推荐-新人教版高中数学 2.2.4 向量共线定理教案必修四

人教版高中必修4(B版)2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件课程设计一、教学目标1.知识与技能：了解平面向量共线的条件及其含义，掌握用平面向量坐标表示向量共线的方法，能够运用向量共线条件解决相关问题。

2.过程与方法：通过讲解理论知识、演示计算方法、练习习题等方式，培养学生理论与实践相结合的学习方法。

3.情感态度：鼓励学生积极学习，勤于动手实践，培养团队合作精神与逻辑思维能力。

二、教学重点1.平面向量共线的条件及其含义。

2.用平面向量坐标表示向量共线的方法。

三、教学难点1.如何正确理解向量共线的条件及其含义。

2.如何运用向量共线条件解决相关问题。

四、教学内容1. 平面向量共线的条件在平面直角坐标系中，设向量$\\vec{a}$和$\\vec{b}$的坐标分别为$\\vec{a}(x_1, y_1)$，$\\vec{b}(x_2, y_2)$。

若$\\vec{a}$和$\\vec{b}$共线，则$\\vec{a}$与$\\vec{b}$的方向相同或相反。

即$\\vec{a}$与$\\vec{b}$的向量积$\\vec{a}\\times \\vec{b} = 0$。

2. 用平面向量坐标表示向量共线的方法在平面直角坐标系中，设向量$\\vec{a}$和$\\vec{b}$的坐标分别为$\\vec{a}(x_1, y_1)$，$\\vec{b}(x_2, y_2)$。

若$\\vec{a}$与$\\vec{b}$共线，则$\\vec{a}$与$\\vec{b}$满足以下条件之一：1.$\\dfrac{x_1}{x_2} = \\dfrac{y_1}{y_2}$2.$\\dfrac{x_1}{x_2} = \\dfrac{-y_1}{-y_2}$3.x1=x2=0或者y1=y2=03. 经典例题已知向量$\\vec{a} = (1, 2)$，$\\vec{b}=(2,1)$，判断$\\vec{a}$与$\\vec{b}$是否共线。

《平面向量基本定理》的教学设计一 教学目的：1 了解平面向量基本定理及其意义；2 理解平面上任意一个向量都可以由这个平面内两个不共线的向量21,e e 线性表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3 通过作图体会基底的不唯一性；二 教学重点与难点1 重点：平面内的任意向量可以由两个不共线的向量表示2 难点：平面向量基本定理的理解3 教学方法：教师主要引导、学生主体思维为主线，学生动手操作。

4 教学手段：使用多媒体辅助教学，使书本的图形“动”起来，加强了教学的直观性。

使用方格纸让学生画图，使学生能更加直观的理解平面向量的基本定理。

三 教学过程1 复习以提问的方式复习旧知：求向量和的方法，向量的数乘运算；设计意图：让学生思考并回答这两个问题，为这节课的内容做准备。

2 新课引入在学生复述了上述知识之后，让学生在方格纸上画出212,3e e ，并画出2123e e +； 设计意图：让学生通过自己动手做图，再对向量的求和和数乘进行复习，加强学生对旧知的巩固；教师活动：动画演示刚刚所做的图，设计意图：从动画演示上可以让学生从直观上对利用平行四边形法则来求向量的和有了更加直观的印象和理解，同时，利用平行四边形法则来求两个向量的和向量也是这节课在解决问题的主要方法之一。

教师活动：提出问题：“既然我们给定了212,3e e，那么很容易就可以画出1232e e a +=，如果我们给出a ，能否用21,e e 表示a 呢？”3 新课讲解教师活动：让学生在所给的方格上画出,a b ，,c d ，,f g ，并分别用21,e e 来表示，为了方便起见21,e e 是两个互相垂直的向量。

学生活动：分小组来讨论并画出所给向量。

设计意图：让学生初步体会到平面内的任意向量都可以分解成两个向量的和向量。

教师活动：在幻灯片上打出两个不共线的向量21,e e ，和第三个向量a，让学生讨论怎样由21,e e 来表示向量a 。

2.3.4 平面向量共线的坐标表示教案目的：<1）理解平面向量共线的坐标表示；<2）掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；<3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教案重点：平面向量公线的坐标表示及定点坐标公式，教案难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性教案过程：一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2b5E2RGbCAP(1>我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2>基底不惟一，关键是不共线；(3>由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4>基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量2．平面向量的坐标表示分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得p1EanqFDPw把叫做向量的<直角）坐标，记作其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，特别地，，，.2．平面向量的坐标运算<1）若，，则，，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. . 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

