二次函数与几何图形的最大面积问题.

二次函数内接矩形面积最大值二次函数内接矩形面积最大值是一个经典的数学问题。

这个问题不仅在数学教育中被广泛讨论，而且在实际生活中也有着重要的应用价值。

为了解决这个问题，我们需要深入理解二次函数、矩形和最大值问题的相关知识，通过数学方法和技巧来求解。

首先，我们来简单了解一下二次函数和矩形的相关知识。

二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c分别是常数，而x是自变量。

二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。

矩形是一个有四条边、四个角的闭合图形，它的对角线相等，相邻边的长度相等，对角线相交于矩形的中点。

内接矩形是指矩形的四个顶点分别在二次函数的图像上，而且被这个抛物线所包围。

接下来，我们将通过数学方法来求解二次函数内接矩形面积的最大值。

首先，我们可以列出二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c。

现在我们假设这个二次函数的图像上有一个内接矩形，设矩形的两个顶点分别为(x1, y1)和(x2, y2)。

我们知道矩形的面积可以用长度和宽度相乘来表示，即A = (x2 - x1)(y2 - y1)。

由于矩形的两个对角顶点位于二次函数的图像上，我们可以得到矩形的顶点满足y1 =ax1^2 + bx1 + c，y2 = ax2^2 + bx2 + c。

接下来，我们需要求解矩形面积的最大值。

由于矩形的面积是由两个变量x1和x2决定的，我们可以将矩形面积表示为关于x1和x2的函数，即A(x1, x2) = (x2 - x1)(ax2^2 + bx2 + c - ax1^2 - bx1 - c)。

我们需要找到这个函数的最大值点。

我们可以使用微积分的方法来求解这个问题。

首先，我们对矩形面积函数A(x1, x2)分别对x1和x2求偏导数，然后令偏导数等于零，解出最大值点的坐标。

这里需要注意的是，由于这个问题是一个约束最优化问题，我们需要引入一个约束条件来限制变量x1和x2的取值范围。

因材教育二次函数中的面积最值问题从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合．使解题具有一定难度，本文以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们在解决这类问题时参考．如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．解答(1)抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3；(2)Q(－1，2)；下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法．一、补形、割形法几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，通过对图形的这些直观处理，一般能辅助解题，使解题过程简捷、明快．此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形．方法一如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）(－3<x<0)．方法二如图4，设P 点(x ，－x 2－2x ＋3)(－3<x<0)．（下略．）二、“铅垂高，水平宽”面积法如图5，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S △ABC ＝12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．根据上述方法，本题解答如下：解如图6，作PE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点F ．设P 点（x ，－x 2－2x ＋3）（－3<x<0）．∴点P 坐标为（－32，154）三、切线法若要使△PBC 的面积最大，只需使BC 上的高最大．过点P 作BC 的平行线l ，当直线l 与抛物线有唯一交点(即点P)时，BC 上的高最大，此时△PBC 的面积最大，于是，得到下面的切线法．解如图7，直线BC 的解析式是y ＝x ＋3，过点P 作BC 的平行线l ，从而可设直线l 的解析式为：y ＝x ＋b ．＝278．四、三角函数法本题也可直接利用三角函数法求得．解如图8，作PE ⊥x 轴交于点E ，交BC 于点F ，怍PM ⊥BC 于点M ．设P 点（x ，－x 2－2x ＋3）（－3<x<0），则F(x ，x ＋3)．从以上四种解法可以看到，本题解题思路都是过点P 作辅助线，然后利用相关性质找出各元素之间的关系进行求解．如此深入挖掘一道题的多种解法，可使我们摆脱题海战术，提高解题能力．同时，善于总结一道题的多种解法能加快解题速度，提高解题效率，也有利于培养我们的钻研能力和创新精神．二次函数之面积问题（讲义）一、知识点睛1.二次函数之面积问题的处理思路①分析目标图形的点、线、图形特征；②依据特征、原则对图形进行割补、转化；③设计方案，求解、验证．面积问题的处理思路：公式、割补、转化．坐标系背景下问题处理原则：________________________，__________________________．2.二次函数之面积问题的常见模型①割补求面积——铅垂法：1()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△1()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△②转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ，若S △ABP =S △ABQ ，当P ，Q 在AB 同侧时，当P ，Q 在AB 异侧时，PQ ∥AB ．AB 平分PQ ．二、精讲精练1.如图，抛物线经过A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是直线BC上方抛物线上的点（不与B，C重合），过点M作MN∥y轴交线段BC于点N，若点M的横坐标为m，请用含m 的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接MB，MC，是否存在点M，使四边形OBMC的面积最大？若存在，求出点M的坐标及四边形OBMC的最大面积；若不存在，请说明理由．2.如图，抛物线322++-=x x y 与直线1+=x y 交于A ，C 两点，其中C点坐标为(2，t )．（1）若P 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，求△APC 面积的最大值．（2）在直线AC 下方的抛物线上，是否存在点G ，使得6AGC S =△？如果存在，求出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．3.如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A ，B 两点，与直线y x p =-+交于点A 和点C (2，-3).（1）若点M 在抛物线上，且以点M ，A ，C 以及另一点N 为顶点的平行四边形ACNM 的面积为12，求M ，N 两点的坐标．（2）在（1）的条件下，若点Q 是x 轴下方抛物线上的一动点，当△QMN 的面积最大时，请求出△QMN 的最大面积及此时点Q 的坐标．4.如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴与抛物线交于点P ，与直线BC 交于点M ，连接PB ．（1）抛物线上是否存在异于点P 的一点Q ，使△QMB 与△PMB 的面积相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）在第一象限对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ，使△RMP 与△RMB 的面积相等？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A (1，0)和点B ，与y 轴交于点C (0，-3)．（1）求抛物线的解析式．（2）如图，已知点H (0，-1)．①在x 轴下方的抛物线上是否存在点D ，使得S △ABH =S △ABD ？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．②在抛物线上是否存在点G （点G 在y 轴的左侧），使得S △GHC =S △GHA ？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】一、知识点睛充分利用横平竖直的线段长函数特征几何特征互转二、精讲精练12。

