6.3.1 平面向量基本定理

新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册学案：6.3.1平面向量基本定理含解析6.3平面向量基本定理及坐标表示6．3.1平面向量基本定理[目标］1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义,理解平面向量基本定理；2.掌握平面向量基本定理并能熟练应用．[重点] 平面向量基本定理．[难点] 平面向量基本定理的应用．要点整合夯基础知识点平面向量基本定理[填一填］(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.（2）若e1，e2不共线，我们把｛e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．［答一答］1．基底有什么特点?平面内基底唯一吗？提示：基底中的两向量e1，e2不共线,这是基底的最大特点．平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底．2．如图,设OA、OB、OC为三条共端点的射线，P为OC上一点，能否在OA 、OB 上分别找一点M 、N ，使OP →＝错误!＋错误!？提示：能。

过点P 作OA 、OB 的平行线，分别与OB 、OA 相交，交点即为N 、M .3．若向量a ，b 不共线，且c ＝2a －b ,d ＝3a －2b ，试判断c ，d 能否作为基底．提示：设存在实数λ使得c ＝λd ，则2a －b ＝λ（3a －2b )，即(2－3λ)a ＋（2λ－1)b ＝0.由于a ，b 不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0,这样的λ是不存在的，从而c ，d 不共线，故c ，d 能作为基底。

典例讲练破题型类型一 基底的概念［例1] 下面说法中，正确的是（ ）①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a 和一组基底e 1，e 2，使a ＝λe 1＋μe 2成立的实数对一定是唯一的．A ．②④B ．②③④C ．①③D ．①③④［解析] 因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故②③正确，①不正确；由平面向量基本定理知④正确．综上可得②③④正确．［答案]B根据平面向量基底的定义知，判断能否作为基底问题可转化为判断两个向量是否共线的问题，若不共线，则它们可以作为一组基底；若共线,则它们不能作为一组基底。

高中数学人教A版（2019）必修第二册6.3.1平面向量基本定理说课稿一、教材分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修2第六章《平面向量及其应用》第三节《平面向量基本定理及其坐标表示》第一课时。

本节首先由向量的概念和运算得出平面向量基本定理.平面向量基本定理是平面向量中的重要内容.此定理表明平面内的任一向量可以由同一平面内的两个取定的不共线向量表示，而且表示式是唯一的.因而向量的运算可以归结为两个取定的不共线向量的运算，这为利用向量运算解决问题带来了方便.由此定理还可引出向量的坐标的概念，进而引出向量运算的坐标表示。

1.平面向量基本定理平面向量基本定理告诉我们，同一平面内任一向量都可表示为两个取定的不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的起点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一个点都可以通过取定的两个不共线的向量得到表示。

也就是说，平面内的任意一个点可以由平面内的一个点及两个取定的不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因，下面对其中的思想作一概述.用向量表示几何元素是容易的，并且很直接.选一个定点，那么，任何一个点都可以用一个向量来表示.对于一条直线l，如果我们的兴趣只在于它的方向，那么用一个与l平行的非零向量图片就行了；如果想确定这条直线的位置，则还要在l上任选一点。

这样，一个点A，一个向量图片就在原则上确定了直线l，这是对直线的一种定性刻画。

如果想具体地表示l上的每一个点，我们需要实数k和向量图片的乘法图片.这时，l上的任意一点X都可以通过点A和某个图片来表示（图6-17）.希望在“实际”上控制直线l，可以看作是引入图片的一个原因.再来看平面.两条相交直线确定一个平面 a.一个定点，两个不共线的向量便“原则”上确定了平面α，这是对平面的一种定性刻画.但在讨论几何问题时，常常涉及平面α上的某一点X，为了具体地表示它，我们需要引进向量的加法.这时，平面α上的点X就可以表示为（相对于定点A），这样点X 就成为可操作的对象了（图6-18）.在解决几何问题时，这种表示能发挥很重要的作用.虽然向量的加法、数乘运算有非常坚实的物理背景，但当我们舍弃了这种背景而只从纯粹数学的角度来看问题的话，上述考虑可使我们看到引进相应的向量运算的理由，这可以使我们更容易接受并喜爱向量运算。

6.3.1平面向量的基本定理导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．【自主学习】知识点1 平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a ， 实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)基底：把 的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内 向量的一组基底．知识点2 两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个 向量a 和b ，如图，作OA →＝a ，OB →＝b ， 则 ＝θ (0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角．①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]．②当θ＝0°时，a 与b ．③当θ＝180°时，a与b．(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.【合作探究】探究一 基底的概念【例1】下面说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a 和一组基底e 1，e 2，使a ＝λe 1＋μe 2成立的实数对一定是唯一的． A ．②④ B ．②③④ C ．①③ D ．①③④归纳总结：【练习1】设{e 1，e 2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2D ．e 1和e 1＋e 2探究二 用基底表示向量【例2】如图所示，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M 、N 分别是边OA 、OB 上的点，且OM→＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →交于点P ，用向量a 、b 表示OP →.归纳总结：【练习2】如图所示，已知在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以{a ，b }为基底表示DE →、BF →.探究三 平面向量基本定理的应用【例3】如图所示，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，M 为AD 的中点，若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ的值为( )A.53B.－12C.12D.23归纳总结：【练习3】如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP : PM 与BP : PN 的值．课后作业A 组 基础题一、选择题1．等边△ABC 中，AB →与BC →的夹角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°2．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A ．e 1－e 2，e 2－e 1 B ．2e 1＋e 2，e 1＋12e 2C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1－e 23．下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③4．若a 、b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ∈R )，则( ) A ．a ＝0，b ＝0 B ．λ＝μ＝0 C ．λ＝0，b ＝0 D ．a ＝0，μ＝05.如图所示，平面内的两条直线OP 1和OP 2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅰ部分，则实数a ，b 满足( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <06．下列说法中，正确说法的个数是( ) ①在△ABC 中，{AB →，AC →}可以作为基底； ②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的； ③零向量不能作为基底． A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．如图，设O 是▱ABCD 两对角线的交点，有下列向量组： ①AD →与AB →； ②DA →与BC →； ③CA →与DC →； ④OD →与OB →.其中可作为该平面内所有向量基底的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．③④8．M 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为三边BC ，AB ，AC 的中点，则MA →＋MB →＋MC →等于( )A ．6ME →B ．－6MF →C ．0D ．6MD →二、填空题9.设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)10.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.11．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________.12．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________.(用b 、c 表示)13．已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y ＝3.14.如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．15．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．三、解答题16.如图所示，在△ABC 中，点M 为AB 的中点，且AN ＝12NC ，BN 与CM 相交于点E ，设AB→＝a ，AC →＝b ，试以a ，b 为基底表示AE →.17.如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1.18．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，(1)如图1，如果E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ，b 分别表示BF →，DE →. (2)如图2，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ，b 表示AG →.B 组 能力提升一、选择题1.如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2DC ，E 是BC 的中点，F 是AE 上一点，AF =2FE ，则BF =（ ）A ．1123AB AD -B ．1132AB AD -C ．1123AB AD -+ D ．1132AB AD -+2.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC a =，BD b =，则AF =（ ）A ．1142a b + B ．2133a b + C ．1124a b + D ．1233a b +3.ABC 中，M 、N 分别是BC 、AC 上的点，且2BM MC =，2AN NC =，AM 与BN 交于点P ，则下列式子正确的是（ ）A ．3142AP AB AC =+ B ．1324AP AB AC =+ C ．1124AP AB AC =+ D ．1142AP AB AC =+ 4.如图，在直角梯形ABCD 中，AB =2AD =2DC ，E 为BC 边上一点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3 EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 为AE 的中点，则BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ．−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ．−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D ．23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗5.如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+=（ ）A ．43B ．53C ．158D ．26.如图四边形ABCD 为平行四边形，11,22AE AB DF FC ==，若AF AC DE λμ=+，则λμ-的值为（ ）A ．12B ．23C ．13D ．17.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若34AF xAB AD =+，则x ( )A．34B．23C．12D．14二、填空题8.如图，在ABC 中，13B BCD →→=，点E 在线段AD 上移动（不含端点），若AE AB AC λμ→→→=+，则12λμ+的取值范围是_____．9.在ABC 中，D 为线段AB 上一点，且3BD AD =，若CD CA CB λμ→→→=+，则λμ= .10.在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是 .三、解答题11.如图，△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BGGE 的值．。