<2）若，，则一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.向量的坐标与以原点为始点、点P为终点的向量的坐标是相同的。

3．练习：1．若M(3， -2> N(-5， -1> 且，求P点的坐标2．若A(0， 1>， B(1， 2>， C(3， 4> ，则 2=.3．已知：四点A(5， 1>， B(3， 4>， C(1， 3>， D(5， -3> ，如何求证：四边形ABCD是梯形.？二、讲解新课：1、思考：<1）两个向量共线的条件是什么？<2）如何用坐标表示两个共线向量？设=(x1， y1> ，=(x2， y2> 其中≠.由=λ得， (x1， y1> =λ(x2， y2> 消去λ，x1y2-x2y1=0∥ (≠>的充要条件是x1y2-x2y1=0探究：<1）消去λ时能不能两式相除？<不能∵y1， y2有可能为0，∵≠∴x2， y2中至少有一个不为0）<2）能不能写成？<不能。

备课资料一、求点P 分有向线段所成的比的几种求法(1)定义法:根据已知条件直接找到使P P 1=λ2PP 的实数λ的值.例1 已知点A(-2,-3),点B(4,1),延长AB 到P,使||=3||,求点P 的坐标.解：因为点在AB 的延长线上,P 为的外分点,所以=λ,λ<0,又根据||=3||,可知λ=-3,由分点坐标公式易得P 点的坐标为(7,3).(2)公式法:依据定比分点坐标公式. x=,1,12121λλλλ++=++y y y x x 结合已知条件求解λ. 例2 已知两点P 1(3,2),P 2(-8,3),求点P(21,y)分21P P 所成的比λ及y 的值. 解：由线段的定比分点坐标公式,得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⨯+=+-+=.2249,175,132,1)8(321y y λλλλλ解得 二、备用习题1.已知a =(3,-1),b =(-1,2),则-3a -2b 等于（ ）A.(7,1)B.(-7,-1)C.(-7,1)D.(7,-1)2.已知A(1,1),B(-1,0),C(0,1),D(x,y),若和是相反向量,则D 点的坐标是（ ）A.(-2,0)B.(2,2)C.(2,0)D.(-2,-2)3.若点A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)共线,则使=λ的实数λ的值为（ ）A.1B.-2C.0D.24.设a =(23,sinα),b =(cosα,31),且a ∥b ,则α的值是（ ） A.α=2kπ+4π(k ∈Z ) B.α=2kπ-4π(k ∈Z ) C.α=kπ+4π(k ∈Z ) D.α=kπ-4π(k ∈Z ) 5.已知A 、B 、C 三点共线,且A(3,-6),B(-5,2),若C 点的横坐标为6,则C 点的纵坐标为（ ）A.-2B.9C.-9D.136.若A(2,3),B(x,4),C(3,y),且AB =2AC ,则x=_______,y=________.7.已知ABCD 中,=(3,7), =(-2,1),则的坐标(O 为对角线的交点)为_________.8.向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k 为何值时,A 、B 、C 三点共线?9.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若=+λ(λ∈R ),试问:当λ为何值时,点P 在第一与第三象限的角平分线上?当λ在什么范围内取值时,点P 在第三象限内?10.如图6所示,已知△AOB 中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),=41,=21,AD 与BC 相交于点M,求点M 的坐标.图611.已知四边形ABCD 是正方形,BE ∥AC,AC=CE,EC 的延长线交BA 的延长线于点F,求证:AF=AE.参考答案:1.B2.B3.D4.C5.C6.427 7.(-21,-4) 8.∵=(k,12), =(4,5),=(10,k)， ∴=-=(4-k,-7), =-=(6,k-5). ∵∥,∴(4-k)(k-5)+7×6=0.∴k 2-9k-22=0.解得k=11或k=-2.9.∵=(3,1), =(5,7), ∴+λ=(3+5λ,1+7λ),而=+λ(已知), ∴OP =OA +=(2,3)+(3+5λ,1+7λ)=(5+5λ,4+7λ).(1)若点P 在第一与第三象限的角平分线上,则5+5λ=4+7λ⇒λ=21; (2)若点P 在第三象限内,则)1,(074055--∞∈⇒⎩⎨⎧<+<+λλλ 10.∵=41=41(0,5)=(0,45),∴C(0,45). ∵OD =21OB =21(4,3)=(2,23),∴D(2,23). 设M(x,y),则AM =(x,y-5),AD =(2-0,23-5)=(2,27-).∵AM ∥AD ,∴27-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.① 又CM =(x,y-45),=(4,47), ∵CM ∥CB ,∴47x-4(y 45-)=0,即7x-16y=-20.② 联立①②,解得x=712,y=2，故点M 的坐标为(712,2). 11.证明:建立如图7所示的直角坐标系,为了研究方便,不妨设正方形ABCD 的边长为1,则B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(x,y),这里y>0,于是=(1,1),=(x-1,y).图7 ∵AC ∥BE ,∴1×y-(x--1.①∵AC=OC=CE(已知),∴CE 2=OC 2⇒(x-1)2+(y-1)2=2.②由y>0,联立①②,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=,231,233y x 即E(231,233++). AE=OE=13)231()233(22+=+++ 设F(t,0),则=(1-t,1),=().231,231(+-+). ∵F 、C 、E 三点共线,∴∥.∴(1-t)×231231+-+-×1=0,即t=-1-3. ∴AF=OF=1+3.∴AF=AE.(设计者：房增凤)。