22．3 实际问题与二次函数第1课时 几何图形的最大面积1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系． 2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值． 3．能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题．一、情境导入孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD .设AB 边的长为x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米．当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．二、合作探究探究点：最大面积问题【类型一】利用二次函数求最大面积小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S (单位：平方米)随矩形一边长x (单位：米)的变化而变化．(1)求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x ，则另一边长为60－2x2，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标． 解：(1)根据题意，得S ＝60－2x 2·x ＝－x 2＋30x .自变量x 的取值范围是0＜x ＜30.(2)S ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2＋225，∵a ＝－1＜0，∴S 有最大值，即当x ＝15(米)时，S 最大值＝225平方米．方法总结：二次函数与日常生活的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x 米，面积为y平方米．(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)求出y 的最大值，与70比较大小，即可作出判断．解：(1)y ＝x (16－x )＝－x 2＋16x (0＜x ＜16)；(2)当y ＝60时，－x 2＋16x ＝60，解得x 1＝10，x 2＝6.所以当x ＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；(3)方法一：当y ＝70时，－x 2＋16x ＝70，整理得：x 2－16x ＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法二：y ＝－x 2＋16x ＝－(x －8)2＋64，当x ＝8时，y 有最大值64，即能围成的养鸡场的最大面积为64平方米，所以不能围成70平方米的养鸡场．方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程．【类型三】最大面积方案设计施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．解：(1)M (12，0)，P (6，6)．(2)设这条抛物线的函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，因为抛物线过O (0，0)，所以a (0－6)2＋6＝0，解得，a ＝－16，所以这条抛物线的函数关系式为：y ＝－16(x －6)2＋6，即y＝－16x 2＋2x .(3)设OB ＝m 米，则点A 的坐标为(m ，－16m 2＋2m )，所以AB ＝DC ＝－16m 2＋2m .根据抛物线的轴对称，可得OB ＝CM ＝m ，所以BC ＝12－2m ，即AD ＝12－2m ，所以l ＝AB ＋AD ＋DC ＝－16m 2＋2m ＋12－2m －16m 2＋2m ＝－13m 2＋2m ＋12＝－13(m －3)2＋15.所以当m ＝3，即OB ＝3米时，三根木杆长度之和l 的最大值为15米．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况.8 圆内接正多边形1．掌握正多边形和圆的关系．2．理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念．3．能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题．4．能利用尺规作一个已知圆的内接正多边形．重点掌握正多边形的概念与正多边形和圆的关系，并能进行有关计算．难点正多边形的半径、边心距及边长的计算问题转化为解直角三角形的问题．一、复习导入1．什么叫正多边形？2．正多边形是轴对称图形、中心对称图形吗？其对称轴有几条？对称中心是哪一点？3．以对称中心为圆心，以对称中心到正多边形的一个顶点的长为半径画圆，你有何发现？引导学生得出：①正多边形的顶点都在圆上；②圆经过正多边形的所有顶点．二、探究新知1．圆内接正多边形的概念定义：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形．这个圆叫做该正多边形的外接圆．(1)把一个圆n等分(n≥3 )，依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形．(2)如图，五边形 ABCDE是⊙O的内接正五边形，圆心O叫做这个正五边形的中心；OA是这个正五边形的半径；∠AOB是这个正五边形的中心角；OM⊥BC，垂足为 M，OM 是这个正五边形的边心距.2．尺规作一个已知圆的内接正多边形(1)用尺规作一个已知圆的内接正六边形．作法：①作⊙O的任意一条直径FC；②分别以F，C为圆心，以⊙O的半径R为半径作弧，与⊙O相交于点E，A和D，B，则A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点；③顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六边形ABCDEF.(2)用尺规作一个已知圆的内接正四边形． (3)思考：作正多边形有哪些方法？ 三、举例分析例 如图，在圆内接正六边形 ABCDEF 中，半径OC ＝4，OG ⊥BC ，垂足为 G ，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．(1)正六边形的中心角是多少度？(2)正六边形的中心角的一半是多少度？ (3)如何作出正六边形的边心距？(4)你能利用已知条件构造直角三角形吗？ (5)你能利用解直角三角形的知识解决问题吗？ 解：连接OD.∵六边形ABCDEF 为正六边形． ∴ ∠COD ＝360°6＝60°.∴ △COD 为等边三角形． ∴ CD ＝OC ＝4.在 Rt △COG 中，OC ＝4，CG ＝12BC ＝2，∴OG ＝2 3.∴正六边形ABCDEF 的中心角为60°，边长为4，边心距为 2 3.总结：正多边形的有关计算可转化为解直角三角形，这个直角三角形的构成是：斜边为半径，一直角边为边心距，另一直角边为边长的一半，顶点在中心的锐角为中心角的一半．四、练习巩固1．正三角形的边心距、半径和高的比是( )A ．1∶2∶3B ．1∶ 2 ∶ 3C ．1∶ 2 ∶3D ．1∶2∶ 32．已知正六边形的外接圆半径为3 cm ，那么它的周长为________cm .3．已知：如图，正三角形ABC ，求作：正三角形ABC 的外接圆和内切圆．(要求：保留作图痕迹，不写作法)五、课堂小结1．易错点：(1)求正多边形的中心角、边长和边心距；(2)用尺规作圆内接正多边形．2．归纳小结：(1)正多边形的概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形；(2)顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形．这个圆叫做该正多边形的外接圆；(3)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3．方法规律：(1)把一个圆分成几等分，连接各分点所得到的多边形是正多边形，它的中心角等于360°；边数(2)正多边形的有关计算可转化为解直角三角形，这个直角三角形的构成是：斜边为半径，一直角边为边心距，另一直角边为边长的一半，顶点在中心的锐角为中心角的一半．六、课外作业1．教材第98页“随堂练习”．2．教材第99页习题3.10第1、2、3、4、5题．本节课新概念较多，对概念的教学要注意从“形”的角度去认识和辨析，但对概念的严格定义不能要求过高．在概念教学中，要重视运用启发式教学，让学生从“形”的特征获得对几何概念的直观认识，鼓励学生用自己的语言表达有关概念，再进一步准确理解有关概念的文字表述，促进学生主动学习．所以在教学的过程中应尽量使用多媒体教学手段.22.1 比例线段第1课时相似图形1.把一矩形纸片对折,如果对折后的矩形与原矩形相似,则原矩形纸片的长与宽之比为 .2.在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点,以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.请你在如图所示的4×4的方格纸中,画出两个相似但不全等的格点三角形(要求:所画三角形为钝角三角形,标明字母,并说明理由).4.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.5.如图,测量小玻璃管口径的量具ABC,AB的长为10cm,AC被分为60等份.如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB),那么小玻璃管口径DE是多大?。

