向量共线的判定定理 2

两个向量共线的公式
三点共线向量公式：(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1)。

三点共线指的是三点在同一条直线上。

可以设三点为A、B、C，利用向量证明：λAB=AC（其中λ为非零实数）。

三点共线证明方法：
方法一：挑两点奠定一条直线，排序该直线的.解析式.代入第三点座标看看与否满足用户该解析式（直线与方程）。

方法二：设三点为a、b、c，利用向量证明：λab=ac（其中λ为非零实数）。

方法三：利用点差法求出来ab斜率和ac斜率，成正比即为三点共线。

方法四:用梅涅劳斯定理。

方法五：利用几何中的公理“如果两个不重合的平面存有一个公共点，那么它们存有且只有一条过该点的公共直线”.所述：如果三点同属两个平行的平面则三点共线。

方法六：运用公（定）理“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（垂直）”.其实就是同一法。

平面向量共线向量定理1. 什么是共线向量？说到平面向量，咱们先得搞明白什么是共线向量。

共线向量，简单来说，就是一群向量，它们的方向一致，就像一群小鸟齐齐飞向同一个方向。

想象一下，如果你和朋友们都朝同一个地方走，那你们就是共线的。

这样的向量在数学上可不是随便说说，它们有着特别的关系，甚至可以通过一些简单的计算来证明。

1.1 向量的定义向量其实就像一条有方向的箭，箭头指的地方就是它的方向，而箭的长度就是它的大小。

想象一下，如果你在操场上朝一个方向跑，跑的快慢、方向都可以用向量来表示。

平面向量则是在二维平面上的向量，咱们日常生活中的位置、速度等都可以用平面向量来描述。

1.2 向量的加法与数乘现在，咱们再聊聊向量的加法和数乘。

就像把两根同样的手指放在一起，你的总长度就变大了。

向量加法也是如此，把两个向量的起点连起来，最后的箭头指向的地方就是它们的和。

而数乘，就像你把这根手指伸长了几倍，方向不变，但大小却变大了。

这些操作在数学上是基础，但实际上它们的用途可多了去了。

2. 共线向量的性质接下来，咱们得看看共线向量的性质。

首先，共线向量的方向是一致的，换句话说，它们的方向角是相同的。

如果你把两根共线向量放在一起，你会发现它们可以重合，仿佛它们就是亲兄弟。

其次，任何一个共线向量都可以表示成其他向量的倍数，听起来有点复杂，其实就像是你把一道菜用不同的调料做成的风味，但本质上还是那道菜。

2.1 数学表达说到数学表达，咱们可以用公式来理解这一点。

如果有两个向量 ( vec{a ) 和( vec{b )，它们是共线的，那就意味着存在一个非零的实数 ( k )，使得 ( vec{a = k cdot vec{b )。

简单来说，就是你可以通过某种方式把一个向量变成另一个向量，这就叫共线。

2.2 生活中的例子在生活中，我们也能找到共线向量的例子。

比如说，两个车沿着同一条道路行驶，不管它们的速度多快或慢，只要方向一致，它们就可以看作是共线向量。

数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示向量共线的充要条件：
向量与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得。

向量共线的几何表示：
设，其中，当且仅当时，向量共线。

向量共线（平行）基本定理的理解：
(1)对于向量a（a≠0），b，如果有一个实数λ，使得b=λa，那么由向量数乘的定义知,学习规律，a与b共线．
(2)反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa；当a与b反方向时，有b=-μa.
(3)向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合.
(4)判断a（a≠0）与b是否共线时，关键是寻找a前面的系数，如果系数有且只有一个，说明共线；如果找不到满足条件的系数，则这两个向量不共线.
(5)如果a=b=0，则数λ仍然存在，且此时λ并不唯一，是任意数值.
精心整理，仅供学习参考。

