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也谈平面封闭图形中圆的面积最大平面等周问题：在周长相等的平面封闭图形中，圆的面积最大。
等周问题在自然界和我们的生活中随处可见，我们有必要把这个问题的来龙去脉搞清楚。
一、教材中几个与面积有关的问题在人教版数学教材的不同的章节中给出了下列一些问题。
问题1：已知正方形A、矩形B、圆C的面积均为628cm2，其中矩形B的长是宽的2倍，如果π取3.14，试比较它们的周长LA、LB、LC的大小。
解完本题后，你能得到什么启示?问题2：用48m长的篱笆在空地上围成一个绿化场地，现有几种设计方案，正三角形、正方形、正六边形、圆，哪种场地的面积最大（可以利用计算器计算）?问题3：分别用定长为L的线段围成矩形和圆，哪种图形的面积最大?为什么?对于问题1，我们通过计算可以得出这样的结论：在周长相等的情况下，圆的面积>正方形的面积>矩形的面积。
对于问题2，通过计算不难得出：在周长相同的情况下，圆的面积>正六边形的面积>正方形的面积>正三角形的面积。
对于问题3，我们建立二次函数模型，利用函数的性质不难得出：周长为L的圆的面积>周长为L的矩形的面积。
无疑，在解决这些问题的过程，学生基本上认识到：在周长一定所有的平面封闭图形中，圆的面积最大。
上述问题被称为平面等周问题。
二、生活中的平面等周问题平面等周问题的另外一种说法是：在面积相同的平面封闭图形中，圆的周长最小。
等周问题是说在平面图形中，周长一定的形状，以圆的面积为最大，因此圆可以说是“最经济”的图形。
这也就是为什么自然界中的许多东西都呈圆形的缘故。
如向日葵的种子排满了盘的的表面，这些种子“撑”出了一个圆形；植物的茎干的横截面、水管的横截面、树木的年轮、硬币、徽章等都是利用了“最经济”这一特性。
三、前人对平面等周问题的探索同三阶幻方类似，等周问题有着悠久的历史，它的历史甚至可以追溯到希腊以前的时代，并且它们的起源同样是具有神秘色彩的传说。
根据Coolidge的考证，古希腊数学家Zenodorus在公元前二世纪就研究过这类问题，他的研究成果在5个世纪后由Pappus 祥述并加以推广。
几何中的最值问题在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
最值问题的解决方法通常有两种：（1）应用几何性质：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长。
⑵运用代数证法：①运用配方法求二次三项式的最值；②运用一元二次方程根的判别式。
例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。
变式1：A、B两点分别在直线L的两侧，在直线L上取一点P使P A－PB最大。
ALB例2、如图所示，△ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC为边的△BCP是等边三角形，求AP的最大值、最小值。
A'例3、已知：如图⊙O1与⊙O2相交于C、D,A是⊙O1上一点，直线AD交⊙O2于点B。
⑴当点A在弧CAD上运动到A’点时，作直线A’D交⊙O2于点B’，连结A’C、B’C。
证明：△A’B’C ∽△ABC。
(2)问点A’在弧CAD上什么位置时，S△A’B’C最大，说明理由。
（3）当O1 O2＝11，CD＝9时，求S△A’B’C的最大值。
BB图1 图2例4、已知：如图△ABC是一块锐角三角形余料，边长BC＝120mm，高AD＝80mm,要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设矩形的长QM＝y mm ，宽MN＝x mm（1）求证：y=120- x(2)当x与y分别取什么值时，矩形PQMN的面积最大？最大面积是多少？。
也谈平面封闭图形中圆的面积最大作者：关丙国来源：《读写算》2012年第39期内容摘要：等周问题在自然界和我们的生活中随处可见，对于这些司空见惯的现象，从教材、课堂到生活，前人的思考和我们的深入研究，都会给我们一定的启发。
可以暂时地、适当放弃数学的严格，考虑学生的可接受性，从而拓展学生的视野。
关键词:：平面封闭图形圆面积平面等周问题：在周长相等的平面封闭图形中，圆的面积最大。
等周问题在自然界和我们的生活中随处可见，我们有必要把这个问题的来龙去脉搞清楚。
一、教材中几个与面积有关的问题在人教版数学教材的不同的章节中给出了下列一些问题。
问题1：已知正方形A、矩形B、圆C的面积均为628cm2，其中矩形B的长是宽的2倍，如果π取3.14，试比较它们的周长LA、LB、LC的大小。