二次函数动点问题中面积最值的解法策略摘要：我国正在实施新的基础教育课程改革，《义务教育数学课程标准（２０22年版）》指出要培养学生的数学核心素养，而二次函数和几何图形的综合应用题，能充分的考查学生的数学抽象，逻辑推理，数学运算以及数学建模等综合能力。

这种类型的综合题，通常出现在中考的压轴题中，综合性强，计算强度大，具有较大的难度，在二次函数与几何图形的综合题中，求二次函数面积的最值问题比较常见，本文就此问题解法进行探讨。

关键词：二次函数与几何图形；函数动点问题；二次函数面积最值二次函数动点问题就是通过点的运动生成一种函数关系及函数图象，抛物线上点的运动与直线相结合而产生的三角形面积问题，就是将几何图形与函数图象有机地融合在一起，解决的关键是结合图形通过点坐标衔接函数、方程找到函数关系。

本文就求解二次函数面积最值的问题，浅谈几种解决此类问题的方法策略。

一、割补法在解决二次函数面积最值问题时，不规则多边形的面积往往可以通过割补法把多边形分为几个三角形或者是规则的四边形的面积来求解，当三角形中有一边是在坐标轴上，或者在以坐标轴平行的直线上，那么就可以把这一条边当作三角形的底边，第三个点到这一条边的距离，作为三角形的高，直接利用三角形的面积公式求解，或者过图形的各端点作两坐标轴的平行线，构造与轴平行的最小矩形对所要求面积的图形进行覆盖，然后所求图形的面积即为矩形面积减去多余的几个直角三角形的面积。

最终把多边形面积的最值问题，转化为求三角形面积的最值问题，这也体现了一种“化归”的思想方法。

题目1、(2019枣庄)已知抛物线y＝ax2＋x＋4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点(点B在点A右侧)，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；(2)如图①，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与B、C重合)，是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由.[思路分析]（1）由抛物线的对称轴是直线x=3，解出a的值，即可求得抛物线的表达式，再令其y值为0，解一元二次方程即可求出A和B的坐标。

