6.3.1 平面向量基本定理

新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册学案：6.3.1平面向量基本定理含解析6.3平面向量基本定理及坐标表示6．3.1平面向量基本定理[目标］1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义,理解平面向量基本定理；2.掌握平面向量基本定理并能熟练应用．[重点] 平面向量基本定理．[难点] 平面向量基本定理的应用．要点整合夯基础知识点平面向量基本定理[填一填］(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.（2）若e1，e2不共线，我们把｛e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．［答一答］1．基底有什么特点?平面内基底唯一吗？提示：基底中的两向量e1，e2不共线,这是基底的最大特点．平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底．2．如图,设OA、OB、OC为三条共端点的射线，P为OC上一点，能否在OA 、OB 上分别找一点M 、N ，使OP →＝错误!＋错误!？提示：能。

过点P 作OA 、OB 的平行线，分别与OB 、OA 相交，交点即为N 、M .3．若向量a ，b 不共线，且c ＝2a －b ,d ＝3a －2b ，试判断c ，d 能否作为基底．提示：设存在实数λ使得c ＝λd ，则2a －b ＝λ（3a －2b )，即(2－3λ)a ＋（2λ－1)b ＝0.由于a ，b 不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0,这样的λ是不存在的，从而c ，d 不共线，故c ，d 能作为基底。

典例讲练破题型类型一 基底的概念［例1] 下面说法中，正确的是（ ）①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a 和一组基底e 1，e 2，使a ＝λe 1＋μe 2成立的实数对一定是唯一的．A ．②④B ．②③④C ．①③D ．①③④［解析] 因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故②③正确，①不正确；由平面向量基本定理知④正确．综上可得②③④正确．［答案]B根据平面向量基底的定义知，判断能否作为基底问题可转化为判断两个向量是否共线的问题，若不共线，则它们可以作为一组基底；若共线,则它们不能作为一组基底。

高中数学人教A版（2019）必修第二册6.3.1平面向量基本定理说课稿一、教材分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修2第六章《平面向量及其应用》第三节《平面向量基本定理及其坐标表示》第一课时。

本节首先由向量的概念和运算得出平面向量基本定理.平面向量基本定理是平面向量中的重要内容.此定理表明平面内的任一向量可以由同一平面内的两个取定的不共线向量表示，而且表示式是唯一的.因而向量的运算可以归结为两个取定的不共线向量的运算，这为利用向量运算解决问题带来了方便.由此定理还可引出向量的坐标的概念，进而引出向量运算的坐标表示。

1.平面向量基本定理平面向量基本定理告诉我们，同一平面内任一向量都可表示为两个取定的不共线向量的线性组合，这样，如果将平面内向量的起点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一个点都可以通过取定的两个不共线的向量得到表示。

也就是说，平面内的任意一个点可以由平面内的一个点及两个取定的不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因，下面对其中的思想作一概述.用向量表示几何元素是容易的，并且很直接.选一个定点，那么，任何一个点都可以用一个向量来表示.对于一条直线l，如果我们的兴趣只在于它的方向，那么用一个与l平行的非零向量图片就行了；如果想确定这条直线的位置，则还要在l上任选一点。

这样，一个点A，一个向量图片就在原则上确定了直线l，这是对直线的一种定性刻画。

如果想具体地表示l上的每一个点，我们需要实数k和向量图片的乘法图片.这时，l上的任意一点X都可以通过点A和某个图片来表示（图6-17）.希望在“实际”上控制直线l，可以看作是引入图片的一个原因.再来看平面.两条相交直线确定一个平面 a.一个定点，两个不共线的向量便“原则”上确定了平面α，这是对平面的一种定性刻画.但在讨论几何问题时，常常涉及平面α上的某一点X，为了具体地表示它，我们需要引进向量的加法.这时，平面α上的点X就可以表示为（相对于定点A），这样点X 就成为可操作的对象了（图6-18）.在解决几何问题时，这种表示能发挥很重要的作用.虽然向量的加法、数乘运算有非常坚实的物理背景，但当我们舍弃了这种背景而只从纯粹数学的角度来看问题的话，上述考虑可使我们看到引进相应的向量运算的理由，这可以使我们更容易接受并喜爱向量运算。