第2课时 两向量共线的充要条件及应用问题导学预习教材P31－P33的内容，思考以下问题： 1．两向量共线的充要条件是什么？ 2．如何利用向量的坐标表示两个向量共线？两向量共线的充要条件设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ，b (b ≠0)共线的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0． ■名师点拨(1)两个向量共线的坐标表示还可以写成x 1x 2＝y 1y 2(x 2≠0，y 2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．(2)当a ≠0，b ＝0时，a ∥b ，此时x 1y 2－x 2y 1＝0也成立，即对任意向量a ，b 都有x 1y 2－x 2y 1＝0⇔a ∥b .判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量(1，2)与向量(4，8)共线．( )(2)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则必有x 1y 2＝x 2y 1.( ) 答案：(1)√ (2)√下列各组的两个向量共线的是( ) A ．a 1＝(－2，3)，b 1＝(4，6) B ．a 2＝(1，－2)，b 2＝(7，14) C ．a 3＝(2，3)，b 3＝(3，2) D ．a 4＝(－3，2)，b 4＝(6，－4) 答案：D已知两点A (2，－1)，B (3，1)，与AB →平行且方向相反的向量a 可能是( ) A ．a ＝(1，－2) B ．a ＝(9，3) C ．a ＝(－1，2) D ．a ＝(－4，－8)解析：选D.由题意得AB →＝(1，2)，结合选项可知a ＝(－4，－8)＝－4(1，2)＝－4AB →，所以D 正确．已知a ＝(3，1)，b ＝(2，λ)，若a ∥b ，则实数λ的值为________． 答案：23向量共线的判定(1)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(3，4)．若(3a －b )∥(a ＋k b )，则k ＝________． (2)已知A (－1，－1)，B (1，3)，C (2，5)，判断AB →与AC →是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？【解】 (1)3a －b ＝(0，－10)，a ＋k b ＝(1＋3k ，－2＋4k )， 因为(3a －b )∥(a ＋k b )，所以0－(－10－30k )＝0， 所以k ＝－13.故填－13.(2)因为AB →＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)， AC →＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)， 因为2×6－3×4＝0，所以AB →∥AC →，所以AB →与AC →共线． 又AB →＝23AC →，所以AB →与AC →的方向相同．[变问法]若本例(1)条件不变，判断向量(3a －b )与(a ＋k b )是反向还是同向？ 解：由向量(3a －b )与(a ＋k b )共线，得k ＝－13，所以3a －b ＝(3，－6)－(3，4)＝(0，－10)， a ＋k b ＝a －13b ＝(1，－2)－13(3，4)＝⎝⎛⎭⎫0，－103＝13(0，－10)， 所以向量(3a －b )与(a ＋k b )同向．向量共线的判定方法1．(2019·河北衡水景县中学检测)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(λ，1)．若a ＋b 与a 平行，则λ＝( )A ．－5B ．52C ．7D ．－12解析：选D.a ＋b ＝(－1，2)＋(λ，1)＝(λ－1，3)，由a ＋b 与a 平行，可得－1×3－2×(λ－1)＝0，解得λ＝－12.2．已知A (2，1)，B (0，4)，C (1，3)，D (5，－3)．判断AB →与CD →是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解：AB →＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)， CD →＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6)．法一：因为(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4<0， 所以AB →与CD →共线且方向相反．法二：因为CD →＝－2AB →，所以AB →与CD →共线且方向相反．三点共线问题(1)已知OA →＝(3，4)，OB →＝(7，12)，OC →＝(9，16)，求证：点A ，B ，C 共线； (2)设向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(10，k )，求当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线．【解】 (1)证明：由题意知AB →＝OB →－OA →＝(4，8)， AC →＝OC →－OA →＝(6，12)，所以AC →＝32AB →，即AB →与AC →共线．又因为AB →与AC →有公共点A ，所以点A ，B ，C 共线． (2)法一：因为A ，B ，C 三点共线，即AB →与AC →共线， 所以存在实数λ(λ∈R )，使得AB →＝λAC →.因为AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)， 所以(4－k ，－7)＝λ(10－k ，k －12)，即⎩⎪⎨⎪⎧4－k ＝λ（10－k ），－7＝λ（k －12），解得k ＝－2或k ＝11.所以当k ＝－2或k ＝11时，A ，B ，C 三点共线． 法二：由已知得AB →与AC →共线，因为AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)， 所以(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0， 所以k 2－9k －22＝0，解得k ＝－2或k ＝11. 