二次函数与几何综合—-面积问题➢ 知识点睛1.“函数与几何综合"问题的处理原则：_________________，__________________．2.研究背景图形：①研究函数表达式．二次函数关注____________，一次函数关注__________．② ___________________________．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边长和角度信息．3．二次函数之面积问题的常见模型①割补求面积—-铅垂法： ②转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ , 若S △ABP =S △ABQ ，当P ，Q 在AB 同侧时， 当P ，Q 在AB 异侧时，PQ ∥AB ．AB 平分PQ ．➢ 例题示范例1:如图，抛物线y =ax 2+2ax —3a 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，且OA =OC ，连接AC ．(1)求抛物线的解析式．(2）若点P 是直线AC 下方抛物线上一动点,求△ACP 面积的最大值．(3）若点E 在抛物线的对称轴上,抛物线上是否存在点F ,使以A，B ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标;若不存在，请说明理由．第一问：研究背景图形【思路分析】读题标注，注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母a ，可以求解A （—3,0），B （1，0）,对称轴为直线x =-1；结合题中给出的OA =OC ,可得C （0，—3)，代入表达式,即可求得抛物线解析式． 再结合所求线段长来观察几何图形,发现△AOC 为等腰直角三角形． 【过程示范】解:（1)由223y ax ax a =+-(3)(1)a x x =+-可知(30)A -，，(10)B ，， ∵OA OC =，∴(03)C -，, 将(03)C -，代入223y ax ax a =+-， 第二问：铅垂法求面积 【思路分析】（1）整合信息，分析特征:由所求的目标入手分析,目标为S △ACP 的最大值，分析A ,C 为定点,P 为动点且P 在直线AC 下方的抛物线上运动,即-3〈x P <0； （2）设计方案：1()2APBB A S PM x x =⋅⋅-△注意到三条线段都是斜放置的线段，需要借助横平竖直的线段来表达，所以考虑利用铅垂法来表达S △ACP ．【过程示范】如图，过点P 作PQ ∥y 轴，交AC 于点Q ,易得:3AC l y x =--设点P 的横坐标为t ，则2(23)P t t t +-，, ∵PQ ∥y 轴， ∴(3)Q t t --，，∴223(23)3(30)Q P PQ y y t t t t t t =-=---+-=---<<， ∴2139()(30)222ACP C A S PQ x x t t t =⋅-=---<<△ ∵302-<， ∴抛物线开口向下,且对称轴为直线32t =-， ∴当32t =-时，ACP S △最大，为278． 第三问：平行四边形的存在性 【思路分析】 分析不变特征：以A ，B ,E ，F 为顶点的四边形中，A ,B 为定点，E ，F 为动点,定点A ，B 连接成为定线段AB ．分析形成因素： 要使这个四边形为平行四边形．首先考虑AB 在平行四边形中的作用,四个顶点用逗号隔开,位置不确定，则AB 既可以作边，也可以作对角线． 画图求解:先根据平行四边形的判定来确定EF 和AB 之间应满足的条件，再通过平移和旋转来尝试画图，确定图形后设计方案求解．①AB 作为边时,依据平行四边形的判定，需满足EF ∥AB 且EF =AB ，要找EF ，可借助平移．点E 在对称轴上，沿直线容易平移，故将线段AB 拿出来沿对称轴上下方向平移,确保点E 在对称轴上，来找抛物线上的点F ．注意:在对称轴的左、右两侧分别平移．找出点之后，设出对称轴上E 点坐标，利用平行且相等表达抛物线上F 点坐标，代入抛物线解析式求解．②AB 作为对角线时，依据平行四边形的判定，需满足AB ，EF 互相平分，先找到定线段AB 的中点,在旋转过程中找到EF 恰好被AB 中点平分的位置，因为E 和AB 中点都在抛物线对称轴上，说明EF 所在直线即为抛物线对称轴，则与抛物线的交点（抛物线顶点）即为F 点坐标．结果验证：画图或推理,根据运动范围考虑是否找全各种情形． 【过程示范】(3）①当AB 为边时，AB ∥EF 且AB =EF , 如图所示，设E 点坐标为（—1，m ),当四边形是□ABFE 时，由(30)A -，，(10)B ，可知，F 1代入抛物线解析式，可得,m =12， ∴F 1(3，12)； 当四边形是□ABEF 时,由(30)A -，，(10)B ，可知,F 2（—5，m ）可得,m =12， ∴F 2(—5，12）．②当AB 为对角线时，AB 与EF 互相平分，AB 的中点D (—1，0)，设E (—1，m )，则F （—1,—m ），代入抛物线解析式,可得,m =4， ∴F 3(—1，-4）．综上：F 1(3，12)，F 2（—5，12)，F 3(—1，—4)．精讲精练1.如图,抛物线经过A （—1，0），B （3，0),C （0，3）三点．（1)求抛物线的解析式．（2）点M 是直线BC 上方抛物线上的点（不与B ，C 重合），过点M 作MN ∥y 轴交线段BC 于点N ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示MN 的长．（3）在（2）的条件下,连接MB ，MC ，是否存在点M ，使四边形OBMC 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及四边形OBMC 的最大面积;若不存在,2.如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 在x 轴上，点C ,D在y 轴上且OB =OC =3,OA =OD =1，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过A ,B ，C 三点，直线AD 与抛物线交于另一点E ． (1）求这条抛物线的解析式；（2）若M 是直线AD 上方抛物线上的一个动点，求△AME 面积的最大值．（3)在直线AD 下方的抛物线上，是否存在点G ，使得6AEG S =△？如果存在,求出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．（4）已知点Q 在x 轴上，点P 在抛物线上,Q 的坐标．3.如图，已知抛物线y =ax 2-2ax -b （a 〉0）与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧,且点B 的坐标为(-1，0)，与y 轴的负半轴交于点C ，顶点为D ．连接AC ，CD ，∠ACD =90°． (1）求抛物线的解析式；（2）若点M 在抛物线上,且以点M ，A ，C 以及另一点N 为顶点的平行四边形ACNM 的面积为12,设M 的横坐标为m ，求m 的值．(3）已知点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上,且以A ,B ，E ,F 为顶点的四边形是平行四边形，求点F 的坐标．4.如图，抛物线254y ax ax =-+（0a <)经过△ABC 的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上,且AC =BC ．（1）求抛物线的解析式；(2)设抛物线与x 轴的另一个交点为点D ，在抛物线上是否存在异于点B 的一点Q ，使△CDQ 的面积与△CDB 的面积相等？若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由．（3）已知点F 是抛物线上的动点，点E 是直线y =—x 上的动点，且以O ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形，求点E 的横坐标．。