6.3.1平面向量的基本定理导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．【自主学习】知识点1 平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a ， 实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)基底：把 的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内 向量的一组基底．知识点2 两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个 向量a 和b ，如图，作OA →＝a ，OB →＝b ， 则 ＝θ (0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角．①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]．②当θ＝0°时，a 与b ．③当θ＝180°时，a与b．(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.【合作探究】探究一 基底的概念【例1】下面说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a 和一组基底e 1，e 2，使a ＝λe 1＋μe 2成立的实数对一定是唯一的． A ．②④ B ．②③④ C ．①③ D ．①③④归纳总结：【练习1】设{e 1，e 2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )A ．e 1＋e 2和e 1－e 2B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2D ．e 1和e 1＋e 2探究二 用基底表示向量【例2】如图所示，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M 、N 分别是边OA 、OB 上的点，且OM→＝13a ，ON →＝12b ，设AN →与BM →交于点P ，用向量a 、b 表示OP →.归纳总结：【练习2】如图所示，已知在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以{a ，b }为基底表示DE →、BF →.探究三 平面向量基本定理的应用【例3】如图所示，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，M 为AD 的中点，若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ的值为( )A.53B.－12C.12D.23归纳总结：【练习3】如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP : PM 与BP : PN 的值．课后作业A 组 基础题一、选择题1．等边△ABC 中，AB →与BC →的夹角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°2．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A ．e 1－e 2，e 2－e 1 B ．2e 1＋e 2，e 1＋12e 2C ．2e 2－3e 1,6e 1－4e 2D ．e 1＋e 2，e 1－e 23．下面三种说法中，正确的是( )①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③4．若a 、b 不共线，且λa ＋μb ＝0(λ，μ∈R )，则( ) A ．a ＝0，b ＝0 B ．λ＝μ＝0 C ．λ＝0，b ＝0 D ．a ＝0，μ＝05.如图所示，平面内的两条直线OP 1和OP 2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅰ部分，则实数a ，b 满足( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <06．下列说法中，正确说法的个数是( ) ①在△ABC 中，{AB →，AC →}可以作为基底； ②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的； ③零向量不能作为基底． A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．如图，设O 是▱ABCD 两对角线的交点，有下列向量组： ①AD →与AB →； ②DA →与BC →； ③CA →与DC →； ④OD →与OB →.其中可作为该平面内所有向量基底的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．③④8．M 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为三边BC ，AB ，AC 的中点，则MA →＋MB →＋MC →等于( )A ．6ME →B ．－6MF →C ．0D ．6MD →二、填空题9.设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)10.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.11．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________.12．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝____________.(用b 、c 表示)13．已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x －4y )e 1＋(2x －3y )e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y ＝3.14.如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．15．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．三、解答题16.如图所示，在△ABC 中，点M 为AB 的中点，且AN ＝12NC ，BN 与CM 相交于点E ，设AB→＝a ，AC →＝b ，试以a ，b 为基底表示AE →.17.如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1.18．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，(1)如图1，如果E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ，b 分别表示BF →，DE →. (2)如图2，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ，b 表示AG →.B 组 能力提升一、选择题1.如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2DC ，E 是BC 的中点，F 是AE 上一点，AF =2FE ，则BF =（ ）A ．1123AB AD -B ．1132AB AD -C ．1123AB AD -+ D ．1132AB AD -+2.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC a =，BD b =，则AF =（ ）A ．1142a b + B ．2133a b + C ．1124a b + D ．1233a b +3.ABC 中，M 、N 分别是BC 、AC 上的点，且2BM MC =，2AN NC =，AM 与BN 交于点P ，则下列式子正确的是（ ）A ．3142AP AB AC =+ B ．1324AP AB AC =+ C ．1124AP AB AC =+ D ．1142AP AB AC =+ 4.如图，在直角梯形ABCD 中，AB =2AD =2DC ，E 为BC 边上一点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3 EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 为AE 的中点，则BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ．−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ．−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D ．23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗5.如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+=（ ）A ．43B ．53C ．158D ．26.如图四边形ABCD 为平行四边形，11,22AE AB DF FC ==，若AF AC DE λμ=+，则λμ-的值为（ ）A ．12B ．23C ．13D ．17.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若34AF xAB AD =+，则x ( )A．34B．23C．12D．14二、填空题8.如图，在ABC 中，13B BCD →→=，点E 在线段AD 上移动（不含端点），若AE AB AC λμ→→→=+，则12λμ+的取值范围是_____．9.在ABC 中，D 为线段AB 上一点，且3BD AD =，若CD CA CB λμ→→→=+，则λμ= .10.在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是 .三、解答题11.如图，△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及BGGE 的值．。