高中数学必修4教案6篇教学目标1、把握平面对量的数量积及其几何意义；2、把握平面对量数量积的重要性质及运算律；3、了解用平面对量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4、把握向量垂直的条件。

教学重难点教学重点：平面对量的数量积定义教学难点：平面对量数量积的定义及运算律的理解和平面对量数量积的应用教学工具投影仪教学过程一、复习引入：1、向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ五，课堂小结（1）请学生回忆本节课所学过的学问内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向教师提出。

（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？六、课后作业P107习题2.4A组2、7题课后小结（1）请学生回忆本节课所学过的学问内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向教师提出。

（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？课后习题作业P107习题2.4A组2、7题高中数学必修4优秀教案篇二教学预备教学目标一、学问与技能（1）理解并把握弧度制的定义；(2)领悟弧度制定义的合理性；(3)把握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；(4)娴熟地进展角度制与弧度制的换算；(5)角的集合与实数集之间建立的一一对应关系。

(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并熟悉到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系。

二、过程与方法创设情境，引入弧度制度量角的大小，通过探究理解并把握弧度制的定义，领悟定义的合理性。

依据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式。

以详细的实例学习角度制与弧度制的互化，能正确使用计算器。

三、情态与价值通过本节的学习，使同学们把握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并熟悉到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系。

《向量共线的条件与轴上向量坐标运算》◆教材分析本节课主要是学习向量共线的条件和轴上向量坐标的运算和应用，前面已经学习了向量的概念、加减法、数乘向量等方面的内容，为这节的学习打下了基础，本节起到了承上启下的作用，也为后面的学习打下了基础，我们开始通过几何去解决简单的向量问题。

◆教学目标【知识与能力目标】（1）掌握平行向量基本定理；（2）掌握轴上向量的坐标及其运算。

【过程与方法能力目标】（1）借助几何直观引导学生理解平面向量基本定理和轴上向量的坐标运算；（2）通过解题实践，体会平行向量基本定理的应用。

【情感态度价值观目标】通过本节课的学习，使学生体会到向量的深刻和几何背景，激发学生的学习兴趣。

通过 【教学重点】平面向量基本定理。

【教学难点】平面向量基本定理的应用。

多媒体课件。

一、新课导入向量共线的条件：在学习向量概念的时候，我们已经定义了什么是向量共线(即平行)。

而我们要知道向量的共线和平行是同一个含义，它与直线的平行、重合不同，两个向量的基线是同一条直线或两条平行直线时，向量都称为共线(或平行)向量。

二、探求新知共线（或平行）向量的表示方式是a ⃗//b⃗⃗。

由于零向量的方向不定，所以可以把零向量认为成和任一向量平行的向量。

平面向量的基本定理如果a ⃗=λb ⃗⃗，则a ⃗ // b ⃗⃗； 反之，如果a ⃗ // b⃗⃗ ，且b ⃗⃗ ≠ 0⃗⃗ ， 则存在唯一一个实数λ，使得a ⃗ =λ b⃗⃗ 。

这样我们给出的这个平行向量的基本定理，根据它就可以判断两个向量是否共线了，实际上， 给出的这种判断方法是一种代数的判断方法， 后面在学习了坐标后我们在判断是否共线时也是根据这种方法来判断的。