解完本题后，你能得到什么启示?问题2：用48m长的篱笆在空地上围成一个绿化场地，现有几种设计方案，正三角形、正方形、正六边形、圆，哪种场地的面积最大（可以利用计算器计算）?问题3：分别用定长为L的线段围成矩形和圆，哪种图形的面积最大?为什么?对于问题1，我们通过计算可以得出这样的结论：在周长相等的情况下，圆的面积>正方形的面积>矩形的面积。
对于问题2，通过计算不难得出：在周长相同的情况下，圆的面积>正六边形的面积>正方形的面积>正三角形的面积。
对于问题3，我们建立二次函数模型，利用函数的性质不难得出：周长为L的圆的面积>周长为L的矩形的面积。
无疑，在解决这些问题的过程，学生基本上认识到：在周长一定所有的平面封闭图形中，圆的面积最大。
上述问题被称为平面等周问题。
二、生活中的平面等周问题平面等周问题的另外一种说法是：在面积相同的平面封闭图形中，圆的周长最小。
等周问题是说在平面图形中，周长一定的形状，以圆的面积为最大，因此圆可以说是“最经济”的图形。
这也就是为什么自然界中的许多东西都呈圆形的缘故。
如向日葵的种子排满了盘的的表面，这些种子“撑”出了一个圆形；植物的茎干的横截面、水管的横截面、树木的年轮、硬币、徽章等都是利用了“最经济”这一特性。
探求最大值的七种方法求最值是近年中考的热点考题之一，有的是几何图形面积的最值，有的是线段长度的最值，有的是函数的最值，下面就结合考题介绍求解这些问题最大值的求解方法，供学习时借鉴. 方法1：定圆中，利用直径是最大的弦，确定三角形面积的最大值例1）如图 1，已知直线334y x=-与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA，PB.则△PAB面积的最大值是（）A. 8B. 12 C . 212D.172分析：要想使得三角形的面积最大，在底边不变的前提下，确保底上的高最大，根据圆中最大的弦是直径，只要确保高是经过圆心的一条直径，问题就得解.解：如图1，要使得三角形PAB的面积最大，需要三角形的高最大，根据圆的性质，直径最大，所以三角形的高一定要经过定圆的圆心，所以过点C作CD⊥AB，垂足为D，因为已知直线y=34x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，所以点A的坐标为（4,0），点B的坐标为（0，-3），所以OA=4，OB=3，因为点C（0,1），所以BC=4.在直角三角形AOB中，根据勾股定理，得AB=5.因为∠CBD=∠ABO,∠CDB=∠AOB=90°，所以△CBD∽△ABO，所以BC CD AB AO ,所以454CD，所以CD=165,所以PD=PC+CD=1+165=215，所以三角形PAB的面积为：12×5×215=212.所以选C.方法2：直角三角形中，利用斜边最长，确定线段长度的最大值例2如图2，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为．分析：连接AN就构造出三角形中位线定理的使用条件，由于点D是个定点，所以点N运动到点B位置时，DN达到最大长度，因为直角三角形中斜边最长，只要利用条件求出DB的长度，就可以求得EF的最大长度了.解：如图2，连接DN,DB，因为∠A=90°，AB=3，AD=3，所以DB=6，因为点E，F分别为DM，MN的中点，所以EF=12DN,且DN≤DB，所以当DN=DB时，EF取的最大值，此时EF=3.方法3：一次函数中，利用函数的增减性，确定利润最大的方案例3 我县农业结构调整取得了巨大成功，今年水果又喜获丰收，某乡组织30辆汽车装运A、B、C三种水果共64吨到外地销售，规定每辆汽车只装运一种水果，且必须装满；又装运每种水果的汽车不少于4辆；同时，装运的B种水果的重量不超过装运的A、C两种水果重量之和．（1）设用x辆汽车装运A种水果，用y辆汽车装运B种水果，根据下表提供的信息，求y与x之间的函数关系式并写出自变量的取值范围．水果品种 A B C每辆汽车运装量（吨） 2.2 2.1 2每吨水果获利（百元） 6 8 5（2）设此次外销活动的利润为Q（万元），求Q与x之间的函数关系式，请你提出一个获得最大利润时的车辆分配方案．分析：装运C种水果的汽车辆数为：30-x-y，这是解决第一问的关键要素，其次，要明确总利润=A种水果吨获利×A种水果吨数+B种水果吨获利×B种水果吨数+C种水果吨获利×C种水果吨数.要注意单位的换算，这个细节，不要在这个环节上失分.解：（1）因为用x辆汽车装运A种水果，用y辆汽车装运B种水果，所以装运C种水果的汽车辆数为：30-x-y，由题得到：2.2×x+2.1×y+2×（30－x－y）=64 ，整理得： y = －2x+40，因为装运每种水果的汽车不少于4辆；所以x≥4，y≥4，30－x－y≥4，整理，得到：14≤x≤18；（2）因为A 种水果每吨获利6百元， B 种水果每吨获利8百元，C 种水果每吨获利5百元， 所以共获利为：Q=6x+8y+5（30－x －y ）=－5x+170，因为k=-50，所以Q 随着x 的增大而减小，又因为14≤x ≤18，所以当x=14时，Q 取得最大值，即Q= －5x+170=100（百元）=1万元. 