6.3.1 平面向量基本定理（用时45分钟）【选题明细表】知识点、方法题号基底的概念及辨析1,2,10用基底表示向量3,5,6,7,9平面向量基本定理的应用4,8,11,12基础巩固1．如果12e e u v u u v ，是平面a 内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的有（）①12()e e R l m l m +Îu vu u v，可以表示平面a 内的所有向量；②对于平面a 内的任一向量a ，使12a e e l m =+u v u u vv的实数,l m ，有无数多对；③若向量1112e e l m +u v u u v 与2122e e l m +u v u u v共线，则有且只有一个实数l ，使()11122122e e e e l m l l m +=+u v u u v u v u u v ；④若实数,l m ，使120e e l m +=u v u u v v，则0l m ==.A ．①②B ．②③C ．③④D ．②【答案】B【解析】由平面向量基本定理可知，①是正确的；对于②，由平面向量基本定理可知，一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零即12120l l m m ====时，这样的l 有无数个；对于④，若0l ¹，则12e e m l=-u r u ur ，由平面向量共线定理知，12e e u r u u r ，共线，与题意矛盾，故0l =，20e m \=u u r r即有0m =，因此0l m ==；故选B .2．已知向量1e u v ，2e u u v 不共线，实数x ，y 满1212(34)(23)63x y e x y e e e -+-=+u v u u v u v u u v，则x y -的值是（ ）A ．3B ．3-C ．0D ．2【答案】A【解析】由题意得346,233,x y x y -=ìí-=î解得3x y -=．故选：A3．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则BF =uuu r（）A ．3144AB AD+uuur uuu r B ．1142AB AD-+uuur uuu r C ．12AB AD+uuur uuu r D ．3144AB AD+uuur uuu r 【答案】B【解析】()111111222224BF BC CF BC CE BC BE BC BC BE BC BA =+=+=+-=+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r1124AD AB =-uuu r uuur 故选：B4．如图，在平行四边形ABCD 中，,M N 分别为,AB AD 上的点，且45AM AB =uuuu v uuu v ，23AN AD =uuu v uuu v，连接,AC MN 交于P 点，若AP AC l =uuu v uuu v，则l 的值为（ ）A ．35B ．37C ．411D ．413【答案】C【解析】∵42,53AM AB AN AD ==uuuu v uuu v uuu v uuu v，则：()534253,42AP AC AB ADAM AN AM AN l l l l l ==+æö=+ç÷èø=+uuu v uuu v uuu v uuu v uuuuv uuu v uuuuv uuu v ∵三点M ，N ，P 共线．∴53142l l +=，解得：411l =本题选择C 选项.5．已知△ABC 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==Ð=°==，则AD BE ×=uuu r uuu r（）A ．1B ．2-C ．12D ．12-【答案】C【解析】222,,33BD DC BD BC AD BD BA BC BA ===-=-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r,11,22AE EC BE BC BA =\=+uuu r uuu r uuu r,211()()322AD BE BC BA BC BA ×=-×+uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r 22111362BC BC BA BA =-×-uuur uuu r uuu r uuu r 111123622=-´´´=.故选:C.6．△ABC 中，点M 是边BC 的中点，3AB =uuu r ，2AC =uuu r ，则AM BC ×=uuuu r uuu r_____.【答案】52-【解析】因为点M 是边BC 的中点，所以12AM =uuuu r （AB AC +uuu r uuu r ），又因为BC AC AB =-uuu r uuu r uuu r，所以12AM BC ×=uuuu r uuu r （AB AC +uuu r uuu r ）×（AC AB -uuu r uuu r ）12=（22AC AB -uuu r uuu r ）52=-，故答案为：52-.7．在平行四边形ABCD 中1AB e =uuu v u v ，2AC e =uuu v u u v ，14NC AC =uuu v uuu v ，12BM MC =uuuu v uuu u v ，则MN =uuuu v.（用12,e e u v u u v表示）【答案】1225312e e -+u v u u v 【解析】如图：MN uuuu r ＝CN uuu r －CMuuuu r＝CN uuu r ＋2BM uuuu r ＝CN uuur ＋23BCuuu r ＝－14AC uuu r＋23(AC uuu r －AB uuu r )＝－214e u ur ＋212()3e e -u u r u r ＝1225312e e -+u r u u r .故本题答案为1225312e e -+u r u u r .8．如图所示，在BOC D 中，C 是以A 为中点的点B 的对称点，2OD DB =uuu r uuu r，DC 和OA 交于点E ，设OA a =uuu r r ，OB b =uuu r r .（1）用a r 和b r 表示向量OC uuu r 、DC uuur；（2）若OE OA l =uuu r uuu r，求实数l 的值.【答案】（1）2OC a b =-uuu r r r ，523DC a b =-uuu r r r ；（2）45l =.【解析】（1）由题意知，A 是线段BC 中点，且2233OD OB b ==uuu r uuu r r.2OC OA AC OA BA OA OA OB a b =+=+=+-=-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r r ，()252233DC OC OD a b b a b =-=--=-uuu v uuu v uuu v v v v v v ；（2）()()22EC OC OE a b a a b l l =-=--=--uuu v uuu v uuu v v v v Q v v，由题可得//EC DC uuu r uuu r，且523DC a b =-uuu r r r ，设EC k DC =uuu r uuu r ，即()5223a b k a b l æö--=-ç÷èøv v v v ，则有22513k k l -=ìïí-=-ïî，解得4535k l ì=ïïíï=ïî.因此，45l =.能力提升9．在ABC D 中，点F 为线段BC 上任一点（不含端点），若()20,0AF xAB y AC x y =+>>uuu r uuu r uuu r ，则12x y+的最小值为（ ）A ．1B ．8C ．2D ．4【答案】B【解析】因为()20,0AF xAB y AC x y =+>>uuu r uuu r uuu r，且点F 在线段BC 上，则21x y +=，且0,0x y >>，则()1212424448y x x y x y x y x yæö+=++=++³+=ç÷èø.故选：B.10．设向量23m a b =-u r r r ，42n a b =-r r r ，32p a b =+u r r r ，用m u r 、n r表示p u r ，则p =u r ______.【答案】71348m n -+u r r【解析】设(),p xm yn x y =+ÎR u r u r r，则()()()()3223422432a b x a b y a b x y a x y b +=-+-=++--r r r r r r r r ，得243322x y x y +=ìí--=î，解得74138x y ì=-ïïíï=ïî，所以71348p m n =-+u r u r r .故答案为：71348m n -+u r r .11．已知e f v v ，为两个不共线的向量，若四边形ABCD 满足24AB e f BC e f =+=--uuu v uuu v v vv v ，，53CD e f=--uuu v v v （1）将AD 用e f vv ，表示；（2）证明四边形ABCD 为梯形.【答案】（1）82AD e f =--uuu v v v（2）详见解析【解析】（1）(2)(4)(53)AD AB BC CD e f e f e f =++=++--+--uuu v uuu v uuu v uuu v v v v v v v (145)(213)82e f e f =--+--=--r u r r u r（2）因为822(4)2AD e f e f BC =--=--=uuu r r u r r u r uuu r ，即2AD BC =uuu r uuu r，所以AD uuu r 与BC uuu r 同方向，且AD uuu r的长度为BC uuu r 的长度的2倍，所以在四边形ABCD 中，AD BC ∥，且AD BC ¹，所以四边形ABCD 是梯形.素养达成12．设O 为△ABC 内任一点，且满足230OA OB OC ++=uuu v uuu v uuu v v，若D E ，分别是BC CA ，的中点.（1）求证：D E O ，，共线；（2）求△ABC 与AOC △的面积之比. 【答案】（1）见解析；（2）3【解析】（1）如图，22OB OC OD OA OC OE +=+=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，，∵23()2()2(2)0OA OB OC OA OC OB OC OD OE ++=+++=+=uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v v ，即20OD OE +=uuu r uuu r r，∴与OD 与OE 共线，即D E O ，，三点共线.（2）由（1）知2||||OD OE =uuu r uuu r ，∴22112223343AOC COE CDE ABC ABC S S S S S D D D D D ==´=´´=，∴3ABCAOCS S D D =.。

