱111ABC A B C -的体积 . （Ⅰ）证明：因为 D 是BC 的中点，AB AC =， 所以 BC AD ⊥．因为 1A A ⊥底面ABC ，BC ABC ⊂平面， 所以 1A A BC ⊥，又因为 1AA AD D =，所以 BC ⊥平面1A AD . …………………3分 （Ⅱ）证明：因为 90BAC ∠=,14BC A D ==，D 是BC的中点，所以 122AD BC ==,AB AC ==因为 1A A ⊥底面ABC ，所以 1AA 所以三棱柱111ABC A B C -的体积112ABC V S AA ∆=⋅=⨯= ………………………6分28．（本小题满分6分）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆经过点()1,0-A . （Ⅰ）⊙O 的方程_______ ；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅱ）设M 是直线340x y +-=上的一个动点，ME ,MF 是⊙O 的两条切线，切点为E ,F .（ⅰ）如果60EMF ∠=，求点M 的横坐标； （ⅱ）求四边形MEOF 面积的最小值.A 1B 1C 1BCDA（Ⅰ）解：因为1OA =，所以圆O 的方程为221x y +=. ……………………2分 （Ⅱ）解：（ⅰ）如图，连接OM ，由题意可知OEM ∆为直角三角形. 因为60EMF ∠=，所以30OME ∠=.所以22OM OE ==.因为M 是340x y +-=直线上的动点， 所以设点M 的坐标为(,34)t t -+.所以OM2，解得t =，或t =. 所以点M. ……………………3分（ⅱ）因为原点O 到直线340x y +-=的距离d ==，所以OM.因为OEM ∆为直角三角形，所以2221ME OM =-≥35. 所以ME. 因为2MEO S S ∆==四边形MEOF 1212ME ME ⨯⨯⨯=,所以四边形MEOF. ……………………6分29.（本小题满分7分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且()f x 满足：①1x >时，()2f x >；②对任意的12,(0,)x x ∈+∞，都有121212()()()()()2f x x f x f x f x f x =--+ （Ⅰ）则(1)f =_____；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅱ）求证：函数()f x 在(1,)+∞上单调递增；（Ⅲ）当(2)5f =时，求满足()17f x <的x 的取值范围.解. （Ⅰ）则(1)f =2 ……………………2分（Ⅱ）任取121x x <<， 2211112211111211()()()()()()()()2()[()1][()2].x f x f x f x f x x x xf x f f x f f x x x x f x f x -=⋅-=⋅--+-=-- 因为2111,1x x x >>，所以211()2,()2xf x f x >>， 所以21()()0f x f x ->，所以函数()f x 在(1,)+∞上单调递增. ……………………5分 （Ⅲ）由(2)5f =得2(4)(2)2(2)217f f f =-+=，由第二问及(1)2f =. 所以当14x ≤<时，()17f x <， 当01x <<时，易知11x>，所以1()2f x >.又111(1)()()()()()2f f x f x f f x f x x x=⋅=--+，所以11()()()()0f x f f x f x x --=，1()12171()1f x f x=+<<-. 综上{|04}x x <<. ……………………7分。
2018年北京市春季普通高中会考数学试卷一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知集合A={1，2，3}，B={1，2}，那么A∩B等于（）A．{3}B．{1，2}C．{1，3}D．{1，2，3}2．（3分）已知直线l经过两点P（1，2），Q（4，3），那么直线l的斜率为（）A．﹣3 B．C．D．33．（3分）对任意，下列不等式恒成立的是（）A．x2＞0 B．C． D．lgx＞04．（3分）已知向量，，且，那么x的值是（）A．2 B．3 C．4 D．65．（3分）给出下列四个函数①；②y=|x|；③y=lgx；④y=x3+1，其中奇函数的序号是（）A．①B．②C．③D．④6．（3分）要得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向上平移个单位D．向下平移个单位7．（3分）某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出S的值是（）8．（3分）设数列{a n}的前项和为S n，如果a1=1，a n+1=﹣2a n（n∈N*），那么S1，S2，S3，S4中最小的是（）A．S1B．S2C．S3D．S49．（3分）等于（）A．1 B．2 C．5 D．610．（3分）如果α为锐角，，那么sin2α的值等于（）A．B．C．D．11．（3分）已知a＞0，b＞0，且a+2b=8，那么ab的最大值等于（）A．4 B．8 C．16 D．3212．（3分）cos12°cos18°﹣sin12°sin18°的值等于（）A．B．C．D．13．（3分）共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年龄分布进行了统计，得到的数据如表所示：为调查共享单车使用满意率情况，线采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取20﹣30岁的人数为（）A．