数学篇纵观近年来各地中考数学试题，一类以二次函数为载体，探讨图形面积的最值问题频频出现.这类试题整合了代数和几何的部分重要知识，并融合了许多数学方法，难度颇高.如何根据题目提供的信息，依据图形的变化特征，抓住解答问题的关键，从而化难为易，正确解题呢？对此，笔者介绍四种常用方法，希望能给同学们攻破难题带来帮助.一、割补法在平面直角坐标系中，当三角形任意一边均不在坐标轴上，或者不与坐标轴平行时，一般采用割补法求解.割补法分为两部分，割是指将图形分解成几部分分别求解；补是指将所求图形填上一部分，然后用补后的图形面积减去所补部分的面积.两种方法的实质都是将二次函数中图形面积的最值问题通过“转化”思想，化为“线段（和）”最值问题，间接地求出图形面积的最值.例1如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+2x -3交x 轴于点A ，B ，在y 轴上有一点E （0，1），连接AE ．（1）求直线AE 的解析式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值．图1解：（1）∵y =x 2+2x -3=(x +3)(x -1)，∴当y =0时，x 1=-3，x 2=1，∴点A 的坐标为（-3，0），设直线AE 的解析式为y =kx +b ，∵过点A （-3，0），E （0，1），∴ìíî-3k +b =0,b =1,解得：ìíîïïk =13,b =1,∴直线AE 的解析式为y =13x +1；（2）如图1，过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，延长DG 交AE 于点F ，设D (m ,m 2+2m -3)，则F (m ,13m +1)，∴DF =-m 2-2m +3+13m +1=-m 2-53m +4，∴S △ADE =S △ADF +S △DEF=12×DF ×AG +12DF ×OG =12×3×DF =32(-m 2-53m +4)=-32(m +56)2+16924，∴当m =-56时，△ADE 的面积取得最大值为16924．二、铅垂法如图2，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”(h )．我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.这种方法我们称之为铅垂法.求二次函数中三角形面积的最值，往往可以转化为求铅垂高的最值，当铅垂高取得最大值时，三角形的面积最大.二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法四川绵阳陈霖数苑纵横23数学篇例2已知：如图3，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（-2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？图3解：（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（-2，0），∴设抛物线解析式为y=a(x-6)(x+2)，将点A（0，6）代入，得：-12a=6，解得：a=-12，所以抛物线的解析式为y=-12(x-6)(x+2)=-12x2+2x+6；（2）如图3，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB解析式为y=kx+b，将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：ìíîb=6,6k+b=0,解得：ìíîk=-1,b=6,则直线AB的解析式为y=-x+6，设P(t,-12t2+2t+6)，其中0＜t＜6，则N(t,-t+6)，所以PN=PM-MN=-12t2+2t+6-(-t+6)=-12t2+3t，所以S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN⋅AG+12PN⋅BM=12PN(AG+BM)=12PN⋅OB=12×(-12t2+3t)×6=-32(t-3)2+272，所以当t=3，P位于（3，152）时，△PAB三、切线法切线法体现了数学中最为常见的数形结合思想，将三角形的一边作为三角形的底，只要求出高的最大值就可以求出面积的最值．