统考一模）如图，在ABC 中，4BD DC =，则AD =（1455AB AC +B ．4155AB AC +1566AB AC +5166AB AC +．（2022秋·上海普陀高一曹杨二中校考期末）在四边形ABCD 中，(,AC AB AD λμλμ=+∈||||CD AB =（ ） A ．13C ．123．（2022春·福建福州·高二福建省福州高级中学校考阶段练习）如图，在ABCD 中，为BC 的中点，AC mAM nBD =+，则m ＝（ ）B ．45江苏盐城·高一江苏省响水中学校考阶段练习）在中，2BD DC =，E上一点．若12λ=+CE CA CB ，则λB ．12安徽·高三校联考阶段练习）如图，为直径的半圆圆周上的两个三等分点，E 为线段CD 的中点，F 为线段设AB a =，AC b =，则AF =（5182a b +5142a b +131164a b + 13184a b + 6．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）在平行四边形ABCD 中，设AC a =，BD b =，12AP AD =，23AQ AB =，则PQ ＝（ A ．711212a b - B ．171212a b - C 71212a b + D ．711212a b -+ 7．（2022春·福建泉州·高三泉州五中校考期中）已知在△ABC 中，3AB =，4AC =，BAC ∠2AD DB =，P 在CD 上，12AP AC AD λ=+，则AP BC ⋅的值为（ A ．116-72C ．4 8．（2022·全国·高三专题练习）已知点A ，B ，C ，P 在同一平面内，13PQ PA =，13QR QB =，13RP RC =，则:ABCPBCSS等于（ ）A ．14∶3B ．19∶4C ．24∶5D ．29∶6高二校联考阶段练习）已知菱形OACB 上运动（包含端点），其中OP xOA yOB =+，,x y C ．2高一江苏省天一中学校考期中）对于给定的ABC ，其外心为，则下列结论正确的是（ ）于E ､F ，若AE AB λ=，AF AC μ=，则11λμ+=．AH 与||cos ||cos AB ACAB B AC C+共线．OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅ ．OH OA OB OC =++ 三、填空题．（2022春·安徽合肥·高二校考学业考试）在ABC 中，且2BD DC =，若AD AC AB λμ=+，则λμ=12．（2022春·广东肇庆·高三统考阶段练习）在ABC 中，点足2DC BD =，2EC AE =，点F 且满足2AF FD =.若B ∠BC y =，则3x y +的最大值为四、解答题．（2022·高一课时练习）如图所示，ABC 的一条中线，点满足2AO OD =，过O 的直线分别与射线AB ，射线N 两点.(1)若AO AB AC λμ=+，求λμ，的值；设AM mAB =，AN nAC =，m >14．（2022秋·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中）在AOB 中，21,52OC OA OD OB ==，AD ，,OA a OB b ==．(1)试用a b 、表示向量OM ；在线段AC 上取一点E ，在线段设,OE OA OF OB λμ==，3μ的值．．设,AB a A b D →==．{}→→，表示,AE EF ； 内部一点，且3243AG a b →=+．求证：在ABC 中，上，且2OC OB =.过点O 的直线分别交射线于不同的两点M AB mAM =，AC nAN =.(1)求2m n +的值:若向量(2cos23a =，(cos68b =︒)a b ⋅恒成立，求的最小整数值图象上的一点，M ，N 是函数，使得PT PM PN =+，且四边形的解析式;π2，π(0,)2A ∈，求A ；已知13PH PT =，过点H 的直线交，PQ PM λ=，PK PN μ=，1μ是否是定值？若是，求出定值，若不是，说明理由高一上海市建平中学校考阶段练习）设ABC 是边长为(1)求112AB AP AP AP ⋅+⋅的值； 为线段1AP 上一点，若112AQ mAB AC =+，求实数在边BC 的何处时，PA PC ⋅取得最小值，并求出此最小值。