12 B．28 C．69 D．9114．（3分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是（）15．（3分）已知向量满足，，，那么向量的夹角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°16．（3分）某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，那么某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为（）A．B．C．D．17．（3分）函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．318．（3分）已知圆M：x2+y2=2与圆N：（x﹣1）2+（y﹣2）2=3，那么两圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离19．（3分）如图，平面区域（阴影部分）对应的不等式组是（）A． B．C． D．20．（3分）在△ABC中，，那么sinA等于（）A．B．C．D．21．（3分）《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里…”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去．已知长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里…”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（）A．1235 B．1800 C．2600 D．300022．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出下列四个推断：①A1C1⊥AD1②A1C1⊥BD③平面A1C1B∥平面ACD1④平面A1C1B⊥平面BB1D1D其中正确的推断有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个23．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，D在斜边BC上，且CD=2DB，那的值为（）A．3 B．5 C．6 D．924．（3分）为了促进经济结构不断优化，2015年中央财经领导小组强调“着力加强供给侧结构性改革”.2017年国家统计局对外发布报告“前三季度全国工业产能利用率达到五年来最高水平”，报告中指出“在供给侧结构性改革持续作用下，今年以来去产能成效愈加凸显，供求关系稳步改善”．如图为国家统计局发布的2015年以来我国季度工业产能利用率的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，；例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较．根据上述信息，下列结论中错误的是（）A．2016年第三季度和第四季度环比都有提高B．2017年第一季度和第二季度环比都有提高C．2016年第三季度和第四季度同比都有提高D．2017年第一季度和第二季度同比都有提高25．（3分）已知函数f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a在区间[﹣1，3]上的最大值是3，那么实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，﹣1]C．[0，+∞）D．二、解答题（共5小题，满分25分）26．（5分）已知函数f（x）=1﹣2sin2x（1）=；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．27．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点（1）求证：PB∥平面EFG；（2）求证：BC⊥EG．28．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且，公比q=2．（1）数列{a n}的通项公式为a n=；（2）数列{b n}满足b n=log2a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n的最小值．29．（5分）已知圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．（1）圆M的圆心坐标为；（2）设直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D．与圆M在第一象限的部分交于两点B，C．若O为坐标原点，且△OAB与△OCD的面积相等，求直线l的斜率．30．（5分）同学们，你们是否注意到：在雨后的清晨，沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的观光索道的电缆．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．下面我们来研究一类与悬链线有关的函数，这类函数的表达式为f（x）=ae x+be﹣x（其中a，b是非零常数，无理数e=2.71828…）．（1）当a=1，f（x）为偶函数时，b=；（2）如果f（x）为R上的单调函数，请写出一组符合条件的a，b值；（3）如果f（x）的最小值为2，求a+b的最小值．