因此当x=14时，y = －2x+40=12， 30－x －y=4,所以应这样安排：A 种水果用14辆车，B 种水果用12辆车，C 种水果用4辆车利润最大.方法4：坐标系中，利用三角形三边关系定理，确定三点共线时线段的最大值例4 如图3，A,B 分别在y 轴和x 轴上,AB=4,AC=2,∠BAC=90°,点B 动，点A 就随着动,求线段OC 最大值.分析：由于AB 是定长，取斜边AB 的中点D ，所以不论如何运动，斜边上的中线OD 是定长，这样点O,C,D 构成一个三角形，根据三角形的三边关系定理，知道OC ＜OD+DC ，只有点O,D,C 三点共线时OC 最长，这样问题就获得求解.解：取AB 中点D,连接OD,CD ，在三角形OAB 中,∠AOB=90°,AD=DB,有OD=12AB=2. 在三角形ACD 中, ∠BAC=90°,AC=2,AD=12AB=2,所以2在三角形CDO 中， 根据三角形的三边关系定理可知,OD+CD ＞OC(当O 、C 、D 在一条直线上时等号成立） 所以,OC ≤2即OC 的最大值是2方法5：几何图形中，构造二次函数法，确定图形侧面积的最大值例5如图4，有一块边长为6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ）32cm 3322cm 9322cm 27322cm 分析：如图4，由等边三角形的性质可以得出∠A=∠B=∠C=60°，由三个筝形全等就可以得出AD=BE=BF=CG=CH=AK ，根据折叠后是一个三棱柱就可以得出DO=PE=PF=QG=QH=OK ，四边形ODEP 、四边形PFGQ 、四边形QHKO 为矩形，且全等．连结AO 证明△AOD ≌△AOK 就可以得出∠OAD=∠OAK=30°，设OD=x ，则AO=2x ，由勾股定理就可以求出AD=3x ，由矩形的面积公式就可以表示纸盒的侧面积，由二次函数的性质就可以求出结论．解：因为△ABC 为等边三角形，所以∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC ．因为筝形ADOK ≌筝形BEPF ≌筝形AGQH ，所以AD=BE=BF=CG=CH=AK ．因为折叠后是一个三棱柱，所以DO=PE=PF=QG=QH=OK ，四边形ODEP 、四边形PFGQ 、四边形QHKO 都为矩形．所以∠ADO=∠AKO=90°．连结AO ，在Rt △AOD 和Rt △AOK 中，AO AO DO KO ，所以Rt △AOD ≌Rt △AOK （HL ）．所以∠OAD=∠OAK=30°．设OD=x ，则AO=2x ，由勾股定理就可以求出3x ，所以DE=6﹣23x ，所以纸盒侧面积=3x （6﹣23x ）=﹣632x +18x=﹣63232()x +932，所以当x=32时，纸盒侧面积最大为． 所以选C ．方法6：抛物线上根据直线与定直线平行，且与抛物线只有1交点时距离最大，求三角形最大面积时点的坐标例6 如图5， 在平面直角坐标系中，二次函数y=a 2x +bx+2的图象与x 轴交于A （-3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个二次函数的解析式； （2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.。
26.3.2 几何图形面积最值问题【同步测试】一．选择题（共2小题）1．用长40m的篱笆围成一个矩形菜园，则围成的菜园的最大面积为（）A．400m2B．300m2C．200m2D．100m2【答案】D【解析】解：设矩形的面积为S平方米，长为xm，由题意，得S＝x（20﹣x），s最大＝100．故选：D．【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，抛物线的顶点式的运用，矩形的面积公式，解答时求出矩形的面积表达式是关键．2．如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为40米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB为x米，面积为S平方米，要使矩形ABCD面积最大，则x的长为（）A．10米B．15米C．20米D．25米【答案】A【解析】解：设矩形ABCD的边AB为x米，则宽为（40﹣2x）米，S＝（40﹣2x）x＝﹣2x2+40x．要使矩形ABCD面积最大，则x10米，即x的长为10米．故选：A．