6.3 平面向量的基本定理及坐标表示【知识一】平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e2.2.基底：若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 【知识二】平面向量的正交分解及坐标表示1.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.2.坐标表示：（1）在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底.对于平面内的任意一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ).（2）在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0). 【知识三】平面向量加、减运算的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 【知识四】平面向量数乘运算的坐标表示1.数乘：已知a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.2.共线：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ，b 共线的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.【例1-1】下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A ．()()120,0,1,2e e ==B ．()()121,2,5,7e e =-=C ．()()123,5,6,10e e ==D ．()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭【变式1-1】已知向量{a ，b }是一个基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y ＝________.【例1-2】如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用{a ，b }为基底表示DC →，EF →，FC →.【变式1-2】如图，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则以{a ，b }为基底时，AC →可表示为________，以{a ，c }为基底时，AC →可表示为________.【例1-3】在三角形ABC 中，M 为AC 的中点，若(),AB BM BC λμλμ=+∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．1λμ+=B ．3λμ-=C ．20λμ+=D ．20λμ-=【变式1-3】如图，已知OAB ，若点C 满足2AC CB =，(),OC xOA yOB x y R =+∈，则11x y+=（ ）A ．14B ．34C ．92D ．29【例2-1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形.(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标.【变式2-1】已知点M (5，－6)，且MN →＝(－3,6)，则N 点的坐标为________. 【例2-2】已知()0,1A -，()0,3B ，则AB =（ ）A ．2BC ．4D ．【变式2-2】已知()3,2M -，()5,1N -，若NP MN =，则P 点的坐标为（ ） A ．（3，2）B ．（3，-1）C ．（7，0）D ．（1，0）【变式2-4】已知点()3,2A ，()5,1B ，则与AB 反方向的单位向量为（ ）A ．⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎝⎭【变式2-5】已知向量(),2a m =，()1,2b =-，若0a b +=，则实数m 的值为（ ） A ．-4B ．4C ．-1D ．1【例3-1】(1)已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b 等于( ) A.(1，－2) B.(1,2) C.(5,6)D.(2,0)(2)已知向量AB →＝(2,4)，AC →＝(0,2)，则12BC →等于( )A.(－2，－2)B.(2,2)C.(1,1)D.(－1，－1)【变式3-1】已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .【例3-2】已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ）A ．14,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(7，9)【例3-3】(1)已知非零向量a ，b ，c ，若()1,a x =，()4,1b =-，且//a c ，//b c 则x =（ ） A ．4B ．-4C ．14D ．14-(2)若()0,2A ，()1,0B -，(),2-C m 三点共线，则实数m 的值是（ ） A ．6B ．2-C ．6-D ．2【变式3-2】与(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ）A ．1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．3,--【变式3-3】已知()3,a m →=，()21,1b m →=+，则“1m =”是“//a b →→”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【变式3-4】已知向量()1,1a =，()2,1b =-，若()()2//a b a b λ+-，则实数λ=（ ） A ．8 B ．8-C ．2D ．2-课后练习题1．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）． A ．()10,0e =，()21,2e =- B ．()11,2e =-，()25,7e = C ．()13,5e =，()26,10e =D ．()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭2.在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别满足12BE BC =，13DF DC =．若λ=+BD AE μAF ，则实数λ＋μ的值为（ ） A ．15-B ．15C ．75-D ．753.已知()1,1A ，()1,1B --，则向量AB 为（ ） A ．()0,0B ．()1,1C ．()2,2--D ．()2,24.已知()5,2a =-，()4,3b =-，(),c x y =，若220a b c -+=，则c 等于（ ） A ．(1，4)B ．13,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．13,42⎛⎫-⎪⎝⎭D ．13,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭5.已知()13A ，，()41B -，，则与向量AB 共线的单位向量为（ ） A ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，或4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．4355⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或4355⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．3455⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫ ⎪⎝⎭， 6.设向量a =(1，4)，b =(2，x )，c a b =+.若//a c ，则实数x 的值是（ ） A ．-4B ．2C ．4D ．87.若(3,cos ),(3,sin ),a b αα==且a //b ,则锐角α=__________ . 8.已知O 为单位圆，A 、B 在圆上，向量OA ，OB 的夹角为60°，点C 在劣弧AB 上运动，若OC xOA yOB =+，其中,x y R ∈，则x y +的取值范围___________.9.在ABC 中，D 为BC 的中点，P 为AD 上的一点且满足3BA BC BP +=，则ABP △与ABC 面积之比为（ ） A ．14B ．13C ．23D ．1610.已知ABC 所在的平面内一点P （点P 与点A ，B ，C 不重合），且523AP PO OB OC =++，则ACP △与BCP 的面积之比为（ ） A ．2:1B ．3:1C ．3:2D ．4:36.3.1 平面向量的基本定理及坐标表示【知识一】平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e2.2.基底：若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 【知识二】平面向量的正交分解及坐标表示1.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.2.坐标表示：（1）在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底.对于平面内的任意一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ).（2）在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0). 【知识三】平面向量加、减运算的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 【知识四】平面向量数乘运算的坐标表示1.数乘：已知a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.2.共线：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ，b 共线的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.【例1-1】下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A ．()()120,0,1,2e e ==B ．()()121,2,5,7e e =-=C ．()()123,5,6,10e e ==D ．()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭【答案】B【解析】对A ：因为零向量和任意向量平行，故A 中向量不可作基底； 对B ：因为710-≠，故B 中两个向量不共线；对C ：因为31056⨯=⨯，故C 中两个向量共线，故C 中向量不可作基底； 对D ：因为312342⎛⎫⨯-=-⨯ ⎪⎝⎭，故D 中两个向量共线，故D 中向量不可作基底.故选：B. 【变式1-1】已知向量{a ，b }是一个基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y ＝________. 【答案】3【解析】因为{a ，b }是一个基底， 所以a 与b 不共线，由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.【例1-2】如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用{a ，b }为基底表示DC →，EF →，FC →.