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共线向量定理及其应用知识点：一、共线向量基本定理a （a ≠0 ）与b 共线⇔存在唯一一个实数λ，使b a λ= 。
推论：a 与b共线⇔存在不全为零的实数12,λλ，使120a b λλ+=成立。
二．三点共线1.点A,B,P 共线⇔存在非零实数λ，使AP AB λ=成立。
（1）若点P 在线段AB 上（与A.B 不重合）时，则0<λ<1; (2)若点P 与A 重合时，则λ=0； （3）若点P 与B 重合时，则λ=1；（4）若点P 在线段AB 的延长线上时，则λ>1； (5)若点P 为线段AB 的中点时，则λ=12； （6）点P 在线段BA 的延长线上时，λ<0. 2.对于平面上的任意一点O,点P.A.B 三点共线⇔x (1)()OP OA x OB x R =+-∈3.对于平面上的任意一点O,点P.A.B 三点共线⇔(,)OP xOA yOB x y R =+∈且x+y=1.三．重要结论1.若向量a,b不共线，则12120==0a b λλλλ+= 当且仅当时成立，反之亦然。
2.若向量a,b不共线，则1212a ==0b λλλλ= 当且仅当时成立，反之亦然。
3.若向量a,b不共线，则11221212a ==b a b λμλμλλμμ+=+ 当且仅当且时成立，反之亦然练习部分：1.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C、D不重合），若的取值范围是（）A．B．C．D．2.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D，若，则m+n的取值范围是A.（0，1）B（1，+∞）C（-∞，-1）D（-1，0）.3.如图，经过∆OAB的重心G的直线与OA.OB分别交于P.Q，设,,,,OP mOA OQ nOB m n R==∈，则11n m+的值为----------- 。
4.如图，一条直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB,AD 分别交于E,F 两点，且交其对角线AC于K ，其中，则λ的值是（）A.15B.14C.13D.125.在△ＡＢＯ中，11,,42OC OA OD OB == ＡＤ与ＢＣ相交于点Ｍ，设,OA a OB b ==，试用a 和b 表示向量OM６.设两个非零向量a 与b 不共线，试确定实数ｋ，使得ka b + 和a kb +共线答案：1.设(01)CO CD λλ=<< ,x (1)AO AB X AC xAB AC xAC =+-=+- , ()AO AC x AB AC ∴-=- ,x ()3CO CB x BC xCD ⇒==-=-,3,x λ∴=-所以，0<-3x<1,103x ∴-<<.2.解：：由C,O.D 三点共线知，(0),1OCOC kOD k k OD=<=<又,所以-1<k<0. 又B.A.D三点共线，(1)OD OA OBλλ∴=+- .(1)OC kOD k OA k OB λλ∴==+- .所以m+n=k λ+(1)k λ-=k (1,0)∈-3.解221111()()3323OG OD OA OB OP OQ m n ==⨯+=+ =1133OP OQ m n+.,,P G Q 三点共线，11111,333m n m n∴+=∴+= 4.解()AK AC AB AD λλ==+=32AE AF λλ+ ,因为K,E,F 三点共线，所以3λ+2λ=1.∴λ=15. ５.解∵D ，M ，A三点共线，∴存在实数m使得m (1)(1);2m O M O D m O A m a b =+-=-+ 又B ，M ，C 三点共线，同理可得，1(1)4n OM nOB n OC a nb -=+-=+62{,1714mn m n m =∴=--=得，1377OM a b ∴=+６.ｋ＝１。
向量的共线公式向量的共线公式指的是两个向量在同一直线上的条件。
当两个向量在同一直线上时，它们被称为共线向量。
共线公式是判断两个向量是否共线的一种数学公式。
在本文中，将会介绍以下内容：什么是向量，向量的性质，向量的共线性，共线公式的推导方法和应用实例。
什么是向量？向量是数学中一个重要的概念，它是两个点之间的有向线段。
向量通常表示为箭头，箭头指向的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
在直角坐标系中，一个向量可以由它的坐标表示。
向量的性质向量有以下的性质：1. 方向性：向量有明确的方向，可以用箭头来表示。
2. 数量性：向量有大小，可以用长度来表示。
3. 合成性：两个向量可以相加，合成成一个新向量。
合成向量的方向是两个原向量的方向之和，大小是两个原向量的长度之和。
4. 平移不变性：向量可以沿着直线平移而不改变它的性质。
5. 旋转不变性：向量可以绕着一个点旋转而不改变它的性质。
向量的共线性共线向量有以下的性质：1. 共线向量在同一直线上，方向相同或相反。
2. 共线向量的长度可以不同，但是它们的方向必须一致或相反。
3. 零向量与任何向量都是共线的。
4. 如果两个向量共线，那么其中一个向量可以表示为另一个向量的倍数。
也就是说，如果两个向量A和B共线，那么A=kB，其中k是一个实数。
共线公式的推导方法我们假设有两个向量A和B。
如果A和B共线，那么它们的方向相同或相反。
我们可以用向量的数量积(cosθ)来判断这两个向量的方向是否一致或相反。
向量的数量积定义为AB的模长|A|和B的模长|B|以及夹角θ的余弦值cosθ的乘积，即ABcosθ。