将底边所在的直线平移，与抛物线只有一个交点，即相切时，两直线的距离即高的长度最大，然后将直线与抛物线的解析式联立方程组，求出切点的坐标，此时不用求出三角形面积的解析式就可直接运用三角形的面积公式求出最值．例3如图4，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x-4与x轴，y轴分别交于点A和点B.抛物线y=ax2+bx+c经过A，B两点，且对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴的另一交点为点C.（1）求抛物线的函数表达式；（2）设点E是抛物线上一动点，且点E在直线AB下方.当△ABE的面积最大时，求点E的坐标，及△ABE面积的最大值S.图4解：（1）在y=-x-4中分别令x=0，y=0，可得点A（-4，0），B（0，-4），根据A，B坐标及对称轴为直线x=-1，可得方程组ìíîïïïï-b2a=-1,16a-4b+c=0,c=-4,解方程组可得：ìíîïïïïa=12,b=1,c=-4,∴抛物线的函数表达式为y=12x2+x-4；（2）设点E的坐标为(m，12m2数苑纵横数学篇上且距AB 最远，此时E 点所在直线与AB 平行，且与抛物线相切，只有一个交点，设点E 所在直线为l ：y =-x +b ，联立得方程组：ìíîïïy =-x +b ,y =12x 2+x -4,消去y ，得：12x 2+2x -4-b ＝0，据题意得Δ=22-4×12(-4-b )=0，解得b =-6，∴直线l 的解析式为y =-x -6，联立方程，得ìíîïïy =-x -6,y =12x 2+x -4,解得：ìíîx =-2,y =-4,∴点E (-2,-4)，过点E 作y 轴的平行线交直线AB 于H ，此时点N （-2，-2），EN =-2-（-4）=2，∴S △ABE =12EN ×AO =12×2×4=4，△ABE 面积的最大值为4.四、三角函数法对于三角形问题，三角函数的引入可以为求线段长度提供新的解题思路.在直角三角形中，只需要知道一边的长度和除直角外任意一个角的度数，就可以用三角函数式表示出其余的边长或高.然后将三角函数式带入三角形面积公式，求出三角形面积的解析式，利用二次函数的性质即可求得面积最值.例4如图5，已知抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A （-1，0），B （3，0）两点，且与y 轴交于点C .（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线交y 轴于点C ，在抛物线上的第一象限上是否存在一点P ，使△PAC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及△PAC 面积的最大值；若不存在，请说明理由.图5解：（1）把A （-1，0），B （3，0）代入y =-x 2+bx +c ，可得，{-1+b +c =0，-9-3b +c =0，解得{b =-2，c =3，∴抛物线的解析式为：y =-x 2-2x +3.（2）如图5，作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点F ，作PM ⊥AC 于点M .设直线AC 的解析式为y =mx +n ，把B （-3，0）、C （0，3），代入得{-3m +n =0，n =3，解得{m =1，n =3，故直线BC 的解析式为y =x +3.设点P 的坐标为（x ，-x 2-2x +3）（-3＜x ＜0），则点F 的坐标为（x ，x +3）.由A 、C 坐标可知，AC =32，S ΔPAC =12AC ∙PM=12×32PF ∙sin ∠PFM =]()-x 2-2x +3-()x +3∙sin ∠ACO =32()-x 2-3x =-32æèöøx +322+278,当x =-32时，-x 2-2x +3=154，即P (-32,154).所以存在一点P ，使△PAC 的面积最大，最大值为278，P 点坐标为(-32,154).通过对以上四种方法的分析介绍，相信同学们对二次函数背景下三角形面积的最值问题的解法有了一定的了解.同学们只要掌握好了这四种方法，在二次函数的综合题中，再出现求图形面积的最值问题，就能轻松应对了.数苑纵横25。