【点睛】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y＝﹣x2﹣2x+5，y＝3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．二．填空题（共3小题）3．如图，用长20m的篱笆，一面靠墙（墙足够长）围成一个长方形的园子，最大面积是________m2．【答案】50m2【解析】解：设与墙平行的一边长为xm，则另一面为，其面积x x2﹣10x，∴最大面积为50即最大面积是50m2．【点睛】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y＝﹣x2﹣2x+5，y＝3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．4．周长为13cm的矩形铁板上剪去一个等边三角形（这个等边三角形的一边是矩形的宽），则矩形宽为_____cm，长为____cm时，剩下的面积最大，这个最大面积是_________．【答案】见解析经整理，得：y x2x，当x4时，y取得最大值，y最大（4），此时长为（）．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是求最值问题．5．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以1cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积为最大时，运动时间t为______s．【答案】2∵由以上函数图象知∴当t＝2时，△PBQ的面积最大为4cm2．【点睛】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y＝﹣x2﹣2x+5，y＝3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．三．解答题（共3小题）6．一养鸡专业户计划用长116m的竹篱笆靠墙（如图）围成一个长方形鸡舍，怎样设计才能使围成的长方形鸡舍的面积最大？最大面积为多少？【答案】见解析【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD．设BC＝xm，则AB＝CD（116﹣x）m，矩形的面积为S．由题意，得S＝x•x2+58x（x﹣58）2+1682．∴当x＝58m时，S最大＝1682m2．【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，矩形的面积公式的运用，二次函数的解析式的顶点式的运用．解答时求出S与x之间的关系式是关键．7．如图等腰梯形ABCD中，AB＝4，CD＝9，∠C＝60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中以个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动（1）求AD的长；（2）设CD＝x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大？并求出最大值．【答案】见解析【解析】解：（1）如图1在Rt△ADE中，AD2＝5；（2）如图1∵CP＝x，h为PD边上的高，依题意，△PDQ的面积S可表示为：（x）2．（0≤x≤5）∴a0，∴当x时（满足0≤x≤5），S最大值．学科&网【点睛】本题考查了学生的分析作图能力和考查学生综合运用平行线、等腰梯形、等边三角形、菱形、二次函数等知识．这里设计了一个开放的、动态的数学情境，为学生灵活运用基础知识、分析问题、解决问题留下了广阔的探索、创新的思维空间．8．如图等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙，另三边用长为40m的铁栏围成，设AB的长为xm，该花圃的面积为Sm2（1）求出底边BC的长．（用含x的代数式表示）（2）若∠BAD＝60°，求S与x之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若墙长为24m，试求S的最大值．【答案】见解析【解析】解：（1）∵AB＝CD＝x米，∴BC＝40﹣AB﹣CD＝（40﹣2x）米．（2）如图，过点B、C分别作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，在Rt△ABE中，AB＝x，∠BAE＝60°∴AE x，BE x，∴S（40﹣2x+40﹣x）•x x（80﹣3x）（0＜x＜20），当S＝93时，，解得：x1＝6，x2＝20（舍去）．∴x＝6（3）由题意，得40﹣x≤24，解得x≥16，结合（2）得16≤x＜20．由（2），S∵a∴函数图象为开口向下的抛物线的一段（附函数图象草图如左）．其对称轴为x，∵16，由左图可知，当16≤x＜20时，S随x的增大而减小，∴当x＝16时，S取得最大值，此时S最大值162+2016＝128m2．【点睛】本题考查了二次函数的性质的运用，等腰梯形的性质的运用．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查二次函数的运用，运算较复杂，难度偏难．。