所以当k ＝－2或k ＝11时，A ，B ，C 三点共线．判断向量(或三点)共线的三个步骤1．已知A ，B ，C 三点共线，且A (－3，6)，B (－5，2)，若C 点的纵坐标为6，则C 点的横坐标为( )A ．－3B ．9C ．－9D ．3解析：选A.设C (x ，6)，因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →， 又AB →＝(－2，－4)，AC →＝(x ＋3，0)， 所以－2×0＋4(x ＋3)＝0.所以x ＝－3.2．设点A (x ，1)，B (2x ，2)，C (1，2x )，D (5，3x )，当x 为何值时，AB →与CD →共线且方向相同，此时A ，B ，C ，D 能否在同一条直线上？解：AB →＝(2x ，2)－(x ，1)＝(x ，1)， BC →＝(1，2x )－(2x ，2)＝(1－2x ，2x －2)， CD →＝(5，3x )－(1，2x )＝(4，x )． 由AB →与CD →共线，所以x 2＝1×4， 所以x ＝±2.又AB →与CD →方向相同，所以x ＝2.所以当x ＝2时，AB →与CD →共线且方向相同． 此时，AB →＝(2，1)，BC →＝(－3，2)， 而2×2≠－3×1，所以AB →与BC →不共线， 所以A ，B ，C 三点不在同一条直线上． 所以A ，B ，C ，D 不在同一条直线上．向量共线的应用如图所示，在△AOB 中，A (0，5)，O (0，0)，B (4，3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标．【解】 因为OC →＝14OA →＝14(0，5)＝⎝⎛⎭⎫0，54， 所以C ⎝⎛⎭⎫0，54. 因为OD →＝12OB →＝12(4，3)＝⎝⎛⎭⎫2，32， 所以D ⎝⎛⎭⎫2，32. 设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)，AD →＝⎝⎛⎭⎫2－0，32－5＝⎝⎛⎭⎫2，－72. 因为AM →∥AD →，所以－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①又CM →＝⎝⎛⎭⎫x ，y －54，CB →＝⎝⎛⎭⎫4，74， 因为CM →∥CB →，所以74x －4⎝⎛⎭⎫y －54＝0， 即7x －16y ＝－20.②联立①②解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫127，2.应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤如图所示，已知△ABC ，A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)，M ，N ，D 分别是AB ，AC ，BC 的中点，且MN 与AD 交于点F ，求DF →的坐标．解：因为A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)，所以AB →＝(3－7，5－8)＝(－4，－3)，AC →＝(4－7，3－8)＝(－3，－5)．又因为D 是BC 的中点，所以AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(－4－3，－3－5)＝12(－7，－8)＝⎝⎛⎭⎫－72，－4.因为M ，N 分别为AB ，AC 的中点，所以F 为AD 的中点，所以DF →＝－FD →＝－12AD →＝－12⎝⎛⎭⎫－72，－4＝⎝⎛⎭⎫74，2.1．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(m ，4)，且a ∥b ，那么2a －b ＝( ) A ．(4，0) B ．(0，4) C ．(4，－8)D ．(－4，8)解析：选C.因为向量a ＝(1，－2)，b ＝(m ，4)，且a ∥b ，所以1×4＝(－2)×m ，所以m ＝－2，所以2a －b ＝(2－m ，－4－4)＝(4，－8)．2．若三点A (4，3)，B (5，m )，C (6，n )在一条直线上，则下列式子一定正确的是( ) A ．2m －n ＝3 B ．n －m ＝1 C ．m ＝3，n ＝5D ．m －2n ＝3解析：选A.因为三点A (4，3)，B (5，m )，C (6，n )在一条直线上，所以AB →＝λAC →，所以(1，m －3)＝λ(2，n －3)，所以λ＝12，所以m －3＝12(n －3)，即2m －n ＝3.3．平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k 的值．解：(1)因为a ＝m b ＋n c ，所以(3，2)＝m (－1，2)＋n (4，1)＝(－m ＋4n ，2m ＋n )．所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝59，n ＝89.(2)因为(a ＋k c )∥(2b －a )，又a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)， 所以2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0. 所以k ＝－1613.[A 基础达标]1．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－5，－10)B ．(－4，－8)C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)解析：选B.因为平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，所以1×m －(－2)×2＝0，解得m ＝－4，所以2a ＋3b ＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．2．