【解析】因为DC ∥AB ，AB ＝2DC ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点， 所以FC →＝AD →＝a ，DC →＝AF →＝12AB →＝12b .EF →＝ED →＋DA →＋AF →＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－12×12b －a ＋12b ＝14b －a .【变式1-2】如图，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则以{a ，b }为基底时，AC →可表示为________，以{a ，c }为基底时，AC →可表示为________.【答案】a ＋b 2a ＋c【解析】以{a ，b }为基底时，AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ； 以{a ，c }为基底时，将BD →平移，使B 与A 重合， 再由三角形法则或平行四边形法则即得AC →＝2a ＋c .【例1-3】在三角形ABC 中，M 为AC 的中点，若(),AB BM BC λμλμ=+∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．1λμ+= B ．3λμ-=C ．20λμ+=D ．20λμ-=【答案】C【解析】因为M 为AC 的中点，所以1122BM BA BC =+，所以2AB BM BC =-+， 又(),AB BM BC λμλμ=+∈R ，所以2λ=-，1μ=，故选：C.【变式1-3】如图，已知OAB ，若点C 满足2AC CB =，(),OC xOA yOB x y R =+∈，则11x y+=（ ）A ．14B ．34C ．92D ．29【答案】C【解析】由2AC CB =得()2OC OA OB OC -=-，即1233OC OA OB =+， 又(),OC xOA yOB x y R =+∈，所以1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此1139322x y +=+=.故选：C. 【例2-1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形.(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标.【解析】(1)作AM ⊥x 轴于点M ，则OM ＝OA ·cos 45° ＝4×22＝22， AM ＝OA ·sin 45° ＝4×22＝2 2. ∴A (22，22)，故a ＝(22，22).∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， ∴∠COy ＝30°. 又∵OC ＝AB ＝3，∴C ⎝⎛⎭⎫－32，332，∴AB →＝OC →＝⎝⎛⎭⎫－32，332，即b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332.(2)BA →＝－AB →＝⎝⎛⎭⎫32，－332.(3)OB →＝OA →＋AB →＝(22，22)＋⎝⎛⎭⎫－32，332＝⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332.∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332.【变式2-1】已知点M (5，－6)，且MN →＝(－3,6)，则N 点的坐标为________.【答案】 (2,0)【解析】∵MN →＝(－3,6)，设N (x ，y )， 则MN →＝ON →－OM →＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6).∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.即N (2,0). 【例2-2】已知()0,1A -，()0,3B ，则AB =（ ）A ．2BC ．4D ．【解析】由题得AB =（0,4）所以||0(31)4AB =++．故选C【变式2-2】已知()3,2M -，()5,1N -，若NP MN =，则P 点的坐标为（ ） A ．（3，2）B ．（3，-1）C ．（7，0）D ．（1，0）【解析】设点P 的坐标为(),x y ，则(5,1)NP x y =-+，(53,12)(2,1)MN =--+=，因为NP MN =，即(5,1)(2,1)x y -+=，所以5211x y -=⎧⎨+=⎩，解得70x y =⎧⎨=⎩，所以()7,0P .故选：C.【变式2-4】已知点()3,2A ，()5,1B ，则与AB 反方向的单位向量为（ ）A ．⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎝⎭【答案】B【解析】()3,2A ，()5,1B ,2,1AB，则22AB ==，所以与AB 反方向的单位向量为255,55AB AB.故选：B.【变式2-5】已知向量(),2a m =，()1,2b =-，若0a b +=，则实数m 的值为（ ） A ．-4 B ．4C ．-1D ．1【答案】C【解析】由题意，向量(),2a m =，()1,2b =-，所以()()1,00,0a b m +=+=， 可得50m +=，解得1m =-.故选：C .【例3-1】(1)已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b 等于( ) A.(1，－2)B.(1,2)C.(5,6)D.(2,0)【答案】B【解析】由题意得b －a ＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1). (2)已知向量AB →＝(2,4)，AC →＝(0,2)，则12BC →等于( )A.(－2，－2)B.(2,2)C.(1,1)D.(－1，－1)【答案】D【解析】12BC →＝12(AC →－AB →)＝12(－2，－2)＝(－1，－1).【变式3-1】已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .【解析】(1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7). (2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1). (3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23. 【例3-2】已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ）A ．14,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(7，9)【答案】ABC【解析】由点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则972，AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭选项A . 91473023⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以A 选项正确.选项B. 9977022⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以C 选项正确.选项D. 979702⎛⎫-⨯--⨯≠ ⎪⎝⎭,所以选项D 不正确故选：ABC 【例3-3】(1)已知非零向量a ，b ，c ，若()1,a x =，()4,1b =-，且//a c ，//b c 则x =（ ） A ．4 B ．-4 C ．14D ．14-【答案】D【解析】由题意知//a c ，//b c ，所以//a b ；又(1,)a x =，(4,1)b =-，所以1(1)40x ⨯--=，解得14x =-．故选：D(2)若()0,2A ，()1,0B -，(),2-C m 三点共线，则实数m 的值是（ ） A ．6 B ．2-C ．6-D ．2【答案】B【解析】因为三点()0,2A ，()1,0B -，(),2C m -共线，所以(1,2),(1,2)AB BC m =--=+- , 若()0,2A ，()1,0B -，(),2C m -三点共线，则AB 和BC 共线 可得：(1)(2)(2)(1)m --=-+，解得2m =-；故选：B 【变式3-2】与(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ）A ．1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,--【答案】C【解析】若向量b 与向量a 平行，则b a λ=，(1,3,2)a =-，则(,3,2)b λλλ=- 设向量(),,b x y z =，则x 与y 符号相同，y 与z 符号相反，所以可知A ，B ，D 不成立， 选项C ：若12λ=-，则12x =-，32y =-，1z =，故C 正确.故选：C.【变式3-3】已知()3,a m →=，()21,1b m →=+，则“1m =”是“//a b →→”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由//a b →→可得()213m m +=，解得32m =-或1m =，所以“1m =”是“//a b →→” 充分不必要条件.故选：A.【变式3-4】已知向量()1,1a =，()2,1b =-，若()()2//a b a b λ+-，则实数λ=（ ） A ．8 B ．8-C ．2D ．2-【答案】D【解析】由()1,1a =，()2,1b =-，可得()24,2a b λλλ+=+-，()1,2a b -=-， 因为()()2//a b a b λ+-，所以()()()24210λλ+--⨯-=，解得2λ=-.故选：D.课后练习题1．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）． A ．()10,0e =，()21,2e =- B ．()11,2e =-，()25,7e = C ．()13,5e =，()26,10e = D ．()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】因为()11,2e =-与()25,7e =不共线，其余选项中1e 、2e 均共线，所以B 选项中的两向量可以作为基底．故选：B2.在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别满足12BE BC =，13DF DC =．若λ=+BD AE μAF ，则实数λ＋μ的值为（ ） A ．15- B ．15C ．75-D ．75【答案】B【解析】由题意，设AB a AD b ，==，则在平行四边形ABCD 中，因为12BE BC =，13DF DC =，所以点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上，且2CF DF =， 所以1123AE a b AF a b =+=+，， 又因为BD AE AF λμ=+，且BD AD AB b a =-=-，所以11112332a b AE AF a b a b a b λμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3.已知()1,1A ，()1,1B --，则向量AB 为（ ） A ．()0,0 B ．()1,1C ．()2,2--D ．()2,2【答案】C【解析】由题意可得()()()1,11,12,2AB =---=--.故选：C.所以113112λμλμ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得8595λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以15λμ+=。