面积的知识面积是几何学中的一个重要概念，它是指平面图形所占据的空间大小。
面积的计算与图形的形状有关，不同形状的图形计算面积的方法也不一样。
下面将介绍常见几何图形的面积计算方法。
1. 矩形的面积矩形的面积计算非常简单，只需要将矩形的长度与宽度相乘即可。
即面积 = 长× 宽例如，一个长为6cm，宽为4cm的矩形的面积为：面积= 6 × 4 = 24cm²2. 正方形的面积正方形是一种特殊的矩形，它的四条边长度相等。
因此，正方形的面积计算方法与矩形相同，即面积 = 边长²例如，一个边长为5cm的正方形的面积为：面积= 5² = 25cm²3. 三角形的面积三角形的面积计算相对于矩形和正方形稍微复杂一些。
我们可以通过将三角形分成两个直角三角形来计算其面积，具体方法如下：假设三角形的底边长度为b，高为h。
则三角形可以分成两个直角三角形，它们的面积分别为：面积1 = 底边× 高÷ 2面积2 = 底边× 高÷ 2因此，三角形的面积可以表示为：面积 = 面积1 + 面积2 = 底边× 高÷ 2例如，一个底边长为6cm，高为8cm的三角形的面积为：面积= 6 × 8 ÷ 2 = 24cm²4. 梯形的面积梯形是一种四边形，它的两条平行边分别为上底和下底，中间的两条边分别为斜边和高。
梯形的面积计算方法如下：假设梯形的上底为a，下底为b，高为h。
则梯形可以分成一个上底为a、下底为b、高为h的小梯形和一个上底为b、下底为a、高为h的小梯形。
它们的面积分别为：面积1 = (上底 + 下底) × 高÷ 2面积2 = (上底 + 下底) × 高÷ 2因此，梯形的面积可以表示为：面积 = 面积1 + 面积2 = (上底 + 下底) × 高÷ 2例如，一个上底长为5cm，下底长为9cm，高为6cm的梯形的面积为：面积= (5 + 9) × 6 ÷ 2 = 42cm²5. 圆的面积圆是一种没有边界的几何图形，它的面积计算方法有些特殊。
初中几何中的最值问题主要涉及到求解图形的最大值或最小值，以下是一些常见的几何最值问题的归纳：
1.矩形最大面积：给定一定的周长，求解能够构成的矩形中面积最大的情况。
这个
问题可以通过对矩形的边长关系进行分析和求导来解决。
2.三角形最大面积：给定一条固定的边长和该边对应的高，求解能够构成的三角形
中面积最大的情况。
通常使用面积公式和高度相关的关系进行求解。
3.圆内接多边形最大面积：给定一个圆，求解能够内接于该圆的正多边形中面积最
大的情况。
通过分析正多边形的边长和面积的关系，可以求解最值。
4.直线与曲线的最短距离：给定一条直线和一条曲线，求解离直线最近的曲线上的
点。
这个问题可以通过计算点到直线的距离并求最小值来解决。
5.圆与线段的最大面积：给定一条线段，求解能够与该线段构成的圆中面积最大的
情况。
这个问题可以通过计算圆的面积与半径的关系进行求解。
这些是初中几何中常见的最值问题的归纳，每个问题都有不同的解题方法和技巧。
在解决这些问题时，需要灵活运用几何知识和数学推理，结合具体的题目条件进行分析和求解。
坐标系中的面积公式在数学中，坐标系是一个用来描述几何图形位置的系统。
在二维空间中，我们通常使用笛卡尔坐标系来描述点的位置。
通过坐标系，我们可以计算图形的面积，为此我们需要了解一些重要的面积公式。
矩形的面积公式矩形是最简单的几何形状之一，在坐标系中描述一个矩形通常需要知道两个对角顶点的坐标。
假设矩形的两个对角顶点分别为(x1,y1)和(x2,y2)，那么矩形的面积可以通过以下公式进行计算：$S = |x_2 - x_1| \\times |y_2 - y_1|$这个公式实际上就是矩形的长乘以宽，即底边长度乘以高。
三角形的面积公式三角形是另一种常见的几何形状，用坐标系描述三角形时，通常需要知道三个顶点的坐标。
假设三角形的三个顶点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)和(x3,y3)，那么可以使用以下公式计算三角形的面积：$S = \\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$这个公式实际上是三角形三个点与坐标轴围成的三个小三角形面积之和的绝对值。
圆的面积公式圆是一个特殊的几何形状，用半径来描述圆。