已知a ＝(sin α，1)，b ＝(cos α，2)，若b ∥a ，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－12D ．－2解析：选A.因为b ∥a ，所以2sin α＝cos α，所以sin αcos α＝12，所以tan α＝12.3．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(0，1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值是( )A ．－72B ．－12C ．－43D ．－83解析：选B.v ＝2(1，2)－(0，1)＝(2，3)，u ＝(1，2)＋k (0，1)＝(1，2＋k )．因为u ∥v ，所以2(2＋k )－1×3＝0，解得k ＝－12.4．若AB →＝i ＋2j ，DC →＝(3－x )i ＋(4－y )j (其中i ，j 的方向分别与x ，y 轴正方向相同且为单位向量).AB →与DC →共线，则x ，y 的值可能分别为( )A ．1，2B ．2，2C ．3，2D ．2，4解析：选B.由题意知，AB →＝(1，2)，DC →＝(3－x ，4－y )． 因为AB →∥DC →，所以4－y －2(3－x )＝0，即2x －y －2＝0.只有B 选项，x ＝2，y ＝2代入满足．故选B.5．已知A (1，－3)，B ⎝⎛⎭⎫8，12，且A ，B ，C 三点共线，则点C 的坐标可以是( ) A ．(－9，1) B ．(9，－1) C ．(9，1)D ．(－9，－1)解析：选C.设点C 的坐标是(x ，y )， 因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →.因为AB →＝⎝⎛⎭⎫8，12－(1，－3)＝⎝⎛⎭⎫7，72， AC →＝(x ，y )－(1，－3)＝(x －1，y ＋3)， 所以7(y ＋3)－72(x －1)＝0，整理得x －2y ＝7，经检验可知点(9，1)符合要求，故选C.6．已知向量a ＝(3x －1，4)与b ＝(1，2)共线，则实数x 的值为________．解析：因为向量a ＝(3x －1，4)与b ＝(1，2)共线，所以2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1. 答案：17．已知A (2，1)，B (0，2)，C (－2，1)，O (0，0)，给出下列结论： ①直线OC 与直线BA 平行； ②AB →＋BC →＝CA →； ③OA →＋OC →＝OB →； ④AC →＝OB →－2OA →.其中，正确结论的序号为________．解析：①因为OC →＝(－2，1)，BA →＝(2，－1)，所以OC →＝－BA →，又直线OC ，BA 不重合，所以直线OC ∥BA ，所以①正确；②因为AB →＋BC →＝AC →≠CA →，所以②错误；③因为OA →＋OC →＝(0，2)＝OB →，所以③正确；④因为AC →＝(－4，0)，OB →－2OA →＝(0，2)－2(2，1)＝(－4，0)，所以④正确．答案：①③④8．对于任意的两个向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定运算“⊗”为m ⊗n ＝(ac －bd ，bc ＋ad )，运算“⊕”为m ⊕n ＝(a ＋c ，b ＋d )．设m ＝(p ，q )，若(1，2)⊗m ＝(5，0)，则(1，2)⊕m 等于________．解析：由(1，2)⊗m ＝(5，0)，可得⎩⎪⎨⎪⎧p －2q ＝5，2p ＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝－2，所以(1，2)⊕m ＝(1，2)⊕(1，－2)＝(2，0)．答案：(2，0)9．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 解：(1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)． 因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0，得k ＝－12.所以当k ＝－12时，k a －b 与a ＋2b 共线．(2)因为A ，B ，C 三点共线， 所以AB →＝λBC →，λ∈R ， 即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝mλ，解得m ＝32.10．(1)已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求M ，N 及MN →的坐标；(2)已知P 1(2，－1)，P 2(－1，3)，P 在直线P 1P 2上，且|P 1P →|＝23|PP 2→|.求点P 的坐标．解：(1)法一：由A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，可得CA →＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)，CB →＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)，所以CM →＝3CA →＝3(1，8)＝(3，24)，CN →＝2CB →＝2(6，3)＝(12，6)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．则CM →＝(x 1＋3，y 1＋4)＝(3，24)，CN →＝(x 2＋3，y 2＋4)＝(12，6)， 所以x 1＝0，y 1＝20，x 2＝9，y 2＝2，即M (0，20)，N (9，2)， 所以MN →＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)． 