2018年北京市春季普通高中会考数学试卷参考答案与试题解析一、在每小题给出的四个备选答案中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知集合A={1，2，3}，B={1，2}，那么A∩B等于（）A．{3}B．{1，2}C．{1，3}D．{1，2，3}【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={1，2}，∴A∩B={1，2}．故选：B．2．（3分）已知直线l经过两点P（1，2），Q（4，3），那么直线l的斜率为（）A．﹣3 B．C．D．3【解答】解：直线l的斜率k==，故选：C．3．（3分）对任意，下列不等式恒成立的是（）A．x2＞0 B．C． D．lgx＞0【解答】解：A．x2≥0，因此不正确；B.≥0，因此不正确；C．∵＞0，∴+1＞1＞0，恒成立，正确；D.0＜x≤1时，lgx≤0，因此不正确．故选：C．4．（3分）已知向量，，且，那么x的值是（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：向量，，且，则6x﹣3×4=0，解得x=2．故选：A．5．（3分）给出下列四个函数①；②y=|x|；③y=lgx；④y=x3+1，其中奇函数的序号是（）A．①B．②C．③D．④【解答】解：①满足f（﹣x）=﹣f（x），为奇函数；②y=|x|满足f（﹣x）=f （x），为偶函数；③y=lgx为对数函数，为非奇非偶函数；④y=x3+1不满足f（﹣x）=﹣f（x），不为奇函数．故选A．6．（3分）要得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向上平移个单位D．向下平移个单位【解答】解：将函数y=sinx的图象向右平移个单位，可得到函数的图象，故选：B．7．（3分）某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出S的值是（）A．3 B．6 C．10 D．15【解答】解：模拟程序的运行，可得i=1，S=0满足条件i＜4，执行循环体，S=1，i=2满足条件i＜4，执行循环体，S=3，i=3满足条件i＜4，执行循环体，S=6，i=4不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为6．故选：B．8．（3分）设数列{a n}的前项和为S n，如果a1=1，a n+1=﹣2a n（n∈N*），那么S1，S2，S3，S4中最小的是（）A．S1B．S2C．S3D．S4【解答】解：{a n}的前n项和为S n，如果a1=1，a n+1=﹣2a n（n∈N*），则数列{a n}为首项为1，公比为﹣2的等比数列，则S1=a1=1；S2=1﹣2=﹣1；S3=1﹣2+4=3；S4=1﹣2+4﹣8=﹣5．则其中最小值为S4．故选：D．9．（3分）等于（）A．1 B．2 C．5 D．6【解答】解：原式===2．故选：B．10．（3分）如果α为锐角，，那么sin2α的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵α为锐角，，∴cosα==，∴sin2α=2sinαcosα=2×=．故选：A．11．（3分）已知a＞0，b＞0，且a+2b=8，那么ab的最大值等于（）A．4 B．8 C．16 D．32【解答】解：a＞0，b＞0，且a+2b=8，则ab=a•2b≤（）2=×16=8，当且仅当a=2b=4，取得等号．则ab的最大值为8．故选：B．12．（3分）cos12°cos18°﹣sin12°sin18°的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：cos12°cos18°﹣sin12°sin18°=cos（12°+18°）=cos30°=，故选：D．13．（3分）共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群的年龄分布进行了统计，得到的数据如表所示：为调查共享单车使用满意率情况，线采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取20﹣30岁的人数为（）A．12 B．28 C．69 D．91【解答】解：由分层抽样的定义得应抽取20﹣30岁的人数为200×45.5%=91人，故选：D14．（3分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为正方形，俯视图为圆，那么这个几何体的表面积是（）A．4πB．5πC．6πD．2π+4【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是底面半径为r=1，高为2的圆柱，∴这个几何体的表面积：S=2×πr2+2πr×2=2π+4π=6π．故选：C．15．（3分）已知向量满足，，，那么向量的夹角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：根据题意，设向量的夹角为θ，又由，，，则cosθ==，又由0°≤θ≤180°，则θ=60°；故选：B．16．（3分）某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，那么某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，基本事件有4个，分别为：（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四），（星期四，星期五），有一天是星期二包含的基本事件有2个，分别为：（星期一，星期二），（星期二，星期三），∴某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为p=．