在坐标系中，圆的已知条件通常为圆心坐标(ℎ,k)和半径r，那么圆的面积可以通过以下公式计算：$S = \\pi r^2$这个公式实际上是根据圆的半径计算圆的面积，其中 $\\pi$ 是一个常数，约等于3.14159。
结语在坐标系中，各种几何形状的面积公式可以帮助我们计算这些形状的大小。
通过学习和掌握这些公式，我们可以更方便地计算各种图形的面积，从而更深入地理解几何学的知识。
希望本文的内容能对你有所帮助！。
动点产生的几何最值问题大全
动点产生的几何最值问题是数学中一类比较有挑战性的问题，通常涉及到几何图形中的动点以及与之相关的最值情况。
以下是一些常见的动点产生的几何最值问题类型：
1. 最短路径问题：在给定的几何图形中，寻找动点到某个点或线段的最短路径。
这可以涉及到直线、圆、多边形等图形。
2. 最大面积问题：确定动点在几何图形中移动时，如何使形成的图形面积最大。
例如，求动点构成的三角形、矩形等的最大面积。
3. 最长线段问题：找到在特定条件下，动点所形成的最长线段。
4. 最短时间问题：考虑动点在移动过程中，如何以最短时间到达目标点。
5. 最优位置问题：确定动点在几何图形中的最优位置，使得某个目标函数达到最大或最小值。
6. 角度最值问题：探究动点在运动过程中，相关角度的最大或最小值。
7. 对称问题：利用对称性质来解决与动点相关的最值问题。
这些只是一些常见的类型，实际问题可能更加复杂和多样化。
解决动点产生的几何最值问题通常需要结合几何学的知识、定理和方法，以及对运动轨迹和约束条件的分析。
具体的解决方法会根据问题的具体情况而有所不同。
九年级数学科教案备课序号：第 7 节是多少？问题3 当自变量x 限定范围时，二次函数2y ax bx c =++的最值如何确定？试一试 根据探究得出的结论，解决引例的问题：典例精析例1 求下列函数的最大值与最小值.(1) 232(31)y x x x =+--≤≤ (2) 2121(31)5y x x x =--+-≤≤ 方法归纳：当自变量的范围有限制时，二次函数2y ax bx c =++的最值可以根据以下步骤来确定：1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴；2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x 的取值范围；3.判断，判断x 的取值范围与对称轴的位置关系，根据二次函数的性质和图象，确定当x 取何值时函数有最大或最小值，然后根据x 的值，求出函数的最值.探究点2：二次函数与几何图形面积的最值例2 用总长为60米的篱笆围成矩形场地，矩形面积S(平方米)随矩形一边长l(米)的变化而变化.当l 是多少米时，场地的面积S 最大？(1) 矩形面积公式是什么？(2) 如何用l 表示其邻边的长？(3) 面积S 的函数关系式是什么？(4) 当l 是多少米时，场地的面积S 最大？变式题如图，用一段长为60m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园.(1)当墙长32m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？分析：设垂直于墙的边长为x m ，则平行于墙的边长为________m. 矩形菜园的面积S=____________.想一想 如何求解自变量x 的取值范围？墙长32m 对此题有什么作用？解决问题：当这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？(2)当墙长18 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？问题1 与(1)有什么区别？试一试 在(2)中，求自变量的取值范围.问题2 当21≤ x ＜30时，S 的值随x 的增大如何变化？当x 取何值时，S 取得最大值？注意：实际问题中求解二次函数最值问题时，需要结合自变量的取值范围，不一定都是在顶点处取得最值.例3 用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？(铝合金型材宽度不计)要点归纳：二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内.三、课堂小结四、作业必做：教科书52页第4题选做：教科书52页第5题 几何面积最值问题一个关键 依据常见几何图形的面积公式建立函数关系式 一个注意 最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定。
周长相等圆的面积最大证明针对小学生：《神奇的圆：为什么周长相等它面积最大》小朋友们，今天咱们来玩一个有趣的数学游戏。
想象一下，有一根长长的绳子，我们用它来围图形。
如果围成长方形，就像咱们的黑板，长长的，宽宽的。