当A和B的方向一致时，θ=0度，如果两个向量A和B的数量积等于A的模长|A|乘以B的模长|B|，即ABcos0=|A||B|，那么这两个向量共线。
当A和B的方向相反时，θ=180度，如果两个向量A 和B的数量积等于-A的模长|A|乘以B的模长|B|，即ABcos180=-|A||B|，那么这两个向量共线。
+9．5共线向量与共面向量一、知识点1、空间向量的定义2、空间向量的加减与数乘运算3、平行六面体的定义和性质4、共线向量的定义或平行向量的概念、向量与平面平行（共面）意义及它们的表示法5、共线向量定理及推论、空间直线的向量参数方程和线段中点的向量公式6、共面向量及推论、空间平面的向量参数方程（即点在平面内的充要条件）7、空间向量基本定理及其推论8、空间向量夹角和模的概念和表示方法9、两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律10、两个向量的数量积的主要用途，用它解决立体几何中的一些简单问题。
二、课时安排5课时第一课时：空间向量及其加减与数乘运算教学目标：1、理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法；2、会用图形说明空间向量的加法、减法和数乘向量及它们的运算律；3、了解平行六面体的定义和性质；4、能运用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题。
教学重点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律教学难点：应用向量解决立体几何问题教学过程：复习回顾在第五章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．长度相等且方向相同的向量叫相等向量.学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb今天我们将在第五章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P26～P27．探索研究1、空间向量的概念⑴定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：①“空间的一个平移就是一个向量”，即“将图形上的所有点沿相同方向移动相同的长度”。
②向量不能比较大小。
⑵向量的表示：①几何表示：用有向线段表示②字母表示：用黑体小写英文字母表示a⑶向量的相等：同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量。
⑷向量的平移：空间任意两个向量都可用同一平面内的两条有向线段来表示。
说明：①平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移； ②平面上，若以两个同向向量为对边可构成平行四边形，则这两个向量相等，在空间，这个结论同样成立。
③空间任意两个向量都是共面向量，因此凡涉及空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们（到空间向量的分解定理和坐标表示及坐标运算时才会显现它们的区别）。
2、空间向量的运算 加法：OB ＝OA ＋AB ＝a ＋b 减法：BA ＝OA －OB ＝a －b数乘：OP ＝λa(λ∈R)空间向量加法与数乘向量运算满足如下运算律 1()加法交换律：a ＋b ＝b ＋a2()加法结合律：(a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c) 3()数乘分配律：λ(a ＋b)＝λa ＋λb3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的 轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并 记作：ABCD －D C B A ''''。
它的六个面都是平行四边形，每个面的边 叫做平行六面体的棱。
反思应用AA 'CBD B 'C 'D '基础演练1、已知空间四边形ABCD ，连结AC 、BD ，则CD BC AB ++为（ ）A A 、AD B 、BD C 、AC D 、02、已知空间四边形ABCD ，连结AC 、BD ，设M 、N 分别是BC 、CD 的中点，则)(21BC BD AB ++为（ ）AA 、ANB 、CNC 、BCD 、BC 213、在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若,,1111b D A a B A ==,1c A A =则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ）AA 、c b a ++-2121 B 、c b a ++2121 C 、c b a +-2121 D 、c b a +--2121 4、A 1、A 2、A 3是空间不共线的三点，则133221A A A A A A ++＝＿；类比上述性质得到一般性结论是＿。
0， 0113221=+⋅⋅⋅++-A A A A A A A A n n n 。
例1、已知平行六面体ABCD －D C B A ''''化简下列向量表达式，标出化简结果的向量：⑴BC AB +； ⑵A A AD AB '++； ⑶C C AD AB '++21； ⑷)(31A A AD AB '++。
解：如图： ⑴AC BC AB =+；⑵ A A AD AB '++=C A A A AC '='+；⑶设M 是线段C C '的中点，则AM CM AC C C AD AB =+='++21； ⑷设G 是线段C A '的三等份点，则AG C A A A AD AB ='='++31)(31。