法二：设点O 为坐标原点，则由CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，可得OM →－OC →＝3(OA →－OC →)，ON →－OC →＝2(OB →－OC →)，从而OM →＝3OA →－2OC →，ON →＝2OB →－OC →，所以OM →＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)，ON →＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)，即点M (0，20)，N (9，2)，故MN →＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．(2)①当点P 在线段P 1P 2上时，如图a ：则有P 1P →＝23PP 2→，设点P 的坐标为(x ，y )，所以(x －2，y ＋1)＝23(－1－x ，3－y )，所以⎩⎨⎧x －2＝23（－1－x ），y ＋1＝23（3－y ），解得⎩⎨⎧x ＝45，y ＝35.故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，35.②当点P 在线段P 2P 1的延长线上时，如图b ：则有P 1P →＝－23PP 2→，设点P 的坐标为(x ，y )，所以(x －2，y ＋1)＝－23(－1－x ，3－y )，所以⎩⎨⎧x －2＝－23（－1－x），y ＋1＝－23（3－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－9.故点P 的坐标为(8，－9)．综上可得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，35或(8，－9)．[B 能力提升]11．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么() A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：选D.因为a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，若k ＝1，则c ＝a ＋b ＝(1，1)，d ＝a －b ＝(1，－1)，显然，c 与d 不平行，排除A 、B.若k ＝－1，则c ＝－a ＋b ＝(－1，1)，d ＝a －b ＝－(－1，1)，即c ∥d 且c 与d 反向．12．已知向量a ＝(－2，3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1，2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________．解析：由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设B (x ，y )，则AB →＝(x －1，y －2)＝b .由⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝x －1，3λ＝y －2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2.又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B ⎝⎛⎭⎫0，72或⎝⎛⎭⎫73，0. 答案：⎝⎛⎭⎫0，72或⎝⎛⎭⎫73，0 13.如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2，6)，B (6，4)，C (5，0)，D (1，0)，则直线AC 与BD 交点P 的坐标为______．解析：设P (x ，y )，则DP →＝(x －1，y )，DB →＝(5，4)，CA →＝(－3，6)，DC→＝(4，0)．由B ，P ，D 三点共线可得DP →＝λDB →＝(5λ，4λ)．又因为CP →＝DP →－DC →＝(5λ－4，4λ)，由CP →与CA →共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.解得λ＝47， 所以DP →＝47DB →＝⎝⎛⎭⎫207，167， 所以P 的坐标为⎝⎛⎭⎫277，167.答案：⎝⎛⎭⎫277，16714．(2019·江苏扬州中学第一学期阶段性测试)设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3，0)，OC →＝(m ，3)．(1)当m ＝8时，将OC →用OA →和OB →表示；(2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件．解：(1)当m ＝8时，OC →＝(8，3)，设OC →＝xOA →＋yOB →，则x (2，－1)＋y (3，0)＝(2x ＋3y ，－x )＝(8，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝8，－x ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝143，所以OC →＝－3OA →＋143OB →. (2)因为A ，B ，C 三点能构成三角形，所以AB →，AC →不共线，又AB →＝(1，1)，AC →＝(m －2，4)，所以1×4－1×(m －2)≠0，所以m ≠6.[C 拓展探究]15．已知平面上有A (－2，1)，B (1，4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →＝12BC →，连接DC ，点E 在CD 上，且CE →＝14ED →，求E 点的坐标． 解：因为AC →＝12BC →，所以2AC →＝BC →， 所以2AC →＋CA →＝BC →＋CA →，所以AC →＝BA →.设C 点坐标为(x ，y )，则(x ＋2，y －1)＝(－3，－3)，所以x ＝－5，y ＝－2，所以C (－5，－2)．因为CE →＝14ED →， 所以4CE →＝ED →，所以4CE →＋4ED →＝5ED →，所以4CD →＝5ED →.设E 点坐标为(x ′，y ′)，则4(9，－1)＝5(4－x ′，－3－y ′)．所以⎩⎪⎨⎪⎧20－5x ′＝36，－15－5y ′＝－4，解得⎩⎨⎧x ′＝－165，y ′＝－115. 所以E 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－165，－115.。