但是如果我们把这根绳子围成正方形，是不是就变得更规整啦？那如果我们把这根绳子围成一个圆呢？这可就神奇啦！比如说，这根绳子长 12 厘米。
如果围成正方形，边长就是 3 厘米，面积就是 9 平方厘米。
要是围成长方形，可能长是 4 厘米，宽是 2 厘米，面积就是 8 平方厘米。
但是如果围成圆呢，经过计算，面积会比正方形和长方形都大！这是因为圆的形状很特别，它没有尖尖的角，每一处到中心的距离都一样。
所以当周长相等的时候，圆能占的地方最大。
小朋友们，是不是很神奇呀？《圆的秘密：周长一样，面积它最大》小朋友们，你们有没有想过，为什么在周长相等的情况下，圆的面积是最大的呢？让我来给你们讲个小故事。
有一天，小熊、小兔子和小猴子比赛，看谁用同样长的篱笆围出的地最大。
小熊围了一个长方形，小兔子围了一个正方形，小猴子围了一个圆。
小熊的长方形，长是 4 米，宽是 2 米，面积是 8 平方米。
小兔子的正方形，边长是 3 米，面积是 9 平方米。
小猴子的圆呢，经过计算，面积居然有 12 平方米多呢！这下子，小熊和小兔子都惊呆了。
这就告诉我们呀，圆可厉害啦，在周长一样的时候，它能占的地方最大。
所以小朋友们，以后看到周长相等的图形，要记住圆的面积是最大的哟！《圆，周长相等时的面积冠军》小朋友们，咱们来一起探索一个有趣的数学现象。
假设我们有一根魔法绳子，它的长度是固定的。
我们先用它围一个三角形，哎呀，三角形有尖尖的角，占的地方不大。
再用它围一个正方形，嗯，比三角形好多啦，但还是不够大。
我们把这根魔法绳子围成一个圆。
哇塞！圆占的地方一下子变得好大呀！比如说，这根绳子长 20 厘米。
围成正方形，面积大概是 25 平方厘米。
可要是围成圆，面积能有 30 多平方厘米呢！这是因为圆就像一个超级大胖子，浑身上下都很圆润，没有一点浪费的地方。
中考专题28 求几何图形面积及面积法解题的问题一、几何图形面积公式1.三角形的面积:设三角形底边长为a ，底边对应的高为h ，则面积S=ah/22.平行四边形的面积:设平行四边形的底边长为a ，高为h ，则面积S=ah3.矩形的面积:设矩形的长为a ，宽为b ，则面积S=ab4.正方形的面积:设正方形边长为a ，对角线长为b ，则面积S=222b a = 5.菱形的面积:设菱形的底边长为a ，高为h ，则面积S=ah若菱形的两条对角线长分别为m 、n ，则面积S=mn/2也就是说菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。
6.梯形的面积:设梯形的上底长为a,下底长为b ，高为h ，则面积S=(a+b)h/27.圆的面积:设圆的半径为r,则面积S=πr 28.扇形面积计算公式9．圆柱侧面积和表面积公式(1)圆柱的侧面积公式S 侧=2πrh(2)圆柱的表面积公式：S 表=2S 底+S 侧=2πr 2+2πrh2360r n s π⋅=lr s 21=或10.圆锥侧面积公式从右图中可以看出，圆锥的母线L 即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长2πr ，这样，圆锥侧面积计算公式:S 圆锥侧=S 扇形=πrL注意：有时中考专题题还经常考查圆的周长、扇形的弧长的公式的应用。
(1)圆的周长计算公式为：C=2πr(2)扇形弧长的计算公式为：(3)其他几何图形周长容易计算，不直接给出。
二、用面积法解题的理论知识1.面积方法：运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。
2.面积法解题的特点：把已知量和未知量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。
所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。
三、面积方法问题主要涉及以下两部分内容1.证明面积相等的理论依据(1)三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。
初中阶段数学最大值
方法1：定圆中，利用直径是最大的弦，确定三角形面积的最大值。
方法2：直角三角形中，利用斜边最长，确定线段长度的最大值。
方法3：一次函数中，利用函数的增减性，确定利润最大的方案。
方法4：坐标系中，利用三角形三边关系定理，确定三点共线时线段的最大值。
方法5：几何图形中，构造二次函数法，确定图形侧面积的最大值。
方法6：抛物线上根据直线与定直线平行，且与抛物线只有1交点时距离最大，求三角形最大面积时点的坐标。
方法7：根据二次函数与一元二次方程的根，利用根的判别式建立不等式，求待定字母的最大值。
实际问题与二次函数几何图形的最大面积
1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．