故选：D．17．（3分）函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：根据题意，对于函数，其对应的方程为x﹣﹣2=0，令t=，有t≥0，则有t2﹣t﹣2=0，解可得t=2或t=﹣1（舍），若t==2，则x=4，即方程x﹣﹣2=0有一个根4，则函数有1个零点；故选：B．18．（3分）已知圆M：x2+y2=2与圆N：（x﹣1）2+（y﹣2）2=3，那么两圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离【解答】解：圆M：x2+y2=2的圆心为M（0，0），半径为r1=；圆N：（x﹣1）2+（y﹣2）2=3的圆心为N（1，2），半径为r2=；|MN|==，且﹣＜＜+，∴两圆的位置关系是相交．故选：B．19．（3分）如图，平面区域（阴影部分）对应的不等式组是（）A． B．C． D．【解答】解：经过（2，0），（0，2）点的直线方程为+=1，即x+y﹣2=0，经过（2，0），（0，﹣2）点的直线方程为﹣=1，即x﹣y﹣2=0，经过（﹣1，0），（0，2）点的直线方程为﹣x+=1，即2x﹣y+2=0，则阴影部分在x+y﹣2=0的下方，即对应不等式为x+y﹣2≤0阴影部分在2x﹣y+2=0，的下方，即对应不等式为2x﹣y+2≥0阴影部分在x﹣y﹣2=0的上方，即对应不等式为x﹣y﹣2≤0，即对应不等式组为，故选：A20．（3分）在△ABC中，，那么sinA等于（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，，则：，解得：．故选：B．21．（3分）《九章算术》的盈不足章第19个问题中提到：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里…”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去．已知长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里…”试问前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（）A．1235 B．1800 C．2600 D．3000【解答】解：∵长安和齐的距离是3000里．良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里，∴前4天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为：S4=（4×193+）+[4×]=1235．故选：A．22．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出下列四个推断：①A1C1⊥AD1②A1C1⊥BD③平面A1C1B∥平面ACD1④平面A1C1B⊥平面BB1D1D其中正确的推断有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，在①中，A1C1与AD1成60°角，故①错误；在②中，∵A1C1∥AC，AC⊥BD，∴A1C1⊥BD，故②正确；在③中，∵A1C1∥AC，AD1∥BC1，A1C1∩BC1=C1，AC∩AD1=A，A1C1、BC1⊂平面A1C1B，AC、AD1⊂平面ACD1，∴平面A1C1B∥平面ACD1，故③正确；在④中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1=B1，∴平面A1C1B⊥平面BB1D1D，故④正确．故选：C．23．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，D在斜边BC上，且CD=2DB，那的值为（）A．3 B．5 C．6 D．9【解答】解：∵=﹣，∠BAC=90°，AB=3，CD=2DB∴•=•（+）=•（+）=•（+﹣）=•（+）=2+•=×9+0=6，故选：C24．（3分）为了促进经济结构不断优化，2015年中央财经领导小组强调“着力加强供给侧结构性改革”.2017年国家统计局对外发布报告“前三季度全国工业产能利用率达到五年来最高水平”，报告中指出“在供给侧结构性改革持续作用下，今年以来去产能成效愈加凸显，供求关系稳步改善”．如图为国家统计局发布的2015年以来我国季度工业产能利用率的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，；例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较．根据上述信息，下列结论中错误的是（）A．2016年第三季度和第四季度环比都有提高B．2017年第一季度和第二季度环比都有提高C．2016年第三季度和第四季度同比都有提高D．2017年第一季度和第二季度同比都有提高【解答】解：由折线图知：在A中，2016年第三季度和第四季度环比都有提高，故A正确；在B中，2017年第一季度和第二季度环比都有提高，故B正确；在C中，2016年第三季度和第四季度同比都下降，故C错误；在D中，2017年第一季度和第二季度同比都有提高，故D正确．故选：C．25．