6.3.1 平面向量基本定理（用时45分钟）【选题明细表】知识点、方法题号基底的概念及辨析1,2,10用基底表示向量3,5,6,7,9平面向量基本定理的应用4,8,11,12基础巩固1．如果12e e u v u u v ，是平面a 内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的有（）①12()e e R l m l m +Îu vu u v，可以表示平面a 内的所有向量；②对于平面a 内的任一向量a ，使12a e e l m =+u v u u vv的实数,l m ，有无数多对；③若向量1112e e l m +u v u u v 与2122e e l m +u v u u v共线，则有且只有一个实数l ，使()11122122e e e e l m l l m +=+u v u u v u v u u v ；④若实数,l m ，使120e e l m +=u v u u v v，则0l m ==.A ．①②B ．②③C ．③④D ．②【答案】B【解析】由平面向量基本定理可知，①是正确的；对于②，由平面向量基本定理可知，一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零即12120l l m m ====时，这样的l 有无数个；对于④，若0l ¹，则12e e m l=-u r u ur ，由平面向量共线定理知，12e e u r u u r ，共线，与题意矛盾，故0l =，20e m \=u u r r即有0m =，因此0l m ==；故选B .2．已知向量1e u v ，2e u u v 不共线，实数x ，y 满1212(34)(23)63x y e x y e e e -+-=+u v u u v u v u u v，则x y -的值是（ ）A ．3B ．3-C ．0D ．2【答案】A【解析】由题意得346,233,x y x y -=ìí-=î解得3x y -=．故选：A3．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则BF =uuu r（）A ．3144AB AD+uuur uuu r B ．1142AB AD-+uuur uuu r C ．12AB AD+uuur uuu r D ．3144AB AD+uuur uuu r 【答案】B【解析】()111111222224BF BC CF BC CE BC BE BC BC BE BC BA =+=+=+-=+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r1124AD AB =-uuu r uuur 故选：B4．如图，在平行四边形ABCD 中，,M N 分别为,AB AD 上的点，且45AM AB =uuuu v uuu v ，23AN AD =uuu v uuu v，连接,AC MN 交于P 点，若AP AC l =uuu v uuu v，则l 的值为（ ）A ．35B ．37C ．411D ．413【答案】C【解析】∵42,53AM AB AN AD ==uuuu v uuu v uuu v uuu v，则：()534253,42AP AC AB ADAM AN AM AN l l l l l ==+æö=+ç÷èø=+uuu v uuu v uuu v uuu v uuuuv uuu v uuuuv uuu v ∵三点M ，N ，P 共线．∴53142l l +=，解得：411l =本题选择C 选项.5．已知△ABC 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==Ð=°==，则AD BE ×=uuu r uuu r（）A ．1B ．2-C ．12D ．12-【答案】C【解析】222,,33BD DC BD BC AD BD BA BC BA ===-=-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r,11,22AE EC BE BC BA =\=+uuu r uuu r uuu r,211()()322AD BE BC BA BC BA ×=-×+uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r 22111362BC BC BA BA =-×-uuur uuu r uuu r uuu r 111123622=-´´´=.故选:C.6．△ABC 中，点M 是边BC 的中点，3AB =uuu r ，2AC =uuu r ，则AM BC ×=uuuu r uuu r_____.【答案】52-【解析】因为点M 是边BC 的中点，所以12AM =uuuu r （AB AC +uuu r uuu r ），又因为BC AC AB =-uuu r uuu r uuu r，所以12AM BC ×=uuuu r uuu r （AB AC +uuu r uuu r ）×（AC AB -uuu r uuu r ）12=（22AC AB -uuu r uuu r ）52=-，故答案为：52-.7．在平行四边形ABCD 中1AB e =uuu v u v ，2AC e =uuu v u u v ，14NC AC =uuu v uuu v ，12BM MC =uuuu v uuu u v ，则MN =uuuu v.