3．能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题．
一、情境导入
孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD.设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．
二、合作探究
探究点：最大面积问题
【类型一】利用二次函数求最大面积
小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．
(1)求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？
解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x ，则另一边长为60－2x
2，
从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．
解：(1)根据题意，得S ＝60－2x
2·x ＝－x 2＋30x .自变量x 的取值范围是0＜x ＜30.
(2)S ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2＋225，∵a ＝－1＜0，∴S 有最大值，即当x ＝15(米)时，
S 最大值＝225平方米．
方法总结：二次函数与日常生活的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．
【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件
用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡
场，设围成的矩形一边长为x 米，面积为y 平方米．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？
(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．
解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)求出y的最大值，与70比较大小，即可作出判断．
解：(1)y＝x(16－x)＝－x2＋16x(0＜x＜16)；
(2)当y＝60时，－x2＋16x＝60，解得x1＝10，x2＝6.所以当x＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；
(3)方法一：当y＝70时，－x2＋16x＝70，整理得：x2－16x＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法二：y＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64，当x＝8时，y有最大值64，即能围成的养鸡场的最大面积为64平方米，所以不能围成70平方米的养鸡场．
方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程．【类型三】最大面积方案设计
施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示)．
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
(2)求出这条抛物线的函数关系式；
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
解：(1)M(12，0)，P(6，6)．
(2)设这条抛物线的函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，因为抛物线过O (0，0)，所以a (0－6)2＋6＝0，解得，a ＝－16，所以这条抛物线的函数关系式为：y ＝－1
6
(x －6)2＋6，即y ＝－1
6
x 2＋2x .
(3)设OB ＝m 米，则点A 的坐标为(m ，－16m 2＋2m )，所以AB ＝DC ＝－1
6m 2＋2m .根据抛物线的轴对称，可得OB ＝CM ＝m ，所以BC ＝12－2m ，即AD ＝12－2m ，所以l ＝AB ＋AD ＋DC ＝－16m 2＋2m ＋12－2m －16m 2＋2m ＝－13m 2＋2m ＋12＝－1
3(m －3)2＋15.所以当m ＝3，即OB ＝3米时，三根木杆长度之和l 的最大值为15米．
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况.。