（3分）已知函数f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a在区间[﹣1，3]上的最大值是3，那么实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，﹣1]C．[0，+∞）D．【解答】解：f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a=|（x﹣1）2﹣1﹣a|，∵x∈[﹣1，3]，∴x2﹣2x∈[﹣1，3]，当a＞3时，x2﹣2x﹣a＜0，∴f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a=﹣x2+2x+a+a=﹣x2+2x+2a=﹣（x﹣1）2+1﹣2a，当x=1时，取的最大值，即1﹣2a=3，解得a=﹣1，与题意不符；当a≤﹣1时，x2﹣2x﹣a≥0，∴f（x）=|x2﹣2x﹣a|+a=x2﹣2x﹣a+a=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，当x=﹣1或3时，取的最大值，（3﹣1）2﹣1=3，综上所述a的取值范围为（﹣∞，﹣1]故选：B．二、解答题（共5小题，满分25分）26．（5分）已知函数f（x）=1﹣2sin2x（1）=；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：函数f（x）=1﹣2sin2x=cos2x，（1）=cos（2×）=；故答案为：；（2）x∈[﹣，]，∴2x∈[﹣，]，∴cos2x∈[0，1]，∴当x=﹣时，f（x）取得最小值0，x=0时，f（x）取得最大值1，∴函数f（x）在区间上的最大值为1，最小值为0．27．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点（1）求证：PB∥平面EFG；（2）求证：BC⊥EG．【解答】证明：（1）∵点F，G分别为BC，PC，的中点，∴GF∥PB，∵PB⊄平面EFG，FG⊂平面EFG，∴PB∥平面EFG．（2）∵在三棱锥P﹣ABC中，PB⊥BC，AC⊥BC，点E，F，G分别为AB，BC，PC，的中点，∴EF∥AC，GF∥PB，∴EF⊥BC，GF⊥BC，∵EF∩FG=F，∴BC⊥平面EFG，∵EG⊂平面EFG，∴BC⊥EG．28．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且，公比q=2．（1）数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣4；（2）数列{b n}满足b n=log2a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n的最小值．【解答】解：（1）数列{a n}是等比数列，且，公比q=2，可得a n=•2n﹣1=2n﹣4；故答案为：2n﹣4；（2）b n=log2a n=log22n﹣4=n﹣4，S n=n（﹣3+n﹣4）=（n2﹣7n）=[（n﹣）2﹣]，可得n=3或4时，S n取得最小值，且为﹣6．29．（5分）已知圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．（1）圆M的圆心坐标为（，0）；（2）设直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D．与圆M在第一象限的部分交于两点B，C．若O为坐标原点，且△OAB与△OCD的面积相等，求直线l的斜率．【解答】解：（1）圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．转化为：．则圆M的圆心坐标为：（）．（2）直线l过点A（0，2）且与x轴交于点D．则：设直线的方程为：y=kx+2．与圆M在第一象限的部分交于两点B，C．且△OAB与△OCD的面积相等，则：AB=CD．即：AM=DM．设点A（x，0）则：，整理得：x2﹣3x﹣4=0，解得：x=4或﹣1（负值舍去）．则：A（4，0）由于点A在直线y=kx+2上，解得：k=﹣故直线的斜率为﹣．故答案为：（，0）；直线的斜率为﹣．30．（5分）同学们，你们是否注意到：在雨后的清晨，沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷上空，横跨深涧的观光索道的电缆．这些现象中都有相似的曲线形态．事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线．悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用．下面我们来研究一类与悬链线有关的函数，这类函数的表达式为f（x）=ae x+be﹣x（其中a，b是非零常数，无理数e=2.71828…）．（1）当a=1，f（x）为偶函数时，b=1；（2）如果f（x）为R上的单调函数，请写出一组符合条件的a，b值；（3）如果f（x）的最小值为2，求a+b的最小值．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=e x+be﹣x，∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即e﹣x+be x=e x+be﹣x，则b=1．（2）当a=1时，b=﹣1时，f（x）=e x﹣e﹣x，为增函数．（3）当ab≤0时，f（x）为单调函数，此时函数没有最小值，若f（x）有最小值为2，则必有a＞0，b＞0，此时f（x）=ae x+be﹣x≥2=2=2，即=1，即ab=1，则a+b≥2=2，即a+b的最小值为2．故答案为：1。