（用12,e e u v u u v表示）【答案】1225312e e -+u v u u v 【解析】如图：MN uuuu r ＝CN uuu r －CMuuuu r＝CN uuu r ＋2BM uuuu r ＝CN uuur ＋23BCuuu r ＝－14AC uuu r＋23(AC uuu r －AB uuu r )＝－214e u ur ＋212()3e e -u u r u r ＝1225312e e -+u r u u r .故本题答案为1225312e e -+u r u u r .8．如图所示，在BOC D 中，C 是以A 为中点的点B 的对称点，2OD DB =uuu r uuu r，DC 和OA 交于点E ，设OA a =uuu r r ，OB b =uuu r r .（1）用a r 和b r 表示向量OC uuu r 、DC uuur；（2）若OE OA l =uuu r uuu r，求实数l 的值.【答案】（1）2OC a b =-uuu r r r ，523DC a b =-uuu r r r ；（2）45l =.【解析】（1）由题意知，A 是线段BC 中点，且2233OD OB b ==uuu r uuu r r.2OC OA AC OA BA OA OA OB a b =+=+=+-=-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r r ，()252233DC OC OD a b b a b =-=--=-uuu v uuu v uuu v v v v v v ；（2）()()22EC OC OE a b a a b l l =-=--=--uuu v uuu v uuu v v v v Q v v，由题可得//EC DC uuu r uuu r，且523DC a b =-uuu r r r ，设EC k DC =uuu r uuu r ，即()5223a b k a b l æö--=-ç÷èøv v v v ，则有22513k k l -=ìïí-=-ïî，解得4535k l ì=ïïíï=ïî.因此，45l =.能力提升9．在ABC D 中，点F 为线段BC 上任一点（不含端点），若()20,0AF xAB y AC x y =+>>uuu r uuu r uuu r ，则12x y+的最小值为（ ）A ．1B ．8C ．2D ．4【答案】B【解析】因为()20,0AF xAB y AC x y =+>>uuu r uuu r uuu r，且点F 在线段BC 上，则21x y +=，且0,0x y >>，则()1212424448y x x y x y x y x yæö+=++=++³+=ç÷èø.故选：B.10．设向量23m a b =-u r r r ，42n a b =-r r r ，32p a b =+u r r r ，用m u r 、n r表示p u r ，则p =u r ______.【答案】71348m n -+u r r【解析】设(),p xm yn x y =+ÎR u r u r r，则()()()()3223422432a b x a b y a b x y a x y b +=-+-=++--r r r r r r r r ，得243322x y x y +=ìí--=î，解得74138x y ì=-ïïíï=ïî，所以71348p m n =-+u r u r r .故答案为：71348m n -+u r r .11．已知e f v v ，为两个不共线的向量，若四边形ABCD 满足24AB e f BC e f =+=--uuu v uuu v v vv v ，，53CD e f=--uuu v v v （1）将AD 用e f vv ，表示；（2）证明四边形ABCD 为梯形.【答案】（1）82AD e f =--uuu v v v（2）详见解析【解析】（1）(2)(4)(53)AD AB BC CD e f e f e f =++=++--+--uuu v uuu v uuu v uuu v v v v v v v (145)(213)82e f e f =--+--=--r u r r u r（2）因为822(4)2AD e f e f BC =--=--=uuu r r u r r u r uuu r ，即2AD BC =uuu r uuu r，所以AD uuu r 与BC uuu r 同方向，且AD uuu r的长度为BC uuu r 的长度的2倍，所以在四边形ABCD 中，AD BC ∥，且AD BC ¹，所以四边形ABCD 是梯形.素养达成12．设O 为△ABC 内任一点，且满足230OA OB OC ++=uuu v uuu v uuu v v，若D E ，分别是BC CA ，的中点.（1）求证：D E O ，，共线；（2）求△ABC 与AOC △的面积之比. 【答案】（1）见解析；（2）3【解析】（1）如图，22OB OC OD OA OC OE +=+=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，，∵23()2()2(2)0OA OB OC OA OC OB OC OD OE ++=+++=+=uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v v ，即20OD OE +=uuu r uuu r r，∴与OD 与OE 共线，即D E O ，，三点共线.（2）由（1）知2||||OD OE =uuu r uuu r ，∴22112223343AOC COE CDE ABC ABC S S S S S D D D D D ==´=´´=，∴3ABCAOCS S D D =.。