向量AG AM C A AC ,,,'如图所示。
巩固训练 P 27 练习 1、2例2 已知空间四边形ABCD 中，G 为ΔBCD 的重心，化简AD AC AB 313131++，并标出化简结果的向量。
（试一试，你能用多少种方法来解这道题）解：由G 是ΔBCD 的重心，猜想AD AC AB AG 313131++=事实上，BE AB BG AB AG 32+=+=)(31)(31AB AC AB AD AB BC BD AB -+-+=++=AD AC AB 313131++=例3 已知ABCD 为正方形，P 是平面ABCD 外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形 ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各题中的x 、y 的值。
();1PA y PC x PQ OQ ++= ()PD PQ y PO x PA ++=2解：⑴)(21PC PA PQ PO PQ OQ +-=-= ， 21-==∴y x⑵,2PO PC PA =+,2PC PO PA -=∴又,2PQ PD PC =+ PD PQ PC -=∴2CDPD PQ PO PD PQ PO PA +-=--=∴22)2(2，2,2-==∴y x 归纳总结1、空间向量的概念2、空间向量的运算3、平行六面体的概念作业：P 27 练习 1、2如图设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心。
求证：1()3AG AB AC AD =++第二课时：共线向量与共面向量教学目标：1、了解共线或平行向量概念、向量与平面平行（共面）意义，掌握它们的表示方法。
2、理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；掌握空间直线的向量参数方程和线段中点的向量参数公式；掌握空间平面的向量参数方程（即点在平面内的充要条件）。
3、会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题。
教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式 教学难点：对空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式的理解与运用 教学过程：复习回顾上节课，我们学习了空间向量的定义、表示方法、空间向量的相等以及空间向量的加减与数乘运算和运算律．通过学习我们知道，事实上空间向量的许多内容就是平面向量相关内容的推广．在第五章《平面向量》一章，我们还学习了有关平面向量的其它知识，比如说我们在研究两个向量之间的关系时，除了定义了相等的向量，还专门对平行向量或共线向量进行了研究，请同学们回顾一下怎样的向量称为平行向量或共线向量呢？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．怎样判定向量b 与非零向量a 是否为共线向量呢？向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa . 这个定理称为平面向量共线定理，要注意其中对向量a 的非零要求． 对这个定理的证明要从两个方面进行： ⑴充分性：对于向量a （a ≠0）、b ，如果有一个实数λ，使b ＝λa ，那么由实数与向量的积的定义知，a 与b 共线．⑵必要性：若向量a 与b 共线，a ≠0时，设｜b ｜:｜a ｜＝μ，则当a 与b 方向相同时，b ＝μa ；当a 与b 方向相反时，b ＝－μa ．所以，有且只有一个实数λ，使b ＝λa .这节课我们将要对空间的共线向量以及共面向量加以研究．下面同学们先阅读课本P 28～P 29前5行． 探索研究1、共线向量定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做平行向量或共线向量。
记法：b //a b a ，记作平行于 2、共线向量定理文字语言：对空间任意两个向量a //b ),0a (b ≠、a 的充要条件是存在实数λ使a b λ= 符号语言：a b a λ=⇔≠a //b ),0a (b 、说明：⑴对于空间任意两个向量)0a (b ≠、a①；，使存在唯一实数a b a //b λλ=⇒（共线向量的性质定理） ②。
，使存在唯一实数a //b a b ⇒=λλ（共线向量的判定定理）⑵在利用“a //b a b ⇒=λλ，使存在唯一实数”判定b 、a 所在直线平行时，还需）（或b a 上有一点不在）（或a b 上；⑶在a b λ=中，对于确定的λ和a 表示空间与a 平行或共线且长度为|a |λ所有向量。
例1 用向量方法证明：三角形两边中点连线平行于第三边，且其长度等于第三边长度的一半。
已知：如图，ΔABC 中，D 、E 分别为是边AB 、AC 的中点，求证：DE ∥BC ，且DE ＝BC/2。
证明：∵D 、E 分别为是边AB 、AC 的中点,21,21AC AE AB AD ==∴ BC AB AC ADAE DE 21)(21=-=-=∴ 又D 不在BC 上，∴DE ∥BC ，且DE ＝BC/2。
小结：向量共线定理是证明两条直线平行的常用方法，但要注意，向量平行现直线平行是有区别的，直线平行不包括共线的情形，因此用“a //b a b ⇒=λλ，使存在唯一实数”判定b 、a 所在直线平行时，还需）（或b a 上有一点不在）（或a b 上。