二次函数的应用----面积最值问题 知识点:利用二次函数求几何图形的最大面积的方法是:
1、用含有自变量的代数式分别表示出与所求几何图形相关的量；
2、根据几何图形的特征，列出其面积的计算公式，用函数表示出这个面积；
3、根据函数关系式求出最大值及取得最大值的自变量的值。

当a
b 2
不在自变量的取值范围内时，应根据取值范围来确定最大值。

练习：
1、如图⑴，在Rt △ABC 中，AC=3cm ，BC=4cm ，四边形CFDE 为矩形，其中CF 、CE 在两直角边上，设矩形的一边CF=xcm ．当x 取何值时，矩形ECFD 的面积最大？最大是多少？
2、如图⑵，在Rt △ABC 中，作一个长方形DEGF ，其中FG 边在斜边上，AC=3cm ，BC=4cm ，那么长方形OEGF 的面积最大是多少？
3、如图⑶，已知△ABC ，矩形GDEF 的DE 边在BC 边上．G 、F 分别在AB 、AC 边上，BC=5cm ，S △ABC 为30cm 2，AH 为△ABC 在BC 边上的高，求△ABC 的内接矩形GDEF 的最大面积．
4、某建筑物窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形．制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m．当x等于多少时，窗户透过的光线最多（结果精确到0．01m）？此时，窗户的面积是多少?
能力提升：
5如图1，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点，（点E与点A、D不重合）．BE 的垂直平分线交AB于M，交DC于N．
（1）设AE=x，四边形ADNM的面积为S．写出S关于x的函数关系式；
（2）当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？。