6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.1平面向量基本定理课标要求素养要求理解平面向量基本定理及其意义，在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.通过力的分解引出平面向量基本定理，体会平面向量基本定理的应用重点提升数学抽象及直观想象素养.教材知识探究音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉.事实上，音乐有基本音符：Do Re Mi Fa So La Si，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此.在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？问题1如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？提示能.依据是数乘向量和平行四边形法则.问题2如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？提示不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示.平面向量基本定理定理中要特别注意向量e 1与向量e 2是两个不共线的向量教材拓展补遗[微判断]1.平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.(×)2.零向量可以作为基底.(×)3.若a ，b 不共线，则a ＋b 与a －b 可以作为基底.(√)提示 1.基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可以作为基底. 2.由于0和任意的向量共线，故不能作为基底. 3.由于a ＋b 和a －b 不共线，故可作基底. [微训练]1.设e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，则以下各组向量中不能作为基底的是( ) A.e 1，e 2 B.e 1＋e 2，3e 1＋3e 2 C.e 1，5e 2D.e 1，e 1＋e 2解析 因为3e 1＋3e 2＝3(e 1＋e 2)， ∴两向量共线不可作为基底. 答案 B2.在△ABC 中，若AD→＝12(AB →＋AC →)，则下列关系式正确的是( ) A.BD ＝2CD B.BD ＝CD C.BD ＝3CDD.CD ＝2BD解析 由AD→＝12(AB →＋AC →)得2AD →＝AB →＋AC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →，即BD →＝DC →，所以|BD→|＝|DC →|，故BD ＝CD .答案 B[微思考]1.若e1，e2是一个平面内的一组基底，则集合{a|a＝λ1e1＋λ2e2，λ1λ2∈R}表示的是什么？提示集合表示的是这个平面内的所有向量，其中当λ1＝0时，a与e2共线；当λ2＝0时，a与e1共线；当λ1＝λ2＝0时，a为零向量.2.若a e1＋b e2＝c e1＋d e2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d是否成立？提示当e1，e2共线时，a＝c，b＝d不一定成立；当e1，e2不共线时，a＝c，b ＝d一定成立.题型一平面向量基本定理的理解【例1】如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由.(1)若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；(2)对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对；(3)线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；(4)当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量.解(1)正确.若λ≠0，则e1＝－μλe2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.(2)不正确.由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定.(3)正确.平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立.(4)不正确.结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2便唯一确定.规律方法(1)对于平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解成两个不共线的向量的和的形式.(2)向量的基底是指平面内不共线的两个向量，事实上若e 1，e 2是基底，则必有e 1≠0，e 2≠0且e 1与e 2不共线，如0与e 1，e 1与2e 1，e 1＋e 2与2(e 1＋e 2)等，均不能构成基底.【训练1】 设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )考查两向量是否能构成基底主要看两向量是否不共线 A.e 1＋e 2和e 1－e 2 B.3e 1－4e 2和6e 1－8e 2 C.e 1＋2e 2和2e 1＋e 2 D.e 1和e 1＋e 2解析 选项B 中，6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)，∴6e 1－8e 2与3e 1－4e 2共线，∴不能作为基底，选项A ，C ，D 中两向量均不共线，可以作为基底.故选B. 答案 B题型二 用基底表示向量 零向量与任一向量平行，故不能作为基底【例2】 如图，在平行四边形ABCD 中，设对角线AC →＝a ，BD →＝b ，试用基底a ，b 表示AB→，BC →.解 法一 由题意知， AO→＝OC →＝12AC →＝12a ， BO→＝OD →＝12BD →＝12b .所以AB→＝AO →＋OB →＝AO →－BO →＝12a －12b ，BC→＝BO →＋OC →＝12a ＋12b .法二 设AB→＝x ，BC →＝y ，则AD →＝BC →＝y ，又⎩⎨⎧AB →＋BC →＝AC →，AD →－AB →＝BD →，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，y －x ＝b ，所以x ＝12a －12b ，y ＝12a ＋12b ， 即AB→＝12a －12b ，BC →＝12a ＋12b . 规律方法 用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.【训练2】 如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DC AB ＝k ，设AD →＝e 1，AB →＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC →，BC →，MN →.解 法一 ∵AB →＝e 2，DCAB＝k ， ∴DC →＝kAB →＝k e 2. ∵AB→＋BC →＋CD →＋DA →＝0， ∴BC→＝－AB →－CD →－DA → ＝－AB →＋DC →＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2. 又MN→＋NB →＋BA →＋AM →＝0， 且NB→＝－12BC →，AM →＝12AD →， ∴MN→＝－AM →－BA →－NB →＝－12AD →＋AB →＋12BC →＝k ＋12e 2. 法二 同法一得DC →＝k e 2，BC →＝e 1＋(k －1)e 2.连接MB ，MC ， 由MN→＝12(MB →＋MC →)得 MN →＝12(MA →＋AB →＋MD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＝k ＋12e 2. 题型三 平面向量基本定理的综合应用若a 是平面内的非零向量，且能表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，a ＝μ1e 1＋μ2e 2，那么一定有λ1＝μ1，λ2＝μ2【例3】 如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN 的值.解 设BM →＝e 1，CN →＝e 2，则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1， BN →＝BC →＋CN →＝2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2， BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2. 故BA →＝BP →＋P A →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2， 由平面向量基本定理， 得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.∴AP→＝45AM →，BP →＝35BN →，∴AP ∶PM ＝4，BP ∶PN ＝32.【迁移】 (变设问)在本例条件下，若CM →＝a ，CN →＝b ，试用a ，b 表示CP →.解 由典例解析知BP ∶PN ＝32， 则NP→＝25NB →， CP→＝CN →＋NP →＝CN →＋25NB → ＝b ＋25(CB →－CN →)＝b ＋45a －25b ＝35b ＋45a .规律方法 若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得.【训练3】 如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC→＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.解析 设AB→＝a ，AD →＝b ，则AE→＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12b ， 又∵AC→＝a ＋b ，∴AC →＝23(AE →＋AF →)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43. 答案 43一、素养落地1.通过学习平面向量基本定理及其意义，提升数学抽象素养.通过运用平面向量基本定理解决问题，培养直观想象素养. 2.对基底的理解(1)基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底. 3.准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.(2)用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决. 二、素养训练1.若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )A.e 1－e 2，e 2－e 1B.2e 1－e 2，e 1－12e 2 C.2e 2－3e 1，6e 1－4e 2D.e 1＋e 2，e 1－e 2解析 选项A ，B ，C 中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底. 