共线向量定理及其应用知识点：一、共线向量基本定理a （a ≠0 ）与b 共线⇔存在唯一一个实数λ，使b a λ= 。

推论：a 与b共线⇔存在不全为零的实数12,λλ，使120a b λλ+=成立。

二．三点共线1.点A,B,P 共线⇔存在非零实数λ，使AP AB λ=成立。

（1）若点P 在线段AB 上（与A.B 不重合）时，则0<λ<1; (2)若点P 与A 重合时，则λ=0； （3）若点P 与B 重合时，则λ=1；（4）若点P 在线段AB 的延长线上时，则λ>1； (5)若点P 为线段AB 的中点时，则λ=12； （6）点P 在线段BA 的延长线上时，λ<0. 2.对于平面上的任意一点O,点P.A.B 三点共线⇔x (1)()OP OA x OB x R =+-∈3.对于平面上的任意一点O,点P.A.B 三点共线⇔(,)OP xOA yOB x y R =+∈且x+y=1.三．重要结论1.若向量a,b不共线，则12120==0a b λλλλ+= 当且仅当时成立，反之亦然。

2.若向量a,b不共线，则1212a ==0b λλλλ= 当且仅当时成立，反之亦然。

3.若向量a,b不共线，则11221212a ==b a b λμλμλλμμ+=+ 当且仅当且时成立，反之亦然练习部分：1.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C、D不重合），若的取值范围是（）A．B．C．D．2.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D，若，则m+n的取值范围是A.（0，1）B（1，+∞）C（-∞，-1）D（-1，0）.3.如图，经过∆OAB的重心G的直线与OA.OB分别交于P.Q，设,,,,OP mOA OQ nOB m n R==∈，则11n m+的值为----------- 。

4.如图，一条直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB,AD 分别交于E,F 两点，且交其对角线AC于K ，其中，则λ的值是（）A.15B.14C.13D.125.在△ＡＢＯ中，11,,42OC OA OD OB == ＡＤ与ＢＣ相交于点Ｍ，设,OA a OB b ==，试用a 和b 表示向量OM６.设两个非零向量a 与b 不共线，试确定实数ｋ，使得ka b + 和a kb +共线答案：1.设(01)CO CD λλ=<< ,x (1)AO AB X AC xAB AC xAC =+-=+- , ()AO AC x AB AC ∴-=- ,x ()3CO CB x BC xCD ⇒==-=-,3,x λ∴=-所以，0<-3x<1,103x ∴-<<.2.解：：由C,O.D 三点共线知，(0),1OCOC kOD k k OD=<=<又,所以-1<k<0. 又B.A.D三点共线，(1)OD OA OBλλ∴=+- .(1)OC kOD k OA k OB λλ∴==+- .所以m+n=k λ+(1)k λ-=k (1,0)∈-3.解221111()()3323OG OD OA OB OP OQ m n ==⨯+=+ =1133OP OQ m n+.,,P G Q 三点共线，11111,333m n m n∴+=∴+= 4.解()AK AC AB AD λλ==+=32AE AF λλ+ ,因为K,E,F 三点共线，所以3λ+2λ=1.∴λ=15. ５.解∵D ，M ，A三点共线，∴存在实数m使得m (1)(1);2m O M O D m O A m a b =+-=-+ 又B ，M ，C 三点共线，同理可得，1(1)4n OM nOB n OC a nb -=+-=+62{,1714mn m n m =∴=--=得，1377OM a b ∴=+６.ｋ＝１。