单位向量给定一个非零向量a ⃗，与a ⃗同方向且长度等于1的向量，叫做向量a ⃗的单位向量。

如果a ⃗的单位向量记作a 。

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 由数乘向量的定义可知: a ⃗ =| a ⃗ |· a 。

江苏省常州市西夏墅中学高中数学 2.2.4 向量共线定理教案 新人教版必修4教学目标：1．理解两个向量共线的含义，并能运用它们证明简单的几何问题；2．培养学生在学习向量共线定理的过程中能够相互合作,在不断探求新知识中，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.教学重点：共线向量定理的应用.教学难点：共线向量定理的应用.教学方法：问题探究式学习.教学过程：一、问题情境问题1 上一节中蚂蚁自西向东3秒钟的位移对应的向量为3a ，记b ＝3a ，b 与a 共线吗？a（给出线性表示：如果b λ=a (a ≠0)，则称向量b 可以用非零向量a 线性表示）二、学生活动问题2 对于向量a 和b ，如果有一个实数λ，使得b λ=a ，那么a 与b 共线吗？（可以引导学生从λ的不同取值来探讨）（若有向量a 和b ，实数λ，使b λ=a ，则由实数与向量积的定义知：a 与b 为共线向量）问题3 如果向量a 和b 共线，是否存在一个实数λ，使b λ=a ？（若a ≠0，a 与b 共线且|b |:|a |μ=，则当a 与b 同向时b μ=a ；当a 与b 反向时bμa ，从而向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b λ=a .）三、构建教学1．整理归纳向量共线定理．如果有一个实数λ，使b λ=a (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b λ= a.2．对定理的理解与证明问题4 为什么要求a 是非零的？b 可以为0吗？若a ＝0，则a , b 总共线，而b ≠0时，则不存在实数λ，使b λ=a 成立；而b ＝ a ＝0时，不管λ取什么值，b λ=a 总成立，λ不唯一.问题5：结合问题2，3的探求，能不能完善定理证明（可以让学生大胆尝试证明，对证明的程序和方法老师要及时给予指导）？四、教学运用1. 例题.例1 如图，E D ,分别为ABC ∆的边AB和AC 中点，求证：→--BC 与→--DE 共线，并将→--DE 用→--BC 线性表示.例2 判断下列各题中的向量是否共线：（1）a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2； （2）a ＝ e 1＋e 2，b ＝2 e 1－2 e 2，且1e ，2e 共线．例3 如图2－2－11，ABC ∆中，C 为直线AB 上一点，−→−AC λ=)1(-≠−→−λCB 求证：λλ++=−→−−→−−→−1OB OA OC . 例题提高：上例所证的结论λλ++=−→−−→−−→−1OB OA OC 表明：起点为O ，终点为直线AB 上一点C 的向量−→−OC 可以用,−→−OA −→−OB 表示，那么两个不共线的向量,−→−OA −→−OB 可以表示平面内任一向量吗？2．练习．（1）已知向量a ＝2e 1－2e 2，b ＝－3（e 2－e 1），求证：a 与b 是共线向量．（2）已知4MP =e 12+e 2 ,2PQ =e 1＋e 2，求证：M ，P ，Q 三点共线．（3）如图，在△ABC中，12CD AEDA EB==，记,BC a CA b==，求证：13DE =（b－a）．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容:1．两个向量共线的含义；2．两个向量共线（平行）的充要条件；3．能判断两个向量共线.。

高一数学必修四教案优秀10篇高一数学必修四教案篇一教学准备教学目标o了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量·o通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别·o通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力· 教学重难点教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量·教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系·教学过程（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。

（二）（教材P74面的四个图制作成幻灯片）请同学阅读课本后回答：（7个问题一次出现）1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？课后小结1、描述向量的两个指标：模和方向·2、平面向量的概念和向量的几何表示；3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。

反思教学方式及能力培养篇二为了强调学生的主体性，把时间还给学生，有的教师上课便叫学生自己看书，教师指导性差、没有提示和具体要求，看得如何没有检查也没有反馈等等。

一些课堂上教师片面追求小组合作这一学习形式，对小组合作学习的目的、时机及过程没有进行认真设计。

这些学习方式，学生表面上获得了自主的权利，可实际上并没有做到真正的自主。

课堂教学是开展反思性学习的主渠道。

在课堂教学中要有意识的引导学生从多方位、多角度进行反思性的学习；要引导学生自然地合理地提出问题、自然地合理地解决问题、自然地合理地拓展问题，从而提高逻辑思维能力和解决问题的能力。