答案 D2.如图所示，矩形ABCD 中，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →等于( )A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e －3e 2) C.12(2e 2＋5e 1)D.12(5e 2＋3e 1)解析 OC→＝12AC →＝12(BC →－BA →)＝12(BC →＋AB →)＝12(5e 1＋3e 2). 答案 A3.设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.解析 DE→＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，又∵AB →与AC →不共线，∴λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝－16＋23＝12.答案 124.在△ABC 中，点D ，E ，F 依次是边AB 的四等分点，试以CB →＝e 1，CA →＝e 2为基底表示CF→.解 AB →＝CB →－CA →＝e 1－e 2，因为D ，E ，F 依次是边AB 的四等分点，所以AF →＝34AB →＝34(e 1－e 2)，所以CF →＝CA →＋AF →＝e 2＋34(e 1－e 2)＝34e 1＋14e 2.基础达标一、选择题1.设e 1，e 2是同一个平面内的两个向量，则有( ) A.e 1，e 2平行 B.e 1，e 2的模相等C.同一个平面内的任一向量a ，有a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )D.若e 1，e 2不共线，则对于同一个平面内的任一向量a ，有a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ) 解析 由平面向量基本定理知，选D. 答案 D2.设D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－13AB →＋43AC →，若BC →＝λDC →(λ∈R )，则λ＝( ) A.2B.3C.－2D.－3解析 由AD→＝－13AB →＋43AC →，可得3AD →＝－AB →＋4AC →，即4AD →－4AC →＝AD →－AB →，则4CD→＝BD →，即BD →＝－4DC →，可得BD →＋DC →＝－3DC →，故BC →＝－3DC →， 则λ＝－3. 答案 D3.如图，在△ABC 中，BD→＝12DC →，AE →＝3ED →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则BE →等于( )A.13a ＋13bB.－12a ＋14bC.12a ＋14bD.－13a ＋13b解析 因为AE→＝3ED →，所以BE →－BA →＝3(BD →－BE →).所以4BE→＝BA →＋3BD →， 因为BD→＝12DC →，所以BD →＝13BC →， 所以4BE→＝BA →＋BC →，所以4BE →＝－AB →＋(AC →－AB →)，所以4BE→＝－2AB →＋AC →，所以BE →＝－12AB →＋14AC →， 所以BE→＝－12a ＋14b .答案 B4.已知OA→＝a ，OB →＝b ，C 为线段AB 上距A 较近的一个三等分点，D 为线段CB上距C 较近的一个三等分点，则用a ，b 表示OD →为( )A.19(4a ＋5b ) B.116(9a ＋7b ) C.13(2a ＋b )D.14(3a ＋b )解析 OD→＝OA →＋AD →，AD→＝AC →＋CD →＝13AB →＋13CB →＝13AB →＋29AB →＝59AB →. 而AB→＝b －a ，所以AD →＝59b －59a ，所以OD→＝OA →＋AD →＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫59b －59a ＝49a ＋59b . 答案 A5.△ABC 中，AD→＝14AB →，DE ∥BC ，且与边AC 相交于点E ，△ABC 的中线AM 与DE 相交于点N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示DN →等于( )A.14(a －b ) B.14(b －a )C.18(a －b )D.18(b －a ) 解析 由题意得DN→＝12DE →＝12(AE →－AD →)＝18(AC →－AB →)＝18(b －a )，故选D.答案 D 二、填空题6.设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________. 解析 设p ＝x m ＋y n ，则3a ＋2b ＝x (2a －3b )＋y (4a －2b )＝(2x ＋4y )a ＋(－3x －2y )b ， 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4y ＝3，－3x －2y ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－74，y ＝138.所以p ＝－74m ＋138n .答案 －74m ＋138n7.如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC→，则AO →＝________(用a 和b 表示).解析 设AO→＝λAC →，则AO →＝λ(AD →＋DC →)＝λ⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝λAD →＋12λAB →. 因为D ，O ，B 三点共线，所以λ＋12λ＝1，所以λ＝23，所以AO→＝23AD →＋13AB →＝23a ＋13b . 答案 23a ＋13b8.已知e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a ，b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________________.解析 若能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，由a ≠k b ，即得λ≠4. 答案 (－∞，4)∪(4，＋∞) 三、解答题9.如图，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC ＝BA ，在OB 上取点D ，使DB ＝13OB ，设OA→＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，DC →.解 OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋BA →＝OA →＋OA →－OB →＝2a －b .DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .10.如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM→＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →，NP →，PM →表示出来.解 NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ， MN→＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB → ＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ， PM→＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b ). 能力提升11.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆弧AB ︵的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD→＝( )A.a －12b B.12a －b C.a ＋12bD.12a ＋b解析 连接CD ，OD ，图略，∵点C ，D 是半圆弧AB ︵的两个三等分点， ∴AC ︵＝BD ︵，∴CD ∥AB ，∠CAD ＝∠DAB ＝30°， ∵OA ＝OD ，∠ADO ＝∠DAO ＝30°， ∴∠CAD ＝∠ADO ＝30°， ∴AC ∥DO ，∴四边形ACDO 为平行四边形，AD →＝AO →＋AC →. ∵AO→＝12AB →＝12a ，AC →＝b ， ∴AD→＝12a ＋b .故选D.答案 D12.设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2.(1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值.(1)证明 若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2). 由e 1，e 2不共线得， ⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎨⎧λ＝1，λ＝－23.所以λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底. (2)解 设c ＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，得 3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2. 由于e 1与e 2是不共线的非零向量， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.所以c ＝2a ＋b .(3)解 由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得 4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2. 又e 1与e 2是不共线的非零向量， 所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.创新猜想13.(多选题)如图所示，设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为该平面内所有向量的基底的是( )A.AD →与AB →B.DA →与BC →C.CA→与DC →D.OD→与OB → 解析 B 中DA →与BC →共线，D 中OD →与OB →共线，AC 中两向量不共线，故选AC.答案 AC14.(多填题)已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(2x －3y )e 1＋(3x －4y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x ＝________，y ＝________. 解析 ∵向量e 1，e 2不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝6，3x －4y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－15，y ＝－12. 答案 －15 －12。