统考一模）如图，在ABC 中，4BD DC =，则AD =（1455AB AC +B ．4155AB AC +1566AB AC +5166AB AC +．（2022秋·上海普陀高一曹杨二中校考期末）在四边形ABCD 中，(,AC AB AD λμλμ=+∈||||CD AB =（ ） A ．13C ．123．（2022春·福建福州·高二福建省福州高级中学校考阶段练习）如图，在ABCD 中，为BC 的中点，AC mAM nBD =+，则m ＝（ ）B ．45江苏盐城·高一江苏省响水中学校考阶段练习）在中，2BD DC =，E上一点．若12λ=+CE CA CB ，则λB ．12安徽·高三校联考阶段练习）如图，为直径的半圆圆周上的两个三等分点，E 为线段CD 的中点，F 为线段设AB a =，AC b =，则AF =（5182a b +5142a b +131164a b + 13184a b + 6．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）在平行四边形ABCD 中，设AC a =，BD b =，12AP AD =，23AQ AB =，则PQ ＝（ A ．711212a b - B ．171212a b - C 71212a b + D ．711212a b -+ 7．（2022春·福建泉州·高三泉州五中校考期中）已知在△ABC 中，3AB =，4AC =，BAC ∠2AD DB =，P 在CD 上，12AP AC AD λ=+，则AP BC ⋅的值为（ A ．116-72C ．4 8．（2022·全国·高三专题练习）已知点A ，B ，C ，P 在同一平面内，13PQ PA =，13QR QB =，13RP RC =，则:ABCPBCSS等于（ ）A ．14∶3B ．19∶4C ．24∶5D ．29∶6高二校联考阶段练习）已知菱形OACB 上运动（包含端点），其中OP xOA yOB =+，,x y C ．2高一江苏省天一中学校考期中）对于给定的ABC ，其外心为，则下列结论正确的是（ ）于E ､F ，若AE AB λ=，AF AC μ=，则11λμ+=．AH 与||cos ||cos AB ACAB B AC C+共线．OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅ ．OH OA OB OC =++ 三、填空题．（2022春·安徽合肥·高二校考学业考试）在ABC 中，且2BD DC =，若AD AC AB λμ=+，则λμ=12．（2022春·广东肇庆·高三统考阶段练习）在ABC 中，点足2DC BD =，2EC AE =，点F 且满足2AF FD =.若B ∠BC y =，则3x y +的最大值为四、解答题．（2022·高一课时练习）如图所示，ABC 的一条中线，点满足2AO OD =，过O 的直线分别与射线AB ，射线N 两点.(1)若AO AB AC λμ=+，求λμ，的值；设AM mAB =，AN nAC =，m >14．（2022秋·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中）在AOB 中，21,52OC OA OD OB ==，AD ，,OA a OB b ==．(1)试用a b 、表示向量OM ；在线段AC 上取一点E ，在线段设,OE OA OF OB λμ==，3μ的值．．设,AB a A b D →==．{}→→，表示,AE EF ； 内部一点，且3243AG a b →=+．求证：在ABC 中，上，且2OC OB =.过点O 的直线分别交射线于不同的两点M AB mAM =，AC nAN =.(1)求2m n +的值:若向量(2cos23a =，(cos68b =︒)a b ⋅恒成立，求的最小整数值图象上的一点，M ，N 是函数，使得PT PM PN =+，且四边形的解析式;π2，π(0,)2A ∈，求A ；已知13PH PT =，过点H 的直线交，PQ PM λ=，PK PN μ=，1μ是否是定值？若是，求出定值，若不是，说明理由高一上海市建平中学校考阶段练习）设ABC 是边长为(1)求112AB AP AP AP ⋅+⋅的值； 为线段1AP 上一点，若112AQ mAB AC =+，求实数在边BC 的何处时，PA PC ⋅取得最小值，并求出此最小值。