培优强基训练—6.3.1 平面向量基本定理【课堂达标】1．{e 1，e 2}是平面内一个基底，下面说法正确的是( )A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内D ．对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对 2．A ，B ，O 是平面内不共线的三个定点，且OA →＝a ，OB →＝b ，点P 关于点A 的对称点为Q ，点Q 关于点B 的对称点为R ，则PR →等于( )A ．a －bB ．2(b －a )C ．2(a －b )D ．b －a3．已知向量a ，b 不共线，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D4．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y ＝________.5．在△ABC 中，AD →＝13AB →，AE →＝14AC →，BE 与CD 交于点P ，且AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AP →.【巩固“四基”】1．若k 1a ＋k 2b ＝0，则k 1＝k 2＝0，那么下列对a ，b 的判断正确的是( )A ．a 与b 一定共线B ．a 与b 一定不共线C ．a 与b 一定垂直D ．a 与b 中至少一个为02．如果e 1，e 2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A ．e 1与e 1＋e 2B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1－2e 2与－e 1＋2e 2 3．在△ABC 中，AB ―→＝c ，AC ―→＝b ，若点D 满足BD ―→＝2DC ―→，以b 与c 作为基底，则AD ―→＝( )A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c4．设向量e 1与e 2不共线，若3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，则实数x ，y的值分别为( )A ．0,0B ．1,1C ．3,0D ．3,4 5.如图所示，|OA ―→|＝|OB ―→|＝1，|OC ―→|＝3，∠AOB ＝60°， OB ⊥OC ，设OC ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，则( )A ．x ＝－2，y ＝－1B ．x ＝－2，y ＝1C ．x ＝2，y ＝－1D ．x ＝2，y ＝1 6.如图，平行四边形ABCD 中，AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，M 是DC 的中点，以a ，b 为基底表示向量AM ―→＝________.7．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(2x ＋y )e 1＋(3x ＋2y )e 2＝0，则x ＋y ＝________.8.如图，已知E ，F 分别是矩形ABCD 的边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，用a ，b 表示AG ―→＝________.9.如图所示，D 是BC 边的一个四等分点．试用基底AB ―→，AC ―→表示AD ―→.10.如图所示，已知在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点．若AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，试以a ，b 为基底表示DE ―→，BF ―→.【提升“四能”】11．(多选题)若e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法正确的是( )A ．λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α中的任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ，μ有无数多对C ．若λ1，μ1，λ2，μ2均为实数，且向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)D ．若存在实数λ，μ使λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝012．已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0，＋∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心13．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：AM →＝34AB →＋14AC →.则△ABM 与△ABC 的面积之比为________．14．(一题两空)如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD交于O 点，线段OD 上有点M 满足DO →＝3DM →，线段CO 上有点N 满足OC →＝λON →(λ＞0)，设AB →＝a ，AD →＝b ，已知MN →＝μa －16b ，则λ＝________，μ＝________.【拓展延伸】15．如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，BM ＝23BC ，AN ＝14AB ．(1)试用向量a ，b 来表示DN →，AM →；(2)AM 交DN 于O 点，求AO ∶OM 的值．16.如图，在△ABC 中，F 是BC 中点，直线l 分别交AB ，AF ，AC 于点D ，G ，E .如果AD ―→＝λAB ―→，AE ―→＝μAC ―→，λ，μ∈R .求证：G 为△ABC 重心的充要条件是1λ＋1μ＝3.参考答案【课堂达标】答案 A解析 由基底的定义可以知道，e 1和e 2是平面上不共线的两个向量，所以若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0，不是空间任一向量都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，而是平面中的任一向量a ，可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式，此时实数λ1，λ2有且只有一对，而对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2一定在平面内，所以A 正确．答案 B解析 如图，a ＝12(OP →＋OQ →)，b ＝12(OQ →＋OR →)，相减得b －a ＝12(OR →－OP →)，∴PR →＝2(b －a )． 答案 A解析 ∵AB →＝a ＋2b ，BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ，∴2AB →＝BD →，∴AB →∥BD →.又∵AB →与BD →有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．故选A.答案 3解析 由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，∴x －y ＝3.解 如图，取AE 的三等分点M ，使AM ＝13AE ，连接DM ，则DM ∥BE .设AM ＝t (t ＞0)，则ME ＝2t . 又AE ＝14AC ，∴AC ＝12t ，EC ＝9t ， ∴在△DMC 中，CE CM ＝CP CD ＝911， ∴CP ＝911CD ，∴DP ＝211CD ，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋211DC →＝13AB →＋211(DA →＋AC →)＝13AB →＋211⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋AC →＝311AB →＋211AC →＝311a ＋211b . 【巩固“四基”】1.解析：选B 由平面向量基本定理知，当a ，b 不共线时，k 1＝k 2＝0.故选B.2.解析：选D 由e 1，e 2为不共线向量，可知e 1与e 1＋e 2，e 1－2e 2与e 1＋2e 2，e 1＋e 2与e 1－e 2必不共线，都可作为平面向量的基底，而e 1－2e 2＝－(－e 1＋2e 2)，故e 1－2e 2与－e 1＋2e 2共线，不能作为该平面所有向量的基底．故选D.3.解析：选A ∵BD ―→＝2DC ―→，∴AD ―→－AB ―→＝2(AC ―→－AD ―→)，∴AD ―→－c ＝2(b －AD ―→)，∴AD ―→＝13c ＋23b .故选A.4.解析：选D ∵向量e 1与e 2不共线，∴⎩⎨⎧3x ＝4y －7，10－y ＝2x ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝4.故选D.5.解析：选B 过点C 作CD ∥OB 交AO 的延长线于点D ，连接BC (图略)．由|OB ―→|＝1，|OC ―→|＝3，∠AOB ＝60°，OB ⊥OC ，知∠COD ＝30°.在Rt △ODC 中，可得OD ＝2CD ＝2，则OC ―→＝OD ―→＋OB ―→＝－2OA ―→＋OB ―→.故选B.6.解析：AM ―→＝AD ―→＋DM ―→＝AD ―→＋12DC ―→＝AD ―→＋12AB ―→＝b ＋12a .答案：b ＋12a7.解析：∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎨⎧ 2x ＋y ＝0，3x ＋2y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0. ∴x ＋y ＝0. 答案：08.解析：AG ―→＝AB ―→＋BE ―→＋EG ―→＝a ＋12b ＋14BD ―→＝a ＋12b ＋14b －14a ＝34a ＋34b . 答案：34a ＋34b9.解：∵D 是BC 边的四等分点，∴BD ―→＝14BC ―→＝14(AC ―→－AB ―→)，∴AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋14(AC ―→－AB ―→)＝34AB ―→＋14AC ―→.10.解：∵四边形ABCD 是平行四边形， E ，F 分别是BC ，DC 边上的中点，∴AD ―→＝BC ―→＝2BE ―→，CD ―→＝BA ―→＝2CF ―→， ∴BE ―→＝12AD ―→＝12b ，CF ―→＝12CD ―→＝12BA ―→＝－12AB ―→＝－12a .∴DE ―→＝DA ―→＋AB ―→＋BE ―→＝－AD ―→＋AB ―→＋BE ―→＝－b ＋a ＋12b ＝a －12b ，BF ―→＝BC ―→＋CF ―→＝AD ―→＋CF ―→＝b －12a .【提升“四能”】11.AD [由平面向量基本定理，可知AD 说法正确，B 说法不正确．对于C ，当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故C 不正确．]12.B [AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向为∠BAC 的角平分线AD →的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同．而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴点P 在AD →上移动，∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．]13.1∶4 [如图，由AM →＝34AB →＋14AC →可知M ，B ，C 三点共线，令BM →＝λBC →，则AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →⇒λ＝14，所以S△ABM S△ABC＝14，即△ABM 与△ABC 面积之比为1∶4.]14.3 12 [依题意得BD →＝b －a ，AC →＝a ＋b ，且DM →＝16DB →＝16(a －b )＝16a －16b ，AN →＝AO →＋ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12λАС→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12λ(a ＋b )，所以AM →＝AD →＋DM →＝b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16a －16b ＝16a ＋56b ，AN →＝AM →＋MN →＝16a ＋56b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫μa －16b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋μa ＋23b ，即AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12λ(a ＋b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋μa ＋23b ， 由平面向量基本定理，得 ⎩⎪⎨⎪⎧12＋12λ＝23，12＋12λ＝16＋μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝12.]【拓展延伸】15.[解] (1)因为AN ＝14AB ，所以AN →＝14AB →＝14a ，所以DN →＝AN →－AD →＝14a －b .因为BM ＝23BC ，所以BM →＝23BC →＝23AD →＝23b ，所以AM →＝AB →＋BM →＝a ＋23b .(2)因为A ，O ，M 三点共线，所以AO →∥AM →，设AO →＝λAM →，则DO →＝AO →－AD →＝λAM →－AD →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋23b －b ＝λa ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1b .因为D ，O ，N 三点共线，所以DO →∥DN →，存在实数μ使DO →＝μDN →，则λa ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1b ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a －b . 由于向量a ，b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝14μ，23λ－1＝－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝314，μ＝67.所以AO →＝314AM →，OM →＝1114AM →，所以AO ∶OM ＝3∶11.16.证明：充分性：若G 为△ABC 重心，则AG ―→＝23AF ―→＝23×12(AB ―→＋AC ―→)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→λ＋AE ―→μ， 又因点D ，G ，E 共线，所以AG ―→＝t AD ―→＋(1－t )AE ―→＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→λ＋AE ―→μ，因AD ―→，AE ―→不共线，所以13λ＝t 且13μ＝1－t ，两式相加即得1λ＋1μ＝3.必要性：若1λ＋1μ＝3，则AG ―→＝x AF ―→＝x 2(AB ―→＋AC ―→)＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ―→λ＋AE ―→μ＝t AD ―→＋(1－t )AE ―→，所以x 2λ＝t 且x 2μ＝1－t ，相加即得x ＝23，即G 为△ABC 重心．故G 为△ABC 重心的充要条件是1λ＋1μ＝3.。